关于矩阵Schur补的若干矩阵不等式

关于矩阵Schur补的若干矩阵不等式【摘要】本文的目的是利用矩阵Schur补的性质，建立若干关于正定矩阵Hadamard乘积，Kronecker乘积，Khatri-Rao乘积和普通加法的矩阵不等式，这些不等式包含或推广了相应的结果，其中Schur补和分块矩阵作为主要的工具被使用。

【关键词】矩阵Schur补;矩阵特殊乘积;矩阵不等式1.引言1917年，美国数学家I.Schur提出了著名的Schur补[1]。

从此，Schur补作为一种强有力的工具，它被广泛应用于矩阵理论、统计学、应用数学等领域;同时Schur补在导出矩阵不等式、行列式、迹、范数、特征值、奇异值的不等式和控制不等式的过程中也扮演着非常重要的角色[2]。

国内外许多学者都致力于矩阵Schur补的研究工作，Haynsworth利用Schur补，得到了著名的Haynsworth 不等式和Schur补的商公式;Wang和Zhang导出了正定矩阵关于Hadamard乘积和Schur补的若干矩阵不等式;Zhang也利用Schur补研究了半正定矩阵若干矩阵不等式和矩阵等式。

另一方面，无论在理论研究中还是在应用研究中，矩阵理论都处于一个核心的位置。

而关于矩阵特殊乘积的不等式一直也是矩阵理论研究中的一个重要研究方向，在矩阵理论、统计、经济、动力系统等领域的研究中，矩阵的Hadamard乘积、Kronecker乘积和Khatri-Rao乘积都扮演着一个重要的角色[3]。

此外，分块矩阵作为一种非常有用的工具，在许多矩阵问题中都扮演着非常重要的作用，尤其是2×2的分块矩阵。

在导出矩阵不等式的过程中，2×2的分块矩阵作为一种重要的工具，被国内外许多学者所应用[4]。

基于矩阵Schur 补和分块矩阵在矩阵理论研究中的重要作用，本文主要是利用矩阵Schur补的性质和分块矩阵的特性来导出若干的关于矩阵Hadamard乘积、Kronecker乘积、Khatri-Rao乘积和矩阵普通加法的矩阵不等式，本文的主要结果推广了关于Schur 补和特殊乘积的矩阵不等式。

矩阵的秩的相关不等式的归纳小结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII矩阵的秩的相关不等式的归纳小结林松（莆田学院数学系，福建，莆田）摘要：利用分块矩阵，证明一些矩阵的秩的相关不等式，观察矩阵在运算后秩的变化，归纳出常见的有关矩阵的秩的不等式，由此引出等式成立的条件。

关键词：矩阵的秩，矩阵的初等变换引言：矩阵的秩是指矩阵中行（或列）向量组的秩，与之等价的说法通常是指矩阵中不为零的子式的最高阶数，是矩阵最重要的数字特征之一。

利用分块矩阵，把子式看成元素，可将高阶矩阵的运算化为较低阶矩阵的运算，也为矩阵的秩的一些常见不等式的证明带来了方便。

本文将讨论矩阵的秩的一些常见不等式，并由此引出一些秩的不等式等号成立的等价条件。

一基本的定理1 设A是数域P上n m⨯矩阵，于是⨯矩阵，B是数域上m s秩（AB）≤min [秩（A），秩（B）]，即乘积的秩不超过个因子的秩2设A与B是m n⨯矩阵，秩（A±B）≤秩（A）+秩（B）二常见的秩的不等式1 设A与B为n阶方阵，证明若AB = 0，则 r(A) + r(B) ≤ n证：设r(A) = r,r(B )= s,则由AB = 0，知，B的每一列向量都是以A为系数方阵的齐次线性方程组的解向量。

