矩阵不等式的扩充与某些性质

关于矩阵范数的几个不等式
舍克范数是一种用于度量矩阵的度量，它是一种比较矩阵的规模的一种方法，被广泛地用于数学和工程应用。

一种有用的性质是，它反映了矩阵中元素的总模数。

矩阵范数还经常用于解决数值计算问题，比如解决线性方程组，最小二乘估计等。

它也被用于图像处理，比如对图像进行锐化和缩放。

关于矩阵范数的几个不等式
1.列范数达到最大值
一个m×n矩阵A的舍克范数达到最大值，当它的每个元素都被最大可能的数值代替时，即Aij=|Aij|.
2.列范数的凸性
如果A和B是m×n矩阵，并且α是一个实数，α>0,
那么有：
|A+B| <= |A|+|B| .
3.列范数的依赖性
如果A是m×n矩阵，那么有：
|A| = |UAV|，
其中U是m×m矩阵，V是n×n矩阵，A = UAV是A的奇异值分解
4.等性
如果A和B是m×n矩阵，那么有：
|A| = |B|当且仅当A和B是相等的。

5. 三角不等式
如果A和B是m×n矩阵，那么有：
|A + B| |A| + |B|。

这些不等式能够决定某矩阵的范数的大小和上限，进一步帮助研究人员深入探索矩阵范数的特性和性质。

这些不等式提供了一个明确的方法，用于在计算机科学中提高数值计算精度和效率。

以上就是有关矩阵范数的几个不等式的内容，它们可以有效地提高数值计算的精度和效率，为计算机科学提供有价值的参考。

同时，这些不等式也可以作为有关矩阵范数的研究基础，为人们了解这一概念提供明确的参考。

关于正矩阵性质的几个不等式及 Holder、Minkowski不等式的推广与发展刘珍儒【摘要】推广得到了关于正矩阵性质的几个不等式，借此推广发展了经典的Holder、Minkowski不等式，并利用这些成果给出了恒正可积函数列的广义Holder及广义Minkowski积分不等式。

