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用矩阵列初等变换法求解非齐次线性方程组摘要:利用矩阵的初等列变换解非齐次线性方程组,这种方法在许多情况下应用起来比较方便.本文给出了一个命题，对于任意的矩阵C，对其做初等列变换，变成一个两部分的分块矩阵，左边是列满秩的子块，右边是零矩阵，对于一个单位矩阵做同样的初等列变换，右边将是其次线性方程组CX=0的基础解系.在此命题的基础上，可以用初等列变换来求解线性代数的许多计算题，也可以证明一些线性代数的定理.本文还将揭示，在求解非齐次线性方程组的时候，矩阵的列变换方法更加容易学习，更容易理解.关键词: 矩阵; 初等列变换; 线性方程组To solve linear equation using matrix elementary columu vary Abstract :To solve linear equation using mat rix elementary column vary, this method is very convenient under different circumstances. This paper gives and proofs a theorem,for any matrix C, do elementary column operations, chang it to a matrix which is partitioned to two submatrices which left one is column full rank and right one is zero matrix. Then do same elementary column operations to a unit matrix with same column number as C, and do some partition to the result, then right submatrix of it, is just basic solution set of homogeneous linear equation CX=0. On the basic of the theorem, lots of problems of linear algebra can be resolved and lots of theorems can be proofed by elementary column operations. The paper will reveal that them will not easy to learn and to program and to proof something as techniques giving by the paper.Key words : mat rix ; elementary column vary ;linear equation.0 引言非齐次线性方程组的求解是线性代数这门学科中不容忽视的内容，但教材中给出的方法多是用矩阵的初等行变换法求解，这种方法在很多时候显得费力.有没有想过在求解非齐次线性方程组的时候对增广矩阵（A ，b ）做一系列的初等列变换来得到方程组的解.本文将完全用初等列变换求解线性代数中许多计算问题，从理论上看，我们可以在完全不用行变换技术的前提下求解，这种方法是可行的，而且效果更好.1 用矩阵的列变换求解非齐次线性方程组的理论基础定义1 对于一个矩阵A ，我们在它的行和列之间加上一些线，把这个矩阵分成若干小块，用这种方法分成若干小块的矩阵A 叫做一个分块矩阵. 定义2 一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫做这个矩阵的秩.定义3 设A 是n 阶方阵，如果存在n 阶方阵B 使得AB =n I 成立，那么A 称为B 的可逆矩阵.定义4 把n 阶单位矩阵进行初等行（列）变换后得到的矩阵称为初等方阵. 定义5 设1a ，2a ，…，r a 是F 上向量空间V 的r 个向量，只有当1k =2k =……=r k =0时，1k 1a +2k 2a +……+r k r a =0成立，那么就称向量1a ，2a ，……，r a 线性无关. 