2.2 二维离散型随机变量及其分布.

8
5
k
24
小结
离 散 型 随 机 变 量 的 分 布
二项分布 泊松分布
两点分布
两点分布
n1
二项分布
n 10, p 0.1, np
泊松分布
25
二项分布与 (0 1) 分布、泊松分布之间的 关系 .
二项分布是 (0 1) 分 布 的 推 广 , 对 于n 次 独 立重复伯努利试验 ,每 次 试 验 成 功 的 概 率 为 p, 设 , 1, 若 第 i 次 试 验 成 功 Xi ( i 1,2, , n) . 0, 若 第 i 次 试 验 失 败 它们都服从 (0 1) 分 布 并 且 相 互 独 立 , 那末 X X1 X 2 X n 服 从 二 项 分 布 , 参 数 为( n, p).
定义2 如果随机变量 X 只有两个可能取 值，其概率分布为
P{ X x1 } P , P{ X x2 } q 1 p(0 p 1, p q 1)
则称X服从 x1 , x2 处参数为p的两点分布. 特别，若X服从
x1 1, x 0 处参数为p的两点分布，即
p
k 1
5
k
1
1 a . 15
5
关于分布律的说明：
若已知一个离散型随机变量X的概率分布 X P x1 p1 x2 p2 ... ... xn ... pn ...
则可以求X所生成的任何事件的概率，特别地：
P{a X b} P{ { X xi }} pi
a xi b a xi b
26
以 n, p ( np ) 为参数的二项分布 ,当 n 时趋 于以 为参数的泊松分布 ,即

∞ k k =1
}
满足下列性质 性质: 满足下列性质:
pk ≥ 0 (k = 1,2,⋯);
概率论与数理统计 数学科学学院 徐 鑫
∑p
k =1
∞
k
常用来确定分布律中的待定参数] 常用来确定分布律中的待定参数 = 1 [常用来确定分布律中的待定参数
这两条也是非负 数列能为某随机 变量分布律的充 要条件
离散型随机变量分布列的求法 求法: 离散型随机变量分布列的求法: 利用古典概率、 利用古典概率、条件概率等计算方法及运算 性质求事件{X=x 概率; 性质求事件{X=xk}概率; 利用已知的重要分布的分布列; 利用已知的重要分布的分布列; 利用分布函数. 利用分布函数. 离散型随机变量分布列的应用 应用: 离散型随机变量分布列的应用: 确定分布列中的待定参数; 确定分布列中的待定参数; 求分布函数； 求分布函数； 求随机事件的概率. 求随机事件的概率.
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四、几种重要的离散型随机变量 1、(0-1)分布[两点分布] (0-1)分布 两点分布] 分布[ 定义2 定义2 设随机变量X只取0,1两值, 设随机变量X只取0,1两值,且其分布律为 0,1两值
P{X = k} = p (1 − p) (k = 0,1;0 < p < 1)
(−∞, x1 ), [ x1 , x2 ), [ x2 , x3 ) ⋯, [ xk ,+∞)
分别求出F(x)的值,即就x 分别求出F(x)的值,即就x落在上述各区间内计算 F(x)的值 {X≤x}所含可能值概率的累积和; {X≤x}所含可能值概率的累积和; 所含可能值概率的累积和 离散型随机变量X的分布函数是一个右连续的阶梯 离散型随机变量X 函数. 函数.

解：X 的取值为 5，6，7，8，9，10．X为离散型
并且
PX
k
C4 k 1
C150
k 5， 6， ，10
则X 的分布律可写为
X 5 6 7 8 9 10
P
1
5
15
35
70
126
252
252
252
252
252
252
验证？ 分布函数？
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例2 将 1 枚硬币掷 3 次，令X：出现的正面次数与反 面次数之差．试求 X 的分布律．
解：对目标进行300次射击相当于做300重Bernoulli 试验．令：
X： 300射击中命中目标的次数．
则由题意 X ~ B300， 0.44．
由于 300 10.44 132.44，它不是整数.
因此，最可能射击的命中次数为
k0 132.44 132
其相应的概率为
PX
132
C 132 300
0.44132
把检查一只元件是否为一级品看成是一次试验, 检查 20只元件相当于做 20 重伯努利试验.
解 以 X 记 20 只元件中一级品的只数,
则 X ~ B(20, 0.2), 因此所求概率为
P{ X k} 20(0.2)k (0.8)20k , k 0,1, ,20.
k
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解 以 X 记 20 只元件中一级品的只数, 则 X ~ B(20, 0.2), 因此所求概率为
k
k!
e
0
⑵ 又由幂级数的展开式，可知
k0
k
k!
e
e
k0
k
k!
e e
1
所以是分布律.

[例1] 1个口袋中装有大小形状相同的6个球， 其中2个红球、4个白球，现从袋中不放回地取两 次球，每次取一个。设随机变量
0, 表示第一次取红球 0, 表示第二次取红球 X 1, 表示第一次取白球 Y 1, 表示第二次取白球
求（X,Y）的联合分布律。
二、 边缘分布律(Marginal distribution regularity)
2007年12月
三、随机变量的独立性(Independence of random
variable)
定理1 设（X,Y）是二维离散型随机变量，则 X，Y相互独立的充要条件是：对所有的i,j，均有
pij=pi..p.j
[例3] 见例1，判断X,Y是否相互独立？
例4 已知随机变量(X,Y)的分布律为
x\y 1 0
1 1/10 3/10
0 3/10 3/10 解：
求X、Y的边缘分布律。
x\y 1 0 pi. 1 1/10 3/10 2/5 0 3/10 3/10 3/5
p.j 2/5 3/5
故关于X和Y的分布律分别为：
X0 1
Y/5 2/5
小结
联合分布律 边缘分布律
思考
1、统计学中有两种抽样：不放回抽样和有放 回抽样。将例1中“不放回地取两次球”改为
“有放回地取两次球”，试求（X,Y）的联合分 布律、（X,Y）分别关于X,Y的边缘分布律及判断 X,Y是否相互独立？
2、上述我们解决了：已知二维离散型随机变
量（X,Y）的联合分布律，如何求（X,Y）关于X 或关于Y的边缘分布律的问题。那么，已知X,Y的 边缘分布律，能否求（X,Y）的联合分布律呢？
1、定义 设（X，Y）是二维离散型随机变量， 称分量X的分布律为（X，Y）关于X的边缘分布律； 分量Y的分布律为（X，Y）关于Y的边缘分布律。