当r = n时，由于该齐次方程组只要零解，故此时 B = 0，即此时r(A) = n，r(B) = 0,结论成立。

当r〈 n 时，该齐次线性方程组的基础解系中含n-r个向量，从而B 的列向量组的秩≤n-r,即r （B ）≤ n-r 所以 r(A) + r(B) ≤ n2设A 为m n ⨯矩阵，B 为n s ⨯矩阵，证明不等式r(AB)≤r(A)+r(B)-n证：设E 为n 阶单位矩阵， S E 为S 阶单位方阵，则由于000S EB A AB A E E E B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭而 0S EB E ⎛⎫ ⎪-⎝⎭可逆，故r(A)+r(B) ≥ 秩 0A E B ⎛⎫⎪⎝⎭ =秩 0A AB E ⎛⎫ ⎪⎝⎭=秩 00AB E ⎛⎫⎪⎝⎭=r(AB)+r(E) =r(AB)+n 从而r(AB) ≥ r(A) + r(B) - n3设A ，B 都是n 阶方阵，E 是n 阶单位方阵，证明 秩（AB-E ）≤秩（A-E ）+秩（B-E ）证：因为0A E B E B E --⎛⎫⎪-⎝⎭00B E ⎛⎫ ⎪⎝⎭00AB E B E -⎛⎫= ⎪-⎝⎭故秩（AB-E ）≤秩00AB E B E -⎛⎫ ⎪-⎝⎭≤秩0A E B E B E --⎛⎫⎪-⎝⎭=秩（A-E ）+秩（B-E ） 因此 秩（AB-E ）≤秩（A-E ）+秩（B-E ）4 设A ，B ，C 依次为,,m n n s s t ⨯⨯⨯的矩阵，证明r(ABC) ≥ r(AB) + r(BC) - r(B)证：设 ,s t E E 分别为，s,t 阶单位矩阵，则由于0AB ABC B ⎛⎫⎪⎝⎭0st E C E ⎛⎫ ⎪-⎝⎭=0AB B BC ⎛⎫ ⎪⎝⎭且0s t E C E ⎛⎫⎪-⎝⎭是可逆矩阵，故 r(AB) + r(BC)≤秩0AB B BC ⎛⎫ ⎪⎝⎭=秩0ABABC B ⎛⎫⎪⎝⎭=秩00ABC B ⎛⎫⎪⎝⎭= r(ABC) + r(B) 从而r(ABC) ≥r(AB) + r(BC) - r(B)5 设A ，B 都是n 阶矩阵，证明；r( A B + A + B ) ≤ r( A ) + r ( B ) 证明：r( AB + A + B)=r( A (B+E) + B) 利用基本定理二≤r( A (B + E)) + r(B) 利用基本定理一 ≤r( A ) + r( B )6 设A ，C 均为m n ⨯矩阵，B ，D 均为n s ⨯矩阵，证明 r （ A B – C D ）≤ r （ A-C ） + r （ B - D ）证明：根据分块矩阵的乘法可知000mn E C A C E B D -⎛⎫⎛⎫⎪⎪-⎝⎭⎝⎭0n s E B E ⎛⎫ ⎪⎝⎭=0A C AB CD B D --⎛⎫⎪-⎝⎭由此易知r （A-C ）+r （B-D ）=r 0A CAB CD B D --⎛⎫⎪-⎝⎭≥r(AB-CD)从而得r （AB-CD ） ≤ r （A-C ） + r （B-D ）三 不等式等号成立的探讨1 设A ，B 分别为m n ⨯和n m ⨯矩阵，则()()()r AB =r A +r B -n 的充分条件为：A 0A 0r =r EB 0B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦证明：由E -A A 0E -B 0-AB E -B 0-AB ==0E E B 0E E B 0E E 0⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦得：A 00-AB r =r E B E0⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ()()()0-AB A 0r =r AB +n r =r A +r B E 0E B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦又， ∴()()()r AB =r A +r B -n2 设A ，B 分别为m n ⨯和n m ⨯矩阵，则()()()r AB =r A +r B -n 的充分必要条件为存在矩阵X 、Y ，使得nXA +BY =E证明：根据题三 1，只需要证明nXA +BY =E A 0A 0r =r X Y E B 0B ⎡⎤⎡⎤⇔⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦存在、，使得m n n n nm m n E 0A 0E 0E 0A 0=-X E E B -Y E -Y E -AX B A 0E -XA -BY B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⇐⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦由当 n XA +BY =E 时，A 0A 0r =r E B 0B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴()()()r AB =r A +r B -n12200,0000rSEE AQ P BQ ⎛⎫⎛⎫⇒== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1设 P 1122000000P Q A P Q B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则 11220000P A Q P B