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2023学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷初三数学 试卷 2024.4（时间100分钟 满分150分）考生注意∶1．本试卷含三个大题，共25题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】 1．下列实数中，有理数是（A ）3； （B ）4； （C ）5； （D ）6． 2．下列单项式中，与单项式322b a 是同类项的是（A ）4ab −； （B ）232b a ； （C ）233a b ； （D ）c b a 222−． 3．已知一次函数b kx y +=的图像经过第一、二、四象限，那么直线k bx y +=经过 （A ）第二、三、四象限； （B ）第一、二、三象限； （C ）第一、二、四象限； （D ）第一、三、四象限．4．如表1，记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差．根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择 （A ）甲； （B ）乙； （C ）丙； （D ）丁． 5．如图，□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，如果添加一个条件使得□ABCD 是矩形，那么下列添加的条件中正确的是 （A ）︒=∠+∠90ADO DAO ； （B ）ACD DAC ∠=∠； （C ）BAC DAC ∠=∠； （D ）ABC DAB ∠=∠． 6．如图，一个半径为cm 9的定滑轮由绳索带动重物上升，如果该定滑轮逆时针旋转了︒120，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，那么重物上升的高度是 （A ）π5 cm ； （B ）π6 cm ； （C ）π7cm ； （D ）π8cm ．表1 甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差统计表BOACD（第5题图）（第6题图）二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．方程012=−−x x 的根是___▲___． 8．不等式组⎩⎨⎧>−−>−1)3(23,312x x x 的解集是___▲___．9．方程组⎩⎨⎧=−=+02,522y x y x 的解是____▲____．10．关于x 的一元二次方程012=−−mx x 根的情况是：原方程__▲___实数根．11．如果二次函数1422+−=x x y 的图像的一部分是上升的，那么x 的取值范围是▲_．12．如果反比例函数xy 4−=的图像经过点)2,(t t A −，那么t 的值是____▲_____． 13．如果从长度分别为2、4、6、7的四条线段中任意取出三条，那么取出的三条线段能构成三角形的概率是__▲__．14．小杰沿着坡比4.2:1=i 的斜坡，从坡底向上步行了130米，那么他上升的高度是▲米． 15．某校为了了解学生家长对孩子用手机的态度问题，随机抽取了100名家长进行问卷调查， 每位学生家长只有一份问卷，且每份问卷仅表明一种态度（这100名家长的问卷真实有效），将这100份问卷进行回收整理后，绘制了如图1、图2所示的两幅不完整的统计图．如果该校共有2000名学生，那么可以估计该校对手机持“严格管理”态度的家长有__▲__人．16．如图，梯形ABCD 中，AD BC //，CD AB =，AC 平分BAD ∠，如果AB AD 2=，a AB=，b AD =，那么AC 是_▲_（用向量a 、b 表示）． 17．如图，在ABC ∆中，6==AC AB ，4=BC ． 已知点D 是边AC 的中点，将ABC ∆沿直线BD 翻折，点C 落在点E 处，联结AE ，那么AE 的长是_▲__． 18．如图，点A 是函数)0(8<−=x x y 图像上一点，联结OA 交函数)0(1<−=x xy 图像于 点B ，点C 是x 轴负半轴上一点，且AO AC =，联结BC ，那么ABC ∆的面积是_▲_．（第16题图）D AB C（第17题图）AB C （第15题图1）不管询问 管理（第15题图2） 25℅ 从来 不管 严格 管理稍加 询问三、（本大题共7题，第19—22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分） 19．（本题满分10分）计算：212218−+−−π．20．（本题满分10分）解方程：21416222+=−−−+x x x x ． 21．（本题满分10分）如图，⊙1O 和⊙2O 相交于点A 、B ，联结AB 、21O O 、2AO ，已知48=AB ，5021=O O ，302=AO ．（1）求⊙1O 的半径长；（2）试判断以21O O 为直径的⊙P 是否经过点B ，并说明理由． 22．（本题满分10分）A 市“第××届中学生运动会”期间，甲校租用两辆小汽车（设每辆车的速度相同）同时出发送8名学生到比赛场地参加运动会，每辆小汽车限坐4人（不包括司机），其中一辆小汽车在距离比赛场地15千米的地方出现故障，此时离截止进场的时刻还有42分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车．已知这辆车的平均速度是每小时60千米，人步行的平均速度是每小时5千米（上、下车时间忽略不计）．（1）如果该小汽车先送4名学生到达比赛场地，然后再回到出故障处接其他学生，请你判断他们能否在截止进场的时刻前到达？并说明理由；（2）试设计一种运送方案，使所有参赛学生能在截止进场的时刻前到达比赛场地，并说明方案可行性的理由． 23．（本题满分12分） 如图，在菱形ABCD 中，点E 、G 、H 、F 分别在边AB 、BC 、CD 、DA 上，AF AE =，CH CG =，AE CG ≠． （1）求证：GH EF //； （2）分别联结EG 、FH ，求证：四边形EGHF 是等腰梯形．（第23题图）E A B C DFGH （第21题图）AB1O 2O24．（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线)0(442>+−=a ax ax y 与x 轴交于点)0,1(A 和点B ，与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的表达式及点B 的坐标；（2）已知点),0(m M ，联结BC ，过点M 作BC MG ⊥，垂足为G ，点D 是x 轴上的动点，分别联结GD 、MD ，以GD 、MD 为边作平行四边形GDMN ．① 当23=m 时，且□GDMN 的顶点N 正好落在y 轴上，求点D 的坐标； ② 当0≥m 时，且点D 在运动过程中存在唯一的位置，使得□GDMN 是矩形，求m 的值．25．（本题满分14分）如图，在扇形OAB 中， 26==OB OA ，︒=∠90AOB ，点C 、D 是弧AB 上的动点（点C 在点D 的上方，点C 不与点A 重合，点D 不与点B 重合），且︒=∠45COD ． （1）①请直接写出弧AC 、弧CD 和弧BD 之间的数量关系；②分别联结AC 、CD 和BD ，试比较BD AC +和CD 的大小关系，并证明你的结论； （2）联结AB 分别交OC 、OD 于点M 、N ．①当点C 在弧AB 上运动过程中， BM AN ⋅的值是否变化，若变化请说明理由；若不变，请求BM AN ⋅的值；②当5=MN 时，求圆心角DOB ∠的正切值．（第25题图）BA CDO2023学年第二学期徐汇区初三年级数学学科学习能力诊断卷参考答案和评分标准一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．B ； 2．C ； 3．D ； 4．A ； 5．D ； 6．B ． 二．填空题：（本大题共12题，满分48分） 7．1=x ； 8．2>x ； 9．⎩⎨⎧==1,2y x 或⎩⎨⎧−=−=1,2y x ； 10．有两个不相等的；11．1≥x ； 12．2±； 13．21； 14．50； 15．400；16．b a21+； 17．171710； 18．228−．三、（本大题共7题，第19、20、21、22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）19. 解：原式21)12(22−+−−=1122++−=2=．20．解：去分母，得216)2(2−=−+x x ；化简，得01032=−+x x ； 解得 51−=x ，22=x ； 经检验，2=x 是原方程的增根；所以，原方程的根是5−=x ．21．解：（1）联结1AO ，设21O O 与AB 的交点为C ． ∵⊙1O 和⊙2O 相交于点A 、B ，∴2421==AB AC ，AB O O ⊥21； 在2ACO Rt ∆中，︒=∠902ACO ，∴182430222222=−=−=AC AO CO ；∴3218502211=−=−=CO O O CO ；在1ACO Rt ∆中，︒=∠901ACO ， ∴402432222211=+=+=AC CO AO ；即⊙1O 的半径长为40．（2）以21O O 为直径的⊙P 经过点B ．∵535030212==O O AO ，53301822==AO CO ； ∴22212AO CO O O AO =，又A O O C AO 212∠=∠； ∴21O AO ∆∽2ACO ∆；∴︒=∠=∠90221ACO AO O ； 取21O O 的中点P ，联结AP 、BP ．∴1PO AP =； 又21O O 垂直平分AB ，1PO AP BP ==； ∴以21O O 为直径的⊙P 经过点B ．22．解：（1）他们不能在截止进场的时刻前到达比赛场地．∵单程送达比赛场地的时间是：)(15)(25.06015分钟小时==÷； ∴送完另4名学生的时间是：)(42)(45315分钟分钟>=⨯：∴他们不能在截止进场的时刻前到达比赛场地． （2）方案不唯一．如：先将4名学生用车送达比赛场地，另外4名学生同时步行前往比赛场地， 汽车到比赛场地后返回到与另外4名学生的相遇处再载他们到比赛场地．（用 这种方案送这8名学生到达比赛场地共需时间约为4.40分钟）．理由如下：先将4名学生用车送达比赛场地的时间是：)(15)(25.06015分钟小时==÷ 此时另外4名学生步行路程是：25,125,05=⨯(千米)；设汽车与另外4名学生相遇所用时间为t 小时．则25.115605−=+t t ；解得5211=t （小时）13165=（分钟）； 从相遇处返回比赛场地所需的时间也是13165（分钟）；所以，送这8名学生到达比赛场地共需时间为：4.4021316515≈⨯+（分钟）； 又424.40<；所以，用这种方案送这8名学生能在截止进场的时刻前到达比赛场地．23．证明：（1）联结BD ．∵四边形ABCD 是菱形， ∴CD BC AD AB ===；又AF AE =，CH CG =，∴AD AF AB AE =，CDCHCB CG =； ∴BD EF //，BD GH //； ∴GH EF //．（2）∵BD EF //，∴AB AEBD EF =； ∵BD GH //，∴BCCGBD GH =；又AE CG ≠，∴GH EF ≠； 又GH EF //，∴四边形EGHF 是梯形； ∵AF AD AE AB −=−,即DF BE =； 又CH CD CG BC −=−，即DH BG =； ∵四边形ABCD 是菱形，∴D B ∠=∠； ∴DHF BGE ∆≅∆；∴FH EG =； ∴梯形EGHF 是等腰梯形．24．解：（1）由题意，得044=+−a a ；解得34=a ；∴抛物线的表达式为4316342+−=x x y ； ∵抛物线的对称轴是直线2=x ，∴点)0,3(B ． （2）①由题意，得)4,0(C 、)23,0(M ，∴25=CM ； ∵四边形GDMN 是平行四边形，∴NM GD //； 又点N 在y 轴上，∴OD NM ⊥；∴OD GD ⊥； 在BOC Rt ∆中。

2019年上海中考数学二模汇编 第25题1.（杨浦）已知圆O 的半径长为2，点A 、B 、C 为圆O 上三点，弦AO BC =，点D 为BC 的中点．（1）如图1，联结AC 、OD ，设OAC α∠=，请用α表示AOD ∠； （2）如图2，当点B 为AC 的中点时，求点A 、D 之间的距离；（3）如果AD 的延长线与圆O 交于点E ，以O 为圆心，AD 为半径的圆与以BC 为直径的圆相切，求 弦AE 的长．图1 图2 图32.（黄浦）已知四边形ABCD 中，AD ∥BC ，2ABC C ∠=∠，点E 是射线AD 上一点，点F 是射线DC 上一点，且满足BEF A ∠=∠.（1）如图8，当点E 在线段AD 上时，若AB=AD ，在线段AB 上截取AG=AE ，联结GE .求证：GE=DF ；（2）如图9，当点E 在线段AD 的延长线上时，若AB =3，AD =4，1cos 3A =，设AE x =，DF y =，求y 关于x 的函数关系式及其定义域；（3）记BE 与CD 交于点M ，在（2）的条件下，若△EMF 与△ABE 相似，求线段AE 的长.D A BCEF 图9ABCE F G D图83.（闵行）如图1，点P 为∠MAN 的内部一点．过点P 分别作PB ⊥AM 、PC ⊥AN ，垂足分别为点B 、C ．过点B 作BD ⊥CP ，与CP 的延长线相交于点D ．BE ⊥AP ，垂足为点E ． （1）求证：∠BPD =∠MAN ； （2）如果sin MAN ∠=AB =BE = BD ，求BD 的长； （3）如图2，设点Q 是线段BP 的中点．联结QC 、CE ，QC 交AP 于点F ．如果 ∠MAN = 45°，且BE // QC ，求PQF CEFS S ∆∆的值．E M（图2）ANQFPCDBMN A BCDP（图1）EABCDE备用图4.（金山）如图，在ABC Rt ∆中，90=∠C ，16=AC cm ，20=AB cm ，动点D 由点C 向点A 以每秒cm 1速度在边AC 上运动，动点E 由点C 向点B 以每秒cm 34速度在边BC 上运动，若点D ，点E 从点C 同时出发，运动t 秒(0>t )，联结DE .（1）求证：DCE ∆∽BCA ∆．（2）设经过点D 、C 、E 三点的圆为⊙P . ①当⊙P 与边AB 相切时，求t 的值.②在点D 、点E 运动过程中，若⊙P 与边AB 交于点F 、G （点F 在点G 左侧），联结CP 并延长CP 交边AB 于点M ，当PFM ∆与CDE ∆相似时，求t 的值.B5.（宝山）如图已知：AB是圆O的直径，AB=10，点C为圆O上异于点A、B的一点，点M为弦BC的中点．（1）如果AM交OC于点E，求OE：CE的值；（2）如果AM⊥OC于点E，求∠ABC的正弦值；（3）如果AB：BC=5：4，D为BC上一动点，过D作DF⊥OC，交OC于点H，与射线BO交于圆内点F，请完成下列探究．探究一：设BD=x，FO=y，求y关于x的函数解析式及其定义域．探究二：如果点D在以O为圆心，OF为半径的圆上，写出此时BD的长度．6.（静安）已知，如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，2AD =，6AB BC CD ===，动点P 在射线BA 上，以BP 为半径的P 交边BC 于点E （点E 与点C 不重合），联结PE 、PC ，设BP x =，PC y =.（1）求证：PE ∥DC ；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）联结PD ，当P D C B ∠=∠时，以D 为圆心半径为R 的D 与P 相交，求R 的取值范围.7.（徐汇）如图，在△ABC 中，10AC BC ==，3cos 5C =，点P 是AC 边上一动点（不与点A 、C 重合），以PA 长为半径的P 与边AB 的另一个交点为D ，过点D 作DE CB ⊥于点E . （1）当P 与边BC 相切时，求P 的半径；（2）联结BP 交DE 于点F ，设AP 的长为x ，PF 的长为y ，求y 关于x 的函数解析式，并直接写出x 的取值范围；（3）在（2）的条件下，当以PE 长为直径的Q 与P 相交于AC 边上的点G 时，求相交所得的公共弦的长.8.（奉贤）如图，已知△ABC ，AB =45B ∠=︒，点D 在边BC 上，联结AD ，以点A 为圆心，AD 为半径画圆，与边AC 交于点E ，点F 在圆A 上，且AF AD ⊥. （1）设BD 为x ，点D 、F 之间的距离为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （2）如果E 是弧DF 中点，求:BD CD 的值；（3）联结CF ，如果四边形ADCF 是梯形，求BD 的长.9.（崇明）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，8AB DC ==，12BC =，3cos 5C =，点E 为AB 边上一点，且2BE =，点F 是BC 边上的一个动点（与点B 、点C 不重合），点G 在射线CD 上，且EFG B ∠=∠，设BF 的长为x ，CG 的长为y .（1）当点G 在线段DC 上时，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）当以点B 为圆心，BF 长为半径的B 与以点C 为圆心，CG 长为半径的C 相切时，求线段BF 的长；（3）当△CFG 为等腰三角形时，直接写出线段BF 的长.10.（普陀）如图12，在Rt ABC中，∠ACB=90°，AB=5，4cos5BAC∠=，点O是边AC上一个动点（不与A、C重合），以点O为圆心，AO为半径作O，O与射线AB 交于点D；以点C为圆心，CD为半径作C，设OA x=.（1）如图13，当点D与点B重合时，求x的值；（2）当点D在线段AB上，如果C与AB的另一个交点E在线段AD上时，设AE=y，试求y与x之间的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）在点O的运动的过程中，如果C与线段AB只有一个公共点，请直接写出x的取值范围.11.（松江）如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=24，BC=16．点O 在边BC 上，以O 为圆心，OB 为半径的弧经过点A ．P 是弧AB 上的一个动点．（1）求半径OB 的长；（2）如果点P 是弧AB 的中点，联结PC ，求∠PCB 的正切值；（3）如果BA 平分∠PBC ，延长BP 、CA 交于点D ，求线段DP 的长．· （第25题图）O BA· （备用图） O B A12.（长宁）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=3AC =，4BC =，点P 在边AC 上（点P 与点A 不重合），以点P 为圆心，PA 为半径作P 交边AB 于另一点D ，ED DP ⊥，交边BC 于点E ；（1）求证：BE DE =；（2）若BE x =，AD y =，求y 关于x 的函数关系式并写出定义域；（3）延长ED 交CA 延长线于点F ，联结BP ，若B D P 与DAF 相似，求线段AD 的长.C ACA C A。

