《最小公倍数》ppt 课件

结束
想一想
（1） 3和15的最小公倍数是——1—5——— （2） 18和36的最小公倍数是—3—6——— （3） 8和9的最小公倍数是———7—2——— （4） 8和15的最小公倍数是——1—2—0——
两个整数中：
如果两个数有倍数关系,那么较大的数是它们的最小公倍数
如果两个数互素，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数
3和4公有的倍数有：12，24… … 其中最小的一个是 12
所以:12分钟后地铁1号线和轨道3号线再 次同时发车。
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猜一猜：
3的倍数 3 6 9 12 15 18 21 24 … 4的倍数 4 8 12 16 20 24 28 32 …
看一看
想一想
问题：
在上海南站,地铁1号线每隔3分钟发车， 轨道交通3号线每隔4分钟发车，如果地铁 1号线和轨道交通3号线早上6:00同时发车， 那么至少再过多少时间它们又同时发车？
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知识回顾
1、求18和30的最大公因数 2、求48和60的最大公因数
总结：最大公因数=所有公有素因数的积
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知识回顾
3、求8和9、7和10的最大公因数
总结：如果两个数互素，那么它们的最大公 因数就是1.

2和 3的 公 倍 数
6、12、18……是3和2公有的倍数， 叫做它们的 。 其中6是最小的公倍数，叫做它们 的
因为每一个数的倍数的个数都是 无限的，所以两个数的公倍数的个 数也是无限的．因此，两个数没有 最大的倍数．
6和9最小的公倍数
6的倍数： 6、 12、 18、 24、 30、 36、 42、 48、 54 …… 18、 27、 36、 45、 54、 63 …… 9的倍数: 9、
…… 6和9的公倍数有： 18、36、54
最小的公倍数是：18
6的倍数 6 12 24 30 42 48 ……
9的倍数 9 27 45 63 ……
36 18 ……
6和9的公倍数 12是6和9的公倍数吗？为什么？ 27呢？
用找倍数的方法，找出 和它们的最小公倍数。Fra bibliotek的公倍数
6的倍数有：6、12、18、24、30、36、42、48 … 12的倍数有：12、24 、36 、48 … 6和12的公倍数倍数有： 12 、 24 、36、48 … 6和12的最小公倍数是12。
√
√
两个整数的积一定是这两个整数的公倍数。
a和b是两个连续的非零自然数,它们两个 数的最小公倍数是a·b 。
×
有三个整数a,b,c,它们的关系是：a=b×c， 那么a是b和c的最小公倍数。
求下面每组数的最小公倍数。
3和 5
4和11
8 和7
9和2
巩固练习
8___________________________ 、16、24、32、40、48、56…… 8的倍数有：
公倍数与最小公倍数
分别写出2和3的倍数；
分别写出2和3的倍数
2的倍数
2 4 6 8 10 12 14 16 18…..

《LCM基本知识》PPT 课件
LCM（最小公倍数）是数学中重要的概念，熟练掌握基本知识和计算方法 ，对数学学科的学习和应用能力有很大帮助。
什么是LCM
LCM 的全称是最小公倍数，指两个或多个整数的公倍数中最小的一个。
LCM的计算方法
LCM 的计算方法有三种：分解质因数、公式法和短除法。
LCM的性质

LCM 具有交换律和结合律，与数的顺序无关。LCM 是两个数的积除以它们的最大公约数。任何数的LCM 都是 它本身。
LCM的应用
LCM在日常生活中用于找到两个或多个物品的最小重复周期。在数学学科中， LCM 是解决分解分式、约分等问题的关键。
结论
LCM 是数学中重要的概念，有广泛的应用。熟练掌握LCM 的基本知识和计算 方法，对数学科的学习和应用能力有很大帮助。