定理：设给出了一个一般非齐次线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++m n mn m m n n n n bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 (1) 为了方便,将(1) 式写成矩阵的形式:11m n mn B XA = (2)设分块矩阵C =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+11n m mn E B A ，若系数矩阵mn A 的秩R(A) = r ,则分块矩阵C 经过列的初等变换,要求把系数矩阵mn A 右边的元素尽可能多的化为零，那么矩阵C 等价于如下形式的分块矩阵:C =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---10001121121 r n r n nr m r n mr O H a a a W F O O O D (3) 其中r 为系数矩阵mn A 的秩，1+n E 为n + 1 阶单位矩阵,i O (i = 1 ,2, ……,n - r) 均为零向量,i a (i = 1 ,2 , ……,n - r) 为n 维列向量,并且存在n + 1 阶可逆矩阵1+n P ,使得以下两式成立:)()(11111m r n mr n m mn F O O O D P B A -+= (4)=++11)(n n P I ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--10001121 r n r n nr O H a a a W (5)证明：事实上, 由于对矩阵C 做一次初等列变换,相当于对矩阵)(1m mn B A 及1+n I 右乘同一个初等方阵,经过有限次的对矩阵C 做列的初等变换,相当于对矩阵C 右乘一系列初等方阵,矩阵1+n P 就是这些初等方阵的乘积,所以(3) 、(4) 、(5) 式成立是必然的,证毕. 由定理易推出:结论一:线性方程组(1) 有解的充要条件是(4) 式中的1m F 为零矩阵. 证明：这和非齐次线性方程组有解的充要条件是它的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,即R(A) = R(A :b) 是一致的.结论二:若(1) 有解,则(3) 式中的1n H 就是(1) 的一个特解,而1a ,2a , ⋯⋯r n a -就是(1) 对应的齐次线性方程组的一个基础解系.证明：将(5) 式代入(4) 式得:)(1m mn B A *⎪⎪⎭⎫⎝⎛--10001121 r n r n nr O H a a a W =)(111m r n mr O O O O D - (6)(6) 式两端对照得:i mn a A = i O (i = 1 ,2 ,……n - r) (7)由(7) 式可以看出r n a a a - ,,21均为(1) 对应的齐次线性方程组的解向量,由(5) 式又知r n a a a - 21是线性无关,所以r n a a a - 21是(1) 对应的齐次线性方程组的一个基础解系.由(6) 式又得:)(1m mn B A 111m n O H =⎪⎪⎭⎫⎝⎛- (8)由(8) 式进一步得:111m m n mn O B H A =-,即11m n mn B H A = (9) 所以1n H 为(1) 的一个特解. 从而线性方程组(1) 的通解为:(12211n r n r n H a k a k a k ++++-- ，i k 为任意给定的常数,i = 1 ,2 , ……,n- r).2 具体求解步骤利用此方法求解非齐次线性方程组的通解可以分三步进行:第一步:设出矩阵C =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+11n m mn E B A 第二步:将矩阵C 通过列的初等变换化为(3) 式的形式,并且判断是否有解,若1m F 为零矩阵时(1) 有解,否则无解.