%This paper obtained several inequalities on the nature of the positive matrix,thereby promoting the classical Holder and Minkowski inequality, it gives the generalized Holder-Minkowski integral inequality for Hengzheng integrable function.【期刊名称】《山东理工大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(030)005【总页数】5页(P69-73)【关键词】正矩阵;矩阵的幂平均;幂不等式【作者】刘珍儒【作者单位】山东理工大学理学院，山东淄博 255049【正文语种】中文定义1 设，称数为a1,a2，…，aM关于权系数p1,p2,…，pm的r次幂平均. 规定，即零次幂平均等于a1,a2,…,am关于权系数p1,p2,…,pm的几何平均.定义2 设A为m×n阶矩阵.若A中各元素均为正数，即称A为正矩阵.本文中考虑的矩阵皆指正矩阵，不再重述.矩阵各行(或各列)的平均系数，简称为行(或列)权系数.本文限定：同一矩阵各行取相同的行权系数，各列取相同的列权系数.下面令A=(aij)m×n的行权系数为{，列权系数为{.定义3 对矩阵A各行的S次幂平均值，按矩阵A列权系数，作t次幂平均后的所得值，简称A的“行S次幂平均的列t次幂平均”.记为lt[Hs(A)].类似，对A各列的t次幂平均值，按A的行权系数，作S次幂平均后所得值，简称矩阵A的“列t次幂平均的行S次幂平均”.记为Hs[lt(A)].和分别表示矩阵A“第i行的S次幂平均”和“第j列的t次幂平均”，由定义3知：矩阵A的行算术平均的列几何平均，记为矩阵A列几何平均的行算术平均.记为矩阵A的行r次幂平均的列几何平均，记为定理1 设A=(aij)m×n为正矩阵，则有A的行算术平均的几何平均值≥其列几何平均的行算术平均.即L0[H1(A)]≥H1[L0(A)].亦即定理2 设A=(aij)m×n为正矩阵，r为非零实数，则(i)若r>0时，有证明令,因，{Hr[L0(A)]/L0[Hr(A)]}r=在不等式(7)两端，同作次乘幂(只取幂正主值)，因不等式两边同作正数次幂不等号不变，同作负数次幂，原不等式反向，故(4)和(5)成立.推论1 当r=1时，不等式(4)即为不等式(3).推论2 当列权系数改为时，不等式(4)、(5)也成立.证明设由不等式L0[Hr(A1)]≥Hr[L0(A1)]和L0[Hr(A)]≥Hr[L0(A)]所得不等式相同，且同为不等式(4).因不等式(3)是(4)式特例，不等式(5)又是(4)式的反向不等式，故不等式(3)和(5)成立条件，也应改为pi≤1.定理3 设A=(aij)m×n为正矩阵，s、t为实数.(i)若s>t>0，则有即Lt[Hs(A)]≥Hs[Lt(A)].(ii)若0>t>s,则有(7)式的反向不等式，即即Hs[Lt(A)]≥Lt[Hs(A)].证明利用矩阵A作矩阵Bk因s>t>0,或0>t>s时，均有1>t/s>0，故可令矩阵Bk的行、列权系数分别为q1,q2,…，qn和.将不等式(3)用于矩阵Bk，则有L0[H1(BK)]≥H1[L0(BK)]L0[H1(BK)]=H1[L0(BK)]=将以上两式代入(9)式两端，即得在不等式(10)两边，分别关于k从1至m作和，化简后则有在(11)式两边同除以后，再同作次乘幂，经化简得(1)当s>t>0时，因1/t>0,则(7)成立.(2)当0>t>s时，因1/t<0,故1/t将乘幂后，不等式反向，则(8)成立.即Hs[Lt(A)]≥Lt[Hs(A)](0>t>s)证讫.顺便指出：不等式(4) 与(5)和不等式(7)与(8)都分别是同一不等式参数的分段表示. 不等式(或等式)两边取同极限所得不等式(或等式)，简称为原不等式(或等式)的极限形式.定理4 (i)不等式(4)是不等式(7)中S=r，当t→0+时的极限形式.(ii)不等式(5)是不等式(8)中s=r，当t→0-时的极限形式.证明(i)、令s=r,t→0+，在不等式(7)两边同取极限，即因和分别可视为数列和数列aij(i=1,2,…，m)关于平均系数p1,p2,…，pm的零次幂平均，故由零次幂平均性质得将(14)、(15)代入(13)式，得(4)成立.即不等式(4)是不等式(7)的极限形式.同法可证(ii).令{fi(x)}m表示函数列f1(x),f2(x),…，fm(x).定理5 设fi(x)(i=1,2,…，m)在[a,b]上恒正可积，,则(1)若r>0，有(2)设s、t为实数，若s>t>0，则有即函数列{fi(x)}m的S次积分幂平均的t次幂平均≥函数列{fi(x)}m的t次幂平均的S次积分幂平均.若0>t>s，则有证明将[a,b]划分n等分：x0=a<x1<x2<…<xn=b.任取，n.将aij=fi(ξj)和代入(4)式，有令n→+∞,即Δx→0,在(19)两边同取极限，即由根据极限性质，即有利用定积分定义，即得类似以上方法，将分别代入不等式(7)和(8)，在所得不等式两边，令n→+∞,从而Δx→0,同取极限，即分别得积分不等式(17)和(18)．(从略)．推论3 (1)令(20)式中r=1,则有即{fi(x)}m积分的几何平均≥{fi(x)}m几何平均的积分.(2)令(17)中S=r，t=1，即得即函数列{fi(x)}m的r次积分幂平均的算术平均≥函数列{fi(x)}的算术平均的r次积分幂平均.(3)令(17)式中S=1，t=r，即有x. (r<1)下例证明了幂平均和积分幂平均的重要性质.例1 设f(x)在[a,b]恒正可积，,则有(s>t>0)(s>t>0)证明选取及A4的行、列权系数分别为：q1,q2,…，qn和将不等式(3)用于矩阵A4，则L0[H1(A4)]≥H1[L0(A4)]化为化简得上式两边同作次乘幂，即得将代入(24)式后，在不等式两边，令n→+∞,即Δx→0同取极限，即得(25)式.。

