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空间向量及其加减运算PPT优秀课件

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高中数学空间向量及其加减运算(公开课)(共11张ppt)

高中数学空间向量及其加减运算(公开课)(共11张ppt)
概念 画法及其 表示
平面向量
空间向量
在平面上，既有大小又有方向的 在空间中，既有大小又有方 量 向的量 用有向线段AB 画出来，表 示为AB 长度为零的向量叫做零向量，零 长度为零的向量叫做零向量， 向量的方向是任意的 零向量的方向是任意的 平面中模为1的向量 平面中模为1的向量 平面中长度相等，方向相反的两 平面中长度相等，方向相反 个向量 的两个向量 平面中方向相同且摸相等的向量 平面中方向相同且摸相等的向量
零向量
单位向量
相反向量
相等向量
向量运算
空间向量的加减法 平行四边形法则
平面向量的加减法 三角形法则
例题讲解
C1
A1 C A B B1
推广一 首尾相接的若干向量之和=由起始向量的起点指向末 尾向量的终点的向量
A2 A1 A3
A4
A5
A6
推广二
A3
A4
首尾相连的多个向量构成封 闭图形时这多个向量的和是 零向量
A2 A5
A1
A6
空间向量的 加法结合律
？ =
作业布置
பைடு நூலகம்
情境引入
F=50N
A
B
速度 矢量
位移
舍弃实际含义
力
向量
问题1
复习回顾
内容
概念 画法及其表示
平面向量
在平面上，既有大小又有方向的量
零向量
单位向量 相反向量
长度为零的向量，零向量的方向是任意的 平面中模为1的向量 平面中长度相等，方向相反的两个向量 平面中方向相同且模相等的向量
相等向量
类比学习
内容

空间向量及其加减运算PPT优选课件

空间向量及其加减运算PPT优选课件

A1
D1
E
解：(1)x =1
B1
C1
(2) x=y =1/2
F A
D
(3) x=y =1/2
B
C
2020/10/18
9
谢谢您的聆听与观看
THANK YOU FOR YOUR GUIDANCE.
感谢阅读！为了方便学习和使用，本文档的内容可以在下载后随意修改，调整和打印。欢迎下载！
汇报人：XXX 日期：20XX年XX月XX日
B M
D G C
（3）AG – ½ （AB+AC）= MG
2020/10/18
8
2。已知正方体ABCD-A1B1C1D1，点E、F分别是上底面A1C1
和侧面CD1的中心，求下列各题中x、y的值：
（1）AC1=x（AB+BC+CC1） （2）AE=AA1+xAB+yAD
（3）AF=AD+xAB+yAA1
4
㈤空间向量的加法与数乘向量运算的运算律： ①加法交换律：ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ ②加法结合律：（ａ＋ｂ）＋ｃ＝ａ＋（ｂ＋ｃ）
a
a
a
a
b
baa
a
a
a
b
c
b
c
③数乘分配律：λ（a + b ）=λa +λb
2020/10/18
（由同学自已证明）
5
㈥平行六面体：平行四边形ABCD平移向量a到A1B1C1D1的轨 迹所形成的几何体，叫做平行六面体。
两个向量不能比较大小，因为决定向量的两个因素是大小 和方向，其中方向不能比较大小
∴ OA=a AB= b
2020/10/18
3

空间向量及其加减运算 课件

空间向量及其加减运算 课件

[一点通] (1)掌握好向量加减法的三角形法则是解决这类问题 的关键，灵活应用相反向量及两向量和、差，可使这类 题迅速获解，另外需注意零向量的书写要规范． (2)利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加 法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时 可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．
算律 (2)结合律：(a＋b)＋c＝ a＋(b＋c) .
1.向量是既有大小又有方向的量，其中长度可以比 较大小，而方向无法比较大小．一般来说，向量不能比 较大小.
2.零向量的方向是任意的，同平面向量中的规定一样， 0与任何空间向量平行.
3.单位向量的模都相等且为1，而模相等的向量未必 是相等向量.
空间向量及其加减运算
空间向量
定义
在空间，把具有 大小 和 方向 的量叫 做空间向量.
长度
向量的 大小 叫做向量的长度或 模 .
几何表示法 空间向量用 有向线段 表示.
用一个字母表示，如图，此向量的起 表
点是A，终点是B，可记作a，也可记 示 法 字母表示法 作 AB ，其模记为|a|或| AB |.
量 同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.
定义 在空间，把具有 大小 和 方向的量叫做空间向量.
类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如 空间向
图)： 量的加 OB ＝ OA ＋ AB ＝ a＋b ；
减法 CA ＝OA － OC ＝ a－b . 加法运 (1)交换律：a＋b＝ b＋a ；
4.空间向量是可以平移的，空间中的任意两个向量都 可以用同一平面内的两条有向线段表示，所以空间任意 两个向量是共面的．
[例1] 下列说法中正确的是 Nhomakorabea()
A．若|a|＝|b|，则a,b的长度相同，方向相同或相反

