[K12配套]九年级数学下册第2章二次函数2.1二次函数导学案

(1) 从以上两个例子中，你发现这函数关系式有什么共同特征?教学目标：1.理解二次函数的概念；2 .能够表示简单变量之间的二次函数的关系。

知识回顾：1、正比例函数的表达式为一次函数反比例函数表达式为。

2、某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子。

现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。

根据经验估计，每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子。

请问种多少棵树才能达到30000个的总产量？你能解决这个问题吗？(请列出方程，不用计算)新知探究：3. (独学+对学)某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子。

现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。

根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。

(1) 问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？(2) 假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子?(2) 仿照以前所学知识，你能给它起个合适的名字吗？(3) 你能用一个通用的表达式表示它们的共性吗？试试看。

【归纳总结】一般地，形如(其中均为常数工0)的函数叫做你能举出类似的例子吗？巩固练习6、下列函数中(x、t是自变量)，哪些是二次函数？1 2 1 2 3 2 2y 3x , y x - x 25, y = 2 2x, s = 1 t 5t2 27、物体从某一高度落下，已知下落的高度h ( m和下落的时间t (s)的关系是：h=4.9t2，填表(3) 如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式。

&圆的半径是1cm,假设半径增加xcm时，圆的面积增加y cm2。

(1) 写出y与x之间的关系表达式；(2) 当圆的半径分别增加1cm, i 2 cm, 2cm时，圆的面积增加多少? 知识运用:4. 做一做银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的。

2.1二次函数;;预习案;一、预习目标及范围：;;1、通过三个问题情境列函数关系式，在教师的引导下归纳总结二次函数的定义及表达式和注意事项；2、根据二次函数的定义会判断函数是不是二次函数，并会举出符合条件的二次函数的例子；3、根据二次函数的定义，会求出二次函数式中字母的值；预习范围：P29-30二、预习要点1.函数的概念：;一般的，在一个变化过程中,如果有两个变量x 与y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有__________的值与其对应，那么我们就说y 是x 的函数，其中x 是叫_____， y 叫______．2.函数的表示方法：__________、__________、__________三、预习检测1.下列函数中,哪些是二次函数？(1）y=3(x-1)²+12(2)y ax bx c =++(3) s=3-2t 2 21(4)y x x=- (5)y=(x+3)²-x ²(6) y=10πr ²2(7)22y x =+231(8)252y x x =-+ 是二次函数的是：2.若232(3)1m m y m x mx -+=-++是关于 的二次函数，确定 的值，并求其函数关系式。

3.用一个长为6cm的铁丝做成一个边长为xcm的矩形，设矩形的面积为ycm2，写出y 与x的函数关系式。

4.某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.假设果园増种x棵橙子树，果园共有棵橙子树，平均每棵树结个橙子。

如果果园橙子的总产量为y个，请写出y与x之间的函数关系式。

探究案一、合作探究活动内容1：活动1：小组合作某果园有100棵橙子树,平均每棵树结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.(1)问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？(3)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y与x之间的关系式.想一想：在上述问题中,种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量最多？我们可以列表表示橙子的总产量随橙子树的增加而变化的情况。