矩阵范数的三角不等式
矩阵范数是一个向量空间中的概念,它可以用来度量矩阵的大小和形状。

矩阵范数的三角不等式是一组重要的数学不等式,它们描述了矩阵范数的一些性质。

以下是矩阵范数的三角不等式:
1. 正弦不等式:对于任意的实对称矩阵A,有|A| ≤ ||A||~2,其中||A||~2表示A的模平方。

2. 余弦不等式:对于任意的实对称矩阵A,有|A| ≤ ||A||~3,其中||A||~3表示A的模立方。

3. 正切不等式:对于任意的实对称矩阵A,有|A| ≤ ||A||~4,其中||A||~4表示A的模四次方。

4. 模方不等式:对于任意的实对称矩阵A,有|A| ≤ ||A||^2,其中||A||^2表示A的模平方。

这些不等式的重要性在于,它们描述了矩阵范数的一些基本性质,如对称性、周期性、三角不等式等,这些性质在矩阵论、计算几何等领域都有广泛的应用。

矩阵的几个不等式1. 矩阵的不等式定义：矩阵的不等式指的是一组矩阵的元素之间的比较，它可以是大于、小于或等于关系。

矩阵的不等式可以表示为A≤B，其中A和B分别是两个矩阵，A≤B表示A中的每个元素都小于等于B中的对应元素。

## 2. 矩阵的不等式性质1. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≥A；2. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≤2A；3. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≠A；4. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≠2A；5. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≥2A；6. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≤A；7. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≠0；8. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≠-A；9. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≥0；10. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≤-A。

3. 矩阵的不等式应用矩阵的不等式应用可以用于多种情况，如矩阵的范数估计、矩阵的特征值估计、矩阵的迹估计、矩阵的奇异值估计、矩阵的乘积估计等。

此外，矩阵的不等式应用还可以用于求解线性方程组、求解矩阵的逆等问题。

此外，矩阵的不等式应用还可以用于矩阵的正定性判断、矩阵的正交性判断等。

#### 4. 矩阵的不等式推导1. 对于矩阵A，若A的行列式不为零，则有A的逆矩阵存在；2. 若A的行列式为零，则A的逆矩阵不存在；3. 对于任意矩阵A，有A+A的逆矩阵存在；4. 对于任意矩阵A，有A*A的逆矩阵存在；5. 对于任意矩阵A，有A*A+A的逆矩阵存在；6. 对于任意矩阵A，有A*A*A的逆矩阵存在；7. 对于任意矩阵A，有A*A*A+A的逆矩阵存在；8. 对于任意矩阵A，有A*A*A*A的逆矩阵存在；9. 对于任意矩阵A，有A*A*A*A+A的逆矩阵存在。

