用冲量定理法解常微分方程

常微分方程的解法总结前言常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）是研究一阶或高阶导数与未知函数之间关系的数学方程。

在物理学、工程学和计算机科学等领域，常微分方程扮演着重要的角色。

解决常微分方程是这些领域中许多问题的关键。

本文将总结常用的常微分方程解法方法，帮助读者加深对常微分方程的理解并提供解决问题的思路。

一、可分离变量法可分离变量法是一种常见且简单的求解常微分方程的方法。

它适用于形如dy/dx = f(x)g(y)的一阶常微分方程。

解题思路：1.将方程写成dy/g(y) = f(x)dx的形式，将变量进行分离。

2.两边同时积分得到∫(1/g(y))dy = ∫f(x)dx。

3.求出积分后的表达式，并整理得到解 y 的表达式。

使用这种方法解决常微分方程的步骤相对简单，但要注意确认分母不为零以及选取合适的积分常数。

二、特殊方程类型的求解除了可分离变量法，常微分方程还存在一些特殊的方程类型，它们可以通过特定的方法进行解决。

1. 齐次方程齐次方程是指形如dy/dx = F(y/x)的方程。

其中，F(t) 是一个只有一个变量的函数。

解题思路：1.令 v = y/x，即 y = vx。

将方程转化为dy/dx = F(v)。

2.对于dv/dx = F(v)/x这个方程，可以使用分离变量法进行求解。

3.求出 v(x) 后，将其代入 y = vx 得到完整的解。

2. 齐次线性方程齐次线性方程是指形如dy/dx + P(x)y = 0的方程。

解题思路：1.使用积分因子法求解，将方程乘以一个积分因子，使得左边变成一个可积的形式。

2.求积分因子的方法是根据公式μ = e^(∫P(x)dx)，其中 P(x) 是已知的函数。

3.通过乘积的方式求解完整的方程。

3. 一阶线性常微分方程一阶线性常微分方程是指形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的方程。

解题思路：1.使用积分因子法，将方程乘以一个积分因子，使得左边变成一个可积的形式。

如何求解常微分方程求解常微分方程是微积分中的重要内容，常微分方程是描述未知函数与其导数之间关系的方程。

常微分方程的求解方法有多种，下面我将从多个角度进行全面的回答。

1. 分离变量法，对于可分离变量的一阶常微分方程，可以通过将变量分离并进行积分来求解。

首先将方程中的未知函数和导数分离到方程的两侧，然后进行变量的移项和积分，最后得到未知函数的表达式。

2. 齐次方程法，对于一阶常微分方程，如果可以通过变量的替换将其转化为齐次方程，即方程中的未知函数和导数的比值只与自变量有关，可以使用齐次方程法求解。

通过引入新的变量替换和代换，将齐次方程转化为可分离变量的形式，然后进行求解。

3. 线性方程法，对于一阶线性常微分方程，可以使用线性方程法求解。

线性方程的特点是未知函数和其导数的一次项系数是常数，通过引入一个积分因子，将线性方程转化为可积分的形式，然后进行求解。

4. 变量替换法，对于某些形式复杂的常微分方程，可以通过引入新的变量替换，将其转化为更简单的形式，然后进行求解。

常见的变量替换包括令导数等于新的变量，令未知函数等于新的变量的幂函数等。

5. 微分方程的特殊解法，对于一些特殊的常微分方程，可以使用特殊解法求解。

例如，对于一些常见的一阶常微分方程，如指数函数、对数函数、三角函数等形式，可以直接猜测其特殊解，然后验证是否满足原方程。

6. 数值解法，对于一些无法通过解析方法求解的常微分方程，可以使用数值解法进行近似求解。

常见的数值解法包括欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等，这些方法将微分方程转化为差分方程，通过迭代计算得到近似解。