第三步:若线性方程组(1) 有解,则(3) 式中的r n a a a - 21就是(1) 对应的齐次线性方程组的一个基础解系,1n H 就是(1) 的一个特解,则(1) 的通解为:12211n r n r n H a k a k a k ++++-- ,其中i k (i = 1 ,2 ,……,n - r) 为任意常数.3 一些计算例子例1 :求解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=+-=+-1521212321321321x x x x x x x x x解:第一步:设矩阵C =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----1000010000100001152********1 第二步：对矩阵作列初等变换C −→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------1000010000101211031113120001−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---10010*********001110120001−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100010003101111001110120001此矩阵已是(3)的形式，但矩阵31F =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000所以，此方程组无解.例2 :求解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=-+2875342622321321321x x x x x x x x x解:第一步:设矩阵C =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--10010*********2817534216122第二步：对矩阵作列初等变换C −→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--10000200001001112872539316002−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---100200001031111372509310002−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----102200331012110132500310002 此矩阵已是(3)的形式,因为31F 为零矩阵，所以根据结论二知上述方程组有解。
《数学物理方法》教学大纲课程名称：数学物理方法英文名称：Methods of Mathematics and Physics课程编号：09120004学时数及学分：64 学时 4学分教材名称及作者：《数学物理方法》（第三版）梁昆淼编出版社、出版时间：高等教育出版社，1995年本大纲主笔人：彭建设一、课程的目的、要求和任务本课程是物理系各专业的基础理论课，通过本课程的学习，使学生掌握处理物理问题的一些基本数学方法，为进一步学习后继课程提供必要的数学基础。
要求学生熟悉复变函数(特别是解析函数)的一些基本概念，掌握泰勒级数及洛朗级数的展开方法，利用留数定理来计算回路积分和三类实变函数的定积分；掌握傅立叶变换和拉普拉斯变换的概念及性质，并能运用拉普拉斯变换方法求解积分、微分方程。
了解三种类型的数学物理方程的导出过程，能熟练写出定解问题；掌握用行波法求解一维无界及半无界波动方程，利用分离变量法求解各类齐次及非齐次方程；了解特殊函数的常微分方程，掌握用级数解法求解二阶常微分方程，了解施图姆-刘维尔本征值问题及性质；掌握勒让德多项式、贝塞尔函数及性质，并能利用勒让德多项式求解三维轴对称拉普拉斯方程。