空间向量及其加减﹑数乘运算 课件

空间向量及其加减﹑数乘运算 课件
空间向量及其加减﹑数乘运算
1．空间向量． 在空间，我们把具有__大__小____和__方__向____的量叫做空间向 量．向量的___大__小_____叫做向量的长度或模．
2．向量的表示法(如图 3－1－1)． (1)几何表示法：用___有__向__线__段_____表示. (2)字母表示法：用一个字母表示． 如图 3 －1 －1 ，此向量的起点是 A ，终点是 B ，可记作 ___A→_B____，也可记作____a____，其模记为___|A→_B_|___或____|a_|___．
形式．
解析：B→D＝B→C＋C→D＝－5a＋6b＋7a－2b＝2a＋4b， B→A＝－A→B＝－a－2b，∵B→D＝－2B→A， ∴B→D与B→A共线． 又∵它们经过同一点 B，∴A，B，D 三点共线．故选 A.
答案：A
图 3－1－2
8．空间向量的加法运算律． (1)交换律：__a_＋__b_＝__b_＋__a______. (2)结合律：_(_a_＋__b_)＋__c_＝__a_＋__(_b_＋__c_).
9．向量的数乘． 实数λ与向量 a 的积仍然是一个向量，记作___λ_a__，称为 向量的数乘．长度是___|λ_|_·|_a_| ______．当λ>0 时，λa 与向量 a的方向__相__同____；当λ<0 时，λa 与向量 a 的方向____相__反__； 当λ＝0时，λa＝_____0___.
图 3_的向量叫做零向量，记作 0，零向量的方向 是_任__意__的___．当有向线段的起点A与终点B重合时，A→B＝0.
4．单位向量． 模长为___1_____的向量． 5．相反向量． 与向量 a 的_长__度___相等而___方__向_____相反的向量，称为 a 的相反向量，记作－a.

空间向量及其运算(共22张PPT)

空间向量及其运算(共22张PPT)
向量场的点乘
两个向量场进行点乘运算，得到一个标量场，其 每个标量是原来两个向量场的对应向量的点乘结 果。
向量场的几何意义
向量场表示了空间中某一点受到的力或速度等物理量的分布情况，可以通 过图形表示出来。
向量场的方向表示了该点受到的力的方向或速度的方向，向量的大小表示 了力的大小或速度的大小。
通过观察图形可以直观地了解向量场的分布情况，从而更好地理解物理现 象和问题。
向量的模
向量的模定义为从起点到终点距离的 长度，记作|a|。
向量的模具有以下性质：|a + b| ≤ |a| + |b|，|a - b| ≤ |a| + |b|，|λa| = |λ||a| （λ为实数）。
向量的加法
向量的加法定义为同起点同终点的向量相加，即a + b = b + a（交换律），(λ + μ)a = λa + μa（结合律）。
向量场具有方向性和大小，表 示了空间中某一点受到的力或 速度等物理量的分布情况。
向量场的运算律
1 2 3
向量场的加法
将两个向量场叠加，得到一个新的向量场，其每 个向量是原来两个向量场的对应向量的和。
向量场的数乘
将一个标量与一个向量场中的每个向量相乘，得 到一个新的向量场，其每个向量是原来向量场的 对应向量与该标量的乘积。
向量在其他领域的应用
经济学
在经济学中，例如在市场分析和供需关系中，可以使用向量来表示不同因素之间的关系，通过向量的运算来分析 这些因素之间的关系。
生物学
在生物学中，例如在生态学和生物力学中，可以使用向量来描述生物体的运动、方向和力的作用，通过向量的运 算来分析这些力的作用和影响。
THANKS