总结起来，求解常微分方程的方法包括分离变量法、齐次方程法、线性方程法、变量替换法、特殊解法和数值解法。

根据不同的常微分方程形式和条件，选择合适的方法进行求解。

希望这些解答对你有帮助。

北京理工大学微积分-常微分方程解法常微分方程各种解题方法程功2011/2/161.几个基本定义（1）微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.分类1: 常微分方程： 未知函数为一元函数 偏微分方程： 未知函数为多元函数分类2:微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之. 一阶微分方程(,,)0,F x y y '=(,);y f x y '=高阶()n 微分方程()(,,,,)0,n F x y y y '= ()(1)(,,,,).n n y f x y y y -'=分类3: 线性与非线性微分方程.()(),y P x y Q x '+=2()20;x y yy x ''-+=分类4: 单个微分方程与微分方程组.32,2,dyy z dxdz y z dx⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（2）微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之.微分方程的解的分类：① 通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.,y y '=例;x y Ce =通解0,y y ''+=12sin cos ;y C x C x =+通解② 特解: 确定了通解中任意常数以后的解. （3）解的图象: 微分方程的积分曲线. 通解的图象: 积分曲线族.（4）初始条件: 用来确定任意常数的条件. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.一阶:00(,)x x y f x y y y ='=⎧⎪⎨=⎪⎩过定点的积分曲线;二阶:0000(,,),x x x x y f x y y y y y y =='''=⎧⎪⎨''==⎪⎩过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.2.可分离变量的微分方程可分离变量微分方程的形式()()g y dy f x dx =44225522,dy x y y dy x dx dx-=⇒=例如解法：设函数()g y 和()f x 是连续的,()()g y dy f x dx =⎰⎰设函数()G y 和()F x 是依次为()g y 和()f x 的原函数,()()G y F x C =+为微分方程的解.3.齐次方程形如()dy yf dx x=的微分方程称为齐次方程. 解法：作变量代换,y u x =,y xu =即,dy duu x dx dx∴=+ 代入原式(),du u x f u dx += 即().du f u u dx x-=（可分离变量的方程） （1）()0,f u u -≠当时1ln ,()duC x f u u=-⎰得),u x Ce ϕ=即()()du u f u uϕ=-⎰（）,yu x =将代入(),yx x Ce ϕ=得通解 （2）0,u ∃当00()0,f u u -=使0,u u =则是新方程的解,代回原方程0.y u x =得齐次方程的解 4．可化为齐次的方程 定义111()dy ax by cf dx a x b y c ++=++形如的微分方程 10,c c ==当时为齐次方程.否则为非齐次方程. 解法：,x X h y Y k =+=+令，（其中h 和k 是待定的常数）,dx dX dy dY ==11111()dY aX bY ah bk c f dX a X b Y a h b k c ++++=++++1110,0,ah bk c a h b k c ++=⎧⎨++=⎩ （1）1122a b a b ≠有唯一一组解.11()dY aX bYf dX a X b Y +=+得通解代回,X x h Y y k =-⎧⎨=-⎩， （2）11,a b a b λ==1(),()dy ax by c f dx ax by c λ++=++方程可化为,z ax by =+令 dz dy a b dx dx =+则，11()().dz z c a f b dx z c λ+-=+可分离变量. 5.其它类型：通过变量代换化为可分离变量方程(1)()()()f x y dx dy g x dx ±±=,u x y =±令,du dx dy =±方程化为()()f u du g x dx = (2)()()()f xy xdy ydx g x dx +=,u xy =令,du xdy ydx =+代入方程得()()f u du g x dx =(3)()()()y f xdy ydx g x dx x -=,y u x =令则2,xdy ydx du x -=代入方程得2()()g x f u du dx x=22(4)()()()f x y xdx ydy g x dx ++=22,u x y =+令 则22,du xdx ydy =+代入方程得()2()f u du g x dx =6.线性方程一阶线性微分方程的标准形式:()()dyP x y Q x dx+= ()0,Q x ≡当上方程称为齐次的.()Q x ≡当0,上方程称为非齐次的. 例如2,dy y x dx =+2sin ,dx x t t dt=+线性的; 23,yy xy '-=cos 1,y y '-=非线性的。

大一常微分方程一知识点总结本文档旨在总结大一常微分方程一课程中的主要知识点，帮助同学们复和回顾相关内容。

1. 什么是微分方程微分方程是一个含有未知函数及其导数的方程。

它通常用于描述自然现象中包含变化速率的问题，如物理、工程和经济等领域。

2. 常见的常微分方程类型常微分方程可以分为以下几类：- 一阶常微分方程：只涉及一阶导数的方程。

常见的一阶方程包括分离变量方程、线性方程和齐次方程等。

- 二阶常微分方程：涉及二阶导数的方程。

常见的二阶方程包括常系数二阶齐次方程和非齐次方程等。

3. 常微分方程的解法常微分方程的解法主要有以下几种：- 分离变量法：将方程的未知函数与其导数分开，将方程变为两个可积的方程，再进行求解。

- 变量替换法：通过合适的变量替换，将原方程转化为可以更容易求解的形式。

- 齐次方程的解法：通过适当的变量替换，使得方程变为可以分离变量的形式，然后利用分离变量法求解。

- 常系数二阶齐次方程的解法：通过对方程进行特征根分析，得到方程的通解。

- 非齐次方程的解法：通过求解对应的齐次方程的通解和非齐次方程的特解，得到非齐次方程的通解。

4. 常微分方程的应用常微分方程在各个领域都有广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：- 物理学：常微分方程可以用于描述物理系统的运动规律，如牛顿运动定律、电路中的电流变化等。