5. 矩阵的不等式变换：矩阵的不等式变换是指将一个矩阵中的不等式变换为另一个矩阵，这样可以更容易地解决矩阵的不等式问题。

变换的方法有很多，比如可以使用行列式，矩阵乘法，矩阵加法，矩阵转置等。

矩阵不等式的证明及其应用一矩阵的秩在矩阵理论中起着非常重要的作用, 矩阵的秩是矩阵的一个重要不变量, 初等变换不改变矩阵的秩, 矩阵的秩有一定的规律, 我们有下面一些基本的不等式:Frobenius 不等式: R(ABC) ≥R(AB)+R(BC)-R(B) (1) R(A)-R(B) ≤ R(A±B) ≤ R(A)+R(B) (2) Sylvester 不等式:R(A)+R(B) - n≤R(AB)≤min( R(A),R(B) )(3)对于(1) , (2), (3) 三个不等式有不同的证明和理解,在这里我们利用分块矩阵的知识,来论证上面的结论.在论证之前,我们先来探讨分块矩阵秩的一些性质.矩阵的秩满足一定的规律,同样在分块矩阵中,它们的秩也有一定的规律可寻.利用矩阵的一些基本的不等式,我们对分块矩阵的秩进行探讨.(1)我们首先从特殊的分块矩阵分析,形如A OB C⎛⎫⎪⎝⎭或A BC⎛⎫⎪⎝⎭或0AB C⎛⎫⎪⎝⎭定理1 设A是n阶矩阵,B和C分别是m⨯n矩阵和m⨯1矩阵, 则R(A)+R(C) ≤R(AB C⎛⎫⎪⎝⎭) ≤ min{}m+R(A), n+R(C)证明:AB C⎛⎫⎪⎝⎭=mAB I⎛⎫⎪⎝⎭nCI⎛⎫⎪⎝⎭因为RAB C⎛⎫⎪⎝⎭= R(mAB I⎛⎫⎪⎝⎭nCI⎛⎫⎪⎝⎭)≥ R(mAB I⎛⎫⎪⎝⎭) + R(nCI⎛⎫⎪⎝⎭) - (n+m)= R（A）+R（mI）+ R(n I) +R（C）- (n+m)= R(A) + R(C) (1)又由于 R(0A B C ⎛⎫⎪⎝⎭) = R(0m A B I ⎛⎫ ⎪⎝⎭00n C I ⎛⎫⎪⎝⎭) ≤ min{ R(0m AB I ⎛⎫⎪⎝⎭),R(00n C I ⎛⎫ ⎪⎝⎭) }= min {}m+R(A), n+R(C) (2)综合(1) (2)两式, 故 R(A)+R(C) ≤ R(0A B C ⎛⎫⎪⎝⎭) ≤min {}m+R(A), n+R(C)定理2 设A 为n 阶距阵,B 为n ⨯1矩阵,C 为m ⨯1矩阵, 则R(A)+R(C) ≤ R(A B O C ⎛⎫⎪⎝⎭) ≤ min{ n+R(C), 1+R(A) }证明: 0A B C ⎛⎫⎪⎝⎭ = 0n B C I ⎛⎫⎪⎝⎭100A I ⎛⎫⎪⎝⎭ 因为 R(0A B C ⎛⎫⎪⎝⎭) = R(0n B C I ⎛⎫ ⎪⎝⎭100A I ⎛⎫ ⎪⎝⎭≥ R(0n B C I ⎛⎫⎪⎝⎭) + R(100A I ⎛⎫⎪⎝⎭) - (n+1) = R (n I ) + R （C ） + R(A) + R （1I ） - (n+1) = R(C) + R(A) (1)又由于R(0A B C ⎛⎫⎪⎝⎭) = R(0n B C I ⎛⎫⎪⎝⎭100A I ⎛⎫⎪⎝⎭≤ min{ R(0n B C I ⎛⎫⎪⎝⎭),R(100A I ⎛⎫ ⎪⎝⎭} = min{ n+R(C), 1+R(A) } (2)综合(1),(2) 两式,故R(A)+R(C) ≤R(A BO C⎛⎫⎪⎝⎭)≤ min{ n+R(C), 1+R(A) }定理3 设A是n阶矩阵,B和C分别是m⨯1矩阵和m⨯n矩阵,则 R(A) + R(B) ≤ R(0AB C⎛⎫⎪⎝⎭) ≤ min{}m+R(A), n+R(B)证明:0AB C⎛⎫⎪⎝⎭=mAI C⎛⎫⎪⎝⎭nBI⎛⎫⎪⎝⎭因为R(0AB C⎛⎫⎪⎝⎭) = R(mAI C⎛⎫⎪⎝⎭nBI⎛⎫⎪⎝⎭)≥ R(mAI C⎛⎫⎪⎝⎭) + R(nBI⎛⎫⎪⎝⎭) - (n+m)= R（A）+R（mI）+ R(n I)+R（B）- (n+m) = R(A) + R(B) (1)又由于R(0AB C⎛⎫⎪⎝⎭) = R(mAI C⎛⎫⎪⎝⎭nBI⎛⎫⎪⎝⎭)≤ min{ R(mAI C⎛⎫⎪⎝⎭),R(nBI⎛⎫⎪⎝⎭) }= min{}m+R(A), n+R(B)(2)综合(1) (2)两式, 故R(A)+R(B) ≤R(0AB C⎛⎫⎪⎝⎭) ≤ min{}m+R(A), n+R(B)(2) 我们分析了特殊情况后,接着探讨一下一般情形,形如A BC D ⎛⎫ ⎪⎝⎭.定理4 设A为n阶矩阵,其中B是n⨯1矩阵,C是m⨯n矩阵,D是m⨯1矩阵, 则R(A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭) ≤ min{ m+R(A)+R(B), n+R(D)+R(B) }证明: 因为 A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭ = 0A C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭ + 000B ⎛⎫⎪⎝⎭所以 R(A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭) = R(0A C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭ + 000B ⎛⎫⎪⎝⎭)≤ R(0A C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭) + R(000B ⎛⎫⎪⎝⎭)≤ min{ m + R(A), n + R(D)} + R(B)= min { m+R(A)+R(B), n+R(D)+R(B) } 证毕二 分块矩阵是讨论矩阵的重要手段,利用分块矩秩的不等式,可以系统地推证关于矩阵秩的一些结论,在这里我们利用上面得出的一些定理来证明矩阵秩的某些性质.