导学案3.1.1 空间向量及其加减运算

§3.1.1空间向量及其加减运算一、课标要求：经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算.二、学习目标：（1）经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。

（2）了解空间向量的概念，掌握空间向量的加减运算，理解其几何意义。

三、学法指导：结合平面向量的相关性质，类比学习空间向量的概念与运算。

通过对空间向量的学习进一步体会数形结合的思想。

预习案1.空间向量的概念（1）空间向量的定义在空间，把具有 和 的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的 或 . （2）空间向量及其模的表示方法空间向量用有向线段表示，有向线段的 表示向量的模。

如图，a 的起点是A ，终点是B ，则a 也可记作 ，其模记为 或 . （3）特殊向量零向量：规定长度为0的向量叫做 ，记为 .其方向 . 单位向量： 的向量叫做单位向量.相反向量：与向量a 长度 而方向 的向量，记为 .相等向量：长度 而方向 的向量称为相等向量， 且 的有向线段表示同一向量或相等向量.2.空间向量的加法、减法类似平面向量（三角形法则、平行四边形法则、多边形法则），定义空间向量的加减法运算： OB OA OC =+= ；CA OA OC =-= ；3.空间向量加法的运算律（1）交换律 a b += ；（2）结合律 ()a b c ++= ； 探究案思考1、空间向量与平面向量有何共同之处？思考2、空间任意两个向量是否都可以转化为平面向量？为什么？ B a=++++-n n A A A A A A A A 1433221思考3、把平面向量的运算推广到空间向量，怎样定义空间向量的加法，减法运算？满足什么运算律？思考4、如何从平面和空间两个角度验证向量加法结合律?思考5、什么是平行六面体？它与平行四边形有何联系？它的特征有哪些？例1、判断以下命题的真假：①向量AB和向量BA的长度相等；②将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；③空间向量就是空间中的一条有向线段；④不相等的两个空间向量的模必不相等．例2、已知平行六面体ABCD-A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式 (如图)思考6、一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？变式练习：如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，下列各式中运算的结果为向量1AC 的共有( )①()1AB BC CC ++②()11111AA A D D C ++ ③()111AB BB B C ++④()11111AA A B B C ++ A.１个 B.２个 C.３个 D.４个 BCAB +)1(DC BAC 'B 'D 'A 'DCB C A A +''-')3(A A AD AB ++)4(D D DC DA ++)5(B B BC BA ++)6(C C AB '+)2(D C BAD 1C 1B 1A 1反馈练习1、下列命题中，正确的有( )(1)若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件；(2)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；(3)向量a 、b 相等的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧|a |＝|b |a ∥b ；(4)|a |＝|b |是向量a ＝b 的必要不充分条件；(5)AB →＝CD →的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个2、在平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，与向量AA ′→相等的向量(不含AA ′→)的个数 是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3、如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为向量AC 1→的共有( ) ①AB →＋BC →＋CC 1→ ②AA 1→＋B 1C 1→＋D 1C 1→ ③AB →－C 1C →＋B 1C 1→ ④AA 1→＋DC →＋B 1C 1→ A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个4、在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝__________. 5、化简(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝__________.6、如图所示的是平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1，化简下列各式． (1)AB →＋AD →＋AA 1→ (2)DD 1→－AB →＋BC →7、在四棱柱ABCD —A ′B ′C ′D ′中，底面ABCD 为矩形，化简下列各式．(1)AB →＋BB ′→－D ′A ′→＋D ′D →－BC →； (2)AC ′→－AC →＋AD →－AA ′→.。

3.1.1 空间向量及其加减运算【学习目标】1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量等的概念.2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，了解向量加法的交换律和结合律．【学习过程】一、自主学习知识点一 空间向量的概念(1)在空间，把具有 和 的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的 或空间向量用有向线段表示，有向线段的 表示向量的模，a 的起点是A ，终点是B ，则a 也可记作AB →，其模记为|a |或|AB →|.(2)几类特殊的空间向量名称定义及表示 零向量规定长度为0的向量叫 ，记为0 单位向量向量叫单位向量 相反向量与向量a 长度 而方向 的向量，称为a 的相反向量，记为－a 相等向量 方向 且模 的向量称为相等向量， 且 的有向线段表示同一向量或相等向量(1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算．OB →＝OA →＋AB →＝a ＋bCA →＝OA →－OC →＝a －bOB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →＝a ＋b(2)空间向量加法交换律a ＋b ＝b ＋a空间向量加法结合律(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )二、合作探究问题1 类比平面向量的概念，给出空间向量的概念．问题2 下面给出了两个空间向量a 、b ，作出b ＋a ，b －a .问题3 由上述的运算过程总结一下，如何求空间两个向量的和与差？下面两个图形中的运算分别运用了什么运算法则？探究点1 有关空间向量的概念的理解例1 给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ；③在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→；④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中不正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4探究点2 空间向量的加减运算例2 如图，已知长方体ABCD-A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1)AA →′－CB →；(2)AA ′→＋AB →＋B ′C →′.三、当堂测试1．下列命题中，假命题是( )A ．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小B ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C ．只有零向量的模等于0D ．共线的单位向量都相等2．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，与向量AD →相等的向量共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．向量a ，b 互为相反向量，已知|b |＝3，则下列结论正确的是( )A ．a ＝bB ．a ＋b 为实数0C ．a 与b 方向相同D ．|a |＝34．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知下列各式：①(AB →＋BC →)＋CC →1；②(AA →1＋A 1D →1)＋D 1C →1；③(AB →＋BB →1)＋B 1C 1；④(AA →1＋A 1B →1)＋B 1C →1.其中运算的结果为AC →1的有________个．5．化简2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →＝________.四、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?五、学后反思1、我的疑问：2、我的收获：。

