微积分(2)期中考试试题

诚实考试吾心不虚 ，公平竞争方显实力， 考试失败尚有机会 ，考试舞弊前功尽弃。

《经济数学-微积分》课程期中模拟考试卷（A ）答案202 ——202 学年第一学期姓名学号班级题号 一二三四五六总分得分一、 单选题(每小题2分，共计10分)1.1=x 是函数xx f -=11arctan)(的 （ C ） A .连续点. B .可去间断点. C .跳跃间断点. D .无穷间断点.2.若1)0(='f ，则=--→hh f f h 3)()0(lim0（ B ） A . 0. B . 31. C . 3. D . 31-.3.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=.1,2;1,1|1|)(2x x x x x f 则在1=x 处函数)(x f （ A ）A . 不连续.B . 连续，但不可导.C . 可导，但导函数不连续.D . 可导，且导函数连续.4.设)(x f y =是由方程0ln =+y xy 确定的函数，则=dxdy（ C ） A . xy ln -. B . 2y -. C . 12+-xy y . D . xy y 12+-.5.设)(x f 在),(b a 内可导，),(0b a x ∈，若0)(0='x f ，则)(0x f （ D ）A . 是极大值.B .是极小值.C . 是拐点的纵坐标.D .可能是极值也可能不是极值.得分二、 填空题(每小题2分，共计10分)1. =+∞→)sin 1sin(lim xx x x x 1 .2. 设xx f 2)(=，则='-'→x f x f x )0()(lim0 2ln 2 . 3. 设xx f 211)(-=，则=)1()10(f !10210⋅- . 4. 设曲线2x y =的切线与曲线3x y =的切线相互垂直，则曲线2x y =上的点的横坐标=x 361- . 5. 函数x y cos =在23,2[ππ上符合罗尔定理结论中的=ξ π .三、计算题(每小题9分，共计54分)1. ])12()12(1531311[lim +⋅-++⋅+⋅∞→n n n .解: )12()12(1531311[lim +⋅-++⋅+⋅∞→n n n211211[21lim ]1211215131311[21lim =+-⋅=+--++-+-⋅=∞→∞→n n n n n .得分 得分2. 已知213)tan )(1ln(lim=-+→x x x x f ，求20)(lim x x f x →.解:由于3ln )(lim 3ln )(lim 3ln tan )(lim 13)tan )(1ln(lim220000x x f x x x f x x x f x x f x x x x x →→→→===-+=,所以3ln 2)(lim2=→x x f x 。

北 京 交 通 大 学2011-2012学年第二学期《微积分》期中考试试卷考试方式： 闭卷 任课教师：学院_____________ 专业___________________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________请注意：本卷共七道大题，如有不对，请与监考老师调换试卷！ 一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 设函数()21,0,0,y x f x y ⎧<<=⎨⎩其它，则(),f x y 在()0,0点 B 。

（A ）连续，且可偏导。

（B ）沿任何方向的方向导数都存在。

（C ）可微，且()0,00.df =（D ）(),x f x y 和(),y f x y 在()0,0点连续。

2. 设有三元方程ln 1.xyxy z y e -+=由多元隐函数存在定理，在()0,1,1的某邻域内，该方程 A 。

（A ）可以确定两个具有连续偏导数的隐函数(),x x y z =和(),y y x z =。

（B ）可以确定两个具有连续偏导数的隐函数(),x x y z =和(),.z z x y = (C) 可以确定两个具有连续偏导数的隐函数(),y y x z =和(),z z x y =。

（D ）只能确定一个具有连续偏导数的隐函数(),.z z x y = 3.设函数()f u 具有二阶连续导数，且()()'0,00,f u f>=则函数()()ln z f x f y =在点()0,0处取得极大值的一个充分条件是 D 。

（A ）()()"01,00.f f << （B ）()()"01,00.f f >> （C ）()()"01,00.f f <> （D ）()()"01,00.f f ><4.单位圆域221x y +≤被直线y x =±划分为四个区域()1,2,3,4,k D k =1D 是完全位于y 轴右侧的那个区域，按逆时针依次排列为1234,,,D D D D ，记cos kk D I x ydxdy =⎰⎰，则{}14max k k I ≤≤等于 A 。