- 工程学：常微分方程可以用于描述工程问题中的变化和变化率，如电路中的电压变化、机械系统的振动等。

- 经济学：常微分方程可以用于描述经济系统中的变化和变化率，如经济增长模型、人口增长模型等。

以上是对大一常微分方程一课程的主要知识点的简要总结，希望能够为同学们的学习提供一些帮助和参考。

目 录摘 要 .............................................................. I 关键词 ............................................................. I Abstract ............................................................. I Key words ........................................................... I 1.前 言 ............................................................ 1 2.常微分方程的求解方法 .............................................. 1 2.1常微分方程变量可分离类型解法 ................................... 1 2.1.1直接可分离变量的微分方程 ................................... 2 2.1.2可化为变量分离方程 ......................................... 2 2.2常数变易法 ..................................................... 7 2.2.1一阶线性非齐次微分方程的常数变易法 ......................... 7 2.2.2一阶非线性微分方程的常数变易法 ............................. 8 2.3积分因子法 .................................................... 13 3.实例分析说明这几类方法间的联系及优劣 ............................ 14 3.1几个重要的变换技巧及实例 .. (15)3.1.1变dx dy 为dy dx................................................15 3.1.2分项组合法组合原则 ........................................ 16 3.1.3积分因子选择 .............................................. 17 参考文献 .......................................................... 18 致 谢 (19)常微分方程初等解法及其求解技巧摘要常微分方程是微积分学的重要组成部分，广泛用于具体问题的研究中.求解常微分的问题，常常通过变量分离、两边积分，如果是高阶的则通过适当的变量代换，达到降阶的目的来解决问题.本文就是对不同类型的常微分方程的解法及其求解技巧的系统总结：先介绍求解常微分方程的几种初等解法，如变量分离法，常数变易法，积分因子法等，在学习过程中，通过对不同类型的方程求解，揭示常微分方程的求解规律.然后介绍几类方程求解中的变换技巧及规律，并通过实例来分析这几类方法之间的联系及优劣，从而能快速的找到最佳解法.关键词变量分离法常数变易法积分因子变换技巧Elementary Solution and Solving Skills of Ordinary DifferentialEquationAbstractOrdinary differential equations are important components of calculus and used extensively for the studies on specific issues. Ordinary differential equations are often resolved by the means of variable separation and both sides integral. If they are higher-order ones, we can reduce their order by proper variable substitution to solve this problem. This essay aims at concluding systematically the methods of different types of differential equations and its resoling skills. First of all, I’d would like to introduce several basic resolutions of differential equations, such as variable separation, constant threats, points factor, etc. In the process of learning, I’d like to reduce the law of resolving ordinary differential equations by resolving different types of equations. Then, we describe several equations resolutions and for transformation techniques and its laws, and we also analyze the advantages and disadvantages and connections by using the examples of these methods to be able to find the best solution quickly.Key wordsVariable separation; constant threats; points factor; transform techniques1.前 言数学发展的历史告诉我们，300年来数学分析是数学的首要分支，而微分方程又是数学分析的心脏，它还是高等分析里大部分思想和理论的根源.人所共知，常微分方程从它产生的那天起, 就是研究自然界变化规律、研究人类社会结构、生态结构和工程技术问题的强有力工具.它的发展历史也是跟整个科学发展史大致同步的.现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性质的研究、化学反应稳定性的研究等.这些问题都可以转化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题.常微分方程具有广泛的社会实践性，无论是在各类学科领域上，还是在实际生产生活中，都有举足轻重的作用．它所涉及范围之广，致使前人对它做了很深入的研究．应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它现有的理论也还远远不能满足需要，还有待进一步的发展，使这门学科的理论更加完善.微分方程是表达自然规律的一种自然的数学语言.它从生产实践与科学技术中产生，而又成为现代科学技术中分析问题与解决问题的一个强有力的工具.人们在探求物质世界某些规律的过程中，一般很难完全依靠实验观测认识到该规律，反而是依照某种规律存在的联系常常容易被我们捕捉到，而这种规律用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程，而一旦求出方程的解，其规律则一目了然.所以我们必须能够求出它的解.常微分方程的初等解法,既是常微分方程理论中有自身特色的部分，也与实际问题密切相关；恰当对初等解法进行归类，能正确而又敏捷地判断一个给定的方程属于何种类型，从而能按照所介绍的方法进行分解.总之，常微分方程属于数学分析或基础数学的一个组成部分，在整个数学大厦中占据这重要位置，学好常微分方程基本理论与方法对进一步学习研究数学理论与实际应用均非常重要，因此本文对常微分方程的初等解法进行了简要归纳和分析，主要讨论变量分离方程，非恰当微分方程，线性微分方程，同时结合具体的实例，展示了初等解法在解题过程中的应用及其求解过程中的变换技巧和律. 2.常微分方程的求解方法2.1常微分方程变量可分离类型解法定义 1 如果一阶微分方程具有形式)()(y g x f dx dy=，则该方程称为可分离变量微分方程.若设0)(≠y g ，则可将方程化为dx x f y g dy)()(=.即将两个变量分离在等式两端.其特点是：方程的一端只含有y 的函数与dy ，另一端只含有x 的函数与dx .对于该类程，我们通常采用分离变量的方法来处理。