3.1.1 空间向量及其加减运算~3.1.2 空间向量的数乘运算学 习 目 标核 心 素 养1．理解空间向量的概念．(难点) 2．掌握空间向量的线性运算．(重点) 3．掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用．(重点、难点)1．通过空间向量有关概念的学习，培养学生的数学抽象核心素养．2．借助向量的线性运算、共线向量及共面向量的学习，提升学生的直观想象和逻辑推理的核心素养． 新知初探1．空间向量(1)定义：在空间，具有 和 的量叫做空间向量． (2)长度或模：向量的 ． (3)表示方法：①几何表示法：空间向量用 表示；②字母表示法：用字母a ，b ，c ，…表示；若向量a 的起点是A ，终点是B ，也可记作： ，其模记为 或 ． 2．几类常见的空间向量名称 方向 模 记法 零向量任意0 0 单位向量 任意1相反向量 相反 相等 a 的相反向量：－aAB →的相反向量：BA →相等向量 相同 相等a ＝b3．向量的加法、减法空间向量的运算加法 OB →＝OA →＋OC →＝a ＋b减法 CA →＝OA →－OC →＝a －b 加法运算律(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )思考1：(2)平面向量的加减运算和空间向量的加减运算有什么联系？4．空间向量的数乘运算(1)定义：实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa 与向量a 方向相同；当λ<0时，λa 与向量a 方向相反；当λ＝0时，λa ＝0；λa 的长度是a 的长度的|λ|倍．(2)运算律：①λ(a ＋b )＝λa ＋λb ；②λ(μa )＝(λμ)a ． 5．共线向量和共面向量 (1)共线向量①定义：表示空间向量的有向线段所在的直线 ，则这些向量叫做 或平行向量．②共线向量定理：对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使 ． ③点P 在直线AB 上的充要条件：存在实数t ，使OP →＝ ． (2)共面向量①定义：平行于 的向量叫做共面向量．②共面向量定理：若两个向量a ，b 不共线，则向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使 ．③空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件：存在有序实数对(x ，y ), 使AP →＝ 或对空间任意一点O ，有OP →＝ ． 思考2：(1)空间中任意两个向量一定是共面向量吗？(2)若空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，满足OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，则点P 与点A ，B ，C 是否共面？初试身手1．如图所示，在四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1所有的棱中，可作为直线A 1B 1的方向向量的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a ，CB →＝b ，AD →＝c ，则CD →＝( ) A ．a ＋b －cB ．－a －b ＋cC ．－a ＋b ＋cD ．－a ＋b －c3．在三棱锥A ­BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则AB →＋12BC →－32DE →－AD →化简的结果为________．4．在三棱锥A ­BCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，则AF →－12(AB →＋AC →)的化简结果为________．合作探究类型1 空间向量的有关概念 例1 (1)给出下列命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；②若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |； ③在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AC →＝A 1C 1→； ④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ． 其中正确命题的序号是________．(2)如图所示，在平行六面体ABCD ­A ′B ′C ′D ′中，顶点连接的向量中，与向量AA ′→相等的向量有________；与向量A ′B ′→相反的向量有________．(要求写出所有适合条件的向量)规律方法解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点 1.关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向. 2.注意点：注意一些特殊向量的特性.①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性.②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同.若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量. 跟踪训练1．如图所示，以长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中，(1)试写出与AB →相等的所有向量； (2)试写出AA 1→的相反向量；(3)若AB ＝AD ＝2，AA 1＝1，求向量AC 1→的模．类型2 空间向量的线性运算例2 (1)如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为向量AC 1→的有( )①(AB →＋BC →)＋CC 1→； ②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→； ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→； ④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个(2)如图所示，在平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：①AP →； ②A 1N →； ③MP →＋NC 1→．规律方法1．空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果． 2．利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质． 跟踪训练2．已知ABCD 为正方形，P 是ABCD 所在平面外的一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形ABCD 的中点O ，Q 是CD 的中点，求下列各式中x ，y 的值． (1)OQ →＝PQ →＋xPC →＋yP A →； (2)P A →＝xPO →＋yPQ →＋PD →．类型3 共线问题例3 (1)设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB →＝e 1＋k e 2，BC →＝5e 1＋4e 2，DC →＝－e 1－2e 2，且A ，B ，D 三点共线，实数k ＝________．(2)如图正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，O 为A 1C 上一点，且A 1O ＝23A 1C →，BD 与AC 交于点M ．求证：C 1，O ，M 三点共线．规律方法1．判断向量共线的策略(1)熟记共线向量的充要条件：①若a ∥b ，b ≠0，则存在唯一实数λ使a ＝λb ；②若存在唯一实数λ，使a ＝λb ，b ≠0，则a ∥b ． (2)判断向量共线的关键：找到实数λ． 2．证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P ，A ，B 可通过证明下列结论来证明三点共线． (1)存在实数λ，使P A →＝λPB →成立．(2)对空间任一点O ，有OP →＝OA →＋tAB →(t ∈R )． (3)对空间任一点O ，有OP →＝xOA →＋yOB →(x ＋y ＝1)． 跟踪训练3．(1)已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，DD ．A ，C ，D(2)如图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →．求证：E ，F ，B 三点共线．类型4 向量共面问题 [探究问题]1．能说明P ，A ，B ，C 四点共面的结论有哪些？2．已知向量a ，b ，c 不共面，且p ＝3a ＋2b ＋c ，m ＝a －b ＋c ，n ＝a ＋b －c ，试判断p ，m ，n 是否共面．例4 如图所示，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且BM ＝13BD ，AN ＝13AE ．求证：向量MN →，CD →，DE →共面． 规律方法1．利用四点共面求参数向量共面的充要条件的实质是共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量，对于向量共面的充要条件，不仅会正用，也要能够逆用它求参数的值．2．证明空间向量共面或四点共面的方法(1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若p ＝x a ＋y b ，则向量p ，a ，b 共面．(2)若存在有序实数组(x ，y ，z )使得对于空间任一点O ，有OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，且x ＋y ＋z ＝1成立，则P ，A ，B ，C 四点共面．(3)用平面：寻找一个平面，设法证明这些向量与该平面平行． 跟踪训练4．已知A ，B ，C 三点不共线，平面ABC 外的一点M 满足OM →＝12OA →＋13OB →＋16OC →．(1)判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内．课堂小结1．一些特殊向量的特性(1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的． (2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1．(3)两个向量模相等，不一定是相等向量，反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量．2．四点P ，A ，B ，C 共面⇔对空间任意一点O ，都有OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，且x ＋y ＋z ＝1．3．OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →称为空间平面ABC 的向量表达式．由此可知空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．4．证明(或判断)三点A ，B ，C 共线时，只需证明存在实数λ，使AB →＝λBC →(或AB →＝λAC →)即可，也可用“对空间任意一点O ，有OC →＝tOA →＋(1－t )OB →”来证明三点A ，B ，C 共线．5．空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对(x ，y )，使MP →＝xMA →＋yMB →，满足这个关系式的点都在平面MAB 内；反之，平面MAB 内的任一点都满足这个关系式．这个充要条件常用于证明四点共面．课堂检测1．下列说法正确的是( )A ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相同，方向相同或相反B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |C ．两个向量相等，若它们的起点相同，则其终点不一定相同D ．若|a |>|b |，|b |>|c |，则a >c2．如图，在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，下列各式运算结果为BD 1→的是( )①A 1D 1→－A 1A →－AB →； ②BC →＋BB 1→－D 1C 1→； ③AD →－AB →－DD 1→； ④B 1D 1→－A 1A →＋DD 1→．A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④3．化简：12(a ＋2b －3c )＋5⎝⎛⎭⎫23a －12b ＋23c －3(a －2b ＋c )＝________． 4．如图，在平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ．试用a ，b ，c 表示B 1M →，C 1M →．参考答案新知初探1．(1)大小 方向 (2)大小 (3)①有向线段②AB → |a | AB →思考1：[提示] (1)以a ，b ，c 为相邻棱的平行六面体的体对角线．(2)任意两个向量都可平移到同一平面，故空间向量的加减运算与平面向量的加减运算类似． 5．(1)①互相平行或重合 共线向量 ②a ＝λb ③OA →＋tAB → (2)①同一个平面 ②p ＝x a ＋y b③xAB →＋yAC → OA →＋xAB →＋yAC →思考2：[提示] (1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面的两个向量，因此一定是共面向量．(2)由OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →得OP →－OA →＝13(OB →－OA →)＋13(OC →－OA →)即AP →＝13AB →＋13AC →，因此点P 与点A ，B ，C 共面．初试身手1．【答案】D【解析】共四条：AB ，A 1B 1，CD ，C 1D 1． 2．【答案】C【解析】CD →＝CB →＋BA →＋AD →＝CB →－AB →＋AD →＝－a ＋b ＋c ． 3．【答案】0【解析】延长DE 交边BC 于点F ，则有AB →＋12BC →＝AF →，32DE →＋AD →＝AD →＋DF →＝AF →，故AB →＋12BC →－32DE →－AD →＝0．4．【答案】EF →【解析】12(AB →＋AC →)＝AE →，AF →－12(AB →＋AC →)＝AF →－AE →＝EF →．合作探究类型1 空间向量的有关概念例1 【答案】(1)②③④ (2)BB ′→，CC ′→，DD ′→ B ′A ′→，BA →，CD →，C ′D ′→【解析】(1)对于①，向量a 与b 的方向不一定相同或相反，故①错；对于②，根据相反向量的定义知|a |＝|b |，故②正确；对于③，根据相等向量的定义知，AC →＝A 1C 1→，故③正确；对于④，根据相等向量的定义知正确．(2)根据相等向量的定义知，与向量AA ′→相等的向量有BB ′→，CC ′→，DD ′→．与向量A ′B ′→相反的向量有B ′A ′→，BA →，CD →，C ′D ′→．跟踪训练1．解：(1)与向量AB →相等的向量有A 1B 1→，DC →，，D 1C 1→，共3个；(2)向量AA 1→的相反向量为A 1A →，B 1B →，C 1C →，D 1D →，共4个；(3)|AC 1→|2＝22＋22＋12＝9，所以|AC 1→|＝3．类型2 空间向量的线性运算例2 (1)【答案】D【解析】对于①，(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→，对于②，(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→，对于③，(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→，对于④，(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→．(2)解：①∵点P 是C 1D 1的中点，∴AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝AA 1→＋AD →＋12AB →＝a ＋c ＋12b ， ②∵点N 是BC 的中点，∴A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN →＝－AA 1→＋AB →＋12AD →＝－a ＋b ＋12c ， ③∵点M 是AA 1的中点，∴MP →＋NC 1→＝MA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＋NC →＋CC 1→＝12a ＋c ＋12b ＋12c ＋a ＝32a ＋12b ＋32c ． 跟踪训练2．解：(1)如图所示，OQ →＝PQ →＋OP →，由向量加法的平行四边形法则可得PO →＝12(PC →＋P A →)，∴OP →＝－12PC →－12P A →， ∴OQ →＝PQ →＋OP →＝PQ →－12PC →－12P A →， ∴x ＝－12，y ＝－12． (2)∵P A →＝PD →＋DA →＝PD →＋2QO →＝PD →＋2(PO →－PQ →)＝PD →＋2PO →－2PQ →，∴x ＝2，y ＝－2．类型3 共线问题例3 (1)【答案】1【解析】AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(e 1＋k e 2)＋(5e 1＋4e 2)＋(e 1＋2e 2)＝7e 1＋(k ＋6)e 2．设AD →＝λAB →，则7e 1＋(k ＋6)e 2＝λ(e 1＋k e 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝7λk ＝k ＋6，解得k ＝1． (2)解：设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则MO →＝MC →＋CO →＝12AC →＋13CA 1→＝12(AB →＋AD →)＋ 13(CA →＋AA 1→) ＝12AB →＋12AD →＋13(CB →＋CD →＋AA 1→) ＝12AB →＋12AD →－13AD →－13AB →＋13AA 1→ ＝16AB →＋16AD →＋13AA 1→＝16a ＋16b ＋13c ， MC 1→＝MC →＋CC 1→＝12AC →＋AA 1→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1→， ＝12a ＋12b ＋c ， ∴MC 1→＝3MO →，又直线MC 1与直线MO 有公共点M ，∴C 1，O ，M 三点共线．跟踪训练3．(1)【答案】A【解析】因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(a ＋2b )＋(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝3a ＋6b所以AD →＝3AB →．又直线AB ，AD 有公共点A ，故A ，B ，D 三点共线．(2)证明：设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，因为A 1E →＝2ED 1→，A 1F →＝23FC →， 所以A 1E →＝23A 1D 1→，A 1F →＝25A 1C →， 所以A 1E →＝23AD →＝23b ， A 1F →＝25(AC →－AA 1→)＝25(AB →＋AD →－AA 1→)＝25a ＋25b －25c ，所以EF →＝A 1F →－A 1E →＝25a －415b －25c ＝25⎝⎛⎭⎫a －23b －c ． 又EB →＝EA 1→＋A 1A →＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ， 所以EF →＝25EB →，所以E ，F ，B 三点共线． 类型4 向量共面问题[探究问题]1． [提示] (1)存在有序实数对(x ，y )，使得AP →＝xAB →＋yAC →．(2)空间一点P 在平面ABC 内的充要条件是存在有序实数组(x ，y ，z )使得OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)．(3)P A →∥BC →．2． [提示] 设p ＝x m ＋y n ，即3a ＋2b ＋c ＝x (a －b ＋c )＋y (a ＋b －c )＝(x ＋y )a ＋(－x ＋y )b ＋(x －y )c ．因为a ，b ，c 不共面，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3，－x ＋y ＝2，x －y ＝1，而此方程组无解，所以p 不能用m ，n 表示，即p ，m ，n 不共面．例4 证明：因为M 在BD 上，且BM ＝13BD ，所以MB →＝13DB →＝13DA →＋13AB →．同理AN →＝13AD →＋13DE →． 所以MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝⎝⎛⎭⎫13DA →＋13AB →＋BA →＋⎝⎛⎭⎫13AD →＋13DE →＝23BA →＋13DE →＝23CD →＋13DE →． 又CD →与DE →不共线，根据向量共面的充要条件可知MN →，CD →，DE →共面．跟踪训练4．解：(1)因为OM →＝12OA →＋13OB →＋16OC →， 所以6OM →＝3OA →＋2OB →＋OC →，所以3OA →－3OM →＝(2OM →－2OB →)＋(OM →－OC →)，因此3MA →＝2BM →＋CM →＝－2MB →－MC →．故向量MA →，MB →，MC →共面．(2)由(1)知向量MA →，MB →，MC →共面，三个向量又有公共点M ，故M ，A ，B ，C 共面，即点M在平面ABC 内．课堂检测1．【答案】B【解析】对于A ，由|a |＝|b |可得a 与b 的长度相同，但方向不确定；对于B ，a 与b 是相反向量，则它们的模相等，故B 正确；对于C ，两向量相等，若它们的起点相同，则它们的终点一定相同，故C 错；对于D ，向量不能比较大小，故D 错．2．【答案】A【解析】①A 1D 1→－A 1A →－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→；②BC →＋BB 1→－D 1C 1→＝BC 1→＋C 1D 1→＝BD 1→；③AD →－AB →－DD 1→＝BD →－DD 1→＝BD →－BB 1→＝B 1D →≠BD 1→；④B 1D 1→－A 1A →＋DD 1→＝BD →＋AA 1→＋DD 1→＝BD 1→＋AA 1→≠BD 1→，故选A ．3．【答案】56a ＋92b －76c 【解析】原式＝12a ＋b －32c ＋103a －52b ＋103c －3a ＋6b －3c ＝⎝⎛⎭⎫12＋103－3a ＋⎝⎛⎭⎫1－52＋6b ＋⎝⎛⎭⎫－32＋103－3c ＝56a ＋92b －76c ． 4．解：B 1M →＝B 1A 1→＋A 1A →＋AM → ＝－a ＋c ＋12AC → ＝－a ＋c ＋12(a ＋b ) ＝－12a ＋12b ＋c ， C 1M →＝C 1B 1→＋B 1M →＝D 1A 1→＋B 1M →＝－b －12a ＋12b ＋c ＝－12a －12b ＋c ．。