1．设()=+z f ax by ，其中f 可微，则( )． （A ）∂∂=∂∂z z x y （B ）∂∂=-∂∂z z x y （C ）∂∂=∂∂z z a b x y （D ）∂∂=∂∂z z b a x y2．定积分⎰--1 12d 1x x 的值是（ ）．（A ）4π （B ）2π（C ）1 （D ）π 3．函数()33ln y x z +=在）（1,1处的全微分=z d （ ）． （A ）y x d d + （B ）()y x d d 2+（C ）()y x d d 23+ （D ）()y x d d 3+ 4．下列方程是微分方程的是（ ）． （A ）x y x y y d )(d ln -=（B ）02tan 3sin =+x x y（C ）0232=+-y y （D ）533-+=x x y5．下列广义积分发散的是（ ）． （A ）⎰∞+ 1d xx x （B ）⎰∞+ 12d x x（C ）⎰∞+ 1 2d xx x （D ） 1d x x +∞⎰ 6．设222)ln(yx xx y z --+-=的定义域D 的图形是（ ）．（A ） （B ）（C ） （D ）7．（答题区域：1-10行内）求32e x y x z y+=，求 x z∂∂，yz ∂∂， y x z ∂∂∂2．8．（答题区域：11-20行内）设()y x f z xy cos ,e =，其中f 有一阶连续偏导数，求x z ∂∂，yz∂∂．9．（答题区域：21-30行内）设v u z =，y x u 2+=，y x v -=，求xz∂∂，y z ∂∂．三、计算下列各题（本大题共3个小题，每小题7分，共21分）10．求极限21cos 0d e lim2x t xt x ⎰→． 11．求定积分 e2 1ln d x x x ⎰．12.（答题区域：51-60行内）求定积分 8⎰． 添加1． 220|1|d -⎰x x 添加2 设2 0()12 0x x f x x x ⎧≤=⎨+>⎩,,，求2(1)d f x x -⎰．四、解答下列各题（本大题共3个小题，第13小题6分，14、15小题各8分，共22分）13．（答题区域：61-75行内）求微分方程0d )1(d )1(=+--x y y x 的通解．14.求一阶线性微分方程 3)1(12+=+-'x y x y 在初始条件10==x y 下的特解．15. （答题区域：91-105行内）若()f x 在[0,1]上连续，且 122 01()()d 1f x x f t t x=++⎰，求 1()d f x x ⎰及)(x f ．五、应用题（本大题共1个小题，共13分）16．（答题区域：106-120行内）设由曲线2x y =与1=y 所围成的平面图形为D ，（1）求D 的面积；（2）求D 绕x 轴旋转而成的旋转体的体积．六、证明题（本大题共1个小题，共5分）17．（答题区域：121-135行内）设)(x f 在],[b a 上连续，证明x x b a f x x f bab ad )(d )(⎰⎰-+=．参考答案一、 单项选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）1．D 2．B 3．C 4．A 5．D 6． D二、计算下列各题（本大题共3个小题，每小题7分，共21分）7． 23e 2x xy xz y +=∂∂，)e e (2y y y x y z +=∂∂ y y y y x y x y x z e )1(20)e e (22+=++=∂∂∂ ． 8．)(cos e 21y f y f xzxy ⋅'+'=∂∂=21cos e f y f y xy '+'，)sin (e 21y x f x f yzxy -'+'=∂∂21sin e f y x f x xy '-'= ． ……7分 9．u u vu x zv v ln 1+=∂∂-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-)2ln(2)2()(y x y x y x y x y x ， ……3分)1(ln 21-⋅+⋅=∂∂-u u vu y zv v ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-+=-)2ln(2)(2)2()(y x y x y x y x y x ． ……7分 10．xx x t x x xt x 2)sin (e lim d e lim22cos 021 cos 0-⋅-=→→⎰ 2e lim2cos0xx →= 2e=． 11． e 2 1ln d x x x ⎰=)31(d ln 3e 1 x x ⎰⎰-=e 1 23d 311e ln 31x x x x ……4分1e 911e ln 3133x x x -= 913e 23+=． 12.令3t x =，t t x d 3d 2=，2080t x ，8⎰=t tt d 132 0 2⎰+ ……4分 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-202)1ln(23t t t ……6分 =3ln 3． ……7分四、解答下列各题13．微分方程0d )1(d )1(=+--x y y x 的通解. 解：分离变量，得x xy y d 11d 11-=+， ……2分两边积分，得C x y ln )1ln()1ln(+--=+，方程的通解为 C y x =+-)1)(1(． ……6分 14.求一阶线性微分方程 3)1(12+=+-'x y x y 在初始条件10==x y 下的特解. 解：12)(+-=x x p ，3)1()(+=x x q . ……2分 方程通解 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰+⎰=⎰+-+--C x x y x x x x d e )1(ed 123d 12 ……3分 []⎰+++=C x x x d )1()1(2 ……5分])1(21[)1(22C x x +++=. ……6分将1|0==x y 代入通解中，得21=C ， ……7分所求特解为：]1)1[()1(2122+++=x x y ． ……8分15. 若()f x 在[0,1]上连续，且 122 01()()d 1f x x f t t x =++⎰，求 1 0()d f x x ⎰及)(x f ．解：设A= 10()d f x x ⎰，则方程化为 2211)(Ax xx f ++=, ……2分 对上式在[0，1]上积分 ，有01)3(arctan 3Ax x A += ,得 8π3=A ， 所以， 228π311)(x xx f ++=． ……8分 五、应用题（本大题共1个小题，共13分）16．设由曲线2x y =与1=y 所围成的平面图形为D ，（1）求D 的面积；（2）求D 绕x 轴旋转而成的旋转体的体积．解：（1）面积⎰--=112d )1(x x A ……2分11)31(3--=x x ……4分=34. ……6分 （2）体积x x V d )1(π114⎰--= ……3分11)51(π5--=x x ……5分=5π8. ……7分 六、证明题（本大题共1个小题，共5分）17．设)(x f 在],[b a 上连续，证明x x b a f x x f baad )(d )(b ⎰⎰-+=.证明：设x b a t -+=, ……1分 右⎰-=ab t t f )d )(( ……4分⎰=bat t f d )(=左． ……5分。

