清华 微积分A期中考试

北 京 交 通 大 学2011-2012学年第二学期《微积分》期中考试试卷考试方式： 闭卷 任课教师：学院_____________ 专业___________________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________请注意：本卷共七道大题，如有不对，请与监考老师调换试卷！ 一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 设函数()21,0,0,y x f x y ⎧<<=⎨⎩其它，则(),f x y 在()0,0点 B 。

（A ）连续，且可偏导。

（B ）沿任何方向的方向导数都存在。

（C ）可微，且()0,00.df =（D ）(),x f x y 和(),y f x y 在()0,0点连续。

2. 设有三元方程ln 1.xyxy z y e -+=由多元隐函数存在定理，在()0,1,1的某邻域内，该方程 A 。

（A ）可以确定两个具有连续偏导数的隐函数(),x x y z =和(),y y x z =。

（B ）可以确定两个具有连续偏导数的隐函数(),x x y z =和(),.z z x y = (C) 可以确定两个具有连续偏导数的隐函数(),y y x z =和(),z z x y =。

（D ）只能确定一个具有连续偏导数的隐函数(),.z z x y = 3.设函数()f u 具有二阶连续导数，且()()'0,00,f u f>=则函数()()ln z f x f y =在点()0,0处取得极大值的一个充分条件是 D 。

（A ）()()"01,00.f f << （B ）()()"01,00.f f >> （C ）()()"01,00.f f <> （D ）()()"01,00.f f ><4.单位圆域221x y +≤被直线y x =±划分为四个区域()1,2,3,4,k D k =1D 是完全位于y 轴右侧的那个区域，按逆时针依次排列为1234,,,D D D D ，记cos kk D I x ydxdy =⎰⎰，则{}14max k k I ≤≤等于 A 。

一元微积分期中考试答案 一．填空题（每空3分，共15题） 1. e 1 2。

21 3. 31 4。

34 5. 1 6．第一类间断点 7。

()dx x x x ln 1+ 8。

22sin(1)2cos(1)x x x e++ 9。

0 10。

11−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+x e x 11．x x ne xe + 12。

13 13。

0 14。

)1(223+−=x y 15． 13y x =+二． 计算题1. 解：,)(lim ,0)(lim 00b x f x f x x ==+−→→故0=b 。

…………………3分a xf x f f x =−=′−→−)0()(lim )0(0 …………………3分 1)0()(lim )0(0=−=′+→+xf x f f x …………………3分 1=a 故当1=a ，0=b 时，)(x f 在),(+∞−∞内可导。

…………………1分2. 解：=−+∞→])arctan ln[(lim ln /12x x x πx x x ln )arctan ln(lim 2−+∞→π = xx x x /1arctan )1/(1lim 22−+−+∞→π …………罗比达法则…………4分 =xx x x arctan )1/(lim 22+−++∞→π = )1/(1)1/()1(lim 2222x x x x ++−+∞→ = 2211lim x x x +−+∞→ = 1− ………………………4分所以，原极限=1−e ………………………………………………………………………2分3． 解：)'1)((''y y x f y ++= ，故 1)('11)('1)(''−+−=+−+=y x f y x f y x f y ；……4分 32)]('1[)('')]('1[)'1)((''''y x f y x f y x f y y x f y +−+=+−++=…………………………………………6分4.解：⎩⎨⎧≥+−<+−−=020)2()(2323x xx x x x x x x f 记x x x x g +−=232)(，则143)(2+−=′x x x g ，46)(−=′′x x g ， 1,0,02)(2123===+−=x x x x x x g1,31,0143)(432===+−=′x x x x x g 32,046)(52==−=′′x x x g 故)(x f 在)0,(−∞及⎟⎠⎞⎜⎝⎛1,31单调减，在⎟⎠⎞⎜⎝⎛31,0及),1(+∞单调增； …………………2分 在)0,(−∞及⎟⎠⎞⎜⎝⎛+∞,32下凸，在⎟⎠⎞⎜⎝⎛32,0上凸； …………………2分 极大值点为31=x ，极小值点为1,0=x 。

.word 格式,(3343) ．微分方程y ytanx cosx 0的通解为y (x C)cosx。

1y(4455) ．过点( ,0)且满足关系式y arcsin x 1的曲线方程为2 1 x21 y arcsin x x 。

2C2 (4507) ．微分方程xy 3y 0 的通解为y C1 22。

x2(4508) ．设y1(x), y2 (x), y 3 (x )是线性微分方程y a(x)y b(x)y f (x) 的三个特解，且y2(x) y1(x)C ，则该微分方程的通解为y3(x) y1(x)y C1(y2(x) y1(x)) C2((y3(x) y1(x)) y1(x)。

2 2 x(3081) ．设y1 3 x2,y2 3 x2 e x是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解，且相应齐次方程的一个解为y3 x ，则该微分方程的通解为y 3 x2 C1x C2e x。

(4725) ．设出微分方程y 2y 3y x xe x e x cos2x 的一个特解形式* x xy* Ax B x(Cx D)e x e x(Ecos2x F sin2x) 。

(4476) ．微分方程y 2y 2y e x的通解为y e x(1 C1cosx C2 sinx)。

2x 1 2x(4474) ．微分方程y 4y e2x的通解为y C1e 2x C2x e2x。

4(4477) ．函数y C1cos2x C2sin2x 满足的二阶线性常系数齐次微分方程为y 4y 0 。

2x t 2x(4532) ．若连续函数f (x) 满足关系式f(x) f(2)dt ln2，则f (x) e2x ln2。

(6808) ．设曲线积分[ f (x) e x]sin ydx f ( x) cosydy与路径无关，其中f(x) 具有一阶连续导数，且f (0) 0，则f(x) 等于[ ]11(A) 1(e x e x) 。

