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高中数学高考综合复习 专题十二 三角函数的图象与性质
一、知识网络
二、高考考点
（一）三角函数的性质
1、三角函数的定义域，值域或最值问题；
2、三角函数的奇偶性及单调性问题；常见题型为：三角函数为奇函数（或偶函数）的充要条件的应用；寻求三角函数的单调区间；比较大小的判断等.
3、三角函数的周期性；
寻求 型三角函数的周期以及难度较高的含有绝对值的三角函数的周期.
（二）三角函数的图象
1、基本三角函数图象的变换；
2、 型三角函数的图象问题；重点是“五点法”作草图的逆用：由给出的一段函数图象求函数解析式；
3、三角函数图象的对称轴或对称中心：寻求或应用；
4、利用函数图象解决应用问题.
（三）化归能力以及关于三角函数的认知变换水平.
三、知识要点 2
（一）三角函数的性质
1、定义域与值域
2、奇偶性
（1）基本函数的奇偶性
奇函数：y＝sinx，y＝tanx；
偶函数：y＝cosx.
（2） 型三角函数的奇偶性
（ⅰ）g（x）＝ （x∈R）
g（x）为偶函数
由此得 ；
同理， 为奇函数
.
（ⅱ）
为偶函数 ；
为奇函数 .
3、周期性
（1）基本公式
（ⅰ）基本三角函数的周期
y＝sinx，y＝cosx的周期为 ；
y＝tanx，y＝cotx的周期为 .
（ⅱ） 型三角函数的周期
的周期为 ； 3
的周期为 .
（2）认知
（ⅰ） 型函数的周期
的周期为 ；
的周期为 .
（ⅱ） 的周期
的周期为 ；
的周期为 .
均同它们不加绝对值时的周期相同，即对y＝ 的解析式施加绝对值后，该函数的周期不变.注意这一点与（ⅰ）的区别.
（ⅱ）若函数为 型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”.
第 1 页 共 10 页 2021年高考数学三角函数的图象与性质
(1)高考命题的热点主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三角恒等变换交汇命题．
(2)高考对此部分内容主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等偏下，大多出现在第6～12或14～16题位置上．
考点一 三角函数的定义、诱导公式及基本关系
1.[三角函数的定义及应用](2019·昆明市诊断测试)在平面直角坐标系中，角α的始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆交于点P－35，45，则sinα＋π4＝( )
A．210 B．－210
C．7210 D．－7210
2.[同角三角函数的关系式及应用]若tan α＝12，则sin4α－cos4α的值为(
)
A．－15 B．－35
C．15 D．35
3.[诱导公式及应用]设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x．当0≤x
)
A.12 B．32 C．0 D．－12
1.[与数列交汇]设an＝1nsinnπ25，Sn＝a1＋a2＋…＋an，在S1，S2，…，S100中，正数的个数是( )
A．25 B．50
C．75 D．100
2.[与算法交汇]某一算法程序框图如图所示，则输出的S的值为( ) 第 2 页 共 10 页
A.32
B．－32 C.3 D．0
3.[借助数学文化考查]《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为2π3，半径等于4 m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是( )
A．6 m2 B．9 m2
C．12 m2 D．15 m2
智才艺州攀枝花市创界学校高考数学百大经典例题——三角函数的图象和性质
解：在单位圆中，作出锐角α在正弦线MP，如图2-9所示
在△MPO中，MP+OM＞OP=1即MP+OM＞1
∴sinα+cosα＞1
于P1，P2两点，过P1，P2分别作P1M1⊥x轴，P2M2⊥x轴，垂足分
k∈Z}
【说明】 学会利用单位圆求解三角函数的一些问题，借助单位圆求解不等式的一般方法是：①用边界值定出角的终边位置；②根据不等式定出角的范围；③在[0，2π]中找出角的代表；④求交集，找单位圆中重叠的局部；⑤写出角的范围的表达式，注意加周期．
【例3】 求以下函数的定义域：
解：(1)为使函数有意义，需满足2sin2x+cosx-1≥0
由单位圆，如图2-12所示
k∈Z}
【说明】 求函数的定义域通常是解不等式组，利用“数形结合〞，借助于数轴画线求交集的方法进展．在求解三角函数，特别是综合性较强的三角函数的定义域，我们同样可以利用“数形结合〞，在单位圆中画三角函数线，求表示各三角不等式解集的扇形区域的交集来完成．
(4)为使函数有意义，需满足：
取k=0和-1时，得交集为-4＜x≤-π或者0≤x≤π
∴函数的定义域为(-4，-π]∪[0，π] 【说明】 求三角函数的定义域要注意三角函数本身的特征和性质，如在转化为不等式或者不等式组后要注意三角函数的符号及单调性，在进展三角函数的变形时，要注意三角函数的每一步变形都保持恒等，即不能改变原函数的自变量的取值范围．
【例4】 求以下函数的值域：
∴此函数的值域为{y|0≤y＜1}
∵1+sinx+cosx≠0 ∴t≠-1
【说明】 求三角函数的值域，除正确运用必要的变换外，还要注意函数的概念的指导作用，注意利用正、余弦函数的有界性．
【例5】 判断以下函数的奇偶性：
【分析】 先确定函数的定义域，然后根据奇函数成偶函数的定义判断函数的奇偶性．
∵f(1-x)=-sin(-2x)=sin2x=-f(x)
高中数学会考三角函数图象与性质专题训练
一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分）
题号 1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11 12 得分
答案
1、在区间[π2,π]上，
A、y＝sinx是增函数，且y＝cosx是减函数
B、y＝sinx是减函数，且y＝cosx是增函数
C、y＝sinx是增函数，且y＝cosx是增函数
D、y＝sinx是减函数，且y＝cosx是减函数
2、下列函数中，最小正周期为2的是
A、)32sin(xy B、)32tan(xy
C、)62cos(xy D、)64tan(xy
3、函数是xxy2cos2sin2
A、周期为2的奇函数 B、期为2的偶函数
C、周期为4的奇函数 D、期为4的偶函数
4、sin110°,sin80°,sin50°的大小关系是
A、sin110°
C、sin80°
5、函数2,6x,xcosy的值域是
A、[0,1] B、[1,1] C、[0,23] D、[21,1]
6、设mM和分别表示函数1cos31xy的最大值和最小值，则等于mM
A、32 B、32 C、34 D、－2
7、用五点法作xy2sin2的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是
A、2,23,,2,0 B、4,3,2,,0 C、,43,2,4,0 D、32,2,3,6,0
8、函数y=sin)32215(x
A、是奇函数不是偶函数 B、是偶函数不是奇函数
C、既是奇函数又是偶函数 D、不是奇函数也不是偶函数
9、若函数y=sin(x+φ)为偶函数，则φ的一个取值为
A、4 B、2 C、π D、2π
10、要得到函数)12sin(xy的图象，只要将函数y＝sinx的图像