在证明性质之前,为了便于证明,首先介绍一个引理:引理1 R(AB) ≤ min{R(A),R(B)}, 特别当A ≠0时, R(AB) = R(B)(1) A, B 都是m ⨯n 矩阵, 则R(A+B) ≤ R(A)+R(B)证明: 由于A + B = (m I m I )00A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭nn I I⎛⎫⎪⎝⎭由引理１得: R(A+B) = R ((m I m I )00A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭nn I I ⎛⎫⎪⎝⎭) ≤R (00A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭nn I I⎛⎫ ⎪⎝⎭) ≤ R (00A B ⎛⎫⎪⎝⎭)= R(A) + R(B)故 R(A+B) ≤ R(A)+R(B)(2) 设A 为m ⨯n 矩阵,B 为n ⨯s 矩阵,且A B=0, 则R(A) + R(B) ≤n证明: n n n n A O AAB A O I B I O I B I B O O ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由引理1得: R(n A O I B ⎛⎫ ⎪⎝⎭) ≤ R(n A O I O ⎛⎫⎪⎝⎭)由定理1得: R(n A O I B ⎛⎫⎪⎝⎭) ≥ R(A) + R(B)又mn n n I A A O O O O I I O I O -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭且 0mnI A OI -≠由引理1得: R(n O O I O ⎛⎫ ⎪⎝⎭ = R(n A O I O ⎛⎫⎪⎝⎭) = n由定理1得: R(A)+R(B) ≤ R(n A O I B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ≤ R(n A O I O ⎛⎫ ⎪⎝⎭) = R(000nI ⎛⎫⎪⎝⎭) = n 从而有 R(A) + R(B) ≤ n(3) 设A 是m ⨯ n 矩阵,B 是n ⨯s 矩阵,则 R(AB) ≥ R(A) +R(B) - n证明: 000sn n n AB I AB O I B I B I ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 且0s nI o BI ≠, 由引理1得:R(AB)+ R(n I ) = R(0n AB B I ⎛⎫⎪⎝⎭)即 R(AB) + n = R(0n AB B I ⎛⎫⎪⎝⎭) (1)又00mn n n IA AB O A I B I B I -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭且00m nI A I -≠, 由引理1,定理3得:R(0n AB B I ⎛⎫⎪⎝⎭) = R(n O A B I ⎛⎫⎪⎝⎭) ≥R(A)+R(B) (2)由(1), (2) 得: R(AB) ≥ R(A)+R(B) – n(4) 设A,B,C 分别是m ⨯n,n ⨯s,s ⨯t 矩阵,则 R(ABC)≥ R(AB) + R(BC) - R(B)证明: 因为 0000mn I A ABC ABC AB I B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 且 0;:0m nI A I ≠由引理1得R(ABC) + R(B) = R 0ABCAB B ⎛⎫⎪⎝⎭(1) 又因为 0ABCAB B ⎛⎫⎪⎝⎭000ts I AB CI BC B -⎛⎫⎛⎫=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭t s - I 0且C I由引理1定理3得: R 0ABCAB B ⎛⎫⎪⎝⎭ = R 0()()AB R AB R BC BC B ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭(2) 由(1) (2)得: R(ABC) ≥ R(AB) + R(BC) - R(B) (5)如果 秩(A-I ) = r, 秩( B-I ) = s, 则 秩(AB-I ) ≤ r + s .证明: 令X = 00A IB I -⎛⎫⎪-⎝⎭则: 秩X = r + s由00A IB I -⎛⎫ ⎪-⎝⎭0I B I ⎛⎫ ⎪⎝⎭ = 0A I AB B B I --⎛⎫⎪-⎝⎭且 0I B I≠0 , 由引理1得:R (00A IB I -⎛⎫⎪-⎝⎭) = R(0A IAB B B I --⎛⎫⎪-⎝⎭) = r + s (1) 又因为 0I I I ⎛⎫ ⎪⎝⎭0A IAB B B I --⎛⎫⎪-⎝⎭ = 0A IAB I B I --⎛⎫⎪-⎝⎭得 R(0A IAB I B I --⎛⎫⎪-⎝⎭) ≥ R(AB-I ) (2) 且00I II≠ , 由引理1得:R(0A I AB B B I --⎛⎫ ⎪-⎝⎭) = R(0A IAB I B I --⎛⎫⎪-⎝⎭) (3) 综合 (1) (2) (3) 式可: R(AB-I ) ≤ r + s参考文献[1]樊恽主编. 代数学词典. 武汉: 华中师范大学出版社, 1994.[2] 高等数学研究. 2003.01.[3]北京大学数学系编. 高等代数. 高等教育出版社.[4]张禾瑞．郝炳新主编．高等代数．高等教育出版社．[5]华东师范大学学报．2002.04．[6]西北师范大学学报．1989.01．。