(B) 1(e x e x) 。

2023-2024学年清华附中高二数学上学期期中考试卷（试卷满分150分，考试时间120分钟）2023.11一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1．复数z ＝i （1－i ）的模|z |＝（）A B ．2C ．1D ．32．椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为4，则该椭圆的方程为（）A ．2213616x y +=B ．212x +28y =1C ．28x +24y=1D ．212x +24y =13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*1n S n N n =∈，，则2a =（）A ．12-B ．16-C ．16D ．124．直线10x +=的倾斜角为（）A ．30°B ．45°C ．120°D ．150°5．过点()2,1A 且与直线:2430l x y -+=平行的直线方程是（）A ．20x y -=B ．250x y +-=C ．230x y --=D ．240x y +-=6．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆23x ＋y2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（）A ．B ．6C ．D ．127．设数列{}n a 是等比数列，则“21a a >”是“{}n a 为递增数列”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．椭圆()222210x y a b a b +=>>的两焦点为1F 、2F ，以12F F 为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两边，则椭圆的离心率是（）A ．12B ．312C ．D 19．直线()2200ax by a b a b +--=+≠与圆2220xy +-=的位置关系为（）A ．相离B ．相切C ．相交或相切D ．相交10．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，则下列结论中正确的是（）A ．与三条直线111,,AB CCD A 所成的角都相等的直线有且仅有一条B ．与三条直线111,,AB CC D A 所成的角都相等的平面有且仅有一个C ．到三条直线111,,AB CC D A 的距离都相等的点恰有两个D ．到三条直线111,,AB CC D A 的距离都相等的点有无数个二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知直线:50l x y --=，圆C:()()22221x y -++=，则直线l 被圆C 所截得的线段的长为.12．在平面直角坐标系中，经过()0,0，()2,0-，()0,4-三点的圆的标准方程为.13．在正四面体O －ABC 中，,,OA a OB b OC c === ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE＝(用,,a b c表示)．14．圆1O ：()2224x y ++=和圆2O ：()()22214x y -+-=的位置关系是.15．已知数列{}n a 满足()*,01n n a n k n k =⋅∈<<N 下面说法正确的有.①当12k =时，数列{}n a 为递减数列；②当14k =时，数列{}n a 为递减数列；③当102k <<时，数列{}n a 为递减数列；④当1kk -为正整数时，数列{}n a 必有两项相等的最大项.三、解答题：本大题共6小题，共85分.16．如图.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 的中点．(1)求证：1//BD 平面ACE ；(2)求直线AD 与平面ACE 所成角的正弦值．17．已知数列{}n a 是等比数列，满足13a =，424a =，数列{}n b 满足14b =，422b =，设n n n c a b =-，且{}n c 是等差数列.(1)求数列{}n a 和{}n c 的通项公式；(2)求{}n b 的通项公式和前n 项和nT.18．在ABC 中，1cos 7C =，8c =，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)b 的值；(2)角A 的大小和ABC 的面积.条件①：7a =；条件②：11cos 14B =.19．如图,四棱锥P ABCD -中,AD ⊥平面ABP ,//BC AD ,90PAB ∠=o.2PA AB ==,3AD =,BC m =,E 是PB的中点.(Ⅰ)证明:AE ⊥平面PBC ;(Ⅱ)若二面角C AE D --的余弦值是3,求m 的值;(Ⅲ)若2m =,在线段AD 上是否存在一点F ,使得PF ⊥CE .若存在,确定F 点的位置;若不存在,说明理由.20．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的一个顶点为()0,1P ，离心率为.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点定点()0,3G -作斜率为k 的直线l 与椭圆交于A ，B ，直线PA ，PB 的斜率分别记为1k ，2k .求12k k⋅的值21．设{}1,2,3,,10D =⋅⋅⋅，如果函数f ：D D →的值域也是D ，则称之为一个泛函数，并定义其迭代函数列(){}nf x ：()()1f x f x =，()()()()*1N n n f x f f x n +=∈.(1)请用列表法补全如下函数列；x 12345678910()1f x 217534910()2f x (2)求证：对任意一个i D ∈，存在正整数10i N ≤（iN 是与i 有关的一个数），使得()i N f i i=；(3)类比排序不等式：a b <，c d ac bd ad bc <⇒+>+，把D 中的10个元素按顺序排成一列记为()1210,,,x x x ⋅⋅⋅，使得10项数列A ：()252011f x ⋅，()252022f x ⋅，()252033f x ⋅，…，()25201010f x ⋅的所有项和S 最小，并计算出最小值minS 及此时对应的()1210,,,x x x ⋅⋅⋅.1．A【分析】直接计算模即可【详解】1i z =+，z 故选：A 2．C【分析】利用长轴长及焦距求出,a c ，结合222b ac =-可得答案.【详解】由题意可设所求椭圆方程为22221x y a b +=，又因为长轴长为4，所以2a =24c =，即a =2c =，再由2224b a c =-=，故所求椭圆方程为22184x y +=，故选：C ．3．A【解析】令1n =得11a =，令2n =得21212S a a =+=可解得2a .【详解】因为1n S n =，所以11111a S ===，因为21212S a a =+=，所以211122a =-=-.故选：A 4．A【分析】将直线的一般式改写成斜截式，再由斜率公式tan θk =可求得结果.【详解】∵10x +=∴33y x =+∴tan 3k θ==又∵[0,)θπ∈∴30θ=故选：A.5．A【分析】由题意，设所求直线为240x y m -+=，代入A 点坐标，求得m 值，即可得答案.【详解】因为所求直线与直线l 平行，所以设所求直线方程为：()2403x y m m -+=≠，又所求直线过点()2,1A ，代入可得22410m ⨯-⨯+=，解得0m =，所以所求直线为240x y -=，即20x y -=.故选：A6．C【分析】根据题设条件求出椭圆的长半轴，再借助椭圆定义即可作答.【详解】由椭圆23x ＋y2＝1知，该椭圆的长半轴a =A 是椭圆的一个焦点，设另一焦点为F ，而点F 在BC 边上，点B ，C 又在椭圆上，由椭圆定义得2,2BA BF a CF CA a+=+=，所以ABC 的周长4l AB BC CA AB BF CF CA a =++=+++==C7．B 【分析】当10,0a q <<时，可得210a a q =>，但此时数列{}n a 不单调，根据数列的单调性，结合充分、必要条件的判定方法，即可得答案.【详解】当10,0a q <<时，210a a q =>，虽然有12a a <，但是数列{}n a 为摆动数列，并不是递增数列，所以不充分；反之当数列{}n a 是递增数列时，则必有12a a <，因此是必要条件，故选：B ．【点睛】本题考查充分、必要条件的判断，数列的单调性，着重考查推理分析的能力，属基础题.8．D【分析】利用题干可得1211212ππ2,,,32F F c BF c AF F F BF ==∠=∠=，则2BF =，构建,a c 的等量关系即可求离心率.【详解】由题可知等边12AF F △的边1AF 的中点为B ，所以可得1211212ππ2,,,32F F c BF c AF F F BF ==∠=∠=，所以2BF =，由椭圆定义可得122BF BF a+=，即2c a =，则离心率1ce a=.故选：D 9．C【分析】利用几何法，判断圆心到直线的距离与半径的关系，判断直线与圆的位置关系即可．【详解】由已知得，圆2220x y +-=的圆心为（0，0所以圆心到直线()2200ax by a b a b +--=+≠因为222ab a b≤+，所以()()2222a b a b +≤+≤，所以直线与圆相交或相切；故选：C ．10．D【分析】所成的角都相等的直线有无数条，A 错误，成的角相等的平面有无数个，B 错误，距离相等的点有无数个，C 错误，D 正确，得到答案.【详解】对选项A ：根据对称性知1AC 与三条直线的夹角相等，则与1AC 平行的直线都满足条件，有无数条，错误；对选项B ：根据对称性知平面1A BD 与三条直线所成的角相等，则与平面1A BD 平行的平面都满足条件，有无数个，错误；对选项C ：如图所示建立空间直角坐标系，设正方体边长为1，()1,0,0A ，()1,1,0B ，1DB 上一点(),,P a a a ，则()0,1,0AB = ，()1,,PA a a a =- ，cos ,AB PA AB PA AB PA ⋅==⋅ P 到直线AB的距离为PA==，同理可得P 到直线1CC 和11D A，故1DB 上的点到三条直线111,,AB CC D A 的距离都相等，故有无数个，错误；对选项D ：1DB 上的点到三条直线111,,AB CC D A的距离都相等，故有无数个，正确；故选：D 11【分析】先求得圆心到直线:50l x y --=的距离为22d =，再利用圆的弦长公式，即可求解．【详解】由题意，圆()()22:221C x y -++=的圆心坐标为(2,2)C -，半径为1r =，圆心到直线:50l x y --=的距离为22d =，由圆的弦长公式，可得==即直线l 被圆C【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记圆的弦长公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．12．()()22125x y +++=【分析】设所求圆的标准方程为()()222x a y b r -+-=，代入各点坐标求出,,a b r 的值即可.【详解】由题意设所求圆的标准方程为()()222x a y b r -+-=，代入各点坐标得，()()()222222222204a b r a b r a b r ⎧+=⎪⎪--+=⎨⎪-+--=⎪⎩，解得2125a b r =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故所求圆的标准方程为()()22125x y +++=.故答案为：()()22125x y +++=.13．