…
6的倍数
12 6 18 24 30 36
…
例题 顺次写出4的几个倍数和6的几个倍数，它们公有的
倍数是哪几个？其中最小的是多少？
4的倍数
4 8 12 16 20 24
…
6的倍数
12 6 18 24 30 36
…
例题 顺次写出4的几个倍数和6的几个倍数，它们公有的
倍数是哪几个？其中最小的是多少？
4的倍数
朋友是条路， 选对了帮着你， 选错了绕死你！
真诚的人，走着走着，就走进 了心里。虚伪的人，走着走着，就 淡出了视线。
最小公倍数
例题 顺次写出4的几个倍数和6的几个倍数，它们公有的
倍数是哪几个？其中最小的是多少？
4的倍数有： 4，8，12，16，20，24，28，32，36，… 6的倍数有： 6，12，18，24，30，36，… 4和6公有的倍数有： 12 24 36 … 其中最小的一个是： 12
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的
4的倍数 6的倍数 4 8 12 6 18 16 20 24 30 36
… ……
4和6的公倍数
两个数有没有最大的公倍数？
因为每一个数的倍数的个数都是无限的，所以两个数 的公倍数的个数也是无限的．因此，两个数没有最大 的倍数．
50以内6和8的公倍数有几个？最大的是几？
50以内6和8的公倍数有2个：24 48 最大的是：48 如果给定一个范围，最大公倍数是存在的
3×5×2×7
练习
2、已知 A＝2×2×5 B＝（ 2 ）×5×（ 7 ） A和B和最小公倍数是 2×2×5×7＝140 2 × 2 ×5 ×7
A独有的 公有的 公有的 B独有的 质因数 质因数 质因数 质因数

用小长方形铺下面的正方 2cm 形，正好可以铺满吗？
3cm
6÷ 2 = 3
6cm
6÷ 3 = 2
6cm
用小长方形铺下面的正方 2cm 形，正好可以铺满吗？
3cm
8cm
8÷ 2 = 4
8cm
8÷3=2…2
3cm
用这个小长方形还能铺满边 2cm 长是多少厘米的正方形，在 小组里交流。
能正好铺满边长12厘米、18厘米、 24厘米……的正方形。 能正好铺满的正方形，边长的厘米数 既是2的倍数，又是3的倍数。 6、12、18、24……既是2的倍数，又 是3的倍数，它们是2和3的公倍数。 8是2和3的公倍数吗，为什么？
4和6的公倍数中最小的一个是12， 12就是4和6的最小公倍数。
我们可以用下图表示4和6的公倍数。
4的倍数
6的倍数
6 18 30 42 ……
4 8 12 16 20 24 28 32 …… 36 ……
4和6的公倍数ຫໍສະໝຸດ 在2的倍数上画“”，在5的倍数上画“
”。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 30 。 2和5的公倍数有 10、 20、 最小公倍数是 10 。
•
1．天行健，君子以自强不息。 ——《周易》 译：作为君子，应该有坚强的意志，永不止息的奋斗精神，努力加强自我修养，完成并发展自己的学业或事业，能这样做才体现了天的意志，不辜负宇宙给予君子的职 责和才能。 2．勿以恶小而为之，勿以善小而不为。 ——《三国志》刘备语 译：对任何一件事，不要因为它是很小的、不显眼的坏事就去做；相反，对于一些微小的。却有益于别人的好事，不要因为它意义不大就不去做它。 3．见善如不及，见不善如探汤。 ——《论语》 译：见到好的人，生怕来不及向他学习，见到好的事，生怕迟了就做不了。看到了恶人、坏事，就像是接触到热得发烫的水一样，要立刻离开，避得远远的。 4．躬自厚而薄责于人，则远怨矣。 ——《论语》 译：干活抢重的，有过失主动承担主要责任是“躬自厚”，对别人多谅解多宽容，是“薄责于人”，这样的话，就不会互相怨恨。 5．君子成人之美，不成人之恶。小人反是。 ——《论语》 译：君子总是从善良的或有利于他人的愿望出发，全心全意促使别人实现良好的意愿和正当的要求，不会用冷酷的眼光看世界。或是唯恐天下不乱，不会在别人有失败 、错误或痛苦时推波助澜。小人却相反，总是“成人之恶，不成人之美”。 6．见贤思齐焉，见不贤而内自省也。 ——《论语》 译：见到有人在某一方面有超过自己的长处和优点，就虚心请教，认真学习，想办法赶上他，和他达到同一水平；见有人存在某种缺点或不足，就要冷静反省，看自己 是不是也有他那样的缺点或不足。 7．己所不欲，勿施于人。 ——《论语》 译：自己不想要的（痛苦、灾难、祸事……），就不要把它强加到别人身上去。 8．当仁，不让于师。 ——《论语》 译：遇到应该做的好事，不能犹豫不决，即使老师在一旁，也应该抢着去做。后发展为成语“当仁不让”。 9．君子欲讷于言而敏于行。 ——《论语》 译：君子不会夸夸其谈，做起事来却敏捷灵巧。 10．二人同心，其利断金；同心之言，其臭如兰。 ——《周易》 译：同心协力的人，他们的力量足以把坚硬的金属弄断；同心同德的人发表一致的意见，说服力强，人们就像嗅到芬芳的兰花香味，容易接受。 11．君子藏器于身，待时而动。 ——《周易》 译：君子就算有卓越的才能超群的技艺，也不会到处炫耀、卖弄。而是在必要的时刻把才能或技艺施展出来。 12．满招损，谦受益。 ——《尚书》 译：自满于已获得的成绩，将会招来损失和灾害；谦逊并时时感到了自己的不足，就能因此而得益。 13．人不知而不愠，不亦君子乎？ ——《论语》 译：如果我有了某些成就，别人并不理解，可我决不会感到气愤、委屈。这不也是一种君子风度的表现吗？知缘斋主人 14．言必信 ，行必果。 ——《论语》 译：说了的话，一定要守信用；确定了要干的事，就一定要坚决果敢地干下去。 15．毋意，毋必，毋固，毋我。 ——《论语》 译：讲事实，不凭空猜测；遇事不专断，不任性，可行则行；行事要灵活，不死板；凡事不以“我”为中心，不自以为是，与周围的人群策群力，共同完成任务。 16．三人行，必有我师焉，择其善者而从之，其不善者而改之。——《论语》 译：三个人在一起，其中必有某人在某方面是值得我学习的，那他就可当我的老师。我选取他的优点来学习，对他的缺点和不足，我会引以为戒，有则改之。 17．君子求诸己，小人求诸人。 ——《论语》 译：君子总是责备自己，从自身找缺点，找问题。小人常常把目光射向别人，找别人的缺点和不足。 18．君子坦荡荡，小人长戚戚。 ——《论语》 译：君子心胸开朗，思想上坦率洁净，外貌动作也显得十分舒畅安定。小人心里欲念太多，心理负担很重，就常忧虑、担心，外貌、动作也显得忐忑不安，常是坐不定 ，站不稳的样子。