第二章二次函数（1）一、复习目标1、理解二次函数的概念；2、会用描点法画出二次函数的图象；3、会用配方法和公式确定抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标；4、会用待定系数法求二次函数的解析式；二、课时安排1课时三、复习重难点用配方法和公式确定抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标；用待定系数法求二次函数的解析式；四、教学过程（一）知识梳理1．二次函数的概念一般地，形如 (a，b，c是常数，)的函数，叫做二次函数．[注意] (1)等号右边必须是整式；(2)自变量的最高次数是2；(3)当b＝0，c＝0时，y ＝ax2是特殊的二次函数．2．二次函数的图象二次函数的图象是一条，它是轴对称图形，其对称轴平行于轴．[注意] 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的形状、大小、开口方向只与a有关．3．二次函数的性质4.二次函数图象的平移一般地，平移二次函数y＝ax2的图象可得到二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象．[注意] 抓住顶点坐标的变化，熟记平移规律，左加右减，上加下减． （二）题型、方法归纳 类型一 二次函数的定义应用例1 已知抛物线y ＝(m ＋1)xm 2＋m 的开口向下，求m 的值．[解析] 本题容易考虑不全面，只考虑m ＋1＜0，而忽略抛物线是二次函数的图象，自变量x 的次数为2.由抛物线开口向下得m ＋1＜0且m 2＋m ＝2，即m ＝－2.解：根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＝2，m ＋1<0.解得m ＝－2.方法技巧解答这类问题要明确两点：(1)函数图象是抛物线，所以是二次函数；(2)抛物线的开口只与二次项系数有关．类型二 二次函数图象的平移例2 如果将抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 沿直角平面坐标向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线y ＝x 2－2x ＋1，则b ＝________，c ＝________.[解析] ∵y ＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，y ＝x 2＋bx ＋c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 22＋4c －b 24，又抛物线y ＝(x －1)2是y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 22＋4c －b 24向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到的，故y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 22＋4c －b 24可看作是y ＝(x －1)2向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到的．∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 22＋4c －b 24＝(x －1－2)2－3，即y ＝x 2＋bx ＋c ＝x 2－6x ＋9－3＝x 2－6x ＋6，∴b ＝－6，c ＝6.方法技巧在平移的过程中，抛物线的形状始终保持不变，而抛物线的形状只与二次项系数有关，所以要求平移后(或前)抛物线的表达式，只需求出平移后的抛物线的顶点坐标即可．解这一类题目，需将一般表达式化为顶点式，抓住顶点位置的改变，根据平移规律进行解答．类型三 二次函数与一次函数的综合应用 例3 已知矩形ABCD中，AB ＝2，AD ＝4，以AB 的垂直平分线为x 轴，AB 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图X 2－1)．(1)写出A ，B ，C ，D 及AD 的中点E 的坐标；(2)求以E 为顶点、对称轴平行于y 轴，并且经过点B ，C 的抛物线的表达式； (3)求对角线BD 与上述抛物线除点B 以外的另一交点P 的坐标； (4)△PEB 的面积与△PBC 的面积具有怎样的关系？证明你的结论．[解析] 利用矩形的性质可以得到A ，B ，C ，D 及AD 的中点E 的坐标，然后利用顶点式求出抛物线的表达式．解：(1)A(0,1)，B(0，－1)，C(4，－1)，D(4,1)，E(2,1)． (2)设抛物线的表达式为：y ＝a(x －2)2＋1， ∵抛物线经过点B(0，－1)， ∴a(0－2)2＋1＝－1，解得a ＝－12.∴抛物线的表达式为：y ＝－12(x －2)2＋1.经验证，抛物线y ＝－12(x －2)2＋1经过点C(4，－1)．(3)直线BD 的表达式为：y ＝12x －1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x －22＋1，y ＝12x －1， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝12.∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3， 12.(4)S △PEB ＝12S △PBC .S △PBC ＝12×4×32＝3.过P ，E 分别作PP′⊥BC，EE′⊥BC，垂足分别为P′，E′，S △PEB＝12×2×2＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋2×1－12×3×32＝32，∴S △PEB ＝12S △PBC . 类型四 二次函数的图象和性质的应用例4 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ＜0)过A(－2,0)，O(0,0)，B(－3，y 1)，C(3，y 2)四点，则y 1与y 2的大小关系是( )A ．y 1＞y 2B ．y 1＝y 2C ．y 1＜y 2D ．不能确定[解析] A 结合图形，找到A 、O 、B 、C 四个点的大致位置，容易看出y 1与y 2的大小关系．方法技巧解决此类问题的关键是求出抛物线的对称轴，由a 的正负性就可以知道抛物线的增减性，可以结合图形进行判别．如果所给的点没有在对称轴的同一侧，可以利用抛物线的对称性，找到这个点的对称点，然后根据增减性再作判断．类型五 求二次函数的表达式例5 已知二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图象如图X2－2所示，它与x 轴的一个交点坐标为(－1,0)，与y 轴的交点坐标为(0,3)．(1)求出b ，c 的值，并写出此二次函数的表达式；(2)根据图象，写出函数值y 为正数时，自变量x 的取值范围．[解析] 由于二次函数经过具体的两个点，可以把这两个点的坐标代入即可求出表达式，然后根据图象求出自变量x 的取值范围．解：(1)把(－1,0)，(0,3)分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧－1－b ＋c ＝0，c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝3.所以y ＝－x 2＋2x ＋3.(2)令y ＝0，得－x 2＋2x ＋3＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝3，所以，由图象可知，函数值y 为正数时，自变量x 的取值范围是－1＜x ＜3. 方法技巧求二次函数的表达式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的表达式：(1)若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式y ＝ax 2＋bx ＋c ；(2)若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式y ＝a(x －h)2＋k ；(3)若给出抛物线与x 轴的交点，或对称轴和对称轴与x 轴的交点距离，通常可设交点式y ＝a(x －x 1)(x －x 2)．（三）典例精讲例6 如图，已知二次函数y ＝ax 2－4x ＋c 的图象与坐标轴交于点A(－1,0)和点B(0，－5)．(1)求该二次函数的表达式；(2)已知该函数图象的对称轴上存在一点P ，使得△ABP 的周长最小．请求出点P 的坐标．[解析] 把点A(－1,0)和点B(0，－5)代入表达式即可求出a 和c 的值，△ABP 的周长中的边长AB 是确定的，只要求出PA 与PB 的和最小即可，因此要把PA 和PB 转化到一条线上，在此还要利用抛物线的对称性．解：(1)根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝a×－12－4×－1＋c ，－5＝a×02－4×0＋c.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝－5.∴二次函数的表达式为y ＝x 2－4x －5.(2)令y ＝0，得二次函数y ＝x 2－4x －5的图象与x 轴的另一个交点坐标C(5,0)． 由于P 是对称轴x ＝2上一点，连接AB(如图X 2－4)，由于AB ＝OA 2＋OB 2＝26，要使△ABP 的周长最小，只要PA ＋PB 最小．由于点A 与点C 关于对称轴x ＝2对称，连接BC 交对称轴于点P ，则PA ＋PB ＝BP ＋PC ＝BC ，根据两点之间，线段最短，可得PA ＋PB 的最小值为BC.因而BC 与对称轴x ＝2的交点P 就是所求的点． 设直线BC 的表达式为y ＝kx ＋b ，根据题意，可得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－5，0＝5k ＋b.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－5.所以直线BC 的表达式为y ＝x －5.因此直线BC 与对称轴x ＝2的交点坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝x －5的解，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3.所求点P 的坐标为(2，－3)． （四）归纳小结说一说：通过二次函数的学习，你应该学什么？你学会了什么？ 1、理解二次函数的概念；2、会用描点法画出二次函数的图象；3、会用配方法和公式确定抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标；4、会用待定系数法求二次函数的解析式； （五）随堂检测1.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则一次函数y ＝bx ＋a 的图象不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示： 点A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)在函数的图象上，则当1<x 1<2,3<x 2<4时，y 1与y 2的大小关系正确的是( )A ．y 1>y 2B ．y 1<y 2C ．y 1≥y 2D ．y 1≤y 23．已知二次函数y ＝－x 2＋x －15，当自变量x 取m 时，对应的函数值大于0，当自变量x 分别取m －1，m ＋1时对应的函数值为y 1、y 2，则y 1，y 2满足( )A ．y 1>0，y 2>0B ．y 1<0，y 2<0C ．y 1<0，y 2>0D ．y 1>0，y 2<04．抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的表达式为y ＝x 2－2x －3，则b 、c 的值为( )A ．b ＝2，c ＝2B ．b ＝2，c ＝0C ．b ＝－2，c ＝－1D ．b ＝－3，c ＝25．坐标平面上，若移动二次函数y ＝2(x －175)·(x －176)＋6的图形，使其与x 轴交于两点，且此两点的距离为1单位，则移动方式可为( )A ．向上移动3单位B ．向下移动3单位C ．向上移动6单位D ．向下移动6单位6．将抛物线y ＝x 2－2x 向上平移3个单位，再向右平移4个单位等到的抛物线是___________________________________．7.如图为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像，A 、B 、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA ＝OC ＝1，则下列关系中正确的是( )A ．a ＋b ＝－1B ．a －b ＝－1C ．b<2aD ．ac<08.如图所示，若正方形的棱长不变，CM ＝12DM ，NH ＝34EH ，MN 与CH 的延长线交于P 点，则tan ∠NPH 的值为________．9.将直角边长为6的等腰Rt △AOC 放在如图所示的平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点C 、A 分别在x 、y 轴的正半轴上，一条抛物线经过点A 、C 及点B(－3,0)．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P 是线段BC 上一动点，过点P 作AB 的平行线交AC 于点E ，连接AP ，当△APE 的面积最大时，求点P 的坐标．【答案】 1.D 2.B 3.B 4.B 5.D6. y ＝(x －5)2＋2或y ＝x 2－10x ＋27 7.B 8.5129. 解：(1)由题意知：A(0,6)，C(6,0)，设经过点A 、B 、C 的抛物线解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，则⎩⎪⎨⎪⎧6＝c ，0＝9a －3b ＋c ，0＝36a ＋6b ＋c ，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝1，c ＝6，∴该抛物线的解析式为y ＝－13x 2＋x ＋6.(2)如图，设点P(x,0)， ∵PE ∥AB ，∴△CPE ∽△CBA. ∴S △CPE S △CBA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫CP BC 2. 又∵S △ABC ＝12BC×OA＝27，∴S △CPE 27＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6－x 92. ∴S △CPE ＝6－x23＝13x 2－4x ＋12. S △ABP ＝12BP×OA＝3x ＋9.设△APE 的面积为S ，则S ＝S △ABC －S △ABP －S △CPE ＝－13x 2＋x ＋6＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋274.当x ＝32时，S 最大值为274.点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0.五、板书设计二次函数（1） 1、理解二次函数的概念； 2、会用描点法画出二次函数的图象；3、会用配方法和公式确定抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标；4、会用待定系数法求二次函数的解析式； 类型讲解： 典例精析：六、作业布置 单元检测试题（一） 七、教学反思。