Q ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭112200P AQ P BQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭000000000000r SE E ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（1）112200000P Q A P Q E B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11222000P A Q P P B Q ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 1121220P AQ P Q P BQ ⎛⎫=⎪⎝⎭12340000000000r S E C C E C C ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭（2） 对式（2）右端的方阵作行初等变换，可消去1C ，2C ，3C ，由于式（1），式（2）右端方阵秩相等，故在消去1C ，2C ，3C 时也消去了4C ，对式（2）右端分块记为120FC F ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 其中1F =00rE C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 2F =00SE C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， C=1234C C C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 于是上述消去1C 的行变换相当于 1000C -⎛⎫ ⎪⎝⎭000rE ⎛⎫⎪⎝⎭+1234C C C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭=2340C C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭消去其余234,,C C C 有类似的结果，这样初等变换就相当于存在矩阵S ，T ，使S 1F =T 2F +C =0，即1122210SP AQ P BQ T P Q ++= 从而有 令得 n XA BY E +=3 设 A ，B ，分别为 ,,m n n l l m ⨯⨯⨯矩阵，而B 的一个满秩分解是B=HL ，即H 是列满秩矩阵，L 是行满秩矩阵，则r(ABC)=r(AB)+r(BC)-r(B)的充要条件是存在矩阵X ，Y使得r XAH LCY E +=证明：设r （B ）=r ，因为B=HL 是满秩分解 所以 有r(AB) = r(AHL) = r(AH) r(BC) = r(HLC) = r(LC) 则r(ABC) = r(AB) + r(BC) - r(B)⇔ r(AHLC) = r(AH) + r(LC) - r 又由上题 得r(AHLC) = r(AH) + r(LC) - r⇔矩阵X,Y 使得 r XAH LCY E += 所以 3得证4 设A 为n 阶矩阵，证明如果 2A = E ，那么r （ A + E ） + r （ A – E ）= n证明： ( A + E )( A – E ) =2A + A – A – E = E – E = 0 ∴r （ A + E ）+ r （ A – E ）≤ nr( A + E ) + r( A – E ) ≥ r( A + E + A - E) = r(2A) = r(A)2A = E∴2A = E，即A≠0∴ r（A）= nr( A + E) + r( A - E) ≥n故 r（ A + E ）+ r( A - E) = n5 设A为n阶矩阵，且2A = A，证明 r（A）+ r（A-E）= n证明：由2A = A，可得 A（ A – E ）= 0由题一 1知，r（ A ） + r（ A - E）≤ n又因为 E-A和A-E 有相同的秩n = r( E ) = r( A + E – A ) ≤ r ( A ) + r ( E – A ) 从而 r( A ) + r( A – E ) = n6 设A是阶矩阵，则3A = A的充分必要条件是r（A）= r（A-2A）+ r（A+2A）证明：必要性一方面，由3A = A⇔（E-A）A（E+A）=0 由题二 4知0 ≥ r[（E-A）A] + r[ A (E+A)] - r(A)即r（A）≥ r（A-2A）+r（A+2A）另一方面，由r（A-2A）+r（A+2A）≥r[（A-2A）+（A+2A）] = r（2A）= r（A）所以 r（A）= r（A-2A）+ r（A+2A）充分性若r（A）= r（A-2A）+r（A+2A）设r(A) = r,A的满秩分解是A = HL，则存在 X，Y使（2X ）H =r E ，L （2Y ）= r E 成立则 X （E-A ）H +L （E-A ）Y=（XH + LY ）-（XHLH - LHLY ）=r E -0 = r E由题三3得 r[（E-A ）A(E+A)]=r[(E-A) A] + r[A (E+A)]- r(A) = 0即得（E-A ）A （E+A ）=0 从而得 3A = A参考文献：[1] 张禾瑞 .高等代数（第二版）[M].高等教育出版社 [2] 杨子胥.高等代数习题解[M].山东科技出版社 [3] 李师正.高等代数解题方法与技巧[M].高等教育出版社。

