上海中考数学二模23题合集

图1上海市宝山区2023学年第二学期期中考试九年级数学试卷考生注意：1．本试卷共25题．2．试卷满分150分．考试时间100分钟．3．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．4．除第一、二大题外，其余各题如无特殊说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1. 二次根式有意义，则x 的取值范围是（ ▲ ）（A ）； （B ）； （C ）； （D ）．2. 如果关于x 的一元二次方程有两个相等的实数根，那么实数m 的值是（ ▲ ）（A ）；（B ）； （C ）； （D ）．3. 下列函数中，y 的值随x 值的增大而减小的是（ ▲ ）（A ）； （B ）； （C ）； （D ）.4. 先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，两次都是正面向上的概率是（ ▲ ）（A ）； （B ）； （C ）； （D ）．5. 上海发布微信公众号可查询到上海市实时空气质量状况.下面是三月某一周连续七天的空气质量指数(AQI )：28，26，26，37，33，40，117，这组数据的下列统计量中，能比较客观地反映这一周空气质量平均水平的是（ ▲ ）（A ）平均数； （B ）中位数； （C ）众数； （D ）方差．6. 如图1，△ABC 中，∠C =90°，AB =5，，如果以点C 为圆心，半径为R 的⊙C 与线段A B 有两个交点，那么⊙C 的半径R 的取值范围是（ ▲ ）（A ）； （B ）；（C ）；（D ）．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）1-x 0>x 0≥x 1>x 1≥x 20x x m --=1-41-411122+=x y 122+-=x y 1+=x y 1+-=x y 4131216121=tanB 52≤<R 52≤≤R 525≤≤R 50≤<R【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7. 计算：＝ ▲ .8. 因式分解：m 2－3m ＝ ▲ .9. 不等式 x －12＜0的解集是 ▲ .10. 方程的解是 ▲ .11. 我国天文学家算出了仙女星系“体重”.仙女星系是距离银河系最近的大型漩涡星系，是研究星系形成和演化的绝佳案例.计算得到仙女星系质量约为11400亿倍太阳质量.把数据11400亿用科学记数法表示应是 ▲ .12. 某厂生产了1000只灯泡．为了解这1000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进行检测，结果有28只灯泡的使用寿命超过了2500小时，那么估计这1000只灯泡中使用寿命超过2500小时的灯泡的数量为 ▲ 只.13. 《孙子算经》记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木多出1尺．那么长木的长度为 ▲ 尺.14. 如图2，街心花园有A 、B 、C 三座小亭子，A 、C 两亭被池塘隔开，A 、B 、C 三亭所在的点不共线设AB 、BC 的中点分别为M 、N 如果MN=3米，那么AC = ▲ 米.15. 如图3，正六边形ABCDEF ，连接OE 、OD ，如果那么 ▲ .16. 为传承海派文化，社区准备举办沪剧爱好者观摩演出活动.把某场馆的一个正方形区域改造成一个由矩形和半圆形组成的活动场地（如图4），矩形ABCD 是观众观演区，阴影部分是舞台，CD 是半圆O 的直径，弦EF 与CD 平行．已知EF 长8米，舞台区域最大深度为2米，如果每平方米最多可以坐3名观众，那么观演区可容纳 ▲ 名观众.17. 如图5，边长分别为5，3，2的三个正方形拼接在一起，它们的一边在同一直线上，那么图中阴影三角形①和②的面积之比的比值为_______．26a a ÷x x -=-2,,b OE a OD ===AB 21S S 图2图4图318. 如图6，菱形ABCD 的边长为5，cosB ＝，E 是边CD 上一点（不与点C 、D 重合），把△ADE 沿着直线AE翻折，如果点D 落在菱形一条边的延长线上，那么CE 的长为▲ .三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19. （本题满分10分）计算：．20. （本题满分10分）解方程：．21.（本题满分10分，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分5分）如图7，在平面直角坐标系xOy 中，直线与x轴、y 轴分别交于点A、B ，与反比例函数的图像交于点C (2，m )．（1）求反比例函数的解析式；（2）过点C 作x 轴的平行线l ，如果点D 在直线l 上，且CD =3，求△ABD 的面积．22.（本题满分10分）小明家院内靠墙安装了一个遮阳篷（如图8），图9是它的侧面示意图，遮阳篷长AC ＝6米，与水平面的夹角为17.5°，靠墙端A 离地高度AB ＝5米，已知该地区冬至正午太阳光照入射角∠CDF ＝36.9°，夏至正5423813---）12113+=+xx 3y x =+x ky =图7图6图5午太阳光照入射角∠CEF ＝82.4°，因此，点D 、E 之间的区域是一年四季中阳光不一定照射到的区域，求该区域深度DE 的长．（结果精确到0.1米）参考数据：sin 17.5°≈0.3，cos 17.5°≈0.95，tan 17.5°≈0.32；sin 36.9°≈0.6，cos 36.9°≈0.8，tan 36.9°≈0.75；sin 82.4°≈0.99，cos 82.4°≈0.13，tan 82.4°≈7.5.23.（本题满分12分，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分）如图10，在⊙O 中，直径AB 垂直于弦CD ，垂足为点E ，联结AC 、DO ，延长DO 交AC 于点F ．（1）求证：AF 2＝OF·DF ；（2）如果CD ＝8，BE ＝2，求OF 的长．24.（本题满分12分，第(1)小题满分4分,第(2)小题满分4分，第(3)小题满分4分）在平面直角坐标系xOy 中（如图11），已知开口向下的抛物线经过点P （0，4），顶点为A ．（1）求直线PA 的表达式；（2）如果将△POA 绕点O 逆时针旋转90°，点A 落在抛物线上的点Q 处，求抛物线的表达式；（3）将（2）中得到的抛物线沿射线PA 平移，平移后抛物线的顶点为B ，与y 轴交于点C .如果，求的值．422+-=x ax y AB PC 2=PBC tan∠图10图8图925.（本题满分14分，第(1)小题①满分4分，第(1)小题②满分4分，第(2)小题满分6分）已知AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上不与A 、B 重合的点，将弧AC 沿直线AC 翻折，翻折所得的弧交直径AB 于点D ，E 是点D 关于直线AC 的对称点．（1）如图12，点D 恰好落在点O 处.① 用尺规作图在图12中作出点E （保留作图痕迹），联结AE 、CE 、CD ，求证：四边形ADCE 是菱形；② 联结BE ，与AC 、CD 分别交于点F 、G ，求的值；（2）如果AB ＝10，OD ＝1，求折痕AC 的长．上海市宝山区2023学年第二学期期中考试九年级数学试卷答案解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1.二次根式有意义，则x 的取值范围是（ ▲ ）（A ）；（B ）； （C ）； （D ）．【答案】D【分析】本题考查二次根式有意义的条件，即被开方数要≥0.【详解】由题意得，FG BE1-x 0>x 0≥x 1>x 1≥x 10x -≥图12备用图∴所以答案选D2. 如果关于x 的一元二次方程有两个相等的实数根，那么实数m 的值是（ ▲ ）（A ）；（B ）； （C ）； （D ）．【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，根据一元二次方程判别式与根情况的关系，列代数式求解即可．，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．【详解】∵一元二次方程有两个相等的实数根∴∴1+4m=0∴m=∴答案选B3. 下列函数中，y 的值随x 值的增大而减小的是（ ▲ ）（A ）；（B ）； （C ）； （D ）.【答案】D【分析】本题考查一次函数，二次函数的图像与性质【详解】A 选项，二次函数，在对称轴左侧，函数值y 随自变量x 的值增大而减小，右侧不满足题意，故A 错；B 选项，二次函数，开口向下，在对称轴左侧，函数值y 随自变量x 的值增大而增大，不满足题意，故B 错；C 选项，一次函数，k ＞0，函数值y 随自变量x 的值增大而增大，故C 错；D 选项，一次函数，k ＜0，函数值y 随自变量x 的值增大而减小，故D 正确。