3．1.1空间向量及其加减运算1．空间向量(1)定义□01在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)长度□02向量的大小叫做向量的长度或□03模．(3)表示方法(4)几类特殊的空间向量①零向量：□08规定长度为0的向量叫做零向量，记为□090.②单位向量：□10模为1的向量称为单位向量．③相反向量：□11与向量a长度相等而方向相反的向量称为a的相反向量，记为□12－a.④相等向量：□13方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示□14同一向量或□15相等向量．2．空间向量的加减法(1)定义类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)：OB→＝OA→＋AB→＝□16a＋b；CA→＝OA→－OC→＝□17a－b.(2)加法运算律①交换律：a＋b＝□18b＋a；②结合律：(a＋b)＋c＝□19a＋(b＋c)．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有向线段可用来表示空间向量，有向线段长度越长，其所表示的向量的模就越大．()(2)空间两非零向量相加时，一定可用平行四边形法则运算．()(3)0向量是长度为0，没有方向的向量．()(4)若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b.()答案(1)√(2)×(3)×(4)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)把所有单位向量的起点移到一点，则这些向量的终点组成的图形是________．(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，DD1→－AB→＋BC→化简后的结果是________．(3)如图所示，已知长方体ABCD－A1B1C1D1，化简下列向量的表达式：①AA 1→－CB →＝________. ②AB 1→＋B 1C 1→＋C 1D 1→＝________. ③12AD →＋12AB →－12A 1A →＝________.(4)(教材改编P 86T 3)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为AB ，B 1C 的中点．用AB →，AD →，AA 1→表示向量MN →，则MN →＝________.答案 (1)球面 (2)BD 1→ (3)①AD 1→ ②AD 1→ ③12AC 1→ (4)12AB →＋12AD →＋12AA 1→ 解析 (4)MN →＝MB →＋BC →＋CN →＝12AB →＋AD →＋12(CB →＋BB 1→)＝12AB →＋AD →＋12(－AD →＋AA 1→)＝12AB →＋12AD →＋12AA 1→.探究1 空间向量的概念 例1 给出下列命题：①两个相等的向量，若它们的起点相同，则终点必相同； ②在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→； ③若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ④空间中任意两个单位向量必相等； ⑤只有零向量的模为0. 其中假命题的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[解析] ①真命题．根据向量相等的定义，两个相等的向量若起点相同，终点必相同，只有这样才能保证它们的方向和大小都相同．②真命题．根据正方体的性质，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量AC→与A1C1→的方向相同，模长也相等，应有AC→＝A1C1→.③真命题．向量的相等满足传递规律．④假命题．空间中任意两个单位向量模长均为1，但方向不一定相同，故不一定相等．⑤真命题．根据零向量的定义可知．[答案] A拓展提升处理向量概念问题要关注的两个要素和两个关系(1)两个要素判断与向量有关的命题时，要抓住向量的两个主要要素，即大小与方向，两者缺一不可．(2)两个关系①模相等与向量相等的关系：两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件．②向量的模与向量大小的关系：由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的．但向量的模是可以比较大小的．【跟踪训练1】(1)给出下列四个命题：①方向相反的两个向量是相反向量；②若a，b满足|a|＞|b|且a，b同向，则a＞b；③不相等的两个空间向量的模必不相等；④向量BA→与向量AB→的长度相等．其中正确命题的序号为________．答案④解析①错误，方向相反且长度相等的两个向量是相反向量；②错误，向量不能比较大小；③错误，如BA →≠AB →但|BA →|＝|AB →|，④正确．(2)给出下列命题：①若|a |＝0，则a ＝0；②若a ＝0，则－a ＝0；③|－a |＝|a |，其中正确命题的序号是________．答案 ②③解析 ①错误，若|a |＝0，则a ＝0；②正确．③正确． 探究2 空间向量的加减运算例2 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为向量BD 1→的是( )①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→；③(AD →－AB →)－DD 1→；④(B 1D 1→－A 1A →)＋DD 1→. A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ [解析] ①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝A 1D 1→＋AA 1→＋BA →＝BD 1→； ②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC →＋BB 1→＋C 1D 1→＝BC 1→＋C 1D 1→＝BD 1→； ③(AD →－AB →)－DD 1→＝BD →＋D 1D →＝BD →－DD 1→＝BD →－BB 1→＝B 1D →≠BD 1→； ④(B 1D 1→－A 1A →)＋DD 1→＝B 1D 1→＋AA 1→＋DD 1→＝B 1D 1→＋BB 1→＋DD 1→＝BD 1→＋DD 1→≠BD 1→. 因此，①②两式的运算结果为向量BD 1→，而③④两式的运算结果不为向量BD 1→.故选A.[答案] A[结论探究] 例2条件下，判断下列各式中运算结果为向量AC 1→的有哪些？ ①(AB →＋BC →)＋CC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→；③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→；④(AA 1→－B 1A 1→)＋B 1C 1→. 解 ①(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→； ②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→； ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→；④(AA 1→－B 1A 1→)＋B 1C 1→＝(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→.故①②③④式运算结果都是向量AC1→.拓展提升1.空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．2．化简空间向量的常用思路(1)分组：合理分组，以便灵活利用三角形法则、平行四边形法则进行化简．(2)多边形法则：在空间向量的加法运算中，若是多个向量求和，还可利用多边形法则．若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和．(3)走边路：灵活运用空间向量的加法、减法法则，尽量走边路(即沿几何体的边选择途径)．【跟踪训练2】在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H，P，Q 分别是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1的中点，则()A.EF→＋GH→＋PQ→＝0B.EF→－GH→－PQ→＝0C.EF→＋GH→－PQ→＝0D.EF→－GH→＋PQ→＝0答案A解析EF→＋GH→＋PQ→＝AF→－AE→＋CH→－CG→＋D1Q→－D1P→＝0.探究3空间向量证明题例3 在如图所示的平行六面体中．求证：AC →＋AB ′→＋AD ′→＝2AC ′→.[证明] ∵平行六面体的六个面均为平行四边形， ∴AC →＝AB →＋AD →，AB ′→＝AB →＋AA ′→，AD ′→＝AD →＋AA ′→.∴AC →＋AB ′→＋AD ′→＝(AB →＋AD →)＋(AB →＋AA ′→)＋(AD →＋AA ′→)＝2(AB →＋AD →＋AA ′→)， 又∵AA ′→＝CC ′→，AD →＝BC →，∴AB →＋AD →＋AA ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC →＋CC ′→＝AC ′→， ∴AC →＋AB ′→＋AD ′→＝2AC ′→.拓展提升空间向量证明题的注意点利用三角形法则或平行四边形法则进行证明，一定要注意和(差)向量的方向．必要时利用空间向量可自由平移，使作图容易．【跟踪训练3】 借助平行六面体，证明：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．证明 作平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′使AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，如图，则：(a ＋b )＋c ＝(AB →＋AD →)＋AA ′→＝AC →＋CC ′→＝AC ′→，a ＋(b ＋c )＝AB →＋(AD →＋AA ′→)＝AB →＋(BC →＋CC ′→)＝AB →＋BC ′→＝AC ′→， 所以(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．1.在空间，向量、向量的模、相等向量的概念和平面向量完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反.2.向量可以平移，任意两个向量都是共面向量．因此空间两个向量的加、减法运算和平面向量完全相同，可以利用平行四边形法则和三角形法则来进行.3.空间向量进行减法运算时，一定要抓住向量的起点与终点，否则容易导致结果计算错误．如AB →－AD →，误写成BD →，应为DB →.1．向量a ，b 互为相反向量，已知|b |＝3，则下列结论正确的是( ) A ．a ＝bB ．a ＋b 为实数0C ．a 与b 方向相同D ．|a |＝3答案 D解析 因为a ，b 互为相反向量，所以a ＝－b ，a ＋b ＝0，a 与 b 方向相反，|a |＝|b |＝3.2．已知空间向量AB →，BC →，CD →，AD →，则下列结论正确的是( ) A.AB →＝BC →＋CD → B.AB →－DC →＋BC →＝AD → C.AD →＝AB →＋BC →＋DC → D.BC →＝BD →－DC → 答案 B解析 AB →－DC →＋BC →＝AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.3．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( )A ．空间四边形B ．平行四边形C ．等腰梯形D ．矩形答案 B解析 ∵AO →＋OB →＝AB →，DO →＋OC →＝DC →， ∴AB →＝DC →，∴线段AB ，DC 平行且相等， ∴四边形ABCD 是平行四边形．4．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的中心为O ，则在下列各结论中正确结论的序号为________．①OA →＋OD →与OB 1→＋OC 1→是一对相反向量； ②OB →－OC →与OA 1→－OD 1→是一对相反向量； ③OA →＋OB →＋OC →＋OD →与OA 1→＋OB 1→＋OC 1→＋OD 1→是一对相反向量； ④OA 1→－OA →与OC →－OC 1→是一对相反向量． 答案 ①③④解析 下图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为AD ，B 1C 1的中点，则由向量运算的平行四边形法则，知OA →＋OD →＝2OE →，OB 1→＋OC 1→＝2OF →，又OE →＝－OF →，所以命题①正确．由于OB →－OC →＝CB →，OA 1→－OD 1→＝D 1A 1→，所以OB →－OC →与OA 1→－OD 1→是两个相等的向量，所以命题②是不正确的． 同理可得命题③④是正确的．5．下图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝2，AA 1＝1，以该长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的所有向量中，(1)单位向量共有多少个？ (2)试写出模为5的所有向量； (3)试写出与AB →相等的所有向量； (4)试写出AA 1→的相反向量． 解 (1)由于AA 1＝1，所以AA 1→，A 1A →，BB 1→，B 1B →，CC 1→，C 1C →，DD 1→，D 1D → 这8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．(2)由于这个长方体的左、右两侧的对角线长均为5，所以模为5的向量为AD 1→，D 1A →，A 1D →，DA 1→，BC 1→，C 1B →，B 1C →，CB 1→.(3)与向量AB →相等的所有向量(除它自身之外)为A 1B 1→，DC →，D 1C 1→. (4)向量AA 1→的相反向量为A 1A →，B 1B →，C 1C →，D 1D →.A 级：基础巩固练一、选择题1．下列命题正确的有( )①空间向量就是空间中一条有向线段；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件；③若a ≠b ，则a 与b 的方向不同；④AB →＝CD →的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 答案 A解析 ①错误，有向线段是表示向量的一种图形工具；②正确，由AB →＝DC →知AB ∥DC 或A ，B ，C ，D 四点共线，|AB →|＝|DC →|，因此在A ，B ，C ，D 四点不共线的前提下，AB →＝DC →⇔ABCD 是平行四边形；③错误，不相等的向量，方向可以相同；④错误．2．空间任意四个点A ，B ，C ，D ，则BA →＋CB →－CD →等于( )A.DB→B.AD→C.DA→D.AC→答案C解析BA→＋CB→－CD→＝CB→＋BA→－CD→＝CA→－CD→＝DA→.3．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB→－CB→＋CB1→|＝() A．1 B. 2 C. 3 D．2答案B解析因为AB→－CB→＋CB1→＝AB→＋BC→＋CB1→＝AB1→，|AB1→|＝2，故选B.4．已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，设G是CD的中点，则AB→＋12( BD→＋BC→)等于()A.AG→B.CG→C.BC→D.1 2 BC→答案A解析如图所示．∵G是CD的中点，∴12(BD→＋BC→)＝BG→，∴AB→＋12(BD→＋BC→)＝AG→.5．如图直三棱柱ABC－A1B1C1中，若CA→＝a，CB→＝b，CC1→＝c，则A1B→等于()A．a＋b－c B．a－b＋cC．－a＋b＋c D．－a＋b－c答案 D解析 A 1B →＝A 1C 1→＋C 1C →＋CB →＝AC →－CC 1→＋CB →＝－CA →－CC 1→＋CB →＝－a ＋b －c . 6．空间四边形ABCD 中，M ，G 分别是BC ，CD 的中点，则MG →－AB →＋AD →＝( ) A ．2DB → B ．3MG → C ．3GM → D ．2MG → 答案 B解析 MG →－AB →＋AD →＝MG →＋BD →＝MG →＋2MG →＝3MG →. 二、填空题7．下图所示，在三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，AC →与A ′C ′→是________向量，AB →与B ′A ′→是________向量．(用相等、相反填空)答案 相等 相反解析 根据相等向量、相反向量的定义知， AC →与A ′C ′→是相等向量.AB →与B ′A ′→是相反向量．8．已知向量a ，b ，c 互相平行，其中a ，c 同向，a ，b 反向，|a |＝3，|b |＝2，|c |＝1，则|a ＋b ＋c |＝________.答案 2解析 由a ，c 同向，a ，b 反向及|a |＝3，|b |＝2，|c |＝1，画图可知，|a ＋b ＋c |＝|a |＋|c |－|b |＝3＋1－2＝2.9．已知点M 是△ABC 的重心，则MA →＋MB →＋MC →＝________. 答案 0解析 设D 为AB 的中点，则MA →＋MB →＝2MD →，又M 为△ABC 的重心，则MC →＝－2MD →，所以MA →＋MB →＋MC →＝0.三、解答题10．如图所示，已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，点E ，F ，G 分别是BC ，CD ，DB 的中点，请化简：(1)AB →＋BC →＋CD →；(2)AB →＋GD →＋EC →，并标出化简得到的向量． 解 (1)AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.(2)∵点E ，F ，G 分别为BC ，CD ，DB 的中点， ∴BE →＝EC →，EF →＝GD →.∴AB →＋GD →＋EC →＝AB →＋BE →＋EF →＝AF →. 所求向量AD →，AF →如图所示．B 级：能力提升练如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为其中心．(1)化简AB →＋CC 1→＋B 1D 1→；(2)若AA 1→＋x ＋BC →＋C 1D →＋D 1A 1→＝0，则x 可以是图中有向线段所示向量中的哪一个？(至少写出两个)解 (1)AB →＋CC 1→＋B 1D 1→＝AB →＋BB 1→＋B 1D 1→＝AB 1→＋B 1D 1→＝AD 1→. (2)因为BC →＝B 1C 1→，D 1A 1→＝DA →，所以AA 1→＋x ＋BC →＋C 1D →＋D 1A 1→＝AA 1→＋x ＋B 1C 1→＋C 1D →＋DA →＝0， 所以AA 1→＋x ＋B 1A →＝0，所以x ＝A 1B 1→.又因为A1B1→＝AB→＝DC→＝D1C1→，所以x可以是A1B1→，AB→，DC→，D1C1→中的任一个．。

3.1.1～3.1.2 空间向量及其加减与数乘运算教学目标：（1）学生通过与平面向量及运算作类比并借助图形，理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘运算及其运算律，并思考两者的联系和区别。

（2）让学生经历向量由平面向空间推广的过程，使学生体会类比和归纳的数学思想方法，并体验数学在结构上的和谐性。

预习探究案 1.在 ，我们把 ，叫做空间向量. ____________叫做向量的长度或模. 2.与平面向量一样，空间向量也用表示，此表示法为空间向量的 .如右图，此向量的起点是A ，终点是B ，可记作 ， 也可记作 .其模长记为__________或 . 3. 叫做零向量，记为 ,零向量的方向是 .当有向线段的起点A 与终点B 时，0AB = 4. 的向量称为单位向量.5.与向量a 的向量，称为a 的相反向量，记为-a .6. 的向量称为相等的向量.因此，在空间， 的有向线段表示或 .7.类似于平面向量，定义空间向量的加减运算如OB = = ,AB = = .推广: . 8.交换律： ;结合律： .9.实数λ与a的积仍然是一个向量，记作 ,称为向量的数乘.长度与方向规定为：(1)长度是 .(2)方向：当λ>0时， ；当λ<0时， ;当λ=0时， . 10.空间向量的数乘运算满足分配律与结合律.分配律： . 结合律： .11、对于空间任意两个向量,(0)a b b ≠，a ∥b 的充要条件是 。

称它为共线向量定理。

12、如果两个向量,a b 不共线，那么向量p 与向量,a b 共面的充要条件是 。

称为共面向量定理。

13、已知点Ｍ在平面ＡＢＣ内，并且对于空间任一一点Ｏ，1133OM xOA OB OC =++例1. 1. 花简: AB CD BC ++= . AP MN NP +-= .EF OF OE +-= .2 已知平行六面体ABC D －D C B A '''',化简下列向量表达式，标出化简结果的向量.①AB BC AA '+- ； ② AB AD AA '++；③12AB AD CC '++； ④ 1()3AB AD AA '++3 若 ，求x.变式：在空间四边形ABCD 中，连结AC 、BD ，△BCD 的重心为G ，① z y x ++=求x 、y 、z.② 求证： .=++++-n n A A A A A A A A 1433221 2AD BD xAC ''-=1()3AG AB AC AD =++例2： 设12e e 、是平面上不共线的向量，已知1212122,3,2AB e ke CB e e CD e e =+=+=-，若Ａ、Ｂ、Ｄ三点共线，求k 的值。