2.2.3二次函数的图像与性质预习案一、预习目标及范围：1.经历探索二次函数y=ax 2+bx+c 的图象的作法和性质的过程.2.体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性.3.能够作出y=a （x-h ）2和y=a （x-h ）2+k 的图象，并能理解它与y=ax 2的图象的关系.理解a ，h 和k 对二次函数图象的影响.4.能够正确说出y=a （x-h ）2+k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.预习范围：二、预习要点1. 增减性当a>0时，2ax y =和c ax y +=2 在对称轴的左侧（即x 时）y 随x 的增大而 ，在对称轴的右侧（即x 时）y 随x 的增大而 .2)(h x a y -=和k h x a y +-=2)(在对称轴的左侧（即x 时）y 随x 的增大而 ，在对称轴的右侧（即x 时）y 随x 的增大而 .当a<0时，2ax y =和c ax y +=2 在对称轴的左侧（即x 时）y 随x 的增大而 ，在对称轴的右侧（即x 时）y 随x 的增大而 .2)(h x a y -=和k h x a y +-=2)(在对称轴的左侧（即x 时）y 随x 的增大而 ，在对称轴的右侧（即x 时）y 随x 的增大而 .2.平移规律： 例：y=2x 2先向上平移5个单位，再向右平移2个单位，所得函数的解析式为 ，y=2（x-7）2先向左平移5个单位，再向右平移1个单位，所得函数的解析式为 ，y=2x 2-7x+2 先向下平移8个单位，再向右平移1个单位，所得函数的解析式为三、预习检测1.抛物线y=3x 2－4与抛物线y =3x 2 的_______相同，_________不同.2.抛物线y =3(x －1)2与抛物线y =3x 2 的______相同，_________不同.3.抛物线y =3x 2+5的开口_______，对称轴是______，顶点坐标是____________.4.抛物线y =－2(x+1)2的开口__________，对称轴是___________，顶点坐标是_____________.探究案一、合作探究活动1：小组合作探究一：在同一坐标系中画出下列函数的图象： 2223 ; 3 2 ; 3(1).y x y x y x ==+=- 思考：它们的图象之间有什么关系？明确：23y x =的图像向上平移两个单位得到232y x =+的图像，向左平移一个单元得到23(1)y x =-。

2.1二次函数的概念教学目标：1．经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验2．能够表示简单变量之间的二次函数关系。

3、能够利用尝试求值的方法解决实际问题，如猜测增种多少棵葡萄树可以使葡萄的总产量最多的问题。

一、情境引入——源于生活的数学1、惜福镇街道是有名的水果之乡，特别是巨峰葡萄更是美名远扬。

现在果农黄大爷要整理一块长10米，宽6米的矩形荒地种植葡萄，为了便于管理，现要在四周修筑同样宽的小路，剩余部分种植葡萄。

设道路的宽为x米，葡萄种植面积为s平方米。

你能写出S与x之间的函数关系式吗？2、果农黄大爷第一年在葡萄园里试种了10棵葡萄，为了扩大种植规模，以后每年都以相同的增长率x递增，第三年时葡萄树的总棵树达到了y棵，你能写出y和x之间的函数关系式吗？_______________________________________3、黄大爷果园原来有10棵葡萄树,每棵葡萄树平均结60kg葡萄.现准备多种一些葡萄树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。

根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结2kg葡萄。

(1)问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？之间的关系式(5)你能根据表中的数据猜测多种多少棵葡萄树可以使果园葡萄树的总产量最多吗?我总结，我进步的函数叫做二次函数其中：①y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，a≠0)称为二次函数的一般形式②ax2叫做________，a为二次项系数；bx叫做一次项，b为_____________c叫做常数项典型例题：例1、下列函数中，哪些是二次函数？如果是请指出二次项系数、一次项系数、常数项 21361y x x =-+（） 21(2)y x x=+ 2332s t =-（） 24s r π=（） 215y x x =-（） 226(3)y x x =+-（）例2、已知二次函数1(1)35k y k xx +=--+，则k=_____ 变式练习：函数27(3)m y m x -=+是二次函数，则___m =函数27(3)m y m x -=+是正比例函数，则___m =函数27(3)m y m x -=+是反比例函数，则___m = 学以致用1、 一果农用40m 长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形葡萄园，和墙垂直的一边长为xm ，葡萄园的面积为ym 2，求y 与x 之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围.当x=12m 时，计算葡萄园的面积.2、河套某商场新进一批巨峰葡萄，如果以每千克20元的售价卖出，则每天可销售60千克，经商场市场部调查发现，如果每千克葡萄降价1元，则销售量会增加6千克，试写出每千克葡萄的售价降价x 元时，该商场出售巨峰葡萄的营业额y 元与降价x 元之间的关系式.感悟与收获：1.这节课你学会了什么？2.你运用今天学到的知识解决了什么？3.你还有哪些困惑？课堂检测：1、下列函数中，（x,t 是自变量），哪些是二次函数？如果是，请指出一次项系数是多少？(1)22y x x =-+, (2) 232y x x =++ (3) 252y x =+ (4) 215s t t =++ s=1+t+5t 22、圆的半径是1cm ，假设半径增加xcm 时，圆的面积增加ycm 2.（1）写出y 与x 之间的函数关系表达式；（2）当圆的半径分别增加1cm ，2cm 时，圆的面积增加多少？作业：A组：同行学案127页1——10,128页1-6 B组：同行学案128页7,8。

