2019届北师大版九年级数学下册习题课件：小专题(四) 二次函数的图象与性质 (共11张PPT)

y=x2 二次函数y=x2、y=x2、
y= 12x2的图象都是抛物线、 开口方向、对称轴、顶点 坐标、增减性、最值都相同； 不同点是开口的大小不同.
1
x -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 -1
峨山镇中学
探究学习，获取新知
(4)请同学们想一想,在 同一坐标系中作二次函 数y=2x2和y=-2x2的图象 会是什么样？ 二次函 数y=-x2和y=-2x2的图象 会是怎么样的，它们有 什么共同特点？
y=2x120 y
8 6 4
2
y=x2
-4 -2 O 2 4 x
y=-x2 y=-2x2
峨山镇中学
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（5）你能说出抛物线y=ax2对称轴、顶点 坐标是什么吗？抛物线y＝ax2的开口方向 和开口大小与什么有关？你能说出其中的 规律吗？ 抛物线y=ax2的对称轴是y轴；
顶点坐标（0,0）； a的符号决定开口方向， 当a＞0时,开口向上； 当a＜0时,开口向下； a 决定开口大小，a 越大,开口越小．
峨山镇中学
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二次函数 形状
y=x2
y=2x2 抛物线
开口方向
开口方向相同，都向上
对称轴
对称轴都是y轴（直线x=0）
顶点坐标 顶点都是原点，坐标为（0，0）．
相同点
增减性
在y轴左侧，都是y的值随x值的增大而减小； 在y轴右侧，都是y值随x值的增大而增大．
最值
都有最低点，即原点，即函数都有最小值， 当x=0时，y的值最小等于0．
(1)在下列平面直角坐标系中，作出y=2x2的图象
x
－2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2
y=2x2 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8

教师寄语
整理： 3(x 1)2 4
整理： 2(x 3)2 5
转化
思路：二次函数一般式
二次函数顶点式
知 新
一般步骤： 在二次函数一般式下能否不配方，就可以解决刚才的
1、问提题取？（提取二次项系数）
2、配方（加上一次项系数一半的平方，再减去配的数）
3、整理（整理为顶点式）
二、探究活动
问题探究，师生合作
四、我的收获
五、我的收获
二次函数顶点式.
二次函数对称 轴和顶点坐标
的求解方法 二次函数一般式，利用公式求解.
五、我的收获
六、作业布置 课堂延伸
必做题（全体都做）： 1、课本习题2.5知识技能第1题（1）、（4）； 2、课本40页做一做 3、课后思考a与b的符号对二次函数图像位置的影响。 选作题（A层）：4、课本习题2.5数学理解第2题
例、y 3x2 6x 7 提取二次项系数： （3 x2 2x） 7
配方： （3 x2 2x 11） 7
整理： 3(x 1)2 4
练习：y 2x2 12 x 13 提取二次项系数： （2 x2 6x）13
配方： （2 x2 6x 9 9）13
整理： 2(x 3)2 5
4
1 9
20 9
8 9
2
4a
4
1 9
4
对称轴是直线：x 4
顶点坐标是：（4，4）
y 1 42 8 4 20 4
9
9
9
四、当堂达标检测
1、求下列函数的对称轴与顶点坐标。
y 2x2 2x 5
对称轴：直线x 1
2
顶点坐标： （1 ，9 ）
22
四、当堂达标检测
2、（同桌合作）五步骤： （1）、请你在练习本上任意写出一个 二次函数的顶点式。 （2）、再把它展开化为一般式。 （3）、把一般式写在空白纸上送给你 的同桌，请他用公式法求出该函数的 顶点坐标。（注意你的顶点式要保密） （4）、请你们互相检查对错。

y随着x的增大而减小.
在对称轴的右侧，
y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,
y随着x的增大而增大.
在对称轴的右侧，
y随着x的增大而减小.
最值
x=0时，y最小=0
x=0时，y最大=0
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的，一般说
来，|a|越大，抛物线的开口就越小.
新知讲解
做一做：在同一直角坐标系中，画出二函数 y=2x2+1与y=2x2-1的图象．
y


