下载文档原格式
2008级微积分（上）A理工课程试题及其参考答案1．求下列极限（每小题5分，共20分）
1．
其中，
二．求解下列各题（每小题5分，共20分）.
1．设，其中为连续函数，求
解：.
2．设函数由方程确定，其中具有一阶连续导数，求
解：方程两边同时关于求导，得：
(1)
所以， (2)
故
3．设求
解：两边取对数，得：
上式两边同时关于求导，得：
所以
4．求方程的通解.
解：特征方程为，特征根为，故通解为
三．求下列积分（每小题6分，共30分）
另解：令则
原式
3.
其中
；
所以，
4.设求
解：因为
故
5
四．求解下列各题（共10分）
讨论方程的根的个数.
解：令
令得唯一驻点
因为当时，而当时，
因此为函数的最大值.
又
综合以上信息可以画出函数之草图.
从图易见方程恰有两根.
五．设有连续导数，且（1），求（共10分）
解：由（1）式显然得
(2)
(2)式两边关于求导，得
即
即，
也就是（3）
此为一阶线性微分方程，故其通解为
（4）
将代入（4）式，得，所以.
六.求曲线与与轴及直线所围图形分别绕轴、轴旋转一周所生成的立体的体积.（10分）
解：（一）
（二）。
一元微积分期中考试答案 一．填空题（每空3分，共15题） 1. e 1 2。
21 3. 31 4。
34 5. 1 6．第一类间断点 7。
()dx x x x ln 1+ 8。
22sin(1)2cos(1)x x x e++ 9。
0 10。
11−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+x e x 11．x x ne xe + 12。
13 13。
0 14。
)1(223+−=x y 15． 13y x =+二． 计算题1. 解：,)(lim ,0)(lim 00b x f x f x x ==+−→→故0=b 。
…………………3分a xf x f f x =−=′−→−)0()(lim )0(0 …………………3分 1)0()(lim )0(0=−=′+→+xf x f f x …………………3分 1=a 故当1=a ，0=b 时，)(x f 在),(+∞−∞内可导。
…………………1分2. 解：=−+∞→])arctan ln[(lim ln /12x x x πx x x ln )arctan ln(lim 2−+∞→π = xx x x /1arctan )1/(1lim 22−+−+∞→π …………罗比达法则…………4分 =xx x x arctan )1/(lim 22+−++∞→π = )1/(1)1/()1(lim 2222x x x x ++−+∞→ = 2211lim x x x +−+∞→ = 1− ………………………4分所以，原极限=1−e ………………………………………………………………………2分3． 解：)'1)((''y y x f y ++= ，故 1)('11)('1)(''−+−=+−+=y x f y x f y x f y ；……4分 32)]('1[)('')]('1[)'1)((''''y x f y x f y x f y y x f y +−+=+−++=…………………………………………6分4.解：⎩⎨⎧≥+−<+−−=020)2()(2323x xx x x x x x x f 记x x x x g +−=232)(，则143)(2+−=′x x x g ，46)(−=′′x x g ， 1,0,02)(2123===+−=x x x x x x g1,31,0143)(432===+−=′x x x x x g 32,046)(52==−=′′x x x g 故)(x f 在)0,(−∞及⎟⎠⎞⎜⎝⎛1,31单调减，在⎟⎠⎞⎜⎝⎛31,0及),1(+∞单调增； …………………2分 在)0,(−∞及⎟⎠⎞⎜⎝⎛+∞,32下凸，在⎟⎠⎞⎜⎝⎛32,0上凸； …………………2分 极大值点为31=x ，极小值点为1,0=x 。
2008级下期微积分期末考试试题(A)评分标准二、填空题（每题３分，合计１５分）1．{}(2,4,1)2,4,1--或；2.121cos sin x C e C x C x ++；3.11)3；4.32R π；5., 00, 0/2, x x x x ππππ--<≤⎧⎪<<⎨⎪=±⎩.三、（9 分）[解] 令 (,,) 2--=-+-x y zF x y z x ex y z ①(1)1,--=+-x y z x F x e 1,--=-+x y z y F xe 2,--=--x y z z F xe ②(1)1,2,----∂+-=-=-∂-x y z x x y z z F z x e x F xe ②， 1,2,----∂+=-=-∂-x y z y x y z z F zxe y F xe ② 3(0,2,1)(0,2,1)11(1), .22-∂∂=-=∂∂z z e x y ②四、（9分）[解] 椭圆2244+=x y 上点(,)x y 到直线2360+-=x y 的距离=d ① 令222(,,)(236)(44)λλ=+-++-F x y x y x y ②，224(236)206(236)80440λλλ=+-+=⎧⎪=+-+=⎨⎪=+-=⎩x xF x y x F x y y F x y ③， 解得88553355⎧⎧==-⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==-⎪⎪⎩⎩x x y y ， ② 代入距离公式知所求点为83(,)55①五. (9分) [解] 收敛区间为[1,1)- ②,令 110011()() (0)11+∞∞=====≠++∑∑n n n n x x S x S x x n x n x ①()11001()11+∞∞=='⎛⎫'===⎪+-⎝⎭∑∑n n n n x S x x n x ② 1111001()()(0)()d d ln(1)1'=-===---⎰⎰xxS x S x S S x x x x x② 11ln(1)0:()() (1001)-≠==--≤<<<x x S x S x x x x x或 ① 0:() 1.==x S x① 六、(9分) [解] 将函数()f x 作偶延拓，周期为2π.① 0.n b = ①，002d ,a x x πππ==⎰①，2022cos d [cos 1]n a x nx x n n ππππ==-⎰②224, 2[(1)1] (1,2,)0, nn n n n n ππ⎧-⎪=--==⎨⎪⎩为奇数为偶数② 2141()cos(21), [,]2(21)n f x n x x n ππππ∞==--∈--∑ ②七、( 9分) [解] 22222()∂-∂==∂+∂Q y x Px x y y② 记L 所围成的区域为D ，选取适当小的0>ε，在D 内作圆周2221:+=L x y ε，取顺时针方向. ②在L 与1L 所围成区域1D 上用格林公式得=+-⎰+122d d L L y x xy y x 1()0∂∂-=∂∂⎰⎰D Q Pd x y σ ②故 ⎰+-L y x xy y x 22d d =-=+-⎰122d d L y x x y y x ⎰--121L ydx xdy ε222211(2)(2)2=--==⎰⎰D d σπεπεε③其中2D 为1L 所围成的区域.八、( 9 分) [解] 取1S 为圆盘：2210⎧+≤⎨=⎩x y z ，方向取下侧 ①，则⎰⎰⎰⎰⎰++=++++++VS S V z y x y x y z x z x y z y z x )d (3d )d (d )d (d )d (2222323231②2122200063d sin d d 5=⋅=⎰⎰⎰ππθϕϕρρρπ ② ⎰⎰+++++1d )d (d )d (d )d (232323S y x y z x z x y z y z x=⎰⎰-xyD y x y d d 2①2122001d sin d 4r r πθθπ=-=-⎰⎰ ② =-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰+11S S S S6129()5420=--=πππ ①九、( 9分)[解] 由对称性，所求面积是第一卦限的4倍：44xyxyD D S σσ==⎰⎰⎰⎰③cos 2004d d r πθθ=⎰⎰ ③204(1sin )d πθθ=-⎰ ② =2(2)π- ①十、( 7分)[证] (,,)(,),=x y G x y y F z z 令12122211, , ,=⋅=⋅=-⋅-⋅x y z x yG F G F G F F z z z zn 12122211, , ⎛⎫=⋅⋅-⋅-⋅ ⎪⎝⎭x y F F F F z z z z ()121221, , =--zF zF xF yF z ③在任一点(), , x y z 处的切平面方程为1212() ()()()0-+-+---=zF X x zF Y y xF yF Z z 即 1212()0+-+=zF X zF Y xF yF Z ③显然，0===X Y Z 满足方程,即任意一点处的切平面都通过原点. ①。
北京理工大学2011-2012学年第二学期《微积分A 》期中试题解答及评分标准一、填空题（每小题4分，共20分） 1. ；30=S 2.;02,11111=-++-==-z y x z y x3. ⎰⎰=eeydx y x f dy I ),(10 4. ⎩⎨⎧==+02222z y x ; 5.)12ln 2(411+=∂∂==y x xz ,=∂∂==11y x yz 4.二、2132(cos ),x zxf x xf ye f x∂''=++∂ ………………………4分2232231232321332332sin (2)sin cos cos sin .xy xy xyxyxy z x yf x e x ye f x y xf x yx xe f x ye yf x ye f ∂''"=-++-∂∂""''+-+ (8)分 三、 ⎰⎰--=Ddxdy y x RI 222⎰⎰θππ-ρρρ-θ=cos 02222R d R d …………….……….….4分).322(32)sin 1(323233-π=θθ-=⎰πR d R ………….….…8分四、 0)2(2222=+++=∂∂xxey y x exf0)22(2=+=∂∂y eyf x……………………….2分解得驻点：)1,21(- ……………………….3分.2),1(4),12(4222222222xxxeyf y eyx f y y x exf =∂∂+=∂∂∂+++=∂∂.5分在点)1,21(-e C B e A 2,0,2===，0422<-=-=∆e AC B，又02>=e A ，所以点)1,21(-是极小值点； ……………………….7分极小值为.2)1,21(ef -=- ……………………….8分五、由于积分区域关于yoz 面对称，所以 0245=⎰⎰⎰dxdydz z xy V….2分dxdydz z y x z xy I V⎰⎰⎰++=)2(245dxdydz z y x V⎰⎰⎰+=)(2=⎰⎰⎰-+y xdz z y x dy dx 102110)(22……………….6分⎰+-+-=12468)31323432(dx x x x x.945184=……………………….8分六、 }0,2,2{}1,1,1{}1,1,1{-=-⨯=s L的方向向量为设直线， ….2分⎪⎩⎪⎨⎧--==+=t z t y t x L 211的参数方程为：， …………………….….4分)4,2,3(1-ππ的交点坐标为与的方程，得代入平面L ….6分 所以直线的标准方程为042223:+=-=--z y x L ……………8分七、1:22≤+y x D xoy V 面上的投影区域为在， …………….1分⎰⎰⎰++=Vdv zy x I 2221⎰⎰⎰ϕππϕϕθ=cos 14020sin dr r d d ………….5分ϕϕϕπ=⎰πd 402cossin.)12(π-= ……………………….8分八、xz xz xz xz yexu yzsin )(∂∂+-∂∂=∂∂方程0),(=-xz y x f 两边对x 求偏导，得，0)(21=∂∂+'+'xz xz f f221f x f z f x z ''+'-=∂∂⇒，.sin 21221xz f f f x f z f yexu yz''+''+'-=∂∂⇒ ……………….4分同理：,sin )(yz xzx yz yz eyu yz∂∂-∂∂+=∂∂方程0),(=-xz y x f 两边对y 求偏导，得，021=∂∂'+'-yz f x f21f x f y z ''=∂∂⇒.sin 2121f x f xzx f x f yezeyu yzyz''-''+=∂∂⇒ ………….….8分九、（1）曲面S 的方程为：221y x z --= …………..….2分（2）由题意，密度22),,(y x z y x +=ρ ……………...3分由对称性知：,0==y x⎰⎰⎰⎰⎰⎰++=VVdxdydzy x dxdydzy x z z 2222而dz d d dxdydz y x V⎰⎰⎰⎰⎰⎰ρ-πρρθ=+2102102022154π=dz z d d dxdydz y x z V⎰⎰⎰⎰⎰⎰ρ-πρρθ=+2102120221058π=72=z ,所以质心坐标为：).72,0,0( ………………..….8分十、}0,21,21{0-=l所以目标函数为：)(2y x lf-=∂∂ …………………….2分约束条件为： 632222=++z y x ………………………3分 构造拉氏函数：)632()(),,(222-++λ+-=z y x y x z y x F⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=λ='=λ+-='=λ+='63206041021222z y x z F y F x F z y x 解得驻点为：)0,1,2(),0,1,2(--B A ………………….…….6分又23|)(2|-=-=∂∂A A y x l f23|)(2|=-=∂∂B B y x lf比较知，满足题目要求的点的坐标为：)0,1,2(-B ，方向导数的最大值为.23 …………………………….8分十一、记⎰⎰+=Ddxdy y t f )1arctan()(⎰⎰+=t ytdx y dy )1arctan(2⎰+-=2)1arctan()(tdy y y t⎰⎰+-+=22)1arctan()1arctan(tt dy y y dy y t⎰+='2)1arctan()(tdy y t f …………….….3分)cos 1()1arctan(lim 0t t dxdyy Dt -+⎰⎰+→2)(lim 3tt f t +→= （0）2)(lim 32tt f t '=+→22)1a r c t a n (lim 32tdyy tt ⎰+=+→62)1a r c t a n (2l i m 3220π=+=+→t t t t …………..8分。
1---○---○------○---○---……… 评卷密封线…………… 密封线内不要答题，密封线外不准填写考生信息，违者考试成绩按0分处理…………… 评卷密封…………中南大学考试试卷2008级（第一学期）期终考试试卷（2009年1月7日，10：10—12：00）时间110分钟2008~2009学年第一学期《微积分A 》课程88学时，5.5学分，闭卷，总分100分，平时成绩占30%一、填空题（本题共5小题，每题3分，共15分）1．已知212)1(lim2334-=-++++∞→x x bx x a x ，则a = ，b = ．2．设)2008()2)(1(---=x x x x y ，则)2009(y = ．3．dxxx x ⎰++421)1(= ．4．设)(x f 是以周期为6的周期函数，且在一个周期内的表达式为)33(,1)(2<≤-++=x x xx f ，则其Fourier 级数的系数3b ＝ ．5．点)3,4,2(--到平面0322=++-z y x 的距离为 ．二、选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分）→x 11211---x e x x ∞22．设函数)(x f 在),(b a 内连续，则必有（ ）．（A ）)(x f 为),(b a 内的有界函数；（B ）)(x f 在),(b a 内必有最大值和最小值； （C ）若0)(lim,0)(lim<>-→+→x f x f b x a x ，则)(x f =0至少有一根；（D ）)(x f 必取得介于)(a f 和)(b f 之间的任何值．3．积分dx tx f t I t s)(0⎰=与（ ）有关． （A ）x t s ,,（B ）t s ,（C ）t x ,（D ）s4．广义积分（）收敛.（A ）dx xx ⎰∞+2ln （B ）dx x x ⎰∞+2ln 1（C ）dxx x ⎰∞+22)(ln 1（D ）dxxx ⎰∞+2ln 15．设∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 均为正项级数，下列结论正确的是（）.（A ）若),2,1(1 =≥+n u u n n 且0lim =∞→n n u ，则∑∞=1n n u 收敛（B ） 若0lim ≠=∞→k u n n pn ，则当1>p 时，∑∞=1n n u 收敛，1≤p 时∑∞=1n n u 发散（C ）若+∞=∞→nn n v u lim，且∑∞=1n n v 收敛，则∑∞=1n n u 发散（D ）若0lim=∞→nn n v u ，且∑∞=1n n v 发散，则∑∞=1n n u 发散3三、求解下列各题（每小题7分，共28分）1．设()(1)f x x x =-，11<<-x ，求()f x 的极值点和拐点.2．设⎩⎨⎧+=+=tt y t t x 6arctan 3，求22dx y d 。
2007—2008学年度第一学期期中测试高一物理试题一、选择题：（共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有的每题只有一个选项正确，有的每题有多个选项正确，全选对的得4分，选不全的得2分，选错或不选的得0分。
）1．下列各组物理量中，全部是矢量的有：A．位移、力、加速度、速度B．浮力、加速度、位移、摩擦力C．密度、时间、质量、路程D．重力、路程、时间、速度2．下列说法中正确的是：A．质点是一个理想化模型B．只要物体运动不是很快，就可以把物体看成质点C．参考系必须选取地面或相对于地面不动的其他物体D．描述一个物体的运动情况时，参考系是可以任意选取的3．下列运动，可能出现的是：A．物体的速度为零时，加速度也为零B．物体的加速度减小，速度反而增大C．物体的加速度增大，速度反而减小D．物体的速度始终不变，加速度也始终不变4．在粗略计算物体做自由落体运动时，下列说法中正确的是：A．在前1秒内物体的位移是5米B．在第2秒内物体的位移是15米C．在第3秒末物体的速度是30米/秒D．在第4秒初物体的速度是40米/秒5．关于瞬时速度和平均速度，下列说法中正确的是：A．在一段时间内，某时刻的瞬时速度为零，该段时间的平均速度一定不为零B．在一段时间内，某时刻的瞬时速度不为零，该段时间的平均速度可以为零C．瞬时速度可以看成时间趋于无穷小时的平均速度D．物体做变速直线运动，平均速度的大小就是平均速率6．关于重力加速度，下列说法中正确的是：A．在地面上各点的重力加速度方向是不同的B．在地面上各点的重力加速度大小是相同的C．在地面上某一点的重力加速度方向是不变的D．在地面上某一点的重力加速度大小是不变的7．下列说法中正确的是：A．匀变速直线运动是速度变化量为零的运动B．加速度均匀变化的运动就是匀变速直线运动C．物体的速度有变化，则必有加速度D．没有加速度的物体速度一定不变8．如图所示为一物体做直线运动的速度图象，根据图作如下分析，（分别用v 1、a 1表示物体在0—t 1时间内的速度与加速度，v 2、a 2表示物体在t 1—t 2时间内的速度与加速度）。
2007～2008学年度第一学期期中试卷八年级数学（A ）一、精心选一选（共40分）.1、下列各组图形，可以经过平移变换由一个图形得到另一个图形的是A B C D2、和数轴上的点成一一对应关系的数是A.自然数B.有理数C.无理数D. 实数3、下列说法不正确的A 、251的平方根是±51； B 、-9是81的一个平方根；C 、16的算术平方根是4 ；D 、3273-=-4、已知,三角形的三边长为6,8,10,则这个三角形最长边上的高是A 、10B 、8C 、2.4D 、4.85、2)33(-的值为A.33-B.33-C. 33-或33-D.以上答案都不对 6、如图ABCD 中，EF ∥BC , GH ∥AB ,GH 与EF 线交于点O ，图中共有平行四边形的个数 A 、6 B 、7 C 、8 D 、9学校______________ 班别____________ 姓名________________ 座号_________…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………○…………… 密 ………… 封 ………… 线 ………… 内 ………… 不 ………… 准 ………… 答 ………… 题 ………………………………○7、如图，延长正方形ABCD 的一边BC 至E ，使CE ＝AC ，连结AE 交CD 于F ， 则∠AFC 的度数是A 、112.5°B 、120°C 、122.5°D 、135°8、有四组线段中不能组成直角三角形的是：A 、3,2,1B 、7,24,25C 、32,42,52D 、9,40.,41 9、剪掉多边形的一个角，则所成的新多边形的内角和A. 减少180°B. 增加180°C. 减少所剪掉的角的度数D. 增加180°或减少180°或不变10、甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时,一木工师傅要他们拿尺子帮助检测一个窗框是否是矩形,他们各自做了如下检测：检测后,他们都说窗框是矩形,你认为最有说服力的是A 、甲量得窗框两组对边分别相等B 、乙量得窗框的对角线相等C 、丙量得窗框的一组邻边相等D 、丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线也相等第二卷二、耐心填一填（4×5=20分）．11、实数4-，0，722，3125-，0.1010010001……（两个1之间依次多一个0），3.0，2π中，无理数有： ； 12、如图，有一圆柱，其高为12cm ，它的底面半径为3cm ，在圆柱下底面A 处有一只蚂蚁，它想得到上面B 处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为______cm 。
北京市海淀区2007-2008学年第一学期期中练习高三数学试题（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．在复平面内，复数ii+12对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．函数)01(31<≤-=+x y x 的反函数是（ ） A ．)0(log 13>+=x x y B ．)0(log 13>+-=x x yC ．)31(log 13<≤+=x x yD ．)31(log 13<≤+-=x x y3．“1>a ”是“11<a”的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既非充分也非必要条件 4．下列函数，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ） A ．)0(log 2>-=x x y B ．)(R ∈+=x x x yC ．)(3R ∈=x y xD ．)0,(1≠∈-=x x xy R 5．在一个口袋中装有5个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，则摸出白球的个数多于黑球个数的概率为 （ ） A ．83B ．73C ．72D ．2896．定义在R 上的函数a f f x f x f x f =>=+)3(,1)2(),()5(,)(若且为奇函数，则（ ） A ．3-<a B ．3>aC ．1-<aD ．1>a7．给出下列命题：①如果函数))(()(,)(是常数都有对任意的a x a f x a f x x f -=+∈R ，那么函数)(x f 必是偶函数；②如果函数)(x f 对任意的)()2(,x f x f x -=+∈满足R ，那么函数)(x f 是周期函数； ③如果函数)(x f 对任意的x 1、x 2∈R ，且0)]()()[(,212121>--≠x f x f x x x x 都有，那么函数)(x f 在R 上是增函数；④函数2)1()(+-==x f y x f y 和函数的图象一定不能重合。
中国石油大学（北京）2008／2009学年第二学期《高等微积分》(Ⅱ) 期中试卷一、填空题（本题包括5小题，每小题4分，本题满分20分）1. 函数)ln(),(22y x y x f +=沿21bl al l +=方向的方向导数，其中b a ,为正实数，{}{}1,0,0,121==l l ： 。
⎰⎰⎰Ω++=--=+=Ω积分是在球面坐标系下的三次为连续函数其中则重积分所围成的积分区域是由设)()(,4.22222222f dv z y x f I y x z y x z 与。
()()()=+→2222,0,lim .3yx y x yx 。
().)2,0(,11)(,21)(.41∈----=∑∞=x x x x f x x x f n n 的幂级数是展开成将设.222)(,0,0,2)(.5πππππ+=⎩⎨⎧≤<≤<-=处收敛于为周期的傅里叶级数在的以则设x x f x x x x f二、计算题（本题包括6小题，每小题8分，本题满分48分）1、讨论函数()()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=0,,00,1sin ,22222222y x y x y x y x y x f 在()0,0点的偏导数，偏导函数连续性及可微性。
2、试将yux u 2222∂∂+∂∂化成极坐标的形式。
3、试将()()π≤≤=x x x f 0展开成为正弦，余弦级数，并写出和函数()x s 。
4、试求内接于椭球1222222=++cz b y a x 的长方体中（长方体的各面平行于坐标轴）体积最大者。
5、计算积分()⎰⎰++Dyx adxdy,23222其中D 为a y a x ≤≤≤≤0;0。
6、证明曲线t t tae z t ae y t ae x ===,sin ,cos 与锥面222z y x =+的各母线相交的角度相同。
三、（本题满分8分）.,,还是条件收敛若收敛是绝对收敛敛散性试判断下列两个级数的∑∞=+-1;)1ln()1()1(n n n .,0)1ln(1,故该级数收敛这是一交错级数解↓→+n.................)2(分及比较判别法知故由调和级数的发散性都有又,1)1ln(1)1ln()1(:,,2,1nn n n n >+=+-=∀ .)1(,)1(仅条件收敛即级数非绝对收敛该级数 .......................................................................)4(分∑∞=++-11.2)1()1()2(n n n n n ,2)1()1(,1nn n n n u +-=+令这是一交错级数解 .)2(,121)21(21lim 2)1(2)2)(1(lim ||||lim 11绝对收敛故知级数由于<=+=+++=∞→+∞→+∞→n n n n n u u n nn n nn n...........)8(分 四、（本题满分6分）设函数)(),(y x g x y xy f z +=,其中g f ,均具有二阶连续偏导数, 求yx z∂∂∂2.:,,,有由四则法则与链式法则令解yxw x y v xy u === g y f xy f y•x w g x v f x u f x z '+'-'=∂∂'+∂∂'+∂∂'=∂∂122121 ........................................................................)4(分 y y y g y g yf x y f x f y•f y x z )(11)(1)(22222112''+'-''-'-''+'=∂∂∂ ............................................................)6(分 y wg y g yy v f y u f x y f x y v f y u f y•f ∂∂''+'-∂∂''+∂∂''-'-∂∂''+∂∂''+'=11)(1)(2222122212111g yx g y f x f f x y f y x f y x f xy ''-'-'-'+''-''-''+''=3222122321121111 ....................................................)8(分 .113222122311g yxg y f x f f x y f xy ''-'-'-'+''-''=或 ...............................................................)8(分 五、（本题满分8分）在极坐标系下交换积分的次序。