《微积分II 》（第一层次）第二学期期中练习题一1. 求直线11212x y z -+==绕z 轴旋转一周的曲面的方程 .2. 求曲线22222z x yx y x⎧=+⎪⎨+=⎪⎩在点 ( 1 , -1 , 2 ) 处的切线方程 .3. 设由(,)0F y x z -= 确定(2)(,),z z x y F C=∈， 求2z x y∂∂∂ .4. 求函数sin()x u x e y z =+-在点( 1 , 1 , 1 ) 处沿(1,2,2)l =-的方向导数 . 5. 已知2u xy z =-，求u 在点(9,12,10)M -梯度()grad u M . 6. 求曲面22z x y =+的切平面，使其通过直线11112x y z -+== .7. 证明曲面3(0)xyz a a =>上任何一点处的切平面与坐标面所围成的四面体的体积等于一个常数 .8. 求函数22233z x xy y x y =++-++的极值 .9. 设∑为由22,2z x y z =+=所围曲面，求∑的内接长方体体积的最大值 . 10. 求sin(),:,0,02Dy x dxdy D x y x y π-+===⎰⎰所围区域 .11. 求222222(),:2,4.Dx y dxdy D x y x x y x ++≥+≤⎰⎰12. 计算Dxd σ⎰⎰，其中D 为第一象限内221x y +=与x 轴，y 轴所围的闭区域 .13. 计算三重积分222222x y z dxdydz abcΩ--⎰⎰⎰(1-)，其中Ω为椭球体：2222221x y z abc++≤.14. 求曲环面：(cos )cos ,(cos )sin ,sin (0)x b a y b a z a a b ψϕψϕψ=+=+=<≤所界的物体体积 .15. 计算222()Cx y z dS ++⎰，其中C 为螺旋线：cos ,sin ,(02)x a t y a t z bt t π===≤≤的部分 .16. 计算曲线积分[()][()]x xAmBy e my dx y e m dy ϕϕ'-+-⎰，式中()y ϕ与()y ϕ'为连续函数，Am B 为连接点1122(,)(,)A x y B x y 和的任意逐段光滑曲线，但与线段A B 围成的面积为A 的平面区域D Am B =.《微积分II 》（第一层次）第二学期期中练习题二1. 求以2222x y y z ⎧+=⎨=⎩为准线，以(2,0,0)为顶点的锥面的直角坐标方程.2. 设由(,)0x z F y y =确定(1)(,),z z x y F C =∈，求 x z z y x y∂∂+∂∂ 3. 求函数23u xy z =在点( 1 , 2, -1 ) 处沿22l i j k =-+的方向导数 .4. 求椭球面2222321x y z ++=上某点处的切平面π的方程，使平面π过已知直线6321:212x y z L ---==-. 5. 求椭球面2222221x y z abc++=的切平面 （,,0x y z ≥），使其与三个坐标平面所围的立体的体积最小，并求最小值.6. 求曲面21z xy -=上到原点最近的点.7. 求22,:2.Ddxdy D x y y +≤⎰⎰8. 设函数()f x 连续，满足()2Df t f dxdy =+⎰⎰，这里D 为222x y t +≤，求()f x .9. 求 401limsin()t txt dx xy dy t→+⎰⎰ .10. 计算三重积分Ω⎰⎰⎰，其中Ω是球体222x y z z ++≤.11. 计算曲线积分. 1. 222zdl x yΓ+⎰，其中Γ的参数方程是：3cos ,3sin ,3(02)x t y t z t t π===≤≤.2.(e +)(e cos 7)xxsiny 8y dx y x dy Γ+-⎰,其中Γ为由点(2,0)A 沿22(4)9x y -+=到点(6,0)B 的一段 .12. 计算曲面积分（2×10分=20分）.1. 求222()x y z dS ∑++⎰⎰，其中∑为2222(12)x y z z z ++=≤≤ .2. 设∑为上半球面z =的上侧，计算3326zx dydz zy dzdx z dxdy ∑++⎰⎰.《微积分II 》（第一层次）第二学期期中练习题三1. 求直线11:111x y z L --==-在平面π：210x y z -+-=上的投影直线0L 的方程，并求0L 绕y 轴旋转一周所成曲面的方程.2. 函数),(y x f z =由方程04)(2222=++-+z y x z y x 确定，求z 在点)1,2,2(-P 处的全微分dz .3. 设函数),(y x z z =由方程0),(=++xz y yz x F 所确定，其中F 可微，计算并化简yz yxz x ∂∂+∂∂.4. 求函数y xy y x z --+=232的极值.5. 已知 2222332u x y z x y =+++-，求u 在点(1,1,2)M 的梯度()gradu M .6. 求函数2a r c t a n (2)u x y z =++在点(0,1,0)A 处沿空间曲线22230240x y z x x y ⎧++-=⎨--=⎩在(2,0,B 的切向量的方向导数.7. 试求一平面π,使它通过空间曲线23(1)y xz y ⎧=Γ⎨=-⎩：在1y =处的切线,且与曲面22:4x y z ∑+=相切.8. 设常数0a >，平面π通过点(4,5,3)M a a a -，且在三个坐标轴上的截距相等. 在平面π位于第一卦限部分求一点000(,,)P x y z ，使得函数(,,)u x y z =在P 点处取最小值.9. 已知曲面Σ2=，设0000(,,)P x y z 为曲面Σ上的一点.1. 求曲面Σ在点0000(,,)P x y z 的切平面方程；2. 求该切平面在各个坐标轴上的截距之和.（10分） 10. 计算二重积分 1arcsin 3arcsin sin yydy xdx π-⎰⎰.11. 计算二重积分(,)Df x y d x d y ⎰⎰其中0,12,(,)0,y x x f x y ≤≤≤≤=⎩其他， 而积分区域{(,)2,02}D x y y x =≤≤≤≤12. 计算 Dxydxdy ⎰⎰，其中D 是由抛物线 2y x =及直线2y x =-所围成的区域.13.计算三重积分 2Vz dxdydz ⎰⎰⎰，其中V 是椭球体2222221x y z abc++≤. （10分）14. 计算 22()Cx y ds +⎰，其中C 为曲线 (cos sin ),(sin cos ),(02)x a t t t y a t t t t π=+=-≤≤.15. 判断曲线积分2222Cx y x y dx dy x yx y-++++⎰是否与路径无关？当C 为曲线2cos ,sin (02)x t y t t π==≤≤，并且沿t 增加的方向时，计算该曲线积分.（10分）16. 计算曲面积分 222()x y z dS ∑++⎰⎰，其中Σ为曲面2222x y z a ++=.。

《微积分II 》（第一层次）第二学期期中练习题一1. 求直线11212x y z -+==绕z 轴旋转一周的曲面的方程 . 2. 求曲线22222z x yx y x⎧=+⎪⎨+=⎪⎩在点 ( 1 , -1 , 2 ) 处的切线方程 . 3. 设由(,)0F y x z -= 确定(2)(,),z z x y F C =∈， 求2zx y∂∂∂ .4. 求函数sin()xu x e y z =+-在点( 1 , 1 , 1 ) 处沿(1,2,2)l =-的方向导数 .5. 已知2u xy z =-，求u 在点(9,12,10)M -梯度()grad u M .6. 求曲面22z x y =+的切平面，使其通过直线11112x y z -+== . 7. 证明曲面3(0)xyz a a =>上任何一点处的切平面与坐标面所围成的四面体的体积等于一个常数 .8. 求函数22233z x xy y x y =++-++的极值 .9. 设∑为由22,2z x y z =+=所围曲面，求∑的内接长方体体积的最大值 . 10. 求 sin(),:,0,02Dy x dxdy D x y x y π-+===⎰⎰所围区域 .11. 求222222(),:2,4.Dx y dxdy D x y x x y x ++≥+≤⎰⎰ 12. 计算Dxd σ⎰⎰，其中D 为第一象限内221x y +=与x 轴，y 轴所围的闭区域 . 13. 计算三重积分222222x y z dxdydz a b c Ω--⎰⎰⎰(1-)，其中Ω为椭球体：2222221x y z a b c ++≤.14. 求曲环面：(cos )cos ,(cos )sin ,sin (0)x b a y b a z a a b ψϕψϕψ=+=+=<≤所界的物体体积 .15. 计算222()Cx y z dS ++⎰，其中C 为螺旋线：cos ,sin ,(02)x a t y a t z bt t π===≤≤的部分 .16. 计算曲线积分[()][()]x x AmBy e my dx y e m dy ϕϕ'-+-⎰，式中()y ϕ与()y ϕ'为连续函数，AmB 为连接点1122(,)(,)A x y B x y 和的任意逐段光滑曲线，但与线段AB 围成的面积为A 的平面区域D AmB =.《微积分II 》（第一层次）第二学期期中练习题二1. 求以2222x y y z ⎧+=⎨=⎩为准线，以(2,0,0)为顶点的锥面的直角坐标方程.2. 设由(,)0x z F y y =确定(1)(,),z z x y F C =∈，求x z zy x y∂∂+∂∂ 3. 求函数23u xy z =在点( 1 , 2, -1 ) 处沿22l i j k =-+的方向导数 .4. 求椭球面2222321x y z ++=上某点处的切平面π的方程，使平面π过已知直线6321:212x y z L ---==-. 5. 求椭球面2222221x y z a b c++=的切平面 （,,0x y z ≥），使其与三个坐标平面所围的立体的体积最小，并求最小值.6. 求曲面21z xy -=上到原点最近的点.7. 求22,:2.Ddxdy D x y y +≤8. 设函数()f x 连续，满足()2Df t f dxdy =+⎰⎰，这里D 为222x y t +≤，求()f x . 9. 求 401lim sin()t txt dx xy dy t→+⎰⎰ .10. 计算三重积分⎰⎰⎰，其中Ω是球体222x y z z ++≤.11. 计算曲线积分.1. 222z dl x y Γ+⎰，其中Γ的参数方程是：3cos ,3sin ,3(02)x t y t z t t π===≤≤.2.(e +)(e cos 7)x x siny 8y dx y x dy Γ+-⎰,其中Γ为由点(2,0)A 沿22(4)9x y -+=到点(6,0)B 的一段 .12. 计算曲面积分（2×10分=20分）. 1. 求222()x y z dS ∑++⎰⎰，其中∑为2222(12)x y z z z ++=≤≤ .2. 设∑为上半球面z =计算3326zx dydz zy dzdx z dxdy ∑++⎰⎰.《微积分II 》（第一层次）第二学期期中练习题三1. 求直线11:111x y z L --==-在平面π：210x y z -+-=上的投影直线0L 的方程，并求0L 绕y 轴旋转一周所成曲面的方程.2. 函数),(y x f z =由方程04)(2222=++-+z y x z y x 确定，求z 在点)1,2,2(-P 处的全微分dz .3. 设函数),(y x z z =由方程0),(=++xzy y z x F 所确定，其中F 可微，计算并化简yzy x z x∂∂+∂∂. 4. 求函数y xy y x z --+=232的极值.5. 已知 2222332u x y z x y =+++-，求u 在点(1,1,2)M 的梯度()gradu M .6. 求函数2arctan(2)u x y z =++在点(0,1,0)A 处沿空间曲线22230240x y z x x y ⎧++-=⎨--=⎩在B 的切向量的方向导数.7. 试求一平面π,使它通过空间曲线23(1)y xz y ⎧=Γ⎨=-⎩：在1y =处的切线,且与曲面22:4x y z ∑+=相切.8. 设常数0a >，平面π通过点(4,5,3)M a a a -，且在三个坐标轴上的截距相等. 在平面π位于第一卦限部分求一点000(,,)P x y z ，使得函数(,,)u x y z =在P 点处取最小值.9. 已知曲面Σ2=，设0000(,,)P x y z 为曲面Σ上的一点.1. 求曲面Σ在点0000(,,)P x y z 的切平面方程；2. 求该切平面在各个坐标轴上的截距之和.（10分） 10. 计算二重积分 1arcsin 30arcsin sin yydy xdx π-⎰⎰.11. 计算二重积分(,)Df x y d x dy ⎰⎰其中0,12,(,)0,y x x f x y ≤≤≤≤=⎩其他， 而积分区域{(,)2,02}D x y y x =≤≤≤12. 计算Dxydxdy ⎰⎰，其中D 是由抛物线 2y x =及直线2y x =-所围成的区域.13.计算三重积分 2Vz dxdydz ⎰⎰⎰，其中V 是椭球体2222221x y z a b c ++≤. （10分）14. 计算22()Cx y ds +⎰，其中C 为曲线 (cos sin ),(sin cos ),(02)x a t t t y a t t t t π=+=-≤≤.15. 判断曲线积分2222Cx y x ydx dy x y x y -++++⎰是否与路径无关？当C 为曲线2cos ,sin (02)x t y t t π==≤≤，并且沿t 增加的方向时，计算该曲线积分.（10分）16. 计算曲面积分 222()x y z dS ∑++⎰⎰，其中Σ为曲面2222x y z a ++=.。