2.1二次函数所描述的关系学习目标、重点、难点【学习目标】1.从实际情景中经历探索和表示两个变量之间的二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。

2.会表示简单变量之间的二次函数关系。

3.能够利用尝试求值的方法解决实际问题。

（如猜测增种多少棵橙子树可以使橙子的总产量最多的问题）。

【重点难点】1.二次函数的概念和一般表达式；表示简单变量之间的二次函数关系。

2.从实际情景中列出二次函数关系式，并考虑函数的自变量的取值范围。

知识概览图⎧⎨⎩利用尝试求值的方法解决实际问题二次函数所描述的关系二次函数的定义 新课导引【生活链接】一个果园里有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树与树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少，根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．【问题探究】(1)假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子?(2)如果果园橙子的总产量为y 个，那么请你写出y 与x 之间的关系式； (3)在上述问题中，种多少棵橙子树可以使果园橙子的总产量最多?最多为多少个? 【点拨】解这类问题就需要利用二次函数的有关知识． 教材精华知识点1 利用尝试求值的方法解决实际问题我们利用尝试求值的方法来解决“新课导读”中的问题．(1)如果设果园增种x 棵树，那么果园共有(x ＋100)棵橙子树．因为每增加一棵树，平均每棵树少结5个橙子，所以增种x 棵树，平均每棵树结(600－5x )个橙子．(2)由(1)可得果园橙子的总产量y＝(100＋x)(600－5x)＝－5x2＋l00x＋60000．(3)我们得到一个函数关系式y＝－5x2＋l00x＋60000，它与我们过去学过的y＝kx，y＝kx＋b，y＝kx(k≠0)有所不同，它的最高次项x2的次数是2，且x2的系数为－5，这就是我们要研究的二次函数的关系式．果园增种多少棵树，可以使果园的总产量最多?我们可以试着通过数值统计的方法逐步去猜想．试着列出下表：我们看到，增种10棵橙子树时，橙子的总产量最多，为60500个．下面我们再看一个生活中的问题．银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的，也就是说，利率是一个变量．设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)．一年到期的本息和是100＋100x＝100(1＋x)，第二年转存后到期的本息和为100(1＋x)＋100(1＋x)x＝100(1＋x)2，所以y=100(1＋x)2＝100x2＋200x＋100．若考虑利息税(利息税为20％)，每100元的利息税为20x，则y＝100(1＋0.8x)2=64x2＋160x＋100．拓展由以上两个情境我们知道，它们都具有y＝ax2＋bx＋c的形式(a，b，c是常数，a≠0)．知识点2 二次函数的定义一般地，形如y=ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数．拓展 (1)任何一个二次函数的解析式，都可以化成y=ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的形式，因此，把y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)叫做二次函数的一般式．(2)在一般式中，只有a≠0时，y=ax2＋bx＋c才是二次函数；当a=0时，y＝bx＋c，若b≠0，则它是一次函数，若b＝0，则y=c是一个常函数．(3)在y=ax2＋bx＋c中，x的取值范围是全体实数，且按x的降幂排列．(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次方程．┃规律方法小结┃判断一个函数是否是二次函数，不能只从表面看，而应紧扣二次函数的定义进行类比，若函数的形式较复杂，可以进行恒等变形，转化为一般式，再给予判断．课堂检测基本概念题1、在下列函数中，y是x的二次函数的是 ( )A．x＋y2－1=0B．y＝(x＋1)(x－1)－(x－1)2C．y=221xD．x2＋3y－2＝02、在下列函数关系中，可以看做二次函数y＝ax2＋bx＋c的模型的是 ( )A．在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶时间的关系B．某地区人口自然增长率为l％，这个地区的人口总数随年份变化的关系C.竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)D．圆的周长与圆的半径的关系基础知识应用题3、在半径为4 cm的圆中挖去一个半径为x cm的圆面，剩下的圆环面积为y cm2，则y与x 之间的函数关系式为（）A．y=πx2－4 B．y=π(2－x)2C．y＝－(x2＋4) D．y=－πx2＋16π综合应用题4、如图2－1所示，矩形的长为4 cm，宽为3 cm，如果将其长与宽都增加x(cm)，那么面积增加y(cm2)．(1)写出y与x之间的函数关系式；(2)上述函数是什么函数?(3)自变量x的取值范围是什么?5、如图2 - 2所示，已知一个三角形纸片ABC，面积为25，BC边的长为10，∠B与∠C都为锐角，M为AB边上的一动点(M与点A，B不重合)，过点M作MN∥BC交AC于点N，设MN＝x，S△AMN ＝y，试求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．探索与创新题6、设直线y=kx＋b(k≠0)与二次函数y＝ax2的图象的两个交点的横坐标分别为x1和x2，且直线与x轴交点的横坐标为x3，求证123111.x x x+=体验中考小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S(单位：平方米)随矩形一边长x(单位：米)的变化而变化，求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、┃分析┃先将函数式进行变形x转化为用；的代数式表示y的形式，再类比二次函数的定义．把A变形为y2＝－x＋1，自变量x的最高次数不是2，y的次数不是1，故A不是．把B变形为y＝2x －2，自变量x的最高次数不是2，故B不是．因为C的右边是关于x的无理式，不是整式，故C不是．把D变形为y=－13x2＋23，符合二次函数的定义．故选D．【解题策略】要判断一个函数是不是二次函数，应先把关系式化简整理成y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的形式，再来判断．判断时要根据以下三点：(1)函数的关系式是整式；(2)自变量的最高次数是2；(3)二次项系数不等于零．要同时具备这三点才是二次函数．2、┃分析┃A中的速度=路程时间，所以速度与时间是反比例关系．B中人口总数与年份的关系很难确定．D中圆的周长C＝2πr，周长与半径成正比例关系．故选C.【解题策略】解此题的关键是准确列出各关系式，再作出判断．3、┃分析┃剩下的圆环面积应为π(R2－r2)，其中R和r分别为大圆和小圆的半径．由题意得y ＝π(42－x2)=-πx2＋16π.故选D．【解题策略】准确运用圆的面积公式．4、┃分析┃根据题意建立x与y之间的关系式，然后用含x的代数式表示y，使y的系数为1．解：(1)根据题意，得y ＝(4＋x )(3＋x )－3×4＝12＋7x ＋x 2－12＝x 2＋7x ． (2)上述函数是二次函数． (3)x ≥0．【解题策略】解此题的关键是运用数形结合思想．5、┃分析┃本题考查相似三角形的性质，即相似三角形的面积比等于相似比的平方，而x 的取值范围应根据MN 所处的位置判定． 解：∵MN ∥BC ，∴△AMN ∽△ABC ，∴2()AMN ABCS MN SBC=． 而BC ＝10，S △ABC ＝25，∴y =14x 2(0<x <10)． 【解题策略】注意相似三角形的面积比等于相似比的平方的正确运用．6、┃分析┃ 因为两个函数图象的交点是两个图象的公共点，交点的坐标是由这两个函数解析式联立而成的方程组的解，其横坐标就是由方程组消去y 所得的关于x 的一元二次方程的解，不需要解方程，可根据根与系数的关系求出x 1x 2，x 1＋x 2的值．证明：由题意得2y kx b y ax =+⎧⎨=⎩①,②,将①代入②，得ax 2－kx －b ＝0． ∵x 1，x 2是两个函数图象的交点的横坐标， ∴x 1，x 2是方程ax 2－kx －b ＝0的两个根，∴x 1＋x 2＝k a ，x 1x 2＝b a-， ∴12121211.x x k x x x x b++==- 又∵直线y ＝kx ＋b (k ≠0)与x 轴交点的横坐标为x 3，∴0=kx 3＋b ，∴x 3=123111,.b k x x x -∴+=【解题策略】对于一次函数式与二次函数式联立以后求一元二次方程的解的问题，要注意根与系数的关系的应用，有时会给解题带来很多方便． 