111244a b c ++【详解】因为在四面体O ABC -中，,,,OA a OB b OC c D ===为BC 的中点，E 为AD 的中点，()1222OA OD O OE A OD ∴=+=+()111222a OB OC=+⨯+ ()1111124244a b c a b c =++=++，故答案为111244a b c ++.14．外离【分析】根据圆的位置关系直接得出.【详解】根据两圆的方程可知()()122,0,2,1O O -，得12O O =，12r =，22r =，所以12124O O r r >=+，所以两圆外离.故答案为：外离.15．②③④【分析】通过求出数列的递推式，找出,1kn k -之间的关系，即可得出结论.【详解】由题意，在数列{}n a 中，()*,01nn a n k n k =⋅∈<<N ，∴11n n a n ka n ++=，∵01k <<，∴当1k n k <-时，11n n a a +>,即1;n n a a +>当1k n k >-时，11n n a a +<，即1n n a a +<.当12k =时，212121,,112222a a a a ⎛⎫==== ⎪⎝⎭，故数列{}n a 不是递减数列，故①不正确.当14k =时，11411314k n k ==<--，1n n a a +<，故数列{}n a 是递减数列，故②正确.当102k <<时，(0,1)1k k ∈-，所以数列{}n a 是递减数列，故③正确.当1k k -为正数时，令*N 1k n k =∈-,所以1,112n k n ⎡⎫=∈⎪⎢+⎣⎭.12k =时，1212a a ==,数列{}n a 从第二项起递减，所以此时数列{}n a 有两项相等的最大值；112k <<时，数列从第一项到第n 1-项递增，从第1n +项起递减，22111111n n a n n n n k a n n n n -===>--+-，所以1n n a a ->，11111n n a n n nk a n n n +++===+,所以1n n a a +=,所以此时数列{}n a 有两项相等的最大值，故④正确.选答案为：②③④.【点睛】关键点点睛：本题考查数列的递推式，递增递减数列的判断，考查学生数学思维和理解题意的能力，计算的能力，具有很强的综合性.16．(1)证明见详解(2)【分析】（1）连连接BD 与AC 交于点O ，根据中位线定理可知1//OE BD ，然后根据线面平行的判定定理可得.（2）建立空间直角坐标系，计算AD，平面ACE 的一个法向量，然后根据空间向量的夹角公式计算即可.【详解】（1）如图所示：，连接BD 与AC 交于点O ，因为O ，E 为中点，所以1//OE BD ,又OE ⊂平面ACE ，1BD ⊄平面ACE ，所以1//BD 平面ACE ；（2）建立如图所示的空间直角坐标系令2AB =，所以()()()()0,0,0,0,2,0,2,2,,0,0,2,1A D C E ()()()0,2,0,2,2,0,0,2,1AD AC AE ===设平面ACE 的一个法向量为(),,n x y z =所以2200200x y n AC y z n AE ⎧+=⎧⋅=⇒⎨⎨+=⋅=⎩⎩，令1,1,2y x z =-==所以()1,1,2n =- ，所以直线AD 与平面ACE 所成角的正弦值6n AD n AD ⋅=⋅ 17．(1)13·2n n a -=，2n c n =-(2)1322n n b n -=⋅+-，21332322=⋅-+-n n T n n 【分析】（1）根据等差数列、等比数列定义求解；（2）先写出数列{}n b 的通项公式，再分组求和即可求解.【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，因为13a =，34124a a q ==，所以2q =，即132n n a -=⋅，设等差数列{}n c 公差为d ，因为1111c a b =-=-，444132c a b c d =-=+=，所以1d =，即2n c n =-.（2）因为n n n c a b =-，所以n n n b a c =-,由（1）可得1322n n b n -=⋅+-，设{}n b 前n 项和为n T ，()()131242212-=⋅+++⋅⋅⋅++-++⋅⋅⋅+n n T n n 21232122n n n n -+=⋅+--21332322n n n =⋅-+-.18．(1)5b =(2)3A π=，ABC S = 【分析】（1）若选①，则直接利用余弦定理可求得b ，若选②，先由同角三角函数的关系求出sin ,sin B C ，然后由正弦定理可求出b ，（2）若选①，先求出sin C ，再利用正弦定理可求出角A ，利用面积公式可求出其面积，若选②，由于cos cos()A B C =-+，利用两角和的余弦公式展开计算可求出角A ，利用面积公式可求出其面积，【详解】（1）选择条件①因为1cos 7C =，8c =，7a =，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得216449147b b =+-⨯，化简得22150b b --=，解得5b =或3b =-（舍）.所以5b =；选择条件②因为11cos 14B =，0B π<<，所以sin B =，因为1cos 7C =，0C π<<，所以sin 7C ==，由正弦定理得sin sin b cB C =，得=，解得5b =；（2）选择条件①因为1cos 7C =，0C π<<，所以sin 7C =.由正弦定理sin sin ac A C =，得7sin A =，所以sin A ，因为c a >，所以C A >，所以A 为锐角，所以3A π=，所以11sin 75227ABC S ab C ==⨯⨯ 选择条件②由（1）知sin B =，sin 7C =，又因为11cos 14B =，1cos 7C =，在ABC 中，()A B C π=-+，所以cos cos()cos cos sin sin A B C B C B C=-+=-+11111472=-⨯+因为0A π<<所以3A π=，所以11sin 5822ABC S bc A ==创△19．(Ⅰ)见解析(Ⅱ)1m =.(Ⅲ)不存在，见解析【分析】（I ）通过证明,AE BC AE PB ⊥⊥，证得⊥AE 平面PBC .（II ）建立空间直角坐标系，利用二面角C AE D --的余弦值列方程，解方程求得m 的值.（III ）设出F 点的坐标，利用0PF CE ⋅= 列方程，推出矛盾，由此判断满足条件的F 点不存在.【详解】(Ⅰ)证明:因为AD ⊥平面PAB ,//BC AD ,所以BC ⊥平面PAB .又因为AE ⊂平面PAB ,所以AE BC ⊥.在PAB ∆中,PA AB =,E 是PB 的中点,所以AE PB ⊥.又因为BC PB B = ,所以⊥AE 平面PBC .(Ⅱ)解:因为AD ⊥平面PAB,所以AD AB ⊥,AD PA ⊥.又因为PA AB ⊥,所以如图建立空间直角坐标系A xyz -.则(0,0,0)A ,(0,2,0)B ,(0,2,)C m ,(1,1,0)E ,(2,0,0)P ,(0,0,3)D ,(0,2,)AC m = ,(1,1,0)AE = .设平面AEC 的法向量为(,,)n x y z = .则0,0,n AC n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩即20,0.y mz x y +=⎧⎨+=⎩令1x =,则1y =-,2z m =,于是2(1,1,)n m =- .因为AD ⊥平面PAB ,所以AD PB ⊥.又PB AE ⊥,所以PB ⊥平面AED .又因为(2,2,0)PB =- ,所以取平面AED 的法向量为1,)0(1,m =- .所以cos ,3n m n m n m⋅〈〉==⋅ ,,解得21m =.又因为0m >,所以1m =.(Ⅲ)结论:不存在.理由如下:证明:设(0,0,)F t (03)t ≤≤.当2m =时,(0,2,2)C .(2,0,)PF t =- ,(1,1,2)CE =-- .由PF CE ⊥知,0PF CE ⋅=,220t --=,1t =-.这与03t ≤≤矛盾.所以,在线段AD 上不存在点F ,使得PF CE ⊥.【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查根据二面角的余弦值求参数，考查存在性问题的求解，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20．(1)2212x y +=(2)1【分析】（1）根据题意，列出关于,,a b c 的标准方程，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，设直线l ：3y kx =-，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，代入计算，即可得到结果.【详解】（1）22212b c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩得11a b c ⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的方程为：2212x y +=.（2）设直线l ：3y kx =-，则22322y kx x y =-⎧⎨+=⎩，消y 得：()221212160k x kx +-+=，()22Δ14464120k k =-+>，所以()(),22,k ∈-∞-⋃+∞，设()11,A x y ，()22,B x y ，所以1221212kx x k +=+，1221612x x k =+，因为()0,1P ，所以1111y kx -=，2221y k x -=，()()12121212124411kx kx y y k k x x x x ----⋅==()2121212416k x x k x x x x -++=2222222164816321212121612k k k k k k k +-++++=+1=21．(1)列表见解析(2)证明见解析(3)答案见解析【分析】（1）根据函数的定义以及定义域与值域的定义，可得答案；（2）利用分类讨论的思想，结合题意，可得答案；（3）根据（2）的结论，化简数列，根据运算，可得答案.【详解】（1）12345678910()1f x 2175349108/66/8()2f x 1293758/66/810/44/10（2）按泛函数的定义，()()(),i j f i f j i j D ≠⇔≠∀∈①任取i D ∈，则()()()1210,,,,D i f i f i f i ⋅⋅⋅∈，所以，其中必有两个相等.情形一，存在()()110j f i i j =≤≤，则取i n j =即可；情形二，存在()()(110)j k f i f i j k =≤<≤，由①，得()()11j k f i f i --=，连续应用①j 次，即得()k j f i i -=，取正整数i n k j =-即可.综上，命题得证.（3）因为3225202357=⨯⨯⨯，所以2520是1,2,3,,10⋅⋅⋅的公倍数，从而2520是（2）中每个i n 的倍数，因此()2520f i i =，i D ∀∈，故()()()()2520125202252032520101,2,3,,10S f x f x f x f x =⋅⋅⋅1231012310x x x x =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，由排序不等式，可知当()10,9,8,7,6,5,4,3,2,1π=时，S 最小，并且min 1102938101S =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅()()2222111231012310=+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+10111011211122026⨯⨯⨯=⨯-=.。