2013年上海市中考二模25题及详细答案一．解答题（共9小题）1．（2013•崇明县二模）已知：⊙O的半径为3，OC⊥弦AB，垂足为D，点E在⊙O上，∠ECO=∠BOC，射线CECE与射线OB相交于点F．设AB=x，CE=y（1）求y与x之间的函数解析式，并写出函数定义域；（2）当△OEF为直角三角形时，求AB的长；（3）如果BF=1，求EF的长．2．（2011•南京）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．P为BC的中点，动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t s．（1）当t=1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；（2）已知⊙O为△ABC的外接圆．若⊙P与⊙O相切，求t的值．3．（2013•奉贤区二模）如图，已知AB是⊙O的直径，AB=8，点C在半径OA上（点C与点O、A不重合），过点C作AB的垂线交⊙O于点D，联结OD，过点B作OD的平行线交⊙O 于点E、交射线CD于点F．（1）若，求∠F的度数；（2）设CO=x，EF=y写出y与x之间的函数解析式，并写出定义域；（3）设点C关于直线OD的对称点为P，若△PBE为等腰三角形，求OC的长．4．（2013•杨浦区二模）如图1，已知⊙O的半径长为3，点A是⊙O上一定点，点P为⊙O 上不同于点A的动点．（1）当时，求AP的长；（2）如果⊙Q过点P、O，且点Q在直线AP上（如图2），设AP=x，QP=y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）在（2）的条件下，当tanA=时（如图3），存在⊙M与⊙O相内切，同时与⊙Q相外切，且OM⊥OQ，试求⊙M的半径的长．5．（2013•闵行区二模）如图，在平行四边形ABCD中，AB=8，tanB=2，CE⊥AB，垂足为点E（点E在边AB上），F为边AD的中点，联结EF，CD．（1）如图1，当点E是边AB的中点时，求线段EF的长；（2）如图2，设BC=x，△CEF的面积等于y，求y与x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（3）当BC=16时，∠EFD与∠AEF的度数满足数量关系：∠EFD=k∠AEF，其中k≥0，求k 的值．6．（2013•徐汇区二模）如图1，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AC=3，AB=4，点P是边AB 上任意一点，过点P作PQ⊥AB交BC于点E，截取PQ=AP，连接AQ，线段AQ交BC于点D，设AP=x，DQ=y．（1）求y关于x的函数解析式及定义域；（2）如图2，连接CQ，当△CDQ和△ADB相似时，求x的值；（3）当以点C为圆心，CQ为半径的⊙C和以点B为圆心，BQ为半径的⊙B相交的另一个交点在边AB上时，求AP的长．7．（2013•嘉定区二模）已知AP是半圆O的直径，点C是半圆O上的一个动点（不与点A、P重合），联结AC，以直线AC为对称轴翻折AO，将点O的对称点记为O1，射线AO1交半圆O于点B，联结OC．（1）如图1，求证：AB∥OC；（2）如图2，当点B与点O1重合时，求证：；（3）过点C作射线AO1的垂线，垂足为E，联结OE交AC于F．当AO=5，O1B=1时，求的值．8．（2013•黄浦区二模）如图，在梯形ABCD中，AD=BC=10，tanD=，E是腰AD上一点，且AE：ED=1：3．（1）当AB：CD=1：3时，求梯形ABCD的面积；（2）当∠ABE=∠BCE时，求线段BE的长；（3）当△BCE是直角三角形时，求边AB的长．9．（2014•杭州模拟）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点D为边BC的中点，DE ⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ=90°（1）求ED、EC的长；（2）若BP=2，求CQ的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为点F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．2015年03月18日张文涛的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共9小题）1．（2013•崇明县二模）已知：⊙O的半径为3，OC⊥弦AB，垂足为D，点E在⊙O上，∠ECO=∠BOC，射线CECE与射线OB相交于点F．设AB=x，CE=y（1）求y与x之间的函数解析式，并写出函数定义域；（2）当△OEF为直角三角形时，求AB的长；（3）如果BF=1，求EF的长．考点：圆的综合题．菁优网版权所有分析：（1）过点O作OH⊥CE，垂足为H．在圆O中，根据垂径定理可得，，在Rt△ODB中，根据勾股定理可得OD=，通过AAS证明△ODB ≌△EHO，由全等三角形的性质得到EH=OD，依此可得y与x之间的函数解析式；（2）当△OEF为直角三角形时，存在以下两种情况：①若∠OFE=90°，证明△OAB是等腰直角三角形，求得AB的长；②若∠EOF=90°，证明△OAB是等边三角形，求得AB的长；（3）分两种情况：①当CF=OF=OB﹣BF=2时，可得：△CFO∽△COE，根据相似三角形的性质得到CE=，则EF=CE﹣CF可求；②当CF=OF=OB+BF=4时，可得：△CFO ∽△COE，根据相似三角形的性质得到CE=，则EF=CF﹣CE可求．解答：解：（1）过点O作OH⊥CE，垂足为H．∵在圆O中，OC⊥弦AB，OH⊥弦CE，AB=x，CE=y，∴，，∵在Rt△ODB中，OD2+BD2=BO2，OB=3，∴OD=，∵OC=OE，∴∠ECO=∠CEO，∵∠ECO=∠BOC，∴∠CEO=∠BOC，又∵∠ODB=∠OHE=90°，OE=OB，在△ODB与△EHO中，，∴△ODB≌△EHO（AAS），∴EH=OD，∴，∴，函数定义域为0＜x＜6；（2）当△OEF为直角三角形时，存在以下两种情况：①若∠OFE=90°，则∠COF=∠OCF=45°∵∠ODB=90°，∴∠ABO=45°又∵OA=OB，∴∠OAB=∠ABO=45°，∴∠AOB=90°∴△OAB是等腰直角三角形，∴；②若∠EOF=90°，则∠OEF=∠COF=∠OCF=30°，∵∠ODB=90°，∴∠ABO=60°，又∵OA=OB，∴△OAB是等边三角形，∴AB=OB=3；（3）①当CF=OF=OB﹣BF=2时，可得：△CFO∽△COE，CE=，则EF=CE﹣CF=；②当CF=OF=OB+BF=4时，可得：△CFO∽△COE，CE=，则EF=CF﹣CE=．点评：考查了圆的综合题，涉及的知识点有：垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．2．（2011•南京）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．P为BC的中点，动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t s．（1）当t=1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；（2）已知⊙O为△ABC的外接圆．若⊙P与⊙O相切，求t的值．考点：圆与圆的位置关系；勾股定理；直线与圆的位置关系；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有专题：几何综合题；动点型．分析：（1）根据已知求出AB=10cm，进而得出△PBD∽△ABC，利用相似三角形的性质得出圆心P到直线AB的距离等于⊙P的半径，即可得出直线AB与⊙P相切；（2）根据BO=AB=5cm，得出⊙P与⊙O只能内切，进而求出⊙P与⊙O相切时，t的值．解答：解：（1）直线AB与⊙P相切，如图，过P作PD⊥AB，垂足为D，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∵AC=6cm，BC=8cm，∴AB=10cm，∵P为BC中点，∴PB=4cm，∵∠PDB=∠ACB=90°，∠PBD=∠ABC，∴△PBD∽△ABC，∴，即，∴PD=2.4（cm），当t=1.2时，PQ=2t=2.4（cm），∴PD=PQ，即圆心P到直线AB的距离等于⊙P的半径，∴直线AB与⊙P相切；（2）∵∠ACB=90°，∴AB为△ABC的外接圆的直径，∴BO=AB=5cm，连接OP，∵P为BC中点，PO为△ABC的中位线，∴PO=AC=3cm，∵点P在⊙O内部，∴⊙P与⊙O只能内切，∴当⊙P在⊙O内部时：5﹣2t=3，当⊙O在⊙P内部时2t﹣5=3，∴t=1或4，∴⊙P与⊙O相切时，t的值为1或4．点评：此题主要考查了相似三角形的性质与判定以及直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系，正确判定直线与圆的位置关系是重点知识同学们应重点复习．3．（2013•奉贤区二模）如图，已知AB是⊙O的直径，AB=8，点C在半径OA上（点C与点O、A不重合），过点C作AB的垂线交⊙O于点D，联结OD，过点B作OD的平行线交⊙O于点E、交射线CD于点F．（1）若，求∠F的度数；（2）设CO=x，EF=y写出y与x之间的函数解析式，并写出定义域；（3）设点C关于直线OD的对称点为P，若△PBE为等腰三角形，求OC的长．考点：圆的综合题．菁优网版权所有分析：（1）首先连接OE，由，OD∥BF，易得∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°，又由CF⊥AB，即可求得∠F的度数；（2）作OH⊥BE，垂足为H，易得△HBO≌△COD，即可得CO=BH=x，求得BE=2x，易得△COD∽△CBF，然后由相似三角形的对应边成比例，可得，则可求得y与x之间的函数解析式；（3）由∠COD=∠OBE，∠OBE=∠OEB，∠DOE=∠OEB，可得∠COD=∠DOE，即可得C关于直线OD的对称点为P在线段OE上，然后分别从PB=PE，EB=EP，BE=BP去分析求解即可求得答案．解答：解：（1）连接OE．∵=，∴∠BOE=∠EOD∵OD∥BF，∴∠DOE=∠BEO，∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∴∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°，∵CF⊥AB，∴∠FCB=90°，∴∠F=30°；（2）作OH⊥BE，垂足为H．在△HBO和△COD中，，∴△HBO≌△COD（AAS），∴CO=BH=x，∴BE=2x，∵OD∥BF，∴△COD∽△CBF，∴，∴，∴y=（0＜x＜4）；（3）∵∠COD=∠OBE，∠OBE=∠OEB，∠DOE=∠OEB，∴∠COD=∠DOE，∴C关于直线OD的对称点为P在线段OE上，若△PBE为等腰三角形，设CO=x，∴OP=OC=x，则PE=OE﹣OP=4﹣x，由（2）得：BE=2x，①当PB=PE，不合题意舍去；②当EB=EP，2x=4﹣x，解得：x=，③当BE=BP，作BM⊥OE，垂足为M，∴EM=PE=，∴∠OEB=∠COD，∠BME=∠DCO=90°，∴△BEM∽△DOC，∴，∴，整理得：x2+x﹣4=0，解得：x=（负数舍去）综上所述：当OC的长为或时，△PBE为等腰三角形．点评：此题考查了圆的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质等性质．此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．4．（2013•杨浦区二模）如图1，已知⊙O的半径长为3，点A是⊙O上一定点，点P为⊙O 上不同于点A的动点．（1）当时，求AP的长；（2）如果⊙Q过点P、O，且点Q在直线AP上（如图2），设AP=x，QP=y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）在（2）的条件下，当tanA=时（如图3），存在⊙M与⊙O相内切，同时与⊙Q相外切，且OM⊥OQ，试求⊙M的半径的长．考点：圆的综合题．菁优网版权所有专题：几何综合题．分析：（1）过点P作PB⊥OA交AO的延长线于B，连接OP，设PB=a，根据∠A的正切值表示出AB=2a，再表示出OE=2a﹣3，在Rt△POB中，利用勾股定理列方程求出a，然后在Rt△ABP中，利用勾股定理列式计算即可求出AP；（2）连接OP、OQ，根据等边对等角可得∠P=∠POQ=∠A，求出△AOP和△PQO相似，利用相似三角形对应边成比例列式整理即可得到y与x的关系式，根据直径是圆的最长的弦写出x的取值范围；（3）过点O作OC⊥AP于C，根据∠A的正切值，设OC=4b，则AC=3b，在Rt△AOC中，利用勾股定理列方程求出b，从而得到OC、AC，再根据等腰三角形三线合一的性质可得PC=AC，设⊙Q的半径为c，然后表示出CQ，在Rt△COQ中，利用勾股定理列方程求出c，设⊙M的半径为r，根据圆与圆的位置关系表示出MQ、MO然后利用勾股定理列方程求解即可得到r的值，从而得解．解答：解：（1）如图1，过点P作PB⊥OA交AO的延长线于B，连接OP，设PB=a，∵tanA=，∴AB=2a，∴OB=AB﹣OA=2a﹣3，在Rt△POB中，PB2+OB2=OP2，即a2+（2a﹣3）2=32，解得a1=，a2=0（舍去），∴AB=2×=，在Rt△ABP中，AP===；（2）连接OP、OQ，则AO=PO，PQ=OQ，∴∠P=∠A，∠POQ=∠P，∴∠P=∠POQ=∠A，∴△AOP∽△PQO，∴=，即=，整理得，y=，∵⊙O的半径为3，点P不同于点A，∴3＜x≤6；∴y=（3＜x≤6）；（3）过点O作OC⊥AP于C，∵tanA=，∴设OC=4b，AC=3b，在Rt△AOC中，OC2+AC2=OA2，即（4b）2+（3b）2=32，解得b=，∴OC=4×=，AC=3×=，根据垂径定理，PC=AC=，设⊙Q的半径为c，则CQ=QP﹣PC=c﹣，在Rt△COQ中，OC2+CQ2=OQ2，即（）2+（c﹣）2=c2，解得c=，设⊙M的半径为r，∵⊙M与⊙O相内切，同时与⊙Q相外切，∴MO=3﹣r，MQ=r+，在Rt△OMQ中，MO2+OQ2=MQ2，即（3﹣r）2+（）2=（r+）2，解得r=．点评：本题考查了圆的综合题型，主要利用了解直角三角形，勾股定理，同一个圆的半径相等，等边对等角的性质，相似三角形的判定与性质，圆与圆的位置关系，作辅助线构造出直角三角形与相似三角形是解题的关键，难点在于反复利用勾股定理列出方程求解．5．（2013•闵行区二模）如图，在平行四边形ABCD中，AB=8，tanB=2，CE⊥AB，垂足为点E（点E在边AB上），F为边AD的中点，联结EF，CD．（1）如图1，当点E是边AB的中点时，求线段EF的长；（2）如图2，设BC=x，△CEF的面积等于y，求y与x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（3）当BC=16时，∠EFD与∠AEF的度数满足数量关系：∠EFD=k∠AEF，其中k≥0，求k 的值．考点：四边形综合题．菁优网版权所有专题：压轴题．分析：（1）分别延长BA、CF相交于点P，证出===，PA=AB=8，得出AE=BE=AB=4，PE=PA+AE=12，再根据EC=BE•tanB=4×2=8，求出PC==4，最后根据在Rt△PEC中，∠PEC=90°，PF=PC，即可得出EF=PC=2，（2）在Rt△PEC中，先求出BE=EC，根据BC=x，BE2+EC2=BC2，得出BE=x，EC=2BE=x，AE=AB﹣BE=8﹣x，求出PE=PA+AE=16﹣x，最后由 PF=PC，得y=S△EFC=•x（16﹣x），（3）在平行四边形ABCD中，AB∥CD，根据F为边AD的中点，得AF=DF=AD=8，FD=CD，∠DFC=∠DCF．根据AB∥CD，得∠DCF=∠P，∠DFC=∠P，在Rt△PEC中，根据∠PEC=90°，PF=PC，得EF=PF，∠AEF=∠P=∠DCF，最后根据∠EFC=∠P+∠PEF=2∠PEF，得∠EFD=∠EFC+∠DFC=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF，即可得k=3．解答：解：（1）分别延长BA、CF相交于点P，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∵F为边AD的中点，∴===，∴PA=AB=8，∵点E是边AB的中点，∴AE=BE=AB=4，∴PE=PA+AE=12，∵CE⊥AB，∴EC=BE•tanB=4×2=8．∴PC===4，在Rt△PEC中，∠PEC=90°，PF=PC，∴EF=PC=2，（2）在Rt△PEC中，∵tanB==2，∴BE=EC，∵BC=x，BE2+EC2=BC2，∴BE=x，∴EC=2BE=x，∴AE=AB﹣BE=8﹣x，∴PE=PA+AE=16﹣x，∵PF=PC，∴y=S△EFC=•x（16﹣x）=﹣x2+x，（0＜x≤8），（3）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，CD=AB=8，AD=BC=16，∵F为边AD的中点，∴AF=DF=AD=8，∴FD=CD，∴∠DFC=∠DCF，∵AB∥CD，∴∠DCF=∠P，∴∠DFC=∠P，在Rt△PEC中，∠PEC=90°，PF=PC，∴EF=PF，∴∠AEF=∠P=∠DCF，又∵∠EFC=∠P+∠PEF=2∠PEF，∴∠EFD=∠EFC+∠DFC=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF，∵∠EFD=k∠AEF，∴k=3．点评：此题考查了四边形综合，用到的知识点是四边形的性质、勾股定理、解直角三角形、三角形的面积等，关键是做出辅助线，构造直角三角形，求出线段的长．6．（2013•徐汇区二模）如图1，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AC=3，AB=4，点P是边AB 上任意一点，过点P作PQ⊥AB交BC于点E，截取PQ=AP，连接AQ，线段AQ交BC于点D，设AP=x，DQ=y．（1）求y关于x的函数解析式及定义域；（2）如图2，连接CQ，当△CDQ和△ADB相似时，求x的值；（3）当以点C为圆心，CQ为半径的⊙C和以点B为圆心，BQ为半径的⊙B相交的另一个交点在边AB上时，求AP的长．考点：相似形综合题．菁优网版权所有分析：（1）过点D作DM⊥AC，垂足为M．根据等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定和性质可求AQ，AD，再根据线段之间的和差关系可得y关于x的函数解析式；（2）当△CDQ和△ADB相似时，分两种情况：①当∠QCD=∠B时；②当∠QCD=∠QAB 时；根据相似三角形的性质可求x的值；（3）设⊙C与⊙B相交的另一个交点为M，连接QM交BC于点N．可得∴△BMN∽△BCA，△QPM∽△BAC，根据相似三角形的性质即可求出AP的长．解答：解：（1）过点D作DM⊥AC，垂足为M．由题意，可知△APQ是等腰直角三角形，∴；∵∠CAB=90°，∠QAP=45°，∴∠CAD=45°，∵DM⊥AC，∴△DAM是等腰直角三角形，易得△CMD∽△CAB，∴；设CM=3a，DM=4a，∴AM=4a，∴a=，，∴，∴．定义域是：≤x≤4．（注：其它解法参照评分．）（2）∵∠CDQ=∠ADB，∴当△CDQ和△ADB相似时，分以下两种情况：①当∠QCD=∠B时，∴CQ∥AB，四边形CAPQ是正方形；∴x=AP=AC=3．②当∠QCD=∠QAB时，∴，由上述（1）的解法，可得，，∴，∴；∴，解得．综合①②，当△CDQ和△ADB相似时，x的值为3或．（3）如图，设⊙C与⊙B相交的另一个交点为M，连接QM交BC于点N．∴BC⊥QM，QN=MN．∴△BMN∽△BCA，△QPM∽△BAC，∴，设MN=3t，BN=4t，∴BM=5t；∴QM=6t，∴；∵BQ=BM=5t，∴；又∵，∴，解得；∴．点评：此题主要考查了相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定和性质，求一次函数解析式，分类思想的运用，正方形的判定和性质，综合性较强，有一定的难度．7．（2013•嘉定区二模）已知AP是半圆O的直径，点C是半圆O上的一个动点（不与点A、P重合），联结AC，以直线AC为对称轴翻折AO，将点O的对称点记为O1，射线AO1交半圆O于点B，联结OC．（1）如图1，求证：AB∥OC；（2）如图2，当点B与点O1重合时，求证：；（3）过点C作射线AO1的垂线，垂足为E，联结OE交AC于F．当AO=5，O1B=1时，求的值．考点：圆的综合题．菁优网版权所有分析：（1）利用对称性得出∠OAC=∠O1AC，再利用等边对等角得出∠OAC=∠C，即可得出∠C=∠O1AC，求出AB∥OC即可；（2）由点O1与点O关于直线AC对称，AC⊥OO1，由点O1与点B重合，可得AC⊥OB，再利用垂径定理推论得出AB=CB；（3）分别根据当点O1在线段AB上以及当点O1在线段AB的延长线上时分别求出AE的长即可得出答案．解答：解：（1）∵点O1与点O关于直线AC对称，∴∠OAC=∠O1AC．在⊙O中，∵OA=OC，∴∠OAC=∠C．∴∠C=∠O1AC，∴O1A∥OC，即AB∥OC；（2）方法一：如图2，连结OB．∵点O1与点O关于直线AC对称，AC⊥OO1，由点O1与点B重合，可得AC⊥OB．∵点O是圆心，AC⊥OB，∴；方法2：∵点O1与点O关于直线AC对称，∴AO=AO1，CO=CO1，由点O1与点B重合，可得 AO=AB，CB=CO，∵OA=OC，∴AB=CB．∴；（3）当点O1在线段AB上（如图3），过点O作OH⊥AB，垂足为H．∵OH⊥AB，CE⊥AB，∴OH∥CE，又∵AB∥OC，∴HE=OC=5．∵AB=AO1+O1B=AO+O1B=6且OH⊥AB，∴AH=AB=3．∴AE=EH+AH=5+3=8，∵AB∥OC，∴==，当点O1在线段AB的延长线上，如图4，过点O作OH⊥AB，垂足为H．∵OH⊥AB，CE⊥AB，∴OH∥CE，又∵AB∥OC，∴HE=OC=5．∵AB=AO1﹣O1B=AO﹣O1B=4，又∵OH⊥AB，∴AH=AB=2．∴AE=EH+AH=5+2=7，∵AB∥OC，∴==．点评：此题主要考查了圆的综合应用以及垂径定理和关于直线对称的性质等知识，利用数形结合以及分类讨论的思想得出是解题关键．8．（2013•黄浦区二模）如图，在梯形ABCD中，AD=BC=10，tanD=，E是腰AD上一点，且AE：ED=1：3．（1）当AB：CD=1：3时，求梯形ABCD的面积；（2）当∠ABE=∠BCE时，求线段BE的长；（3）当△BCE是直角三角形时，求边AB的长．考点：四边形综合题．菁优网版权所有专题：综合题．分析：（1）作梯形的高AH，BG，根据正切的定义得到=，设AH=4t，DH=3t，根据勾股定理计算出AD=5t，5t=10，解得t=2，则DH=6，AH=8，设AB=x，CD=3x，所以6+x+6=3x，解得x=6，然后根据梯形的面积公式计算梯形ABCD的面积；（2）作Ek∥CD交BC于k，由AE：ED=1：3，AD=10得到AE=，ED=，由AB∥CD 得到∠ABE=∠BEK，由于∠ABE=∠BCE，所以∠BEK=∠BCE，于是可判断△BEK∽△BCE，BE2=BK：BC根据等腰梯形的性质BK=AE=，则BE2=BK：BC=×10，即可计算出BE=5；（3）分类讨论：当∠EBC=90°时，延长BE交CD的延长线于F点，由AB∥DF得到AB：DF=AE：ED=1：3，即DF=3AB，设AB=x，则DF=3x，HG=x，易证得Rt△FBG∽Rt△BGC，则BG2=GF•GC，即82=（3x+6+x）×6，解得x=；当∠CEB=90°时，延长BE交CD的延长线于F点，作EM⊥CD于M，设AB=x，则DF=3x，DC=12+x，在Rt△EDN中，ED=，tan∠EDN==，利用勾股定理可计算出EN=6，DN=，则NC=12+x﹣=x+，易证得Rt△FEN∽Rt△ECN，EN2=NF•NC，即62=（3x+）（12+），然后解方程可得到AB的长．解答：解：（1）作梯形的高AH，BG，如图1∵AD=10，tanD=，∴=，设AH=4t，DH=3t，则AD==5t，∴5t=10，解得t=2，∴DH=6，AH=8，同理得到BG=8，CG=6，由AB：CD=1：3，设AB=x，CD=3x，∴6+x+6=3x，解得x=6，∴梯形ABCD的面积=（AB+CD）•AH=•（x+3x）×8=×24×8=96；（2）作EK∥CD交BC于K，如图1，∵AE：ED=1：3，AD=10，∴AE=，ED=，∵AB∥CD，∴∠ABE=∠BEK，∵∠ABE=∠BCE，∴∠BEK=∠BCE，∴△BEK∽△BCE，∴BE：BC=BK：BE，即BE2=BK：BC，∵梯形ABCD为等腰梯形，∴BK=AE=，∴BE2=BK：BC=×10，∴BE=5；（3）△BCE是直角三角形，①当∠EBC=90°时，延长BE交CD的延长线于F点，如图2，∵AB∥DF，∴AB：DF=AE：ED=1：3，∴DF=3AB，设AB=x，则DF=3x，HG=x，∵Rt△FBG∽Rt△BGC，∴BG2=GF•GC，即82=（3x+6+x）×6，解得x=，即边AB的长为；②当∠CEB=90°时，延长BE交CD的延长线于F点，作EN⊥CD于N，如图3，设AB=x，则DF=3x，DC=12+x，在Rt△EDN中，ED=，tan∠EDN==，设EN=4a，则DN=3a，∴ED==5a，∴5a=，解得a=，∴EN=6，DN=，∴NC=12+x﹣=x+，∵Rt△FEN∽Rt△ECN，∴EN2=NF•NC，即62=（3x+）（x+），整理得x2+9x﹣=0，解得x1=﹣，x2=﹣﹣（舍去），∴AB=﹣，∴边AB的长为或﹣点评：本题考查了四边形的综合题：熟练掌握等腰梯形的性质和平行线线分线段成比例定理；会运用三角形相似的判定与性质和勾股定理进行几何计算．9．（2014•杭州模拟）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ=90°（1）求ED、EC的长；（2）若BP=2，求CQ的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为点F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．考点：相似形综合题．菁优网版权所有分析：（1）由勾股定理求得BC=10．通过“两角法”证得△CDE∽△CAB，则对应边成比例DE：AB=CE：CB=CD：CA，由此可以求得DE、CE的值；（2）如图2，当P点在AB上时，由∠PDQ=90°就可以得出∠2=∠4，就可以证明△PBD ∽△QED，就可以EQ的值，从而求得CQ的值；如图2﹣1，当P点在AB的延长线上时，证明△PBD∽△QED，由相似三角形的性质就可以求出结论；（3）如图3，4，5由条件可以求出△BPD∽△EQD，就有．设BP=x，则EQ=x，CQ=﹣x．由三角函数值可以得出△PDF∽△CDQ．由△PDF为等腰三角形就可以得出△CDQ为等腰三角形，根据等腰三角形的性质，分三种情况讨论就可以求出结论．解答：解：（1）如图1，∵∠A=90°，AB=6，AC=8，∴根据勾股定理得到，BC==10∴CD=BC=5．∵DE⊥BC．∴∠A=∠CDE=90°∠C=∠C∴△CDE∽△CAB∴DE：AB=CE：CB=CD：CA，即DE：6=CE：10=5：8∴DE=，CE=；（2）如图2，∵△CDE∽△CAB，∴∠B=∠DEC．∵∠PDQ=90°∴∠1+∠4=90°．∵∠1+∠2=90°∴∠2=∠4，∴△PBD∽△QED，∴，∴，∴EQ=，∴CQ=CE﹣EQ=﹣=．如图2﹣1，∵∠B=DEC，∴∠PBD=∠QED．∵∠PDQ=90°∴∠1+∠2=90°．∵∠3+∠2=90°∴∠1=∠3，∴△PBD∽△QED∴，∴，∴EQ=，∴CQ==故CQ=或；（3）∵线段PQ与线段DE的交点为点F，∴点P在边AB上∵△BPD∽△EQD ∴．若设BP=x ，则EQ=x，CQ=﹣x．∵cot∠QPD=，cot∠c=，∴∠QPD=∠C∵∠PDE=∠CDQ，∴△PDF∽△CDQ．∵△PDF为等腰三角形，∴△CDQ为等腰三角形．①当CQ=CD时，可得：﹣x=5，解得：x=．②当QC=QD时，过点Q作QM⊥CB于M，∴CM=CD=．∵cos∠C=，∴，∴CQ=．∴﹣x=解得：x=…（1分）③当DC=DQ时，过点D作DN⊥CQ于N，∴CQ=2CN．∵cos∠C==∴，∴CN=4，∴CQ=8，∴﹣x=8解得：x=﹣（舍去）．∴综上所述，BP=或．点评：本题考查了直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，相似三角形的判定及性质的运用，分类讨论思想在解实际问题的运用，等腰三角形的性质的运用，三角函数值的运用，解答时运用三角函数值求证三角形的角相等是难点，证明三角形相似是关键．。

