高考数学复习专题训练—三角函数的图象与性质(含解析)

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高考数学复习专题训练—三角函数的图象与性质

一、单项选择题

1.(2021·山东青岛一模)已知角θ终边上有一点P(tan4π3,2sin(-17π6)),则cos θ的值为( )

A.12 B.-12 C.-√32 D.√32

2.(2021·新高考Ⅰ,4)下列区间中,函数f(x)=7sinx-π6单调递增的区间是(

)

A.(0,π2) B.(π2,π) C.(π,3π2) D.(3π2,2π)

3.(2021·山西临汾一模)已知θ=π3,则下列各数中最大的是( )

A.sin(sin θ) B.sin(cos θ) C.cos(sin θ) D.cos(cos θ)

4.(2021·浙江金华期中)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω≠0)的图象经过点(π24,0),一条对称轴方程为x=π6,则函数f(x)的周期可以是( )

A.3π4 B.π2 C.π4 D.π12

5.(2021·广东广州月考)将函数f(x)=sin(2x+θ)(-π2<𝜃1)个单位长度后得到函数g(x)的图象,若f(x),g(x)的图象都经过点P(0,√32),则φ的值可以是( )

A.3π2 B.5π6 C.π2 D.π6

6.(2021·山东日照期末)已知函数f(x)=sinωx+π3(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有6个零点,则实数ω的取值范围为( )

A.[176,+∞) B.(176,+∞) C.[176,103) D.(176,103)

7.(2021·江西临川期末)函数f(x)=x-1𝑥·cos(π2𝑥)的大致图象可能为( ) 2

8.(2021·湖北荆门模拟)已知函数f(x)=asin 2x-bsin2x(a>0,b>0),若f(π2)=f(5π6),则下列结论正确的是( )

A.f(0)

B.f(0)

C.f(12)

D.f(1)

二、多项选择题

9.(2021·山西太原月考)已知函数f(x)=2(2|cos x|+cos x)sin x,则下列结论错误的是( )

A.当x∈[0,3π2]时,f(x)∈[0,3]

B.函数f(x)的最小正周期为π

C.函数f(x)在区间[π,5π4]上单调递减

D.函数f(x)的对称中心为(2kπ,0)(k∈Z)

10.(2021·辽宁锦州模拟)已知ω>13,函数f(x)=sin(2𝜔𝑥-π3)在区间(π,2π)上没有最值,则下列结论正确的是( )

A.f(x)在区间(π,2π)上单调递增

B.ω∈[512,1124]

C.f(x)在区间[0,π]上没有零点

D.f(x)在区间[0,π]上只有一个零点

三、填空题

11.(2021·四川绵阳期中)已知角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin 215°,cos 215°),则α=. 3

12.(2021·海南海口中学期末)已知函数f(x)=sin(𝜔𝑥-π6)(ω>0)在区间(0,4π3)上单调递增,在区间(4π3,2π)上单调递减,则ω= .

13.(2021·河北石家庄期中)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(𝜔>0,0<𝜑

14.(2021·浙江金华月考)已知函数f(x)=sin 4x-2cos 4x,若对任意的x∈R都有f(x)≥f(x0),则f(𝑥0+π8)=.

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答案与解析

1.D 解析 因为tan4π3=tan(π+π3)=tanπ3=√3,sin(-17π6)=sin(-2π-π+π6)=sin(-π+π6)=-sinπ-π6=-sinπ6=-12,所以2sin(-17π6)=-1,所以P(√3,-1).

所以cos θ=√3√(√3)2+(-1)2=√32.

2.A 解析 由x-π6∈[-π2+2𝑘π,π2+2𝑘π],k∈Z,得x∈[-π3+2𝑘π,2π3+2𝑘π],k∈Z.当k=0时,得函数f(x)=7sin(𝑥-π6)的单调递增区间为[-π3,2π3],

∵(0,π2)∈[-π3,2π3],∴(0,π2)是函数f(x)的一个单调递增区间.故选A.

3.D 解析 当θ=π3时,sin θ=√32,cos θ=12,则sin(sin θ)=sin√32=cos(π2-√32),sin(cos

θ)=sin12=cos(π2-12),cos(sin θ)=cos√32,cos(cos θ)=cos12,

∵0<12

∴cos12>cos(π2-√32)>cos√32>cos(π2-12),∴最大的是cos12,即最大的是cos(cos θ).

4.B 解析 由题意得π6−π24=2𝑘+14T(k∈Z),则T=π4𝑘+2(k∈Z).结合四个选项可知,只有选项B符合.

