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§3.3等比数列（一）——等比数列的基本知识一、复习:（1）等差数列的概念和通项公式（2）等差数列的前n项和公式导入：国王奖赏国际象棋发明者的事例，发明者要求：在第1个方格放1颗麦粒，在第2个方格上放2颗麦粒，在第3个方格上放4颗麦粒，在第4个方格上放8颗麦粒，依此类推，直到第64个方格子．国王能否满足他的要求呢?”情境3：某轿车的售价约36万元，年折旧率约为10%（就是说这辆车每年减少它的价值的10%），那么该车从购买当年算起，逐年的价格依次为多少？二、新授：1、例子以下3个数列：①1，2， 22，…，263②1，12，14，…，12n⎛⎫⎪⎝⎭，…③36，36×0.9，36×092，…，36×09n，…通过讨论，得到这些情境的共同特点是从第二项起，每一项与它前面一项的比都相等（等于同一个常数）．2、等比数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．（引导学生经过类比等差数列的定义得出）（1）形如a，a，a，…的数列一定是等差数列，但未必是等比数列．当a=0时，数列的每一项均为0，不能作比，因此不是等比数列；当a≠0时，此数列为等比数列．（2）等比数列的各项均不为0，且公比也不为0．3等比数列的通项公式方法1：∵21a a q =，()23211a a q a q q a q ===，()234311a a q a q q a q ===，……∴11n n a a q -=．方法2：∵ 1n n a q a +=，∴1n n a q a -=，12n n a q a --=，…， 32a q a =，21a q a =． 将各式相乘便有11n n a q a -=，∴11n n a a q -=（*∈N n ，2≥n ）， 当1n =时，11n n a a q -=两边均为1a 即等式也成立，说明上式当*n N ∈时都成立．注：（1）寻找通项即寻找项的一般规律，常可先看特殊项，写出几项，再归纳出一般结论，这是探索数列问题常用的一种方法，叫不完全归纳法，但这种方法得出的通项公式还不够严谨，须对其进行证明．（2）方法2就是对方法1得到的结论的一种证明，叫做叠乘法．与推导等差数列通项公式用到的叠加法类似，都必须注意对第一项是否成立进行补充说明．例1 判断下列数列是否是等比数列? ①11111,,,,24816--； ②1，2，4，8，16，20；③1，1，1，1，1；④－1，－2，－4，－8，－16；⑤数列{}n a 的通项公式为.)31(21--=n n a 解 据数列的定义可知：数列①③④⑤都是等比数列，②不是等比数列．分析：对于等比数列{}n a ，若q >1，则{}n a 一定是递增数列；若0<q <1，则{}n a 一定是递减数列，对吗?你能知道等比数列何时为递增数列， 何时为递减数列吗?得到：当q >1， 1a >0或0<q <1， 1a <0时， {}n a 是递增数列；当q >1， 1a <0或0<q <1， 1a >0时， {}n a 是递减数列；当q ＝1时， {}n a 是常数列；当q <0时，{}n a 是摆动数列．例2 在等比数列{}n a 中，已知3a =20，1206=a ，求n a ．解 设等比数列的公比为q ，则⎩⎨⎧==160205121q a q a ，解得 ⎩⎨⎧==251q a ．故11125--⨯==n n n q a a ． 反思 这种类型的题目主要是方程思想的应用，应用过程主要是三个步骤：设、列、求．例3 根据下面等比数列的条件，求相应的未知量：（1）a 1=4，q=3，an=324求项数n(2)q=2，a 5=48，求a 1和通项公式。
1一、知识梳理 1、等比数列的定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q 表示(q ≠0)2、与等差中项类似,如果在a 与b 中间插入一个数G,使a,G,b 成等比数列,那么G 叫做a 与b 的等比中项,这时,a,b 一定同号,G 2=ab3、等比数列通项公式,归纳如下:a 2=a 1qa 3=a 2q=(a 1q)q=a 1q 2a 4=a 3q=(a 1q 2)q=a 1q 3… …可得 a n =a 1qn-1[注意几点]（1）.不要把a n 错误地写成a n =a 1q n（2）.对于公比q,要强调它是“从第2项起,每一项与它的前一项的比”防止把相邻两项的 比的次序颠倒 （3）.公比q 是任意常数,可正可负 （4）.首项和公比均不为0 4、等比数列的常见性质：若数列{}n a 为等比数列，且公比为q ，则此数列具有以下性质：①mn m n qa a -⋅=；②对任意正整数s r q p ,,,，满足s r q p +=+，则s r q p a a a a +=+； ③)(*2N m a a a m n m n n ∈=+- 二、例题讲解：例1、已知数列{}n a 为等比数列（1）若6,475==a a ，求12a ； （2）若125,6,243224==+=-n a a a a a ，求n 。