选修2-1 3.1.1 空间向量及其加减运算（教案）【教学目标】1．运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； 2．了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质； 3．理解空间向量共线的充要条件. 【重点】空间向量的概念、空间向量的线性运算及其性质. 【难点】空间向量的线性运算及其性质.【创设情景】1.平面向量的概念及其运算法则；2.物体的受力情况分析. 【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 84 页～第 85 页）1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量.向量的大小叫做向量的长度或模.2.空间向量的表示： 用有向线段表示.有向线段的长度表示向量的模.如:向量a 的起点是A ,终点是B ,则向量a 也可以记作AB,其模记为||a 或||AB .规定： 长度为0的向量叫做零向量,记为0.模为0的向量称为单位向量.与向量a 长度相等而方向相反的向量,称为a 的相反向量.记为 a .注：⑴空间的一个平移就是一个向量⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示3.相等向量：方向相同且模相等的向量称为相等向量.空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内,成为同一平面内的两个向量.如图.4.空间向量的加法和减法运算(如图)：OB OA AB =+=+a b , CA OA OC =-=-a b .5.空间向量的加法满足交换律及结合律： +=+a b b a ， ()()++=++a b c a b c .探究：在平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱) A B C D A B C D ''''-中,分别标出AB AD AA '++ ,AB AA AD '++表示的向量.你能从中体会向量加法运算的交换律及结合律吗?一般地,三个不共 面的向量的和与这三个向量有什么关系?【基础练习】 【典型例题】例1 如图，在三棱柱111C B A ABC -中，M 是1BB 的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： （1）1BA CB +； （2）121AA CB AC ++；（3）CB AC AA --1.【审题要津】解：（1）11CA BA CB =+；（2）AM AA CB AC =++121；（3）11BA CB AC AA =--. 【方法总结】/B 例2 如图，在长方体///BDCAOADB-中，1,2,4,3======OKOJOIOCOBOA，点E,F 分别是//,BDDB的中点，设kOKjOJiOI===,,,试用向量kji,,表示OE和OF 【审题要津】解：jiOE423+=；kjiOF2423++=.【方法总结】已知空间四边形A B C D，连结,AC BD，设,M G分别是,BC CD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：（1）AB BC CD++；（2）1()2A B B D B C++；（3）1()2A G AB A C-+．BCDM GA选修2-1 3.1.1 空间向量及其加减运算（学案）【教学目标】1．运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； 2．了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质； 3．理解空间向量共线的充要条件. 【重点】空间向量的概念、空间向量的线性运算及其性质. 【难点】空间向量的线性运算及其性质.【创设情景】1.平面向量的概念及其运算法则；2.物体的受力情况分析. 【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 84 页～第 85 页）1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量.向量的大小叫做向量的长度或模.2.空间向量的表示： 用有向线段表示.有向线段的长度表示向量的模.如:向量a 的起点是A ,终点是B ,则向量a 也可以记作AB,其模记为||a 或||AB .规定： 长度为0的向量叫做零向量,记为0.模为0的向量称为单位向量.与向量a 长度相等而方向相反的向量,称为a 的相反向量.记为 a .注：⑴空间的一个平移就是一个向量⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示3.相等向量：方向相同且模相等的向量称为相等向量.空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内,成为同一平面内的两个向量.如图.4.空间向量的加法和减法运算(如图)：OB OA AB =+=+a b , CA OA OC =-=-a b .5.空间向量的加法满足交换律及结合律： +=+a b b a ， ()()++=++a b c a b c .探究：在平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱) A B C D A B C D ''''-中,分别标出AB AD AA '++ ,AB AA AD '++表示的向量.你能从中体会向量加法运算的交换律及结合律吗?一般地,三个不共 面的向量的和与这三个向量有什么关系?【基础练习】 【典型例题】例1 如图，在三棱柱111C B A ABC -中，M 是1BB 的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： （1）1BA CB +； （2）121AA CB AC ++；（3）CB AC AA --1.【审题要津】解：（1）11CA BA CB =+；（2）AM AA CB AC =++121；（3）11BA CB AC AA =--. 【方法总结】/B 例2 如图，在长方体///BDCAOADB-中，1,2,4,3======OKOJOIOCOBOA，点E,F 分别是//,BDDB的中点，设kOKjOJiOI===,,,试用向量kji,,表示OE和OF 【审题要津】解：jiOE423+=；kjiOF2423++=.【方法总结】已知空间四边形A B C D，连结,AC BD，设,M G分别是,BC CD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：（1）AB BC CD++；（2）1()2A B B D B C++；（3）1()2A G AB A C-+．BCDM GA。

空间向量及其运算3.1.1 空间向量及其加减运算教学目标：（1）通过本章的学习，使学生理解空间向量的有关概念。

（2）掌握空间向量的加减运算法则、运算律，并通过空间几何体加深对运算的理解。

能力目标：（1）培养学生的类比思想、转化思想，数形结合思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力。

（2）培养学生空间想象能力，能借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义。

（3）培养学生空间向量的应用意识教学重点：（1）空间向量的有关概念（2）空间向量的加减运算及其运算律、几何意义。

（3）空间向量的加减运算在空间几何体中的应用教学难点：（1）空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用。

（2）空间向量的加减运算及其几何的应用和理解。

考点：空间向量的加减运算及其几何意义，空间想象能力，向量的应用思想。

易错点：空间向量的加减运算及其几何意义在空间几何体中的应用教学用具：多媒体教学方法：研讨、探究、启发引导。

教学指导思想：体现新课改精神，体现新教材的教学理念，体现学生探究、主动学习的思维习惯。

教学过程：（老师）：同学们好！首先请教同学们一个问题：物理学中，力、速度和位移是什么量怎样确定（学生）：矢量，由大小和方向确定（学生讨论研究）（课件）引入：（我们看这样一个问题）有一块质地均匀的正三角形面的钢板，重500千克，顶点处用与对边成60度角，大小200千克的三个力去拉三角形钢板，问钢板在这些力的作用下将如何运动这三个力至少多大时，才能提起这块钢板（老师）：我们研究的问题是三个力的问题，力在数学中可以看成是什么（学生）向量（老师）：这三个向量和以前我们学过的向量有什么不同（学生）这是三个向量不共面（老师）：不共面的向量问题能直接用平面向量来解决么（学生）：不能，得用空间向量（老师）：是的，解决这类问题需要空间向量的知识这节课我们就来学习空间向量板书：空间向量及其运算（老师）:实际上空间向量我们随处可见，同学们能不能举出一些例子（学生）举例（老师）：然后再演示（课件）几种常见的空间向量身影。

3.1.1空间向量及其加减运算学习目标1．经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念．2．掌握空间向量的加法、减法运算．学习重点：空间向量的加减法运算．学习难点：空间向量的基本概念和性质．学习过程知识梳理1．空间向量的概念的图形？2．空间向量的加减法与运算律想一想：已知空间四边形ABCD，则AB＋BC＋CD＋DA＝0还成立吗？名师点睛1．空间向量的理解空间向量与平面向量没有本质区别，都是表示既有大小又有方向的量，具有数与形的双重性．形的特征：方向、长度、夹角等；数的属性：大小、正负、可进行运算等．空间向量的数形双重性，使形与数的转化得以实现，利用这种转化可使一些几何问题利用数的方式来解决．空间向量和有向线段不是同一概念，有向线段只是空间向量的一种几何直观表示法． 2．几类特殊向量(1)零向量和单位向量均是从向量模的角度进行定义的，|0| ＝0， 单位向量e 的模|e |＝1.(2)零向量不是没有方向，它的方向是任意的． (3)注意零向量的书写，必须是0这种形式．(4)两个向量不能比较大小，若两个向量的方向相同且模相等，称这两个向量为相等向量，与向量起点的选择无关．3．向量的加减法法则空间任意两个向量都是共面的，它们的加减法运算类似于平面向量的加减法，如图所示．OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b BA →＝OA →－OB →＝a －b注意：①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；②若首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则这些向量的和为0.题型一 空间向量的概念辨析 例1 给出以下命题：①若空间向量a 、b 满足|a|＝|b|，则a ＝b ； ②在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→； ③若空间向量m 、n 、p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ④空间中任意两个单位向量必相等．其中正确的命题序号为________(把你认为正确的命题序号都填上)． 变式1 判断下列命题的真假．(1)空间向量就是空间中的一条有向线段； (2)不相等的两个空间向量的模必不相等；(3)两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；(4)向量BA →与向量AB →的长度相等． 题型二 空间向量的加减运算例2 如图，已知长方体ABCDA ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1)AA ′→－CB →；(2)AA ′→＋AB →＋B ′C ′→.变式2 化简(AB →－CD →)－(AC →－BD →)题型三 空间向量加减运算的应用例3 在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，画出表示下列向量的有向线段． (1)AB →＋AD →＋AA 1→； (2)AB →＋CC 1→－DD 1→.变式3 已知平行六面体ABCDA ′B ′C ′D ′. 求证：AC →＋AB ′→＋AD ′→＝2AC ′→.参考答案学习过程 知识梳理1．空间向量的概念想一想： 成立．∵AB →＋BC →＝AC →，AC →＋CD →＝AD →，AD →＋DA →＝0，∴结论成立． 题型一 空间向量的概念辨析 例1 ②③【解析】 命题①，据向量相等的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，故①错；命题②符合两个向量相等的条件，②正确；命题③正确；命题④，任意两个单位向量只是模相等，方向不一定相同，故④错． 答案变式1 解 (1)假命题，有向线段只是空间向量的一种表示形式，但不能把二者完全等同起来．(2)假命题，不相等的两个空间向量的模也可以相等，只要它们的方向不相同即可． (3)假命题，当两个向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个向量相等却不一定有相同的起点和终点．(4)真命题，BA →与AB →仅是方向相反，它们的长度是相等的． 题型二 空间向量的加减运算例2 解 (1)AA ′→－CB →＝AA ′→－DA →＝AA ′→＋AD →＝AA ′→＋A ′D ′→＝AD ′→.(2)AA ′→＋AB →＋B ′C ′→＝(AA ′→＋AB →)＋B ′C ′→ ＝AB ′→＋B ′C ′→＝AC ′→. 向量AD ′→、AC ′→如图所示． 变式2解 法一 (统一成加法)原式＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝AB →＋DC →＋CA →＋BD →＝AB →＋BD →＋DC →＋CA →＝0. 法二 (利用OA →－OB →＝BA →)原式＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(AB →－AC →)－CD →＋BD →＝ CB →－CD →＋BD →＝DB →＋BD →＝0. 法三 (利用AB →＝OB →－OA →) 设O 是空间内任意一点，则原式＝[(OB →－OA →)－(OD →－OC →)]－[(OC →－OA →)－(OD →－OB →)] ＝OB →－OA →－OD →＋OC →－OC →＋OA →＋OD →－OB →＝0. 题型三 空间向量加减运算的应用 例3 解：如图．(1)AB →＋AD →＋AA 1→＝AC →＋AA 1→＝AC 1→. (2)AB →＋CC 1→－DD 1→＝AB →＋BB 1→－AA 1→＝AB 1→－AA 1→＝A 1B 1→. 图中AC 1→，A 1B 1→为所求.变式3 证明 ∵平行六面体的六个面均为平行四边形， ∴AC →＝AB →＋AD →，AB ′→＝AB →＋AA ′→， AD ′→＝AD →＋AA ′→，∴AC →＋AB ′→＋AD ′→＝(AB →＋AD →)＋(AB →＋AA ′→)＋(AD →＋AA ′→) ＝2(AB →＋AD →＋AA ′→)． 又∵AA ′→＝CC ′→，AD →＝BC →，∴AB →＋AD →＋AA ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC →＋CC ′→＝AC ′→， ∴AC →＋AB ′→＋AD ′→＝2AC ′→.。

