第5章 群、环和域

抽象代数⼀、课程⽬的与教学基本要求本课程是在学⽣已学习⼤学⼀年级“⼏何与代数”必修课的基础上，进⼀步学习群、环、域三个基本的抽象的代数结构。

要求学⽣牢固掌握关于这三种抽象的代数结构的基本事实、结果、例⼦。

对这三种代数结构在别的相关学科，如数论、物理学等的应⽤有⼀般了解。

⼆、课程内容第1章准备知识（Things Familiar and Less Familiar）10课时复习集合论、集合间映射及数学归纳法知识，通过学习集合间映射为继续学习群论打基础。

1、⼏个注记(A Few Preliminary Remarks)2、集论(Set Theory)3、映射(Mappings)4、A（S）(The Set of 1-1 Mappings of S onto Itself)5、整数(The Integers)6、数学归纳法(Mathematical Induction)7、复数(Complex Numbers)第2章群(Groups) 22课时建⽴关于群、⼦群、商群及直积的基本概念及基本性质；通过实例帮助建⽴抽象概念，掌握群同态定理及其应⽤；了解有限阿贝尔群的结构。

1、群的定义和例⼦(Definitions and Examples of Groups)2、⼀些简单注记(Some Simple Remarks)3、⼦群(Subgroups)4、拉格朗⽇定理(Lagrange’s Theorem)5、同态与正规⼦群(Homomorphisms and Normal Subgroups)6、商群(Factor Groups)7、同态定理(The Homomorphism Theorems)8、柯西定理(Cauchy’s Theorem)9、直积(Direct Products)10、有限阿贝尔群(Finite Abelian Groups) （选讲）11、共轭与西罗定理(Conjugacy and Sylow’s Theorem)(选讲)第3章对称群(The Symmetric Group) 8课时掌握对称群的结构定理，了解单群的概念及例⼦。

抽象代数高等数学教材抽象代数，作为数学的一个重要分支，研究的是代数结构的抽象概念及其性质。

它是现代数学的基石之一，也是高等数学中的一门重要课程。

本教材旨在全面而系统地介绍抽象代数的基本概念、理论和方法，帮助读者建立起对抽象代数的深入理解和应用能力。

第一章：群论1.1 群的定义与性质1.2 群的子群与商群1.3 幺半群与半群1.4 群同态与同构1.5 群的作用与置换群第二章：环论2.1 环的定义与性质2.2 整环与域2.3 环的同态与同构2.4 素理想与极大理想2.5 多项式环与唯一因子分解整环第三章：域论3.1 域的定义与性质3.2 代数扩域与超越扩域3.3 有限域与伽罗华理论3.4 不可约多项式与域的扩张第四章：线性代数4.1 线性空间的定义与性质4.2 线性变换与矩阵4.3 特征值与特征向量4.4 正交矩阵与对角化4.5 线性空间的直和与内积空间第五章：模论5.1 模的定义与性质5.2 子模与商模5.3 生成元与基本定理5.4 非交换环上的模5.5 自由模与有限生成模第六章：域扩张与代数闭包6.1 域扩张的概念与性质6.2 代数元与超越元6.3 代数闭包与代数簇6.4 代数闭域与代数不变量6.5 有理函数与分式域的构造第七章：范畴论与同调代数7.1 范畴的基本概念与性质7.2 范畴的构造与自然变换7.3 函子与函子范畴7.4 外代数与同调代数基础7.5 奇异同调与同调算子第八章：群表示论8.1 群表示的基本概念与性质8.2 单群与群同态8.3 群表示与欣格尔引理8.4 卷积公式与算术引理8.5 特殊群的表示与表示的构造结语：本教材通过系统而严谨的讲解，涵盖了抽象代数的核心内容，旨在培养读者对抽象代数的兴趣和学习动力，提升读者对数学的抽象思维能力和证明能力。