体验中考┃分析┃根据矩形的面积公式来确定解析式． 解：根据题意，得S ＝6022x-·x =-x 2＋30x ．即S ＝－x 2＋30x ，自变量x 的取值范围是0＜x ＜30．22．1．3 二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象(二)学习目标、重点、难点【学习目标】1、掌握二次函数y ＝a (x －h )2(a ≠0)的图象；2、掌握二次函数y ＝a (x －h )2(a ≠0)的性质；3、掌握抛物线y ＝a (x －h )2(a ≠0)的性质； 【重点难点】1、二次函数y ＝a (x －h )2(a ≠0)的图象；2、二次函数y ＝a (x －h )2(a ≠0)的性质；3、抛物线y ＝a (x －h )2(a ≠0)的性质； 知识概览图图象：与二次函数y =ax 2的图象形状相同，只是位置不同，可由y =ax 2的 图象沿x 轴经过左、右平移得到①当a ＞0时，开口向上，当x ＜h 时，y 随x 的增大而减小，当x ＞h 时，y随x 的增大而增大，顶点是抛物线的最低点，即当x =h 时，y min ＝0 ②当a ＜0时，开口向下，当x ＜h 时，y 随x 的增大而增大，当x ＞h 时，y 随x 的增大而减小，顶点是抛物线的最高点，即当x ＝h 时，y m a x ＝0新课导引还记得上节我们提到的永和桥吗?如果建立如右图所示的平面直角坐标系，你还能求出该抛物线的解析式吗?【问题探究】该抛物线可以看成是由抛物线y ＝ax 2向右平移175个单位得到的，其顶点坐标为(175，0)，因此可设其解析式为y ＝a (x －175)2，由A(0，－85)可得－85＝1752a ，解得a ≈－0.0028．【解析】 解析式为y ＝－0.0028(x －175)2． 教材精华知识点1二次函数y ＝a (x －h )2(a ≠0)的图象在同一平面直角坐标系中，画出函数y ＝x 2，y ＝(x －1)2，y ＝(x ＋1)2的图象．二次函数 y =a (x －h )2性质(1)列表：x …－3－2－10 1 2 3 …y=x2… 4 1 0 1 4 …y=(x－1)2… 4 1 0 1 4 …y=(x＋1)2… 4 1 0 1 4 …(2)描点．(3)连线，如图所示．拓展函数y＝a(x－h)2与y＝ax2的图象形状相同，位置不同．函数y＝a(x－h)2的图象可由函数y＝ax2的图象经过左、右平移得到．当h＞0时，函数y＝a(x－h)2的图象可以看成是将函数y＝ax2的图象向右平移|h|个单位得到的；当h＜0时，函数y＝a(x－h)2的图象可以看成是将函数y＝ax2的图象向左平移|h|个单位得到的．抛物线y＝a(x－h)2与抛物线y＝ax2之间的关系可见下表：y=ax2(a≠0)向左平移|h|个单位向右平移|h|个单位y=ax2(a＞0)y=a(x－h)2(a＞0，h＜0)y＝a(x－h)2(a＞0，h＞0)y=ax2(a＜0)y=a(x－h)2(a＜0，h＜0)y=a(x－h)2(a＜0，h＞0)知识点2抛物线y＝a(x－h)2(a≠0)的性质抛物线y＝a(x－h)2的对称轴是直线x＝h，顶点坐标为(h，0)．当a＞0时，抛物线的开口向上，在直线x＝h的左侧，抛物线呈下降趋势，在直线x＝h的右侧，抛物线呈上升趋势，顶点是抛物线的最低点．当a＜0时，抛物线的开口向下，在直线x=h的左侧，抛物线呈上升趋势，在直线x＝h 的右侧，抛物线呈下降趋势，顶点是抛物线的最高点．拓展抛物线y＝a(x－h)2的性质与抛物线y＝ax2的性质既有相同点，也有不同点，如下表所示：函数对称轴顶点坐标抛物线的趋势最低(高)点y=ax2y轴(0，)当a＞0时，在对称轴左侧，抛物线呈下降趋势，在对称轴右侧，抛物线呈上升趋势；当a<0时，在对称轴左侧，抛物线呈上升趋势，在对称轴右侧，抛物线呈下降趋势当a＞0时，y＝ax2的图象有最低点(0，0)，y＝a(x－h)2的图象有最低点(h，0)；当a＜0时，y=ax2的图象有最高点(0，0)，y＝a(x－h)2的图象有最高点(h，0)知识点3 二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的性质二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)有如下性质：(1)二次函数y＝a(x－h)2(a＞0)，当x＜h时，y随x的增大而减小，当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＝h时，函数有最小值是0．(2)二次函数y＝a(x－h)2(a＜0)，当x＜h时，y随x的增大而增大，当x＞h时,y随x的增大而减小，当x＝h时，函数有最大值是0．拓展对于二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)图象上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当a＞0时，若|x1－h|＜|x2－h|，则y1＜y2；当a＜0时，若|x1－h|＜|x2－h|，则y1＞y2；而对于任何a≠0，若|x1－h|＝|x2－h|，则y1＝y2．课堂检测基础知识应用题1、在同一直角坐标系中，画出函数y＝－12x2与y＝－12(x－1)2的图象，并根据图象回答下列问题．(1)抛物线y＝－12(x－1)2可以看成是将抛物线y＝－12x2作怎样的平移得到的?(2)求函数y＝－12(x－1)2的图象的对称轴；(3)求函数y＝－12(x－1)2的最值．综合应用题2、二次函数y＝(x－k)2与直线y＝kx(k＞0)的图象在同一直角坐标系中的大致位置是(如图所示) ( )3、已知二次函数y1＝a(x－h)2与直线y2＝kx＋b的图象交于A，B两点，其中A(0，－1)，B(1，0)．(1)求二次函数和直线的解析式，并画出这两个函数的图象；(2)当y1＜y2，y1＝y2，y1＞y2时，分别求出自变量x的取值范围．探索创新题4、如图所示，下列说法正确的是( )A．当y1＜y2时，自变量x的取值范围不能确定B．当y1＜y2时，－1＜x＜3C．当y1＜y2时，－1≤x≤3D．当y1＜y2时，x＜－1或x＞3体验中考1、抛物线y＝－2x2－4x－5经过平移后得到抛物线y＝－2x2，平移方法是( )A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位2、二次函数y＝(x－1)2＋2的最小值是( )A．2 B．1 C．－1 D．－2 学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析用描点法画出图象后，可根据图象回答问题．解：函数y=－12x2与y=－12(x－1)2的图象如图所示．(1)抛物线y＝－12(x－1)2可以看成是将抛物线y＝－12x2向右平移1个单位长度得到的．(2)函数y＝－12(x－1)2的图象的对称轴是直线x＝1．(3)对于函数y＝－12(x－1)2，当x＝1时，y有最大值，最大值是0．【解题策略】本题主要考查二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的图象与性质，要注意与y＝ax2(a≠0)对比学习，从而得出抛物线y＝a(x－h)2(a≠0)与y＝ax2(a≠0)形状相同，只是位置不同的结论．2、分析∵k＞0，∴直线y＝kx经过第一、三象限，而抛物线y＝(x－k)2可以看成是将抛物线y＝x2向右平移k个单位长度得到的．故选B.【解题策略】解决此类问题时，关键是掌握各种函数的性质及图象的特征，再根据已知条件综合考虑问题，从而得出答案．3、分析可先利用待定系数法和方程组的思想求出两个函数的解析式，然后结合图象求出自变量的取值范围．解：(1)∵函数y1＝a(x－h)2与y2＝kx＋b的图象交于A，B两点，∴221(0),0,1,0(1),a h k bba h⎧-=-+=⎧⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩解得1,1,1,1,a kh b=-=⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩∴二次函数的解析式为y＝－(x－1)2，直线的解析式为y＝x－1．图象如图所示．(2)由图象可知，当x＜0或x＞1时，y1＜y2；当x＝0或x＝1时，y1＝y2；当0＜x＜1时，y1＞y2.【解题策略】两个函数的图象交于A，B两点，说明点A和点B同时在两个函数的图象上，可以列出方程组求出字母的值，进而求出函数解析式．4、分析由图象可知，当y1＝y2时，x1＝－1，x2＝3，若抛物线在直线的下方，则对应的自变量的取值范围是一1<x<3。