3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算●三维目标1.知识与技能理解空间向量的概念，会用图形说明空间向量的线性运算及其运算律，初步应用空间向量的线性运算解决简单的立体几何问题．2．过程与方法学生通过类比平面向量的学习过程了解空间向量的研究内容和方法，经历向量及其运算由平面向空间的推广，体验数学概念的形成过程．3．情感、态度与价值观培养学生的空间观念和系统学习概念的意识．●重点难点重点：空间向量的概念及线性运算．难点：共线向量、共面向量定理及推论的应用．●教学建议由平面向量向空间向量的推广过程中，学生对于其相同点与不同点的理解有一定的困难，本节可采用的教学方式是通过问题启发引导学生自主完成概念的探究过程，紧紧围绕空间向量的概念及线性运算这一教学重点展开教学，并从教学过程的每个环节入手，多举实例，努力突破教学难点．●教学流程创设问题情境：观察正方体过同一顶点的三条棱所表示的向量与以前学习的向量有什么不同.⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒ 巩固向量共线、共面的条件，完成例3、例4及其变式训练，从而解决向量的共线、共面判断方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.【问题导思】观察正方体中过同一个顶点的三条棱所表示的向量OA →，OB →，OC →，它们和以前所学的向量有何不同？【提示】 OA →，OB →，OC →是不同在一个平面内的向量，而我们以前所学的向量都在同一平面内.【问题导思】1．平面向量的加、减法满足怎样的运算法则？【提示】平面向量的加法满足三角形法则与平行四边形法则，减法满足三角形法则．2．平面向量中，数乘向量怎样定义的？【提示】平面中，实数λ与向量a的乘积λa仍是一个向量，称为向量的数乘；当λ＞0时，λa与a方向相同，当λ＜0时，λa与a方向相反，λa的长度是a的长度的|λ|倍．1．(1)空间向量的加、减法运算(如图3－1－1)图3－1－1OB→＝OA→＋AB→＝a＋b；CA→＝OA→－OC→＝a－b.(2)运算律：①a＋b＝b＋a；②(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．2．空间向量的数乘运算(1)定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．(2)运算律：①λ(a＋b)＝λa＋λb；②λ(μa)＝(λμ)a.1.共线向量(1)定义：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量；(2)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在实数λ使a＝λb.2．共面向量(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x a ＋y b.推论空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使AP→＝xAB→＋yAC→；或对空间任一定点O，有OP→＝OA→＋xAB→＋yAC→.空间向量的有关概念给出下列命题：①零向量没有确定的方向；→；②在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AC→＝A1C1③若向量a与向量b的模相等，则a，b的方向相同或相反；④在四边形ABCD中，必有AB→＋AD→＝AC→.其中正确命题的序号是________．【思路探究】(1)空间向量中，零向量是怎样定义的？(2)怎样判断两个向量相等？(3)四边形ABCD满足什么条件时，才有AB→＋AD→＝AC→？→的大小和方向【自主解答】①正确；②正确，因为AC→与A1C1均相同；③|a|＝|b|，不能确定其方向，所以a与b的方向不能确定；④中只有当四边形ABCD是平行四边形时，才有AB→＋AD→＝AC→.综上可知，正确命题为①②.【答案】①②1．在空间中，零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相对应的概念完全相同．2．由于向量是由其模和方向确定的，因此解答空间向量有关概念问题时，通常抓住这两点来解决．3．零向量是一个特殊向量，其方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性．下列命题是假命题的为________． (1)空间向量中的两个单位向量必相等； (2)若空间向量满足a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； (3)空间向量a 、b 满足a ＝b ，则|a |＝|b |；(4)若空间向量a ，b ，c 满足a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c .【解析】 (1)单位向量模相等，方向不一定相同，故两单位向量不一定相等；(2)若b ＝0，则结论不成立；(3)正确；(4)正确，相等向量满足传递性．【答案】 (1)(2)空间向量的线性运算如图3－1－2所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M为AC 的三等分点(靠近A 点)，N 是A 1D 的三等分点(靠近D 点)．设AB →＝a ，AD →＝b ，AA1→＝c ，试用a ，b ，c 表示MN →. 图3－1－2【思路探究】 结合图形→运用加、减、数乘的运算法则→错误!【自主解答】 MN →＝MA →＋AA 1→＋A 1N →＝－13AC→＋AA1→＋23A1D→＝－13(AB→＋AD→)＋AA1→＋23(AD→－AA1→)＝－13(a＋b)＋c＋23(b－c)＝－13a＋13b＋13c.1．空间向量的线性运算法则与平面向量相同，在空间向量的加法运算中，如下事实常帮助我们简化运算：(1)首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求若干个向量的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和；(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.2．利用向量的数乘运算可以判定两个向量共线、三个向量共面问题，进而解决几何中的点共线、点共面、线面平行等问题.1．下列说法正确的是( )A．若|a|＜|b|，则a＜bB．若a、b为相反向量，则a＋b＝0C．空间内两平行向量相等D．四边形ABCD中，AB→－AD→＝DB→【解析】向量的模有大小，但向量不能比较大小，A错；相反向量的和为0，不是0，B错；相等向量满足模相等，方向相同两个条件，平行向量不一定具备，C 错；D 正确．【答案】 D2．对于空间中任意三个向量a ，b,2a －b ，它们一定是( ) A ．共面向量 B ．共线向量 C ．不共面向量D ．既不共线也不共面向量【解析】 由共面向量定理易得答案A. 【答案】 A3．(a ＋2b )－3(a －b )＝________.【解析】 原式＝a ＋2b －3a ＋3b ＝－2a ＋5b . 【答案】 －2a ＋5b4．如图3－1－8，在长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，M 为AC ′的中点．化简下列各式．图3－1－8(1)AA ′→－CB →；(2)AB ′→＋B ′C ′→＋C ′D ′→； (3)12AD →＋12AB →－12A ′A →.【解】 (1)AA ′→－CB →＝AA ′→＋BC →＝AA ′→＋A ′D ′→＝AD ′→； (2)AB ′→＋B ′C ′→＋C ′D ′→＝AD ′→；(3)12AD →＋12AB →－12A ′A →＝12AD →＋12AB →＋12AA ′→＝12(AD →＋AB →＋AA ′→)＝12AC ′→＝AM →. 一、选择题1．如图3－1－9所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →等于( )图3－1－9A ．a ＋b －cB ．a －b ＋cC ．－a ＋b ＋cD ．－a ＋b －c【解析】 如题图A 1B →＝CB →－CA 1→＝CB →－(CC 1→＋CA →)＝b －(a ＋c )＝－a ＋b －c .【答案】 D2．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D【解析】 BD →＝BC →＋CD →＝－5a ＋6b ＋7a －2b ＝2a ＋4b ，BA →＝－AB →＝－a －2b ，∴BD →＝－2BA →，∴BD →与BA →共线，又它们经过同一点B ， ∴A 、B 、D 三点共线． 【答案】 A3．(2013·厦门高二检测)A 、B 、C 不共线，对空间任意一点O ，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则P 、A 、B 、C 四点( )A ．不共面B ．共面C ．不一定共面D ．无法判断 【解析】 ∵34＋18＋18＝1，∴点P 、A 、B 、C 四点共面． 【答案】 B4．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为BD 1→的是( )①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→－A 1A →)＋DD 1→. A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④【解析】 对于①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→； 对于②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→－D 1C 1→＝BC 1→＋C 1D 1→＝BD 1→； ③④化简结果不为BD 1→.【答案】 A5．(2013·佛山高二检测)如图3－1－10，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是A 1A ，AB ，BC ，CC 1，C 1D 1，D 1A 1的中点，则( )图3－1－10A.EF →＋GH →＋PQ →＝0B.EF →－GH →－PQ →＝0C.EF →＋GH →－PQ →＝0D.EF →－GH →＋PQ →＝0【解析】 由图观察，EF →、GH →、PQ →平移后可以首尾相接，故有：EF →＋GH →＋PQ →＝0.【答案】 A 二、填空题6．平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，用AB →、AD →、AA 1→表示D 1B →＝________.【解析】 D 1B →＝－BD 1→＝－(BA →＋BC →＋BB 1→)＝AB →－BC →－BB 1→＝AB →－AD →－AA1→.【答案】 AB →－AD→－AA 1→7．(2013·临沂高二期末)设e 1、e 2是空间两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，且A 、B 、D 三点共线，则k ＝________.【解析】 ∵BD →＝BC →＋CD →＝(－e 1－3e 2)＋(2e 1－e 2)＝e 1－4e 2 又∵A 、B 、D 三点共线，∴AB →＝λBD →， 即2e 1＋k e 2＝λ(e 1－4e 2)∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝λk ＝－4λ∴k ＝－8.【答案】 －88．已知两非零向量e 1、e 2，且e 1与e 2不共线，若a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R ，且λ2＋μ2≠0)，则下列三个结论有可能正确的是________．①a 与e 1共线；②a 与e 2共线；③a 与e 1，e 2共面．【解析】 当λ＝0时，a ＝μe 2，故a 与e 2共线，同理当μ＝0时，a 与e 1共线，由a ＝λe 1＋μe 2知，a 与e 1、e 2共面．【答案】 ①②③三、解答题9．已知ABCD 为正方形，P 是ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形ABCD 的中心O ，Q 是CD 的中点．求下列各式中x 、y 的值．(1)OQ →＝PQ→＋xPC →＋yPA →； (2)PA →＝xPO →＋yPQ →＋PD →.【解】如图所示，(1)∵OQ →＝PQ →－PO →＝PQ →－12(PA →＋PC →) ＝PQ →－12PA →－12PC →， ∴x ＝y ＝－12. (2)∵PA →＋PC →＝2PO →，∴PA →＝2PO →－PC →.又∵PC →＋PD →＝2PQ →，∴PC →＝2PQ →－PD →.从而有PA →＝2PO →－(2PQ →－PD →)＝2PO →－2PQ →＋PD →.∴x ＝2，y ＝－2.10．如图3－1－11所示，在空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，请判断EF →与AD →＋BC →是否共线？图3－1－11【解】 EF →与AD →＋BC →共线，连结AC ，取AC 中点G ，连结EG 、FG ，∴GF →＝12AD →，EG →＝12BC →. 又∵GF →、EG →、EF →共面，∴EF →＝GF →＋EG →＝12AD →＋12BC →＝12(AD →＋BC →)． 即EF →与AD →＋BC →共线．11．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知BE ＝13BB 1，DF ＝13DD 1，CG ＝23CC 1，那么A ，E ，G ，F 四点是否共面？ 【解】 由题意知AC →＝AB →＋AD →，CG →＝23CC 1→＝13BB 1→＋13DD 1→＝BE →＋DF →. ∴AG →＝AC →＋CG →＝AB →＋AD →＋BE →＋DF →＝AE →＋AF →.又AE →，AF →不共线，∴A ，E ，G ，F 四点共面．。

§3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量及其加减运算学习目标 1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示.2.掌握空间向量的加减运算及运算律，理解向量减法的几何意义.知识点1 空间向量 (1)空间向量的定义在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模.(2)空间向量及其模的表示方法空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模.如图，向量a 的起点是A ，终点是B ，则向量a 也可记作AB →，其模记为|a |或|AB →|.(3)特殊向量 名称 定义及表示零向量规定长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量 模为1的向量叫做单位向量相反向量 与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量，记为－a 相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若向量a 与b 都是单位向量，则a ＝b .( )(2)若a ＝－b ，则|a |＝|b |.( )(3)若两个向量的终点重合，则这两个向量的方向相同.( )提示 (1)若a 与b 都是单位向量，则|a |＝|b |，但未必有a ＝b ，故(1)错. (2)因为a ＝－b ，则a 与b 是相反向量，所以|a |＝|b |，(2)正确.(3)两个向量的终点重合，起点不知如何，则其方向的关系不能确定，故(3)错. [答案] (1)× (2)√ (3)× 知识点2 空间向量的加法、减法类似于平面向量，定义空间向量的加法和减法运算(如图)：OB→＝OA →＋AB →＝a ＋b ； CA→＝OA →－OC →＝a －b . 【预习评价】在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则AC 1→＝( )A.a ＋b ＋cB.a －b ＋cC.a ＋b －cD.a －b －c[解析] AC 1→＝AC →＋CC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→＝a ＋b ＋c . [答案] A知识点3 空间向量加法的运算律空间向量的加法运算满足交换律及结合律： (1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ； (2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ). 【预习评价】化简：AB→＋CD →－CB →＝________. [解析] AB→＋CD →－CB →＝AB →－CB →＋CD →＝(AB →＋BC →)＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.→[答案]AD题型一 空间向量的概念 【例1】 判断下列命题的真假. (1)空间中任意两个单位向量必相等； (2)方向相反的两个向量是相反向量； (3)若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ； (4)向量AB→与BA →的长度相等.解 (1)假命题.因为两个单位向量的模相等，但方向不一定相同. (2)假命题.因为方向相反的两个向量模不一定相等.(3)假命题.因为两个向量模相等时，方向不一定相同或相反，也可以是任意的. (4)真命题.因为BA→与AB →仅是方向相反，但长度是相等的.规律方法 空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念.【训练1】 如图所示，以长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中，(1)试写出与AB→相等的所有向量；(2)试写出AA 1→的相反向量；(3)若AB ＝AD ＝2，AA 1＝1，求向量AC 1→的模. 解 (1)与向量AB →相等的所有向量(除它自身之外)有A 1B 1→，DC →及D 1C 1→共3个. (2)向量AA 1→的相反向量为A 1A →，B 1B →，C 1C →，D 1D →.(3)|AC 1→|＝3.题型二 空间向量的加减运算【例2】 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式运算结果为BD 1→的是( )①A 1D 1→－A 1A →－AB →； ②BC →＋BB 1→－D 1C 1→； ③AD →－AB →－DD 1→； ④B 1D 1→－A 1A →＋DD 1→. A.①②B.②③C.③④D.①④[解析] (1)A 1D 1→－A 1A →－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→； (2)BC →＋BB 1→－D 1C 1→＝BC 1→＋C 1D 1→＝BD 1→；(3)AD →－AB →－DD 1→＝BD →－DD 1→＝BD →－BB 1→＝B 1D →≠BD 1→；(4)B 1D 1→－A 1A →＋DD 1→＝BD →＋AA 1→＋DD 1→＝BD 1→＋AA 1→≠BD 1→，故选A. [答案] A规律方法 运用法则进行向量的线性运算时要注意关键的要素：(1)向量加法的三角形法则：“首尾相接，指向终点”；(2)向量减法的三角形法则：“起点重合，指向被减向量”；(3)平行四边形法则：“起点重合”；(4)多边形法则：“首尾相接，指向终点”.【训练2】 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为向量AC 1→的是________(填序号).①(AB →＋BC →)＋CC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→；③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→；④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→.[解析] ①(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→；③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→；④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→.所以所给四个式子的运算结果都是AC 1→. [答案] ①②③④题型三 空间向量加减运算的应用【例3】 已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′.求证：AC→＋AB ′→＋AD ′→＝2AC ′→.证明 ∵平行六面体的六个面均为平行四边形， ∴AC→＝AB →＋AD →，AB ′→＝AB →＋AA ′→，AD ′→＝AD →＋AA ′→， ∴AC→＋AB ′→＋AD ′→＝(AB →＋AD →)＋(AB →＋AA ′→)＋(AD →＋AA ′→) ＝2(AB→＋AD →＋AA ′→). 又∵AA′→＝CC ′→，AD →＝BC →， ∴AB→＋AD →＋AA ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC →＋CC ′→＝AC ′→， ∴AC→＋AB ′→＋AD ′→＝2AC ′→. 规律方法 利用三角形法则或平行四边形法则画出和向量或差向量时，一定要注意和(差)向量的方向.必要时利用空间向量可自由平移，使作图容易. 【训练3】 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，画出表示下列向量的有向线段.(1)AB →＋AD →＋AA 1→；(2)AB →＋CC 1→－DD 1→. 解 如图.(1)AB →＋AD →＋AA 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→. (2)AB →＋CC 1→－DD 1→ ＝AB →＋BB 1→－AA 1→＝AB 1→－AA 1→＝A 1B 1→. 图中AC 1→，A 1B 1→为所求.课堂达标1.两个非零向量的模相等是两个向量相等的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件[解析] a ＝b ⇒|a |＝|b |；|a |＝|b |D ⇒/a ＝b . [答案] B2.在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，各条棱所在的向量中，模与向量A ′B ′→的模相等的向量有( ) A.7个B.3个C.5个D.6个[解析] |D ′C ′→|＝|C ′D ′→|＝|DC →|＝|CD →|＝|BA →|＝|AB →| ＝|B ′A ′→|＝|A ′B ′→|. [答案] A3.下列说法中正确的是( )A.若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等，方向相同或相反B.若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |C.空间向量的减法满足结合律D.在四边形ABCD 中，一定有AB→＋AD →＝AC → [解析] 若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等，方向不确定，故A 不正确；相反向量是指长度相同，方向相反的向量，故B 正确；空间向量的减法不满足结合律，故C 不正确；在▱ABCD 中，才有AB →＋AD →＝AC →，故D 不正确.故选B. [答案] B4.如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点.若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( )A.－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C.－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c[解析] BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →) ＝－12a ＋12b ＋c . [答案] A5.下列命题中正确的个数是________. ①如果a ，b 是两个单位向量，则|a |＝|b |；②两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若a ，b ，c 为任意向量，则(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )； ④空间任意两个非零向量都可以平移到同一个平面内.[解析] 由单位向量的定义知|a |＝|b |＝1，故①正确；因相等向量不一定有相同的起点和终点，所以②错误；由向量加法运算律知③正确；在空间确定一点后，可将两向量的起点移至该点，两向量所在直线确定一个平面，这两个非零向量就共同在这个平面内，故④正确. [答案] 3课堂小结1.空间向量的概念和平面向量类似，向量的模、零向量、单位向量、相等向量等都可以结合平面向量理解.2.向量可以平移，任意两个向量都是共面向量.因此空间两个向量的加减法运算和平面向量完全相同，可以利用平行四边形法则和三角形法则来进行运算.。