1.（2017年嘉定宝山）已知：8=AB ，⊙O 经过点A 、B .以AB 为一边画平行四边形ABCD ，另一边CD 经过点O （如图8）.以点B 为圆心，BC 为半径画弧，交线段OC 于点E （点E 不与点O 、点C 重合）.（1）求证：OE OD =；（2）如果⊙O 的半径长为5（如图9），设x OD =，y BC =，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果⊙O 的半径长为5，联结AC ，当AC BE ⊥时，求OD 的长.2.（2017年普陀）如图10，半圆O 的直径AB ＝10，有一条定长为6的动弦CD 在弧AB 上滑动（点C 、点D 分别不与点A 、点B 重合），点E 、F 在AB 上，EC ⊥CD ，FD ⊥CD ． （1）求证：EO OF =；（2）联结OC ，如果△ECO 中有一个内角等于45 ，求线段EF 的长； （3）当动弦CD 在弧AB 上滑动时，设变量CE x =，四边形CDFE 面积为S ，周长为l ，问：S 与l 是否分别随着x 的变化而变化？试用所学的函数知识直接写出它们的函数解析式及函数定义域，以说明你的结论．图9 B O A 备用图 B OA 图8 E CB A O D 图103.（2017年崇明）如图，梯形ABCD 中，AB CD ∥，90ABC ∠=︒，6AB =，8BC =，tan 2D =，点E 是射线CD 上一动点（不与点C 重合），将BCE ∆沿着BE 进行翻折，点C 的对应点记为点F ． （1）如图1，当点F 落在梯形ABCD 的中位线MN 上时，求CE 的长；（2）如图2，当点E 在线段CD 上时，设CE x =，BFC EFCS y S ∆∆=，求y 与x 之间的函数关系式，并写出定义域；（3）如图3，联结AC ，线段BF 与射线CA 交于点G ，当CBG ∆是等腰三角形时，求CE 的长．ABCDEFM NEDCFABEDC FAB GD CAB（第25题图1）（第25题图2）（第25题图3）（第25题备用图）4.（2017年杨浦）已知：以O 为圆心的扇形AOB 中，∠AOB =90°，点C 为»AB 上一动点，射线AC 交射线OB 于点D ，过点D 作OD 的垂线交射线OC 于点E ，联结AE . （1） 如图1，当四边形AODE 为矩形时，求∠ADO 的度数； （2） 当扇形的半径长为5，且AC =6时，求线段DE 的长；（3） 联结BC ，试问：在点C 运动的过程中，∠BCD 的大小是否确定？若是，请求出它 的度数；若不是，请说明理由.5.（2017年奉贤）已知：如图9，线段AB =4，以AB 为直径作半圆O ，点C 为弧AB 的中点，点P 为直径AB 上一点，联结PC ，过点C 作CD //AB ，且CD =PC ，过点D 作DE//PC ，交射线PB 于点E ，PD 与CE 相交于点Q ． （1）若点P 与点A 重合，求BE 的长； （2）设PC = x ，y CEPD，当点P 在线段AO 上时，求y 与x 的函数关系式及定义域； （3）当点Q 在半圆O 上时，求PC 的长．图9ACPOBD E Q备用图AO BCA OBCD E（备用图） A O B CD E （图1）6.（2017年闵行）如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，∠B = 90°，AB = 4，BC = 9，AD = 6．点E 、F 分别在边AD 、BC 上，且BF = 2DE ，联结FE ．FE 的延长线与CD 的延长线相交于点P ．设DE = x ，PEy EF ． （1）求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）当以ED 为半径的⊙E 与以FB 为半径的⊙F 外切时，求x 的值；（3）当△AEF ∽△PED 时，求x 的值．7.（2017年长宁金山）如图，△ABC 的边AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，已知AC =6 cm ，BC =8 cm ，点P 、Q 分别在边AB 、BC 上，且点P 不与点A 、B 重合，BQ =k ·AP （k >0），连接PC 、PQ ． （1）求⊙O 的半径长； （2）当k =2时，设AP =x ，△CPQ 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域； （3）如果△CPQ ∽△ABC ，且∠ACB =∠CPQ ，求k 的值.第25题图A B CDE F P （第25题图）A B C D （备用图）EP 第25题图 C AB D8.（2017年虹口）如图，在△ABC 中，AB=AC =5，cos B =45，点P 为边BC 上一动点，过点P 作射线PE 交射线BA 于点D ，∠BPD=∠BAC ．以点P 为圆心，PC 长为半径作⊙P 交射线PD 于点E ，联结CE ，设BD=x ，CE=y ． （1）当⊙P 与AB 相切时，求⊙P 的半径；（2）当点D 在BA 的延长线上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）如果⊙O 与⊙P 相交于点C 、E ，且⊙O 经过点B ，当OP=54时，求AD 的长．9.（2017年浦东新区）如图所示，︒=∠45MON ，点P 是MON ∠内一点，过点P 作OM PA ⊥于点A 、ON PB ⊥于点B ，且22=PB ．取OP 的中点C ，联结AC 并延长，交OB 于点D ．（1）求证：OPB ADB ∠=∠；（2）设x PA =，y OD =，求y 关于x 的函数解析式；（3）分别联结AB 、BC ，当ABD △与CPB △相似时，求PA 的长．（第25题图）（备用图）10.（2016年崇明）如图，已知BC 是半圆O 的直径，8BC =，过线段BO 上一动点D ，作AD BC ⊥交半圆O 于点A ，联结AO ，过点B 作BH AO ⊥，垂足为点H ，BH 的延长线交半圆O 于点F ． （1）求证：AH BD =；（2）设BD x =，BE BF y ⋅=，求y 关于x 的函数关系式；（3）如图2，若联结FA 并延长交CB 的延长线于点G ，当FAE ∆与FBG ∆相似时，求BD 的长度．11.（2016年宝山嘉定）如图8，⊙O 与过点O 的⊙P 相交于AB ，D 是⊙P 的劣弧OB 上一点，射线OD 交⊙O 于点E ，交AB 的延长线于点C .如果AB =24，32tan =∠AOP . (1) 求⊙P 的半径长；(2) 当△AOC 为直角三角形时，求线段OD 的长； (3) 设线段OD 的长度为x ，线段CE 的长度为y ，求y 与x 之间的函数关系式及其定义域．（第25题图1）ABDOE HFC（第25题图2） CO D B G A F H E 图8_C _ E _B _O_P_A_ D12.（2016年长宁金山）如图, 已知在Rt △ABC 中, ∠ACB =90°, AB =5, 4sin 5A, P 是边BC 上的一点, PE ⊥AB , 垂足为E , 以点P 为圆心, PC 为半径的圆与射线PE 相交于点Q , 线段CQ 与边AB 交于点D . （1）求AD 的长;（2）设CP =x , △PCQ 的面积为y , 求y 关于x 的函数解析式, 并写出定义域;（3）过点C 作CF ⊥AB , 垂足为F , 联结PF 、QF , 如果△PQF 是以PF 为腰的等腰三角形, 求CP 的长.13.（2016年闸北）如图，在△ABC 中，AB=AC=6，BC=4，⊙B 与边AB 相交于点D ，与边BC 相交于点E ，设⊙B 的半径为x ． （1）当⊙B 与直线AC 相切时，求x 的值；（2）设DC 的长为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）若以AC 为直径的⊙P 经过点E ，求⊙P 与⊙B 公共弦的长．BCAP EQDBCACB ADE （第25题图）14.（2016年闵行）如图，已知在△ABC 中，AB = AC = 6，AH ⊥BC ，垂足为点H ．点D 在边AB 上，且AD = 2，联结CD 交AH 于点E ．（1）如图1，如果AE = AD ，求AH 的长；（2）如图2，⊙A 是以点A 为圆心，AD 为半径的圆，交线段AH 于点F ．设点P 为边BC 上一点，如果以点P 为圆心，BP 为半径的圆与⊙A 外切，以点P 为圆心，CP 为半径的圆与⊙A 内切，求边BC 的长；（3）如图3，联结DF ．设DF = x ，△ABC 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．15.（2016年松江）已知：如图1，在梯形ABCD 中，AD //BC ，∠BCD =90º， BC=11，CD=6，tan ∠ABC =2，点E 在AD 边上，且AE=3ED ，EF //AB 交BC 于点F ，点M 、N 分别在射线FE 和线段CD 上．（1）求线段CF 的长； （2）如图2，当点M 在线段FE 上，且AM ⊥MN ，设FM ·cos ∠EFC =x ，CN =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果△AMN 为等腰直角三角形，求线段FM 的长．AB C H D （第25题图1) E AB C H D E（第25题图3) F P AB C H D E（第25题图2) F （第25题图1）AC B DE F（第25题图2）AC B DE FNM （备用图）A CBDE F16.（2016年黄埔）如图7，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，1AC =，BC =7，点D 是边CA 延长线上的一点，AE ⊥BD ，垂足为点E ，AE 的延长线交CA 的平行线BF 于点F ，联结CE 交AB 于点G ．（1）当点E 是BD 的中点时，求tan AFB ∠的值；（2）CE AF 的值是否随线段AD 长度的改变而变化，如果不变，求出CE AF 的值；如果变化，请说明理由；（3）当BGE ∆与BAF ∆相似时，求线段AF 的长．19.（2016年杨浦）已知：半圆O 的直径AB =6，点C 在半圆O 上，且tan 22ABC ∠=，点D 为AC 上一点，联结DC （如图）．（1）求BC 的长；（2）若射线DC 交射线AB 于点M ，且△MBC 与△MOC 相似，求CD 的长； （3）联结OD ，当OD//BC 时，作∠DOB 的平分线交线段DC 于点N ，求ON 的长．图7AB C DEF G （第25题备用图） A B O C A B O C D（第25题图）20.（2016年奉贤） 已知：如图，在边长为5的菱形ABCD 中，cos A =35，点P 为边AB 上一点，以A 为圆心、AP 为半径的⊙A 与边AD 交于点E ，射线CE 与⊙A 另一个交点为点F ． （1）当点E 与点D 重合时，求EF 的长；（2）设AP =x ，CE =y ，求y 关于x 的函数关系式及定义域；（3）是否存在一点P ，使得 2EF PE =⋅，若存在，求AP 的长，若不存在，请说明理由．21.（2016年普陀）如图9，在Rt △ABC 中，90C ∠= ，14AC =，3tan 4A =，点D 是边AC 上的一点，8AD =．点E 是边AB 上一点，以点E 为圆心，EA 为半径作圆，经过点D ．点F 是边AC 上一动点（点F 不与A 、C 重合），作FG EF ⊥，交射线BC 于点G ． （1）用直尺圆规作出圆心E ，并求圆E 的半径长（保留作图痕迹）；（2）当点G 在边BC 上时，设AF x =，CG y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结EG ，当△EFG 与△FCG 相似时，推理判断以点G 为圆心、CG 为半径的圆G 与圆E 可能产生的各种位置关系．DCBA E F第25题图P DCBA备用图DCBA图9DCBA图9备用图22.(2016年浦东）如图，Rt △ABC 中，90ACB ∠= ，6BC =，点D 为斜边AB 的中点，点E 为边AC 上的一个动点．联结DE ，过点E 作DE 的垂线与边BC 交于点F ，以,DE EF 为邻边作矩形DEFG ．（1）如图1，当8AC =，点G 在边AB 上时，求DE 和EF 的长； （2）如图2，若12DE EF =，设AC x =，矩形DEFG 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式； （3）若23DE EF =，且点G 恰好落在Rt △ABC 的边上，求AC 的长．23.(2015年黄埔）如图8，Rt △ABC 中，90C ︒∠=，30A ︒∠=，BC =2，CD 是斜边AB 上的高，点E 为边AC 上一点（点E 不与点A 、C 重合），联结DE ，作CF ⊥DE ，CF 与边AB 、线段DE 分别交于点F 、G ．（1）求线段CD 、AD 的长；（2）设CE x =，DF y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）联结EF ，当△EFG 与△CDG 相似时，求线段CE 的长．GFED C BA 第25题 图2A BC D EFG 第25题 图1 ABCD备用图DCBA(备用图）图8GFDCB A E23.(2015年奉贤）已知：如图，线段AB =8，以A 为圆心，5为半径作圆A ，点C 在⊙A 上，过点C 作CD //AB 交⊙A 于点D （点D 在C 右侧），联结BC 、AD ． （1）若CD=6，求四边形ABCD 的面积；（2）设CD =x ，BC =y ，求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；（3）设BC 的中点为M ，AD 的中点为N ，线段MN 交⊙A 于点E ，联结CE ，当CD 取何值时，CE //AD ．23.(2015年松江区）如图，已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90º，AB =4，AD=3，552sin =∠BCD ，点P 是对角线BD 上一动点，过点P 作PH ⊥CD ，垂足为H ． （1）求证：∠BCD =∠BDC ；（2）如图1，若以P 为圆心、PB 为半径的圆和以H 为圆心、HD 为半径的圆外切时，求DP 的长；（3）如图2，点E 在BC 延长线上，且满足DP =CE ，PE 交DC 于点F ，若△ADH 和△ECF 相似，求DP 的长．DCB （第25题图）AB（备用图）AABCHPD （第25题图1）ABCHPD EF（第25题图2）23.(2015年闵行区）如图，已知在梯形ABCD 中，AD // BC ，AB = DC = 5，AD = 4．M 、N 分别是边AD 、BC 上的任意一点，联结AN 、DN ．点E 、F 分别在线段AN 、DN 上，且ME // DN ，MF // AN ，联结EF ．（1）如图1，如果EF // BC ，求EF 的长；（2）如果四边形MENF 的面积是△ADN 的面积的38，求AM 的长；（3）如果BC = 10，试探索△ABN 、△AND 、△DNC 能否两两相似？如果能，求AN 的长；如果不能，请说明理由．23.(2015年嘉定）在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，2=BC ，Rt △ABC 绕着点B 按顺时针方向旋转，使点C 落在斜边AB 上的点D ，设点A 旋转后与点E 重合，联结AE ，过点E 作直线EM 与射线CB 垂直，交点为M ．（1）若点M 与点B 重合如图10，求BAE ∠cot 的值；（2）若点M 在边BC 上如图11，设边长x AC =，y BM =，点M 与点B 不重合，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）若EBM BAE ∠=∠，求斜边AB 的长．A B C D M N E F（图1）A B C D M NE F （第25题图）A CB (M )ED 图10ACBMED图11。