2.1 二次函数教学目标：（1）能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。

（2）注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯重点难点：能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。

教学过程：一、试一试1.设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积ym2．试将计算结果填写在下表的空格中，2．x的值是否可以任意取?有限定范围吗?3．我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随之确定， y是x的函数，试写出这个函数的关系式，对于1.，可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的BC的长和面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情况，提出问题：(1)从所填表格中，你能发现什么？(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想?让学生思考、交流、发表意见，达成共识：当AB的长为5cm，BC的长为10m时，围成的矩形面积最大；最大面积为50m2。

对于2，可让学生分组讨论、交流，然后各组派代表发表意见。

形成共识，x的值不可以任意取，有限定范围，其范围是0 ＜x ＜10。

对于3，教师可提出问题，(1)当AB=xm时，BC长等于多少m?(2)面积y等于多少?并指出y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10)就是所求的函数关系式．二、提出问题某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。

将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?在这个问题中，可提出如下问题供学生思考并回答：1．商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系?[利润=(售价－进价)×销售量]2．如果不降低售价，该商品每件利润是多少元?一天总的利润是多少元? [10－8=2(元)，(10－8)×100=200(元)]3．若每件商品降价x元，则每件商品的利润是多少元?一天可销售约多少件商品? [(10－8－x)；(100＋100x)]4．x的值是否可以任意取?如果不能任意取，请求出它的范围，[x的值不能任意取，其范围是0≤x≤2]5．若设该商品每天的利润为y元，求y与x的函数关系式。