3.1.1空间向量及其加减运算教学目标：理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法它们的运算律；能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．教学重点：空间向量的加减运算及运算律．教学难点：由平面向量类比学习空间向量．教学过程：一、复习引入：_______________________________________________________________________;:(2)空间任意两个向量是否可能异面→讨论：相等向量同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．→讨论：空间任意两个向量是否共面2. 空间向量的加法、减法的定义与平面向量的运算一样：…OB →＝OA →＋AB →＝________；AB OB OA =-＝________.（指向被减向量）， 思考:（1）首尾相接的若干向量之和，等于由 起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．（如右图所示）：12231________;n nA A A A A A！$⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即： 12233411______;n n n A A A A A A A A A A -+++++=；3. 空间向量的加法的运算律．⑴加法交换律：a +b r = b + a； \⑵加法结合律：(a + b ) + =a + (b+ c )； 典例精析：例1如图所示，在长、宽、高分别为AB ＝3，AD ＝2，AA1＝1的长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中．(1)单位向量共有多少个(2)试写出模为5的所有向量． (3)试写出与AB →相等的所有向量．(4)试写出AA1→的相反向量． 解析：…规律总结：(1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件．(2)熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键．变式1：下列说法中正确的是( )A ．若|a|＝|b|，则a ，b 的长度相同，方向相同或相反'B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则|a|＝|b|C ．空间向量的减法满足结合律D ．在四边形ABCD 中，一定有AB →＋AD →＝AC →例2空间向量的加减运算如图，已知平行六面体ABCDA′B′C′D′，化简下列表达式． (1)AB →＋BB′→－D′A′--→＋D′D --→－BC →；(2)AC′→－AC →＋AD →－AA′→.解析：/规律总结：(1)掌握好向量加减法的三角形法则是解决这类问题的关键，灵活应用相反向量及两向量和、差，可使这类题迅速获解，另外需注意零向量的书写要规范．(2)利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．…变式2．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若CA→＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B -→＝________.课堂小结：1.空间向量的加法符合交换律，结合律.2.平面向量与空间向量. 空间任意两个向量都可平移到同一个平面内，成为同一平面内的向量.因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们.巩固提升：1.下列说法中正确的是( ) 《A ．若|a |＝|b |，则a 、b 的长度相同，方向相同或相反B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |C ．空间向量的减法满足结合律D.在四边形ABCD 中，一定有AB +AD =AC 2．判断下列说法是否正确：（1）零向量没有方向 ( )(2)零向量的方向不确定，所以任何两个零向量不相等 （ ） （3）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量（ ） ：（4）相等的向量，若起点不同，则终点一定不同 （ ）(5)对于空间任意两个向量，它们可能共面，也可能异面 （ ）3. 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，向量表达式1DD AB BC -+化简后的结果是（ ） A. 1BD B.1D B C ．1B D D.1DB4. 如图所示 a ，b 是两个空间向量，则AC 与A ′C ′→与A ′C ′→是________向量，AB →与B ′A ′→是________向量．空间向量及其加减运算:制作：王志刚 审核：贾秋福学习目标1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 复习引入讲授新课：1．空间向量的数乘运算 (1) 数乘向量： 结果 实数λ与空间向量a 的乘积是一个_____ λ的范围 方向关系 模的关系λ>0 】方向_____λa 的模是a 的模的_______ λ=0 λa=0,其方向是任意的 λ<0方向_____(2)运算律:①分配律:λ(a+b)=________; ②结合律:λ(μa)=________. 2．空间向量的共线问题：空间任意两个向量有几种位置关系如何判定它们的位置关系新知：（1）空间向量的共线：如果表示空间向量的 所在的直线互相 或 ，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量.(2) 空间向量共线： ,定理：对空间任意两个向量,a b （0b ≠）， //a b 的充要条件是存在唯一实数λ，使得推论：如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是》试试：已知5,28,AB a b BC a b =+=-+ ()3CD a b =- ，求证: A,B,C 三点共线.反思：充分理解两个向量,a b 共线向量的充要条件中的0b ≠，注意零向量与任何向量共线. 3.空间向量的共面问题：空间任意两个向量不共线的两个向量,a b 有怎样的位置关系空间三个向量又有怎样的位置关系[新知：(1)共面向量：同一平面的向量.(2). 空间向量共面：定理：对空间两个不共线向量,a b，向量p与向量,a b共面的充要条件是存在，使得.推论：空间一点P与不在同一直线上的三点A,B,C共面的充要条件是：⑴存在，使⑵对空间任意一点O，有$￥试试：若空间任意一点O和不共线的三点A,B,C满足关系式111236OP OA OB OC=++,则点P与A,B,C共面吗/反思：若空间任意一点O和不共线的三点A,B,C满足关系式OP xOA yOB zOC=++,且点P与A,B,C共面，则x y z++=.典例精析：例1：化简：1．（1）5（32a b-）+4（23b a-）；⑵()()63a b c a b c-+--+-.-2．(2014·上海高二检测)已知正方体ABCD-A′B′C′D′中,点E是A′C′的中点,点F是AE的三等分点,且AF=EF,则等于()11A.AA AB AD22111B.AA AB AD222111C.AA AB AD266111D.AA AB AD366''''＋＋＋＋＋＋＋＋解析：【变式1：如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1B1→＝a，A1D1→＝b，A1A→＝c，则下列向量中与B1M→相等的向量是()A．－12a＋12b＋c B.12a＋12b＋c C.12a－12b＋c D．－12a－12b＋c ,.2ABCD AC O OA OB OC OD 例　如，已知平行四形，平面外一作射，，，，在四射上图边过点线条线、变式2：已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外任一点，若由OP →＝15OA →＋23OB →＋λOC →确定的一点P 与A ，B ，C 三点共面，则λ＝__________.课堂小结：1。

3.1.1空间向量及其加减运算导学案使用说明：1、先仔细阅读教材84—85页，有针对性的二次阅读教材。

2、限时25分钟，规范完成预习，探究案部分。

3、A层掌握好导学案，并完成好课后题，B层完成好导学案和课后题，C层完成好学案。

学习目标：（1）理解空间向量的概念掌握空间向量加减运算及其运算律。

（2）通过与平面向量及运算作类比并借助图形，理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法运算及其运算律，并思考两者的联系和区别。

（3）经历向量由平面向空间推广的过程，使学生体会类比和归纳的数学思想方法，并体验数学在结构上的和谐性。

学习重点：理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法运算。

学习难点：空间向量加减法运算律的灵活应用。

预习案一．新知预习1.在，我们把，叫做空间向量.____________叫做向量的长度或模.2.与平面向量一样，空间向量也用表示，此表示法为空间向量的 .如右图，此向量的起点是A，终点是B，可记作，也可记作.其模长记为__________或.3. 叫做零向量，记为,AB 零向量的方向是.当有向线段的起点A与终点B时，04. 的向量称为单位向量.5.与向量a的向量，称为a的相反向量，记为-a.6. 的向量称为相等的向量.因此，在空间，的有向线段表示或.7.类似于平面向量，定义空间向量的加减运算如下OB= = ,AB= = .推广:. 8.交换律： ; .你能尝试利用图形来进行说明吗?探究案探究一 空间向量及其有关概念1、空间中的单位向量，向量的模，相等向量，相反向量等概念和平面向量中对应的概念完全一样。

也要注意有些结论与平面向量是有区别的。

2、对于有关向量基本概念的考察，可以从概念中的特征入手，也可以通过反例排除或否定相关命题。

给出下列命题：①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆; ②若空间向量a ，b 满足∣a ∣=∣b ∣，则a =b ； ③在正方体1111ABCD A B C D -中，必有11AC AC =; ④若空间向量m ，n ，p 满足m= n ，n=p ，则m=p ； ⑤ 空间中任意两个单位向量必相等。

3.1空间向量及其运算教学设计教案第一篇：3.1空间向量及其运算教学设计教案教学准备1.教学目标（1）知识与技能：理解和掌握空间向量的基本概念，向量的加减法（2）过程与方法：通过高一学习的平面向量的知识，引申推广，理解和掌握向量的加减法（3）情感态度与价值观：类比学习，注重类比、推广等思想方法的学习，运用向量的概念和运算解决问题，培养学生的开拓创新能力。

2.教学重点/难点【教学重点】：空间向量的概念和加减运算【教学难点】：空间向量的应用3.教学用具多媒体4.标签3.1.1空间向量及其加减运算教学过程课堂小结 1．空间向量的概念： 2．空间向量的加减运算课后习题第二篇：3.1空间向量及其运算教学设计教案教学准备1.教学目标1、知识与技能：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，会在简单问题中选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量。

2、过程与方法：通过类比、推广等思想方法，启动观察、分析、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会类比、推广的思想方法，对向量加深理解。

3、情感、态度与价值观：通过本节课的学习，养成积极主动思考，勇于探索，不断拓展创新的学习习惯和品质。

2.教学重点/难点重点：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；难点：理解空间向量基本定理；3.教学用具多媒体设备4.标签教学过程教学过程设计（一）.复习引入1、共线向量定理：2、共面向量定理：3、平面向量基本定理：4、平面向量的正交分解：（二）、新课探究：探究一.空间向量基本定理2、空间向量基本定理3、注意：对于基底{a,b,c},除了应知道向量a,b,c不共面，还应明确（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。