2019年上海各区初三二模数学试卷23题专题汇编（教师版）崇明23．（本题满分12分，每小题满分各6分）如图7，在直角梯形ABCD 中，90ABC ∠=︒，AD BC ∥，对角线AC 、BD 相交于点O ． 过点D 作DE BC ⊥，交AC 于点F ． （1）联结OE ，若BE AOEC OF=，求证：OE CD ∥； （2）若AD CD =且BD CD ⊥，求证：AF DFAC OB=． 23．（本题满分12分，每小题满分各6分） 证明(1)∵90ABD ∠=︒,BC DE ⊥∴//AB DE ………………………………………………………………（1分） ∴AO BOOF OD=………………………………………………………………（2分） ∵BE AOEC OF =∴AO BEOF EC=……… ………………………………………………………（2分） ∴//OE CD …………………………………………………………………（1分） (2)∵BC AD //，//AB DE ，∴四边形ABED 为平行四边形 又∵90ABD ∠=︒∴四边形ABED 为矩形 ……………………………………………………（1分） ∴AD BE =，90ADE ∠=︒ 又∵CD BD ⊥∴90BDC BDE CDE ∠=∠+∠=︒︒=∠+∠=∠90BDE ADB ADE∴CDE ADB ∠=∠ …………………………………………………………（1分）AD CD =∴DCA DAC ∠=∠∴()A S A CDF ADO ..∆≅∆…………………………………………………（1分） ∴OD DF =DE AB //ABCDOE F图7∴AF BE ADAC BC BC==…………………………………………………………（1分） ∵BC AD //∴BODFBO OD BC AD ==…………………………………………………………（1分） ∴AF DFAC OB=…………………………………………………………………（1分） 奉贤23．（本题满分12分，每小题满分各6分）已知：如图8，正方形ABCD ，点E 在边AD 上，AF ⊥BE ，垂足为点F ，点G 在线段BF 上，BG=AF ．（1）求证：CG ⊥BE ；（2）如果点E 是AD 的中点，联结CF ，求证：CF=CB ．23.证明：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC =．90ABC． ··········· （1分） ∵AF ⊥BE ，∴90FAB FBA ∠+∠=︒．∵90FBA CBG ∠+∠=︒，∴FAB CBG ∠=∠． ································ （1分） 又∵AF BG =，∴△AFB ≅△BGC ． ············································· （2分）∴AFB BGC ∠=∠． ······································································· （1分） ∵90AFB ∠=︒，∴90BGC ∠=︒，即CG ⊥BE ． ······························· （1分） （2）∵ABF EBA ∠=∠，90AFB BAE ∠=∠=︒，∴△AEB ∽△FAB ．∴AE AFAB BF=． ················································· （3分） ∵点E 是AD 的中点，AD AB =，∴12AE AB =．∴12AF BF =．··················· （1分） ∵AF BG =，∴12BG BF =，即FG BG =．············································ （1分） ∵CG ⊥BE ，∴CF CB =． ······························································· （1分）ABCD FG E 图8闵行（本题共2小题，每小题6分，满分12分）如图，已知四边形ABCD 是菱形，对角线BD AC 、相交于点O ，AC BD 2=，过点A 作CD AE ⊥，垂足为点E ，AE 与BD 相交于点F ，过点C 作AC CG ⊥，与AE 的延长线相交于点G . 求证：（1）DOA ACG ∆∆≌;（2）AG DE BD DF ⋅=⋅223．证明：（1）在菱形ABCD 中，AD = CD ，AC ⊥BD ，OB = OD ．∴ ∠DAC =∠DCA ，∠AOD = 90°．……………………………（1分） ∵ AE ⊥CD ，CG ⊥AC ，∴ ∠DCA +∠GCE = 90°，∠G +∠GCE = 90°．∴ ∠G =∠DCA ．…………………………………………………（1分） ∴ ∠G =∠DAC ．…………………………………………………（1分） ∵ BD = 2AC ，BD = 2OD ，∴ AC = OD ． ……………………（1分） 在△ACG 和△DOA 中，∵ ∠ACG =∠AOD ，∠G =∠DAC ，AC = OD ，∴ △ACG ≌△DOA ． ……………………………………………（2分） （2）∵ AE ⊥CD ，BD ⊥AC ，∴ ∠DOC =∠DEF = 90°．…………（1分） 又∵ ∠CDO =∠FDE ，∴ △CDO ∽△FDE ．…………………（1分）∴ CD OD DF DE=．即得 OD DF DE CD ⋅=⋅． ……………………（2分） ∵ △ACG ≌△DOA ，∴ AG = AD = CD ． ……………………（1分）又∵ 12OD BD =，∴ 2DF BD DE AG ⋅=⋅．…………………（1分）嘉定23．（本题满分12分，第(1)小题6分、第(2)小题6分）如图6，在矩形ABCD 中，点E 是边AB 的中点，△EBC 沿直线EC 翻折，使B 点落在矩形ABCD 内部的点P 处，联结AP 并延长AP 交CD 于点F ，联结BP 交CE 于点Q ． （1）求证：四边形AECF 是平行四边形； （2）如果PE PA =，求证：△APB ≌△EPC ．23.（1）证明：由翻折得:EC 垂直平分BP ………………1分∴EQ BQ = ………………1分 ∵点E 为AB 的中点，∴EB AE = ………………1分 ∴EQ 是△ABP 的中位线，∴EC ∥AF ，……………1分 ∵四边形ABCD 是矩形∴AE ∥FC ………………1分 ∴四边形AECF 是平行四边形. ………………1分（2）∵AE ∥FC ，∴EQB APB ∠=∠ ………………1分由翻折得: ︒=∠90EQB ,︒=∠90EPC∴︒=∠=∠90EPC APB ………………1分 由翻折得:EB PE =,BEC PEC ∠=∠∵PE PA =,EB AE = ∴AE PE PA ==∴△AEP 是等边三角形，∴︒=∠=∠60AEP PAB …………1分 ∵︒=∠+∠+∠180BEC PEC AEP∴︒=∠60PEC ………………1分AB DCF PEQ图6∴PEC PAB ∠=∠ ………………1分 ∵PE PA =,∴△APB ≌△EPC ………………1分 黄埔23．（本题满分12分）如图6，已知四边形ABCD ，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，DO =BO ，过点C 作CE ∥AC ，交BD 的延长线于点E ，交AD 的延长线于点F ，且满足DCE ACB ∠=∠. （1）求证：四边形ABCD 是矩形； （2）求证：DE ADEF CD=.23. 证明：（1）∵AD ∥BC ，∴AD DOBC BO=， ∵DO =BO ，∴AD BC =，--------------------（2分）∴四边形ABCD 是平行四边形. ------------------------------------------------------------------------（1分） ∵CE ⊥AC ，∴90ACD DCE ∠+∠=︒，∵DCE ACB ∠=∠，∴90ACB ACD ∠+∠=︒，即90BCD ∠=︒，------------------------（2分） ∴四边形ABCD 是矩形. --------------------------------------------------------------------------------------（1分）（2）∵四边形ABCD 是矩形，∴AC BD =，90ADC ∠=︒---------------------------------------（2分）∵AD ∥BC ，∴DE EFBD FC=.--------------------------------------------------------------------------------（1分） ∴DE EFAC FC =，------------------------------------------------------------------------------------------------（1分） ∴DE AC EF FC=，∵90ADC ACF ∠=∠=︒， ∴cot AC ADDAC FC CD∠==，----------------------------------------------------------------------------------（1分） ∴DE AD EF CD =.--------------------------------------------------------------------------------------------------（1分）ABC DEF图6OA B CDO E H F 第23题图金山22. 已知：如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，若DBC CAD ∠=∠.（1）求证：ABCD 是正方形.（2）E 是OB 上一点，CE DH ⊥，垂足为H ，DH 与OC 相交于点F ，求证：OF OE =.23.（1）证明：∥四边形ABCD 是菱形，∥BC AD //，DAC BAD ∠=∠2,DBC ABC ∠=∠2; （2分） ∥180=∠+∠ABC DAB ; （1分） ∥DBC CAD ∠=∠;∥ABC BAD ∠=∠, （1分） ∥1802=∠BAD ; ∥90=∠BAD ; （1分） ∥四边形ABCD 是正方形. （1分） （2）证明：∥四边形ABCD 是正方形；∥BD AC ⊥，BD AC =，AC CO 21=,BO DO 21=； （1分） ∥90=∠=∠DOC COB ，DO CO =； （1分） ∥CE DH ⊥，垂足为H ；∥90=∠DHE ，90=∠+∠DEH EDH ； （1分） 又∥90=∠+∠DEH ECO ；∥EDH ECO ∠=∠； （1分） ∥ECO ∆≌FDO ∆； （1分） ∥OF OE =. （1分）普陀23．（本题满分12分）已知：如图10，在四边形ABCD 中，AD BC <，点E 在AD 的延长线上， ACE BCD ∠=∠，EC ED EA =⋅2． （1）求证：四边形ABCD 为梯形； （2）如果EC ABEA AC=，求证：AB ED BC =⋅2．23．证明：（1）∵ ACE BCD ∠=∠，∴DCE BCA ∠=∠． ········································· （1分）∵EC ED EA =⋅2，∴ED ECEC EA=． ······················································ （1分） 又∵E ∠是公共角，∴△EDC ∽△ECA ． ·············································· （1分） ∴DCE CAE ∠=∠． ········································································· （1分） ∴BCA CAE ∠=∠．∴AD ∥BC ． ·················································································· （1分） ∵AD BC <，∴AB 与CD 不平行．∴四边形ABCD 是梯形． ····································································· （1分） （2）∵△EDC ∽△ECA ．∴EC CDEA AC =． ∵EC AB EA AC=，∴AB DC =．··························································· （1分） ∴四边形ABCD 是等腰梯形． ···························································· （1分） ∴B DCB ∠=∠． ··········································································· （1分） ∵AD ∥BC ．∴EDC DCB ∠=∠．图10A BCD E∴EDC B ∠=∠．∵ECD ACB ∠=∠，∴△EDC ∽△ABC ． ········································ （1分） ∴ED DCAB BC=． ··············································································· （1分） ∴AB ED BC =⋅2． ······································································ （1分） 徐汇22. （本题满分（12分），第（1）题满分6分，第（2）小题满分6分） 如图，已知梯形ABCD 中，E AC AB BC AD ,,=∥是边BC 上的点，且CAD AED ∠=∠,DE 交AC 于点F(1) 求证：DAF ABE ∽△△(2) 当EC AE FC AC ⋅=⋅时，求证：BE AD = 23. ：（1）BC AD // ACB CAD ∠=∠∴ AC AB = ACB B ∠=∠∴ 又CAD AED ∠=∠CAD AED ACB B ∠=∠=∠=∠∴ 又CED AED BAE B ∠+∠=∠+∠ CED BAE ∠=∠∴又BC AD // CED ADF ∠=∠∴ ADF BAE ∠=∠∴ CAD ABE ∠=∠ ABE ∆∴相似于DAF ∆（2）由（1）知ABE ∆∴相似于DAF ∆AF BE AD AB =∴AFADBE AB =∴ BC AD // FC AF EC AD =∴FCECAF AD =∴ FC ECBE AB =∴ 由（1）知:CED BAE CED B ∠=∠∠=∠,ABE ∆∴相似于ECF ∆ FC BE EC AB =∴ FCEC BE AB =∴ EC AE FC AC ⋅=⋅ FCECAE AC =∴AEAC BE AB =∴ 又AC AB = AE BE =∴ BAE B ∠=∠∴又AED B ∠=∠ AED BAE ∠=∠∴DE AB //∴ 又BC AD //∴四边形ABED 是平行四边形 BE AD =∴杨浦1、 （本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）已知：如图，在ABC 中，AB=BC ，∠ABC=90°，点D 、E 分别是AB 、BC 的中点，点F 、G 是边AC 的三等分点，DF 、EG 的延长线相交于H ，联结HA 、HC 求证：（1）四边形FBGH 是菱形 （2）四边形ABCH 是正方形23．证明（1）：∵点F 、G 是边AC 的三等分点，∴F 、G 分别是AG 、CF 的中点， ∵点D 是AB 的中点，∴DF //BG ，即FH //BG ． ........................ （2分）同理： GH // BF ． ........................................................................... （1分） ∴四边形FBGH 是平行四边形． .................................................. （1分） ∵AB =BC ，∴∠BAC =∠ACB .∵点F 、G 是边AC 的三等分点，∴AF =CG .∴△ABF ≌△CBG . ∴BF =BG. .................................................... （1分） ∴平行四边形FBGH 是菱形. ....................................................... （1分）证明（2）联结BH ，交FG 于点O ，∵四边形FBGH 是平行四边形，∴OB =OH ，OF =OG ． ............ （2分） ∵AF =CG ，∴OA =OC ． ................................................................. （1分） ∴四边形ABCH 是平行四边形． .................................................. （1分） ∵∠ABC =90°，∴平行四边形ABCH 是矩形. .......................... （1分）∵AB =BC ，∴矩形ABCH 是正方形. （1分）长宁23.（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图5，平行四边形ABCD 的对角线BD AC 、交于点O ，点E 在边CB 的延长线上，且︒=∠90EAC ，EC EB AE ⋅=2． （1）求证：四边形ABCD 是矩形；（2）延长AE DB 、交于点F ，若AC AF =，求证：BF AE =．23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）证明：（1）∵EC EB AE ⋅=2 ∴AEEB EC AE =又 ∵CEA AEB ∠=∠ ∴AEB ∆∽CEA ∆ （2分） ∴EAC EBA ∠=∠∵︒=∠90EAC ∴︒=∠90EBA （1分） 又 ∵︒=∠+∠180CBA EBA ∴︒=∠90CBA （1分） ∵四边形ABCD 是平行四边形∴四边形ABCD 是矩形 （1分）（2）∵ AEB ∆∽CEA ∆ ∴ AC AB AE BE = 即 ACAE AB BE = ， ECA EAB ∠=∠ （2分）∵四边形ABCD 是矩形 ∴BD AC =又 ∵BD OB 21=， AC OC 21= ∴OC OB = ∴ECA OBC ∠=∠ 又 ∵OBC EBF ∠=∠ ECA EBA ∠=∠ ∴EAB EBF ∠=∠又∵F F ∠=∠ ∴EBF ∆∽BAF ∆ （3分）∴AB BE AF BF = ∴ACAEAF BF =（1分） ∵AC AF = ∴AE BF = （1分）图5AB CDE FO宝山23．（本题满分12分，第(1)、第(2)小题满分各6分）如图，在矩形ABCD 中，E 是AB 边的中点，沿EC 对折矩形ABCD ，使B 点落在点P 处，折痕为EC ，联结AP 并延长AP 交CD 于F 点， （1）求证：四边形AECF 为平行四边形；（2）如果P A=PC ，联结BP ，求证：∥APB ≅∥EPC ．第23题图23.（1）证明：由折叠得到EC 垂直平分BP ， ………………1分 设EC 与BP 交于Q ，∥BQ=EQ ………………1分 ∥E 为AB 的中点， ∥AE =EB ， ………………1分 ∥EQ 为∥ABP 的中位线，∥AF ∥EC ， ………………2分 ∥AE ∥FC ， ∥四边形AECF 为平行四边形； ………………1分 （2）∥AF ∥EC ，∥∥A PB =∥EQB =90° ………………1分由翻折性质∥E PC =∥EBC =90°，∥PEC =∥BEC ………………1分 ∥E 为直角∥APB 斜边AB 的中点，且AP =EP ，∥∥AEP 为等边三角形 , ∥BAP =∥AEP =60°， ………………1+1分︒=︒-︒=∠=∠60260180CEB CEP ………………1分 在∥ABP 和∥EPC 中， ∥BAP =∥CEP ，∥APB=∥E PC ，AP =EP ∥∥ABP ∥∥EPC （AAS ）， ………………1分松江23.（本题满分12分，每小题各6分）如图，已知□ABCD 中，AB=AC ，CO ⊥AD ，垂足为点O ，延长CO 、BA 交于点E ，联结DE ． （1）求证：四边形ACDE 是菱形；（2）联结OB ，交AC 于点F ，如果OF=OC ，求证：22AB BF BO =⋅．23．证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形∴AB ∥DC ，AB=DC ………………………………………………………………（1分） ∵AB=AC ，∴AC=DC ……………………………………………………………（1分） ∵CO ⊥AD ，∴AO=DO …………………………………………………………（1分） ∵EO AOCO DO=，∴EO=CO ………………………………………………………（1分） ∴四边形ACDE 是平行四边形……………………………………………………（1分） ∵AC=DC ，∴四边形ACDE 是菱形……………………………………………（1分） （2）∵ OF=OC ，∴∠OFC=∠OCF ……………………………………………（1分） ∵AE=AC ，∴∠OCF=∠BEO∵∠OFC=∠BF A ，∴∠BF A=∠BEO …………………………………………（1分） ∵∠ABF=∠OBE …………………………………………………………………（1分） ∴△BF A ∽△BEO ，∴AB BFBO BE=………………………………………………（1分） ∴AB ·BE=BF ·BO ，∵AE=AC=AB ，∴BE=2AB ………………………………（1分） ∴22AB BF BO =⋅………………………………………………………………（1分）（第23题图）OECBA静安22．（本题满分10分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分）已知：如图5，在矩形ABCD 中，过AC 的中点M 作EF ⊥AC ， 分别交AD 、BC 于点E 、F ． （1）求证：四边形AECF 是菱形； （2）如果2CD BF BC =⋅，求∠BAF 的度数．22．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分） 证明：（1）∵四边形ABCD 为矩形，∴AD //BC ， ∴∠1=∠2．..........................................（1分）∵点M 为AC 的中点，∴AM =CM ．在△AME 与△CMF 中，12AM CM AME CMF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩..............................................（1分） ∴△AME ≌△CMF ．..........................................（1分） ∴AE =CF ．∴四边形AECF 为平行四边形． ·································································· （1分） 又∵EF ⊥AC ，∴平行四边形AECF 为菱形． ····································································· （1分） （2）∵2CD BF BC =⋅，∴CD BC BF CD =．又∵四边形ABCD 为矩形，∴AB =CD ，∴AB BC BF AB =． ··········································································· （1分）又∵∠ABF =∠CBA ，∴△ABF ∽△CBA ． ·················································································· （1分） ∴∠2=∠3． ···························································································· （1分） ∵四边形AECF 为菱形，∴∠1=∠4，即∠1=∠3=∠4． ····································································· （1分） ∵四边形ABCD 为矩形， ∴∠BAD =∠1+∠3+∠4=90°，∴即∠1=30°． ······················································································· （1分）图5CFEDA BM图5CF EDA B M 124323．（本题满分12分，第（1）小题满分8分，第（2）小题满分4分）已知：如图6，△ABC 内接于⊙O ，AB ﹦AC ，点E 为弦AB 的中点，AO 的延长线交BC 于点D ，联结ED ．过点B 作BF ⊥DE 交AC 于点F ．（1）求证：∠BAD ﹦∠CBF ； （2）如果OD ﹦DB ．求证：AF =BF ．证明：（1）∵AB ﹦AC ， ∴AB AC =． ........................（1分）∵直线AD 经过圆心O ， ..................................................（1分） ∴AD ⊥BC ，BD=CD ． ....................................................（1分） ∵点E 为弦AB 的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线． ∴DE ∥AC ． ......................................................................（1分） ∵BF ⊥DE ，∴∠1=90°， ∴∠2=90°．......................................................................（1分） ∴∠CBF ＋∠ACB ﹦90°．∵AB ﹦AC ，∴∠ABC ﹦∠ACB ， .....................................（1分）∴∠CBF ＋∠ABC ﹦90°．.................................................（1分）又∵AD ⊥BC ，∴∠BAD ＋∠ABC ﹦90°，∴∠BAD ﹦∠CBF ．.............................................................（1分）（2）联结OB ．∵AD ⊥BC ，OD ﹦DB ，∴△ODB 是等腰直角三角形．.......................................................................................................（1分）∴∠BOD ﹦45°． ∵OB=OA ，∴∠OBA ﹦∠OAB ．∵∠BOD ﹦∠OBA +∠OAB ，∴∠BAO=12∠BOD=22.5°． .....................................................................................................（1分）∵AB=AC ，且AD ⊥BC ， ∴∠BAC=2∠BAO=45°． ∵∠2=90°，即BF ⊥AC ，∴在△ABF 中，∠ABF =180904545--=，................................................................................（1分）图6BCDEF OA· 图6 B C DE F O A·12OE第23题图 C A B D F∴∠ABF =∠BAC ，∴AF =BF ．.........................................................................................................................................（1分） 虹口23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）如图，在□ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，过点B 作BE ∥AC ，联结OE 交BC 于点F ，点F 为BC 的中点．（1）求证：四边形AOEB 是平行四边形；（2）如果∠OBC =∠E ，求证：=BO OC AB FC ⋅⋅．23．（1）证明：∵BE ∥AC ∴OC CFBE BF=∵点F 为BC 的中点 ∴CF=BF ∴OC=BE ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AO=CO ∴AO=BE∵BE ∥AC ∴四边形AOEB 是平行四边形（2）证明：∵四边形AOEB 是平行四边形 ∴∠BAO =∠E ∵∠OBC =∠E ∴∠BAO =∠OBC∵∠ACB =∠BCO ∴△COB ∽△CBA ∴BO BC AB AC =∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AC =2OC ∵点F 为BC 的中点 ∴BC =2FC ∴BO FC AB OC= 即=BO OC AB FC⋅⋅青浦23.（本题满分12分，第（1）、（2）小题，每小题6分）已知：如图9，在菱形ABCD 中，AB =AC ，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，且AE =BF ，CE 与AF 相交于点G ． （1）求证：∠FGC =∠B ；（2）延长CE 与DA 的延长线交于点H ，求证：．23．证明：（1）∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB =BC ． ··········································································· （1分）∵AB =AC ，∴AB =BC =AC ，∴∠B =∠BAC =60°． ··························· （1分） 在△EAC 与△FBA 中，∵EA =FB ，∠EAC =∠FBA ，AC =BA ， ∴△EAC ≌△FBA ， ································································ （1分） ∴∠ACE =∠BAF ，·································································· （1分） ∵∠BAF+∠F AC =60°，∴∠ACE +∠F AC =60°，∴∠FGC =60°， ······· （1分） ∴∠FGC =∠B ． ····································································· （1分） （2）∵四边形ABCD 是菱形，∴∠B =∠D ，AB =DC ，AB //DC ， ················································ （1分） ∴∠BEC =∠HCD ， ································································· （1分） ∴△BEC ∽△DCH ， ······························································· （1分）∴=BE ECDC CH， ····································································· （1分） ∴⋅=⋅BE CH EC DC ．∵AB =AC ，∴CD =AC ， ··························································· （1分） ∵△EAC ≌△FBA ， ∴EC =F A ，∴⋅=⋅BE CH AF AC ． ························································· （1分）BE CH AF AC ⋅=⋅GF EDA BC图9。

2023年上海市黄浦区中考二模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．任选两个角，测量它们的角度；B．测量四条边的长度；C．测量两条对角线的长度；D．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离．【答案】D【分析】利用矩形的判定定理逐个选项查看即可．【详解】选项A中任意两个角只能判定一对角互补或相等，或两个直角，有可能为直角梯形，判断四边形为矩形需要3个角是直角，选项A错误；选项B中，四条边的关系为对边相等，可能仅是平行四边形，选项B错误；选项C中，对角线长度相等但是不是平行四边形时，仅为普通四边形，选项C错误；选项D中，根据对角线交点到四个顶点的距离分别相等，判断对角线互相平分则为平行四边形，又通过对角线相等判断为矩形．故选D．【点睛】矩形的判定定理有3条，三个角是直角的四边形；对角线相等的平行四边形；有一个角是直角的平行四边形．熟练的应用判定定理是解题的关键．二、填空题【答案】170【分析】根据频数直方图可知40人中有34再估计200人中完成时间少于90分钟的人数即可．【详解】解：由题意得：4102020017040++⨯=（人）【点睛】本题考查三角形的重心，属于中考常考题型．16．在直角坐标平面内，已知点EF GH ∥ ，∴四边形EFGH 时平行四边形，3EH FG ∴==，∴四边形EFGH 的周长为如图2，当OEF HOG ≌1EF OG ∴==，OF GH =，3FG = ，312OF FG OG ∴=-=-=，2GH ∴=，90EFO ∠=︒ ，90OEF EOF ∴∠+∠=︒，90HOG EOF ∴∠+∠=︒，(180EOH HOG ∴∠=︒-∠+∠三、解答题将12y =代入③，得23x =所以，原方程的解是101x y =⎧⎨=-⎩，1132x y =⎧⎨=⎩．【点睛】此题考查了二元二次方程组，熟练掌握二元二次方程组的解法是解题的关键．21．小丽与妈妈去商场购物，商场正在进行打折促销，规则如下：优惠活动一：任选两件商品，第二件半价（两件商品价格不同时，低价商品享受折扣）；优惠活动二：所有商品打八折．（两种优惠活动不能同享）(1)如果小丽的妈妈看中一件价格600元的衣服和一双500元的鞋子，那么她选择哪个优惠活动会更划算？请通过计算说明；(2)如果小丽的妈妈想将之前看中的鞋子换成一条裤子，当裤子价格（裤子价格低于衣服价格）低于多少元时，小丽会推荐妈妈选择优惠活动二？为什么？【答案】(1)选择伏惠活动一更划算，见解析(2)当裤子价格低于400元时，推荐选择优惠活动二，见解析【分析】（1）分别计算出两种优惠活动的总价格，再比较那个价格更低即可得解答；（2）按照优惠活动列出不等式解答．【详解】（1）解：选择优惠活动一更划算，理由如下：活动一价格：6005000.5850+⨯=（元），活动二价格：()6005000.8880+⨯=（元），∵850880<，∴选择优惠活动一更划算．（2）解：当裤子价低于400元时，推荐选择优惠活动二，设裤子的价格为(600)x x <元，则活动一的价格为()6000.5x +元；活动二的价格为()4800.8x +元，由题意，得6000.54800.8x x +>+，解，得400x <．∴当裤子价格低于400元时，推荐选择优惠活动二．【点睛】本题考查了方案选择问题，一元一次不等式与实际问题，审清题意找出等量关系是解题的关键．(1)求弦AB 的长；(2)求图中阴影部分面积（结果保留【答案】(1)23AB =(2)23S π=阴∵弦AB 垂直平分OP ，∴112OQ OP ==．在Rt OBQ △中，=BQ ∵半径OP 垂直AB ，∴AQ BQ=∵ BC BP =，∴BC BP =，BOC ∠=又∵OC OB =，∴OBC △是等边三角形．∴60BCO ∠=︒，(1)求证：BF DE =；(2)延长AB 交射线EF 于点【答案】(1)见解析(2)见解析AF AE =，90EAF ∠=∴45AFE AEF ∠=∠=︒，四边形ABCD 是正方形，∴45ADB BDC =∠=∠°，∴135ADE AFG ∠=∠= ，由（1）知EAD BAF ∠=∠ADE AFG ∴ ∽，(1)求抛物线的表达式；(2)设抛物线与x轴的另一个交点为(3)点D坐标是()0,4的长．【答案】(1)2y x=+(2)点P的坐标是3 2⎛-⎝(3)410MN=【分析】（1）先利用一次函数解析式求出点物线的表达式即可；（2）先求出抛物线的对称轴是直线在AC的垂直平分线上，由PB PA=，求出a（3）先说明点M，()2,34+-m m m，点(1)已知3sin 5DBC ∠=，①当4EC =时，求BCH V 的面积；②以点H 为圆心，HM 为半径作圆有且仅有一个公共点，求CE (2)延长AH 交边BC 于点P 【答案】(1)①725BHC S =；②(2)102xx-【分析】（1）①联结AC 交函数可得,CO BO 的长，再由CEGD 是平行四边形，可得继而得到BE ME =，再由EH 485H x r BH ==-，45OH =后分两种情况：当两圆外切时，当两圆内切时，即可求解；∵四边形ABCD 是菱形，∴OC BO ⊥．在Rt BOC 中，10BC =，∴sin 6CO BC DBC =⋅∠=，∴8BO =，∵EH BD ⊥，∴EH CO ∥，∴BH BE BO BC =，即104810BH -=∴245BH =．∴1122BHC S OC BH =⨯=⨯ ②在菱形ABCD 中，AB 又∵GD CE =，∴四边形CEGD 是平行四边形，∴EG D C ∥，∴EG AB ∥，∴EMB ABD ∠=∠．又∵ABD CBD ∠=∠，由（1）得：HM BH =，EG HQ EN AB ∴∥∥，∴,HQP CEN QHP ∠=∠∠=∴HQP CEN ∽ ，∴HP HQ CN CE=，又∵EH BD ⊥，∴11022x HQ BE -==．。

