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章末质量评估(一)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(每小题5分，共50分) 1．cos 300°＝( )．A ．－32B ．－12C.12D.32解析 cos 300°＝cos(360°－60°)＝cos 60°＝12.答案 C2．若1 rad 的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长为 ( )． A.π6B ．sin 12C.1sin 12D ．2sin 12解析 1 rad 的圆心角所对弧长等于半径r 的长． ∴sin 12＝1r ，∴l ＝r ＝1sin 12.答案 C3．若sin α<0且tan α>0，则α是( )．A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角答案 C4．已知函数y ＝2sin ωx (ω>0)的图象与直线y ＋2＝0的相邻两个公共点之间的距离为2π3，则ω的值为( )．A ．3B.32C.23D.13解析 T ＝2π3，∴ω＝3.答案 A5．函数y ＝cos(2x ＋5π2)的( )．A ．最小正周期是2πB ．图象关于y 轴对称C ．图象关于原点对称D ．图象关于x 轴对称答案 C6．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )．A ．y ＝cos 2xB ．y ＝1＋cos 2xC ．y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4D ．y ＝cos 2x －1解析 将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，即y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x 的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y ＝1＋cos 2x . 答案 B7．若0＜x ＜π2，则2x 与3sin x 的大小关系是( )．A ．2x ＞3sin xB ．2x ＜3sin xC ．2x ＝3sin xD ．与x 的取值有关解析 在同一坐标系中，作出函数y ＝2x 、y ＝3sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上的图象，如图，可知A 、B 、C 选项均有可能． 答案 D8．已知α是第二象限的角，tan α＝－12，则cos α＝ ( )．A.255 B ．－255 C.55 D ．－355解析 ∵tan α＝sin αcos α＝－12，∴sin α＝－12cos α，又sin 2 α＋cos 2 α＝1，∴cos α＝±255，又α是第二象限角，∴cos α<0，∴cos α＝－255.答案 B9．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝( )．A.12B ．2C.32D.23解析 由图可知T 4＝2π3－π3＝π3，∴T ＝4π3，又T ＝2πω，∴2πω＝4π3，∴ω＝32.答案 C10．右图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )在区间[－π6，5π6]上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点( )．A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变答案 A二、填空题(每小题5分，共25分)11．m tan 0＋n cos 5π2＋p sin 3π－q cos 11π2＋r sin(－21π)＝________. 答案 012．已知cos(π－x )＝－12(3π2<x <2π)，则sin(2π－x )＝________.解析 ∵cos(π－x )＝－cos x ＝－12，∴cos x ＝12，∴sin x ＝－32，∴sin (2π－x )＝－sin x ＝－(－32)＝32. 答案3213．若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α的值为________．解析 2sin α－cos αsin α＋2cos α＝2tan α－1tan α＋2＝34.答案 3414．已知f (x )＝a sin 3 x ＋b 3x cos 3 x ＋4，(a ，b ∈R )且f (sin 10°)＝5，则f (cos 100°)＝________. 解析 f (x )＝g (x )＋4，g (x )＝a sin 3x ＋b 3x cos 3x 是奇函数，f (sin 10°)＝g (sin 10°)＋4＝5，∴g (sin 10°)＝1，f (cos 100°)＝f (－sin 10°)＝g (－sin 10°) ＋4＝－g (sin 10°)＋4＝3. 答案 315．函数f (x )＝3sin(2x －π3)的图象为C ，如下结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．①图象C 关于直线x ＝1112π对称；②图象C 关于点(2π3，0)对称；③函数f (x )在区间(－π12，5π12)内是增函数；④由y ＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C .解析 f (1112π)＝3sin 3π2＝－3，①正确；f (2π3)＝3sin π＝0，②正确； f (x )的增区间为[k π－π12，k π＋5π12](k ∈Z )，令k ＝0得增区间[－π12，5π12]，③正确；由y ＝3sin2x 的图象向右平移π6个单位长度可以得到图象C ，④错误．答案 ①②③三、解答题(本大题共6小题，共75分)16．(13分)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象如图，求其解析式．解 由图可知A ＝2，T ＝7π8－(－π8)＝π，又∵T ＝2πω，∴ω＝2，又∵(－π8，0)为五点作图的第一个零点，∴2·(－π8)＋φ＝0，∴φ＝π4.因此所求函数的表达式为y ＝2sin(2x ＋π4)．17．(13分)已知sin α＋cos α＝－15，α∈(0，π)，求：(1)2＋tan α＋1tan α；(2)sin α－cos α.解 ∵sin α＋cos α＝－15，α∈(0，π)，∴sin αcos α＝（sin α＋cos α）2－12＝（－15）2－12＝－1225.(1)原式＝2＋sin αcos α＋cos αsin α＝2＋sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝2＋1sin αcos α＝2－2512＝－112.(2)由2sin αcos α＝－2425，得1－2sin αcos α＝4925.即(sin α－cos α)2＝4925.∵sin αcos α＜0，α∈(0，π)，∴sin α＞0，cos α＜0.∴sin α－cos α＞0. 