上海中考数学第25题分析（下）——与圆有关的压轴题前言：我们古代数学家刘徽、祖冲之为了研究圆（周长和面积），费尽毕生精力，不管是割圆术还是牟合方盖，不管极限思想还是圆周率的精确，都是古人智慧的结晶，也许正因为古人的智慧铺垫，才有了如今我们学习圆的轻松和方便，今天我们一起来探究下圆的压轴！一、圆的知识梳理及拓展延伸——重要！！！1、圆的定义（轨迹法）：平面上的动点到定点的距离等于定长，这样的轨迹称之为圆（定点为圆心，定长为半径）。

2、圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。

顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。

3、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。

4、在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

5、切线判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

6、切线的性质：①经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。

②经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。

③圆的切线垂直于经过切点的半径。

7、直径所对的圆心角为直角。

8、两圆相交，则连心线平分公共弦——注意事连心线，不是圆心之间的线段！ 9、①圆的周长及面积公式：r C π2=，2r S π=； ②扇形的周长及面积公式：r n C π2360=，2360r n S π=； 10、圆的割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。

11、圆和圆的位置关系：相交、相离（外离+内含）、相切（外切+内切）。

12、四点共圆：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。

四点共圆有三个性质：①共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；②圆内接四边形的对角互补；③圆内接四边形的外角等于内对角。

题外话：圆的性质是所有章节最多的一个，还有弦切角+圆心角+圆周角的关系、圆幂定理及逆定理、托勒密定理及其逆定理等等，但可恨的是上海中考这个拿学业水平考当选拨的考试，它根本就不考那么多！二、25题与圆有关的压轴题题型归纳圆的综合在一模试卷中出现的不多，二模中是重点题型。

(2015长宁)如图，已知矩形ABCD，AB =12 cm，AD =10 cm，⊙O与AD、AB、BC三边都相切，与DC交于点E、F。

已知点P、Q、R分别从D、A、B三点同时出发，沿矩形ABCD的边逆时针方向匀速运动，点P、Q、R的运动速度分别是1 cm/s、x cm/s、1.5 cm/s，当点Q到达点B时停止运动，P、R两点同时停止运动.设运动时间为t（单位:s）.（1）求证: DE=CF；（2）设x = 3，当△P AQ与△QBR相似时，求出t的值；（3）设△P AQ关于直线PQ对称的图形是△P A'Q，当t和x分别为何值时，点A'与圆心O恰好重合，求出符合条件的t、x的值.第25题图AC BE OD 备用图(2015杨浦二模)在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，BC=10，3tan 4ABC ∠=，点O 是AB 边上动点，以O 为圆心，OB 为半径的⊙O 与边BC 的另一交点为D ，过点D 作AB 的垂线，交⊙O 于点E ，联结BE 、AE 。

