数学物理方法课件：8_1 傅立叶变换

Fourier变换F(ω)的模：f(t)中频率ω成分所占的比重
f(t) t
log10|F(ω)| ω
若干函数的傅氏变换
例5：钟形脉冲函数 f (t) Aet2 的F变换，其中A, β>0
解：F[ f (t)] A et2 eit dt Aexp{ 2 } exp{ (t i )2}dt
T
fT (t)
lim
T
cn
n
eint
lim ( 1
T T n
f e d T / 2
in
T / 2 T
)eint
lim (
2 T n
f e d T / 2
in
T / 2 T
)e T
fT (t)ein t dt
2
2
T
eint
T /2 T / 2
fT ein d
p(n)
1
2
lim (eint
T n
T /2 T / 2
fT ein d )
1
2
lim p(n)
T n
1
2
lim p(n)
0 n
1
p()d 1
(
f ( )ei d )eitd
2
2
傅立叶变换的定义
傅立叶变换的定义
F () f (t)ei tdt
R
2
f (z)dz
2 R i
2
f (z)dz
R i f (z)dz 0
2
lim
R
f (z)dz
ex2 dx
R R
R i
lim 2 f (z)dz 0
R R
R
lim
R
R i
f (z)dz 0
2
所以，所求为
2
Ae 4
傅氏变换的基本性质
线性性质
位移性质 F[ f (t t0 )] ei t0 F[ f (t)] 变换的位移性质
卷积和卷积定理
卷积公式 f1(t) f2 (t) f1( ) f2 (t )d
例如：
f1 (t )
0, t 1, t
0 0
0,t 0 f2 (t) et , t 0
求f1(t)*f2(t).
f
(t)
et , t
,
0
0
解：F[ f (t)] f (t)eit dt eteit dt
0
e( i)t dt 1
0
i
若干函数的傅氏变换
例3：证明单位跃迁函数 的F变换为 F ()
0,t 0
1u(t)(1,t) 0
i
解：也即是证明F 1[F ()] u(t),
F 1[F ()] 1
象的微分性质 dF () iF[tf (t)] 条件： lim f (t)
d
|t|0
例7：证明：若f (t)是微分方程
d
2 y(t) dt 2
t
2
y(t)
Ay(t),(t为常数）
的解，则F() F[ f (t)]是下述微分方程的解
F '' () 2F () AF()
提示：方程两边作F变换，根据变换和象的微分性质。
2i
2i
考虑到：ei0t
(
0
)e
it
d
即ei0t
1
2
2
(
0
)eit
d
ei0t F 1[2 ( 0 )]
F[ei0t ] 2 ( 0 ) F[ei0t ] 2 ( 0 )
所以：F[sin0t] i[ ( 0 ) ( 0 )]
思考题：F变换的物理含义？
Fourier变换的物理意义之一
F ( 0 ) F[ei0t f (t)] 象函数的位移性质
例6：求下列函数的傅氏变换
f (t) ei0tu(t t0 )
解：首先用变换的位移性质
F[u(t
t0 )]
eit0 [ 1
i
()]
再采用用象函数的位移性质
F[ei0tu(t
t0
)]
ei( 0
)t0
[
i(
1
0
)
((
0
))]
微分性质 F[ f ' (t)] iF[ f (t)] 条件：f(+∞ ,-∞)=0
第八章 傅立叶(Fourier)变换
➢傅立叶积分 ➢傅立叶变换 ➢傅立叶变换的性质
目标要求 理解傅氏变换基本概念； 会求简单函数的傅氏变换； 了解傅氏变换的主要性质。
傅立叶积分
傅立叶级数：周期函数 fT(t)在区间[-T/2, T/2]上满足 Dirichlet条件，则
fT
(t)
a0 2
n1
(an
2 2 v
1 1 sin v
dv 0,(t 0)
2 2 v
若干函数的傅氏变换
例4：正弦函数 f (t) sin 0t
解：F[sin0t]
e it
sin
0tdt
e it
ei0t
ei0t dt
2i
1 ( eitei0t dt eitei0t dt) 1 (F[ei0t ] F[ei0t ])
4
2
Aexp{ 2 } lim 4 R
R 2
R
i
i
exp{z
2
}dz
2
此项极限为所求的相反数
2
R
R
令：f (z) exp{z2}
R
R i
R i
R
f (z)dz R
R
2
f (z)dz
2 R i
2
f (z)dz
R i f (z)dz 0
2
R
R i
R i
R
f (z)dz R
Fourier：满足Dirichlet条件，绝对可积；
(3) 新变量不同：ω属于[-∞,∞]，s实部满足一定条件（可自
行调节）
若干函数的傅氏变换
例1：单位脉冲函数
(t)
0,t 0 ,t 0
解：F[ (t)]
(t)eit dt
e it
|t0 1
若没有此条件，
例2：指数函数
0,t 0
情况如何？
cos nt
bn
sin
nt)
傅立叶级数的指数函数表达式
其中 2
T
fT (t) cnein t n
cn
1 T
T
2 T
fT (t)ein t dt
2
对于非周期函数f(t)，令T∞
f (t) 1
[
f ( )ei d ]ei t d
2
傅立叶积分
对于非周期函数f(t)，令T∞
f
(t)
lim
根据傅立叶积分公式
记为： 傅立叶变换
f (t) 1 F ()ei td 记为：
2
Laplace变换 F (s) f (t)es tdt 0
傅立叶逆变换
Fourier变换和Laplace变换的对比：
(1) 都属于积分变换，实函数变换为复函数；积分范围不同；
(2) 存在条件：Laplace：f(t)增大小于指数级的；
F ()eit d 1
1 [
()]eit d
2
2 i
1 1 eit d 1 ()eit d
2 i
2
1 1 cost i sintd 1 1 sintd
2 2
i
2 2
1 1 sintdt 2 2 t
1 1 sin v
dv 1,(t 0)