二、大纲的基本内容及学时分配第一部分：复变函数论（一）复变函数（5学时）复数与复数运算，复变函数，导数，解析函数重点：解析函数（二）复变函数的积分（4学时）复变函数的积分，柯西定理，不定积分，柯西公式重点：柯西定理（三）幂级数展开（7学时）复数项级数，幂级数，泰勒级数展开，解析延拓，洛朗级数展开，孤立奇点的分类重点：泰勒级数展开和洛朗级数展开（四）留数定理（5学时）留数定理，应用留数定理计算实变函数定积分重点：应用留数定理计算实变函数定积分（五）傅里叶变换（6学时）傅里叶级数，傅里叶积分与傅里叶变换，δ函数难点：δ函数（六）拉普拉斯变换（5学时）拉普拉斯变换，拉普拉斯变换的反演，应用例重点：拉普拉斯变换的应用第二部分：数学物理方程（七）数学物理定解问题（7学时）数学物理方程的导出，定解条件，达朗贝尔公式重点：写出定解问题（八）分离变数法（12学时）齐次方程的分离变数法，非齐次振动方程和输运方程，非齐次边界条件的处理，泊松方程难点：非齐次方程及非齐次边界条件的处理（九）二阶常微分方程的级数解法本征值问题（7学时）特殊函数常微分方程，常点邻域上的级数解法，正则奇点邻域上的级数解法，施图姆-刘维尔本征值问题难点：施图姆-刘维尔本征值问题（十）球函数（4学时）轴对称球函数重点：利用勒让德多项式求解球坐标系下的拉普拉斯方程（十一）柱函数（2学时）三类柱函数，贝塞尔方程(简介)三、与其它课程的关系先修课程：《高等数学》、《大学物理》四、考核方式1．期末闭卷笔试占总成绩的80％2．平时成绩(作业、课堂讨论和小论文等)占20％五、参考书目《数学物理方法》梁昆淼编高等教育出版社出版 1995(第三版)。
高等数学2教材内容介绍高等数学2教材是大学数学专业的一门重要课程教材，旨在帮助学生深入理解高等数学的基本概念、原理和方法，并培养学生分析和解决数学问题的能力。
本教材内容涵盖了微分方程、多元函数微分学、线性代数和复变函数等多个方面的知识，下面将对其中的几个重要部分进行介绍。
一、微分方程微分方程是高等数学中的重要分支，本教材对微分方程进行了深入讲解。
首先介绍了常微分方程的基本概念和解法，包括一阶线性微分方程、可分离变量方程和齐次方程等。
随后，教材还系统地介绍了高阶线性微分方程、常系数齐次线性微分方程和非齐次线性微分方程的解法。
通过大量的例题和练习题，学生可以逐步掌握解微分方程的方法，并运用于实际问题的求解中。
二、多元函数微分学多元函数微分学是高等数学中又一个重要的内容模块。
教材以极限和连续为基础，介绍了多元函数的概念和性质，包括偏导数、全微分、多元函数的单调性和极值等。
教材还详细讲解了多元函数的极限、连续和可微分的定义和判定定理，探讨了多元函数导数的计算方法和应用。
通过学习多元函数微分学，可以帮助学生深刻理解多变量的数学模型，为后续的数学建模提供基础。
三、线性代数线性代数是高等数学另一门重要的内容，在本教材中也得到了充分的讲解。
教材首先介绍了向量的基本概念和性质，包括向量的线性运算、向量的内积和外积等。
随后，教材讲解了矩阵和行列式的相关理论，包括矩阵的运算、矩阵的特征和特征值等。
最后，教材探讨了线性方程组的解法和矩阵的相似性，在解决实际问题时起到了重要作用。
通过学习线性代数，学生可以掌握线性空间、线性映射等基本概念，并具备矩阵计算和线性方程组求解的能力。
四、复变函数复变函数是高等数学中的一个重要分支，本教材也对其进行了详细介绍。
教材首先介绍了复数及其运算、复数平面和复数函数的概念。
随后，针对复变函数的导数、积分和级数，教材讲解了相应的定义和计算方法。
此外，教材还涵盖了解析函数、留数定理、调和函数和全纯函数等部分的内容。
高等数学线性代数教材目录第一章行列式1.1 行列式的引入1.2 二阶和三阶行列式的计算1.3 行列式的性质和性质的应用1.4 行列式的性质证明第二章矩阵和向量2.1 矩阵的概念和基本运算2.2 矩阵的转置和逆2.3 向量的线性相关性和线性无关性2.4 向量组的秩和极大线性无关组第三章矩阵的运算3.1 矩阵的加法和减法3.2 矩阵的数乘3.3 矩阵的乘法3.4 矩阵的特殊类型第四章线性方程组4.1 线性方程组的概念和解的分类4.2 齐次线性方程组和非齐次线性方程组的解 4.3 线性方程组的向量表示第五章向量空间5.1 向量空间的定义和例子5.2 向量子空间和子空间的概念5.3 向量空间的线性组合和生成子空间5.4 基和维数第六章矩阵的特征值和特征向量6.1 特征值和对角化6.2 特征多项式和特征方程6.3 相似矩阵和相似对角矩阵6.4 实对称矩阵的对角化第七章线性变换7.1 线性变换的概念和性质7.2 线性变换的矩阵表示7.3 线性变换的特征值和特征向量7.4 线性变换的相似、迹和行列式第八章内积空间8.1 内积的定义和性质8.2 欧几里得空间和具有内积的实向量空间8.3 向量的正交性和正交子空间8.4 施密特正交化方法第九章广义特征值问题9.1 广义特征值问题的引入9.2 广义特征值的计算9.3 广义特征值与相似变换9.4 对称矩阵的广义特征值问题与对角化第十章特殊矩阵的标准形式10.1 对称矩阵的对角化10.2 正定矩阵和正定二次型10.3 实对称矩阵的正交对角化10.4 复数矩阵的标准型这是《高等数学线性代数》教材的目录, 包含了十个章节，每个章节中有相应的小节来详细介绍相关内容。