在学习的过程中，读者还可结合习题和实例进行巩固和应用，从而更好地掌握抽象代数的理论与方法。

希望本教材能成为读者学习抽象代数的重要参考资料，为他们在数学领域的探索和研究奠定坚实基础。

在代数学中，群、环和域是几个基本的概念。

它们是数学中用于研究代数结构和操作规律的工具。

群、环和域分别是从不同角度对代数系统进行定义和研究的。

本文将重点介绍群、环和域的基本概念。

首先我们来谈谈群的定义。

在代数学中，一个群是一个集合G与一个二元运算（通常是乘法），满足以下四个条件：封闭性、结合律、存在幺元和存在逆元。

封闭性指的是对于任意的a和b属于G，a b仍然属于G。

结合律是指对于任意的a、b和c属于G，(a b)c = a(b c)。

存在幺元指的是存在一个元素e属于G，使得对于任意的a属于G，a e = e a = a。

存在逆元指的是对于G中的任意元素a，存在一个元素b使得a b = b a = e，其中e是G中的幺元。

通过这些性质，我们可以描述群的基本性质和操作规律。

接下来我们来讨论环的概念。

一个环是一个集合R与两个二元运算+和（通常是加法和乘法），满足以下八个条件：R关于+构成一个阿贝尔群、乘法满足结合律、分配律和乘法有单位元。

阿贝尔群指的是R关于+满足群的四个条件：封闭性、结合律、存在零元和存在逆元。

结合律和分配律即与群相同。

乘法有单位元指的是存在一个元素1属于R，对于任意的a属于R，a1 = 1*a = a。

通过环的性质，我们可以研究乘法在环上的特性和规律。

最后我们来研究域的概念。

一个域是一个集合F与两个二元运算+和（通常是加法和乘法），满足以下九个条件：F关于+构成一个阿贝尔群、F关于构成一个阿贝尔群（去除零元）、乘法满足结合律和分配律。

阿贝尔群和分配律与之前的定义相同，乘法的结合律和分配律也与环相同。

但与环不同的是，域中乘法还需要去除零元，即不存在一个元素0使得0a = a0 = 0。

通过域的性质，我们可以进行更为深入的代数研究。

无论是群、环还是域，它们都是代数学研究中的基础概念。

通过对群、环和域的研究，我们可以分析和证明各种代数结构的特性和规律。

这些概念及其性质构成了代数学中的基本框架，并为更复杂和抽象的数学理论提供了基础。

群论环论域论
群论、环论和域论是数学中的三个重要分支，它们分别研究了代数结构中的群、环和域。

群论研究的是一种代数结构，具有可交换性、结合性、单位元和逆元等基本性质，可以用来描述对称性、对称群和对称变换等；环论研究的是具有加法和乘法运算的代数结构，既可以用来描述整数环、多项式环等，也可以用来研究编码理论、密码学等；域论则研究的是一种更高级别的代数结构，具有除法性质，可以用来描述有理数域、实数域、复数域等，也可以应用于密码学、编码理论和代数几何等领域。

在群论中，我们研究了群的基本概念和性质，包括置换群、循环群、子群、同态等；在环论中，我们研究了环的基本概念和性质，包括整环、域、商环、多项式环等；在域论中，我们研究了域的基本概念和性质，包括有限域、无限域、扩域等。

群论、环论和域论在数学中有着广泛的应用，例如在物理学、化学、计算机科学等领域均有重要的应用。

在研究代数结构中的群、环和域时，我们可以运用不同的方法和技巧，例如置换、同态、不变量、欧几里得算法、Galois理论等，这些方法和技巧可以帮助我们更加深入地理解和研究代数结构中的问题。

综上所述，群论、环论和域论是数学中的三个重要分支，研究代数结构中的群、环和域，具有广泛的应用和深刻的理论意义。

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通用版带答案高中地理必修二第五章环境与发展(四十七)综合题1、“长株潭”是长沙、株洲和湘潭的合称。