y=− +2


1
y x 2 -2
2
y=−
-2 O
-2
-4
-6
2
4 x
归纳总结
二次函数y = ax2 +c的图象和性质:
a的符号
图
象
a>0
a<0
c>0
c<0
开口方向
对称轴
顶点坐标
向上
向下
y轴（直线x=0）
y轴（直线x=0）
（0，c）
（0，c）
当x<0时，y随x增大而 当x<0时，y随x增大
(1)当c>0 时，向上平移c个单位;
(2)当c<0 时，向下平移︱c︱个单位.
上下平移规律：
平方项不变，常数项上加下减.
练一练
二次函数y＝－3x2＋1的图象是将( D )
A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到
B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到
C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到
5
这两种呢?有没有其他形式的二次
3
函数？
4

6050 0
60495
60480
6045 5
6042 0
60600 y/个
60500
60400
60300
60200
60100 60000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 1213 14 x/棵
议一议
何时橙子总产量最大
1.利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子 树的棵数之间的关系.
（100+x）棵
这时平均每棵树结多少个橙子？
（600-5x）个
(2)如果果园橙子的总产量为y个, 那么请你写出y与x之间的关系式.
想一想
何时橙子总产量最大
果园共有（100+x）棵树,平均每棵树结（600-5x） 个橙子,因此果园橙子的总产量
y=(100+x)(600-5x)=-5x²+100x+60000. 在上述问题中,种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量 最多？X/棵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
点重合时，等腰△PQR以1cm/s的速度沿直线l向
左方向开始匀速运动，ts后正方形与等腰三角形
重合部分面积为Scm2，解答下列问题：
(1)当t=3s时，求S的值； (2)当t=3s时，求S的值； A
B
(3)当5s≤t≤8s时，求S 与t的函数关系式，并求
MP
S的最大值。
lD Q
C
R
做一做
何时橙子总产量最大
N
2y
xb
x
3
x
30
3
x2
30x
3 x 202
300.
4
4
4
或用公式 :当x

=

(x+20)2+1.
∴左侧钢缆最低点坐标为（-20，1），
∴钢缆最低点到桥面的距离是1m.
1
y x2
2
想一想
（2）∵左、右两侧抛物线关于y轴对称，
∴左、右两侧抛物线的最低点关于y轴对称.
∵左侧抛物线最低点坐标为（-20，1），
∴右侧抛物线最低点坐标为（20，1）.
∴两条钢缆最低点之间的距离是40m.
综合能力提升练
10.已知二次函数y=ax2的图象过点A(-1,1).
(1)求这个二次函数的表达式;
3
(2)当 x= 时,求y的值;
2
(3)当y=4时,求x的值.
解:(1)将点A(-1,1)代入y=ax2中,得1=a×(-1)2,解得a=1.
∴这个二次函数的表达式为y=x2.
(2)当
3
3
x= 2 时,y= 2
2
最小值-6
想一想
如图,桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状,而且左右两条抛物线关
于y轴对称.按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用

y=

+



+ 表示.
(1)钢缆的最低点到桥面的距离是多少?
(2)两条钢缆最低点之间的距离是多少?
想一想
2
x +x+10

解：（1）∵y=
-24-
第二章
第1课时
抛物线的认识
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-25-
知识点2 二次函数y=x2及y=-x2的性质
3.下列说法正确的是 ( D )
A.函数y=x2的图象上的点,其纵坐标的值随x值的增大而增大