（2）由于零向量可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是零向量。

（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。

3.1.1 空间向量及其加减运算[目标] 1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示.2.掌握空间向量的加减运算及其运算律，理解向量减法的几何意义．[重点] 空间向量加减运算及其几何意义．[难点] 向量加减运算由平面向空间的推广．知识点一空间向量的有关概念[填一填]1．定义：在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量．2．长度：向量的大小叫做向量的长度或模．4．几类特殊向量[答一答]1．向量可以用有向线段表示，那么有向线段是向量吗？提示：不是．虽然有向线段既有大小又有方向，但它不是一个量．2．如何理解零向量的方向？提示：由于零向量的长度为零，可以理解为表示零向量的有向线段长度为零，因此可以理解为零向量不是没有方向，而是方向是任意的．3．你能说出平面向量与空间向量的区别与联系吗？提示：(1)区别：平面向量研究的是二维平面的向量，空间向量研究的是三维空间的向量．(2)联系：空间向量的定义、表示方法及零向量、单位向量、相反向量和相等向量的概念都与平面向量相同．知识点二空间向量的加减运算[填一填][答一答]4．空间两向量的加减法与平面内两向量的加减法完全一样吗？提示：因为空间中任意两个向量均可平移到同一个平面内，所以空间向量与平面向量加减法均可以用三角形或平行四边形法则，是一样的．5．共起点的两个不共线向量的和向量所对应的线段是平行四边形的对角线，那么三个不共面的向量的和向量与这三个向量有什么关系？提示：如图，将三个不共面的向量平移至同一起点，以这三个向量所对应的线段为棱作平行六面体，则这三个向量的和向量所对应的线段即为从该起点出发的平行六面体的体对角线．1．零向量的方向是任意的，同平面向量中的规定一样，0与任何空间向量平行．2．单位向量的模都相等且为1，而模相等的向量未必是相等向量．3．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面内的两个向量，因而空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加、减法运算．类型一 空间向量的有关概念 【例1】 给出以下命题：①若a ，b 是空间向量，则|a |＝|b |是a ＝b 的必要不充分条件； ②若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |； ③两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ；⑤在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→；⑥空间中任意两个单位向量必相等． 其中，正确的命题序号是________． 【分析】 用空间向量的有关概念进行判断．【解析】 以上命题①②④⑤正确．两向量若相等，必须方向相同且模相等．但相等的向量起点不一定相同，故③错；两个单位向量虽模相等，但方向不一定相同，故⑥错．【答案】 ①②④⑤与平面向量一样，空间向量也有向量的模、向量的夹角、单位向量、零向量、相等向量、相反向量、平行向量的概念.两个向量是否相等，要看方向是否相同，模是否相等，与起点和终点位置无关.(1)把空间所有单位向量归结到一个共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是( C )A ．一个圆B ．两个孤立的点C ．一个球面D ．以上均不正确(2)下列命题中正确的个数是( C ) ①如果a ，b 是两个单位向量，则|a |＝|b |； ②两个空间向量共线，则这两个向量方向相同； ③若a ，b ，c 为非零向量，且a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ④空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：(1)单位向量的模为1，把所有空间单位向量移到共同起点后，向量的终点到起点的距离均为1，构成了一个球面．(2)对于①：由单位向量的定义即得|a |＝|b |＝1，故①正确；对于②：共线不一定同向，故②错；对于③：正确；对于④：正确，在空间任取一点，过此点引两个与已知非零向量相等的向量，而这两个向量所在的直线相交于此点，两条相交直线确定一个平面，所以两个非零向量可以平移到同一平面内．类型二 空间向量的加减运算【例2】 如图，已知正方体ABCD ­A ′B ′C ′D ′，点E 是上底面A ′B ′C ′D ′的中心，求下列各式中x 、y 、z 的值．(1)BD ′→＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→； (2)AE →＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→.【解】 (1)∵BD ′→＝BD →＋DD ′→＝BA →＋BC →＋DD ′→＝－AB →＋AD →＋AA ′→， 又BD ′→＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→，∴x ＝1，y ＝－1，z ＝1.(2)∵AE →＝AA ′→＋A ′E →＝AA ′→＋12A ′C ′→＝AA ′→＋12(A′B ′→＋A ′D ′→)＝AA ′→＋12A ′B ′→＋12A ′D ′→＝12AD →＋12AB →＋AA ′→， 又AE →＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→， ∴x ＝12，y ＝12，z ＝1.灵活运用空间向量的加法与减法法则，尽量走边路即沿几何体的边选择途径，多个向量运算时，先观察分析“首尾相接”的向量，使之结合，使用减法时，把握“共起点，方向指向被减向量”.如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为向量AC 1→的共有( D )①(AB →＋BC →)＋CC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→； ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→； ④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：①(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→； ②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→； ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→； ④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→.所以，所给4个式子的运算结果都是AC 1→.故选D. 类型三 有关向量的证明问题【例3】 求证：平行六面体的体对角线交于一点，并且在交点处互相平分． 【分析】 解决这个问题要充分利用课本上的一个结论，即平行六面体体对角线向量AC ′→＝AB →＋AD →＋AA ′→.【证明】 如下图，平行六面体ABCD ­A ′B ′C ′D ′，设点O 是AC ′的中点，则AO →＝12AC ′→＝12(AB →＋AD →＋AA ′→)．设P 、M 、N 分别是BD ′、CA ′、DB ′的中点．则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋12BD ′→＝AB →＋12(BA →＋BC →＋BB ′→)＝AB →＋12(－AB →＋AD →＋AA ′→)＝12(AB →＋AD →＋AA ′→)．同理可证：AM →＝12(AB →＋AD →＋AA ′→)，AN →＝12(AB →＋AD →＋AA ′→)．由此可知O 、P 、M 、N 四点重合．故平行六面体的体对角线相交于一点，且在交点处互相平分．利用向量解决立体几何问题的一般思路是：将要解决的问题用向量表示，用已知向量表示所需向量，对表示出的所需向量进行目标运算，再将运算结果转化为要解决的问题.如图，设A 是△BCD 所在平面外的一点，G 是△BCD 的重心．求证：AG →＝13(AB →＋AC →＋AD →)．解：如图，连结BG ，延长后交CD 于E ，由G 为△BCD 的重心，知BG →＝23BE →.∵E 为CD 的中点， ∴BE →＝12BC →＋12BD →.∴AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋13(BC →＋BD →)＝AB →＋13[(AC →－AB →)＋(AD →－AB →)]＝13(AB →＋AC →＋AD →).1．判断下列命题中为真命题的是( A )A ．向量AB →与BA →的长度相等B ．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C ．空间向量就是空间中的一条有向线段D ．不相等的两个空间向量的模必不相等解析：|AB →|＝|BA →|，故选项A 对；选项B 应为球面；选项C ，空间向量可以用有向线段来表示，但不等同于有向线段；选项D ，向量不相等有可能模相等．2．设A 、B 、C 为空间任意三点，则下列命题为假命题的是( C ) A.AB →＋BC →＝AC → B.AB →＋BC →＋CA →＝0 C.AB →－AC →＝BC →D.AB →＝－BA →3．如右图，在平行六面体ABCD ­A ′B ′C ′D ′中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，则BD ′→＝b－a ＋c ，A ′C →＝a ＋b －c .解析：BD ′→＝BD →＋DD ′→＝AD →－AB →＋AA ′→＝b －a ＋c ，A ′C →＝A ′A →＋AC →＝AB →＋AD →＋A ′A →＝a ＋b －c .4．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，化简AB →－CD →＋BC →－DA →的结果是2AC →.5．如图所示，已知空间四边形ABCD ，连接AC 、BD ，E 、F 、G 分别是BC 、CD 、DB 的中点，请化简(1)AB →＋BC →＋CD →；(2)AB →＋GD →＋EC →，并标出化简结果的向量．解：(1)AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →，如图中向量AD →；(2)∵E 、F 、G 分别为BC 、CD 、DB 的中点，∴GD →＝BG →，GF →＝12BC →＝EC →，∴AB →＋GD →＋EC →＝AB→＋BG →＋EC →＝AG →＋GF →＝AF →，如图中向量AF →.。

《3.1.1 空间向量及其加减运算》教学案3 【学情分析】：向量是一种重要的数学工具，它不仅在解决几何问题中有着广泛的应用，而且在物理学、工程科学等方面也有着广泛的应用。

在人教A版必修四中，读者已经认知了平面向量，现在，学习空间向量时要注意与平面向量的类比，体会空间向量在解决立体几何问题中的作用。

【教学目标】：（1）知识与技能：理解和掌握空间向量的基本概念，向量的加减法（2）过程与方法：通过高一学习的平面向量的知识，引申推广，理解和掌握向量的加减法（3）情感态度与价值观：类比学习，注重类比、推广等思想方法的学习，运用向量的概念和运算解决问题，培养学生的开拓创新能力。

【教学重点】：空间向量的概念和加减运算【教学难点】：空间向量的应用【课前准备】：Powerpoint课件【教学过程设计】：BA b a OC b a =-=+,.babD BACOC探索1：空间三个以上的非零向量能否平移至一个明面上？探索2：多个向量的加法能否由两个向量的加法推广？（1） 思考《选2-1》课本P92探究题归纳：向量加（减）法满足交换律和结合律。

例1：已知平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。

(如图)上的有限线段来表示，但仍然可以用将它们依次用首尾相接的有向线段来表示，得到它们的和。

比如：三个向量的和AD CD BC AB =++,一般地,空间中多个依次用首尾相接的有向线段相加的结果等于起点和终点相连的有向线段。

我们常常把向量的这种性质ADCD BC AB =++简称为“封口向量”。

四．练习巩固1．课本P92练习1-32．如图，在三棱柱111C B A ABC -中，M 是1BB 的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： （1）1BA CB +;巩固知识，注意区别加减法的不同处.1)2()1(AA AD AB BC AB +++（2）1AA CB AC ++; （3）CB AC AA --1 解：（1）11CA BA CB =+ （2）11AB AA CB AC =++ （3）11BA CB AC AA =--五．拓展与提高1．已知空间四边形ABCD ，连结,AC BD ，设,M G 分别是,BC CD 的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：（1）AB BC CD ++u u u r u u u r u u u r ；（2）GC BD AB ++；（3）．GA DG CM -+加深对相等向量和加减法的理解六．小结 1．空间向量的概念：2．空间向量的加减运算反思归纳七．作业 课本P106习题3.1，A 组 第1题（1）、（2）练习与测试：（基础题）1．举出一些实例，表示三个不在同一平面的向量。

第三章 空间向量与立体几何 3.1.1空间向量及其加减法运算 一、学习目标 1.理解空间向量的有关概念； 2.掌握空间向量的加减运算法则及运算律； 【重点、难点】重点：空间向量的有关概念及其加减运算的运算法则；难点：空间向量的加减运算在空间几何体中的应用；二、学习过程【复习回顾】知识点1:平面向量的概念问题1.（1）向量的概念是什么？（2）向量如何表示？（3）什么是向量的长度？（4）有哪些特殊的向量？问题2.平面向量的加减法运算法则是什么？【探究新知】1. 空间向量（1）定义：在空间，把具有 和 的量叫做空间向量；（2）长度：向量的 叫做向量的长度或 ；（3）表示法：⎧⎨⎩几何表示法：用 表示；字母表示法： . 2. 几类特殊向量(1)零向量： 的向量叫做零向量，记为0.(2)单位向量： 的向量称为单位向量．(3)相等向量：方向 且模 的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．(4)相反向量：与向量a 长度 而方向 的向量，称为a 的相反向量，记为2．空间向量的加减法与运算律空间向量的加减法类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)：OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b ； CA →＝OA →－OC →＝a －b . 加法运算律(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ； (2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ) 【典型例题】例1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．① 向量AB 与AC 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一条直线上；② 单位向量都相等；③ 任一向量与它的相反向量不相等；④ 四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是AB =DC ；⑤ 模为0是一个向量方向不确定的充要条件；⑥ 共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.例2．如图所示，已知平行六面体1111ABCD A B C D -，M 为11AC 与11B D 的交点，化简下列向量表达式．（1）1AA +11B A ；（2）2111B A + 2111D A ； （3）1AA +2111B A +11D A ； （4）AB +BC +1CC +11A C +A A 1;例3. 在平行六面体中，求证：''2'AC AB AD AC ++=【变式拓展】1. 下列说法中正确的是( )A ．若|a |＝|b |，则a 、b 的长度相同，方向相同或相反B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |C ．空间向量的减法满足结合律D.在四边形ABCD 中，一定有AB +AD =AC2. 已知长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′,化简下列向量表达式:(1)';AA CB - (2)'''''AB B C C D ++3. 在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，画出表示下列向量的有向线段.（1） AB ＋AD →＋1AA ;；（2）11AB CC DD +-;.三、总结反思1．在掌握向量加减法的同时，应首先掌握有特殊位置关系的两个向量的和或差，如共线、共起点、共终点等．2．通过掌握相反向量，理解两个向量的减法可以转化为加法．3．注意向量的三角形法则和平行四边形法则的要点．对于向量加法运用平行四边形法则要求两向量有共同起点，运用三角形法则要求向量首尾顺次相连．对于向量减法要求两向量有共同的起点．4．a b -表示的是由减数b 的终点指向被减数a 的终点的一条有向线段．四、随堂检测 1．判断下列各命题的真假：①向量AB 的长度与向量BA →的长度与向量BA →的长度相等；②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB 与向量CD →是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．52．在三棱柱ABC­A′B′C′中，AC →与A′C′→是________向量；AB →与B′A′→是________向量．3. 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,化简向量表达式AB →+ CD + BC DA +的结果为________．4. 已知ABCD 是空间四边形,M 和N 分别是对角线AC 和BD 的中点.求证: MN = 1()2AB CD +。