这本教材综合了高等数学和线性代数的知识，旨在帮助读者掌握线性代数的基本概念、理论和方法，以及应用于实际问题的能力。
希望读者通过学习这本教材，能够系统地理解和应用线性代数的知识，为今后的学习和研究打下坚实的基础。
高等数学及其应用第三版下册教材高等数学及其应用是大学数学系列课程中的一门重要课程。
它深入研究了微分学、积分学、级数与广义积分以及常微分方程等数学概念和应用技巧。
下面，将对《高等数学及其应用第三版下册教材》进行简要介绍。
《高等数学及其应用第三版下册教材》是高等数学及其应用系列教材的下册，由某高校数学学院编写完成。
本教材以提高学生的数学运算能力和解决实际问题的能力为目标，力图培养学生的创新能力和综合运用数学知识解决实际问题的能力。
本教材共分为十个章节，每个章节都围绕一个具体主题展开。
首先介绍了微分学的概念与性质，并详细讲解了极限、连续与导数等相关内容。
其次，讲解了多元函数的微分学以及多元函数的连续、可微与偏导数的计算方法。
接着，详细讲解了微分学的一些应用，如泰勒公式、多元函数的极值与条件极值等。
在积分学方面，本教材首先介绍了定积分的基本概念与性质，并详细讲解了定积分的计算方法，如换元积分法、分部积分法以及常见积分表等。
其次，展开了重要的积分学应用，如曲线长度、曲面面积、体积以及物理学的应用等。
此外，本教材还详细介绍了重要的级数与广义积分的概念及性质，并讲解了级数与广义积分的判敛法与计算方法，如比值判别法、积分判别法等。
并在此基础上，介绍了幂级数与傅立叶级数的相关知识。
最后一个章节专门介绍了常微分方程的基本理论与应用。
首先介绍了一阶微分方程的基本解法，如分离变量法、齐次方程法以及一阶线性非齐次方程法等。
接着，讲解了二阶常系数齐次线性微分方程及其特解的求法。
最后，给出了常微分方程的一些重要应用，如生物学模型、物理学模型等。
总的来说，《高等数学及其应用第三版下册教材》内容丰富，结构合理，从基础概念到高级应用，层层递进。
同时，教材还提供了大量的习题和例题，方便学生巩固所学知识，并通过习题培养学生的解决问题的能力。
教材的风格简洁明了，语言通俗易懂，并配有清晰的图示和表格，方便学生理解和掌握概念。
综上所述，《高等数学及其应用第三版下册教材》是一本循序渐进、内容全面、适合大学数学专业学生学习的教材。
线性代数理工类第五版教材pdf简介《线性代数理工类第五版教材pdf》是一本广泛应用于理工类专业课程的线性代数教材，帮助学生理解和应用线性代数的基本原理和概念。
线性代数是一门研究向量空间、线性变换和矩阵的数学学科，它广泛应用于工程学、计算机科学、物理学、经济学等各个领域。
该教材是第五版，经过多年的修订和完善，内容更加全面和系统，有助于学生掌握线性代数的核心概念和技巧。
本文将对该教材的内容进行概述，并介绍其主要特点和优势。
内容概述《线性代数理工类第五版教材pdf》以清晰的结构和易于理解的语言，全面介绍了线性代数的基本原理和方法。
教材内容涵盖了以下主题：1.向量空间：介绍向量的定义、运算和性质，讲解线性无关性、基、维数等概念。
2.线性方程组：介绍线性方程组的解和解的性质，包括齐次线性方程组和非齐次线性方程组。
3.矩阵：讲解矩阵的定义、运算和性质，包括矩阵的逆、转置和行列式等概念。
4.线性变换：介绍线性变换的定义和性质，包括线性变换的表示、特征值和特征向量等概念。
5.特征值和特征向量：详细讲解特征值和特征向量的特点和应用。
6.二次型：介绍二次型的定义和性质，包括二次型的矩阵表示、规范型和合同变换等概念。
7.正交性和正交变换：讲解正交向量、正交矩阵和正交变换的概念和性质。
通过系统的讲解和大量的例题和习题，教材帮助学生深入理解线性代数的基本概念和方法，并培养其解决实际问题的能力。
特点和优势《线性代数理工类第五版教材pdf》具有以下特点和优势：1.全面的知识覆盖：教材内容涵盖了线性代数的核心知识，包括向量空间、线性方程组、矩阵、线性变换等内容，适用于理工类专业的各个方向。
2.易于理解的语言：教材采用简洁明了的语言，避免冗长的数学推导，使学生更容易理解和掌握线性代数的概念和方法。