关于矩阵Khatri-Rao乘积的若干矩阵不等式曾诚;何淦瞳【摘要】矩阵Khatri-Rao乘积作为一种特殊的矩阵乘积,被广泛地应用于控制理论、多元统计和动力学模型等领域的研究中.本文建立了一系列关于矩阵Khatri-Rao乘积的矩阵不等式,这些不等式包含或推广了相应的研究成果,在理论推导的过程中,采用的研究工具是矩阵Schur补和分块矩阵的性质.%It has been evident that the Khatri-Rao product has been widely used in the research of statistics,economic and dynamical systems as a special product form.The purpose of this paper is to present a family of matrix inequalities involving the Khatri-Rao product.Our theorems contain or extend some existing results.Schur complement and block matrices are a powerful tool.【期刊名称】《新疆大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(034)004【总页数】7页(P379-385)【关键词】Schur补;分块矩阵;Khatri-Rao乘积;矩阵不等式;Moore-penrose逆【作者】曾诚;何淦瞳【作者单位】贵州理工学院理学院,贵州贵阳550003;贵州大学数学与统计学院,贵州贵阳550025【正文语种】中文【中图分类】O151.210 引言在控制理论、多元统计和动力学模型等领域的研究中,矩阵的Hadamard乘积和Kronecker乘积扮演着重要的角色[1−7].当矩阵A,B是相同阶数的矩阵时,则A,B 间的Hadamard乘积A◦B是相应的Kronecker乘积A⊗B的主子阵[8−11].矩阵的Kronecker乘积最初起源于群论,物理上用来研究粒子理论,现在它常用来求解矩阵方程、分析灵敏度、以及线性方程组.通常情况下,可利用Vec算子来把矩阵方程AXB=C等价转化为¡BT⊗A¢V ecX=V ecC的形式,进而通过开展矩阵计算来求解矩阵方程.然而,对于含有分块为矩阵子块的未知矩阵X,却无法展开相应的矩阵计算,其原因在于该矩阵算子扰乱了系统的内部结构.因此,开展对矩阵块状Kronecker乘积的科学讨论是一个极其有价值的研究课题.关于矩阵块状Kronecker乘积主要有两种:即矩阵的Khatri-Rao乘积A∗B和矩阵Tracy-Singh乘积A∞B.Khatri和Rao[12]提出一类矩阵的块状Kronecker乘积,这类乘积本质上是矩阵Hadamard乘积和Kronecker乘积的推广,因而被称为矩阵的Khatri-Rao乘积;而Tracy-Singh乘积则是由Tracy和Singh[13]联合提出的.在文献[14]中,Wei和Zhang明确验证了矩阵的Kronecker乘积与矩阵的Tracy－Singh乘积之间可进行等价置换.而Rao等[15−17]则建立了关于Khatri-Rao乘积的一些矩阵等式.进一步,Horn和Mathias[18]把Hadamard乘积的Schur定理推广到Khatri-Rao乘积中,得到的结果是关于Khatri-Rao乘积的一些特征值不等式,奇异值不等式以及控制不等式.与此同时,Liu[19,20]对Khatri-Rao乘积和Tracy-Singh乘积建立了相应的渐近表达形式,描述了这两类特殊矩阵乘积之间的联系,并给出了关于这两类矩阵特殊乘积的若干矩阵不等式,同时可应用在多元统计分析中. 建立矩阵Khatri-Rao乘积的不等式,既可以作为矩阵Hadamard乘积的推广,同时也是为建立关于块状Kronecker乘积矩阵不等式的需要.尽管Khatri-Rao乘积可以看作是矩阵Hadamard乘积的推广,但与Hadamard乘积却有着本质的不同,其原因在于Khatri-Rao乘积具有不可交换性等特点,并且以块作为运算对象,导致乘积后的矩阵阶数迅速变大,同时其阶数仅仅依赖于矩阵的分块方式.另一方面,Hadamard乘积要求参与运算的矩阵必须具有相同的阶数,而Khatri-Rao乘积则体现了任意阶矩阵的任意分块方式,即只要求参与运算的矩阵在分块后的行块数和列块数分别保持相同即可,而对于矩阵的阶数,则可以不一致.因此,Khatri-Rao乘积不能看成Hadamard乘积的简单推广.文章首先将两个矩阵Khatri-Rao乘积和矩阵Tracy-Singh乘积之间的联系推广到有限个矩阵的情形,然后建立了一系列关于矩阵Khatri-Rao乘积的矩阵不等式.1 预备知识本文用Cn×m表示n×m阶复矩阵集;设A∈Cn×m,则A∗表示矩阵A的共轭转置,当A为方阵且可逆时,A−1¡A+¢表示矩阵A的逆（广义逆）;A>(≥)表示Hermite （半）正定矩阵;A>B表示A−B>0;In表示n阶单位矩阵.定义1[19]设n,m,p,q,ni,mj,pi,qj,(i=1···r,j=1···s)均为正整数,且满足再设分块矩阵A=(Aij)∈ Cn×m,B=(Bij)∈Cp×q,其中存在子矩阵Aij∈ Cni×mj,Bij∈Cpi×qj,定义矩阵的Khati-Rao乘积其中显然,若r=s=1时,则矩阵的Khati-Rao乘积就是矩阵的Kronecker乘积;若n=p,m=q,n1=···=nr=m1=···=ms=1,则矩阵的Khati-Rao乘积就是经典的Hadamard乘积.定义2[19]设Aij∈Cni×mj,BKl∈Cpi×qj分别为分块矩阵A∈Cn×m,B ∈Cp×q的位于(i,j),(k,l)处的子矩阵。