对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
y=2x2
y 1 0 8 6
这条抛物线关于 y轴对称,y轴就 是它的对称轴.
4
2
-4 -3 -2 -1 0 -2 1 2 3 4 x
二、新课讲解
当x<0 (在对称轴的左侧) 时,y随着x的增大而减小.
y=2x2
y 1 0 8
当x>0 (在对称轴的右侧)时, y随着x的增大而增大.
二、新课讲解
y=2x2
② 在直角坐标系 中描点
y 1 0 8 6 4 2 -4 -3 -2 -1 0 -2 1 2 3 4 x
③ 用光滑的曲线 连接各点，便得到
函数y=2x² 的图像
二、新课讲解
y=2x2
y 1 0 8 6
4 2
-4 -3 -2 -1 0 -2 1 2 3 4 x
二、新课讲解
(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.
当x=-2时，y=8 当x=-1时，y=2
6 4
当x=1时，y=2 当x=2时，y=8
2
抛物线y=2x2在x轴的上方(除顶 点外),顶点是它的最低点,开口 向上,并且向上无限伸展;当x=0 时,函数y的值最小,最小值是0.
-4 -3 -2 -1 0 -2
1
2
3
4 x
二、新课讲解
二次函数y=2x² 的图像 是什么形状？ 它与y=x² 的图像 有什么相同和不同？ 它的开口方向，对称轴和 顶点坐标分别是什么
(2)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请 你找出几对对称点,并与同伴交流. (3)图象与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?
(4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？ (5)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？你是如何 知道的？

4
二 二次函数y=ax2+c的图象与性质
合作探究 做一做：在同一直角坐标系中，画出二函数 y=2x2+1与y=2x2-1的图象．
解：先列表：
x
··· －2 －1.5 －1 0
1 1.5 2 ···
y =2 x2＋
1
···
9
5.5 3
1
3Leabharlann 5.5 9···y = 2x2－
1
···
7
3.5
1
－1
1
3.5
7
···
再描点，连线
问题：抛物线 y=2x2+1,y=2x2-1 与抛物线y=2x2 有什么关系？
10
y = 2x2＋1
8
y = 2x2－1
6
4 2
－4 －2
24
－2
可以发现，把抛物线y=2x2 向 上 平移1个单位长
度，就得到抛物线 y=2x2+1 ；把抛物线 y=2x2 向下 平
移1个单位长度，就得到抛物线 y=2x2-1.
描点，连线.
y x2 8 6
4 2
－4 －2
y 2x2 24
视察思考
问题1 二次函数y=2x2的图象是什么形状？
二次函数y=2x2的图象是一条抛物线，
并且抛物线开口向上.
8
问题2 图象的对称轴是什么？
6
4
y轴就是它的对称轴.
2
y 2x2
－4 －2
24
问题3 图象的顶点坐标是什么？ 原点 (0,0).
要点归纳 在二次函数y=ax2中，a的绝对值越大，开口越小.
针对训练
把图中图象的号码，填在它的函数式后面：（填序号） （1）y=3x2的图象是___③____； （2）y= 1x2的图象是___①____； （3）y=-3x2的图象是___④____； （4）y=- 3x2的图象是__②_____．

M D ┐ A
40m
30m
C
B
N
在上面的问题中，如果把矩形改 为如图所示的位置，其他条件不 变，那么矩形的最大面积是多少？ 你是怎么知道的？
M D P┐
C
G
H
30m
B A N
40m
M
30m 30m
M C B
C
D
A ┐
H
N
D G P┐
B
40m
40m
A
N
AB 20cm, AD 15cm ymax 300cm2
10
20
30
40 x
36米
A x D
y 1000 800
B
C
如图，小亮父亲想用长为80米长600 的栅栏，再借用房屋的外墙围成 一个矩形羊圈ABCD，已知房屋 400 外墙长36米，设矩形ABCD的边 200 AB=x米，面积为S平方米。 (1)写出S与x之间的关系式，并 指出x的取值范围。 0 (2)当AB、BC分别为多少米时， 羊圈的面积最大？最大面积是多 少？
.


