3三角函数的图像与性质

三角函数的图像与性质

一、知识梳理

1、 正弦函数sin,0,2yxx的图象上有五个关键点是

余弦函数cos,0,2yxx的图象上五个关键点是

2、 作正切函数tan,,yxx的图象关键是三点两线，三点是(,1),(0,0),(,1)44,两线是

3、 三角函数的图象和性质：图象、定义域、值域、最大（小）值，奇偶性、周期性、有界性、单调性、对称中心sin,(,0);cos,(,0);tan,(,0)22kyxkyxkyx对称轴。

4、 五点法做函数sin()yAx的图象：分别另x取30,,,,222，求出相应的x值与y值，然后描点，再用光滑的曲线连结，即可得到一个周期函数的图象，通过左右平移，就得到sin()yAx在R上的图象。

5、 ,,A的物理意义：A叫 ，决定图象的最高（低）点的位置；x叫

叫 ，影响图象的零值点； 影响其周期，周期2||T。通常情况下0,0,A可正可负可为0.

6、 三角函数的图象变换：由sinyx的图象可有两条途径得到sin()yAx的图象：

① 先相位变换，再周期和振幅变换

② 先周期或振幅变换，再相位变换，此时横坐标的平移量为 个单位。

例题解析：

例1、 用五点法作出2sin(2)33yx的图象。

习题1、如图为sin()yAx(0,0,||)2A

的图象的一段，求其解析式

3 3

3 65 O x y 例2、 将函数12cos()26yx的图象经过怎样的变换可以得到函数cosyx的图象？

习题2已知函数2sin(2)3yx。

（1）求它的振幅、周期和初相；

（2）用五点法作出它的图象；

（3）说明2sin(2)3yx的图象可由sinyx的图象经过怎样的变换而得到？

例3、（三角函数的性质--定义域）求函数2sin1yx的定义域。

习题3、求函数2cos2lg(9)yxx的定义域。

例4、（值域与最值）求函数2243sin4cos,,33yxxx的值域。

习题4、函数()sin()fxMx，在区间,ab上是增函数，且(),(),faMfbM则函数()cos()gxMx在,ab上（ ）

Ａ是增函数 Ｂ 是减函数Ｃ可以取得最大值MＤ可以取得最小值M 例５（周期性）（１）函数4cos()43xy的最小正周期为

（２）函数|sin|yx的周期为

例６（对称性）（１）下列个点中是函数cos(2)3yx的对称中心的是（ ）

Ａ(0,0)Ｂ11(,0)12Ｃ5(,0)6 Ｄ7(,0)4

（２）下列个点中不是函数tan()6yx的对称中心的是（ ）

A,06 B ,03 C 5,06 D 2,03

例7（单调性）求下列函数的单调增区间：11cos()23yx

习题7：已知函数tanyx在区间(,)22上是增函数，则的取值范围是（ ）

A 01 B 1 C 1 D 10

例8（综合问题）已知函数()logcos(2)3afxx(其中0,1aa)

（1）f(x)的定义域；（2）求f(x)的单调区间；（3）判断f(x)的奇偶性；

（4）判断f(x)的周期性，如果是周期函数，求它的最小正周期。

习题

一、基础题

1、若02，且同时满足不等式cossin,tansin,那么的取值范围是（ ）

A (,)2 B 3(,)44 C 3(,)2 D35(,)44

2、已知函数()sin()2fxx()xR，下面结论错误的是（ ）

A函数()fx的最小正周期是2 B 函数()fx在区间0,2上是增函数 C函数()fx的图象关于直线0x对称 D函数()fx是奇函数

3、已知简谐运动()2sin()(||)32fxx的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相分别为（ ）

A 6,6T B6,3T C6,6T D6,3T

4、设0，函数sin()23yx的图象向右平移43个单位后与原图像重合，则的最小值是（ ）

A23 B 43 C 32 D 3

5、为了得到函数sin(2)3yx的图象，只需要把函数sin(2)6yx的图象（ ）

A 向左平移4个长度单位 B向右平移4个长度单位

C向左平移2个长度单位 D向右平移2个长度单位

6、函数55sin(2)2yx是偶函数，则=

二、中档题

1、下列函数的图象关于y轴对称且不具备周期性的是（ ）

A |sin|yx Bsin||yx C sin()yx D sinyx

2、把函数sin(2)4yx的图象向右平移4个单位，再把图象上各个点的横坐标缩小为原来的12，所得的解析式为（ ）

Asin(2)2yxB3sin(4)4yxC3sin(4)2yxD3sin(4)8yx

3、已知函数sin()(,0)4yxxR的最小正周期为，为了得到函数cosyx的图象，只要将()yfx的图象 （ ）

A向左平移8个长度单位 B向右平移8个长度单位

C向左平移4个长度单位 D向右平移4个长度单位

4、函数5sin(2)2yx的图象的一条对称轴方程是 （ ）

A 2x B4x C8x D54x 5、当||4x时，函数2cossinyxx的最小值（ ）

A 212 B212 C 212 D212

6、方程sinlg(1)(0)xxx的实根的个数是（ ）

A 1 B 2 C 3 D 4

7、函数()3sin(2)3fxx的图象为C,

①图象C关于直线1112x对称；

②函数()fx在区间5(,)1212内是增函数；

③由3sin2yx的图象向右平移3个单位长度可以得到图象C.

以上三个说法中，正确说法的个数是（ ）

A 0 B 1 C 2 D 3

8、在ABC中，cossinAB，则ABC一定是（ ）

A 锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D不能确定

9、下列函数中，在区间[0,]2内是增函数，又是以为周期的偶函数的是（ ）

Ａsin2yx Ｂ|sin|yx Ｃcos2yx Ｄsin2xye

10、设()sin()(0,0)fxAxA的图象关于直线3x对称，它的最小正周期是，则()fx的图象的一个对称中心是 （ ）

A(,1)3 B (,0)12 C 5(,0)12 D (,0)12

11、定义在区间(0,)2上的函数6cosyx的图象与5tanyx的图象交点为P，过P点作1PPx轴于1P点，直线1PP与sinyx的图象交于点2P,则线段12PP的长为

12、 函数cos(sin)yx的值域是

13、已知(2,2)是函数sin()(0,0,||)2yAxA图象上的一个最高点，与其相邻的最低点Q之间的曲线与x轴交与点(6,0)，则此函数的解析式是

14、已知函数()sin()(0,0,||)2fxAxA的图象过点(,0)12P,且图象上与点P最近的一个最低点是(,2)6Q.

(1)求函数()fx的解析式；（2）求函数()fx的单调增区间；

（3）指出函数()fx的最大值以及取得最大值时的自变量x的值。

答案：习题1、3sin(2)3yx 习题2 略 习题3、333,,,34444

习题4、C 习题5（2）习题6、（1）B（2） C习题7 A

基础题：

1-5ADACB 6、2,55kkZ

中档题：1-5 BBAAB 5-10 DCBBB

11、23 12、cos1,113、2sin()84yx

14、（1）()2sin(2)6fxx（2）,63kk（3）最大值为2，,3xkkZ