5.B 解析 依题意g(x)=sin[2(x-φ)+θ]=sin(2x+θ-2φ),因为f(x),g(x)的图象都经过点P(0,√32),所以{sin𝜃=√32,sin(𝜃-2𝜑)=√32,

因为-π2

结合四个选项可知,只有选项B符合. 5

6.C 解析 令f(x)=0,即ωx+π3=kπ(k∈Z),故x=-π3𝜔+𝑘π𝜔(k∈Z),又ω>0,可知在区间[0,2π]上,从左到右f(x)的第1个零点为x1=-π3𝜔+π𝜔=2π3𝜔,而第6个零点为x6=-π3𝜔+6π𝜔=17π3𝜔,第7个零点为x7=-π3𝜔+7π𝜔=20π3𝜔,故17π3𝜔≤2π<20π3𝜔,解得176≤𝜔<103.

7.A 解析 函数f(x)=(𝑥-1𝑥)cos(π2𝑥)的定义域为{x|x≠0},f(-x)=(-𝑥-1-𝑥)cos(-π𝑥2)=-(𝑥-1𝑥)cos(π𝑥2)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,排除B,C选项;当00,所以f(x)<0,排除D选项.

8.B 解析 由题意得f(x)=asin 2x-b1-cos2𝑥2=√𝑎2+𝑏24·sin(2x+φ)-𝑏2(其中tan𝜑=𝑏2𝑎,0<𝜑

令g(x)=sin(2x+φ),

由f(π2)=f(5π6),得g(π2)=g(5π6),则g(π2+5π62)=±1,即sin(4π3+𝜑)=±1,解得φ=-5π6+kπ,k∈Z,

∴φ=π6,∴g(x)=sin(2𝑥+π6).

故g(0)=12,g(1)=sin(2+π6)>sinπ6=12,

又函数g(x)的图象关于直线x=π6对称且函数g(x)在区间[0,π6]上单调递增,π6−12<1-π6,

∴g(12)>g(1),于是g(0)

9.ABD 解析 依题意f(x)={3sin2𝑥,-π2+2𝑘π≤𝑥

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由图象知,当x∈[0,3π2]时,f(x)∈[-1,3],故A错误;函数f(x)的最小正周期为2π,故B错误;函数f(x)在区间[π,5π4]上单调递减,故C正确;函数f(x)的对称中心为(kπ,0)(k∈Z),故D错误.

10.BD 解析 由函数f(x)=sin(2𝜔𝑥-π3)在区间(π,2π)上没有最值,得2kπ-π2≤2ωπ-π3<4ωπ-π3≤2kπ+π2,或2kπ+π2≤2ωπ-π3<4ωπ-π3≤2kπ+3π2,k∈Z;解得k-112≤𝜔≤𝑘2+524,或k+512≤𝜔≤𝑘2+1124,k∈Z,由𝑇2≥2π-π=π,得T≥2π,即2π2𝜔≥2π,则𝜔≤12.

又ω>13,所以13<𝜔≤12.所以可取k=0,得𝜔∈[512,1124],且f(x)在区间(π,2π)上单调递减;所以A错误,B正确;当x∈[0,π]时,2ωx-π3∈[-π3,2𝜔π-π3],且2ωπ-π3∈[π2,7π12],所以f(x)在区间[0,π]上只有一个零点,所以C错误,D正确.

11.235° 解析 由三角函数的定义可得cos α=sin 215°√sin2215°+cos2215°=sin 215°=cos

235°,sin α=cos 215°√sin2215°+cos2215°=cos 215°=sin 235°,所以α=235°.

12.12 解析 由题意f(4π3)=sin(4π3𝜔-π6)=1⇒4π3𝜔-π6=2kπ+π2(k∈Z)⇒ω=32k+12(k∈Z),若k>0,则ω≥2,T≤π与已知矛盾;若k<0,ω<0,与已知不符,当k=0时,得ω=12满足题意.

13.-12 解析 设f(x)的最小正周期为T,因为f(x+π)=f(x),所以nT=π(n∈N*),所以T=π𝑛=2π𝜔(n∈N*),所以ω=2n(n∈N*),又f(π12)=1,所以当x=π12时,ωx+φ=n·π6+φ=π2+2kπ(n∈N*,k∈Z),所以φ=π2+2kπ-n·π6(n∈N*,k∈Z),因为0

所以𝑛π6=π3+2kπ(n∈N*,k∈Z),

所以f(-π12)=sin[2𝑛·(-π12)+π6]=sin-𝑛π6+π6=sin(-π3-2𝑘π+π6)=sin(-π6)=-12(n∈N*,k∈Z).