空间向量及其加减运算 课件

空间向量及其加减运算 课件

[解析] ∵平行六面体的六个面均为平行四边形， ∴A→C＝A→B＋A→D，A→ B′＝A→B＋AA→′，AD→′＝A→D＋A→ A′， ∴A→C＋AB→′＋AD→′＝(A→B＋A→D)＋(A→B＋AA→′)＋(A→D＋ AA→′) ＝2(A→B＋A→D＋AA→′)． 又∵A→ A′＝C→ C′，A→D＝B→C， ∴A→B＋A→D＋A→ A′
命题方向 空间向量的数乘运算 [例 3] 在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，O 为底面 A1B1C1D1 的中心，设A→A1＝c，A→B＝a，A→D＝b，用 a、b、c 表示下列向量： B→C1、A→C1、B→D1、C→O.
[分析] 用 a、b、c 表示待求向量，应充分利用长方体的 特殊性和向量的“自由”移动性求解．
[点评] (1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方 向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的 必要不充分条件．
(2)熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法满足的运 算法则及运算律是解决好这类问题的关键．
命题方向 空间向量的加减运算
[例 2] 如图，已知长方体 ABCD—A′B′C′D′，化 简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．
[答案] B
[分析] 给出的命题都是对向量的有关概念及加减法的理 解，解答本题应紧扣向量及其加减运算的有关概念进行．
[解析] |a|＝|b|，说明 a 与 b 模相等，但方向不确定，由 a 的相反向量 b＝－a，故|a|＝|b|，从而 B 正确．只定义加法具有 结合律，减法不具有结合律，一般的四边形不具有A→B＋A→D＝ A→C正确．
＝A→B＋B→C＋C→C′ ＝A→C＋C→C′＝AC→′， ∴A→C＋AB→′＋AD→′＝2AC→′.
[点评] 利用向量解决立体几何中的问题的一般思路：

空间向量及其加减运算课件

空间向量及其加减运算
1.空间向量的概念 (1)两个特征:_大__小__,_方__向__. (2)向量的模(长度):指的是向量的_大__小__,也可看作表示向量 的有向线段的_长__度__. (3)表示法:①几何表示法:空间向量用_有__向__线__段__表示; ②字母表示法:用字母表示,若向量的起点是A,终点是B, 可记作a.也可记作__A_B_,其模记为|a|或__A_B__.
(3)向量的相等:同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向 量. (4)向量的平移:空间中任意两个向量都可以平移到同一平面内, 成为同一个平面内的两个向量.
2.对零向量的三点说明 (1)方向的不确定性:零向量的方向不确定,是任意的;由于零向 量的这一特性,在解题中一定要看清题目中所指的向量是“零 向量”还是“非零向量”. (2)长度的固定性:零向量的长度为零,零向量与零向量相等. (3)规定:零向量与任何向量平行.
.
【解析】(1) AB－AC＋BC－BD－DA＝AB＋BC＋CA＋AD＋DB
＝AC＋CA＋AD＋DB＝AB.
答案：AB (2)方法一：因为 AB－CD＝AB＋DC，
所以 AB－CD －(AC－BD)
＝AB＋DC－AC＋BD ＝AB＋BD＋DC＋CA ＝AD＋DA＝0.
方法二： AB－CD －(AC－BD)
③|-a|=|a|,其中正确命题的序号是
.
【解析】①若|a|=0,则a=0,故①错误;②正确;③正确.
答案:②③
知识点2 空间向量的加法、减法运算 1.空间向量加法、减法运算法则 (1)语言叙述:加法,“首尾顺次相接,由首指向尾”;减法,“起 点相同,尾尾相连,指向被减”.
(2)图形叙述: ①向量加法三角形法则: 特点:首尾相接,首尾连

空间向量及其加减运算 课件


问题 2 使用三角形法则和平行四边形法则有哪些要求？ 答案 (1)利用三角形法则进行加法运算时，注意“首尾 相连”，和向量的方向是从第一个向量的起点指向第二 个向量的终点．进行减法运算时，注意“共起点”，差 向量的方向是从减向量的终点指向被减向量的终点． (2)平行四边形法则一般用来进行向量的加法运算．注 意：平行四边形的两条对角线所表示的向量恰为两邻边 表示向量的和与差． (3)三角形法则也可推广为多边形法则：即在空间中，把 有限个向量顺次首尾相连，则从第一个向量的起点指向 最后一个向量的终点的向量即表示这有限个向量的和 向量．
问题 2 空间向量和平面向量有什么区别？它有什么作 用？ 答案 空间向量与平面向量没有本质区别，都是表示既 有大小又有方向的量，具有数与形的双重性．形的特征： 方向、长度、夹角等；数的属性：大小、正负、可进行 运算等．空间向量的数形双重性，使形与数的转化得以 实现，利用这种转化可使一些几何问题利用数的方式来 解决．
空间向量及其加减运算
1．空间向量 (1)空间向量的定义 在空间，把具有_大__小___和_方__向___的量叫做空间向量，向 量的大小叫做向量的__长__度____或__模____． (2)空间向量及其模的表示方法 空间向量用有向线段表示，有向线段的 __长__度____表示向量的模．如图，a 的起点是 A，终点是 B，则 a 也可记作___A_→_B___，其 模记为__|a_|__或____A→_B___．
相等向量
2.空间向量的加法、减法
类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)： O→B＝O→A＋O→C＝____a_＋__b___； C→A＝O→A－O→C＝____a_－__b___.
3．空间向量加法的运算律 (1)交换律 a＋b＝___b_＋__a__； (2)结合律 (a＋b)＋c＝_a_＋ ___(b_＋__c_)_.