证明题专题1.如图，在矩形ABCD 中，E 是AB 边的中点，沿EC 对折矩形ABCD ，使B 点落在点P 处，折痕为EC ，联结AP 并延长AP 交CD 于F 点， （1）求证：四边形AECF 为平行四边形；（2）如果PA PC =，联结BP ，求证：APC EPC ∆≅∆第23题图【答案】（1）由折叠得到EC 垂直平分BP ， ………………1分 设EC 与BP 交于Q ，∴BQ EQ = ………………1分 ∵E 为AB 的中点， ∴AE EB =， ………………1分 ∴EQ 为△ABP 的中位线，∴AF ∥EC ， ………………2分 ∵AE ∥FC ， ∴四边形AECF 为平行四边形； ………………1分 （2）∵AF ∥EC ，∴90APB EQB ∠=∠=︒ ………………1分 由翻折性质90EPC EBC ∠=∠=︒，PEC BEC ∠=∠ ………………1分 ∵E 为直角△ABP 斜边AB 的中点，且=AP EP ，∴△AEP 为等边三角形 , 60BAP AEP ∠=∠=︒， ………………1+1分︒=︒-︒=∠=∠60260180CEB CEP ………………1分在△ABP 和△EPC 中， BAP CEP ∠=∠， APB EPC ∠=∠，AP EP = ∴APC EPC ∆≅∆(AAS ）， ………………1分 2.如图7，在直角梯形ABCD 中，90ABC ∠=︒，AD BC ∥，对角线AC 、BD 相交于点O ．过点D 作DE BC ⊥，交AC 于点F ． （1）联结OE ，若BE AOEC OF=，求证：OE CD ∥； （2）若AD CD =且BD CD ⊥，求证：AF DFAC OB=．【答案】(1)∵90ABD ∠=︒,BC DE ⊥∴//AB DE ………………………………………………………………（1分）∴AO BOOF OD = ………………………………………………………………（2分） ∵BE AOEC OF =∴AO BEOF EC =……… ………………………………………………………（2分）∴//OE CD …………………………………………………………………（1分） (2)∵BC AD //，//AB DE ， ∴四边形ABED 为平行四边形 又∵90ABD ∠=︒∴四边形ABED 为矩形 ……………………………………………………（1分） ∴AD BE =，90ADE ∠=︒ 又∵CD BD ⊥∴90BDC BDE CDE ∠=∠+∠=︒ ︒=∠+∠=∠90BDE ADB ADE∴CDE ADB ∠=∠ …………………………………………………………（1分）AD CD =Q∴DCA DAC ∠=∠∴()A S A CDF ADO ..∆≅∆…………………………………………………（1分） ∴OD DF =DE AB //Θ∴AF BE ADAC BC BC ==…………………………………………………………（1分） ∵BC AD //∴BO DFBO OD BC AD ==…………………………………………………………（1分） ∴AF DFAC OB =…………………………………………………………………（1分） 3.如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，若DBC CAD ∠=∠.（1）求证：ABCD 是正方形.（2）E 是OB 上一点，CE DH ⊥，垂足为H ，DH 与OC 相交于点F ，求证：OF OE =.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴BC AD //，DAC BAD ∠=∠2,DBC ABC ∠=∠2………………………………..（2分）∴ο180=∠+∠ABC DAB …………………………………….（1分） ∵DBC CAD ∠=∠;∴ABC BAD ∠=∠……………………………（1分）∴ο1802=∠BAD ; ∴ο90=∠BAD ……………………………………1分） ∴四边形ABCD 是正方形………………………………………（1分） （2）证明：∵四边形ABCD 是正方形；∴BD AC ⊥，BD AC =，AC CO 21=,BO DO 21=…………………………………（1分）∴ο90=∠=∠DOC COB ，DO CO =………………………………………（1分） ∵CE DH ⊥，垂足为H ；∴ο90=∠DHE ，ο90=∠+∠DEH EDH ……………………………………………（1分）又∵ο90=∠+∠DEH ECO ；∴EDH ECO ∠=∠……………………………………………（1分） ∴ECO ∆≌FDO ∆………………………………………………（1分） ∴OF OE =……………………………………………（1分）4.已知：如图6，在直角梯形ABCD 中，AD BC P ,DC BC ⊥,AB AD =,AM BD ⊥,垂足为点M ，联结CM 并延长，交线段AB 于点N 求证：（1）ABD BCM ∠=∠ （2）..BC BN CN DM = 【答案】（1）∵AB AD =，AM BD ⊥∴M 是BD 中点，ABD ADB ∠=∠ ∵DC BC ⊥ ∴BM CM DM == ∴MBC MCB ∠=∠ ∵AD BC P ∴ADB DBC ∠=∠ ∴ABD BCM ∠=∠（2）∵ABD BCM ∠=∠，BNM BNM ∠=∠∴BNM CNB ∆∆: ∴BC CNBM BN=∵DM BM = ∴BC CNDM BN=∴..BC BN CN DM =5.已知：如图8，正方形ABCD ，点E 在边AD 上，AF BE ⊥，垂足为点F ，点G 在线段BF 上，BG AF =．（1）求证：CG BE ⊥；（2）如果点E 是AD 的中点，联结CF ，求证：CF CB =．【答案】（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC =．90ABC??． ········· （1分） ∵AF ⊥BE ，∴90FAB FBA ∠+∠=︒．∵90FBA CBG ∠+∠=︒，∴FAB CBG ∠=∠． ······························ （1分） 又∵AF BG =，∴△AFB ≅△BGC ． ············································ （2分） ∴AFB BGC ∠=∠． ····································································· （1分） ∵90AFB ∠=︒，∴90BGC ∠=︒，即CG ⊥BE ． ····························· （1分） （2）∵ABF EBA ∠=∠，90AFB BAE ∠=∠=︒，∴△AEB ∽△FAB ．∴AE AFAB BF=． ··············································· （3分） ABCDFG E图8∵点E 是AD 的中点，AD AB =，∴12AE AB =．∴12AF BF =． ················ （1分） ∵AF BG =，∴12BG BF =，即FG BG =．·········································· （1分） ∵CG ⊥BE ，∴CF CB =． ····························································· （1分）6. 如图5，平行四边形ABCD 的对角线BD AC 、交于点O ，点E 在边CB 的延长线上，且︒=∠90EAC ，EC EB AE ⋅=2． （1）求证：四边形ABCD 是矩形；（2）延长AE DB 、交于点F ，若AC AF =，求证：BF AE =．【答案】证明：（1）∵EC EB AE ⋅=2 ∴AEEB EC AE =又 ∵CEA AEB ∠=∠ ∴AEB ∆∽CEA ∆ （2分） ∴EAC EBA ∠=∠∵︒=∠90EAC ∴︒=∠90EBA （1分）又 ∵︒=∠+∠180CBA EBA ∴︒=∠90CBA （1分） ∵四边形ABCD 是平行四边形∴四边形ABCD 是矩形 （1分）（2）∵ AEB ∆∽CEA ∆ ∴ AC AB AE BE = 即 ACAE AB BE = ， ECA EAB ∠=∠ （2分）∵四边形ABCD 是矩形 ∴BD AC = 又 ∵BD OB 21=， AC OC 21= 图5AB CDEF O∴OC OB = ∴ECA OBC ∠=∠ 又 ∵OBC EBF ∠=∠ ECA EBA ∠=∠ ∴EAB EBF ∠=∠又 ∵F F ∠=∠ ∴EBF ∆∽BAF ∆ （3分） ∴AB BE AF BF = ∴ACAEAF BF =（1分） ∵AC AF = ∴AE BF = （1分）7.如图，已知梯形ABCD 中，AD BC P , AB AC =，E 是边BC 上的点，且AED CAD ∠=∠， DE 交AC 于点F ．(1) 求证：ABE DAF ∆∆:；(2) 当..AC FC AE EC =时，求证：AD BE =．【答案】(1)∵AD ∥BC ，∴∠CAD =∠ACB .∵AB =AC ，∴∠B =∠ACB ，∴∠CAD =∠B ∵∠AED =∠CAD ，∴∠B =∠AED∵∠AEC =∠B +∠BAE ，即∠AED +∠DEC =∠B +∠BAE ， ∴∠BAE =∠DEC .BE（第23题图）在△AEB 与△EFC 中，B ACEBAE DEC∠=∠⎧⎨∠=∠⎩，∴AEB EFC ∆∆:.∵AD ∥BC ，∴DAF EFC ∆∆: ∴ABE DAF ∆∆:.(2) ∵AEB EFC ∆∆:，∴AB BEEC CF=即AB CF EC BE ⋅=⋅ ∵=AC CF AE EC AB AC ⋅=⋅且,∴AE=BE . ∴∠B =∠BAE∵∠BAE =∠FEC ，∴∠B =∠FEC . ∴AB ∥DE∵AD ∥BC ，∴四边形ABED 是平行四边形 ∴AD =BE .8.如图，已知□ABCD 中，AB=AC ，CO ⊥AD ，垂足为点O ，延长CO 、BA 交于点E ，联结DE ．（1）求证：四边形ACDE 是菱形；（2）联结OB ，交AC 于点F ，如果OF=OC ， 求证：22AB BF BO =⋅．【答案】证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形∴AB ∥DC ，AB=DC ………………………………………………………………（1分） ∵AB=AC ，∴AC=DC ……………………………………………………………（1分）∵CO ⊥AD ，∴AO=DO …………………………………………………………（1分） ∵EO AOCO DO=，∴EO=CO ………………………………………………………（1分） ∴四边形ACDE 是平行四边形……………………………………………………（1分） ∵AC=DC ，∴四边形ACDE 是菱形……………………………………………（1分） （2）∵ OF=OC ，∴∠OFC=∠OCF ……………………………………………（1分） ∵AE=AC ，∴∠OCF=∠BEO∵∠OFC=∠BF A ，∴∠BF A=∠BEO …………………………………………（1分） ∵∠ABF=∠OBE …………………………………………………………………（1分） ∴△BF A ∽△BEO ，∴AB BFBO BE=………………………………………………（1分） ∴AB ·BE=BF ·BO ，∵AE=AC=AB ，∴BE=2AB ………………………………（1分） ∴22AB BF BO =⋅………………………………………………………………（1分）9.已知：如图10，在四边形ABCD 中，AD BC <，点E 在AD 的延长线上， ACE BCD ∠=∠，EC ED EA =⋅2． （1）求证：四边形ABCD 为梯形；（2）如果EC ABEA AC=，求证：AB ED BC =⋅2．【答案】（1）∵ ACE BCD ∠=∠，∴DCE BCA ∠=∠． ····························· （1分）图10A BCD E∵EC ED EA =⋅2，∴ED ECEC EA=． ···················································· （1分） 又∵E ∠是公共角，∴△EDC ∽△ECA ． ············································ （1分） ∴DCE CAE ∠=∠． ······································································· （1分） ∴BCA CAE ∠=∠．∴AD ∥BC ． ················································································ （1分） ∵AD BC <，∴AB 与CD 不平行．∴四边形ABCD 是梯形． ··································································· （1分） （2）∵△EDC ∽△ECA ．∴EC CDEA AC=． ∵EC ABEA AC=，∴AB DC =． ························································· （1分） ∴四边形ABCD 是等腰梯形． ·························································· （1分） ∴B DCB ∠=∠． ········································································· （1分） ∵AD ∥BC ．∴EDC DCB ∠=∠． ∴EDC B ∠=∠．∵ECD ACB ∠=∠，∴△EDC ∽△ABC ． ······································ （1分） ∴ED DCAB BC=． ············································································· （1分） ∴AB ED BC =⋅2． ···································································· （1分）10.如图6，在矩形ABCD 中，点E 是边AB 的中点，△EBC 沿直线EC 翻折，使B 点落在矩形ABCD 内部的点P 处，联结AP 并延长AP 交CD 于点F ，联结BP 交CE 于点Q ．（1）求证：四边形AECF 是平行四边形； （2）如果PE PA =，求证：△APB ≌△EPC ．【答案】（1）证明：由翻折得:EC 垂直平分BP ………………1分∴EQ BQ = ………………1分∵点E 为AB 的中点，∴EB AE = ………………1分 ∴EQ 是△ABP 的中位线，∴EC ∥AF ，……………1分 ∵四边形ABCD 是矩形∴AE ∥FC ………………1分 ∴四边形AECF 是平行四边形. ………………1分（2）∵AE ∥FC ，∴EQB APB ∠=∠ ………………1分由翻折得: ︒=∠90EQB ,︒=∠90EPC∴︒=∠=∠90EPC APB ………………1分 由翻折得:EB PE =,BEC PEC ∠=∠∵PE PA =,EB AE =ABD CFP E Q图6 ABD CFP E Q图6∴AE PE PA ==∴△AEP 是等边三角形，∴︒=∠=∠60AEP PAB …………1分 ∵︒=∠+∠+∠180BEC PEC AEP∴︒=∠60PEC ………………1分 ∴PEC PAB ∠=∠ ………………1分 ∵PE PA =,∴△APB ≌△EPC ………………1分11.如图，在□ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，过点B 作BE ∥AC ，联结OE 交BC 于点F ，点F 为BC 的中点．（1）求证：四边形AOEB 是平行四边形；（2）如果∠OBC =∠E ，求证：=BO OC AB FC ⋅⋅．【答案】（1）证明：∵BE ∥AC ∴OC CFBE BF=∵点F 为BC 的中点 ∴CF=BF ∴OC=BE ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AO=CO ∴AO=BE∵BE ∥AC ∴四边形AOEB 是平行四边形（2）证明：∵四边形AOEB 是平行四边形 ∴∠BAO =∠E ∵∠OBC =∠E ∴∠BAO =∠OBC∵∠ACB =∠BCO ∴△COB ∽△CBA ∴BO BCAB AC =∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AC =2OC ∵点F 为BC 的中点 ∴BC =2FC ∴BO FCAB OC= 即=BO OC AB FC⋅⋅12.已知：如图6，△ABC 内接于⊙O ，AB ﹦AC ，点E 为弦AB 的中点，AO 的延长线交BC 于点D ，联结ED ．过点B 作BF ⊥DE 交AC 于点F ．（1）求证：∠BAD ﹦∠CBF ； （2）如果OD ﹦DB ．求证：AF =BF ．【答案】证明：（1）∵AB ﹦AC ， ∴»»AB AC =． ........................（1分） ∵直线AD 经过圆心O ， ..................................................（1分） ∴AD ⊥BC ，BD=CD ． ....................................................（1分） ∵点E 为弦AB 的中点，图6BCDEF OA·BCDEFO A· 12∴DE是△ABC的中位线．∴DE∥AC．......................................................................（1分）∵BF⊥DE，∴∠1=90°，∴∠2=90°．......................................................................（1分）∴∠CBF＋∠ACB﹦90°．∵AB﹦AC，∴∠ABC﹦∠ACB， .....................................（1分）∴∠CBF＋∠ABC﹦90°．.................................................（1分）又∵AD⊥BC，∴∠BAD＋∠ABC﹦90°，∴∠BAD﹦∠CBF．.............................................................（1分）（2）联结OB．∵AD⊥BC，OD﹦DB，∴△ODB是等腰直角三角形．..................................................................（1分）∴∠BOD﹦45°．∵OB=OA，∴∠OBA﹦∠OAB．∵∠BOD﹦∠OBA+∠OAB，∠BOD=22.5°．............................................................（1分）∴∠BAO=12∵AB=AC，且AD⊥BC，∴∠BAC=2∠BAO=45°．∵∠2=90°，即BF⊥AC，o o o o，..........................................................（1分）∴在△ABF中，∠ABF=180904545--=∴∠ABF=∠BAC，∴AF=BF．......................................................................................................（1分）13.如图6，已知四边形ABCD ，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，DO =BO ，过点C作CE ⊥AC ，交BD 的延长线于点E ，交AD 的延长线于点F ，且满足DCE ACB ∠=∠.（1）求证：四边形ABCD 是矩形；（2）求证：DE ADEF CD=.【答案】证明：（1）∵AD ∥BC ，∴AD DOBC BO=， ∵DO =BO ，∴AD BC =，---（2分） ∴四边形ABCD 是平行四边形. ---------------------------------------------------------------（1分） ∵CE ⊥AC ，∴90ACD DCE ∠+∠=︒，∵DCE ACB ∠=∠，∴90ACB ACD ∠+∠=︒，即90BCD ∠=︒，-------------------（2分） ∴四边形ABCD 是矩形. -----------------------------------------------------------------------（1分）（2）∵四边形ABCD 是矩形，∴AC BD =，90ADC ∠=︒-----------------------（2分） ∵AD ∥BC ，∴DE EFBD FC=.------------------------------------------------------------（1分） ∴DE EFAC FC=，------------------------------------------------------------------------------（1分） ∴DE ACEF FC=，∵90ADC ACF ∠=∠=︒， ∴cot AC ADDAC FC CD∠==，-----------------------------------------------------------（1分） ∴DE ADEF CD=.----------------------------------------------------------------------------（1分）14.已知：如图，在△ABC 中，AB =BC ，∠ABC =90°，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，点F 、G 是边AC 的三等分点，DF 、EG 的延长线相交于点H ，联结HA 、HC . 求证：（1）四边形FBGH 是菱形； （2）四边形ABCH 是正方形．【答案】证明（1）：∵点F 、G 是边AC 的三等分点，∴F 、G 分别是AG 、CF 的中点， ∵点D 是AB 的中点，∴DF //BG ，即FH //BG ． ........................ （2分）同理： GH // BF ． ........................................................................... （1分） ∴四边形FBGH 是平行四边形． .................................................. （1分） ∵AB =BC ，∴∠BAC =∠ACB .∵点F 、G 是边AC 的三等分点，∴AF =CG .∴△ABF ≌△CBG . ∴BF =BG. ...................................................... （1分） ∴平行四边形FBGH 是菱形. ....................................................... （1分）证明（2）联结BH ，交FG 于点O ，∵四边形FBGH 是平行四边形，∴OB =OH ，OF =OG ． ............ （2分） ∵AF =CG ，∴OA =OC ． ................................................................. （1分） ∴四边形ABCH 是平行四边形． .................................................. （1分）（第23题图）ADHECFG∵∠ABC =90°，∴平行四边形ABCH 是矩形. ............................ （1分） ∵AB =BC ，∴矩形ABCH 是正方形. ........................................... （1分）15.如图，已知四边形ABCD 是菱形，对角线AC 、BD 相交于点O ，BD = 2AC ．过点A 作AE ⊥CD ，垂足为点E ，AE 与BD 相交于点F ．过点C 作CG ⊥AC ，与AE 的延长线相交于点G ．求证：（1）△ACG ≌△DOA ；（2）2DF BD DE AG ⋅=⋅．【答案】证明：（1）在菱形ABCD 中，AD = CD ，AC ⊥BD ，OB = OD ．∴ ∠DAC =∠DCA ，∠AOD = 90°．……………………………（1分） ∵ AE ⊥CD ，CG ⊥AC ，∴ ∠DCA +∠GCE = 90°，∠G +∠GCE = 90°．∴ ∠G =∠DCA ．…………………………………………………（1分） ∴ ∠G =∠DAC ．…………………………………………………（1分） ∵ BD = 2AC ，BD = 2OD ，∴ AC = OD ． ……………………（1分） 在△ACG 和△DOA 中，∵ ∠ACG =∠AOD ，∠G =∠DAC ，AC = OD ，∴ △ACG ≌△DOA ． ……………………………………………（2分）ABCDOE GF （第23题）（2）∵ AE ⊥CD ，BD ⊥AC ，∴ ∠DOC =∠DEF = 90°．…………（1分） 又∵ ∠CDO =∠FDE ，∴ △CDO ∽△FDE ．…………………（1分）∴CD ODDF DE=．即得 OD DF DE CD ⋅=⋅． ……………………（2分） ∵ △ACG ≌△DOA ，∴ AG = AD = CD ． ……………………（1分） 又∵ 12OD BD =，∴ 2DF BD DE AG ⋅=⋅．…………………（1分） 16.已知：如图9，在菱形ABCD 中，AB =AC ，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，且AE =BF ，CE 与AF 相交于点G ． （1）求证：∠FGC =∠B ；（2）延长CE 与DA 的延长线交于点H ，求证：．【答案】证明：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC ． ······································································ （1分）∵AB =AC ，∴AB =BC =AC ，∴∠B =∠BAC =60°． ······················ （1分） 在△EAC 与△FBA 中，∵EA =FB ，∠EAC =∠FBA ，AC =BA ，∴△EAC ≌△FBA ， ····························································· （1分） ∴∠ACE =∠BAF ，····························································· （1分） ∵∠BAF+∠F AC =60°，∴∠ACE +∠F AC =60°，∴∠FGC =60°， ·· （1分） ∴∠FGC =∠B ． ································································ （1分） （2）∵四边形ABCD 是菱形，BE CH AF AC ⋅=⋅GF EDA BC图9∴∠B =∠D ，AB =DC ，AB //DC ， ··········································· （1分） ∴∠BEC =∠HCD ， ···························································· （1分） ∴△BEC ∽△DCH ， ·························································· （1分） ∴=BE ECDC CH， ································································ （1分） ∴⋅=⋅BE CH EC DC ．∵AB =AC ，∴CD =AC ， ······················································ （1分） ∵△EAC ≌△FBA ， ∴EC =F A ，∴⋅=⋅BE CH AF AC ． ···················································· （1分）。