在矩形ABCD中，AB＝6米，BC＝12 米，点P从点A出发沿AB边向点B以1 米/秒的速度移动，同时，点Q从点B 出发沿BC边向点C以2米 /秒的速度移 动。如果P、Q两点在分别到达B、C 两点后就 停止移动，设运动时间为t秒 D （0<t<6)，回答下列问题： （1）运动开始后第几秒时，△PBQ 的面积等于8 ； （2）设五边形APQCD的面积为S ， 写出S与t的函数关系式，t为何值时 S最小？求出S的最小值。
P
M C B
C

D
A ┐
H
A G
D

列表
v
100 00 240 4106 6306 8604 100
0 8 32 72 128 200
新知探究 合作探究：
都在S轴的右侧（答案 不唯一）.
s/m
112 96 80 64 48 32 16
O 20 40 60 80 100 120 v/(km/h)
新知探究
2.如果行车速度是60km/h，那么在雨天行驶和在晴天行驶相比刹车距离相差
多少米？你是怎么知道的？ 解：如图，S=S雨-S晴
=36(m).
s/m
112 96 80 64 48 32 16
O 20 40 60 80 100 120 v/(km/h)
新知探究
3.在某一个雨天，有一个司机在限速为30km/h的路口停了下来，这时过来一 个警察告诉他超速驾驶了，可他说没有，如果他的刹车距离为32m,你认为他
y=x²
新知探究
做一做: 在下列平面直角坐标系中， 作出y=-x²及y=-2x²的图象.
x -2 -1 0 y=-2x2 -8 -2 0 y=-x2 -4 -1 0
12 -2 -8 -1 -4
问题：它们与二次函数y=x²和 y=2x²的图象又有什么异同？
y y=2x12 0
y=x2
8
6
4
2
-4 -2 O 2 4 x
y=-2x2
y=-x2
新知探究
【解析】
函数 图象形状 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2x2 抛物线 向上
抛物线 向上
y=x2 y=-2x2 抛物线 向下 y=-x2 抛物线 向下
y轴 （0，0） y轴 （0，0） y轴 （0，0） y轴 （0，0）
新知探究

二次函数性质总结
二次函数的增减性
当 $a > 0$ 时，在对称轴左侧，函数值随 $x$ 的增大而 减小；在对称轴右侧，函数值随 $x$ 的增大而增大。当 $a < 0$ 时，情况相反。
二次函数的最大值和最小值
当 $a > 0$ 时，二次函数有最小值，且最小值为顶点的纵 坐标；当 $a < 0$ 时，二次函数有最大值，且最大值为顶 点的纵坐标。
THANKS
感谢观看
$B(2,0)$ 和 $C(3,4)$，求该二次 函数的解析式。
例题2
已知二次函数 $y = x^2 - 2x - 3$ ，求该函数图像的顶点坐标和对称 轴方程。
例题3
已知二次函数 $y = 2x^2 - 4x - 1$ ，判断该函数图像与 $x$ 轴的交点 情况。
解题思路与方法总结
01
对于已知图像上三个点的二次函数求解析式问题，可以通过设一般式或交点式 进行求解，利用待定系数法确定系数。
02
当函数图像沿y轴向上（下）平移 h个单位时，函数表达式中的y替 换为y+h（y-h）。
对称变换规律
当函数图像关于x轴 对称时，函数表达式 中的y替换为-y。
当函数图像关于原点 对称时，函数表达式 中的x和y分别替换为 -x和-y。
当函数图像关于y轴 对称时，函数表达式 中的x替换为-x。
伸缩变换规律
二次函数的顶点坐标 $(- frac{b}{2a}, c - frac{b^2}{4a})$ 与一元二次方程的解有密切关系，当 $Delta = b^2 - 4ac > 0$ 时，顶点在x轴下方，方程有两个不相等的实根；当 $Delta = 0$ 时，顶 点在x轴上，方程有两个相等的实根；当 $Delta < 0$ 时，顶点在x轴上方，方程无实根。