当AE//BC （如图（1））时，求⊙O 的半径长；设BO=x ，AE=y ，求y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域；若以A 为圆心的⊙A 与⊙O 有公共点D 、E ，当⊙A 恰好也过点C 时，求DE 的长。

图（1） AB CDE O ABC备用图（第25题图）（2015徐汇）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，AC=4，1cos 4A =，点P 是边AB 上的动点，以PA 为半径作P ；（1）若P 与AC 边的另一交点为点D ，设AP x =，PCD ∆的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并直接写出函数的定义域； （2）若P 被直线BC 和直线AC 截得的弦长相等，求AP 的长；（3）若C 的半径等于1，且P 与C，求AP 的长；BABA（2015松江）如图，已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90º，AB=4，AD=3，sin 5BCD ∠=，点P 是对角线BD 上一动点，过点P 作PH ⊥CD ，垂足为H ． （1）求证：∠BCD=∠BDC ；（2）如图1，若以P 为圆心、PB 为半径的圆和以H 为圆心、HD 为半径的圆外切时，求DP 的长； （3）如图2，点E 在BC 延长线上，且满足DP=CE ，PE 交DC 于点F ，若△ADH 和△ECF 相似，求DP 的长．ABCHPD （第25题图1）ABCHPD EF（第25题图2）（2015普陀）如图11-1，已知梯形ABCD 中，AD //BC ，90D ∠=，5BC =，3CD =，cot 1B =．P 是边BC 上的一个动点（不与点B 、点C 重合），过点P 作射线PE ，使射线PE 交射线BA 于点E ，BPE CPD ∠=∠．（1）如图11-2，当点E 与点A 重合时，求DPC ∠的正切值；（2）当点E 落在线段AB 上时，设BP x =，BE y =，试求y 与x 之间的函数解析式，并写出x 的取值范围；（3）设以BE 长为半径的⊙B 和以AD 为直径的⊙O 相切，求BP 的长．CBDA 图11-1CBDA 图11备用图(E )P CBDA 图11-2（2015浦东）如图，已知在△ABC 中，射线AM ∥BC ，P 是边BC 上一动点，∠APD =∠B ，PD 交射线AM 于点D ，联结CD ．AB =4，BC =6，∠B =60°． （1）求证：BP AD AP ⋅=2；（2）如果以AD 为半径的圆A 与以BP 为半径的圆B 相切，求线段BP 的长度；（3）将△ACD 绕点A 旋转，如果点D 恰好与点B 重合，点C 落在点E 的位置上，求此时∠BEP 的余切值．（2015闵行）如图，已知在梯形ABCD 中，AD // BC ，AB = DC = 5，AD = 4．M 、N 分别是边AD 、BC 上的任意一点，联结AN 、DN ．点E 、F 分别在线段AN 、DN 上，且ME // DN ，MF // AN ，联结EF ．（1）如图1，如果EF // BC ，求EF 的长；（2）如果四边形MENF 的面积是△ADN 的面积的38，求AM 的长； （3）如果BC = 10，试探索△ABN 、△AND 、△DNC 能否两两相似？如果能，求AN 的长；如果不能，请说明理由．A BCD MNEF（图1）A B C D MNEF （第25题图）（2015静安青浦）在⊙O中，OC⊥弦AB，垂足为C，点D在⊙O上．（1）如图1，已知OA＝5，AB＝6，如果OD//AB，CD与半径OB相交于点E，求DE的长；（2）已知OA＝5，AB＝6（如图2），如果射线OD与AB的延长线相交于点F，且△OCD是等腰三角形，求AF的长；（3）如果OD//AB，CD⊥OB，垂足为E，求sin∠ODC的值．（第25题图1）BO A CDE（第25题图2）BOA C（2015金山）如图，已知在ABC ∆中，10==AC AB ，34tan =∠B （1） 求BC 的长； （2） 点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，不重合的两动点M 、N 在边BC 上（点M 、N 不与点B 、C 重合），且点N 始终在点M 的右边，联结DN 、EM ，交于点O ，设x MN =，四边形ADOE 的面积为y ．①求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；②当OMN ∆是等腰三角形且1=BM 时，求MN 的长．CB A第25题图CBA备用图（2015黄埔）如图8，Rt △ABC 中，90C ︒∠=，30A ︒∠=，BC =2，CD 是斜边AB 上的高，点E为边AC 上一点（点E 不与点A 、C 重合），联结DE ，作CF ⊥DE ，CF 与边AB 、线段DE 分别交于点F 、G ．（1）求线段CD 、AD 的长； （2）设CE x =，DF y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结EF ，当△EFG 与△CDG 相似时，求线段CE 的长．(备用图）图8精品文档 （2015奉贤）已知：如图，线段AB =8，以A 为圆心，5为半径作圆A ，点C 在⊙A 上，过点C 作CD //AB 交⊙A 于点D （点D 在C 右侧），联结BC 、AD ．（1）若CD=6，求四边形ABCD 的面积；（2）设CD =x ，BC =y ，求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；（3）设BC 的中点为M ，AD 的中点为N ，线段MN 交⊙A 于点E ，联结CE ，当CD 取何值时，CE //AD ．DC B （第25题图）AB （备用图）A精品文档（2015崇明）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，8AC =，4tan 3B =，点P 是线段AB 上的一个动点， 以点P 为圆心，PA 为半径的P 与射线AC 的另一个交点为点D ，射线PD 交射线BC 于点E ， 点Q 是线段BE 的中点．（1）当点E 在BC 的延长线上时，设PA x =，CEy =，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域； （2）以点Q 为圆心，QB 为半径的Q 和P 相切时，求P 的半径； （3）射线PQ 与P 相交于点M ，联结PC 、MC ，当PMC ∆是等腰三角形时，求AP 的长．（第25题图） （备用图1）B A C（备用图2）BA C精品文档 （2015宝山）在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，2=BC ，Rt △ABC 绕着点B 按顺时针方向旋转，使点C 落在斜边AB 上的点D ，设点A 旋转后与点E 重合，联结AE ，过点E 作直线EM 与射线CB 垂直，交点为M ．（1）若点M 与点B 重合如图10，求BAE ∠cot 的值；（2）若点M 在边BC 上如图11，设边长x AC =，y BM =，点M 与点B 不重合，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）若EBM BAE ∠=∠，求斜边AB 的长．M )图10 图11。