1.已知正方形ABCD的对角线相交于点O，CAB∠的平分线分别交BD、BC于点E、F，作BH AF⊥，垂足为H，BH的延长线分别交AC、CD于点G、P．（1）求证：；（第23题图）B C F2. 已知：如图，梯形ABCD 中，DC ∥AB ，AD=BC=DC ，AC 、BD 是对角线，E 是AB 延长线上一点，且∠BCE =∠ACD ，联结CE ． （1）求证：四边形DBEC 是平行四边形； （2）求证：2AC AD AE =⋅．第23题图EDCBA3. 如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 、F 为对角线BD 上两点，且BE DF =， AF ∥EC .（1）求证：四边形ABCD 是平行四边形；（2）延长AF ，交边DC 于点G ，交边BC 的延长线 于点H ,求证：AD DC BH DG =.A BCEF第23题图DG H4. 如图5，在ABC ∆中，D 、E 分别是AC 、BC 边上的点，AE 与BD 交于点O ，且CD =CE ，12∠=∠．（1）求证：四边形ABED 是等腰梯形；（2）若EC =2，BE =1，21AOD ∠=∠，求AB 的长.图5 AB C DO E125. 如图6，BD 是平行四边形ABCD 的对角线，若∠DBC =45°，DE ⊥BC 于E ，BF ⊥CD 于F ，DE 与BF 相交于H ，BF 与AD 的延长线相交于G ． 求证：（1）CD =BH ；（2）AB 是AG 和HE 的比例中项．A图66. 如图, BD是△ABC的角平分线, 点E、F分别在BC、AB上, 且DE∥AB, ∠DEF=∠A. （1）求证: BE=AF ;（2）设BD与EF交于点M, 联结AE, 交BD于点N,求证: BN·MD=BD·ND.M AFB E CD（静安）23.（本题满分12分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分7分）已知：如图，四边形ABCD 是菱形，点E 在边CD 上，点F 在BC 的延长线上，CF ＝DE ，AE 的延长线与DF 相交于点G ． （1）求证：∠CDF ＝∠DAE ；（2）如果DE ＝CE ，求证：AE ＝3EG ．（闵行）23．（本题满分12分，其中每小题各6分）如图，已知在矩形ABCD 中，过对角线AC 的中点O 作 AC 的垂线，分别交射线AD 和CB 于点E 、F ，交边DC 于 点G ，交边AB 于点H ．联结AF ，CE ． （1）求证：四边形AFCE 是菱形； （2）如果OF = 2GO ，求证：2GO DG GC =⋅．（普陀）23．（本题满分12分）如图7，已知在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，BD 平分ABC ∠，过点D 作DF ∥AB 分别交AC 、BC 于点E 、F ． （1）求证：四边形ABFD 是菱形；（2）设AC AB ⊥，求证：AC OE AB EF =．（第23题图）EDCGFA B（第23题图）AB CDE FGOH（松江）23．（本题满分12分，每小题满分各6分）如图，已知等腰△ABC 中，AB =AC ,AD ⊥BC ,CE ⊥AB ,垂足分别为D 、E . （1）求证：∠CAD =∠ECB ；（2）点F 是AC 的中点，联结DF ，求证：BD 2=FC ·BE ．（徐汇）23．（本题满分12分）如图7，在ABC ∆中，AC AB =，点D 在边AC 上，DE BD AD ==，联结BE ，︒=∠=∠72DBE ABC ．（1）联结CE ，求证：BE CE =；（2）分别延长CE 、AB 交于点F ，求证：四边形DBFE 是菱形．（杨浦）23．（本题满分12分，每小题各6分）已知：如图，在直角梯形纸片ABCD 中，DC //AB ，AB CD AD >>，∠A =90°，将纸片沿过点D 的直线翻折，使点A 落在边CD 上的点E 处，折痕为DF ，联结EF 并展开纸片． （1）求证：四边形ADEF 为正方形；（2）取线段AF 的中点G ，联结GE ，当BG =CD 时， 求证：四边形GBCE 为等腰梯形． CB ADEF(第23题图) (第23题图)图7ABC DE（第23题图）（闸北）23．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）如图，直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，BC=2AD，点E为边BC的中点．（1）求证：四边形AECD为平行四边形；（2）在CD边上取一点F，联结AF、AC、EF，设AC与EF交于点G，且∠EAF=∠CAD．求证：△AEC∽△ADF；（3）在（2）的条件下，当∠ECA=45°时．求：FG:EG的比值．（浦东）23．（本题满分12分，第(1)、（2）小题各6分）如图，已知：四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交AD于点F，∠ECA = ∠D．（1）求证：∆EAC∽∆ECB；（2）若DF = AF，求AC︰BC的值．（第23题图）AB CEDFG。

中考数学模拟试卷1. 在梯形ABCD中，AD∥BC，AB CD=，点E在对角线BD上，=，BD BC且DCE DBC∠=∠.（1）求证：AD BE=；（2）延长CE交AB于点F，如果CF AB⊥，求证：4EF FC DE BD⋅=⋅.2. 已知，如图，在平行四边形ABCD中，点G为对角线AC的中点，过点G的直线EF分别交边AB、CD于点E、F，过点G的直线MN分别交边AD、BC于点M、N，且AGE CGN∠=∠.（1）求证：四边形ENFM为平行四边形；（2）当四边形ENFM为矩形时，求证：BE BN=.3. 如图，点E、F分别为菱形ABCD边AD、CD的中点.（1）求证：BE BF=；（2）当BEF∠=∠.D A∆为等边三角形时，求证：24. 如图，在正方形ABCD 中，点M 是边BC 上的一点（不与B 、C 重合），点N 在CD 边的延长线上，且满足90MAN ︒∠=，联结MN 、AC ，MN 与边AD 交于点E . （1）求证：AM AN =；（2）若2CAD NAD ∠=∠，求证：2AM AC AE =⋅.5. ）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 在BC 的延长线，联结AE 分别交BD 、CD 于点G 、F ，且AD GFBE AG=. （1）求证：AB ∥CD ；（2）若2BC GD BD =⋅，BG GE =，求证：四边形ABCD 是菱形.6. 如图，已知在△ABC 中，2BAC C ∠=∠，∠BAC 的平分线AE 与∠ABC 的平分线BD 相交于点F ，FG ∥AC ，联结DG . （1）求证：BF BC AB BD ⋅=⋅； （2）求证：四边形ADGF 是菱形.7. ）已知：如图，梯形ABCD ，DC ∥AB ，对角线AC 平分BCD ∠，点E 在边CB 的延长线上，EA AC ⊥，垂足为点A . （1）求证：B 是EC 的中点；（2）分别延长CD 、EA 相交于点F ，若2AC DC EC =⋅， 求证：::AD AF AC FC =.8. 如图，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，90D ∠=︒，BE 平分ABC ∠，交CD 于点E ，F 是AB 的中点，联结AE 、EF ，且AE BE ⊥，求证： （1）四边形BCEF 是菱形； （2）2BE AE AD BC ⋅=⋅.F ACD E9. 已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DE ∥AB ，DE 与对角线AC 交于点F ，FG ∥AD ，且FG EF =. （1）求证：四边形ABED 是菱形；（2）联结AE ，又知AC ED ⊥，求证：212AE EF ED =⋅.10. 如图，AM 是ABC △的中线，点D 是线段AM 上一点（不与点A 重合），DE AB ∥交BC 于点K ，CE AM ∥，联结AE .（1）求证：AB CMEK CK=； （2）求证：BD AE =.ABC DE FGABK MCDE11. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD 交于点M，点E在边 BC 上，且DAE DCB∠=∠，联结AE，AE与BD交于点F.（1）求证：2DM MF MB=⋅；（2）联结DE，如果3BF FM=，求证：四边形ABED是平行四边形.12. 如图，已知AD是△ABC的中线， M是AD的中点，过A点作AE∥BC，CM 的延长线与AE相交于点E，与AB相交于点F.（1）求证：四边形AEBD是平行四边形；（2）如果AC=3AF，求证四边形AEBD是矩形.13. 已知，如图，在平行四边形ABCD中，AC、DB交于点E，点F在BC的延长线上，联结EF、DF，且DEF ADC∠=∠.（1）求证：EF AB BF DB=；（2）如果22BD AD DF=⋅，求证：平行四边形ABCD是矩形.MFEDC BAE AFMCEGCBDF14. 如图，四边形ABCD 是矩形，E 是对角线AC 上的一点，EB ED =且ABE ADE ∠=∠.（1）求证：四边形ABCD 是正方形； （2）延长DE 交BC 于点F ，交AB 的延长 线于点G ，求证：EF AG BC BE ⋅=⋅.15.已知：如图7，在正方形ABCD 中，点E 为边AB 的中点，联结DE ．点F 在DE 上，且CF=CD ，过点F 作FG ⊥FC 交AD 于点G ． （1）求证：GF=GD ；（2）联结AF ，求证：AF ⊥DE ．图7。