例2、已知数列{}n a 为等比数列，320,2423=+=a a a ，求{}n a 的通项公式。
例3、在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若965=a a ，则1032313log log log a a a ++等于（ ）A12 B10 C8 D 5log 23+2三、知识复习：1、等比数列的概念：一般的， ，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，公比通常用字母q 表示。
2、若()为常数q n q a a n n,21≥=-，则称数列{}n a 为 ，q 为 ，且≠q 。
第三节 等比数列及前n 项和一．定义：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数的数列叫做等比数列.等比数列的一般形式为：1a ，q a 1，21q a ，…，11-n q a ，…二．判定：方法1：q a a nn =+1； 方法2：)2(211≥⋅=+-n a a a n n n ； 三．公式：1. 11-=n n q a a ＝a m ·q n －m 2．⎪⎩⎪⎨⎧≠--==1,1)1(1,11q qq a q na S n n 说明：（1）五个要素（1a ，q ，n ，n a ，n S ）中，已知其中的3个，则可求其余2个.（2）n a 与n S 都是关于n 的指数函数四．等比中项：如果三个数a ，G ，b 组成等比数列，那么G 叫做a 和b 的等比中项，说明：（1）在等比数列中，从第二项起每项都是它前后等距离项的等比中项.（2）a ，G ，b 组成等比数列⇔ab G ab G ±=⇔=2（3）若三数成等比数列，则三数可设为：qa ，a ，aq 若四数成等比数列，则三数可设为：3q a ，q a ，aq ，3aq 五．几个结论（在等比数列中）： 1. n m nm q a a -= 2．n m q p a a a a n m q p ⋅=⋅⇔+=+ 3．2)1(1321-=n n n n q a a a a a 4. 若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n (λ≠0)仍然是等比数列；六．等差数列与等比数列之间的互相转化1．已知{}n a 是等差数列，若n a n c b =，则{}n b 是等比数列；（首项11,a db c q c ==公比） 2．已知{}n a 是等比数列，若n c n a b log =，则{}n b 是等差数列.（首项11log c b a =，公差 d= log c q ）题型一：等比数列基本量的计算1．12+和12-的等比中项---------------------------------------------------------------------( )A . 223-B . )223(-±C . 1D .1±2. 1,,,,4a b c 是等比数列中的连续5项，则b =___________3. a 、b 、c 成等比数列，则函数c bx ax y ++=2的零点个数是--------------------------( )A . 0 个B . 1 个C . 2个D . 不能确定4. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a ，22a ，3a 成等差数列. 若11=a ，则4S 等于( )A .7B .8C .15D .165．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )A ．13B ．－13C ．19D ．－196. 某种细菌在培养过程中，每2021分裂一次（一个分裂为两个），经过3个小时，这种细菌由1个可繁殖成----------------------------------------------------------------------------------( )A . 511个B . 512个C . 1 023个D .1024个7. 若等比数列{a n }的各项均为正数，a 1＋2a 2＝3，a 23＝4a 2a 6，则a 4＝( ) A ．38 B ．245 C ．316 D ．9168．已知数列1，1，2，…，它的各项有一个等比数列与一个首项为0的等差数列对应项相加而得，则该数列的前10项的和为----------------------------------------------------------（ ）A . 467B .557C . 978D .10689. 若2,(0,0)a b px q p q -+>>是函数f(x)=x 的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于-------（ ）A . 6B . 7C . 8D . 910. 在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝________．11．在等比数列{}n a 中，若43-=a ，84=a ，则=5S _____________。