2021二模25题汇编【1崇明】25．（本题满分14分，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分4分，第(3)小题满分5分）如图1，在矩形ABCD 中，点E 是边CD 的中点，点F 在边AD 上，EF ⊥BD ，垂足为G ． （1）如图2，当矩形ABCD 为正方形时，求DGGB的值； （2）如果15DG GB =，AF x =，AB y =，求y 与x 的函数关系式，并写出函数定义域； （3）如果4AB =cm ，以点A 为圆心，3cm 长为半径的⊙A 与以点B 为圆心的⊙B 外切．以点F 为圆心的⊙F 与⊙A 、⊙B 都内切．求DGGB的值．解：（1）如图2，延长FE 交BC 的延长线于M …………………………………（1分）设正方形ABCD 的边长为k ，则AB=BC=CD=AD =k ∵E 为CD 中点∴DE=CE=12k ∵正方形ABCD 中，∠ADC=90°，∠BDC=12ADC ∠ ∴∠BDC=45°………………………………………………………………（1分） ∵EF ⊥BD ∴∠DEF=45° ∴∠DFE ＝45 ∴DF =DE =12k ……………………………………………………………（1分） ∵正方形ABCD 中，AD ‖BC∴1DF DECM EC== ∴CM =DF =12k ……………………………………………………………（1分）E（第25题图2）（第25题备用图）BDE（第25题图1）B CE∵AD ‖BC∴112132kDG DF GB BM k k ===+……………………………………………（1分） （2）如图1，延长FE 交BC 的延长线于M设DF =a ，则CM =a ∵DG DF GB BM =，1=5DG GB∴BM =5a ，BC =4a ， ∴AF =x =3a∴a =13x ∴DF =13x ……………………………………………………………（1分）∵AB =y ，∴DE =12y ∵∠ADC=90°，EF ⊥BD ∴∠ADB=∠DEF ∴tan ∠ADB=tan ∠DEF∴AB DFAD DE=∴134132x y x y = ∴228=9y x∵0x >,0y >∴y 与x的函数关系式=3y x ……………………………………（2分） 函数定义域为：0x > ……………………………………………（1分） （3）如备用图，设⊙F 的半径为rcm ，则根据题意得：⊙B 的半径为1cm ， AF =3r -cm ， BF =1r -cm ∵矩形ABCD 中，∠A=90°∴222AF AB BF +=∴22231r 4(r )--+=（） ∴r=6即⊙F 的半径为6cm …………………………………………………（2分） ∴AF =3cm ， ∵tan ∠ADB=tan ∠DEF ∴432AD AD -=∴2380AD AD --= ∴32AD +=（负值已舍去）…………………………………（2分）∴34182DG DF GB BM --==……………（1分）【2虹口】25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，tan A=34,AC=5，点M是射线AB上一点，以MC为半径的⊙M交直线AC于点D．（1）如图9，当MC=AC时，求CD的长；（2）当点D在线段AC的延长线上时，设BM=x，四边形CBMD的面积为y，求y关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果直线MD与射线BC相交于点E，且△ECD与△EMC相似，求线段BM的长．25．解：（1）过点M作MH⊥CD，垂足为点H．在Rt△ABC中，易得cos4AB AC A=⋅=．………………………（1分）∵MC=AC ，∠ABC=90°∴AM=2AB=8∴在Rt△AMH中，432cos855AH AM A=⋅=⨯=．………………………（1分）∴75CH AH AC=-=……………………………………………（1分）∴由垂径定理，得1425CD CH==．………………………………………（1分）（2）过点M作MH⊥CD，垂足为点H．在Rt△AMH中，3312sin(4)55xMH AM A x+=⋅=+⋅=……………（1分）4416cos(4)55xAH AM A x+=⋅=+⋅=．∴495xCH AH AC-=-=,8185xCD-=．…………………………（1分）∴2118183*********=225525CDMx x x xS CD MH-++-⋅⋅=⋅⋅=△．…（1分）又13=22 CBMxS BM CB⋅⋅=△．∴231221108=225x x xy+-+，即224117216=50x xy+-．…………（1分）图9CBA备用图定义域为94 x>．………………………………………………（1分）（3）①当点M在AB的延长线上时（如图9），∵△ECD与△EMC相似，∠EDC>∠EMC，∴∠EDC=∠ECM．………………………………………………………（1分）∴∠CDM=∠BCM．而由MC=MD可得，∠MCD=∠CDM，∴∠BCM =∠MCD．可证得△CBM≌△CHM，∴CB=CH．…………………………………（1分）∴4935x-=．解得6x=，即6BM=．…………………………………………………（1分）②当点M在线段AB上时（如下图），同①可得∠BCM =∠MCD，CB=CH，MB=MH．………………………（1分）∴532AH=-=,4AM x=-．在Rt△AMH中，4cos5AHMAHAM∠==，即2445x=-解得32x=．…………………………………（1分）综上所述，线段BM的长为6或32．【3黄浦】25．（本题满分14分）如图9，AD 是△ABC 的角平分线，过点C 作AD 的垂线交边AB 于点E ，垂足为点O ,联结DE .（1）求证：DE =DC ；（2）当∠ACB =90°，且△BDE 与△ABC 的面积比为1∶3时，求CE ∶AD 的值； （3）是否存在△ABC 能使CE 为△ABC 边AB 上的中线，且CE =AD ？如果能，请用∠CAB 的某个三角比的值来表示它此时的大小；如果不能，请说明理由.25.解：（1）∵AD 是角平分线， ∴∠CAO =∠EAO . 又∵CE ⊥AD ，∴∠COA =∠EOA =90°. 又AO =AO ，∴△AOC ≌△AOE . -------------------------------------------（2分） ∴AC =AE .在△ACD 与△AED 中，∵AC =AE ，∠CAD =∠OAD ，AD =AD ，∴△ACD ≌△AED ，-------------------------------------------（1分） ∴DE =DC . ----------------------------------------------------（1分）（2）由△BDE 与△ABC 的面积为1∶3，又△ACD ≌△AED ， 得△BDE 、△ACD 与△AED 的面积均相等.于是有BE =AE =AC ，又∠ACB =90°，------------------------------（2分） 所以∠ABC =30°，∠BAC =60°， 则△ACE 为等边三角形，即CE =AC .于是在△ACD 中，∠ACD =90°，∠CAD =12CAB ∠=30°，----------（2分）所以AC AD =CE AD =（1分）（3）存在这样的三角形. -------------------------------------------（1分） 作EF ∥AD 交BC 于点F . ---------------------------------------（1分） 则12OD CO EF CE ==，12EF BE AD BA ==，又AD =CE ， 令AD =CE =8k ，则OE =OC =4k ，OD =2k ，OA =6k . --------------------（1分）在△AOC中，AC =，则AE =.（备用图） （图9） CAEDCBAO作CH ⊥AE 于点H ，易知△CEH ∽△ACO ，得813CH k k ==，813EH k k ==，所以1313AH k k =-=，---------------------（1分） 于是在Rt △ACH 中，12tan 5CH CAB AH ∠==.------------------（1分）【4静安】 25．（本题满分14分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）如图，已知半圆O 的直径AB=4，点P 在线段OA 上，半圆P 与半圆O 相切于点A ，点C 在半圆P 上，CO ⊥AB ，AC 的延长线与半圆O 相交于点D ，OD 与BC 相交于点E ．（1） 求证：AD ∙AP =OD ∙AC ；（2） 设半圆P 的半径为x ，线段CD 的长为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域；（3） 当点E 在半圆P 上时，求半圆P 的半径．25．解：（1）联结PC ，在半圆P 与半圆O 中，∵ PC=PA ，OD=OA ，∴ ∠PCA=∠A=∠D ． ················································· （2分） ∴PC//OD ． ······································································································· （1分） ∴AC AD ADAP AO OD=＝． ······················································································ （1分） ∴AD ∙AP =OD ∙AC ． ····························································································· （1分）（2）在Rt △OPC 中，OP =122OA AP AB AP x -=-=-， 22222(2)44OC =CP OP x x x -=--=-. ····················································· （1分）在Rt △OAC 中，AC=. ······························ （1分）∵PC//OD ，∴CD POAC AO＝， ············································································ （1分）∴2y x =-y =···························································· （1分） 定义域为1< x < 2. ··························································································· （1分）（3）∵CO ⊥AB ，AO =BO =2，∴BC = AC=B（第25题图）∵PC//OD ，∴CE BCOP BP＝，∴24CE x x --＝，∴224x CE x --（＝． ········ （1分）过点P 作PH ⊥CE ，垂足为H ．∴2CE CH ＝，∴BH BC CH =-=＝ ··································· （1分） ∵cos BH OBB BP CB==．∴BH ·CB =OB ·BP ,∴622(4)4x x x x -=--（， ······································································· （1分）226168x x x x -=-+，2780x x -+=，其中不符合题意，所以半圆P 的半径为． ········· （1分）【5宝山】25.（本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)(3)小题满分各5分）如图9，已知BC AB ⊥，BC CD ⊥，垂足分别为点B 、点C ，AC 与BD 交于点P . （1）如果3=AB ，5=CD ，以点P 为圆心作圆，圆P 与直线BC 相切.① 求圆P 的半径长；② 又8=BC ，以BC 为直径作圆O ，试判断圆O 与圆P 的位置关系，并说明理由； （2）如果分别以AB 、CD 为直径的两圆外切，求证：△ABC 与△BCD 相似.25.（本题满分14分，第（1）小题满分4分,第（2）（3）小题满分各5分） 解：（1）过点P 作PH ⊥BC ，垂足为点H ，∵AB ⊥BC ，DC ⊥BC ， ∴ AB ∥PH ∥DC .∴CBCHAB PH =, BC BH DC PH =,…………………………………………………1分 ∵ AB =3，DC =5 , ∴153=+PHPH . …………………………………………………………… 1分 ∴815=PH . …………………………………………………………………1分 ∵ 圆P 与直线BC 相切, ∴圆P 的半径长为815. ………………………………………………………… 1分 （2）将BC 中点记为点O ，∵BC =8，∴OB = OC = 4. …………………………………………………………………… 1分 由BCCHAB PH =, （图9）∴CH = 5，1=OH .……………………………………………………………… 1分 ∴817=OP . …………………………………………………………………… 2分 即p o R R OP -=.∴圆O 与圆P 内切. ……………………………………………………………… 1分 （3）将A B 、DC 的中点分别记为点1O 、2O ,联结21O O ，过点1O 作DC E O ⊥1,垂足为点E .设a AB =，b DC =. …………………………………………………1分 根据题意，得221ba O O +=. …………………………………………………1分 在Rt △E O O 21中，ab E O =1.…………………………………………………1分∵BC E O =1，∴2BC DC AB =⋅.…………………………………………………………………1分 ∵∠ABC =∠DCB = 90°，∴△ABC ∽△BCD .…………………………………………………………………1分【6奉贤】25．（本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分5分）如图，已知扇形AOB 的半径OA =4，∠AOB =90°，点C 、D 分别在半径OA 、OB 上（点 C 不与点A 重合），联结CD ．点P 是弧AB 上一点，PC=PD ． （1）当cot ∠ODC 34=，以CD 为半径的圆D 与圆O 相切时，求CD 的长； （2）当点D 与点B 重合，点P 为弧AB 的中点时，求∠OCD 的度数； （3）如果OC =2，且四边形ODPC 是梯形，求ΔΔPCDOCDS S 的值．25.解：（1）在Rt △ABC 中，∠AOB =90°，∵cot ∠ODC 34=， 设3,4OD k OCk ，∴5CD k ················································································· （1分） ∵以CD 为半径的圆D 与圆O 相切，∴OB CD OC ············································ （1分） 即435k k ，解得12k ······························································································ （1分） ∴52CD························································································································· （1分） （2）联结OP 、AP .∵P 为弧AB 的中点，∴45o AOP BOP ，PA PB ········································· （1分） ∵ OA OP OB ，可得67.5o OAP OPAOBP又∵PC PB ，PA PB ，∴PA PC ，可得67.5o OAPPCA ···················· （1分） ∴45o APC（或22.5o OPC ）············································································· （1分） 可得ΔPCD 是等腰直角三角形∴45o PCB ······························································ （1分）C备用图AB O备用图ABOP第25题图DAB O∴67.5o OCD ·············································································································· （1分） （3）联结OP （i ）当CP ∥OD 时过点P 作PQ ⊥OB ，垂足为Q ． ∵ 2,4CO OP ，∴23PCPD ······································································· （1分）在Rt △PDQ 中，∠PQD =90°，PQ=2，23PD ， ∴22DQ ，2322OD··················································································· （1分）∴ΔΔ23362322PCDOCDS PC S OD ············································································ （1分）（ii ）当CO ∥PD 时过点P 作PK ⊥OA ，垂足为K由题意得四边形OKPD 是矩形，设KO PD x ,则2,KC x PCx在Rt △PCK 中，222KP PC KC ,则44KP OD x 在Rt△OPD 中，222OD PD OP ,则2224x∴解得262x,262PD ················································································· （1分） ∴ΔΔ26261PCD OCDS PD S OC·················································································· （1分）C【7金山】21. （本题满分14分，第(1)题4分，第(2) ①题4分，第(2) ②题6分）已知在ABC ∆中，32==AC AB ，120=∠BAC ，ADE ∆的顶点D 在边BC 上，AE交BC 于点F （点F 在点D 的右侧），30=∠DAE . （1）求证：ABF ∆∽DCA ∆. （2）若ED AD =.①联结EC ，当点F 是BC 的黄金分割点（BF FC >）时，求FECABFS S ∆∆. ②联结BE ，当1=DF 时，求BE 的长.25. （1）证明：∵AC AB =，∴C B ∠=∠；…………………………………（1分） ∵180=∠+∠+∠C B BAC ，120=∠BAC ，∴30=∠=∠C B ； ∵30=∠DAE ，∴DAE C B ∠=∠=∠；…………………（1分） ∵BAD B ADC ∠+∠=∠，BAD DAE BAF ∠+∠=∠； ∴ADC BAF ∠=∠；…………………（1分） ∵C B ∠=∠；∴ABF ∆∽DCA ∆.…………………（1分）（2）①解：∵ABF ∆∽DCA ∆，∴ACBFAD AF =，即BF AFAC AD =；………………（1分） ∵ED AD =，∴DEA DAE ∠=∠，∴C DEA ∠=∠；又∵B DAE ∠=∠，∴ABC ∆∽DAE ∆;………………（1分） ∴BC AE AB AD =，即BC AE AC AD =；∴BC AE BF AF =，即BF BC AF AE =； ∴BFCF AF EF =，又∵AFB EFC ∠=∠； ∴ECF ∆∽ABF ∆；………………（1分）∴2⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∆CF BF S S FEC ABF ； ∵点F 是BC 的黄金分割点，且BF FC >；AB第25题图备用图AFE DC B 第25题图A第25题图备用图AB CDFEBA CD F E∴215-=CF BF ，∴25321522-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∆CF BF S SFECABF .………………（1分） ②解：作BC AH⊥垂足为H ，∵32==AC AB ， 30=∠ABC ；∴BH BC 2=，321==AB AH ，322=-=AH AB BH 得6=BC ；………（1分）∵ABF ∆∽DCA ∆，∴ACBFCD AB =，即AC AB BF CD ⋅=⋅； 设x BD =，那么x CD -=6；∵1=DF ，∴1+=x BF ；可得()()323216⨯=+-x x ，解得3,221==x x 即2=BD 或3；………………（1分）当2=BD 时3=BF 即F 为BC 中点，∵AC AB =； ∴BC AF ⊥，又∵DE AD =，∴FE AF =即BC 垂直平分AE ；∴32==BA BE ；………………（2分）当3=BD 时，D 为BC 中点，∵AC AB =，120=∠BAC ，30=∠DAE ；∴BC AD ⊥， 6021=∠=∠BAC BAD ， 90=∠+∠=∠DAE BAD BAE ； 作AE DG ⊥垂足为G ，∴2330cos =⋅= AD AG ， ∵DE AD =，∴32==AG AE ；∴在ABE Rt ∆中2122=+=AE AB BE .………………（2分）综上所述，当1=DF 时，32=BE 或21.【8普陀】25．（本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分4分）在梯形ABCD 中， AD ∥BC ，AB BC ⊥， 3AD =，5CD =，3cos 5C =(如图9)．M 是边BC 上一个动点（不与点B 、C 重合），以点M 为圆心，CM 为半径作圆，M 与射线CD 、射线MA 分别相交于点E 、F ．（1）设185CE =，求证：四边形AMCD 是平行四边形； （2）联结EM ，设FMB EMC ∠=∠，求CE 的长； （3）以点D 为圆心，DA 为半径作圆，D 与M 的公共弦恰好经过梯形的一个顶点，求此时M 的半径长．25．解：（1）过点M 作MH CE ⊥，垂足为点H ． ································· （1分）由垂径定理可得1925CH CE ==． ························································ （1分）在Rt △CMH 中，由cosC 3CM =． ··············· （1分）∵3AD =，∴AD CM =．备用图1M CD AB EF图9CDA BC DAB∵ AD ∥BC ，∴四边形AMCD 是平行四边形． ····································· （1分） （2）设M 的半径长为r ．在Rt △CMH 中，35CH r =． 可得65CE r =． ········································ （1分） 过点E 作EG MC ⊥，垂足为点G ． 在Rt △CEG 中，1825CG r =，2425EG r =． ············································· （1分） 可得725MG r =． ··············································································· （1分） 在梯形ABCD 中，可得4AB =，6BC =． ·············································· （1分） ∵FMB EMC ∠=∠，∴cot cot FMB EMC ∠=∠．得 762524425rr r -=，解得 296r =． ··························································· （1分） 即62955CE r ==． ·············································································· （1分） （3）由于点B 、C 在D 外，所以公共弦不会经过这两个点．①当公共弦经过点A 时，由于点A 在D 上，因此点A 必为公共弦的一个端点，即点A 也在M 上．可得MA MC r ==．在Rt △ABM 中，由222AM AB BM =+，得()22166r r =+-， 解得 133r =．（2分） ②当公共弦经过点D 时，由于点D 是D 的圆心，因此公共弦就是D 的的直径．可得3DP DA ==， MD DP ⊥．过点D 作DQ MC ⊥，垂足为点Q ．由2222MP DP MQ DQ -=+，得()229163r r -=+-，解得 17r =． ·················································································· （2分）所以M 的半径长为．备用图2M C DAB QP【9青浦】25.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分4分）已知：在半径为2的扇形AOB 中，∠AOB ＝m °（0＜m ≤180），点C 是AB 上的一个动点，直线AC 与直线OB 相交于点D ．（1）如图7，当0＜m ＜90，△BCD 是等腰三角形时，求∠D 的大小（用含m 的代数式表示）；（2）如图8，当m ＝90，点C 是AB 的中点时，联结AB 、BC ，求ABCABDS S △△的值；（3）将AC 沿AC 所在的直线折叠，当折叠后的圆弧与OB 所在的直线相切于点E ，且OE ＝1时，求线段AD 的长．25．解：（1）联结OC ．∵OC ＝OB ，∴∠OBC ＝∠OCB ＜90°．∴∠CBD 为钝角．∵△BCD 为等腰三角形，∴∠D ＝∠BCD ． ····································· （1分） ∴∠OCB ＝∠OBC ＝∠D +∠BCD ＝2∠D ． ······································ （1分） ∴∠OCA ＝180°－∠OCD ＝180°－3∠D ．∵OC ＝OA ，∴∠OAC ＝∠OCA ＝180°－3∠D ． ······························· （1分） 在△OAD 中，∵∠OAC ＋∠D ＋∠AOB ＝180°，∴∠D ＝（21m ）°． ··· （1分） （2）联结OC ，过点C 作CF ⊥OD ，垂足为点F ．∵点C 是AB 的中点，∴AC ＝BC ，∴∠BOC ＝∠AOC ． ················ （1分） ∵∠AOB ＝90°，∴∠BOC ＝45°． ··················································· （1分） 在Rt △COF 中，OC ＝2，∴CF ··········································· （1分）∵CF ⊥OD ，AO ⊥OD ，∴AO ∥CF ．∴22==AO CF AD CD ． ················ （1分） CADOCADB O 备用图图7图8∴222=-AD AC ．…（1分）∴2+2==ACAD S S ABC ABD △△． ················· （1分） （3）设折叠后的圆弧所在圆的圆心为O'，联结O'E ，O'O ，O'O 交直线AD 于点H ． ∵新圆弧由AC 折叠而得，且与直线OB 相切于点E ，∴O'E ＝2，O'E ⊥OD ．当点E 在线段OB 上时，在Rt △O'OE 中，OE ＝1，O'E ＝2，则O'O ＝5． ∵点O'与点O 关于直线AC 对称，∴直线AC 垂直平分线段O'O ． ∴OH ＝25．∴在Rt △AOH 中，AH ＝211． ································· （1分） 在Rt △DOH 中，tan ∠O'OE ＝2＝OHDH，∴ DH ＝5．∴AD ＝DH ＋AH．························································ （1分）当点E 在线段BO 的延长线上时，同理可得，AH ＝211，DH ＝5．∴AD ＝DH －AH ．························································ （2分）。

各区二模卷答题25．（2010年二模奉贤区本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分） 已知：在Rt ABC △中，∠ACB =90°，BC =6，AC =8，过点A 作直线MN ⊥AC ，点E 是直线MN 上的一个动点，（1）如图1，如果点E 是射线AM 上的一个动点(不与点A 重合)，联结CE 交AB 于点P ．若AE 为x ，AP 为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；(2) 在射线AM 上是否存在一点E ，使以点E 、A 、P 组成的三角形与△ABC 相似，若存在求AE 的长，若不存在，请说明理由；（3）如图2，过点B 作BD ⊥MN ，垂足为D ，以点C 为圆心，若以AC 为半径的⊙C 与以ED 为半径的⊙E 相切，求⊙E 的半径．证明：（1）∵AM⊥AC ，∠ACB =90°∴AM ∥BC ∴BPAPBC AE =--------------------------------------(1分) ∵BC =6，AC =8， ∴AB=10-----∵AE =x ，AP =y ∴y y x -=106 ∴()0610>+=x xx y ----------（2）假设在射线AM 上存在一点E ，使以点E 、A 、P 组成的三角形与△ABC 相似 ∵AM ∥BC ∴∠B =∠BAE ∵∠ACB =90° ∠AE P ≠90° ∴△ABC ∽△EAP -∴AP AE BC AB =-----------------（1分）∴xx x +=610610 解得：0,33221==x x （舍去）-----∴当AE 的长为332时，△ABC ∽△EAP （3）∵⊙C 与⊙E 相切，AE =x ①当点E 在射线AD 上，⊙C 与⊙E 外切时，ED=6-x ，第25题图1NEC=286+=+-x x 在直角三角形AEC 中，222EC AE AC =+∴222)2(8+=+x x 解得：15=x ∴⊙E 的半径为9. -----------------------------------（2分） ②当点E 在线段AD 上，⊙C 与⊙E 外切时，ED=x -6， EC=x x -=+-1486 在直角三角形AEC 中，222EC AE AC =+ ∴222)14(8x x -=+ 解得：733=x ∴⊙E 的半径为79.---------------------------------（2分）③当点E 在射线DA 上，⊙C 与⊙E 内切时，ED=6+x ， EC=286-=-+x x 在直角三角形AEC 中，222EC AE AC =+∴222)2(8-=+x x 解得：15-=x （舍去）-------------------------------------------------（1分） ∴当⊙C 与⊙E 相切时，⊙E 的半径为9或79。