2024年中考第二次模拟考试（上海卷）数学·全解全析第Ⅰ卷一、选择题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．在下列图形中，为中心对称图形的是()A ．等腰梯形B ．平行四边形C ．正五边形D ．等腰三角形【答案】B【分析】根据中心对称与轴对称的概念和各图形的特点即可求解．【详解】中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转180°后能和原来的图形重合，A 、C 、D 都不符合；是中心对称图形的只有B ．故选B ．2．下列方程有实数根的是A ．4x 20+=B 2x 21-=-C ．2x +2x −1=0D ．x 1x 1x 1=【答案】C【详解】A ．∵x 4＞0，∴x 4+2=0无解，故本选项不符合题意；B ．∵22x -≥0，∴22x -=−1无解，故本选项不符合题意；C ．∵x 2+2x −1=0，∆=8＞0，方程有实数根，故本选项符合题意；D ．解分式方程1x x -=11x -，可得x =1，经检验x =1是分式方程的增根，故本选项不符合题意．故选C ．3．计算：AB BA += （）A ．AB ；B ．BA ；C ．0 ；D ．0．【答案】C【分析】根据零向量的定义即可判断．【详解】AB BA += 0 ．故选C ．4．在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（）A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD∥BC，∠BAC＝∠BCDC．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC【答案】C【分析】根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案．【详解】解：A，不能，只能判定为矩形，不符合题意；B，不能，只能判定为平行四边形，不符合题意；C，能，符合题意；D，不能，只能判定为菱形，不符合题意．故选C．5．下列命题中，假命题是（）A．如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；B．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；C．如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线平分这条弦所对的弧，并且垂直于这条弦；D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧．【答案】C【分析】利用垂径定理及其推论逐个判断即可求得答案．【详解】A．如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦，正确，是真命题；B．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线一定经过圆心，并且垂直于这条弦，正确，是真命题；C．如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线不一定平分这条弦所对的弧，不一定垂直于这条弦，例如：任意两条直径一定互相平分且过圆心，但不一定垂直．错误，是假命题；D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧，正确，是真命题．故选C．【点睛】本题考查了垂径定理及其推论，对于一个圆和一条直线来说如果一条直线具备下列，①经过圆心，②垂直于弦，③平分弦（弦不是直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，五个条件中的任何两个，那么也就具备其他三个．6．如图，已知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP 相切，半径长为5的⊙B与⊙A内含，那么OB的取值范围是（）A ．4<OB <7B ．5<OB <7C ．4<OB <9D ．2<OB <7【答案】A 【分析】作⊙A 半径AD ，根据含30度角直角三角形的性质可得4OA =，再确认⊙B 与⊙A 相切时，OB 的长，即可得结论．【详解】解：设⊙A 与直线OP 相切时的切点为D ，∴AD OP ⊥，∵∠POQ =30°，⊙A 半径长为2，即2AD =，∴24OA AD ==，当⊙B 与⊙A 相切时，设切点为C ，如下图，∵5BC =，∴4(52)7OB OA AB =+=+-=，∴若⊙B 与⊙A 内含，则OB 的取值范围为47OB <<．故选：A ．【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系、切线的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆与圆内含和相切的关系是解题关键．二、填空题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）7．分解因式：2218m -=．【答案】()()233m m +-/()()233m m -+【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：2218m -=2（m 2-9）=2（m +3）（m -3）．故答案为：2（m +3）（m -3）．【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．8．2x x +=-的解是．【答案】x ＝﹣1．【分析】把方程两边平方后求解，注意检验．【详解】把方程两边平方得x +2＝x 2，整理得（x ﹣2）（x +1）＝0，解得：x ＝2或﹣1，经检验，x ＝﹣1是原方程的解．故本题答案为：x ＝﹣1．【点睛】本题考查无理方程的求法，注意无理方程需验根．9．函数2x y x =-中自变量x 的取值范围是．【答案】0x ≥且2x ≠【分析】根据二次根式中被开方数大于等于0及分母不为0即可求解．【详解】解：由题意可知：020x x ≥⎧⎨-≠⎩，解得：0x ≥且2x ≠，故答案为：0x ≥且2x ≠．【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．10．△ABC 中，AD 是中线，G 是重心，,AB a AD b == ，那么BG =（用a b 、表示）.【答案】23a b -+ .【详解】试题分析：∵在△ABC 中，点G 是重心，AD b = ，∴23AG b =，又∵BG AG AB =- ，AB a = ，∴2233BG b a a b =-=-+ ；故答案为23a b -+ ．考点：1．平面向量；2．三角形的重心．11．有四张质地相同的卡片，它们的背面相同，其中两张的正面印有“粽子”的图案，另外两张的正面印有“龙舟”的图案，现将它们背面朝上，洗均匀后排列在桌面，任意翻开两张，那么两张图案一样的概率是.【答案】13【详解】解:列树状图得共有12种情况，两张图案一样的有4种情况，所以概率是13.12．在方程224404x x x x +-+=中，如果设y=x 2﹣4x ，那么原方程可化为关于y 的整式方程是．【答案】2430y y ++=【分析】先把方程整理出含有x 2-4x 的形式，然后换成y 再去分母即可得解．【详解】方程2234404x x x x +-+=-可变形为x 2-4x+214x x -+4=0,因为24y x x =-，所以340y y++=，整理得，2430y y ++=13．如果⊙O 1与⊙O 2内含，O 1O 2＝4，⊙O 1的半径是3，那么⊙O 2的半径r 的取值范围是．【答案】7r >/7r<【分析】由题意，⊙O 1与⊙O 2内含，则可知两圆圆心距d r r <-小大，据此代入数值求解即可．【详解】解：根据题意，两圆内含，故34r ->，解得7r >．故答案为：7r >．【点睛】本题主要考查了两圆位置关系的知识，熟练掌握由数量关系判断两圆位置关系是解题关键．14．某单位10月份的营业额为100万元，12月份的营业额为200万元，假设该公司11、12两个月的增长率都为x ，那么可列方程是．【答案】100（1＋x ）2＝200【分析】根据题意，设平均每月的增长率为x ，依据10月份的营业额为100万元，12月份的营业额为200万元，即可列出关于x 的一元二次方程．故答案为：100（1＋x ）2＝200【详解】设平均每月的增长率为x ，根据题意可得：100（1＋x ）2＝200．故答案为：100（1＋x ）2＝200．【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出方程是解题关键．15．菱形ABCD 中，已知AB ＝4，∠B ：∠C ＝1：2，那么BD 的长是．【答案】43【分析】根据题意画出示意图（见详解），由菱形的性质可得BO ＝12BD ，BD ⊥AC ，在Rt △ABO 中，由cos ∠ABO 即可求得BO ，继而得到BD 的长．【详解】解：如图，∵四边形ABCD 为菱形，∴AB CD ∥，∴∠ABC +∠BCD ＝180°，∵∠ABC ：∠BCD ＝1：2，∴∠ABC ＝60°，∴∠ABD ＝12∠ABC ＝30°，BO ＝12BD ，BD ⊥AC ．在Rt △ABO 中，cos ∠ABO ＝BO AB ＝32，∴BO＝AB⋅cos∠ABO＝4×32＝23．∴BD＝2BO＝43．故答案为：43．【点睛】本题考查菱形的性质，熟知菱形的对角线互相垂直，利用垂直构造直角三角形，再利用三角函数求解线段长度是解题的关键．16．如图，已知在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为点D．如果CD=4，AB=16，那么OC=．【答案】10【分析】根据垂径定理求出AD的长，设半径OC=OA=r，则OD=r-4，再根据勾股定理列出关于r的方程，解出即可得出OC的长．【详解】设半径OC=OA=r，则OD=OC-CD=r-4半径OC垂直于弦AB，垂足为点D，AB=16∴AD=12AB=8，在Rt△AOD中,OD2+AD2=OA）即（r-4）2+82=r2解得：r=10故答案为10.【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键.17．新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形.如图，已知在对余四边形ABCD中，10AB=，12BC=，5CD=，3tan4B=，那么边AD的长为．【答案】9【分析】连接AC，作AE BC⊥交BC于E点，由3tan4B=，10AB=，可得AE=6，BE=8，并求出AC的长，作CF AD ⊥交AD 于F 点，可证B DCF ∠=∠，最后求得AF 和DF 的长，可解出最终结果．【详解】解：如图，连接AC ，作AE BC ⊥交BC 于E 点，3tan 4B =，10AB =，∴3tan 4AE B BE ==，设AE=3x ，BE=4x ，∴222AE BE AB +=，则()()2223425100x x x +==，解得x=2，则AE=6，BE=8，又 12BC =，∴CE=BC-BE=4，∴22213AC AE CE =+=，作CF AD ⊥交AD 于F 点，+=90B D ∠∠︒，90D DCF ∠+∠=︒，∴B DCF ∠=∠，3tan 4B ==tan DCF ∠=DF CF ，又 5CD =，∴同理可得DF=3，CF=4，∴226AF AC CF =-=，∴AD=AF+DF=9．故答案为：9．【点睛】本题考查四边形综合问题，涉及解直角三角形，勾股定理，有一定难度，熟练掌握直角三角形和勾股定理知识点，根据题意做出正确的辅助线是解决本题的关键．18．如图，在Rt ∆ABC 中，∠ACB =90°，BC =4，AC =3，⊙O 是以BC 为直径的圆，如果⊙O 与⊙A 相切，那么⊙A 的半径长为．【答案】132±【分析】分两种情况：①如图，A 与O 内切，连接AO 并延长交A 于E ，根据AE AO OE =+可得结论；②如图，A 与O 外切时，连接AO 交A 于E ，同理根据AE OA OE =-可得结论．【详解】解：有两种情况，分类讨论如下：①如图1，A 与O 内切时，连接AO 并延长交O 于E ，O 与A 相内切，E ∴为切点，122OE BC ∴==，90ACB ∠=︒ ，根据勾股定理得：22222313OA OC AC =+=+=，132AE OA OE ∴=+=+；即A 的半径为132+；②如图2，A 与O 外切时，连接AO 交O 于E ，同理得132AE AO OE =-=-，即A 的半径为132-，综上，A 的半径为132+或132-．故答案为：132±．【点睛】本题考查了相切两圆的性质、勾股定理，解题的关键是通过作辅助线得出AE 是A 的半径．第Ⅱ卷三、解答题（本大题共7个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（10()()()20220118cot 45233sin 30π--︒+-+--︒．【答案】223+【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【详解】解：20220118(cot 45)|23|(3)(sin 30)π-+-︒+-+--︒20221132(1)321()2-=+-+-+-3213212=++-+-223=+．【点睛】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂、绝对值，特殊角的三角函数值，解题的关键是准确熟练地化简各式．20．（10分）如图，AH 是△ABC 的高，D 是边AB 上一点，CD 与AH 交于点E .已知AB =AC =6，cos B =3，AD ∶DB =1∶2.（1）求△ABC 的面积；（2）求CE ∶DE .【答案】解：（1）85；（2）31.【详解】试题分析：（1）根据题意和锐角三角函数可以求得BH 和AH 的长，从而可以求得△ABC 的面积；（2）根据三角形的相似和题意可以求得CE ：DE 的值．试题解析：解：（1）∵AB =AC =6，cos B =23，AH 是△ABC 的高，∴BH =4，∴BC =2BH =8，AH =226425-=，∴△ABC 的面积是；2BC AH ⋅=8252⨯=85；（2）作DF ⊥BC 于点F ．∵DF ⊥BH ，AH ⊥BH ，∴DF ∥AH ，∴AD HF CE CH AB HB DE HF ==，．∵AD ：DB =1：2，BH =CH ，∴AD ：AB =1：3，∴13HF HB =，∴31CE CH BH DE HF HF ===，即CE ：DE =3：1．点睛：本题考查了解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．21．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 是反比例函数y ＝x的图象与正比例函数y ＝kx 的图象在第一象限内的交点，已知点A 的纵坐标为2．经过点A 且与正比例函数y ＝kx 的图象垂直的直线交反比例函数y ＝k x的图象于点B （点B 与点A 不是同一点）．(1)求k的值；(2)求点B的坐标．【答案】(1)2 (2)（4，12）【分析】（1）根据题意得到22kk=，解方程求得k＝2；（2）先求得A的坐标，根据正比例函数的解析式设直线AB的解析式为y12=-x+b，把A的坐标代入解得b52=，再与反比例函数的解析式联立成方程组，解方程组即可求得点B的坐标．【详解】（1）解：∵点A是反比例函数ykx=的图象与正比例函数y＝kx的图象在第一象限内的交点，点A的纵坐标为2，∴22k k=，∴2k＝4，解得k＝±2，∵k＞0，∴k＝2；（2）∵k＝2，∴反比例函数为y2x=，正比例函数为y＝2x，把y＝2代入y＝2x得，x＝1，∴A（1，2），∵AB⊥OA，∴设直线AB的解析式为y12=-x+b，把A 的坐标代入得2112=-⨯+b ，解得b 52=，解21522y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩得12x y =⎧⎨=⎩或412x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴点B 的坐标为（4，12）．【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是求出直线AB 的解析式，本题属于中等题型．22．（10分）图1是某区规划建设的过街天桥的侧面示意图，等腰梯形ABCD 的上底BC 表示主跨桥，两腰AB ，CD 表示桥两侧的斜梯，A ，D 两点在地面上，已知AD ＝40m ，设计桥高为4m ，设计斜梯的坡度为1：2.4．点A 左侧25m 点P 处有一棵古树，有关部门划定了以P 为圆心，半径为3m 的圆形保护区．(1)求主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和；(2)为了保证桥下大货车的安全通行，桥高要增加到5m ，同时为了方便自行车及电动车上桥，新斜梯的坡度要减小到1：4，新方案主跨桥的水平位置和长度保持不变．另外，新方案要修建一个缓坡MN 作为轮椅坡道，坡道终点N 在左侧的新斜梯上，并在点N 处安装无障碍电梯，坡道起点M 在AP 上，且不能影响到古树的圆形保护区．已知点N 距离地面的高度为0.9m ，请利用表中的数据，通过计算判断轮椅坡道的设计是否可行．表：轮椅坡道的最大高度和水平长度坡度1：201：161：121：101：8最大高度（m ）1.200.900.750.600.30水平长度（m ）24.0014.409.00 6.002.40【答案】(1)主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为26.6m(2)轮椅坡道的设计不可行，理由见解析【分析】（1）根据斜坡AB的坡度以及天桥的高度可求出AE，由勾股定理求出AB，进而求出EF＝BC的长，再计算主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和；（2）根据坡度的定义求出新方案斜坡A B''的水平距离A E'进而求出点M到点G的最大距离，再由表格中轮椅坡道的最大高度和水平长度的对应值进行判断即可．【详解】（1）解：如图，作直线AD，则AD过点A'和点D'，过点B、C分别作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足为E、F，延长EB，延长FC，则射线EB过点B'，射线FC过点C'，由题意得，BE＝CF＝4m，AP＝25m，B'E＝5m，∵斜坡AB的坡度为1：2.4，即BEAE＝1：2.4，∴AE＝4×2.4＝9.6（m），又∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AE＝DF＝9.6m，∴BC＝AD﹣AE﹣DF＝5.8（m），AB＝22AE BE+＝229.64+＝10.4（m）＝CD，∴主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为AB+BC+CD＝10.4+5.8+10.4＝26.6（m），答：主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为26.6m．（2）解：∵斜坡A B''的坡度为1：4，即B EA E''＝1：4，∴A'E＝5×4＝20（m），∴A A'＝20﹣9.6＝11.4（m），A'G＝4NG＝4×0.9＝3.6（m），∴AG＝11.4﹣3.6＝7.8（m），点M到点G的最多距离MG＝25﹣7.8﹣3＝14.2（m），∵14.2＜14.4，∴轮椅坡道的设计不可行．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据坡度和坡角构造直角三角形，然后分别用解直角三角形的知识坡道的水平距离是解答本题的关键．23．（12分）已知：如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，90B Ð=°，E 是AC 的中点，DE 的延长线交边BC 于点F．（1）求证：四边形AFCD 是平行四边形；（2）如果22AE AD BC =⋅，求证四边形AFCD 是菱形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由平行四边形的性质可知DAE FCE =∠∠，ADE CFE ∠=∠．再由E 是AC 中点，即AE =CE ．即可以利用“AAS ”证明AED CEF ≌，得出AD CF =，即证明四边形AFCD 是平行四边形．（2）由22AE AD BC =⋅和E 是AC 中点，即可推出AE AD CB AC=．又因为DAE FCE =∠∠，即证明ADE CAB ∽△△，即可推出DF AC ⊥．即四边形AFCD 是菱形．【详解】（1）∵//AD BC ，∴DAE FCE =∠∠，ADE CFE ∠=∠．又∵E 是AC 中点，∴AE =CE ，∴在AED △和CEF △中ADE CFE DAE FCE AE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AED CEF AAS ≌，∴AD CF =，∴四边形AFCD 是平行四边形．（2）∵//AD BC ，∴DAE FCE =∠∠．∵22AE AD BC =⋅，∴AE AC AD BC ⋅=⋅，∴AE AD CB AC=，∴ADE CAB ∽△△，∴90AED ABC ∠=∠=︒，即DF AC ⊥．∴四边形AFCD 是菱形．【点睛】本题考查梯形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质．掌握特殊四边形的判定方法是解答本题的关键．24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线235y x bx c =-++与y 轴交于点(0,3)A ，与x 轴的正半轴交于点(5,0)B ，点D 在线段OB 上，且1OD =，联结AD ，将线段AD 绕着点D 顺时针旋转90︒，得到线段DE ，过点E 作直线l x ⊥轴，垂足为H ，交抛物线于点F ．(1)求抛物线的表达式；(2)联结DF ，求cot ∠EDF 的值；(3)点P 在直线l 上，且∠EDP =45°，求点P 的坐标．【答案】(1)2312355y x x =-++；(2)cot 2EDF ∠=；(3)(4,6)或3(4,)2-．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）证明()OAD HDE AAS ∆∆≌，再根据全等三角形的性质得1EH OD ==，3DH OA ==，可得(4,1)E ，(4,3)F ，求出3FH DH ==，则45DFH ∠=︒，32DF =，过点E 作EK DF ⊥于K ，根据等腰直角三角形的性质可得2KF KE ==，则22DK DF KF =-=，在Rt DKE ∆中，根据余切的定义即可求解；（3）分两种情形①点P 在点E 的上方时；②点P 在点E 的下方时，根据相似三角形的判定和性质即可解决问题．【详解】（1）解：把点(0,3)A ，点(5,0)B 代入235y x bx c =-++，得：15503b c c -++=⎧⎨=⎩，解得：1253b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为2312355y x x =-++；（2）解：如图：90AOD ADE DHE ∠=∠=∠=︒ ，90ADO OAD ∴∠+∠=︒，90ADO EDH ∠+∠=︒，OAD EDH ∴∠=∠，AD DE = ，()OAD HDE AAS ∴∆∆≌，1EH OD ∴==，3DH OA ==，(4,1)E ∴，过点E 作直线l x ⊥轴，垂足为H ，交抛物线2312355y x x =-++于点F ．(4,3)F ∴，3FH ∴=，3FH DH ∴==，90DHE ∠=︒ ，45DFH ∴∠=︒，32DF =，过点E 作EK DF ⊥于K ，312EF =-= ，2KF KE ∴==，22DK DF KF ∴=-=，在Rt DKE ∆中，22cot 22DK EDF KE ∠===；（3）解：①当点P 在点E 的上方时，45EDP DFH ∠=∠=︒ ，DEP ∠是公共角，EDF EPD ∴∆∆∽，∴EF ED ED EP=，2ED EF EP ∴=⋅，设(4,)P y ，则1EP y =-，又2EF = ，223110ED =+=，102(1)y ∴=-，解得6y =，∴点P 的坐标为(4,6)；②当点P 在点E 的下方时，45EDP DFP ∠=∠=︒ ，DPF ∠是公共角，PED PDF ∴∆∆∽，∴PE DP PD FP=，2DP PE PF ∴=⋅，设(4,)P y ，则1EP y =-，3FP y =-，223DP y =+，29(1)(3)y y y ∴+=--，解得32y =-，∴点P 的坐标为3(4,)2-；综上所述，当45EDP ∠=︒时，点P 的坐标为(4,6)或3(4,)2-．【点睛】本题是二次函数综合题，考查二次函数的应用、旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质．25．（14分）如图，半径为1的⊙O 与过点O 的⊙P 相交，点A 是⊙O 与⊙P 的一个公共点，点B 是直线AP 与⊙O 的不同于点A 的另一交点，联结OA ，OB ，OP ．(1)当点B 在线段AP 上时，①求证：∠AOB ＝∠APO ；②如果点B 是线段AP 的中点，求△AOP 的面积；(2)设点C 是⊙P 与⊙O 的不同于点A 的另一公共点，联结PC ，BC ．如果∠PCB ＝α，∠APO ＝β，请用含α的代数式表示β．【答案】(1)①见解析；②74(2)β＝60°﹣23β【分析】（1）①利用圆的半径相等可得∠OAB ＝∠OBA ＝∠AOP ，则∠AOB ＝∠APO ；②首先利用△AOB ∽△APO ，得OA AB AP OA=，可得AP 的长，作AH ⊥PO 于点H ，设OH ＝x ，则PH ＝2﹣x ，利用勾股定理列方程求出OH的长，从而得出AH，即可求得面积；（2）联结OC，AC，利用圆心角与圆周角的关系得∠ACB＝12∠AOB＝12β，∠ACO＝12∠APO＝12β，再利用SSS说明△OAP≌△OCP，得∠OAP＝∠OCP，从而解决问题．【详解】（1）①证明：∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵PA＝PO，∴∠BAO＝∠POA，∴∠OAB＝∠OBA＝∠AOP，∴∠AOB＝∠APO；②解：∵∠AOB＝∠APO，∠OAB＝∠PAO，∴△AOB∽△APO，∴OA AB AP OA=，∴OA2＝AB•AP＝1，∵点B是线段AP的中点，∴AP＝2，作AH⊥PO于点H，设OH＝x，则PH＝2﹣x，由勾股定理得，12﹣x2＝（2）2﹣（2x-）2，解得x＝2 4，∴OH＝2 4，21由勾股定理得，AH ＝2221()4-＝144，∴△AOP 的面积为11142224OP AH ⨯⨯=⨯⨯＝74；（2）解：如图，联结OC ，AC ，∵∠AOB ＝∠APO ，∴∠AOB ＝β，∴∠ACB ＝12∠AOB ＝12β，∠ACO ＝12∠APO ＝12β，∴∠OCP ＝β+α，∵OA ＝OC ，AP ＝PC ，OP ＝OP ，∴△OAP ≌△OCP （SSS ），∴∠OAP ＝∠OCP ＝β+α，在△OAP 中，2（α+β）+β＝180°，∴β＝60°﹣23β．【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，圆心角与圆周角的关系，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，求出大圆半径是解题的关键．。