常微分方程常见形式及解法在数学的广袤领域中，常微分方程是一个极其重要的分支，它在物理学、工程学、经济学等众多领域都有着广泛的应用。

简单来说，常微分方程就是含有一个自变量和未知函数及其导数的方程。

接下来，让我们一起深入探讨常微分方程的常见形式以及相应的解法。

一、常微分方程的常见形式1、一阶常微分方程可分离变量方程：形如$dy/dx ＝ f(x)g(y)＄的方程，通过将变量分离，将其化为$＼frac{dy}｛g(y)｝＝f(x)dx$，然后两边分别积分求解。

齐次方程：形如$dy/dx ＝ F(y/x)＄的方程，通过令$u ＝ y/x$，将其转化为可分离变量的方程进行求解。

一阶线性方程：形如$dy/dx ＋ P(x)y ＝ Q(x)＄的方程，使用积分因子法求解。

2、二阶常微分方程二阶线性常微分方程：形如$y'＇＋ p(x)y' ＋ q(x)y ＝ f(x)＄的方程。

当$f(x) ＝ 0$时，称为二阶线性齐次方程；当$f(x) ≠ 0$时，称为二阶线性非齐次方程。

常系数线性方程：当$p(x)＄和$q(x)＄都是常数时，即$y'＇＋ py'＋ qy ＝ f(x)＄，这种方程的解法相对较为固定。

二、常微分方程的解法1、变量分离法这是求解一阶常微分方程的一种基本方法。

对于可分离变量的方程，我们将变量分别放在等式的两边，然后对两边进行积分。

例如，对于方程$dy/dx ＝ x/y$，可以变形为$ydy ＝ xdx$，然后积分得到$＼frac{1}｛2}y^2 ＝＼frac{1}｛2}x^2 ＋ C$，从而解得$y ＝＼pm ＼sqrt{x^2 ＋2C}＄。