8和10 6和15 6和9 4和15 1和7 4和10
8和10(40) 6和15(30) 6和9(18) 4和15(60) 10(20)
1和7(7) 4和
3、下面每组数的公倍数中有没有36，有没有48，有没有84 ？
6和18 21和14 12和8 9和24 有公倍数36的是：6和18 有公倍数48的是：12和8 有公倍数84的是：21和 14
…… 8的倍数：8，16，24，32，40，48 ……
②筛选法：6的6和倍8数的：公6倍，数12：，2148，，4284…，…30最，小36公，倍4数2，是4284。 ……
其中24，48也是8的因数，其中24最小。
两个数的公倍数和它们的最小公倍数之间有什么关系呢
？ 请你自己举例验证一下
。
求6和8的最小公倍数？
4. 下面的说法正确吗？说一说你的理由。
（1）两个数的最小公倍数一定比这两个数都大 。 不正确。例如：1和5的最小公倍数是
5. （2）正两确个。数的积一定是这两个数的公倍数。
8、写出每组分数的两个分母的最小公倍数 。
12
24
18
9、下列各数中有没有公因数2？有没有公因数3？有没有公因数5 ？
6和9 10和18 15和30 20和8 有公因数2的有:10和18 20 和8
100以内6的倍数： 6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,66,72,78,84,90,96. 100以内10的倍数：10,20,30,40,50,60,70,80,90. 100以内6和10的公倍数：30,60,90. 100以内6和10的最小公倍数：30
2、求下列每组数的最小公倍数。
教学重点
建立两个数的公倍数的概念，理解最小公倍数的概念 。

