数学物理方法 第一章

z0
G
区域
平面点集D称为一个区域，如果它满足下列两个条件： 1. D是开集；2. D是连通的。
边界
设D为复平面上的一个区 域，如果点 p不属于D， 但是在 p的任何邻域内都 包含有D中的点，这样的 点 p称为D的边界点。D 的边界点之全体称为D的 边界，一般用 来表示。
D
z1
z2 p
闭区域
区域D连同它的边界 一起构成闭区域，记为 D
指数表示：z 注意
re
i
在三角表示和指数表示下，两个复 数相等当且仅当模相等且幅角相差 2k
3 复数的运算
设z1=x1+iy1和 z2=x2+iy2是两个复数
加减运算 z1 + z2 =(x1 +x2) +i(y1 +y2 ) 复数加减法满足平 行四边形法则，或 三角形法则
- z2 z1 +(- z2)
课程的主要目的是：培养学生用数学语 言表述物理问题的能力、综合应用数学 知识的能力，提高运算能力。
课程的主要内容有：复变函数论和数 学物理方程两大部分.
参考文献

梁昆淼编.《数学物理方法》，第三版，高等 教育出版社，1998年6月

胡嗣柱、倪光炯编，《数学物理方法》 高等 教育出版社。
上篇 复变函数论
（3）双曲函数： 1 z z sin h( z ) (e e ) 2 1 z z cos h( z ) (e e ) 2
反双曲函数
Arcsinh z Ln z z 2 1


Arccosh z Ln z z 2 1
1 1 z Arc sinh z Ln 2 1- z
Lnz1 / z2 Lnz1 Lnz2
下列式子不成立
lnz1 z2 lnz1 lnz2 Lnn z 1 / nLnz Lnz n nLnz
注意
符号lnz与ln|z|，以及Lnz的区别
三角函数
1 iz iz sin z e e 2i 1 iz iz cos z e e 2
复数相等
z1=z2当且仅当Rez1= Rez2且Imz1= Imz1
复平面
虚轴
z平面
复数z=x+iy
实轴
复数与平面向量一一对应 复数不能 比较大小 模 | z | r x y
2 2
主幅角
幅角 2k arg z Argz
2 复数的表示
代数表示： z=x+iy
z 三角表示： r (cos i sin )
三 复变函数举例—基本初等函数
指数函数 性质
e z e x cos y i sin y
z x Байду номын сангаас iy
e z e x , Arg e z y
y 0时, e e ; x 0时, e cosy isiny
z x iy
exp(z1 z2 ) exp(z1 ) exp(z2 )








ln 2 3 i( / 2 2k ) z i ( / 2 2k ) i ln 2 3




第三节 复变函数多值性的讨论
一、定义：对于自变数z的每一个值，有不止 一个函数值w与之相对应，w 便称为z的多值 函数。 二、w
说明2
复变函数 =f(z)可以看作是z平面到 平 面上的一个映射。
=f(z)
z平面
平面
复变函数 =f(z)可以写成 =u(x,y)+iv(x,y)， 其中是z=x+iy
举例
求 0 , 0<r<1经 2 平面上的图形。

iz 变换后在
iz z exp(i / 2)
注意
根式函数是多值函数
对数函数
Lnz ln z iargz 2kπ , k 0,1,2,
其中arg z是z的主幅角
lnz ln z iargz被称为Lnz的主值
性质1
Lnz : 给定一个z值，有无穷多个 值
性质2
恒等式
Lnz1 z2 Lnz1 Lnz2
i ( a ib ) i ( a ib )
(2) sin(ix) sin(ix) e
i ( ix )
e 2i
i ( ix )
e e i 2
x
x
(3) ln(1) ln(1) ln 1 i 2k i 2k
k 0, 1, 2
i
.
以z轴作实部,颜色作虚部
在这个图像中,为了把不同虚部表示出来,我们将它画成了4个 图像,它们分别具有不同的颜色,也就是虚部的值是不同的,而 实部的形状则相同.注意,在实轴的正方向,曲面的表现就是我 们熟悉的实数的对数函数曲线的图像.
以z轴作虚部 ,颜色作实部 这个图像很 像一个螺旋 和上一个图 像完全不同.
z平面
平面
平面的曲线。
2）倾角为

3
例 研究复变函数 z 将z平面上的下列曲线变成
2
1）以圆点位圆心，2为半径，在第一象限的圆弧 的直线。
3）双曲线 x 2 y 2 4
4）双曲线 xy 1
几何意义上复变函数与实变函数的区别
实变函数通常可以用几何图形表示出来。
复变函数中，z和 均为复数，因此不能通过同 一平面或空间来表示复变函数。复变函数的几何 意义是：可以看作两个复平面上点集之间的对应。
除法运算
两个复数相除等于 它们的模相除，幅 角相减
共轭运算 复数z=x+iy的共轭复数为z*=x-iy
共轭复数为z*是复数z关于实轴的对称点
几个重要的计算公式
zz x y
2

2
z (cosn i sin n )
n n
n
z [ e
1 n
1 i ( 2 k ) n
已知方程： z 2，计算Z sin
e 解： z sin
即e e
iZ iZ iZ
iZ
e
iZ
2i 4i
2
解得：e 2 3 i iz ln 2 3 i ln 2 3 ln i ln 2 3 i ( / 2 2k )




sin z tan z cos z cos z cot z sin z
性质
周期性
恒等式
非有界函数
反三角函数
Arcsinz iLniz
Arccos iLn z z 1 z
2 2
1 z
i 1 iz Arctan z Ln 2 1 - iz
1 2y 2 y 2 2 sin z (e e ) 2(sin x cos x) 2 1 2y 2 y 2 2 cos z (e e ) 2(cos x sin x) 2
对数函数： ln z ln( e ) ln i
显然，由于ArgZ的周期性，对于对数函数， Z有无限多个值。而且在复数领域里，Z为 负数时，lnz是有意义的！
双曲函数
1 z z cosh z e e 2 1 z z sinh z e e 2




e z e z tanhz z z e e
性质
1. 以 2i 为周期
2. 与正弦函数、余弦函数的关系
3. 恒等式
注意： 当我们讨论的范围是复变函数范畴内时， |sinz|和|cosz|完全可以大于1。原因是：

幂函数
z expLnz

计算下列各式数值 (1)sin(a ib) (2)sin(ix) (3) ln(1)
(1) sin(a ib) e sin(a ib) 2i b b e (cos a i sin a ) e (cos a i sin a ) 2i b b b b e sin a e sin a i e cos a e cos a 2 b b b b e e sin a i e e cos a 2 e
y
R O x
y
R O x
y
r R
O
x
| z | R
y
2
| z | R
y
1
r | z | R
y
O
1
O
x
-R
O
R
x
x
1 arg z 2
Im z 0
| z | R, Im z 0

单连通域与多连通域
设B为复平面上的一个区域，如果在其中作一条 简单的闭曲线（自身不相交的闭合曲线），而曲 线内部总属于B ，则称B为单连通区域，否则称 为多连通区域。
1. 多值性
z
w z | z |e
i(Argz)/2
e
i
1 1 | z |, Arg z arg z n 2 2
( n 0,1,2, )
n=2,3,… 重复前二值
1 1 1 arg z, 2 arg z , 2 2
例 将
cos 4 和 sin 4
表示成 sin 和 cos 的幂。
第二节 复变函数
一 区域的概念
邻域
平面上以z0为中心， 为半径的圆的内部的点所组成 的集合，称为z0的 邻域


z0

z0
|z-z0|<
0<|z-z0|<