2024年上海市松江区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6题）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）下列代数式中，单项式是（）A．B．C．x+2D．2．（4分）当a＞0时，下列运算结果正确的是（）A．a0＝0B．a﹣2＝﹣a2C．（﹣a）3＝﹣a3D．3．（4分）如果a＞b，c为任意实数，那么下列不等式一定成立的是（）A．ac＞bc B．ac＜bc C．c﹣a＞c﹣b D．c﹣a＜c﹣b 4．（4分）在一次演讲比赛中，小明对7位评委老师打出的分数进行了分析，如果去掉一个最高分和一个最低分后再次进行分析，那么这两组数据的下列统计量一定相等的是（）A．中位数B．众数C．平均数D．方差5．（4分）下列命题中假命题是（）A．对角线相等的平行四边形是矩形B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．对角线相等的菱形是正方形D．对角线互相垂直的四边形是菱形6．（4分）已知矩形ABCD中，AB＝12，AD＝5，分别以A，C为圆心的两圆外切，且点D 在⊙A内，点B在⊙C内，那么⊙C半径r的取值范围是（）A．5＜r＜6B．5＜r＜6.5C．5＜r＜8D．5＜r＜12二、填空题（本大题共12题）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．（4分）计算：﹣＝．8．（4分）因式分解：a2﹣a＝．9．（4分）不等式组的解集是．10．（4分）如果关于x的一元二次方程kx2﹣x＝1有两个相等的实数根，那么k＝．11．（4分）已知反比例函数的图象经过点（﹣1，2），那么在每个象限内，y随x的增大而.（填“增大”或“减小”）12．（4分）我国新能源汽车发展迅速，某品牌电动车第一季度销量达10万辆，预计第二季度的销量比第一季度增长10%，第三季度的销量比第二季度增长20%，那么预计第三季度的销量为万辆．13．（4分）一个公园有东、南、西三个入口，小明和小红分别随机从一个入口进入该公园游玩，那么他们从同一入口进入该公园游玩的概率是．14．（4分）平移抛物线y＝x2+2x+1，使得平移后的抛物线经过原点，且顶点在第四象限，那么平移后的抛物线的表达式可以是.（只需写出一个符合条件的表达式）15．（4分）如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，AC、BD交于点O．设＝，＝，那么向量可用表示为．16．（4分）某学习小组就本校学生的上学交通方式进行了一次随机抽样调查，并绘制了两幅不完整的统计图，如图1和图2所示．已知该校有1200名学生，估计该校步行上学的学生约为人．17．（4分）一种弹簧秤称重不超过8千克的物体时，弹簧的长度y（厘米）与所挂重物质量x（千克）是一次函数关系．又已知挂2千克重物时弹簧的长度为11厘米，挂4千克重物时弹簧的长度为12厘米，那么挂5千克重物时弹簧的长度为厘米．18．（4分）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8．D是边BC的中点，E是边AC上一点，将△CDE沿着DE翻折，点C落在点F处，如果DF与△ABC的一边平行，那么AE＝．三、解答题（本大题共7题）19．（10分）计算：．20．（10分）解方程组：．21．（10分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝8．点O在边BC上，以O为圆心，OB为半径的弧经过点A．（1）求⊙O的半径长；（2）P是上一点，PO⊥BC，交AB于点D，联结AP．求∠PAB的正切值．22．（10分）一个凸四边形的四条边及两条对角线共6条线段中，如果只有两种大小不同的长度，那么称这个四边形为“精致四边形”．如正方形的四条边都相等，两条对角线相等，且边长与对角线长度不等，所以正方形是一个“精致四边形”．（1）如图所示的四边形ABCD是一个“精致四边形”，其中AB＝AC＝BC＝AD，BD＝CD．试写出该“精致四边形”的两条性质（AB＝AC＝BC＝AD，BD＝CD除外）；（2）如果一个菱形（除正方形外）是“精致四边形”，试画出它的大致图形，并求出该“精致四边形”的6条线段中较长线段与较短线段长度的比值；（3）如果一个梯形是“精致四边形”，试画出它的大致图形，指出两种长度的线段各是哪几条，并求出它的各内角度数．23．（12分）如图，已知AB是⊙O1与⊙O2的公共弦，O1O2与AB交于点C，O1O2的延长线与⊙O2交于点P，联结PA并延长，交⊙O1于点D．（1）联结O1A、O2A，如果AB＝AD＝AP．求证：O1A⊥O2A；（2）如果PO1＝3PO2，求证：PA＝AD．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，0）、点B（0，2），抛物线y ＝﹣x2+bx+c经过点A，且顶点C在线段AB上（与点A、B不重合）．（1）求b、c的值；（2）将抛物线向右平移m（m＞0）个单位，顶点落在点P处，新抛物线与原抛物线的对称轴交于点D，联结PD，交x轴于点E．①如果m＝2，求△ODP的面积；②如果EC＝EP，求m的值．25．（14分）如图，已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，点P是边AD上一动点，过点P 作PE⊥AC，垂足为点E，联结BE，过点E作EF⊥BE，交边AD于点F（点F与点A 不重合）．（1）当F是AP的中点时，求证：BA＝BE；（2）当AP的长度取不同值时，在△PEF中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（3）延长PE交边BC于点G，联结FG，△EFG与△AEF能否相似，若能相似，求出此时AP的长；若不能相似，请说明理由．2024年上海市松江区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．【分析】根据单项式的定义，逐一判断即可解答．【解答】解：A、是单项式，故A符合题意；B、是分式，故B不符合题意；C、x+2是多项式，故C不符合题意；D、2不是单项式，故D不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了单项式，熟练掌握单项式的定义是解题的关键．2．【分析】根据分数指数幂的运算方法，有理数的乘方的运算方法，以及零指数幂、负整数指数幂的运算方法，逐项判断即可．【解答】解：∵a0＝1（a≠0），∴选项A不符合题意；∵a﹣2＝，∴选项B不符合题意；∵（﹣a）3＝﹣a3，∴选项C符合题意；∵＝，∴选项D不符合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了分数指数幂的运算方法，有理数的乘方的运算方法，以及零指数幂、负整数指数幂的运算方法，解答此题的关键是要明确：（1）①a0＝1（a≠0）；②00≠1．（2）a﹣p＝（a≠0，p为正整数）．3．【分析】根据不等式的性质分析判断．【解答】解：∵a＞b，∴当c＜0时，ac＜bc，故选项A不符合题意；当c＞0时，ac＞bc，故选项B不符合题意；∵a＞b，c是任意实数，∴﹣a＜﹣b，∴c﹣a＜c﹣b，故选项C不符合题意，选项D符合题意．故选：D．【点评】此题考查了不等式的性质，注意解此题的关键是掌握不等式的性质．4．【分析】根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数．【解答】解：根据题意，从7个原始评分中去掉1个最高分和1个最低分，得到5个有效评分，5个有效评分与7个原始评分相比，不变的是中位数．故选：A．【点评】本题考查了平均数、中位数、众数、方差的意义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差；一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．平均数、极差、方差与每一个数据都有关系，都会受极端值的影响，而中位数仅与数据的排列位置有关，代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响．5．【分析】由对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，得D是假命题，而A，B，C是真命题，故选：D．【解答】解：由对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，得D是假命题，而A，B，C是真命题，故选：D．【点评】本题主要考查了真命题，解题关键是正确判断命题的真假．6．【分析】根据勾股定理求出AC的长，再根据以A，C为圆心的两圆外切得出⊙A的半径，最后根据点和圆的位置关系，求出r的取值范围即可．【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD为矩形，∴AC＝＝13，∵以A，C为圆心的两圆外切，∴⊙A的半径为AC﹣r＝13﹣r，∵点D在⊙A内，∴AD＜13﹣r，∴r＜8，∵B在⊙C内，∴BC＜r，∴r＞5，∴5＜r＜8．故选：C．【点评】本题主要考查了相切两圆的性质以及点和圆的位置关系，求出⊙A的半径是本题解题的关键．二、填空题（本大题共12题）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．【分析】根据二次根式的减法法则进行计算即可．【解答】解：﹣＝×﹣＝2﹣＝，故答案为：．【点评】本题考查二次根式的运算，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．8．【分析】直接提取公因式a，进而分解因式得出即可．【解答】解：a2﹣a＝a（a﹣1）．故答案为：a（a﹣1）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．9．【分析】求出各个不等式的解集，然后再根据判断不等式组解集的口诀“大小小大中间找”求出不等式组的解集即可．【解答】解：，解不等式①，得x≥1，解不等式②，得x＜2，故不等式组的解集为1≤x＜2．故答案为：1≤x＜2．【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤．10．【分析】因为关于x的一元二次方程kx2﹣x﹣1＝0有两个相等的实数根，所以k≠0且Δ＝b2﹣4ac＝0，建立关于k的方程，解方程即可求出k的值．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣x﹣1＝0有两个相等的实数根，∴k≠0且Δ＝（﹣1）2﹣4×k×（﹣1）＝1+4k＝0，解得：k＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．11．【分析】根据题意，先确定k＜0，再依据反比例函数性质解答本题即可．【解答】解：∵反比例函数的图象经过点（﹣1，2），∴k＜0，反比例函数图象分布在第二四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，故答案为：增大．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数性质是解答本题的关键．12．【分析】把第一季度电动车的销量看成单位“1”，列式计算即可．【解答】解：10×（1+10%）×（1+20%）＝10×1.1×1.2＝13.2（万辆），∴预计第三季度的销量为13.2万辆．故答案为：13.2．【点评】本题考查百分数的应用，关键是把第一季度电动车的销量看成单位“1”．13．【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中小明和小红从同一入口进入该公园游玩的结果有3种，再由概率公式求解即可．【解答】解：把公园的东、南、西三个入口分别记为A、B、C，画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中小明和小红从同一入口进入该公园游玩的结果有3种，∴他们从同一入口进入该公园游玩的概率是＝，故答案为：．【点评】本题考查的是用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，解答本题的关键是掌握：概率＝所求情况数与总情况数之比．14．【分析】由平移抛物线y＝x2+2x+1，使得平移后的抛物线经过原点，且顶点在第四象限，设平移后抛物线为y＝（x﹣1）2+k，由平移后的抛物线经过原点，得0＝（0﹣1）2+k，即k＝﹣1，符合顶点在第四象限，故所求为y＝（x﹣1）2﹣1（答案不唯一）．【解答】解：由平移抛物线y＝x2+2x+1，使得平移后的抛物线经过原点，且顶点在第四象限，设平移后抛物线为y＝（x﹣1）2+k，由平移后的抛物线经过原点，得0＝（0﹣1）2+k，即k＝﹣1，符合顶点在第四象限，故所求为y＝（x﹣1）2﹣1（答案不唯一）．故答案为：y＝（x﹣1）2﹣1（答案不唯一）．【点评】本题主要考查了抛物线，解题关键是待定系数法的应用．15．【分析】根据平行线分线段成比例求出AO和AC的关系，过C作AD平行线，构造平行四边形，根据向量加法的平行四边形法则求出，从而可以求得．【解答】解：∵CD∥AB，∴AO：OC＝AB：DC＝2，∴AO＝AC，过C作CE∥AD交AB于E，如图：∴四边形ADCE为平行四边形，∴AE＝CD＝AB，＝+，∴＝＝+＝+．故答案为：+．【点评】本题主要考查了平面向量，根据平行四边形法则来求解是本题解题的关键．16．【分析】根据全校的总人数×步行的百分比得出结果即可．【解答】解：由题意得，样本容量为：25÷50%＝50，故该校步行上学的学生约为：1200×＝240（人），故答案为：240．【点评】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图的综合，解题的关键是数形结合，数据条形统计图和扇形统计图的特点．17．【分析】利用待定系数法求出y与x之间的函数关系式，并标明x的取值范围，将x＝5代入求出对应y的值即可．【解答】解：设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）．将x＝2，y＝11和x＝4，y＝12代入y＝kx+b，得，解得，∴y与x之间的函数关系式为y＝x+10（0≤x≤8）．当x＝5时，y＝×5+10＝12.5，∴挂5千克重物时弹簧的长度为12.5厘米．故答案为：12.5．【点评】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求出y与x之间的函数关系式是本题的关键．18．【分析】根据DF与△ABC三边分类讨论，由翻折的性质以及勾股定理求出CE的长，从而求得AE的长即可．【解答】解：①当DF∥BC时，DF与BC重合，∴C，D，E不构成三角形，不符合题意；②当DF∥AC，如图：∴DF⊥BC，∴∠CDF＝90°，由翻折的性质可知，CD＝DF，CE＝CF，∴四边形CDFE为正方形，∴CE＝CD＝3，∴AE＝AC﹣CE＝5；③当DF∥AB，延长DF交AC于G，如图：∴CG＝AC＝4，DG＝＝5，∴FG＝DG﹣DF＝DG﹣CD＝2，设CE＝EF＝x，则EG＝4﹣x，在Rt△EFG中，（4﹣x）2＝x2+4，解得：x＝，∴AE＝AC﹣CE＝6.5，综上所述，AE＝5或6.5．故答案为：5或6.5．【点评】本题主要考查了翻折变换，合理运用正方形的判定与性质以及中位线定理和勾股定理是本题解题的关键．三、解答题（本大题共7题）19．【分析】根据分数指数幂、负整数指数幂的运算法则及分母有理化、去绝对值计算即可．【解答】解：原式＝+2﹣+2（+1）﹣＝．【点评】本题考查分母有理化、负整数指数幂，熟练掌握分数指数幂、负整数指数幂的运算法则及分母有理化、去绝对值的方法是本题的关键．20．【分析】将x2﹣3xy+2y2＝0分解因式求出x2﹣3xy+2y2＝（x﹣y）（x﹣2y），进而重新组合方程组求出即可．【解答】解：由①得x﹣y＝0，x﹣2y＝0．原方程组化为，，分别解这两个方程组，得原方程组的解是：，，，．【点评】此题主要考查了二元二次方程组的解法，根据已知分解因式x2﹣3xy+2y2＝（x ﹣y）（x﹣2y）是解题关键．21．【分析】（1）根据圆的性质以及勾股定理列方程求解即可；（2）根据垂直的定义以及圆周角定理求出∠PAB＝45°，再根据特殊锐角三角函数值进行计算即可．【解答】（1）解：如图，连接OA，则OA＝OB＝r，OC＝8﹣r，在Rt△AOC中，由勾股定理得，AC2+OC2＝OA2，即42+（8﹣r）2＝r2，解得r＝5，即⊙O的半径长为5；（2）解：∵PO⊥BC，∴∠BOP＝90°，∴∠PAB＝∠PAB＝45°，∴∠PAB的正切值为tan45°＝1．【点评】本题考查圆周角定理，解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系，圆周角定理以及特殊锐角三角函数值是正确解答的关键．22．【分析】（1）由等腰三角形的性质即可得到答案；（2）由菱形的性质得到AB＝AD，AC⊥BD，AC＝2AO，BD＝2OD，判定△ABD是等边三角形，得到∠ADO＝60°，因此AO＝OD，即可求出＝，得到较长线段与较短线段长度的比值是；（3）由等腰三角形的性质得到∠ABD＝∠ADB，由平行线的性质推出∠CBD＝∠ADB，得到∠ABD＝∠CBD＝∠ABC，同理：∠BCA＝∠DCA＝∠BCD，由等腰梯形的性质推出∠ABC＝∠BCD，得到∠ACB＝∠CBD，由AC＝BC，得到∠CAB＝∠CBA＝2∠CBD，由三角形内角和定理得到2∠CBD+2∠CBD+∠CBD＝180°，求出∠CBD＝36°，得到∠ABC＝2∠CBD＝72°，由平行线的性质得到∠BAD+∠ABC＝180°，求出∠BAD＝108°，由等腰梯形的性质得到∠ADC＝∠BAD＝108°，∠BCD＝∠ABC＝72°．【解答】解：（1）∠ABC＝∠ACB，∠DBC＝∠DCB（答案不唯一），理由如下：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵DB＝DC，∴∠DBC＝∠DCB；（2）如图，菱形ABCD中，BD＝AD，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AC⊥BD，AC＝2AO，BD＝2OD，∵BD＝AD，∴△ABD是等边三角形，∴∠ADO＝60°，∴AO＝OD，∴AC＝BD，∴＝，∴较长线段与较短线段长度的比值；（3）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD＝AB，AC＝BD＝BC，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠ADB，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC，同理：∠BCA＝∠DCA＝∠BCD，∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠ABC＝∠BCD，∴∠ACB＝∠CBD，∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝2∠CBD，∠ABC+∠CAB+∠BCA＝180°，∴2∠CBD+2∠CBD+∠CBD＝180°，∴∠CBD＝36°，∴∠ABC＝2∠CBD＝72°，∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC＝180°，∴∠BAD＝108°，∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠ADC＝∠BAD＝108°，∠BCD＝∠ABC＝72°，∴两种长度的线段是AD＝CD＝AB，AC＝BD＝BC，梯形的各内角度数分别是72°、72°，108°、108°．【点评】本题考查梯形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，关键是由“精致四边形”的定义画出符合要求的菱形和梯形．23．【分析】（1）连接O1B，O2B，BD，BP，由直角三角形的判定可知△DPB为直角三角形，然后根据圆周角定理求出∠AO1O2+∠AO2O1的度数即可证明；（2）过O1作O1E⊥DP于E，过O2作O2F⊥DP于F，根据垂径定理和平行线分线段成比例来证明即可．【解答】证明：（1）连接O1B，O2B，BD，BP，如图：∵AD＝AB＝AP，∴△DBP为直角三角形，∠D+∠APB＝90°，由圆周角定理可知，∠AO1B＝2∠D，∠AO2B＝2∠APB，∵AB是⊙O1与⊙O2的公共弦，∴O1O2垂直平分AB，∴∠AO1C＝∠AO1B，∠AO2C＝∠AO2B，∴∠AO1C+∠AO2C＝∠D+∠APB＝90°，∴AO1⊥AO2；（2）过O1作O1E⊥DP于E，过O2作O2F⊥DP于F，如图：∴O1E∥O2F，∴＝＝，∴PE＝3PF，由垂径定理可知，AE＝DE，PF＝AF，∴AE＝PE﹣PA＝3PF﹣2PF＝PF，∴AD＝2AE＝2PF＝AP．【点评】本题主要考查了相交圆的性质，综合运用垂径定理、直角三角形的判定以及平行线分线段成比例是本题解题的关键．24．【分析】（1）先求出AB所在直线的表达式，然后将抛物线解析式化为顶点式，根据A 和C都在线段AB上，求解即可；（2）①根据抛物线平移的性质求出P点坐标以及平移后的抛物线解析式，然后求出D 点坐标，进而求出PD的直线表达式，最后求出E点坐标，然后根据三角形面积公式求解即可；②根据EC＝EP，可知E在CP的垂直平分线上，从而求出E点坐标，进而求出PD所在直线表达式，从而求得D点坐标，最后根据D在平移后的抛物线上求出m的值即可．【解答】解：（1）设AB所在直线的表达式为：y＝kx+m，将点A和点B的坐标代入表达式可得：，解得：k＝﹣1，m＝2，∴AB的表达式为：y＝﹣x+2，将点A的坐标代入抛物线解析式得：0＝﹣4+2b+c，∴c＝4﹣2b，将抛物线解析式改写成顶点式：y＝﹣x2+bx+4﹣2b＝﹣（x﹣）2+4﹣2b+，∴点C（，4﹣2b+）在直线AB上，∴4﹣2b+＝﹣+2，解得：b＝2或4，当b＝4时，顶点C和A重合，不符合题意；∴b＝2，c＝0；（2）①由（1）知，C（1，1），抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x，∴P（3，1），对称轴直线为：x＝1，∴平移后的抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+2（x﹣2）＝﹣x2+6x﹣8，当x＝1时，y＝﹣1+6﹣8＝﹣3，∴D（1，﹣3），设PD所在直线的表达式为：y＝tx+s，将点P和点D的坐标代入表达式得：解得：t＝2，s＝﹣5，∴PD的表达式为：y＝2x﹣5，∴E（，0），＝××1+××3＝5；∴S△ODP②由平移的性质可知，P（m+2，1），∵EC＝EP，∴E在CP的垂直平分线上，∴E（+2，0），设PD所在直线的表达式为：y＝tx+s，代入P，E的坐标得：，解得：t＝，s＝﹣1﹣，∴PD的表达式为：y＝x﹣1﹣，∴D（1，﹣1﹣），由顶点坐标可得平移后抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣m﹣2）2+1，将D点代入平移后的抛物线得：﹣1﹣＝﹣（m+1）2+1，解得：m＝1或﹣1或﹣2，∵m＞0，∴m＝1．【点评】本题主要考查了二次函数的综合，掌握平移变换后点以及抛物线变化的规律是本题解题的关键．25．【分析】（1）根据直角三角形斜边上中线的性质可知AF＝FE，再根据角之间的互余关系得到∠BAE＝∠BEA，从而证明AB＝BE；（2）根据平行线的性质以及互余关系证明△EPF和△EAB相似，从而可以证明PF是个定值；（3）因为∠AFE和∠FEG为钝角，所以当△EFG与△AEF相似时，这两个角相等，根据三角函数的定义求出PE的值，从而求得AP的值．【解答】（1）证明：∵PE⊥AC，F是AP中点，∴AF＝EF，∴∠FAE＝∠FEA，∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAE＝∠AEF，又∵∠AEF+∠AEB＝90°，∠BAC+∠ACB＝90°，∴∠BAC＝∠AEB，∴BA＝BE；（2）解：存在PF长度不变．∵AD⊥CD，PE⊥AE，∴tan∠CAD＝＝＝，∵∠AEP＝∠FEB＝90°，∴∠AEB＝∠PEF，又∵∠BAE+∠CAD＝90°，∠CAD+∠APE＝90°，∴∠BAE＝∠APE，∴△ABE∽△PFE，∴＝＝，∴PF＝；（3）解：能相似．连接FG，过P作PH⊥BC于H，如图：∴PH＝AB＝1，∵PG⊥AC，∴∠GPH＝∠ACB，∴GH＝PH•tan∠ACB＝，由（2）知，PF＝，∴GH＝PF，又∵PF∥GH，∴四边形GHPF为矩形，∴∠PAE＝∠PGF，∴当∠AFE＝∠FEG时，△AEF∽△GFE，∴∠PFE＝∠PEF，∴PE＝PF＝，∴AE＝2PE＝2，∴AP＝．【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，掌握特殊几何图形的性质是解题的关键。