2、齐次方程的解法对于齐次方程$dy/dx ＝ F(y/x)＄，令$u ＝ y/x$，则$y ＝ ux$，＄dy/dx ＝ u ＋ x(du/dx)＄。

原方程可化为$u ＋ x(du/dx) ＝ F(u)＄，这就变成了一个可分离变量的方程，从而可以求解。

如何求解常微分方程？常数变易法、积分因子法，函数变换法。

大致与微积分同时产生。

事实上，求y′＝f(x)的原函数问题便是最简单的微分方程。

I.牛顿本人已经解决了二体问题：在太阳引力作用下，一个单一的行星的运动。

他把两个物体都理想化为质点，得到3个未知函数的3个二阶方程组，经简单计算证明，可化为平面问题，即两个未知函数的两个二阶微分方程组。

用现在叫做“首次积分”的办法，完全解决了它的求解问题。

17世纪就提出了弹性问题，这类问题导致悬链线方程、振动弦的方程等等。

总之，力学、天文学、几何学等领域的许多问题都导致微分方程。

在当代，甚至许多社会科学的问题亦导致微分方程，如人口发展模型、交通流模型……。

因而微分方程的研究是与人类社会密切相关的。

当初，数学家们把精力集中放在求微分方程的通解上，后来证明这一般不可能，于是逐步放弃了这一奢望，而转向定解问题：初值问题、边值问题、混合问题等。

但是，即便是一阶常微分方程，初等解(化为积分形式)也被证明不可能，于是转向定量方法（数值计算）、定性方法，而这首先要解决解的存在性、唯一性等理论上的问题。

方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。

这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。

但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。

比如：物质在一定条件下的运动变化，要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等。

物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个未知函数。

也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求一个或者几个未知的函数。

常微分方程公式解的定理常微分方程是数学中的一种重要的方程类型，广泛应用于物理学、工程学、生物学等领域。

解常微分方程是解决实际问题的关键步骤之一。

在求解常微分方程时，我们可以利用常微分方程公式解的定理来得到方程的解析解。

常微分方程公式解的定理是基于解微分方程的理论基础，它将常微分方程的解表示为一个通解的形式。

常微分方程的通解是指包含所有特解的解的集合。

常微分方程公式解的定理给出了一般形式的通解，通过确定特定的常数值来得到特解。

常微分方程公式解的定理可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程两种情况来讨论。

对于一阶常微分方程，我们可以利用常微分方程公式解的定理将其解表示为一个一般的形式。

一阶常微分方程的一般形式为dy/dx = f(x)，其中f(x)为已知函数。

根据常微分方程公式解的定理，我们可以将其解表示为y = F(x) + C，其中F(x)为f(x)的一个原函数，C为常数。

这个解表示了一阶常微分方程的通解，通过确定常数C的值，我们可以得到特解。

对于高阶常微分方程，常微分方程公式解的定理也同样适用。

高阶常微分方程的一般形式为d^n y/dx^n = f(x)，其中f(x)为已知函数，n为正整数。

根据常微分方程公式解的定理，我们可以将其解表示为y = F(x) + C1x + C2x^2 + ... + Cnx^n，其中F(x)为f(x)的一个原函数，C1、C2、...、Cn为常数。

这个解表示了高阶常微分方程的通解，通过确定常数C1、C2、...、Cn的值，我们可以得到特解。

常微分方程公式解的定理在解决实际问题中起着重要的作用。

通过将常微分方程表示为通解的形式，我们可以根据实际问题的边界条件确定常数的值，从而得到具体的解。

这种解析解不仅可以帮助我们理解问题的本质，还可以提供更精确的结果。

常微分方程公式解的定理是解常微分方程的基本工具之一。

它将常微分方程的解表示为一个通解的形式，通过确定常数的值来得到特解。

§37.1 冲量定理法
定解问题2000(,)||0||0tt xx x x l t t t u a u f x t u u u u ====⎧-=⎪==⎨⎪==⎩
(,)(,)/f x t F x t ρ= 作用于弦上单位长度单位质量上的力。

力(,)f x t 持续作用于整个系统，对(,)u x t 的影响是0—t 时刻的作用的累加，注意到： 0(,)(,)()t
f x t f x t d τδττ=-⎰。

考虑到泛定方程和定解条件的线性性，则方程的解应是由瞬时力引起的振动的累加。

即0(,)(,,)t
u x t v x t d ττ=⎰（这里要求初始条件为零，因为我们只考虑了时刻t=0之后的瞬时力的作用）其中：
22(,)()00t 00000(,)()(,)()||0||0||0||0tt xx tt xx f x t x x l x x l t t t t t t v a v f x t v a v f x t v v v v v v v v τδτττττδττδτ-=====-===-=-⎧⎧-=--=-⎪⎪==⇒==⎨⎨⎪⎪====⎩⎩
由于直到时刻仍未起作用对泛定方程从00ττ-→+积分有2000||(,,)0(,)2
t t xx v v a v x f x τττττ+---+⨯=即 0|(,)t t v f x ττ=+=考虑到(,)()f x t t δτ-从0t τ=+开始不再起作用，因此
若将初始时刻取0t τ=+，则有()
2000000,,tt xx x x l t t t a f x ττυυυυυυτ===+=+⎧-=⎪⎪==⎨⎪==⎪⎩ 求出该自由振动的(),,x t υτ，然后再进行叠加。