从而可得sin α－cos α＝75.18．(13分)已知函数f (x )＝a ＋2b sin(x ＋π4)的图象过点(0，1)，当x ∈[0，π2]时，f (x )的最大值为22－1. (1)求f (x )的解析式；(2)由f (x )的图象是否可以经过平移变换得到一个奇函数的图象，说明理由． 解 (1)易知a ＝－1，b ＝2，f (x )＝22sin(x ＋π4)－1； (2)可以，因为将图象沿x 轴向右平移π4个单位再向上平移一个单位得出奇函数f (x )＝22sin x .19．(12分)已知函数f (x )＝A 2－A2cos(2ωx ＋2φ)(A >0，ω>0，0<φ<π2)，且y ＝f (x )的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1，2)． (1)求φ；(2)计算f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)．解 (1)∵y ＝f (x )的最大值为2，A >0，∴A ＝2.∵相邻两对称轴间距为2，ω>0，∴12·2π2ω＝2，∴ω＝π4，∴f (x )＝1－cos ⎝⎛⎭⎫π2x ＋2φ. 又∵y ＝f (x )过点(1，2)，∴cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2φ＝－1，∴π2＋2φ＝2k π＋π，k ∈Z .∴φ＝k π＋π4，k ∈Z . ∵φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2∴φ＝π4.(2)由φ＝π4得f (x )＝1＋sin π2x .∵y ＝f (x )的周期为4及2 012＝4×503， ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)＝[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]×503＝4×503＝2 012.20．(12分)已知tan α，1tan α是关于x 的方程x 2－kx ＋k 2－3＝0的两实根，且3π＜α＜72π，求cos(3π－α)－sin(π＋α)的值．解 由已知得tan α·1tan α＝k 2－3＝1，所以k ＝±2.又3π＜α＜72π，所以tan α＞0，1tan α＞0，于是tan α＋1tan α＝k ＞0，从而k ＝2(k ＝－2应舍去)．进而由tan α·1tan α＝1及tan α＋1tan α＝2可得tan α＝1tan α＝1.所以sin α＝cos α＝－22. 故cos(3π－α)－sin(π＋α)＝－cos α＋sin α＝0.21．(12分)某公司的职工活动室全天24小时对职工开放，在通常情况下，活动室的工作人员固定，但在每天的两个人员活动高峰期，需增加一名机动工作人员帮助管理．下面是活动室工作人员经过长期统计而得到的一天中从0时到24时记录的时间t (小时)与到活动室活动人数y 的关系表：(2)若活动室的活动人数达到140人时需机动工作人员进入活动室帮助管理， 该机动工作人员应何时进入活动室？每天在活动室需要工作多长时间？(需 要用科学计算器进行计算)解 (1)以时间为横坐标，活动人数为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图．根 据图象，考虑用y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 刻画人数与时间之间的对应关系，从图象 和数据可以用函数来分析，y ＝50sin π6t ＋100，t ∈[0，24]； (2)令50sinπt 6＋100＝140，∴sin π6t ＝45. 查表或用计算器可以得出t ＝1.771 0，再由正弦函数的单调性，周期性得，当 t ∈[1.771 0，4.229 0]或t ∈[13.771 0，16.229 0]时，140≤y ≤150.即机动工作 人员在这段时间内应在活动室工作，每天工作近5个小时．。
湖南科技大学附中2014版《创新设计》高考数学一轮复习单元训练：导数及其应用 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知363()(3)2,()2,lim3x f x f f x x →-'==-=-则( )A ．－4B ．6C ．8D ．不存在【答案】B2．设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P 横坐标的取值范围为( ) A ．112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， B ．[]10-，C ．[]01，D ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【答案】A 3．曲线2x y =在点P 处的切线斜率为3-，则点P 的坐标为( )A ．（3，9）B ．（－3，9）C ．)49,23(D ．（49,23-）【答案】D4．设函数f ′（x ）=x 2+3x －4，则y=f （x+1）的单调递减区间为( )A ．（－4，1）B ．（－5，0）C ．（3,2-+∞）D ．（5,2-+∞）【答案】B5．设函数f （x ）＝ax 2＋b （a ≠0），若30⎰f （x ）d x ＝3f （x 0），则x 0＝( )A ．±1B ． 2C ．± 3D ．2【答案】C6．设函数()xf x xe =，则( )A ．1x =为()f x 的极大值点B ．1x =为()f x 的极小值点C ．1x =-为()f x 的极大值点D ．1x =-为()f x 的极小值点[学【答案】D7．已知函数的导函数的图象如下图，那么图象可能是( )【答案】D 8．设，函数的图像可能是( )【答案】C9．如图曲线2x y =和直线41,1,0===y x x 所围成的图形（阴影部分)的面积为( )A ．B ．C ．D ．【答案】D10．已知函数122log ()(1)x f x x ⎧⎪=⎨⎪-⎩(1)(1)x x ≥<的反函数为1()f x -，在(,1)(1,)-∞+∞上的导函数为()f x '，则1(4)(1)f f -'+-=( )A ．6-B ．1C ．1-D ．5-【答案】D11．若2)('0=x f ，则kx f k x f lk 2)()(000lim--→的值为( )A ．-2B ． 2C ．-1D ． 1【答案】C12．函数y=xcosx －sinx 在下面哪个区间内是增函数( )A ．()23,2ππ B ．)2,(ππ C ．)25,23(ππ D ．)3,2(ππ【答案】B第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．设()()()()()()0101cos ,,,n n f x x f x f x f x f x n N +''===∈，则()2011f x =【答案】x sin14．已知a=420cos(2)6x dx ππ+⎰，则二项式（x 2+a x）5的展开式中x 的系数为 ． 【答案】80- 15．xx f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim000= 。