课程编号：A 071001 北京理工大学2007-2008学年第一学期2007级《微积分A 》期中试卷班级 学号 姓名 成绩一、 填空（每小题3分，共30分）1．设0≠a . 当0→x 时，335a x a -+是x 的n 阶无穷小，其中=n 5 .2．设函数)(x y y =由方程x y x e xy cos 22=-确定， 则=')0(y 1 .3．曲线)0()1ln(>+=x x e x y 的斜渐近线为 e x y 1+=. 4．设⎩⎨⎧>≤++=0)arctan(02)(2x ax x b x x x f 在0=x 点处连续且可导，则=a 2 ，=b 0 .5．若)(x ϕ'存在，22arcsin )(sec x x y +ϕ=，则=dy dx xx x x )1tan sec (242-+ϕ'. 6．若曲线b ax x y ++=2与y x y 212+-=在点)1,1(-处相切，则=a -4 ，=b 2 .7．已知)(x f 在0=x 处可导，且,31arctan lim )(0=-→x f x e x 则=)0(f 0 , =')0(f 31. 8．数列极限=+π∞→)24(tan lim n n n 4e . 9．已知方程02=--a x e x 有实根，则a 应满足的条件是: 2ln 22-≥a .10．设),2cos(2x x y = 则=)0()10(y 9245⨯.二、（10分）设⎩⎨⎧+==)1ln(arctan 4t y t x ，求22,dx y d dx dy ，并求曲线)(x y y =在参数0=t 对应点处的曲率. 解：,1)1(44231114243t t t x y dx dy t t t t t ++==''=++ ………………………………..分 242642222)1()1)(53(4t t t t t t dx y d +++-+= ……………………………….分 0=t 时， 0,022==dxy d dx dy ， ……………………………….分 曲率为：.0|)1(||0223='+''==t y y k …………………………………..分三、（10分）设)1ln()(x x f +=，由拉格朗日中值定理, 得：)1 , 0(, 1∈∃->∀θx ， 使得 θθx x x x f x x +='=+-+=+1)()01l n ()1l n ()1l n (. 求极限θ0lim →x 的值. 解：由已知得：,)1ln()1ln(x x x x ++-=θ ………………………………..分 .21)1(2lim 2111lim 00=+=+-=→θ→θx x x x x ……………………..分 四、（10分） 证明不等式：当0>x 时，.1)1ln(122x x x x +>+++证明：设221)1ln(1)(x x x x x f +-+++=，则.0)0(=f …………..分 ,0)1ln ()(2>++='x x x f ………………………………..分所以当0>x 时，)(x f 单增，从而.0)(>x f 即.1)1ln(122x x x x +>+++ ………………………………..分五、（10分）设函数bx ax x x f ++=23)(在1=x 处有极值2-.（1）试确定系数b a ,； （2）求出)(x f y =的所有极值及单调区间；（3）求曲线)(x f y =的凹凸区间和拐点.解：（1）由已知条件知：,023)23()1(12=++=++='=b a b ax x f x ,21)1(-=++=b a f 解得：.3,0-==b a …………………………..分（2）)1)(1(333)(2+-=-='x x x x f ，令,0)(='x f 得驻点1-<x 时，有,0)(>'x f 11<<-x 时，有,0)(<'x f1>x 时，.0)(>'x f 知1-=x 为极大值点，1=x 为极小值点；极大值为,2)1(=-f 极小值为 .2)1(-=f …………………………..分（3）x x f 6)(=''，令,0)(=''x f 得0=x ，0<x 时，0)(<''x f ，曲线为凸弧；0>x 时，0)(>''x f ，曲线为凹弧.拐点为（0，0）. ………………………………..分六、（10分）设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,arctan )(2x x x x x f ，试求)(x f '的表达式，并讨论)(x f '在0=x 处的连续性，若0=x 是间断点，请指出间断点的类型.解：当0≠x 时，222arctan 1arctan 2)(xx x x x x f -+=' .)1(]a r c t a n )1(2[a r c t a n 222x x x x x x ++-=…………………..分 当0=x 时，1arctan lim )0()(lim )0(2200==-='→→xx x f x f f x x 所以 .010)1(]a r c t a n )1(2[a r c t a n )(222⎪⎩⎪⎨⎧=≠++-='x x x x x x x x x f …………………………..分 所以)(x f '在0=x 处连续。