8的倍数：8,16,24,32,40,48,56,
8的倍数中有哪些是6
的倍数？
观察：两个数的公倍数和它 们的最小公倍数之间有什么 关系？
6和8的公倍数：24,48,72,96…
我发现:两个数的公倍数 都是它们最小公倍数的倍数。
3和6
倍数关系 10和8
9和4
互质数
小技巧 如果较大的数是较小的数的 3和6 倍数，那么较大的数就是这两个 数的最小公倍数。 例如：9和27的最小公倍就是 27 ； 27和54的最小公倍数就是 54。 如果两个数是互质数，那 么这两个数的积就是它们的最 9和 4 小公倍数。 例如：9和5的最小公倍数就是 45 ； 27和8的最大公约数也是 216。
7. 3 路: 每隔 6 分钟发一次车 5 路: 每隔 8 分钟发一次车 3路和5路的起 它们刚 点站都在这儿 才同时 发的车。
这两路公共汽车同时发车以后， 至少过多少分钟两路车才第二次 同时出发?
8.
我跑一圈用4分钟。
我跑一圈用3分钟。 我要用6分钟。
(1)如果爸爸妈妈同时起跑，至少多 少分钟后两人在起点再次相遇? 此 时爸爸、妈妈分别跑了多少圈?
求两个数的最大公因数和最小 公倍数，还可以用下面的方法。 30 2 18 15 3 9 3 5 18和24的最小公倍数是 2×3× 3× 5 = 90 18和24的最大公因数是 2×3 = 6
两个数既不是互质数关系又不
是倍数关系，先用这两个数公有 的质因数连续去除（一般从最小 的开始），一直除到所得的商是
的公倍数，叫做它们的最小公倍数。
怎样求6和8的最小公倍数？ 你还有其他方法吗？和 同学讨论一下。
6的倍数：6,12,18,24,30,36,42,48…

有[a,b]|M,
且有[a,b]
ab (a,b)
。
证：由M的定义知有M=ac=bd,又设
a (a,b)a1,b (a,b)b1 有 a1c b1d
因为 (a1,b1) ab1所以b1 | c，即 c b1t
有M=a b1t =(a,b) t,显然当t=1时最小，
即
[a, b]
ab (a,b)
17
D 不存在对任意整数恒取素数的多项式
人们曾试图找一个能表示素数的多项式， 但都 失败了.
例给出了x2 x 41 ，当x=0,1,2,…39时都
是素数,但当x=40时就是合数
x2 x 72491 , 当x=0,1,2,…,11000时都是 素数,但当x=110001时就是合数.
用反证法可证不存在对任意整数恒取素数 的多项式（略）
.
所以M=[a,b]t,即有[a,b]|M.
2
例:设正整数m是a,b的公倍数,则
证明：
且
3
推论：设a,b,m是正整数，则[ma, mb]=m[a,b] 证：由 [ma, mb] m2ab mab m[a,b]
(ma, mb) (a,b)
下面给出n个整数的最小公倍数的方法
定理2：设 a1, a2 , an为n个整数，又
§3 最小公倍数 定义： n是大于1的整数，整数 a1, a2 , an 的公共倍数称为 a1, a2 , an的公倍数，正 公倍数中最小的一个称为 a1, a2 , an 的最
小公倍数。记成 [ a1, a2 , an ]
例 [2，-8]=8 下面考虑两个数的最小公倍数
1
定理1：设M是正整 数a,b的任一公倍数，则
又a3 | m m3 | m … mn | m

这个班的人数可能是12、24、36人
课堂小结，畅谈收获
几个数公有的倍数就是它们的公倍数，其中最 小的一个就是它们的最小公倍数。 如果两个数是倍数关系，较大数就是它们的最 小公倍数。如果两个数是互质数，两个数的乘积就 是它们的最小公倍数。 如果两个数既没有倍数关系，又不是互质数， 我们可以用（列举法、短除法或分解质因数法等） 求两个数的最小公倍数。
两个数有没有最大的公倍数？
因为每一个数的倍数的个数 都是无限的，所以两个数的公 倍数的个数也是无限的．因此， 两个数没有最大的倍数．
大家来总结用短除法求两个数 的最小公倍数的方法。
求两个数的最小公倍数，先用这两个数 公有的质因数 连续去除（一般从最小的开始），一直除到 所得的商是 互质数为止 ，然后把 所有的除数 和 最后的两个商 连乘
×
）
12 6316 84(24和32的最小公倍数是2×2 × 2 =8
×
)
找规律
5.找出下列每组数的最小公倍数。你发现了什么 ?
３和6（６ ） ２和８（ ８ ）５和１ 5（ １５）
我们发现: 当两个数是倍数关系时，这两个数的最 小公倍数就是较大的数；
１４ ）３和８（２４ ） ５和６（ ３０）２和７（ 我们发现：当两个数是互质数时，这两个数的最小 公倍数就是它们的乘积。
起来。
公有的质因数 独有的质因数
1. 请找出30和42的最小公倍数！
提示：一个数的倍数应当包含这个数所有的质因数。 把30和42分解质因数。 30 42 用公有的质因数 2去除。 2 3 02 2 4 2 3 15 3 5 15 21 5 7 用公有的质因数 3去除。 3 2 1 除到两个商是互质数为止 7 思考：它们的公倍数应当 含有哪些质因数？ 30的质因数 2、3、5，42的质因数2、3、7。