在历史上，三城多次分分合合，如今长株潭城市群区域一体化速度在不断加快。

阅读图文材料，回答下列问题。

材料一：长株潭城市群是湖南省经济发展的增长极，该区域以全省1/7的国土面积、22%的人口，创造了40%以上的经济总量和财政收入。

此外，全省60%以上的创业平台、70%以上的高新技术企业和80%以上的高校科研机构集中于长株潭地区。

材料二：长株潭的工程机械制造产业规模稳居全国第一，已成为世界级的工程机械产业集群。

湖南省政府在推断“长株潭城市群”发展进程中，明确将工程机械产业作为重点扶持的传统产业之一。

近年来，我国交通设施、能源、水利水电及城镇化等方面建设投资了大批的工程项目，工程机械需求旺盛。

非洲、中东等地区的基础设施建设处于加快发展中，也为长株潭的工程机械制造产业提供了发展机遇。

材料三：长株潭内建有一条城际铁路，设计速度200千米/小时。

近年来，长株潭城际铁路大幅提高开行密度，平均发车间隔约为10—20分钟，基本达到“公交化”的水平。

长株潭三城共享一片面积约528平方千米的“绿心区域”，这里以农田、水域、森林、丘陵为主，在规划建设过程中应尽可能保持原生态，开发强度不宜过大。

(1)归纳长株潭城市建成区空间布局的特征，概述长株潭城市群中不同等级城市的产业结构特征。

(2)从社会经济角度，分析长株潭城市群发展工程机械产业的有利条件。

(3)说明城际铁路的建设和优化对长株潭地区发展的积极意义。

(4)长株潭“绿心区域”规划发展信息技术、设计创意、休闲旅游等绿色创新产业，从环境角度评价其合理性。

答案：(1)主要沿湘江布局、拓展；沿铁路线布局；呈“品”字形分布。

长沙为省会城市，城市等级较高，产业结构以第三产业为主；株洲、湘潭为地级市，城市等级较低，产业结构以第二产业（或第二、第三产业）为主。

(2)政策支持，政府重点扶植，有利于资金及配套设施的落实；有湘江流经，铁路、高速公路密布，水陆交通便捷，有利于原产料的输入和及新产品的输出；国内外基础设施建设需要工程机械设备，市场需求量大；高等院校和高新技术企业众多，劳动力素质高，科技创新能力强；目前已形成产业集群，产业链上不同企业集聚分布，集聚效应和规模效应好。

抽象代数是数学中一个重要的分支，它研究的是用一般的代数结构来描述和分析数学对象的性质。

在抽象代数中，群、环和域是最基础的三个代数结构，它们分别对应着集合上的运算的性质。

首先，我们来看群的定义。

群是一个非常抽象的数学对象，它由一个集合G和一个二元运算组成。

对于集合G中的任意两个元素a和b，它们的组合结果a也属于集合G，并且满足以下四个条件：1.封闭性：对于任意的a和b，它们的组合结果*a也属于集合G。

2.结合律：对于任意的a、b和c，(a b)c = a(b c)。

3.存在单位元：存在一个元素e，对于任意的a，a e = e a = a。

4.存在逆元：对于集合G中的任意元素a，存在一个元素b，使得a b = b a = e，其中e是单位元。

在群的定义中，我们需要满足这些条件，才能称它为群。

群的定义非常抽象，但它可以用于描述很多实际的数学对象，比如整数、矩阵等。

接下来，我们来看环的定义。

环是一个集合R和两个二元运算+和组成的代数结构。

对于集合R中的任意两个元素a和b，它们的加法结果a+b和乘法结果a b都属于集合R，并且满足以下三个条件：1.R关于加法构成一个群。

2.乘法满足结合律：对于任意的a、b和c，(a b)c = a(b c)。

3.分配律成立：对于任意的a、b和c，a(b+c) = a b + a c和(b+c)a = b a + c a。

环是比群更一般的概念，它描述了集合上同时存在加法和乘法的性质。

在环中，加法满足群的所有条件，而乘法则更一般一些，只要求满足结合律和分配律。

最后，我们来看域的定义。

域是一个集合F和两个二元运算+和组成的代数结构。

对于集合F中的任意两个元素a和b，它们的加法结果a+b和乘法结果a b都属于集合F，并且满足以下四个条件：1.F关于加法构成一个交换群。

2.F{0}关于乘法构成一个交换群。

3.乘法满足分配律：对于任意的a、b和c，a(b+c) = a b + a c和(b+c)a = b a + c a。