空间向量及其加减运算 课件


(4)特殊向量
长度为0
0
模为1 相同
相等
相等
相反
－a
2.空间向量的加减法与运算律
类似平面向量，定义空间向量的加、减法运 算(如图)：
空间向 量的加
减法
O→B＝O→A＋A→B＝___a_＋__b___；
C→A＝O→A－O→C＝___a_－__b___.
加法运 (1)交换律：a＋b＝___b_＋__a___； 算律 (2)结合律：(a＋b)＋c＝__a_＋__(_b_＋__c_)___.
【答案】 A
【名师点评】 在进行减法运算时,可将减去 一个向量转化为加上这个向量的相反向量； 而在进行加法运算时，首先考虑这两个向量 在哪个平面内，然后与平面向量求和一样， 运用向量运算的平行四边形法则、三角形法 则及多边形法则来求即可．
空间向量及其有关概念
例1 下列几个命题： (1)所有的单位向量都相等； (2)方向相反的两个向量是相反向量； (3)零向量没有方向；
(4)对于任何向量a、b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|.Βιβλιοθήκη 其中正确命题的序号为( )
A．(1)，(2)
B．(4)
C．(3)，(4)
D．(1)，(4)
【解析】 对于(1)：单位向量是指长度等于1 个单位长度的向量，而其方向不一定相同， 它不符合相等向量的定义,故(1)错；对于(2)： 长度相等且方向相反的两个向量是相反向量, 故(2)错；对于(3)：零向量有方向，只是没有 确定的方向，故(3)错；对于(4)：(4)中为向量 模的不等式，正确，故选B. 【答案】 B
空间向量及其加减运算
1.空间向量 (1) 定 义 ： 在 空 间 ， 把 具 有 _大__小___ 和方__向____ 的量叫做空间向量． (2) 长 度 ： 向 量 的 _大__小___ 叫 做 向 量 的 长 度 或 __模____．