小组讨论
鼓励学员分组讨论，分享 解题思路和计算方法，提 升团队协作能力。
进阶练习
复杂数字处理
设计包含多个数字、有一定难度 的题目，如求多组数字的最大公 因数和最小公倍数，让学员学会 处理复杂数字和多个数字之间的
关系。
一题多解
设计具有多种解法的题目，引导 学员思考不同解题思路，拓展数
学思维。
错题解析
探索规律
探索最大公因数和最小公倍数 在计算中的规律，如倍数关系 、互质关系等。
综合运用
将最大公因数和最小公倍数的 知识与其他数学知识相结合，
综合运用解决实际问题。
THANKS
感谢观看
06
总结与回顾
主要知识点回顾
最大公因数和最小公倍数的定义
最大公因数的求法
最大公因数是指两个或多个整数共有的最 大的正整数，最小公倍数是指两个或多个 整数的公有的最小的倍数。
使用质因数分解法，先将两个数进行质因 数分解，然后找出所有公共的质因数并相 乘，得到最大公因数。
最小公倍数的求法
最大公因数和最小公倍数的应用
最小公倍数
两个或多个整数的公有的最小的 倍数，且该倍数能够被这几个整 数共同整除。
最大公因数和最小公倍数的意义
最大公因数
反映了几个整数共有的因子个数，是 数学中的一个重要概念。
最小公倍数
反映了几个整数的公共倍数情况，对 于解决与时间相关的应用问题有重要 作用。
最大公因数和最小公倍数的应用
01
02
定义法
最小公倍数的定义
两个或多个整数公有的倍数中最小的一个，称为它们的最小 公倍数。
求法
利用最小公倍数的定义，我们可以先求出两个数的最大公因 数，再用这个最大公因数去除这两个数，得到它们的最小公 倍数。

4和9
我们发现: 当两个数是倍数关系时，这两个数的最小公倍数就是较大的数； 当两个数是互质数时，这两个数的最小公倍数就是这两个数的积。
6
我们也可以利用分解质因数的方法，比较简便地求出两个数的最小公倍数。 例如: 60 = 2×2×3×5 42 = 2×3×7 60 和 42 的最小公倍数 = 2×3×2×5×7 = 420。
人教版五年级下册第四单元 最小公倍数
1
复习：
写出下面各数的倍数。
8的倍数有：（ 12的倍数有：（
8、16、24、32、40、48、）…… 12、24、36、48、60、……）
2
2 怎样求 6 和 8 的最小公倍数? 6 和 8 的公倍数有很多呢。
3
用图表示也很清楚。
4
6 的倍数中有哪些 是 8 的倍数呢?
3 路和 5 路的起 点站都在这儿。
它们刚才同 时发的车。
这两路公共汽车同时发车以后，至少过多少分钟两路车才第二次同时出发?
13
6 和 8 的最小公倍数是 24， 所以至少过 24 分钟两路车才第二次同时发车。
14
8.
我跑一圈用 3 分钟。
我跑一圈用 4 分钟。
(1)如果爸爸妈妈同时起跑，至少多少分钟后两人在 起点再次相遇? 此时爸爸、妈妈分别跑了多少圈?
11
5. 下面的说法对吗? 说一说你的理由。 (1)两个数的最小公倍数一定比这两个数都大。 错。两个数的最小公倍数不一定比这两个数 都大。比如: 2 和 8 的最小公倍数是 8。 (2)两个数的积一定是这两个数的公倍数。 对。
12
3 路: 每隔 6 分钟发一次车
7.
5 路: 每隔 8 分钟发一次车
你还有其他方法吗? 和同学讨论一下。 观察一下，两个数的公倍数和它们的最小公倍数之间有什么关系?