2024年上海市徐汇区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】1．（4分）下列实数中，有理数是（）A．B．C．D．2．（4分）下列单项式中，与单项式2a2b3是同类项的是（）A．﹣ab4B．2a3b2C．3b3a2D．﹣2a2b2c 3．（4分）已知一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，那么直线y＝bx+k经过（）A．第二、三、四象限B．第一、二、三象限C．第一、二、四象限D．第一、三、四象限4．（4分）如表，记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差．甲乙丙丁平均数（cm）185180180185方差 3.6 3.68.17.4根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（）A．甲B．乙C．丙D．丁5．（4分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，如果添加一个条件使得▱ABCD 是矩形，那么下列添加的条件中正确的是（）A．∠DAO+∠ADO＝90°B．∠DAC＝∠ACDC．∠DAC＝∠BAC D．∠DAB＝∠ABC6．（4分）如图，一个半径为9cm的定滑轮由绳索带动重物上升，如果该定滑轮逆时针旋转了120°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，那么重物上升的高度是（）A．5πcm B．6πcm C．7πcm D．8πcm二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）方程﹣x＝0的根是．8．（4分）不等式组的解集是．9．（4分）方程组的解是．10．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣1＝0根的情况是：原方程实数根．11．（4分）如果二次函数y＝2x2﹣4x+1的图象的一部分是上升的，那么x的取值范围是．12．（4分）如果反比例函数y＝的图象经过点A（t，﹣2t），那么t的值是．13．（4分）如果从长度分别为2、4、6、7的四条线段中任意取出三条，那么取出的三条线段能构成三角形的概率是．14．（4分）小杰沿着坡比i＝1：2.4的斜坡，从坡底向上步行了130米，那么他上升的高度是米．15．（4分）某校为了了解学生家长对孩子用手机的态度问题，随机抽取了100名家长进行问卷调查，每位学生家长只有一份问卷，且每份问卷仅表明一种态度（这100名家长的问卷真实有效），将这100份问卷进行回收整理后，绘制了如图1、图2所示的两幅不完整的统计图．如果该校共有2000名学生，那么可以估计该校对手机持“严格管理”态度的家长有人．16．（4分）如图，梯形ABCD中，BC∥AD，AB＝CD，AC平分∠BAD，如果AD＝2AB，＝，＝，那么是（用向量、表示）．17．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4．已知点D是边AC的中点，将△ABC 沿直线BD翻折，点C落在点E处，联结AE，那么AE的长是．18．（4分）如图，点A是函数y＝（x＜0）图象上一点，联结OA交函数y＝﹣（x＜0）图象于点B，点C是x轴负半轴上一点，且AC＝AO，联结BC，那么△ABC的面积是．三、（本大题共7题，第19—22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）19．（10分）计算：﹣|1﹣|+π0﹣．20．（10分）解方程：．21．（10分）如图，⊙O1和⊙O2相交于点A、B，联结AB、O1O2、AO2，已知AB＝48，O1O2＝50，AO2＝30．（1）求⊙O1的半径长；（2）试判断以O1O2为直径的⊙P是否经过点B，并说明理由．22．（10分）A市“第××届中学生运动会”期间，甲校租用两辆小汽车（设每辆车的速度相同）同时出发送8名学生到比赛场地参加运动会，每辆小汽车限坐4人（不包括司机），其中一辆小汽车在距离比赛场地15千米的地方出现故障，此时离截止进场的时刻还有42分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车．已知这辆车的平均速度是每小时60千米，人步行的平均速度是每小时5千米（上、下车时间忽略不计）．（1）如果该小汽车先送4名学生到达比赛场地，然后再回到出故障处接其他学生，请你判断他们能否在截止进场的时刻前到达？并说明理由；（2）试设计一种运送方案，使所有参赛学生能在截止进场的时刻前到达比赛场地，并说明方案可行性的理由．23．（12分）如图，在菱形ABCD中，点E、G、H、F分别在边AB、BC、CD、DA上，AE ＝AF，CG＝CH，CG≠AE．（1）求证：EF∥GH；（2）分别联结EG、FH，求证：四边形EGHF是等腰梯形．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+4（a＞0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的表达式及点B的坐标；（2）已知点M（0，m），联结BC，过点M作MG⊥BC，垂足为G，点D是x轴上的动点，分别联结GD、MD，以GD、MD为边作平行四边形GDMN．①当m＝时，且▱GDMN的顶点N正好落在y轴上，求点D的坐标；②当m≥0时，且点D在运动过程中存在唯一的位置，使得▱GDMN是矩形，求m的值．25．（14分）如图，在扇形OAB中，OA＝OB＝6，∠AOB＝90°，点C、D是弧AB上的动点（点C在点D的上方，点C不与点A重合，点D不与点B重合），且∠COD＝45°．（1）①请直接写出弧AC、弧CD和弧BD之间的数量关系；②分别联结AC、CD和BD，试比较AC+BD和CD的大小关系，并证明你的结论；（2）联结AB分别交OC、OD于点M、N．①当点C在弧AB上运动过程中，AN•BM的值是否变化，若变化请说明理由；若不变，请求AN•BM的值；②当MN＝5时，求圆心角∠DOB的正切值．2024年上海市徐汇区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】1．【分析】整数和分数统称为有理数，据此进行判断即可．【解答】解：、、是无理数，＝2，是有理数．故选：B．【点评】本题考查有理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．2．【分析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，由此判断即可．【解答】解：与单项式2a2b3是同类项的是3b3a2，故选：C．【点评】本题考查了同类项，熟知同类项的定义是解题的关键，注意同类项与系数无关，与字母的顺序无关．3．【分析】先根据题意判断出k，b的符号，进而可得出结论．【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，∴k＜0，b＞0，∴y＝bx+k经过一、三、四象限．故选：D．【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．4．【分析】据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【解答】解：因为队员甲和乙的方差最小，但队员乙平均数小，所以甲的成绩好，所以队员甲成绩好又发挥稳定．故选：A．【点评】本题考查方差与算术平方根，解答本题的关键是掌握它们的定义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．5．【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：A、∵∠DAO+∠ADO＝90°，∴∠AOD＝90°，∴AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形，故选项A不符合题意；B、∵∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD，∴▱ABCD是菱形，故选项B不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠DCA＝∠BAC，∵∠DAC＝∠BAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，∴▱ABCD是菱形，故选项C不符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∵∠DAB＝∠ABC，∴∠DAB＝∠ABC＝90°，∴▱ABCD是矩形，故选项D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，掌握矩形的判定是解题的关键．6．【分析】根据弧长的计算方法计算半径为9cm，圆心角为120°的弧长即可．【解答】解：由题意得，重物上升的距离是半径为9cm，圆心角为120°所对应的弧长，即＝6π（cm）．故选：B．【点评】本题考查弧长的计算，掌握弧长的计算方法是正确解答的前提．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．【分析】移项后方程两边平方得出2x﹣1＝x2，求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：﹣x＝0，移项，得＝x，方程两边平方，得2x﹣1＝x2，x2﹣2x+1＝0，（x﹣1）2＝0，x﹣1＝0，x＝1，经检验：x＝1是原方程的解．故答案为：x＝1．【点评】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键．8．【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．【解答】解：，解不等式①得：x＞2，解不等式②得：x＞﹣5，∴原不等式组的解集为：x＞2，故答案为：x＞2．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．9．【分析】方程组化为一元二次方程可解得答案．【解答】解：由x﹣2y＝0得x＝2y，代入x2+y2＝5得：5y2＝5，解得y＝1或y＝﹣1，∴原方程组的解为或．故答案为：或．【点评】本题考查解高次方程，解题的关键是把方程组化为一元二次方程．10．【分析】先计算出Δ的值得到Δ＞0，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况即可．【解答】解：∵Δ＝（﹣m）2﹣4×（﹣1）＝m2+4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故答案为：有两个不相等的实数根．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．11．【分析】依据题意，由y＝2x2﹣4x+1＝2（x﹣1）2﹣1，又抛物线开口向上，从而当x＜1时，y随x的增大而减小，图象逐渐下降，当x≥1时，y随x的增大而增大，图象逐渐上升，再结合二次函数y＝2x2﹣4x+1的图象的一部分是上升的，进而可以判断得解．【解答】解：由题意，∵y＝2x2﹣4x+1＝2（x2﹣2x+1）﹣1＝2（x﹣1）2﹣1，又抛物线开口向上，∴当x＜1时，y随x的增大而减小，图象逐渐下降，当x≥1时，y随x的增大而增大，图象逐渐上升．∵二次函数y＝2x2﹣4x+1的图象的一部分是上升的，∴x≥1．故答案为：x≥1．【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．12．【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答本题即可．【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点A（t，﹣2t），∴t×（﹣2t）＝﹣4，解得t＝．故答案为：．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握这一特征是关键．13．【分析】利用列举法展示所有4种等可能的结果，根据三角形三边的关系可判断三条线段能构成三角形的结果数，然后根据概率求解．【解答】解：从长度分别为2、4、6、7的四条线段中随机抽取三条线段，它们为2、4、6；2、4、7；2，6，7；4，6，7，共有4种等可能的结果，其中三条线段能构成三角形的结果数为2，所以三条线段能构成三角形的概率＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了三角形三边的关系．14．【分析】设上升的高度为x米，根据坡比和勾股定理列方程即可求解．【解答】解：设上升的高度为x米，坡比i＝1：2.4，根据题意得x2+（2.4x）2＝1302，解得x＝50，故答案为：50．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解坡比的定义．15．【分析】先用总人数乘以从来不管对应的百分比求出其人数，再根据三个类别人数之和等于总人数求出严格管理的人数，最后用总人数乘以样本中严格管理人数所占比例即可．【解答】解：由题意知，从来不管的人数为100×25%＝25（人），则严格管理的人数为100﹣25﹣55＝20（人），所以估计该校对手机持“严格管理”态度的家长有2000×＝400（人），故答案为：400．【点评】本题考查了条形统计图的运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．也考查了利用样本估计总体．16．【分析】首先判定△ABC是等腰三角形；如图，过点C作CE∥AB交AD于E，构造平行四边形ABCE，则BC＝AE．所以在△ABC中，利用三角形法则求解即可．【解答】解：∵BC∥AD，∴∠BCA＝∠CAD．∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD．∴∠BAC＝∠BCA．∴AB＝BC．如图，过点C作CE∥AB交AD于E，则四边形ABCE是平行四边形．∴BC＝AE．∵AD＝2AB，∴AD＝2BC．∵＝，∴＝＝．∵＝，＝+．∴＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了平面向量，等腰三角形的判定与性质，梯形．解题的巧妙之处在于作出辅助线，构造平行四边形．将所求的向量置于△ABC中，利用三角形法则作答．17．【分析】过A作AM⊥BC，过D作DN⊥BC，连接AE，连接CE交BD于O，根据等腰三角形的性质以及平行线分线段成比例可以求出CN，BN的长，然后根据勾股定理求出DN和BD的长，根据轴对称的性质可得，CE⊥BD，OC＝OE，DE＝DC，根据等积变换可以求出OC，从而求得CE，再根据AD＝CD＝DE可以判断△ACE为直角三角形，最后根据勾股定理求出AE的长即可．【解答】解：如图，过A作AM⊥BC，过D作DN⊥BC，连接AE，连接CE交BD于O，∴AM∥DN，∵D为AC中点，AB＝AC，∴AD＝CD＝3，BM＝CM＝2，∴CN＝MN＝1，∴DN＝＝2，∴BD＝＝，∵E和C关于BD对称，∴CE⊥BD，OC＝OE，DE＝DC，＝BC•DN＝BD•OC，∵S△BCD∴OC＝，∴CE＝，∵AD＝CD＝DE，∴△ACE为直角三角形，∴AE＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了翻折问题，合理运用平行线分线段成比例、勾股定理以及直角三角形的判定是本题解题的关键．18．【分析】过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为D，E，反比例函数比例系数的几何＝4，S△OBE＝0.5，证△OAD∽△OBE得，由此得OA＝意义得S△OADOB，则AB＝（OB，再由得S△ABC＝（S，然后根据等腰三角形的性质得S△AOC＝2S△OAD＝8，则S△ABC+S△OBC＝8，由此得△OBC＝，进而可得△ABC的面积．得S△OBC【解答】解：过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为D，E，如下图所示：∵点A是函数（x＜0）图象上一点，点B是反比例函数（x＜0）图象上的点，＝×8＝4，S△OBE＝×1＝0.5，根据反比例函数比例系数的几何意义得：S△OAD∵AD⊥x轴，BE⊥x轴，∴AD∥BE，∴△OAD∽△OBE，∴，∴＝8，∴OA＝OB，∴AB＝OA﹣OB＝OB﹣OB＝（）OB，即，∵，＝（）S△OBC，∴S△ABC∵AC＝AO，AD⊥x轴，∴OD＝CD，＝2S△OAD＝8，∴S△AOC+S△OBC＝8，∴S△ABC+S△OBC＝8，即（）S△OBC＝，∴S△OBC＝S△AOC﹣S△OBC＝．∴S△ABC故答案为：．【点评】此题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．三、（本大题共7题，第19—22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）19．【分析】利用二次根式的性质、绝对值的性质以及零指数幂分别化简得出答案．【解答】解：﹣|1﹣|+π0﹣＝2﹣+1+1﹣＝2．【点评】本题考查了实数的运算，掌握正确化简各数是关键．20．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：（x+2）2﹣16＝x﹣2，整理得：x2+4x+4﹣16＝x﹣2，即x2+3x﹣10＝0，分解因式得：（x﹣2）（x+5）＝0，解得：x＝2或x＝﹣5，检验：当x＝2时，（x+2）（x﹣2）＝0，当x＝﹣5时，（x+2）（x﹣2）≠0，∴x＝2是增根，分式方程的解为x＝﹣5．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．21．【分析】（1）连接AO1，由勾股定理求出CO2，再求出CO1，再由勾股定理求出AO1即可；（2）由勾股定理逆定理判断∠O1BO2是否为直角即可．【解答】解：（1）连接AO1，AB和O1O2交于点C，如图：∵AB是⊙O1和⊙O2的公共弦，∴AB⊥O1O2，AC＝BC＝24，∴CO2＝＝18，∴CO1＝O1O2﹣CO2＝32，∴AO1＝＝40．（2）经过．证明：∵BO1＝AO1＝40，BO2＝AO2＝30，O1O2＝50，∴+＝O1，∴∠O1BO2＝90°，∴B在以O1O2为直径的圆上．【点评】本题主要考查了相交圆的性质，合理运用勾股定理及其逆定理是本题解题的关键．22．【分析】（1）根据题意，若小汽车送4人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，则根据故障地点距考场的距离即可求出小汽车运动的总路程，又已知小汽车的平均速度，即可求得小汽车运动的总时间，随后与距截止进考场的时间进行比较，即可判断能否在截止进考场的时刻前到达考场；（2）由（1）知，若停留在原地等待则无法在截止进考场的时刻前到达考场，所以让在小汽车运送4人去考场的同时，留下的4人需步行前往考场，可节省一些时间，根据路程与速度的关系可分别求出小汽车运送第一批4人到达考场的时间、小汽车接到步行的4人的时间、小汽车从接到第二批4人到运送至考场的时间，三个时间相加后与距截止进考场的时间进行比较，即可判断方案的可行性．【解答】解：（1）他们不能在截止进场的时刻前到达比赛场地，小汽车先送4名学生到达比赛场地，然后再回到出故障处接其他学生，总路程为：15×3＝45（千米），第二次到达考场所需时间为：45÷60＝0.75（小时），0.75小时＝45分钟，∵45＞42，∴他们不能在截止进场的时刻前到达比赛场地；（2）先将4人用车送到考场，另外4人同时步行前往考场，汽车到考场后返回接到步行的4人的后再载他们前往考场，先将4人用车送到考场所需时间为15÷60＝0.25（h）＝15（分钟），5×0.25＝1.25（km），∴此时他们与考场的距离为15﹣1.25＝13.75（km），设汽车返回t（h）后与步行的4人相遇，则：5t十60t＝13.75，解得t＝，此时汽车与考场的距离为13.75﹣5×＝＝（km），∴汽车由相遇点再去考场所需时间为（h），用这一方案送这8人到考场共需15≈40.4（分钟）．∴40.4＜42，∴采取此方案能使8个人在截止进考场的时刻前到达考场．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程．23．【分析】（1）连接BD．根据菱形的性质得到AB＝AD＝BC＝CD，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论；（2）根据相似三角形的性质得到＝，同理＝，又CG≠AE，得到EF≠GH，根据梯形的判定定理得到四边形EGHF是梯形；根据全等三角形的性质得到EG＝FH，于是得到梯形EGHF是等腰梯形．【解答】证明：（1）连接BD．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∵AE＝AF，CG＝CH，∴＝，＝，∴EF∥BD，GH∥BD，∴EF∥GH；（2）∵EF∥BD，∴△AEF∽△ABD，∴＝，同理＝，又CG≠AE，∴EF≠GH，∵EF∥GH，∴四边形EGHF是梯形；∵AB﹣AE＝AD﹣AF，即BE＝DF，∴BC﹣CG＝CD﹣CH，即BG＝DH，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABC＝∠ADC，∴△BGE≌△DHF（SAS），∴EG＝FH，∴梯形EGHF是等腰梯形．【点评】本题考查了等腰梯形的判定，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．24．【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解；（2）①在Rt△CGM中，cos∠MCG＝，则CG＝CM•cos∠MCG＝×＝2，在Rt △CGH中，GH＝CG•sin∠HCG＝2×＝，即可求解；②当m＝0时，即点M与点O重合时，符合题意；当0＜m＜4时，如图所示，取MG的中点P，以MG为直径作圆P，则点N、D在圆上，由PM＝OH，即可求解；当m≥4时，可得：OH＞PM，所以符合题意的m不存在．【解答】解：（1）由题意，得：a﹣4a+4＝0，解得：a＝，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣x+4；则抛物线的对称轴是直线x＝2，∴点B（3，0）；（2）①由题意，得C（0，4）、M（0，），则CM＝，∵四边形GDMN是平行四边形，∴DG∥MN，又点N在y轴上，∴NM⊥OD，∴GD⊥OD，在Rt△OBC中，BC＝＝5，则cos∠OCB＝＝，则sin∠OCB＝，在Rt△CGM中，cos∠MCG＝，则CG＝CM•cos∠MCG＝×＝2，过点G作GH⊥CO，垂足为H，在Rt△CGH中，GH＝CG•sin∠HCG＝2×＝，则OD＝GH＝，故点D（，0）；②当m≥0时，根据m不同取值分三种情况讨论：当m＝0时，即点M与点O重合时，符合题意；当0＜m＜4时，如图所示，取MG的中点P，以MG为直径作圆P，则点N、D在圆上，此时圆P和x轴有唯一切点D，符合题设条件，则OH＝PD＝PM，∵MG＝MC•sin∠OCB＝（4﹣m）＝2PM，由①知，∠CMG＝∠OCB，则sin∠CMG＝sin∠OCB，则MH＝PM•sin∠OCB＝（4﹣m），而OH＝MH+OM＝MH+m，由PM＝OH得：（4﹣m）+m＝（4﹣m），解得：m＝；当m≥4时，可得：OH＞PM，所以符合题意的m不存在，综上，符合题意的m的值为0或．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、圆的切线的性质等知识，分类求解是解题的关键．25．【分析】（1）①根据弧长与圆心角之间的关系求解即可；②在弧CD上取点E，使得∠COE＝∠AOC，然后根据圆心角、弧长、弦长之间的关系以及三角形的三边关系证明即可；（2）①利用相似三角形的判定与性质，先证明△OMB∽△AON，即可得出AN•BM的值；②过点O在OB下方作∠BOM′＝∠AOM，截取OM′＝OM，利用全等三角形的判定与性质，以及勾股定理可以求出BN的长，过N作OB垂线，根据三角函数的定义求解tan∠BOD即可．【解答】解：（1）①设∠AOC＝α，∴∠BOD＝90°﹣45°﹣α＝45°﹣α，∵＝•2πOA，＝•2πOA，＝•2πOA，∴＝+；②AC+BD＞CD．证明：在上取点E，连接OE，使得∠COE＝∠AOC，连接CE，DE，如图：∴AC＝CE，在△CDE中，CE+DE＞CD，∵∠COE+∠DOE＝45°，∠AOC+∠BOD＝45°，∴∠DOE＝∠BOD，∴BD＝DE，∴AC+BD＞CD．（2）①AN•BM的值不变，AN•BM＝72．∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，∵∠OMB＝∠OAB+∠AOM＝45°+∠AOM，又∵∠AON＝∠COD+∠AOM＝45°+∠AOM，∴∠OMB＝∠AON，∴△OMB∽△AON，∴＝，∴AN•BM＝AO•BO＝72；②过点O在OB下方作∠BOM′＝∠AOM，截取OM′＝OM，连接BM′，NM′，如图：∵AO＝BO，∴△OBM′≌△OAM（SAS），∴BM′＝AM，∠OBM′＝∠OAB＝45°，∴∠NBM′＝90°，又∵∠M′ON＝45°＝∠COD，ON＝ON，∴△ONM′≌△OMN（SAS），∴M′N＝MN，∴MN2＝M′N＝BM′2+BN2＝AM2+BN2，又∵AM+BN＝12﹣5＝7，∴BN＝3或4，过N作NG⊥OB于G，当BN＝3时，NG＝BG＝，∴OG＝，∴tan∠BOD＝＝，当BN＝4时，NG＝BG＝2，∴OG＝4，∴tan∠BOD＝＝，∴tan∠BOD＝或．【点评】本题主要考查了圆的综合题，综合运用全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、圆心角与弦和弧的关系以及锐角三角函数的定义是本题解题的关键。