图12备用图上海市2024届初三二模数学试卷分类汇编——25题解答压轴题【2024届·宝山区·初三二模·第25题】1.（本题满分14分，第（1）①小题4分，第（1）②小题4分，第（2）小题6分）已知AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上不与A 、B 重合的点，将弧AC 沿直线AC 翻折，翻折所得的弧交直径AB 于点D ，E 是点D 关于直线AC 的对称点．（1）如图12，点D 恰好落在点O 处．①用尺规作图在图12中作出点E （保留作图痕迹），联结AE 、CE 、CD ，求证：四边形ADCE 是菱形；②联结BE ，与AC 、CD 分别交于点F 、G ，求FGBE的值；（2）如果10AB =，1OD =，求折痕AC 的长．备用图2【2024届·崇明区·初三二模·第25题】2.（本题满分14分，第（1）①小题4分，第（1）②小题5分，第（2）小题5分）如图，已知Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC =，3sin 5B =，点D 是射线BA 上一动点（不与A 、B 重合），过点D 作//DE AC ，交射线BC 于点E ，点Q 为DE 中点，联结AQ 并延长，交射线BC 于点P ．（1）如图1，当点D 在线段AB 上时．①若2AD =，求PC 的长；②当ADQ ∆与ABP ∆相似时，求AD 的长；（2）当ADQ ∆是以AD 为腰的等腰三角形时，试判断以点A 为圆心、AD 为半径的⊙A 与以点C 为圆心、CE 为半径的⊙C 的位置关系，并说明理由．第25题图1备用图1图10备用图【2024届·奉贤区·初三二模·第25题】3.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）如图10，已知半圆O 的直径为MN ，点A 在半径OM 上，B 为 MN 的中点，点C 在 BN 上，以AB 、BC为邻边作矩形ABCD ，边CD 交MN 于点E ．（1）如果6MN =，2AM =，求边BC 的长；（2）联结CN ，当CEN ∆是以CN 为腰的等腰三角形时，求BAN ∠的度数；（3）联结DO 并延长，交AB 于点P ，如果2BP AP =，求BCAB的值．【2024届·虹口区·初三二模·第25题】4.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）①小题5分，第（2）②小题5分）在梯形ABCD 中，//AD BC ，点E 在射线DA 上，点F 在射线AB 上，联结CE 、DF 相交于点P ，EPF ABC ∠=∠．（1）如图10①，如果AB CD =，点E 、F 分别在边AD 、AB 上．求证：AF DFDE CE=；（2）如图10②，如果AD CD ⊥，5AB =，10BC =，3cos 5ABC ∠=．在射线DA 的下方，以DE 为直径作半圆O ，半圆O 与CE 的另一个交点为点G ．设DF 与弧EG 的交点为Q ．①当6DE =时，求EG 和AF 的长；②当点Q 为弧EG 的中点时，求AF 的长．图10①图10②图10②备用图图10备用图【2024届·黄浦区·初三二模·第25题】5.（本题满分14分）已知：如图10，ABC ∆是圆O 的内接三角形，AB AC =，弧 AB 、AC 的中点分别为M 、N ，MN 与AB 、OA 、AC 分别交于点P 、T 、Q ．（1）求证：OA MN ⊥；（2）当ABC ∆是等边三角形时，求ATOT的值；（3）如果圆心O 到弦BC 、MN 的距离分别为7和15，求线段PQ 的长．图9图10备用图在菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒，点E 在射线AB 上，联结CE 、BD ．（1）如图9，当点E 是边AB 的中点，求ECD ∠的正切值；（2）如图10，当点E 在线段AB 的延长线上，联结DE 与边BC 交于点F ，如果6AD =，EFC ∆的面积等于33EF 的长；（3）当点E 在边AB 上，CE 与BD 交于点H ，联结DE 并延长DE 与CB 的延长线交于点G ，如果6AD =，BCH ∆与以点E 、G 、B 所组成的三角形相似，求AE 的长．第25题图1第25题图2如图，已知：等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，AB DC =，以A 为圆心，AB 为半径的圆与BC 相交于点E ，与CD 相交于点F ，联结AE 、AC 、BF ，设AE 、AC 分别与BF 相交于点G 、H ，其中H 是AC 的中点．（1）求证：四边形AECD 为平行四边形；（2）如图1，如果AE BF ⊥，求ABBC的值；（3）如图2，如果BG GH =，求ABC ∠的余弦值．=第25题图1第25题图2如图1，ABC ∆中，已知6AB =，9BC =，B ∠为锐角，1cos 3ABC ∠=．（1）求sin C 的值；（2）如图2，点P 在边AB 上，点Q 是边BC 的中点，⊙P 经过点A ，⊙P 与⊙Q 外切，且⊙Q 的直径不大于BC ，设⊙P 的半径为x ，⊙Q 的半径为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）在第（2）小题条件下，联结PQ ，如果BPQ ∆是等腰三角形，求AP 的长．第25题图1第25题图2备用图【2024届·闵行区·初三二模·第25题】9.（本题满分14分，第（1）①小题4分，第（1）②小题5分，第（2）小题5分）如图，OB 是⊙O 的半径，弦AB 垂直于弦BC ，点M 是弦BC 的中点，过点M 作OB 的平行线，交⊙O 于点E 和点F ．（1）如图1，当AB BC =时．①求ABO ∠的度数；②联结OE ，求证：30OEF ∠=︒；（2）如图2，联结OE ，当AB BC ≤时，tan OEF x ∠=，ABy BC=，求y 关于x 的函数关系式并直接写出定义域．第25题图1第25题图2第25题图3【2024届·浦东新区·初三二模·第25题】10.（本题满分14分，第（1）小题5分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）已知：⊙1O 和⊙2O 相交于A 、B 两点，线段12O O 的延长线交⊙2O 于点C ，CA 、CB 的延长线分别交⊙1O 于点D 、E ．（1）联结AB 、DE ，AB 、DE 分别与连心线12O O 相交于点H 、点G ．如图1，求证：//AB DE ；（2）如果125O O ．①如图2，当点G 与1O 重合，⊙1O 的半径为4时，求⊙2O 的半径；②联结2AO 、BD ，BD 与连心线12O O 相交于点F ，如图3，当2//BD AO ，且⊙2O 的半径为2时，求1O G 的长．11.（本题满分14分）如图9，在梯形ABCD 中，//AD BC （AD BC <），90A ∠=︒，6BC CD ==．将梯形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转，使点B 与点D 重合，此时点A 、D 的对应点分别是点E 、F ．（1）当点F 正好落在AD 的延长线上时，求BCD ∠的度数；（2）联结AE ，设AD x =，AE y =．①求y 关于x 的函数解析式；②定义：同中心同边数的两个正多边形称为双同正多边形．设BCF ∠是一个正多边形的中心角，联结BD ，请说明以线段BD 、AE 为边的正多边形是双同正多边形的理由．当这两个正多边形的面积比是4:5时，求双同正多边形的边数．图9第25题（1）图第25题（2）图12.（本题满分14分，第（1）①小题4分，第（1）②小题5分，第（2）小题5分）在ABC ∆中，2AB AC ==，以C 为圆心、CB 为半径的弧分别与射线BA 、射线CA 相交于点D 、E ，直线ED 与射线CB 相交于点F ．（1）如图，当点D 在线段AB 上时．①设ABC α∠=，求BDF ∠；（用含α的式子表示）②当1BF =时，求cos ABC ∠的值；（2）如图，当点D 在BA 的延长线上时，点M 、N 分别为BC 、DF 的中点，联结MN ，如果//MN CE ，求CB 的长．图9备用图13.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）如图9，已知矩形ABCD 中，1AB =，2BC =，点P 是边AD 上一动点，过点P 作PE AC ⊥，垂足为点E ，联结BE ，过点E 作EF BE ⊥，交边AD 于点F （点F 与点A 不重合）．（1）当F 是AP 的中点时，求证：BA BE =；（2）当AP 的长度取不同值时，在PEF ∆中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由；（3）延长PE 交边BC 于点G ，联结FG ，EFG ∆与AEF ∆能否相似？若能相似，求出此时AP 的长；若不能相似，请说明理由．第25题图14.（本题满分14分，第（1）①小题2分，第（1）②小题3分，第（2）①小题5分，第（2）②小题4分）如图，在扇形OAB 中，62OA OB ==90AOB ∠=︒，点C 、D 是弧AB 上的动点（点C 在点D 的上方，点C 不与点A 重合，点D 不与点B 重合），且45COD ∠=︒．（1）①请直接写出弧AC 、弧CD 和弧BD 之间的数量关系；②分别联结AC 、CD 和BD ，试比较AC BD +和CD 的大小关系，并证明你的结论；（2）联结AB 分别交OC 、OD 于点M 、N ．①当点C 在弧AB 上运动过程中，AN BM ⋅的值是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求AN BM ⋅的值；②当5MN =时，求圆心角DOB ∠的正切值．第25题图1备用图15.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题10分）已知以AB 为直径的半圆O 上有一点C ，CD OA ⊥，垂足为点D ，点E 是半径OC 上一点（不与点O 、C 重合），作EF OC ⊥交弧BC 于点F ，联结OF ．（1）如图1，当FE 的延长线经过点A 时，求CD AF的值；（2）如图2，作FG AB ⊥，垂足为点G ，联结EG ．①试判断EG 与CD 的大小关系，并证明你的结论；②当EFG ∆是等腰三角形，且4sin 5COD ∠=，求OE OD 的值．第25题图1备用图备用图16.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）①小题5分，第（2）②小题5分）已知在ABC ∆中，CA CB =，6AB =，3cos 5CAB ∠=，点O 为边AB 上一点，以点O 为圆心，OA 为半径作⊙O ，交边AC 于点D （点D 不与点A 、C 重合）．（1）当4AD =时，判断点B 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）过点C 作CE OD ⊥，交OD 延长线于点E ．以点E 为圆心，EC 为半径作⊙E ，延长CE ，交⊙E 于点'C ．①如图1，如果⊙O 与⊙E 的公共弦恰好经过线段EO 的中点，求CD 的长；②联结'AC 、OC ，如果'AC 与BOC ∆的一条边平行，求⊙E 的半径长．。

上海市宝山区、嘉定区2010学年第二学期初三数学二模试卷25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）如图11，已知⊙O 的半径长为1，PQ 是⊙O 的直径，点M 是PQ 延长线上一点，以点M 为圆心作圆，与⊙O 交于A 、B 两点，联结PA 并延长，交⊙M 于另外一点C .（1） 若AB 恰好是⊙O 的直径，设OM=x ，AC=y ，试在图12中画出符合要求的大致图形，并求y 关于x 的函数解析式；（2） 联结OA 、MA 、MC ，若OA ⊥MA ，且△OMA 与△PMC 相似，求OM 的长度和⊙M 的半径长；（3） 是否存在⊙M ，使得AB 、AC 恰好是一个正五边形的两条边？若存在，试求OM 的长度和⊙M 的半径长；若不存在，试说明理由.图12 Q POM备用图QPOA B 图11C Q P O M2010学年第二学期奉贤区调研测试2011. 0425．（本题满分14分，第（1）、（2）小题每小题满分5分，第（3）小题满分4分）已知，在边长为6的正方形ABCD 的两侧如图作正方形BEFG 、正方形DMNK ，恰好使得N 、A 、F 三点在一直线上，联结MF 交线段AD 于点P ，联结NP ，设正方形BEFG 的边长为x ，正方形DMNK 的边长为y ，（1）求y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围； （2）当△NPF 的面积为32时，求x 的值；（3）以P 为圆心，AP 为半径的圆能否与以G 为圆心，GF 为半径的圆相切，若能请求x 的值，若不能，请说明理由。

A B CD E FG M N K P 第25题图上海市虹口区2010学年第二学期初三数学二模试卷25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）如图，在Rt△ABC 中，∠BAC = 90°，AB =3，AC =4，AD 是BC 边上的高，点E 、F 分别是AB 边和AC 边上的动点，且∠EDF = 90°． （1）求DE ︰DF 的值；（2）联结EF ，设点B 与点E 间的距离为x ，△DEF 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；（3）设直线DF 与直线AB 相交于点G ，△EFG 能否成为等腰三角形？若能，请直接写出线段BE 的长；若不能，请说明理由.第25题图BCD EFA 备用图1BCD备用图2BCDAA上海市黄浦区2010学年第二学期初三数学二模试卷25.（本题14分）如图11，在△ABC 中，A C B ∠=︒90，2AC BC ==，M 是边A C的中点，C H B M ⊥于H .（1）试求sin M C H ∠的值； （2）求证：A B M C A H ∠=∠；（3）若D 是边AB 上的点，且使△AH D 为等腰三角形，请直接写出A D 的长为________.MABCD H （图11）上海市金山区2010学年第二学期初三数学二模试卷25．（本题满分14分）如图，正方形ABCD 的边长是4，M 是AD 的中点．动点E 在线段AB 上运动．连接EM 并延长交射线CD 于点F ，过M 作EF 的垂线交射线BC 于点G ，连接EG 、FG . （1）求证：GEF ∆是等腰三角形；（2）设x AE =时，EGF ∆的面积为y ．求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）在点E 运动过程中GEF ∆是否可以成为等边三角形？请说明理由.错误！未指定书签。

2019年上海各区初三二模数学试卷25题专题汇编（教师版）题型一、等腰三角形的分类讨论思路点拨：出现概率较高题型，重点。

解决此类问题主要通过两个方面解决：1.一方面从边方面入手，将此三角形的三边用x y 或的表达式表示，根据腰相等建立方程求出线段长度（优点：方法简单，易理解；缺点：计算量偏大，易出错）；2.另一方面从角方面入手，利用等腰产生的底角相等转化出其他的角度关系或边长关系进而建立方程求出线段的长度（优点：计算量偏小，易计算，缺点：此方法对于孩子的分析能力要求较高，适合一部分程度较好的学生）。

25(2019崇明)、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC=8，BC=12，cos C=53，点E 为AB 边上一点，且BE=2，点F 是BC 边上的一个动点（与点B 、点C 不重合），点G 在射线CD 上，且∠EFG=∠B ，设BF 的长为x ，CG 的长为y .（1）当点G 在线段DC 上时，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）当以点B 为圆心，BF 长为半径的⊙B 与以点C 为圆心，CG 长为半径的⊙C 相切时，求线段BF 的长；（3）当△CFG 为等腰三角形时，直接写出线段BF 的长.题型二、动点产生的相似综合 思路点拨：1.首先寻找题目中特殊的条件和不变的量，并找出由条件引发的一些相等角、相等线 段等特殊条件；（挖掘题目中的隐藏条件）2.然后注意分类讨论，先找到对应相等的角，再决定分类讨论情况：3.相似三角形的边如果能直接求出列等式最好，如果不能求出，注意转化相似（是否产生新的相似、等腰、平行四边形等更特殊的条件）.25(2019黄浦)．（本题满分14分）已知四边形ABCD 中，AD ⊙BC ，2ABC C ∠=∠，点E 是射线AD 上一点，点F 是射线DC 上一点，且满足BEF A ∠=∠.（1）如图8，当点E 在线段AD 上时，若AB=AD ，在线段AB 上截取AG=AE ，联结GE .求证：GE=DF ；（2）如图9，当点E 在线段AD 的延长线上时，若AB =3，AD =4，1cos 3A =，设AE x =，DF y =，求y 关于x 的函数关系式及其定义域；（3）记BE 与CD 交于点M ，在（2）的条件下，若⊙EMF 与⊙ABE 相似，求线段AE 的长.25.解：（1）∵AG AE =，∴1802AAGE ︒-∠∠=.∵AD ∥BC ，∴180A ABC ∠+∠=︒， ∵2ABC C ∠=∠，∴1802AC ︒-∠∠=，∴AGE C ∠=∠，---------------------------------（1分）∵AD ∥BC ，∴180D C ∠+∠=︒，又180BGE AGE ∠+∠=︒，∴BGE D ∠=∠.----------（1分） ∵BEF FED A GBE ∠+∠=∠+∠，∵BEF A ∠=∠，∴FED GBE ∠=∠ .--------------（1分） 又AB=AD ，AG=AE ，∴BG=ED ，∴GBE ∆≌DEF ∆，∴GE=DF . --------------------------（1分） （2）在射线AB 上截取AH=AE ，联结EH . ------------------------------------------------------------（1分）∵HBE A AEB ∠=∠+∠，DEF BEF AEB ∠=∠+∠，又BEF A ∠=∠，∴HBE DEF ∠=∠. ∵AD ∥BC ，∴EDC C ∠=∠，180A ABC ∠+∠=︒.∵AH=AE ，∴1802AH ︒-∠∠=， 又2ABC C ∠=∠，∴H C ∠=∠，∴H EDC ∠=∠，∴BHE ∆∽EDF ∆.-------------------（1分） ∴BH EH ED DF =.过点H 作HP ⊥AE ，垂足为点P .∵1cos 3A =，AE AH x ==， ∴13AP x =，223PH x =，23PE x =，∴233EH x =.-------------------------------------（1分） ∵AB =3，AD =4，AE x =，DF y =，∴23334xx x y -=-，∴()22383439x x y x x -=>-.（2分） （3）记EH 与BC 相交于点N .∵EMF ∆∽ABE ∆，BEF A ∠=∠，∴AEB EMF ∠=∠，或AEB EFM ∠=∠.-------------（1分） 若AEB EMF ∠=∠，又AEB EMF ∠<∠，矛盾，∴此情况不存在. -----------------------------（1分）若AEB EFM ∠=∠，∵BHE ∆∽EDF ∆，∴BEH EFM ∠=∠，∴AEB BEH ∠=∠.------（1分） ∵AD ∥BC ，∴AEB EBC ∠=∠，∴BEH EBC ∠=∠，∴3BN EN BH x ===-,D A BCEF 图9ABCE F G D图8∵AD ∥BC ，∴AB ENAH EH=，∴3x =，∴3x =.----------------------------------（2分） ∴线段AE的长为3.25(2019金山)、如图，在Rt △ABC 中，∠CC=90°，AC=16cm ，AB=20cm ，动点D 由点C 向点A 以每秒1cm 速度在边AC 上运动，动点E 由点C 向点B 以每秒34cm 速度在边BC 上运动，若点D 、点E 从点C 同时出发，运动t 秒（t > 0），联结DE. （1）求证：△DCE ∽△BCA ； （2）设经过点D 、C 、E 三点的圆为⊙P. ① 当⊙P 与边AB 相切时，求t 的值；② 在点D 、点E 运动过程中，若⊙P 与边AB 交于点F 、G （点F 在点G 左侧），联结CP 并延长CP 交边AB 于点M ，当△PFM 与△CDE 相似时，求t 的值.25（2019长宁）、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点P在边AC上（点P与点A不重合），以点P为圆心，PA为半径作⊙P交边AB于另一点D，ED⊥DP，交边BC于点E.（1）求证：BE=DE；（2）若BE=x，AD=y，求y关于x的函数关系式并写出定义域；（3）延长ED交CA延长线于点F，联结BP，若△BDP与△DAF相似，求线段AD的长.题型三、动点产生的面积问题思路点拨：首先考虑底乘以高。