第28卷第1期2021年3月辽东学院学报(自然科学版)Journal of Eastern Liaoning University(Natural Science Edition)Vol.28No.1Mar.2021［基础科学与应用】DOI：10.14168/j.issn.1673-4939.2021.01.12关于矩阵秩的几个重要不等式黄述亮①(滁州学院数学与金融学院，安徽滁州239001)摘要：针对学生学习矩阵秩的不等式比较困难的问题，综合运用演绎、分析与综合、化归的数学论证方法对秩的估计、秩的降阶及互素多项式等方面的重要不等式进行研究，并举例说明这些不等式在分块矩阵、线性方程组及判断线面位置关系等问题中的应用，这将有助于学生更好地掌握矩阵的基本理论，提高学生的抽象思维能力和逻辑思维能力。

关键词：矩阵的秩；初等变换；齐次线性方程组中图分类号：0153.3文献标志码：A文章编号：1673-4939(2021)01-0061-05众所周知，在线性代数(或高等代数)课程中最主要的内容就是矩阵及其相关运算。

在学习矩阵的过程中会遇到的一个非常重要的概念——矩阵的秩。

在一般的教科书和文献中，习惯上用数学符号rank(A)来表示一个矩阵的秩，其定义是矩阵A 中的某个非零子式的最高阶数。

考虑到向量组、向量空间等概念，对矩阵分别进行行分块和列分块，且设A=(兔心，…,a”)=(肉,0；,…屈)，则下列几个论断等价：(l)rank(A)=r；(2)rank(兔，他，…，a”)=r；(3)rank(0；,0：,…屈)=r；(4)dim®?如aj,a2,•••,a n|；(5)dimSpan W 嵐,…,0：}=r；(6)矩阵4的阶梯形矩阵中非零行(列)的行(列)数为r o矩阵的秩在很多领域中具有重要的理论意义和实际应用价值，比如在通信复杂性领域中，函数的通信矩阵的秩可以给出计算函数所需的通信量的界限。