空间向量及其加减运算 课件


特殊向量
● 理解特殊向量应注意的几个问题 ● (1)零向量和单位向量均是从向量模的角度进行定义的，|0|＝0， 单位向量e的模|e|＝1. ● (2)零向量不是没有方向，它的方向是任意的． ● (3)注意零向量的书写，必须是0这种形式． ● (4)两个向量不能比较大小．
空间向量的加减法与运算律
6分
(3)在线段 CC1 上取中点 M，则有C→M＝12C→C1， 则有：A→B＋A→D＋12C→C1＝A→B＋B→C＋C→M＝A→M. 9 分 (4)由(2)知13(A→B＋A→D＋A→A1)＝13A→C1，在线段 AC1 上取点 G，使得 AG＝13AC1，即：13(A→B＋A→D＋A→A1)＝A→G. 12 分
并标出化简结果的向量．
(1)A→B＋B→C；(2)A→B＋A→D＋A→A1；
(3)A→B＋A→D＋12C→C1；(4)13(A→B＋A→D＋A→A1)． 思路点拨： 利用空间向量加减法运算的平行四边形法
则和三角形法则化简表达式，并给出合理的标注．
(1)A→B＋B→C＝A→C.
2分
(2)A→B＋A→D＋A→A1＝A→B＋B→C＋C→C1＝A→C长度 几何表 示法
在空间，把具有大___小__和_方__向__的量叫做空间向量 向量的_大__小__叫做向量的长度或_模__
空间向量用有__向__线___段__表示
表 示
字母表 法
示法
用一个字母表示，如图，此向量的起点是 A，终点
→
→
是 B，可记作 a，也可记作 A B ，其模记为|a|或|AB|
● (1)空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个 平面内的两个向量，因而空间任意两个向量都是共面的，它们的加、 减法运算类似于平面向量的加、减法运算．
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3.1.1空间向量及其加减运算
一、平面向量复习
⒈定义：既有大小Βιβλιοθήκη 有方向的量叫向量．几何表示法：用有向线段表示； 字母表示法：用字母a、b等或者用有向线段
的起点与终点字母 AB 表示．
相等的向量：长度相等且方向相同的向量．
B
D
A
C
⒉平面向量的加减法运算
⑴向量的加法：
b a
平行四边形法则
a 三角形法则(首尾相连)
D
A
C1 B1
C B
D1 A1
D
A
C1 B1
C B
记作ABCD—A1B1C1D1，它的六个面都是平行四边形， 每个面的边叫做平行六面体的棱。
例2 已知平行六 AB面C体 DA'B'C'D'，化简 列向量表达式， 化并 简标 结出 果的向
⑴AB BC；
⑵ABADAA'； u u u r u u u r u u u r
始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量
为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量
例3、在如图所示的平行六面体中，
求证：
u u u ru u u ru u u u r u u u u r A C A B A D 2 A C .
D’
变式：
A’
已知平行六面体 A B C D A BC D ,
A1
A n1
A2
An
A3
A4
⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形， 则它们的和为零向量．即：
A 1 A 2 A 2 A 3 A 3 A 4 A n 1 A n A n A 1 0
A1
A n1
A2
An
A3
A4
例1、给出以下命题：
（1）两个空间向量r相r等，则它r 们的r起点、终r 点相r 同；
A.1
B.2
C.3
D.4
变式：如图所示u，uur 长方体中，AD=2，AA1=1，AB=3。 （1）是写出与 A uBu u相r 等的所有向量； （2）写出与向量 A A 1 的相反向量。
平行六面体：平行四边形ABCD平移向量a到
A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体。
D1 A1 a
⑵向量的减法 三角形法则
b a
减向量终点指向被减向量终点
⒊平面向量的加法运算律
加法交换律： a＋b＝b＋a 加法结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
推广
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向 量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
A 1 A 2 A 2 A 3 A 3 A 4 A n 1 A n A 1 A n
（2）若空间向量
a 、b
满足| a || b |，则
a
uuur
b；
uuuur
（（34））在若正空方间体向量AB muC r、D nr、uprA1B 满1C 足1D m u1r中，nr,必n r 有uprA，C则Amur1C1
u；r p
；
（5）空间中任意两个单位向量必相等。
其中不正确命题的个数是（ C ）
则下uuur列四uuur式中uuu：ur
(1)AB CB AC;
D
uuuur uuur uuuur uuuur
(2)AC AB BC CC;
uuur uuuur
A
(3)AA CC;
uuur uuur uuur uuuur uuuur
(4)AB BB BC CC AC.
A1
A n1
A2
An
A3
A4
⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形， 则它们的和为零向量．即：
A 1 A 2 A 2 A 3 A 3 A 4 A n 1 A n A n A 1 0
A1
A n1
A2
An
A3
A4
二、空间向量及其加减运算
⒈空间向量： ⑴定义：空间中具有大小和方向的量叫做向量．
其中正确的是
。
C’ B’
C B
例4、如图所示，在正方体 ABC uD uuu r A1B1C1D 1中， 下列各式中运算的结果为向量 A C 1 的共有（ ）
u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r (1 )(A u u B u r B u u C u r) C u u C u 1 u ;r(2 )(A u A u 1 u r A 1 u D u u 1 u r ) D u 1 u C u 1 u r ; (3 )(A B B B 1 ) B 1 C 1 ;(4 )(A A 1 A 1 B 1 ) B 1 C 1 .
⑵表示方法： ①空间向量的表示方法和平面向量一样； ②同向且等长的有向线段表示同一向量或 相等的向量； ③空间任意两个向量都可以用同一平面 内的两条有向线段表示．
2.空间向量的加法、减法向量
C
b

O
B
b aA
OBOAABa + b
CAOAOC a - b
⒊空间向量加法运算律
⑴加法交换律：a + b = b + a； ⑵加法结合律：(a + b) + c =a + (b + c)；
A.1 B.2 C.3 D.4
a
b
c
a
b
c
对空间向量的加法、减法的说明
⒈空间向量的运算就是平面向量运算的推广． ⒉两个向量相加的平行四边形法则在空间仍
然成立． ⒊空间向量的加法运算可以推广至若干个向
量相加．
推广
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向 量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
A 1 A 2 A 2 A 3 A 3 A 4 A n 1 A n A 1 A n
(3 )A B C B A A u u u u r u u u u r u u u r
(4 )A C D B D C
D’ A’
D
C’ B’
C
A
B
例 2 、 已 知 平 行 六 面 体 A B C D A 'B 'C 'D '， 化 简 下
列 向 量 表 达 式 ， 并 标 出 化 u 简 u u r结 果 u u u r的 向 u u u 量 r：
⑴AB BC； (3 )u A u B u u r C u B u u u r A u A u u r
(4 )A C D B D C
⑵ABADAA'；
D’
C’
解：⑴AB BC AC
A’
⑵ABADAA'
B’
AC AA'
ACCC'
D
C
AC '
A
B