上海中考二模数学试题及答案一、选择题1. 若集合A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}，B = {2, 4, 6, 8,10}，则A ∩ B = （）A. {2, 4, 6}B. {1, 2, 3}C. {8, 10}D. {1, 3, 5, 7}2. 已知直线l与x轴交于点A，直线l与y轴交于点B，则下列说法中正确的是（）A. 点(0, 0)在l上B. 点(0, 1)在l上C. A与B的横坐标之积小于0D. A、B的横坐标之积大于03. 方程（x-2）²-4 = 0的根是（）A. 0B. 2C. 4D. 64. a1, a2, a3, ...是等差数列，若a1+a9=28，a5+a11=24，则该数列首项为（）A. 1B. 2C. 3D. 45. 在Rt△ABC中，AB=12，AC=16，则BC的长度为（）A. 4B. 8C. 12D. 16答案：1. A 2. D 3. B 4. C 5. B二、填空题1. 若a:b=2:3，且a:b:c=3:5:7，求c。

2. 设二次函数f(x)=-2x²+3x+4，若f(x)的图像与x轴交于点A、B，且AB=4，则A、B的横坐标分别为___。

3. 已知平行四边形ABCD中，AB=2a，AD=a+3，AC=4a-3，则BD 等于___。

4. 已知函数y=f(x)的图像关于原点对称，则f(-x)=___。

5. 若函数y=f(x)=ax²+x-1在区间[0, 1]上是增函数，则a的取值范围是___。

答案：1. 7 2. (-1, 3) 3. 2a-3 4. f(x) 5. a>0三、解答题1. 已知等差数列S的首项为a，公差为d，且S1 + S2 + S3 = 15，求S6的值。

解答：设等差数列的第n项是Sn，则有Sn = a + (n-1)d。

根据等差数列和公式，可以得到：S1 = aS2 = a + dS3 = a + 2dS6 = a + 5d给出条件S1 + S2 + S3 = 15，代入上面的式子可以得到：a + (a + d) + (a + 2d) = 153a + 3d = 15再考虑到S6 = a + 5d，将3a + 3d = 15带入可以得到：3a + 3d = 153(a + d) = 15a + d = 5将a + d = 5带入S6 = a + 5d：S6 = 5 + 5dS6 = 5(d + 1)所以S6的值为5(d + 1)。