2.1 二次函数学习目标1、能够表示简单变量之间的二次函数关系2、能够利用尝试求值的方法解决实际问题，如猜测增种多少棵橙子树可以使橙子的总产量最多的问题3、体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.一、【学前提示】提示1：函数定义:在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量.提示2：一次函数形式为y=ax+b形式的函数.其中a、b为常数，且a≠0.一次函数在直角平面坐标系中图象为一条直线.提示3：正比例函数是一次函数的特殊形式.形式为y=ax.其中a为常数，且a≠0.在直角平面坐标系中图象为一条过原点的直线.提示4：反比例函数形如 y＝k／x(k为常数且k≠0) 的函数，叫做反比例函数.自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.反比例函数的图像为双曲线.如图，上面给出了k分别为正和负（2和-2）时的函数图像.当K＞0时，反比例函数图象经过一，三象限，是减函数当K＜0时，反比例函数图象经过二，四象限，是增函数提示5：二次函数的定义：形如cbxaxy++=2（a≠0，a，b，c为常数）的函数为二次函数.二、【方法点拨】点拨1：本节的重点是：表示简单变量之间的二次函数关系.点拨2：本节的难点是利用尝试求值的方法解决实际问题.点拨3：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数.注意：（1）关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数，且a≠0.（2 ）等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.点拨4：银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的.也就是说，利率是一个变量．在我国利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的． 本金：存入银行的钱叫做本金.利息：取款时银行多付的钱叫做利息. 利率：；利息与本金的百分比叫做利率.利息计算公式利息＝本金×利率×时间三、【思路拓展】步骤1：迁移导入：1. 已知函数y m x m =-+-()3328是一次函数，求其解析式. 分析： 利用定义求一次函数y kx b =+解析式时，要保证k ≠0.如本例中应保证m -≠30解：由一次函数定义知m m 28130-=-≠⎧⎨⎩∴=±≠⎧⎨⎩m m 33 ∴=-m 3，故一次函数的解析式为y x =-+33 步骤2：本节课知识巩固1、下列各关系式中，属于二次函数的是(x 为自变量)A.y =81x 2B.y =12-xC.y =21xD.y =a 2x分析：本题考查的是二次函数的定义，一般地，形如y=ax ²+bx+c(a,b,c 是常数,a ≠ 0)的函数叫做x 的二次函数.注意： 关于x 的代数式一定是整式,a,b,c 为常数，且a ≠0.（2 ）等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. 所以答案是A.2.函数y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 是常数)是二次函数的条件是A.a ≠0，b ≠0，c ≠0B.a <0，b ≠0，c ≠0C.a >0，b ≠0，c ≠0D.a ≠0分析：一般地，形如y=ax ²+bx+c(a,b,c 是常数,a ≠ 0)的函数叫做x 的二次函数.注意： 关于x 的代数式一定是整式,a,b,c 为常数，且a ≠0.（2 ）等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.所以答案是D.3．下列函数中，不是二次函数的是（） A ．y=2x 2＋2x B ．y=－x 2+x 3+1C ．y=－x 2+x1+1 D ．y=3－x(2－x) 分析：选项C 中含有x1,所以C 不是二次函数.答案是：C师生互动 共解难题一、【实例讲解】例1某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子.（1）问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？（2）假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？（3）如果果园橙子的总产量为y 个，那么请你写出y 与x 之间的关系式. （4）种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？分析：一定要分析好题意，根据实际情况，当果园的种的橙子树多的时候，每颗的产量也相应的减少.设果园共有（100+x ）棵树，这时表示出每棵树能结多少个橙子，然后算出总的产量从而得到解析式；第四个问题由下表可以得到从左到右依次填，60480，60495，60500，60495，60480，可以猜测当x 逐渐增大时，y 也逐渐增大．当x 取10时，y 取最大值．x 大于10时，y 的值反而减小，因此当增种10棵橙子树时，橙子的总产量最多．解：（1）变量有果园里面的橙子树的棵数，和果园的总产量. （2）果园共有（100+x ）棵树，平均每棵树结（600-5x ）个橙子（3）因此果园橙子的总产量：Y=(100+x)(600-5x)=-5x ²+100x+60000 （4）从左到右依次填，60480，60495，60500，60495，60480，可以猜测当x 逐渐增大时，y 也逐渐增大．当x 取10时，y 取最大例2 (1)对于二次函数y=x 2的图象上两点P （x,y ）、Q （m,n ）：如果x ＜m ＜0,则y n; 如果0＜x ＜m,则y n; 如果是仅有x ＜m ，则能确定y 、n 的大小吗？(2)、对于二次函数y=-x 2的图象上两点P （x,y ）、Q （m,n ）： 如果x ＜m ＜0,则y n; 如果0＜x ＜m,则y n;分析：根据函数y=x 2的增减性：当a>0时,在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而减小；在对称轴右侧,y 随着x 的增大而增大.当x=0时函数y 的值最小.当a<0时，在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而增大；在对称轴的右侧,y 随着x 增大而减小,当x=0时,函数y 的值最大.所以答案是：(1) y > n ， y < n; (2) y < n ，y > n ， 二、【学会总结】总结1：总结2：二次函数y=ax 2的性质1.抛物线y=ax 2的顶点是原点,对称轴是y 轴.2.当a>0时，抛物线y=ax 2在x 轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展； 当a<0时,抛物线y=ax 2在x 轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展. 3.当a>0时,在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而减小；在对称轴右侧,y 随着x 的增大而增大.当x=0时函数y 的值最小.当a<0时，在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而增大；在对称轴的右侧,y 随着x 增大而减小,当x=0时,函数y 的值最大.积累运用 学会创新1.下列不是二次函数的是（ ）当x=0时,最大值为0.当x=0时,最小值为0最值在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而增大. 在对称轴的右侧, y 随着x 的增大而减在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而减小. 在对称轴的右侧, y 随着x的增大而增大.增减性向下向上开口方向 在x 轴的下方( 除顶点外) 在x 轴的上方(除顶点外) 位置 y 轴y 轴对称轴 （0，0） （0，0） 顶点坐标 y= -x 2y=x 2抛物线A ．y=3x 2＋4 B ．y=－31x 2C ．y=52 xD ．y=（x ＋1）（x －2）2.函数y=（m 2-1）·xm2+2m-1是二次函数，m 的值是（ ）A ．m= -3或1B ．m=+1或-1C ．m= -3D ．m=33、.若函数y =(k 2－4)x 2+(k +2)x +3是二次函数，则k ______.4.二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)中，当b =0，c ≠0时，函数表达式为______；当b ≠0，c =0时，函数表达式为______；当b =c =0时，函数表达式为______.5.在边长为6 cm 的正方形中间剪去一个边长为x cm(x <6)的小正方形，剩下的四方框形的面积为y ，y 与x 之间的函数关系是______.6.小立存入银行人民币500元，年利率为x %，两年到期，本息和为y 元(不含利息税)，y 与x 之间的函数关系是_______，若年利率为6%，两年到期的本利共______元.7．下列函数不属二次函数的是A.y =(x －1)(x +2)B.y =21(x +1)2C.y =2(x +3)2－2x 2D.y =1－3x 2拓展尝新 突破自我8．已知函数y =(m 2－m )x 2+(m －1)x +m +1. (1)若这个函数是一次函数，求m 的值;(2)若这个函数是二次函数，则m 的值应怎样？9．如图，一块草地是长80 m 、宽60 m 的矩形，欲在中间修筑两条互相垂直 的宽为x m 的小路，这时草坪面积为y m 2.求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值 范围.10.正方形的边长为1 cm ，假设边长增加x cm 时，正方形的面积增加y cm 2.(1)请写出y 与x 之间的关系表达式;(2)当正方形边长分别增加1 cm ，3 cm ，2 cm 时，正方形的面积增加多少？参考答案积累运用学会创新1、分析：因为选项C中含有5所以C不是二次函数；故答案是C.2x，2、分析：由题意得m2-1≠0，所以m≠1或m≠-1,由 m2+2m-1=2得m=-3或1故，本题答案是C.3、分析：由题意得k2－4≠0，所以答案是k≠2，k≠-24、y=ax2+c y=ax2+bx y=ax25、大正方形的面积为36，剪掉的部分是x2所以y=36 -x2 (x<6)6、分析：设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果存款额是500元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)：y=500（1+x）2=500x2+1000 x+500.所以本题答案是：y=500x2+1000 x+500 、561.87、分析：选项C经过化简以后不含有二次项了，所以答案是C.拓展尝新突破自我8、分析：要是一次函数则使二次项系数等于零，一项系数不能等于零，要使函数是二次函数，则使二次项系数不能等于零就行了.解：(1)∵m2－m=0，∴m=0或m=1.∵m－1≠0，∴当m=0时，这个函数是一次函数.(2)∵m2－m≠0，∴m1=0，m2=1.则当m1≠0，m2≠1时，这个函数是二次函数.9.分析：可以用割补法，草坪的面积可以看成个长方形，这个长方形的长是(80－x)m，,宽是(60－x)m;所以本题的答案是：解：y=(80－x)(60－x)=x2－140x+4800(0≤x＜60).10、解：(1)y=(x+1)2－1,∴y=x2+2x.(2)当x=1时，y=3;当x=3时，y=3+23当x=2时，y=8.。