3.丰富的例题和习题：教材提供了大量的例题和习题，覆盖各个难度级别，有助于学生巩固所学知识、培养解决问题的能力。
4.重视实际应用：教材在讲解线性代数的原理和概念的同时，注重将其应用于实际问题，帮助学生理解线性代数的实际意义和价值。
课程介绍数学物理方法是物理类专业的必修课和重要基础课，也是一门公认的难道大的课程。
该课程通常在本科二年级开设，既会涉及到先行课高等数学和普通物理的内容，又与后续课程密切相关。
故这门课学习情况的好坏，将直接关系到后继课四大力学和专业课程的学习问题，也关系到学生分析问题解决问题的能力的提高问题。
如何将这门“难教、难学、难懂”的课变为“易教、易学、易懂”的课，一直是同行教师十分关注的问题。
本课程包括复变函数论、数学物理方程、特殊函数、非线性方程和积分方程共四篇的内容。
其中，第一篇复变函数论又含解析函数、解析函数积分、无穷级数、解析延拓·Г函数和留数理论五章；第二篇数理方程又包括：定解问题、行波法、分离变量法、积分变换法和格林函数法五章；第三篇特殊函数又包括勒让德多项式、贝塞耳函数、斯特姆-刘维本征值问题三章；而第四篇包括非线性方程、积分方程两章。
第一、二、三篇为传统数学物理方法课程所含内容，而第四篇是为了适应学科发展需要所引入的传统同类教材中没有的与前沿科学密切相关的新内容。
《数学物理方法》是物理系本科各专业学生必修的重要基础课，是在"高等数学"课程基础上的又一重要的基础数学课程，它将为进行下一步的专业课程学习提供基础的数学处理工具。
所以，本课程受到物理系学生和老师的重视。
对一个物理问题的处理，通常需要三个步骤：一、利用物理定律将物理问题翻译成数学问题；二、解该数学问题；三、将所得的数学结果翻译成物理，即讨论所得结果的物理意义。
因此，物理是以数学为语言的，而"数学物理方法"正是联系高等数学和物理专业课程的重要桥梁。
本课程的重要任务就是教会学生如何把各种物理问题翻译成数学的定解问题，并掌握求解定解问题的多种方法，如分离变数法、付里叶级数法、幂级数解法、积分变换法、保角变换法、格林函数法、电像法等等。
近十几年来，负责厦门大学物理系"数学物理方法"课程教学的教师共有三位（朱梓忠教授，张志鹏，李明哲副教授），他们都是中青年教师，均获得物理方面的理学博士学位。
微分算子法求解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解李绍刚段复建徐安农(桂林电子科技大学，计算科学与数学系，广西桂林，541004)摘要：木文主要介绍了二阶微分算子的性质及其它在一些求解二阶常系数非齐次线性微分方程的常见运算公式，并对其中的大部分重要公式给出了详细的较为简单的证明，并通过具体而翔实的例子加以说明它在解题中的具体应用，大大简化了二阶常系数非齐次线性微分方程的特解的求法。
关犍词：线性微分算子非齐次微分方程特解中图分类号：0175.1 引言对于微分方程，尤其是常系数非齐次线性微分方程，算了法求其特解一肓是研究的热点问题，见参考文献［3・9］,有一些是针对一般高阶的常系数非齐次线性微分方程［3-61，文献⑹ 研究了高阶的变系数非齐次线性微分方程的算子特解算法，而［7］是针对二阶的常系数非齐次线性微分方程的算子特解解法，但是理论不是很完善，而微分级数法以及复常系数非齐次线性微分方程在一般教科书很少出现，针对性不够强。
因为在高等数学中，二阶非齐次常系数线性微分方程特解的求法在微分方程屮占有很重要的地位，也是学习的重点和难点，人多高数教材采用待定系数法来求其特解，根据不同情况记忆特解的设法对人多数学生而言述是很有难度的，而且有些题目计算过程非常复朵，本文就针对微分算子法在求解二阶常系数非齐次线性微分方程特解方而的应用做一些讨论，给出理论的详细证明，并通过例子说明理论的的一些具体应用。
我们考虑如下的二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式y"+py'+q = f(x)其中p,q 为常数。
(1)2 2引入微分算子—= D,^ = D2,则有：y=型二Dydx dx" dx dx~于是(1)式可化为：D’y + pDy + qy = f(x) 即：(D2 + pD + q)y = f(x) (2)令F(D) = D24-pD + q 称其为算子多项式。
则(2)式即为：F(D)y = f(x) 其特解为：y = ^—f(x),在这里我们称为逆算子。