2023-2024学年北京市清华附中高一（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合A ＝{﹣1，0}，B ＝{x |﹣1＜x ＜1}，则A ∩B ＝（）A.{﹣1}B.{0}C.{﹣1，0}D.{﹣1，0，1}2.命题()21,0,0x x x ∀∈-+<的否定是（）A.()21,0,0x x x ∀∈-+> B.()21,0,0x x x ∀∈-+≤C.()21,0,0x x x ∃∈-+> D.()21,0,0x x x ∃∈-+≥3.下列函数中，既是偶函数又在()0,∞+上单调递增的是（）A.y x=- B.2y x = C.3y x = D.1y x=-4.已知()f x 为R 上的奇函数，当0x >时，()31f x x x=+，则()()10f f -+=（）A.2-B.0C.2D.45.已知a b c >>，0a b c ++=，则下列结论一定正确的是（）A.0a c +> B.0a b +< C.0ab > D.0ac <6.函数()22f x x x =-，[]2,2x ∈-的值域是（）A.[]1,0- B.[]0,8 C.[]1,8D.[]1,8-7.已知正数x ，y 满足1x y +=，则112x y+的最小值是（）A.B. C.32D.2+8.若函数()22f x x ax =-+与函数()ag x x=在区间[]1,2上都是减函数，则a 的取值范围是（）A.()()1,00,1-U B.()(]1,00,1-U C.()0,1 D.(]0,19.对R x ∀∈，[]x 表示不超过x 的最大整数，我们把[]()f x x =，x ∈R 称为取整函数，以下关于“取整函数”的性质叙述错误的是（）A .R x ∃∈，[][]442x x =+ B.R x ∀∈，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦C.,x y ∀∈R ，[][][]+≤+x y x yD.,x y ∀∈R ，[][]x y =，则1x y -<10.已知集合{}115M x N x =∈≤≤，集合A 1，A 2，A 3满足：①每个集合都恰有5个元素；②123A A A M ⋃⋃=．集合A i 中元素的最大值与最小值之和称为集合A i 的特征数，记为()1,2,3i X i =，则123X X X ++的最大值与最小值的和为（）A.56B.72C.87D.96二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数()1f x x=-的定义域是___________.12.已知二次函数()f x 同时具有以下性质：①()f x 有2个零点；②()f x 在()0,∞+上是增函数．写出符合上述条件的一个函数f （x ），其解析式为()f x =______．13.已知函数()2,,0x x t f x x x t ⎧≥=⎨<<⎩（0t >）．①当1t =时()f x 的值域为__________；②若()f x 在区间()0,∞+上单调递增，则t 的取值范围是__________．14.50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数是__________.15.已知函数()2||f x x x a =-+，下列命题中：①R,()a f x ∀∈都不是R 上的单调函数；②R a ∃∈，使得()f x 是R 上偶函数；③若()f x 的最小值是54-，则1a =-；④0a ∃<，使得()f x 有三个零点．则所有正确的命题的序号是_____．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.求下列关于x 的不等式的解集．（1）23100x x -->；（2）4101x +≤-；（3）22(2)0x x a a ++-<．17.设集合{}{}2|230,|A x x x B x x a =--=＜＜．（1）当2a =时，分别求R ,A B A B ð；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18.关于x 的方程()()2221100k x k x k +++=≠有两个不等实根1x ，2x ．（1）求实数k 的取值范围；（2）当1k =时，求2212x x +的值；（3）若212118x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求实数k 的值．19.某公司计划投资A ，B 两种金融产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润1y 与投资金额x 的函数关系为11801810y x =-+，B 产品的利润2y 与投资金额x 的函数关系为25xy =（注：利润与投资金额单位：万元）．现在该公司有100万元资金，并全部投入A ，B 两种产品中且均有投，其中x 万元资金投入A 产品．（1）请把A ，B 两种产品利润总和y 表示为x 的函数，并直接写出定义域；（2）在（1）的条件下，当x 取何值时才能使公司获得最大利润？20.已知二次函数()f x 最小值为9-，且1-是其一个零点，R x ∀∈都有()()22f x f x -=+．（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在区间[]1,a -上的最小值；（3）是否存在实数a 满足：对[]1,x a ∀∈-，都有()11f x a ≥-恒成立？若存在，求实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．21.对非空整数集合M 及N k ∈，定义{}|,,1,,M k m t m M t k k k ⊕=+∈=--+ ，对于非空整数集合A ，B ，定义(){},min N|,d A B k A B k B A k =∈⊆⊕⊆⊕.（1）设{}2,4,6M =，请直接写出集合1M ⊕；（2）设{}1,2,3,4,,100A = ，(),1d A B =，求出非空整数集合B 的元素个数的最小值；（3）对三个非空整数集合A ，B ，C ，若(),4d A B =且(),1d B C =，求(),d A C 所有可能取值．2023-2024学年北京市清华附中高一（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合A ＝{﹣1，0}，B ＝{x |﹣1＜x ＜1}，则A ∩B ＝（）A.{﹣1}B.{0}C.{﹣1，0}D.{﹣1，0，1}【答案】B【分析】根据交集的定义运算即可.【详解】集合{}1,0A =-，集合{}11B x x =-<<，所以{}0A B ⋂=，故选：B2.命题()21,0,0x x x ∀∈-+<的否定是（）A.()21,0,0x x x ∀∈-+> B.()21,0,0x x x ∀∈-+≤C.()21,0,0x x x ∃∈-+> D.()21,0,0x x x ∃∈-+≥【答案】D【分析】全称命题的否定为特称命题.【详解】命题为全称命题，则命题的否定为()2100x x x ∃∈-+≥，，.故选：D3.下列函数中，既是偶函数又在()0,∞+上单调递增的是（）A.y x =-B.2y x = C.3y x = D.1y x=-【答案】B【分析】根据函数的奇偶性、单调性确定正确答案.【详解】函数3y x =和函数1y x=-是奇函数，不符合题意，CD 选项错误.函数,0,0x x y x x x -≥⎧=-=⎨<⎩是偶函数，且在()0,∞+上递减，不符合题意，A 选项错误.函数2y x =是偶函数，且在()0,∞+上单调递增，符合题意，B 选项正确.故选：B4.已知()f x 为R 上的奇函数，当0x >时，()31f x x x=+，则()()10f f -+=（）A.2-B.0C.2D.4【答案】A【分析】根据函数的奇偶性求得正确答案.【详解】依题意，()f x 为R 上的奇函数，所以()00f =，且()()3111121f f ⎛⎫-=-=-+=- ⎪⎝⎭，所以()()102f f -+=-.故选：A5.