-4 -2 0 2 4 x -3 -6 -9
新知讲 解
问题1：根据y=x2和y=-x2的图像，试着
探究二次函数y=ax2的性质.
5y
共同点：对称轴都是y轴
4
顶点都是坐标原点
3 2
1 y=
不同点：当上a；>0时，开口向
5
4
3
2
-1--1 2-3
O1x22 3 4
y =x2
5联系：二次下项．系数互为相反 数，开口相反，大小 相同，它们关于x轴
新知讲 解
y
2.描点:根据表中x, y的数值在坐标
9
平面中描点(x, y).
6
3.连线:用平滑的曲线顺次连接各点, 就得到y=x2的图象.
3
-O
3
3x
新知讲 解
议一议
1.你能描述图象的形状吗？
y
9
二次函数y=x2的图象是一条抛物线，并且
6 2抛.图物象线与开x口轴向有上交.点吗？如果有，交点坐标是什么？
作业布 置
1.课本习题2.2
2.点A(2,4)在二次函数y=x2的图象上吗?请分别写出点 A关于x轴的对称点B的坐标、关于y轴的对称点C的坐 标、关于原点O的对称点D的坐标.点B,C,D在二次函数 y=x2的图象上吗?在二次函数y=-x2的图象上吗?
4.若点A(2,m)在抛物线y=x2上，则点A关于y轴对(称-2点，的4)坐
标是
．
减小
5．二次函数y=-x2的图象，在y轴的右边，y随x的增大而
________．
课堂练 习
课堂练 习
7.已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、 B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所

与y=3x2的图象形状
相同,可以看作是抛
物线y=3x2整体沿x轴 向右平移了1 个单位
图象是轴对称图形
对称轴是平行于
y轴的直线:x=1.
二次项系数相同
a>0,开口都向上.
顶点坐标
是点(1,0).
想一想,在同一坐标系中作二次函数
y=3(x+1)2的图象,会在什么位置?
(4)x取哪些值时,函数y=3(x1)2的值随x值的增大而增大 ?x取哪些值时,函数y=3(x-1)2 的值随x的增大而减少？
2 (4)当x<0时,随着x的值增大,y 的1 值如何变化？当x>0呢？
(5)当x取-4什么-值3时,-y2的值最-1小?最0 小值1是什么2？你是3如何4知道的x ？ -2
y x2
二次函数y=x2的 图象形如物体抛射 时所经过的路线,我
们把它叫做抛物线.
这条抛物线关于
y轴对称,y轴就
是它的对称轴.
二次函数的图象有什么关系?
你能用配方的方法把y=3x2-6x+5变形成y=3(x-1)2+2的形 式吗?
由于y=3x2-6x+5=3(x-1)2+2,因此我们先作二次函数 y=3(x-1)2的图象．
在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象．
想一想
比较函数y 3x2与y 3x1的2 图象
右侧, y随着x的增大而减小.
当x=0时,最小值为0.
当x=0时,最大值为0.
做一做
函数y=ax2(a≠0)的图象和性质:
y
在同一坐标系中作出函数 y=x2和y=-x2的图象
y=x2
y=x2和y=-x2是y=ax2当a=±1

北师大版九年级数学下册：2.2.1二次 函数的 图象与 性质（ 1）
做一做
(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状？ (2)先想一想，然后作出它的图象． (3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？ 解：（1）列表 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
开口方向
向上
向下
增减性
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
北师大版九年级数学下册：2.2.1二次 函数的 图象与 性质（ 1）
最值
当x=0时,最小值为0
当x=0时,最大值为0
北师大版九年级数学下册：2.2.1二次 函数的 图象与 性质（ 1）
二次函数y=ax2的性质
y x2
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值
根据图形填表：
y x2
抛物线
y=x2
y= -x2
顶点坐标 对称轴
（0，0） y轴
（0，0） y轴
位置 在x轴的上方(除顶点外)
在x轴的下方( 除顶点外)
北师大版九年级数学下册：2.2.1二次 函数的 图象与 性质（ 1）
北师大版九年级数学下册：2.2.1二次 函数的 图象与 性质（ 1）
想一想
数形结合,直观感受
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗? 观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,完成下表:
解：1、列表
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …