格林公式曲线积分与路径无关的条件

第二十一章 重积分3格林公式、曲线积分与路线的无关性一、格林公式概念：当区域D 的边界L 由一条或几条光滑曲线所组成时，规定边界曲线的正方向为：当人沿边界行走时，区域D 总在他的左边. 与正方向相反的方向称为负方向，记为-L.定理21.11：若函数P(x,y), Q(x,y)在闭区域D 上连续，且有连续的一阶偏导数，则有格林公式：⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎰+L Qdy Pdx . L 为区域D 的边界曲线，并取正方向.证：根据区域D 的不同形状，可分三种情形来证明： (1)若区域D 既是x 型区域，又是y 型区域(如图1)，即 平行于坐标轴的直线和L 至多交于两点，该区域D 可表示为： φ1(x)≤y ≤φ2(x), a ≤x ≤b 或ψ1(x)≤x ≤ψ2(x), c ≤y ≤d.这里y=φ1(x)和y=φ2(x)分别为曲线⌒ACB 和⌒AEB 的方程, x=ψ1(x)和x=ψ2(x) 分别为曲线⌒CAE 和⌒CBE的方程, ∴⎰⎰∂∂Dd x Qσ=⎰⎰∂∂)()(21y y d c dx x Q dy ψψ=⎰d c dy y y Q )),((2ψ-⎰d c dyy y Q )),((1ψ=⎰⋂CBE dy y x Q ),(-⎰⋂CAE dy y x Q ),(=⎰⋂CBE dy y x Q ),(+⎰⋂EAC dy y x Q ),(=⎰L dy y x Q ),(.同理可证：-⎰⎰∂∂Dd y Pσ=⎰L dx y x P ),(. 即有⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎰+L Qdy Pdx . (2)若区域D 是一条按段光滑的闭曲线围成(如图2)，则先用几段光滑曲线将D 分成有限个既是x 型又是y 型的子区域，然后逐块按(1)得到它们的格林公式，相加即可.图2中区域D 可分成三个既是x 型又是y 型的区域D 1,D 2,D 3，则有⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂1D d y P x Q σ+⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂2D d y P x Q σ+⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂3D d y P x Q σ =⎰+1L Qdy Pdx +⎰+2L Qdy Pdx +⎰+3L Qdy Pdx =⎰+L Qdy Pdx.(3)若区域D 由几条闭曲线所围成(如图3)， 可适当添加直线AB, CE,把区域转化为(2)的情况处理.图D 的边界线由AB,L 2,BA,⌒AFC ,CE,L 3,EC 及⌒CGA构成. 由(2)知 ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋂⋂CGA EC l CE AFCBA l AB32(Pdx+Qdy)=()⎰⎰⎰++132L L L (Pdx+Qdy)=⎰+L Qdy Pdx .注：格林公式可写为：⎰⎰∂∂∂∂Dd QP y x σ=⎰+L Qdy Pdx .例1：计算⎰AB xdy ，其中曲线AB 为半径为r 的圆在第一象限部分. 解：如图，对半径为r 的四分之一圆域D 应用格林公式有⎰⎰-D d σ=⎰-L xdy =⎰OA xdy +⎰AB xdy +⎰BO xdy =⎰AB xdy . ∴⎰AB xdy =⎰⎰-Dd σ=-41πr 2.例2：计算I=⎰+-Ly x ydxxdy 22, 其中L 为任一不包含原点的闭区域的边界线.解：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂22y x x x =22222)(y x x y +-, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂22y x y y =22222)(y x x y +- 在上述区域D 上连续且有界，∴⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂Dd yx yx y x x x σ2222=0. 由格林公式可得I=0.注：在格林公式中，令P=-y, Q=x ，则得到一个计算平面区域D 的面积S D 的公式：S D =⎰⎰Dd σ=⎰-L ydx xdy 21.例3：如图，计算抛物线(x+y)2=ax (a>0)与x 轴所围的面积.解：曲线⌒AMO由函数y=x ax -, x ∈[0,a]， 直线OA 为直线y=0， ∴S D =⎰-ydx xdy 21=⎰-OA ydx xdy 21+⎰⋂-AMO ydx xdy 21=⎰⋂-AMO ydx xdy 21=dx x ax ax ax a ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0)(1221=dx ax a ⎰-02121=dx x a a⎰4=62a .二、曲线积分与路线的无关性概念：若对于平面区域D 上任一封闭曲线，皆可不经过D 以外的点而连续收缩于属于D 的某一点，则称此平面区域为单连通区域，否则称为复连通区域。