已知a b c >>，0a b c ++=，则下列结论一定正确的是（）A.0a c +>B.0a b +< C.0ab > D.0ac <【答案】D【分析】根据已知得00a c ><，，由此可判断得选项.【详解】解：因为a b c >>，0a b c ++=，所以一定有00a c ><，，b 的符号不能确定，所以a c +，ab 的符号不能确定,0a b +>，一定成立的是0ac <，故选：D.6.函数()22f x x x =-，[]2,2x ∈-的值域是（）A.[]1,0- B.[]0,8 C.[]1,8D.[]1,8-【答案】D【分析】求出函数的对称轴，结合二次函数的单调性和对称性进行求解即可．【详解】()22f x x x =-，对称轴为1x =，[]2,2x ∈-，∴函数()f x 在[]2,1-上单调递减，在(]1,2上单调递增，()()min 11f x f ∴==-，由对称性可得()()max 28f x f =-=，所以函数()f x 的值域是[]1,8-.故选：D.7.已知正数x ，y 满足1x y +=，则112x y+的最小值是（）A.B. C.32D.2+【答案】C【分析】根据“1”的代换，结合基本不等式，即可得出答案.【详解】由已知可得，()111122x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭131222y x x y =+++≥32=当且仅当2y xx y=，且1x y +=，即1x =-，2y =-所以，13212x y ++≥故选：C .8.若函数()22f x x ax =-+与函数()ag x x=在区间[]1,2上都是减函数，则a 的取值范围是（）A.()()1,00,1-U B.()(]1,00,1-U C.()0,1 D.(]0,1【答案】D【分析】根据二次函数和反比例函数的单调性可得答案.【详解】因为函数()22f x x ax =-+在区间[]1,2上是减函数，所以1a ≤，因为()ag x x=在区间[]1,2上是减函数，所以0a >，所以a 的取值范围是01a <≤，故选：D9.对R x ∀∈，[]x 表示不超过x 的最大整数，我们把[]()f x x =，x ∈R 称为取整函数，以下关于“取整函数”的性质叙述错误的是（）A.R x ∃∈，[][]442x x =+B.R x ∀∈，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦C.,x y ∀∈R ，[][][]+≤+x y x yD.,x y ∀∈R ，[][]x y =，则1x y -<【答案】C【分析】可取特殊值判断AC ，利用不等式性质及取整数的意义推理可判断选项BD.【详解】对于A ，当0.5x =时，[][][]440.52422x x =⨯==+=，故A 正确；对于B ，设[],x m m =∈Z ，则1131,222m x m m x m ≤≤++≤+<+，12x m ⎡⎤∴+=⎢⎥⎣⎦或1m +.当12m x m ≤<+时，12x m ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，此时[]2221,22m x m x m ≤<+=，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦；当112m x m +≤<+时，13122m x m +≤+<+，112x m ⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦，此时21222m x m +≤<+，[][]12212x m x x ⎡⎤=+=++⎢⎥⎣⎦，综上，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦，故B 正确.对于C ，当0.5x y ==，[]1x y +=，[][]0x y +=，[][][]x y x y +>+，故C 错误；对于D ，若[][]x y =，设[][],x y n n ==∈Z ，则1n x n ≤<+，1n y n ≤<+()()11,11x y n n x y n n ∴-<+-=->-+=-，从而1x y -<，故D 正确；故选：C.10.已知集合{}115M x N x =∈≤≤，集合A 1，A 2，A 3满足：①每个集合都恰有5个元素；②123A A A M ⋃⋃=．集合A i 中元素的最大值与最小值之和称为集合A i 的特征数，记为()1,2,3i X i =，则123X X X ++的最大值与最小值的和为（）A.56B.72C.87D.96【答案】D【分析】根据题意分别列出三个集合特征数取得最大值和最小值时的元素情况，再分别进行计算各自的特征值，即可求解.【详解】由题意集合{}{}115=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,1213,14,15M x N x =∈≤≤，，当{}{}{}1231,4,5,6,7,3,12,13,14,15,2,8,9,10,11A A A ===时，123X X X ++取得最小值，123=8+18+13=39X X X ++；当{}{}{}1231,2,3,4,15,5,6,7,8,14,9,10,11,12,13A A A ===时，123X X X ++取得最大值，123=16+19+22=57X X X ++；123X X X ∴++的最大值与最小值的和为：395796+=.故选：D.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数()1f x x=-的定义域是___________.【答案】[)()0,11,⋃+∞【分析】要使函数()1f x x =-有意义，则有010x x ≥⎧⎨-≠⎩，解出即可.【详解】要使函数()1f x x =-有意义，则有010x x ≥⎧⎨-≠⎩，解得0x ≥且1x ≠所以函数()1f x x=-的定义域是[)()0,11,⋃+∞故答案为：[)()0,11,⋃+∞12.已知二次函数()f x 同时具有以下性质：①()f x 有2个零点；②()f x 在()0,∞+上是增函数．写出符合上述条件的一个函数f （x ），其解析式为()f x =______．【答案】21x -（答案不唯一）【分析】根据已知只需满足一元二次方程()0f x =有两个不相等的实数根，且开口方向向上，对称轴为y 轴或y 轴的左侧即可.【详解】设()21f x x =-，解()210f x x =-=可得，1x =±，所以，1-和1是()f x 的2个零点，满足条件①；()21f x x =-的对称轴为0x =，根据二次函数的性质可知，()f x 在()0,∞+上是增函数，满足条件②．所以，()21f x x =-满足题意.故答案为：()21f x x =-（答案不唯一）.13.已知函数()2,,0x x t f x x x t ⎧≥=⎨<<⎩（0t >）．①当1t =时()f x 的值域为__________；②若()f x 在区间()0,∞+上单调递增，则t 的取值范围是__________．【答案】①.()0,∞+②.[)1,∞+【分析】当1t =时，分别求出两段函数的值域，取并集即可；若()f x 在区间()0,∞+上单调递增，则有20t t t>⎧⎨≥⎩，解之即可得解.【详解】解：当1t =时，若1x ≥，则()[)21,f x x =∈+∞，若01x <<，则()()0,1f x x =∈，所以当1t =时()f x 的值域为()0,∞+；由函数2,,0x x t x x t⎧≥⎨<<⎩（0t >），可得函数()f x 在()0,t 上递增，在(),t +∞上递增，因为()f x 在区间()0,∞+上单调递增，所以20t t t >⎧⎨≥⎩，解得1t ≥，所以若()f x 在区间()0,∞+上单调递增，则t 的取值范围是[)1,+∞.故答案为：()0,∞+；[)1,+∞.14.50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数是__________.【答案】45【分析】根据条件作出Venn 图，然后即可求解出仅参加了一项活动的学生人数.