3．1.1空间向量及其加减运算教学目标：㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减及运算律；㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；⒉会用图形说明空间向量加法、减法及它们的运算律；⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物．教学重点：空间向量的加减运算及运算律．教学难点：应用向量解决立体几何问题．教学方法：讨论式．教学过程：一.复习引入在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？那么，空间中的向量应该如何表示呢？其定义及运算与平面向量又有什么关系呢？二.思考分析李老师下班回家，先从学校大门口骑自行车向北行驶1 000 m，再向东行驶1 500 m，最后乘电梯上升15 m到5楼的住处．在这个过程中，李老师从学校大门口回到住处所发生的总位移就是三个位移的合成(如图所示)．问题1：以上三个位移是同一个平面内的向量吗？提示：不是．问题2：如何刻画李老师行驶的位移？提示：借助于空间向量的运算．三.抽象概括空间向量表示法几何表示法空间向量用有向线段表示.字母表示法用一个字母表示，如图，此向量的起点是A，终点是B，可记作a，也可记作AB，其模记为|a|或|AB―→|.几类特殊向量①零向量：规定长度为0的向量叫做零向量，记为0.②单位向量：模为1的向量称为单位向量.③相反向量：与向量a长度相等而方向相反的向量称为a的相反向量，记为－a.④相等向量：方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.空间向量的加减法类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)：OB＝OA＋AB＝a＋b；CA＝OA－OC＝a－b.加法运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).1．向量是既有大小又有方向的量，其中长度可以比较大小，而方向无法比较大小．一般来说，向量不能比较大小．2．零向量的方向是任意的，同平面向量中的规定一样，0与任何空间向量平行．3．单位向量的模都相等且为1，而模相等的向量未必是相等向量．4．空间向量是可以平移的，空间中的任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示，所以空间任意两个向量是共面的．四.例题分析及练习[例1]下列说法中正确的是()A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|C．空间向量的减法满足结合律D．在四边形ABCD中，一定有AB＋AD＝AC[思路点拨]根据向量的概念及运算律两方面辨析．[精解详析]|a|＝|b|，说明a与b模相等，但方向不确定．对于a的相反向量b＝－a，故|a|＝|b|，从而B正确．只定义加法具有结合律，减法不具有结合律，一般的四边形不具有AB ＋AD＝AC，只有在平行四边形中才能成立．故A、C、D均不正确．[答案]B[感悟体会](1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件．(2)熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键． 训练题组11．给出下列命题：①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ；④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为( ) A ．4B ．3C ．2D ．1解析：零向量的方向是任意的，但并不是没有方向，故①错；当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个向量相等，不一定起点相同、终点也相同，故②错；根据相等向量的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量a 与b 的方向不一定相同，故③错；命题④显然正确；对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错． 答案：D2．给出下列四个命题：(1)方向相反的两个向量是相反向量； (2)若a ，b 满足|a |>|b |且a ，b 同向，则a >b ； (3)不相等的两个空间向量的模必不相等； (4)对于任何向量a ，b ，必有|a ＋b |≤|a |＋|b |. 其中正确命题的序号为( )A ．(1)(2)(3)B ．(4)C ．(3)(4)D ．(1)(4)解析：对于(1)，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故(1)错；对于(2)，向量是不能比较大小的，故不正确；对于(3)，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故(3)错；只有(4)正确． 答案：B3.如图，在长、宽、高分别为AB ＝4，AD ＝2，AA 1＝1的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，(1)单位向量共有多少个？ (2)写出模为5的所有向量． (3)试写出AA 1―→的相反向量．解：(1)因为长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量1AA ，1A A ，1BB ，1B B ，1DD ，1D D ，1CC ，1C C 共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．(2)因为长方体的左右两侧的对角线长均为5，故模为5的向量有1AD ，1D A ，1C B ，1BC ，1B C ，1CB ，1A D ，1DA .(3)向量1AA 的相反向量为1AA ，1B B ，1C C ，1D D ，共4个. [例2] 化简(AB －CD )－(AC －BD )．[思路点拨] 根据向量加减运算的法则进行，注意向量的起点、终点． [精解详析] 法一：∵AB －CD ＝AB ＋DC ， ∴(AB －CD )－(AC －BD )＝AB ＋DC －AC ＋BD ＝AB ＋BD ＋DC ＋CA ＝AD ＋DA ＝0.法二：(AB －CD )－(AC －BD )＝AB －CD －AC ＋BD ＝(AB －CD )＋(DC －DB )＝CB ＋BC ＝0. [感悟体会](1)掌握好向量加减法的三角形法则是解决这类问题的关键，灵活应用相反向量及两向量和、差，可使这类题迅速获解，另外需注意零向量的书写要规范．(2)利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果． 训练题组24．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，1DD －AB ＋BC 化简后的结果是( ) A ．1BD B ．1D B C ．1B D D ．1DB解析：由正方体的性质可得1DD －AB ＋BC ＝1DD －DC ＋BC ＝1CD ＋BC ＝1BD . 答案：A5．已知空间四边形ABCD 中，AB ＝a ，CB ＝b ，AD ＝c ，则CD 等于( ) A ．a ＋b －cB ．－a －b ＋cC ．－a ＋b ＋cD ．－a ＋b －c解析：因为CD ＝CB ＋BA ＋AD ＝CB －AB ＋AD ＝b －a ＋c ，所以CD ＝－a ＋b ＋c . 答案：C6.如图所示，已知长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′.化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果．(1) 'AA －CB ； (2) 'AA ＋AB ＋''B C .解：(1) 'AA －CB ＝'AA －DA ＝'AA ＋AD ＝'AA ＋''A D ＝'AD . (2) 'AA ＋AB ＋''B C ＝('AA ＋AB )＋''B C ＝'AB ＋B ′C ′＝'AC . 向量'AD 、'AC 如图所示．五.课堂小结与归纳(1)空间中的单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中对应的概念完全一样．(2)在空间向量的加法运算中，若是多个向量求和，还可利用多边形法则．如图，1OA ＋12A A ＋23A A ＋34A A ＋45A A ＋56A A ＝6OA .即首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．求若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和． 六.当堂训练1．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，与向量AD 相等的向量共有 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：与AD 相等的向量有11A D ，BC ，11B C ，共3个． 答案：C2．在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，模与向量A B ''的模相等的向量有( ) A ．7个B ．3个C ．5个D ．6个解析：|D C ''|＝|DC |＝|C D ''|＝|CD |＝|BA |＝|AB |＝|B A ''|＝|A B ''|. 答案：A3．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为1BD 的是 ( )①(11A D －1A A )－AB ②(BC ＋1BB )－11D C ③(AD －AB )－1DD ④(11B D －1A A )＋1DDA ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ 解析：①(11A D －1A A )－AB ＝1AD －AB ＝1BD； ②(BC ＋1BB )－11DC ＝1BC －MN ＝1BD ； ③(AD －AB )－1DD ＝BD －1DD ≠1BD ；④(11B D －1A A )＋1DD ＝1BD ＋1DD . 答案：A4．已知平行四边形ABCD 的对角线交于点O ，且OA ＝a ，OB ＝b ，则BC ＝( ) A ．－a －b B ．a ＋b C.12a －bD ．2(a －b )解析：如图，∵OA ＝a ，OB ＝b ，∴BO ＝－b ，OC ＝－a ，∴BC ＝BO ＋OC ＝－b －a .答案：A5．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若CA ＝a ，CB ＝b ，1CC ＝c ，则1A B ＝________.解析：1A B ＝1B B －11B A ＝1B B －BA ＝1B B －(CA －CB ) ＝－c －(a －b )＝－c －a ＋b . 答案：－c －a ＋b6．化简AB －AC ＋BC －BD －DA ＝________.解析：AB －AC ＋BC －BD －DA ＝AB ＋BC ＋CA ＋AD ＋DB ＝AC ＋CA ＋AD ＋DB ＝AB .答案：AB7.如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 是BB 1的中点.化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： (1) CB ＋1BA ； (2) AC ＋CB ＋121AA ；(3) 1AA －AC －CB . 解：(1) CB ＋1BA ＝1CA .(2)因为M 是BB 1的中点，所以BM ＝121BB .又1AA ＝1BB ，所以AC ＋CB ＋121AA ＝AB ＋BM ＝AM .(3) 1AA －AC －CB ＝1CA －CB ＝1BA . 向量1CA ，AM ，1BA 如图所示．8．已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′.求证：AC ＋AB '＋AD '＝2AC '.证明：∵平行六面体的六个面均为平行四边形， ∴AC ＝AB ＋AD ，AB '＝AB ＋AA '，AD '＝AD ＋AA '，∴AC ＋AB '＋AD '＝(AB ＋AD )＋(AB ＋AA ')＋(AD ＋AA ') ＝2(AB ＋AD ＋AA ')． 又∵AA '＝CC '，AD ＝BC ，∴AB ＋AD ＋1AA ＝AB ＋BC ＋CC '＝AC ＋CC '＝AC '， ∴AC ＋AB '＋AD '＝2AC '.。

3．1 空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算内容标准学科素养1.理解空间向量的概念．2.掌握空间向量的加法、减法运算.利用直观抽象提升逻辑推理授课提示：对应学生用书第51页[基础认识]知识点一空间向量的概念预习教材P84－85，思考并完成以下问题如图，一块均匀的正三角形的钢板质量为500 kg，在它的顶点处分别受力F1，F2，F3，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是60°，且|F1|＝|F2|＝|F3|＝200 kg.这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力至少为多大时，才能提起这块钢板？图中的三个力F1，F2，F3是既有大小又有方向的量，它们是不在同一平面内的向量．因此，解决这个问题需要空间向量的知识．事实上，不同在一个平面内的向量随处可见．例如，正方体中过同一个顶点的三条棱所表示的三个向量OA→，OB→，OC→就是不同在一个平面内的向量(如图)．知识梳理(1)空间向量的定义在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．(2)空间向量及其模的表示方法空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模．如图，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可记为AB→，其模记为|a|或|AB→|.(3)特殊向量名称定义及表示零向量规定长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量叫做单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量预习教材P 85－86，思考并完成以下问题 平面向量的加、减法满足怎样的运算法则？提示：加法有三角形法则和平行四边形法则，减法有三角形法则．空间中任意两个向量都可以平移到一个平面内，成为同一平面内的两个向量． 已知空间向量a ，b ，我们可以把它们移到同一个平面α内，以任意点O 为起点，作向量OA →＝a ，OB →＝b .那么a ＋b 和a －b 如图所示．知识梳理 (1)空间向量的加法、减法类似于平面向量，定义空间向量的加法和减法运算(如图)：OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b ； CA →＝OA →－OC →＝a －b . (2)空间向量加法的运算律空间向量的加法运算满足交换律及结合律： ①交换律：a ＋b ＝b ＋a ；②结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．[自我检测]1．下列命题正确的是( )A ．若向量a 与b 的方向相反，则称向量a 与b 为相反向量B ．零向量没有方向C ．若a 是单位向量，则|a |＝1D ．若向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则不一定有m ＝p 答案：C2．已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a ，BC →＝b ，AD →＝c ，则CD →等于( ) A ．a ＋b －c B ．c －a －b C ．c ＋a －bD ．c ＋a ＋b答案：B授课提示：对应学生用书第52页探究一 空间向量及相关概念的理解[例1] 给出下列命题：①在同一条直线上的单位向量都相等；②只有零向量的模等于0；③在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AD 1→与BC 1→是相等向量；④在空间四边形ABCD 中，AB →与CD →是相反向量；⑤在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，与AA 1→的模一定相等的向量一共有4个．其中正确命题的序号为________．[解析] ①错误，在同一条直线上的单位向量，方向可能相同，也可能相反，故它们不一定相等；②正确，零向量的模等于0，模等于0的向量只有零向量； ③正确，AD 1→与BC 1→的模相等，方向相同；④错误，空间四边形ABCD 中，AB →与CD →的模不一定相等，方向也不一定相反；⑤错误，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，与AA 1→的模一定相等的向量是A 1A →，BB 1→，B 1B →，CC 1→，C 1C →，一共有5个．[答案] ②③方法技巧 解决空间向量相关概念的问题时，注意以下几点： (1)向量的两个要素是大小与方向，两者缺一不可； (2)单位向量的方向虽然不一定相同，但长度一定为1；(3)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件；(4)由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的，但向量的模是可以比较大小的．跟踪探究 1.下列说法正确的是( )A ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相同，方向相同或相反B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |C ．两个向量相等，若它们的起点相同，则其终点不一定相同D ．若|a |>|b |，|b |>|c |，则a >c解析：对于A ，由|a |＝|b |可得a 与b 的长度相同，但方向不确定；对于B ，a 与b 是相反向量，则它们的模相等，故B 正确；对于C ，两向量相等，若它们的起点相同，则它们的终点一定相同，故C 错；对于D ，向量不能比较大小，故D 错．答案：B探究二 空间向量的加法与减法运算[教材P 86练习3]在图中，用AB →，AD →，AA ′→表示A ′C →，BD ′→及DB ′→.解析：A ′C →＝A ′A →＋AC →＝A ′A →＋AB →＋AD →＝AB →＋AD →－AA ′→； BD ′→＝BD →＋DD ′→＝BA →＋BC →＋DD ′→＝－AB →＋AD →＋AA ′→； DB ′→＝DB →＋BB ′→＝DA →＋DC →＋AA ′→＝－AD →＋AB →＋AA ′→. [例2] 如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列各式运算结果为BD 1→的是( )①A 1D 1→－A 1A →－AB →； ②BC →＋BB 1→－D 1C 1→； ③AD →－AB →－DD 1→； ④B 1D 1→－A 1A →＋DD 1→. A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④[解析] ①A 1D 1→－A 1A →－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→； ②BC →＋BB 1→－D 1C 1→＝BC 1→＋C 1D 1→＝BD 1→；③AD →－AB →－DD 1→＝BD →－DD 1→＝BD →－BB 1→＝B 1D →≠BD 1→；④B 1D 1→－A 1A →＋DD 1→＝BD →＋AA 1→＋DD 1→＝BD 1→＋AA 1→≠BD 1→，故选A. [答案] A方法技巧 1.空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使有关向量首尾相接，从而便于运算．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．2．化简空间向量的常用思路(1)分组：合理分组，以便灵活运用三角形法则、平行四边形法则进行化简．(2)多边形法则：在空间向量的加法运算中，若是多个向量求和，还可利用多边形法则，若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和．(3)走边路：灵活运用空间向量的加法、减法法则，尽量走边路(即沿几何体的边选择途径)． 跟踪探究 2.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为向量AC 1→的是________(填序号)．①(AB →＋BC →)＋CC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→；③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→；④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→.解析：①(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→；③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→；④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→.所以所给四个式子的运算结果都是AC 1→.答案：①②③④授课提示：对应学生用书第53页[课后小结]空间向量的加法、减法运算法则与平面向量相同，在空间向量的加法运算中，如下事实常帮助我们简化运算：(1)首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求若干个向量的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和；(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.[素养培优]1．对空间向量的有关概念理解不清致误 下列说法中，错误的个数为( )(1)若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同． (2)若向量AB →，CD →满足|AB →|＝|CD →|，AB →与CD →同向，则AB →>CD →.(3)若两个非零向量AB →，CD →满足AB →＋CD →＝0，则AB →，CD →互为相反向量． (4)AB →＝CD →的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合． A ．1 B ．2 C ．3D ．4易错分析 向量相等，则向量的方向相同，模相等，但表示它们的有向线段的起点未必相同，终点也未必相同．故(1)(4)错误．反过来，方向相同，模相等的向量是相等向量，只能用“＝”连接，故(2)错误． 自我纠正 (1)错误，两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关．(2)错误，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小．(3)正确，由AB →＋CD →＝0，得AB →＝－CD →，所以AB →，CD →互为相反向量．(4)错误，由AB →＝CD →，|AB →|＝|CD →|，且AB →，CD →同向，但A 与C ，B 与D 不一定重合． 故一共有3个错误命题，正确答案为C. 答案：C2．对向量减法的三角形法则理解记忆不清致误在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，化简DA →－DB →＋B 1C →－B 1B →＋A 1B 1→－A 1B →.易错分析 DA →－DB →＋B 1C →－B 1B →－B 1B →＋A 1B 1→－A 1B →＝AB →＋CB →＋B 1B →＝DC →＋DA →＋B 1B →＝DB →＋D 1D →＝D 1B →.自我纠正 DA →－DB →＋B 1C →－B 1B →＋A 1B 1→－A 1B →＝BA →＋BC →＋BB 1→＝BD →＋BB 1→＝BD →＋DD 1→＝BD 1→.。