格林公式积分与路径无关的条件格林公式听起来像是高深莫测的数学魔法，但其实它也挺有趣的，咱们就从最基础的开始聊聊吧。

想象一下你在一个阳光明媚的日子，跟朋友一起在公园散步，手里还拿着冰淇淋。

这时候，突然你发现了一条小路，旁边的小河波光粼粼，真是让人心情大好。

格林公式就像这条小路，帮助我们在平面上计算一些有趣的东西，像是区域的面积，流动的水，或者是风的方向。

说到这里，咱们得先弄明白“路径无关”的意思。

简单说，就是不管你走哪条路，最后的结果都是一样的。

就像你去朋友家，不管你是走左边的街，还是右边的巷子，最终都能到达。

是不是很酷？在数学的世界里，如果你能找到一个这样“稳稳的”路径，那就意味着你可以轻松搞定积分问题，不用担心那些弯弯绕绕的曲线。

就像你选择吃冰淇淋的口味，巧克力还是草莓，结果都是美味的。

咱们得提到格林公式的前提条件。

哎，听起来好像有点复杂，其实就是要确保你所研究的区域是“简单”的，没什么奇怪的洞或者尖尖的角。

就像你在家里打扫卫生，只有地面干净，才能找到丢失的钥匙。

如果你的区域里有缺口，那就得小心翼翼，积分的结果可能就跟你想象的完全不同。

记住，别让复杂的形状把你搞晕了。

干净利落的区域才能给你带来清晰的答案。

除了区域的整洁，曲线的光滑也是非常重要的。

想象一下，如果你在河边骑自行车，结果发现路上满是坑坑洼洼，你肯定骑得晃晃荡荡的，没法顺利前进。

格林公式也一样，它希望你走的路径是平滑的，没有尖锐的转弯。

否则，你的计算可能会像骑在不平坦的路上，得不偿失。

哎，这就好比你跟朋友约好了一起去吃饭，结果她半路上停下来购物，那你肯定得在外面等得无聊透顶。

说到底，格林公式的美妙之处在于它能把复杂的事物简化成简单的计算。

就像在厨房做饭，材料繁多的时候，能找到一个万能的调味料，那真是省时又省力。

使用格林公式，你就可以把多条曲线的积分问题转化为简单的区域积分，一举两得。

是不是很爽快？数学的魅力就在于，它能把看似复杂的东西变得明了，像剥开洋葱一样，层层解开。

格林公式的推导
格林公式是一个重要的数学定理，它建立了平面区域上的二重积分与其边界曲线的曲线积分之间的关系。

以下是格林公式的推导过程：
第一步，设D是一个简单封闭曲线围成的平面区域，函数$P(x,y)$和$Q(x,y)$在
D上具有一阶连续偏导数。

第二步，根据曲线积分和路径无关的条件，我们知道，如果存在一个函数$f(x,y)$，使得$Pdx + Qdy = f(x,y)ds$，其中$ds$是曲线D上的弧长，则曲线积分$\int_{L} Pdx + Qdy$与路径无关。

第三步，根据二重积分的性质，我们知道如果存在一个函数$f(x,y)$，使得$Pdx + Qdy = f(x,y)ds$，则$\int_{D} (Pdx + Qdy) = \int_{D} f(x,y)dxdy$。

第四步，根据第一步和第二步，我们可以得到$\int_{L} Pdx + Qdy = \int_{D} f(x,y)dxdy$。

这就是格林公式的推导过程。

需要注意的是，格林公式只适用于封闭曲线围成的区域。

如果区域不是封闭的，需要添加额外的边界条件或者采用其他方法进行处理。