【详解】如图所示：根据条件可知：甲、乙两项体育活动都参加的有：3025505+-=人，所以单独参加甲活动的有：30525-=人，单独参加乙活动的有：25520-=人，所以仅参加了一项活动的学生人数为：202545+=人，故答案为：45.【点睛】本题考查利用Venn 图解决集合的交、并问题，主要考查学生对Venn 图的理解以及运用，难度较易.15.已知函数()2||f x x x a =-+，下列命题中：①R,()a f x ∀∈都不是R 上的单调函数；②R a ∃∈，使得()f x 是R 上偶函数；③若()f x 的最小值是54-，则1a =-；④0a ∃<，使得()f x 有三个零点．则所有正确的命题的序号是_____．【答案】①②④【分析】对于①，分段讨论脱去绝对值符号，结合二次函数的对称性以及单调性可判断；对于②，可取特殊值，结合奇偶性定义进行判断；对于③，分类讨论，结合二次函数的最小值求出a 的值，即可判断；对于④，举特殊值，说明符合题意即可判断.【详解】对于①，当x a ≥-时，()2f x x x a =--，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为12x =，当x a <-时，()2f x x x a =++，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为12x =-，即22,(),x x a x a f x x x a x a⎧--≥-=⎨++<-⎩，且()()22a a a a ----=，()()22a a a a -+-+=，即在x a =-处的函数值相等，由于()2f x x x a =++的对称轴在()2f x x x a =--的对称轴的左侧，则存在区间(,)(,)m a +∞⊆-+∞，使()2f x x x a =--在(,)m +∞上递增，存在区间(,)(,)n a -∞⊆-∞-，使()2f x x x a =++在(,)n -∞上递减，故R,()a f x ∀∈都不是R 上的单调函数，①正确；对于②，当0a =时，()2||f x x x =-，定义域为R ，此时22()()||||()f x x x x x f x =---=-=，即()f x 为偶函数，②正确；对于③，由①的分析可知()f x 的最小值在12x =或12x =-时取到，22,(),x x a x af x x x a x a⎧--≥-=⎨++<-⎩，111||242f a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，111()||242f a -=--，当12a >时，函数最小值在12x =处取到，由1115||2424f a ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，解得1a =或2a =-（舍去）；当12a <-时，函数最小值在12x =-处取到，由1115||2424f a ⎛⎫-=--+=- ⎪⎝⎭，解得1a =-或2a =（舍去）；当1122a -≤≤时，由于115244f a ⎛⎫=-->- ⎪⎝⎭，115244f a ⎛⎫-=-+>- ⎪⎝⎭恒成立，不合题意，舍去；故()f x 的最小值是54-，则1a =-或1a =，③错误；对于④，当0a <时，22,(),x x a x a f x x x a x a ⎧--≥-=⎨++<-⎩，当211022a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即14a =-时，当14x ≥时，令2104x x -+=，解得1124x =>；当14x <时，令2104x x +-=，解得12124x -±=<；即此时()f x 有三个零点，④正确，故答案为：①②④【点睛】难点点睛：本题考查了函数的单调性以及奇偶性以及零点问题，综合性较强，解答时难点在于二次函数的性质的灵活应用，要注意分类讨论，注意函数最值的确定.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.求下列关于x 的不等式的解集．（1）23100x x -->；（2）4101x +≤-；（3）22(2)0x x a a ++-<．【答案】（1）(,2)(5,)-∞-⋃+∞（2）[3,1)-（3）答案见解析【分析】（1）因式分解即可；（2）通分，变形为乘积的形式，结合二次不等式即可；（3）因式分解，讨论两根大小即可.【小问1详解】由23100x x -->，得(5)(2)0x x -+>，则<2x -或5x >，所以解集为(,2)(5,)-∞-⋃+∞【小问2详解】由4101x +≤-，得301x x +≤-，(3)(1)010x x x +-≤⎧⎨-≠⎩，解得31x -≤<，所以解集为[3,1)-【小问3详解】由22(2)0x x a a ++-<，得()(2)0x a x a ++-<，当2a a -<-时，即1a >时，解集为(,2)a a --，当1a =时，解集为∅，当1a <时，解集为(2,)a a --.17.设集合{}{}2|230,|A x x x B x x a =--=＜＜．（1）当2a =时，分别求R ,A B A B ð；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】17.()[)R 2,3,2,3A B A B =-= ð18.3a ≥【分析】（1）根据交并补的概念求解；（2）根据“充分不必要条件”的定义求解.【小问1详解】由题意：{}()()()2|2301,3,2,2,2,2,3A x x x a B A B =--=-==-∴=- ＜，(][)R ,22,B =-∞-+∞ ð，[)R 2,3A B = ð；【小问2详解】由题意，A 是B 的真子集，,B a ∴≠∅＞0,(),,1,3,3B a a a a a =-∴-≤-≥∴≥；综上，（1）()[)R 2,3,2,3A B A B =-= ð，（2）3a ≥.18.关于x 的方程()()2221100k x k x k +++=≠有两个不等实根1x ，2x ．（1）求实数k 的取值范围；（2）当1k =时，求2212x x +的值；（3）若212118x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求实数k 的值．【答案】（1）()1,00,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭（2）14（3）1k =-【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式进行求解即可；（2）（3）利用一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.【小问1详解】因为关于x 的方程()()2221100k x k x k +++=≠有两个不等实根1x ，2x ，所以有()22012Δ2140k k k k ≠⎧⎪⇒>-⎨⎡⎤=+->⎪⎣⎦⎩且0k ≠，所以实数k 的取值范围为()1,00,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ ；【小问2详解】当1k =时，根据一元二次方程根与系数的关系可知：()1212222114,1k x x x x k k++=-=-==，所以()222121212216214x x x x x x +=+-=-=；【小问3详解】根据一元二次方程根与系数的关系可知：()121222211,k x x x x k k++=-=，()()222222112122211188841811k x x k k k x x x x k +⎡⎤-⎢⎥⎛⎫⎛⎫++=⇒=⇒=⇒+=⇒=-±⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦因为实数k 的取值范围为()1,00,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ ，所以1k =-+19.