此外，利用矩阵的秩可以定义数学中的等价关系，因此一个数域F上的全体"阶矩阵M”(F)可以被划分成n+1个子集(即等价类)的不交并M(F) =U U…U T”,其中7；={A e M”(F)I rank(4) =i}o换言之，矩阵的秩可以实现对全体矩阵的分类，这对进一步研究矩阵有着重要的意义。

（1） 设B A ,为n 阶正定矩阵，则成立()0tr AB >。

证明 因为B A ,为n 阶正定矩阵，所以存在可逆矩阵T 使得，A TT '=，1()AB T T BT T -'=，显然T BT '是n 阶正定矩阵，它的特征值全为正的，由矩阵的特征值和迹在相似变换下保持不变，于是1()(())()tr AB tr T T BT T tr T BT -''==。

（2） 设B A ,为n 阶半正定矩阵，则成立()0tr AB ≥。

证明 对任意0ε>，有,I A I B εε++为n 阶正定矩阵，(()())0tr I A I B εε++>令0ε+→，由连续性,可知, ()0tr AB ≥。

定理 (Cauchy-Schwarz 不等式)设g f ,在],[b a 上可积，则有212212))(())((|)()(|dx x g dx x f dx x g x f bababa⎰⎰⎰≤。

证明 证法一 对区间],[b a 的任意分割∆：b x x x x a n n =<<<<=-110 ， 任取 ],[1i i i x x -∈ξ，，n i ,,2,1 =，记1--=∆i i i x x x ，i ni x ∆=∆≤≤1max )(λ；由于成立 |)()(|1i i i ni x g f ∆∑=ξξ 21212121)|)(|()|)(|(i i ni i ini x g x f ∆∆≤∑∑==ξξ，在上式中，令0)(→∆λ取极限，则得到212212))(())((|)()(|dx x g dx x f dx x g x f bababa⎰⎰⎰≤ ；证法二 考虑二次函数dx x g x f ba2)]()([)(λλϕ+=⎰0)()()(2)(222≥++=⎰⎰⎰dx x g dx x g x f dx x f bab ab aλλ，),(+∞-∞∈∀λ；如果0)(2>⎰dx x gba，在上式中取dxx g dxx g x f b aba⎰⎰-=)()()(2λ，得到0))()(()(1)(222≥-⎰⎰⎰dx x g x f dxx g dx x f bababa，从而dx x g dx x f dx x g x f bab ab a)()())()((222⎰⎰⎰≤，于是成立212212))(())((|)()(|dx x g dx x f dx x g x f b ab ab a⎰⎰⎰≤；如果0)(2=⎰dx x g ba，则对),(+∞-∞∈∀λ，成立0)()(2)(2≥+⎰⎰dx x g x f dx x f babaλ ，必有0)()(=⎰dx x g x f b a，此时自然成立，212212))(())((|)()(|dx x g dx x f dx x g x f b ab ab a⎰⎰⎰≤。

有关矩阵的秩不等式
矩阵的秩不等式是指对于任意的m×n矩阵A，有以下秩不等式成立：
rank(A)+rank(B)-n≤rank(AB)≤min(rank(A),rank(B))
其中，B是一个n×p矩阵。

这个不等式表达了矩阵乘法的秩性质。

左边的不等式是由Sylvester不等式得到的，它说明两个矩阵相乘的结果的秩不会超过两个矩阵的秩之和减去第二个矩阵的列数。

右边的不等式则说明两个矩阵相乘的结果的秩不会超过两个矩阵的秩的最小值。

这些不等式反映了矩阵乘法中秩的行为，可以用于推导和分析矩阵的性质和关系。