黄浦2015二模25.（本题满分14分，第（1）小题满分3分，第（2）满分6分，（3）小题满分5分）如图8, Rt △ ABC 中， C 90 , A 30 , BC=2, CD 是斜边AB 上的高，点 E 为 边AC 上一点（点E 不与点A 、C 重合），联结DE ,作CF 丄DE , CF 与边AB 、线段DE 分别 交于点F 、G .（1） 求线段CD 、AD 的长；（2） 设CE X , DF y ,求y 关于X 的函数解析式，并写出它的定义域； （3） 联结EF ,当△ EFG 与厶CDG 相似时，求线段 CE 的长.黄浦2015二模 24.（本题满分12分，第（1）小题满分 如图7,在平面直角坐标系XOy 中， 12 的图像交于点P ,点B 、 X 反比例函数y 3分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分） 已知点A 的坐标为（a , 3）（其中a >4）,射线OA 与 12 C 分别在函数y 的图像上，且AB∕∕x 轴，AC∕∕y 轴. X (1) (2) 当占 -≡=1八、、联结 P 横坐标为6 ,求直线AO 的表达式; BO ,当AB BO 时，求点 A 坐标； 图8（备用奉贤2015二模24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题8 分）已知：在平面直角坐标系中，抛物线y ax2（1）求抛物线的表达式及顶点A的坐标；（2）点P为抛物线对称轴上一点，联结OA、OP.①当OA⊥ OP时，求OP的长；②过点P作OP的垂线交对称轴右侧的抛物线于点B ,联结OB ,当∠ OAP= ∠ OBP时，求点B的坐标.奉贤2015二模25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）已知：如图，线段AB=8,以A为圆心，5为半径作圆A,点C在Θ A上，过点C作CD//AB 交Θ A 于点D （点D在C右侧），联结BC、AD .（1）若CD= 6 ,求四边形ABCD的面积；（2）设CD=x, BC=V,求V与X的函数关系式及自变量X的取值范围；（3）设BC的中点为M , AD的中点为N,线段MN交Θ A于点E,联结CE,当CD取何值时，CE//AD .X的对称轴为直线x=2 ,顶点为A.V（第24题图）（第25题图）（备用普陀2015二模24.(本题满分12分)如图10,在平面直角坐标系Xoy中，二次函数的图像经过点 A 1,0 , B 4,0 ,C 0,2 .点D是点C关于原点的对称点，联结BD ,点E是X轴上的一个动点，设点E的坐标为(m,0),过点E作X轴的垂线I交抛物线于点P .(1)求这个二次函数的解析式；(2)当点E在线段OB上运动时，直线I交BD于点Q .当四边形CDQP是平行四边形时，求m的值；(3)是否存在点P,使△ BDP是不以BD为斜边的直角三角形，如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.图10 图10备用图普陀2015二模25.(本题满分14分)如图11-1 ,已知梯形ABCD 中，AD // BC , D 90°, BC 5 , CD 3 , CotB 1. P是边BC上的一个动点(不与点B、点C重合),过点P作射线PE ,使射线PE交射线BA 于点E BPE CPD .(1)如图11-2,当点E与点A重合时，求DPC的正切值；(2)当点E落在线段AB上时，设BP X , BE y ,试求y与X之间的函数解析式, 并写出X的取值范围；(3)设以BE长为半径的Θ B和以AD为直径的Θ O相切，求BP的长.图11-1A(E)图11-2图11备用图杨浦2015二模24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分，）已知：在直角坐标系中，直线y=x+1与X轴交与点A ,与y轴交与点B ,抛物线1 2y （X m） n的顶点D在直线AB上，与y轴的交点为CO（1）若点C （非顶点）与点B重合，求抛物线的表达式；（2）若抛物线的对称轴在y轴的右侧，且CD丄AB ,求∠ CAD的正切值；（3）在第（2）的条件下，在∠ ACD的内部作射线CP交抛物线的对称轴于点P,使得∠ DCP= ∠ CAD ,求点P的坐标。

【2020二模汇编】25题【1闵行区】25. 如图，已知圆O 是正六边形ABCDEF 外接圆，直径8BE =，点G 、H 分别在射线CD 、EF 上（点G 不与点C 、D 重合），且60GBH ∠=︒，设CG x =，EH y =.（1）如图1，当直线BG 经过弧CD 的中点Q 时，求CBG ∠的度数；（2）如图2，当点G 在边CD 上时，试写出y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）联结AH 、EG ，如果△AFH 与△DEG 相似，求CG 的长.【参考答案】25.（1）15CBG ∠=︒；（2）84x y x =+（04x <<）；（3）12CG =.【2宝山区】25. 如图，已知在直角△ABC 中，90ABC ∠=︒，点M 在边BC 上，且12AB =，4BM =，如果将△ABM 沿AM 所在的直线翻折，点B 恰好落在边AC 上的点D 处，点O 为AC 边上的一个动点，联结OB ，以O 圆心，OB 为半径作O e ，交线段AB 于点B 和点E ，作BOF BAC ∠=∠交O e 于点F ，OF 交线段AB 于点G .（1）求点D 到点B 和直线AB 的距离；（2）如果点F 平分劣弧BE ，求此时线段AE 的长度；（3）如果△AOE 为等腰三角形，以A 为圆心的A e 与此时的O e 相切，求A e 的半径.【参考答案】25.（1）12105DB =，点D 到直线AB 的距离为365；（2）8425AE =；（3）20或6013.【3崇明区】25. 如图，已知正方形ABCD 中，4BC =，AC 、BD 相交于点O ，过点A 作射线AM ⊥AC ，点E 是射线AM 上一动点，联结OE 交AB 边于点F ，以OE 为一边，作正方形OEGH ，且点A 在正方形OEGH 的内部，联结DH .（1）求证：△HDO ≌△EAO ；（2）设BF x =，正方形OEGH 的边长为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（3）联结AG ，当△AEG 是等腰三角形时，求BF 的长.【参考答案】25.（1）证明略；（2）y x =（04x <<）；（3）2或43.【4金山区】25. 如图，在△ABC 中，90C ∠=︒，6AC =，8BC =，P 是线段BC 上任意一点，以点P 为圆心PB 为半径的圆与线段AB 相交于点Q （点Q 与点A 、B 不重合），CPQ ∠的角平分线与AC 相交于点D .（1）如果DQ PB =，求证：四边形BQDP 是平行四边形；（2）设PB x =，△DPQ 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）如果△ADQ 是以DQ 为腰的等腰三角形，求PB 的长.【参考答案】25.（1）证明略；（2）23253(0)84y x x x =-+<<；（3）4或40089.【5长宁区】25. 已知AB 是O e 的一条弦，点C 在O e 上，联结CO 并延长，交弦AB 于点D ，且CD CB =.（1）如图1，如果BO 平分ABC ∠，求证：弧AB =弧BC ；（2）如图2，如果AO OB ⊥，求:AD DB 的值；（3）延长线段AO 交弦BC 于点E ，如果△EOB 是等腰三角形，且O e 的半径长等于2，求弦BC 的长.【参考答案】25.（1）证明略；（2）:3AD DB =；（3）1BC =或【6浦东区】25. 已知，如图，在菱形ABCD 中，2AC =，60B ∠=︒，点E 为BC 边上的一个动点（与点B 、C 不重合），60EAF ∠=︒，AF 与边CD 相交于点F ，联结EF 交对角线AC 于点G ，设CE x =，EG y =.（1）求证：△AEF 是等边三角形；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；（3）点O 是线段AC 的中点，联结EO ，当EG EO =时，求x 的值.【参考答案】25.（1）证明略；（2）224(02)x x x y x -+=<<；（3）2x =.【7徐汇区】25. 如图，在梯形ABCD Y 中，AD ∥BC ，5AB CD AD ===，4cos 5B =，点O 是边BC 上的动点，以OB 为半径的O e 与射线BA 和边BC 分别交于点E 和点M ，联结AM ，作CMN BAM ∠=∠，射线MN 与边AD 、射线CD 分别交于点F 、N .（1）当点为E 边AB 的中点时，求DF 的长；（2）分别联结AN 、MD ，当AN ∥MD 时，求MN 的长；（3）将O e 绕着点M 旋转180°得到O 'e ，如果以点N 为圆心的N e 与O e 和O 'e 都内切，求O e 的半径长.【参考答案】25.（1）158DF =；（2）5MN =；（3）258.【8嘉定区】25. 如图，在△ABC 中，90C ∠=︒，5AB cm =，4cos 5B =，动点D 从点A 出发沿着射线AC 的方向以每秒1cm 的速度移动，动点E 从点B 出发沿着射线BA 的方向以每秒2cm 的速度移动，已知点D 和点E 同时出发，设它们运动的时间为t 秒，联结BD .（1）当AD AB =时，求tan ABD ∠的值；（2）以A 为圆心、AD 为半径画A e ，以点B 为圆心、BE 为半径画B e ，讨论A e 与B e 的位置关系，并写出相对应的t 的值；（3）当△BDE 为直角三角形时，直接写出tan CBD ∠的值.【参考答案】25.（1）tan 2ABD ∠=；（2）当53t =时；外切；当503t ≤<时，外离；当5t =时，内切；当553t <<时，相交；当5t >时，内含；（3）当90DEB ∠=︒时，2513t =，7tan 26CBD ∠=；当90EBD ∠=︒时，①E 在线段AB 上时，2511t =，2tan 11CBD ∠=；②E 在BA 延长线上时，5t =，1tan 2CBD ∠=；当90DBE ∠=︒时，253t =，4tan 3CBD ∠=.【9静安区】25. 在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，15AC =，4sin 5BAC ∠=，点D 在边AB 上（不与点A 、重B 合），以AD 为半径的A e 与射线AC 相交于点E ，射线DE 与射线BC 相交于点F ，射线AF 与A e 交于点G .（1）如图，设AD x =，用x 的代数式表示DE 的长；（2）如果点E 是弧DG 的中点，求DFA ∠的余切值；（3）如果△AFD 为直角三角形，求DE 的长.【参考答案】25.（1）25DE x =；（2）11cot 2DFA ∠=；（3）1554DE =或1552.【10青浦区】25. 如图，已知AB 时半圆O 的直径，6AB =，点C 在半圆O 上，过点A 作AD OC ⊥ ，垂足为点D ，AD 的延长线与弦BC 交于点E ，与半圆O 交于大F （点F 与点B 不重合）.（1）当点F 为BC 的中点时，求弦BC 的长；（2）设OD x =，DE y AE =，求y 关于x 的函数关系式； （3）当△AOD 与△CDE 相似时，求线段OD 的长.【参考答案】25.（1）33；（2）36x y -=；（3）32. 【11奉贤区】25. 如图，已知半圆⊙O 的直径10AB =，弦CD ∥AB ，且8CD =，E 为弧CD 的中点，点P 在弦CD 上，联结PE ，过点E 作PE 的垂线交弦CD 于点G ，交射线OB 于点F .（1）当点F 与点B 重合时，求CP 的长；（2）设CP x =，OF y =，求y 与x 的函数关系式及定义域；（3）如果GP GF =，求△EPF 的面积.【参考答案】25.（1）2CP CH PH =-=；（2）104y x =-(03)x ≤<；（3）11322EPF S PE EF ∆=⋅⋅=⨯⨯=.【12松江区】25. 如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＜BC ，AB = BC = 1，E 是边AB 上一点，联结CE .（1）如图，如果CE = CD ，求证：AD = AE ；（2）联结DE ，如果存在点E ，使得△ADE 、△BCE 和△CDE 两两相似，求AD 的长；（3）设点E 关于直线CD 的对称点为M ，点D 关于直线CE 的对称点为N ，如果AD =23，且M 在直线AD 上时，求DNEM 的值.【参考答案】25.（1）证明略；（2）14；（3. 【13黄浦区】25. 在边长为2的菱形ABCD中，E是边AD的中点，点F、G、H分别在边AB、BC、CD上，且FG EF⊥，EH EF⊥.（1）如图1，当点F是边AB中点时，求证：四边形EFGH是矩形；（2）如图2，当12BGGC=时，求FGEH的值；（3）当5cos13D∠=，且四边形EFGH是矩形时（点F不与AB中点重合），求AF的长.【参考答案】25.（1）证明略；（2）23FGEH=；（3）313AF=.【14虹口区】25. 如图1，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90ABC ︒∠=，3cos 5C =，5DC =，6BC =，以点B 为圆心，BD 为半径作圆弧，分别交边CD 、BC 于点E 、F .（1）求sin BDC ∠的值； （2）联结BE ，设点G 为射线DB 上一动点，如果ADG BEC V :V ，求DG 的长；（3）如图2，点P 、Q 分别为点AD 、BC 上动点，将扇形DBF 沿着直线PQ 折叠，折叠后的弧D F ''经过点B 与AB 上一点H （点D 、F 分别为对应点D '，F '），设BH x =，BQ y =，求y 关于x 的函数关系式（不需要写定义域）【参考答案】25.（1）24sin 25BDC ∠=；（2）1110DG =；（3）y =。