某公司计划投资A ，B 两种金融产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润1y 与投资金额x 的函数关系为11801810y x =-+，B 产品的利润2y 与投资金额x 的函数关系为25x y =（注：利润与投资金额单位：万元）．现在该公司有100万元资金，并全部投入A ，B 两种产品中且均有投，其中x 万元资金投入A 产品．（1）请把A ，B 两种产品利润总和y 表示为x 的函数，并直接写出定义域；（2）在（1）的条件下，当x 取何值时才能使公司获得最大利润？【答案】19.()180138,0,100105y x x x =--∈+20.20x =时，利润最大.【分析】（1）A ，B 对于投资金额下的利润求和得到总利润的函数关系式即可；（2）结合函数式特点利用均值不等式求函数最值.【小问1详解】由题意，x 万元投入A 产品，则100x -万元投入B 产品，则()12180118011810038105105y y y x x x x =+=-+-=--++，()0,100x ∈.【小问2详解】由（1）得，1801180103840105105x y x x x +⎛⎫=--=-+ ⎪++⎝⎭4028≤-=，当且仅当18010105x x +=+，即20x =时等号成立，所以当20x =时，公司利润最大.20.已知二次函数()f x 最小值为9-，且1-是其一个零点，R x ∀∈都有()()22f x f x -=+．（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在区间[]1,a -上的最小值；（3）是否存在实数a 满足：对[]1,x a ∀∈-，都有()11f x a ≥-恒成立？若存在，求实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）()245f x x x =--（2）()()()2min45,129,2a a a f x a ⎧---≤≤⎪=⎨->⎪⎩（3）12a ≤≤【分析】（1）由题意可设二次函数的顶点式，利用待定系数法即可求()f x 的解析式；（2）由函数的单调性，分12a ≤≤和2a >两种情况进行讨论；（3）因()11f x a ≥-对[]1,x a ∀∈-恒成立，故可转化成对[]1,x a ∀∈-，()min 11f x a ≥-恒成立，借助（2）的结论解不等式即可.【小问1详解】因为对R x ∀∈都有()()22f x f x -=+，所以()f x 关于直线2x =对称，又因为二次函数()f x 的最小值为9-，所以可设二次函数的解析式为()()()2290f x a x a =-->，又因为1-是其一个零点，所以()()211290f a -=---=，解得1a =，所以()f x 的解析式为()()222945f x x x x =--=--.【小问2详解】由（1）可知，函数()f x 在(),2-∞上单调递减，在()2,+∞上单调递增，所以，当12a ≤≤时，()()2min 45f x f a a a ==--，当2a >时，()()min 29f x f ==-，()()()2min 45,129,2a a a f x a ⎧---≤≤⎪=⎨->⎪⎩.【小问3详解】因为对[]1,x a ∀∈-，都有()11f x a ≥-恒成立，由（2）可知，对[]1,x a ∀∈-，()min 11f x a ≥-恒成立，即2124511a a a a -≤≤⎧⎨--≥-⎩或2911a a >⎧⎨-≥-⎩，解得12a ≤≤，故存在实数a 符合题意，实数a 的取值范围12a ≤≤.21.对非空整数集合M 及N k ∈，定义{}|,,1,,M k m t m M t k k k ⊕=+∈=--+ ，对于非空整数集合A ，B ，定义(){},min N|,d A B k A B k B A k =∈⊆⊕⊆⊕.（1）设{}2,4,6M =，请直接写出集合1M ⊕；（2）设{}1,2,3,4,,100A = ，(),1d A B =，求出非空整数集合B 的元素个数的最小值；（3）对三个非空整数集合A ，B ，C ，若(),4d A B =且(),1d B C =，求(),d A C 所有可能取值．【答案】（1）{}11,2,3,4,5,6,7M ⊕=（2）34（3）3或4或5【分析】（1）直接由M k ⊕的定义计算即可求解.（2）若(),1d A B =，则1A B ⊆⊕，则只需每个i b B ∈组成的数组()1,,1i i i b b b -+能够覆盖{}1,2,3,4,,100A =即可，从而min 1001343B ⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数.（3）首先证明()()M k l M k l ⊕⊕⊆⊕+，其次结合(),d A B 的定义得出d 满足距离的三角不等式：()()(),,,d A C d A B d B C ≤+，从而运用到本题中即可得解.【小问1详解】若{}2,4,6M =，则由集合新定义可知{}{}{}{}1,3,52,4,63,7,755,6,M =⊕⋃=⋃.【小问2详解】设B 有B 个元素，下证min 34B =.一方面，{}2,5,8,,98,101B = ，则0A B B ⊆⊕=，所以(),0d A B ≠，即(),1d A B ≥，而{}0,1,2,3,4,,1011B A ⊆⊕= ，{}1,2,3,4,,1021A B ⊆⊕= ，这表明了(),1d A B =满足题意，此时10121343B -=+=，故min 34B =；另一方面：若33B j =≤，不妨设{}`12,,,j B b b b = 且`12j b b b <<< ，由题意可知{}{}{}1112221,,11,,11,,11j j j b b b b b b b B b b A -+⋃⊆-+⋃⋃-⊕=+ ，而1B ⊕最多含有399j ≤个元素，当且仅当{}()1,,1,1k k k b b b k j -+≤≤两两不同且33B j ==时，等号成立，但这与A 有100个元素矛盾，所以34B j =≥.综上所述：非空整数集合B 的元素个数的最小值是34.【小问3详解】一方面：先来证明()()M k l M k l ⊕⊕⊆⊕+，{}{}|,,1,,Z |,M k m t m M t k k k n m M n m k ⊕=+∈=--+=∈∃∈-≤ ，因此只要12M M ⊆，就有12M k M k ⊕⊆⊕，而()x M k l ∀∈⊕⊕，p M k ∃∈⊕，x p l -≤，所以,m M p m k ∃∈-≤，所以x m x p p m x p p m l k -=-+-≤-+-≤+，即()x M k l ∀∈⊕+，从而()()M k l M k l ⊕⊕⊆⊕+.另一方面：如果(),d A B p =，(),d B C q =，(),d A C r =，那么A B p ⊆⊕，B C q ⊆⊕，()()B p C q p C p q ⊕⊆⊕⊕⊆⊕+，从而()A C p q ⊆⊕+，同理()C A p q ⊆⊕+，因此由定义可得()()(),,,d A C r d A B d B C p q =≤+=+，即d 满足距离的三角不等式；所以在本题中，()()(),,,415d A C d A B d B C ≤+=+=，()()(),,,413d A C d A B d B C ≥-=-=，即(){},3,4,5d A C ∈，取{}{}{}0,4,5A B C ===，可知(),5d A C =可能成立，取{}{}{}0,4,3A B C ===，可知(),3d A C =可能成立，取{}{}{}0,4,3,4A B C ===，可知(),4d A C =可能成立，综上所述，(),d A C 所有可能取值为3或4或5.【点睛】关键点点睛：第一问比较常规，直接按定义即可；第二问的关键是要注意到由题意有1A B ⊆⊕，从而只需每个i b B ∈组成的数组()1,,1i i i b b b -+能够覆盖{}1,2,3,4,,100A = 即可；而第三问的关键是要注意到d 表示距离，因此要联想到去证明距离的三角不等式()()(),,,d A C d A B d B C ≤+，从而顺利得解.。