九年级数学（下）二次函数所描述的关系导学案（2.1）编写人_康丽娟 审核人：九年级数学组班级：_______ 姓名：________ 一、学习目标1、经历探索和表示两个变量之间的函数关系的过程，从中体会二次函数是描述现实世界数量关系的重要数学模型。

2、理解二次函数的概念，会表示简单变量之间的二次函数关系。

二、温故知新1、什么是函数？2、什么叫做一次函数？3、什么叫做反比例函数？4、函数有哪些表示方法？三 、自主探究(1)设正方形的边长为a ，面积为s ，则s 与a 之间的关系式为＿＿＿; (2)填表：x 1 2 3 4 5 … 100 … y251017……你能根据上表的规律，写出y 与x 之间的关系式吗？(3)银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的,也就是说，利率是一个变量.在我国,利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的.设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款是100元,那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税).想一想①S=a² ② y=x²+1 ③ y=100x²+200x+100. （1）上述三个表达式是函数吗？是我们以前学过的函数吗？ （2）上述函数有何共同特征呢？ 二次函数的概念：一般地,形如 ___________________________________ 的函数叫做x 的二次函数.注意：(1)关于x 的代数式一定是整式,a,b,c 为常数,且a ≠0.(2)等式右边自变量的最高次数为2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项. (3)二次函数y=ax²+bx+c(a,b,c 是常数,a ≠0)还有以下几种特殊表示形式:①y=ax ² --------- (a ≠0,b=0,c=0,). ②y=ax²+c ------ (a ≠0,b=0,c ≠0). ③y=ax²+bx ---- (a ≠0,b ≠0,c=0).做一做：某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子。

§2.1 二次函数的概念【学习目标】1．经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系；2．探索并归纳二次函数的定义；3．能够表示简单变量之间的二次函数关系。

【学习重点】掌握二次函数的概念并能利用概念解答相关的题型。

【课时类型】概念课 【学习过程】 一、学习准备1．函数的定义：在某个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值，那么我们称 是 的函数，其中 是自变量， 是因变量。

2．一次函数的关系式为y= (其中k 、b 是常数，且k≠0)；正比例函数的关系式为y ＝ (其中k 是 的常数)；反比例函数的关系式为y= (k 是 的常数)。

二、解读教材——数学知识源于生活1．用16m 长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为 。

分析：在这个问题中，可设长方形生物园的长为x 米，则宽为 米，如果将面积记为y 平方米，那么y 与x 之间的函数关系式为y = ，整理为y = .2.n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________． 猜想出二次函数的定义及一般形式吗？一般地，形如y ＝ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0)的函数叫做x 的二次函数。

它就是二次函数的一般形式，理解并熟记几遍。

例1 下列函数中，哪些是二次函数？并指出的a,b,c 的值？ (1)2321x y +-= (2)112+=x y(3)x y 222+=(4)251t t s ++= (5)22)3(x x y -+= (6)210r s π=即时练习：下列函数中，哪些是二次函数?并指出的a,b,c 的值？ (1)2x y = (2)252132+-=x x y(4)1132--=）（x y (5)cax y -=2(6)12+=x s三、挖掘教材对二次函数定义的深刻理解及运用 例2 若函数1232++=+-kx x y k k是二次函数，求k 的值。