北 京 交 通 大 学2011-2012学年第一学期《微积分》第二次期中考试试卷学院_____________ 专业___________________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________请注意：本卷共十道大题，如有不对，请与监考老师调换试卷！一、()()ln 101.arcsin x x x+<<<证明：设()()ln 1f x x x =-+，则()00f =。

又因为()()'11001f x x xx x =+=<<<所以01x <<时，()()ln 10,f x x x =-+<()ln 1.arcsin x x+< 二、设0x >时方程211kx x +=有且仅有一个解，求k 的范围。

解：设()()2110f x kx x x =+->，则()'32.f x k x=-（1）0k <时，()()()'0,,0,f f f x +=+∞+∞=-∞<所以0x >时方程211kx x +=有且仅有一个解；（2）0k =时，显然0x >时方程211kx x+=有且仅有一个解； （3）0k >时，()()0,,f f +=+∞+∞=+∞当x ⎛∈ ⎝时，()'0,f x <当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()'0,f x >所以1f =为其最小值，只有当其为零时方程211kx x +=有且仅有一个解；此时得k = 总之，k 的范围为(]23,0.⎧⎫⎪⎪-∞⎨⎬⎪⎪⎩⎭ 三、设函数32,1x y x =-求（1）y 的定义域；（2）y 的单调区间和极值，图形的凹凸区间及拐点；（3）y 图形的渐近线方程。

解：（1）y 的定义域为 1.x ≠± （2）()()()()222'"2322323,.11x x xx y y xx-+==--所以(,-∞为单增区间，()1-为单减区间，()1,1-为单减区间，(为单减区间，)+∞为单增区间。

2003-2004学年第二学期微积分期中考试试卷答案一．（本题满分35分，共有5道小题，每道小题7分）1．设()xy y x f z ，22-=，其中函数f 具有二阶连续的偏导数，试求x z ∂∂，yx z ∂∂∂2．解：212f y f x xz'+'=∂∂ ， ()2221222112224f xyf f y x xyf yx z++-+-=∂∂∂ ．2．计算二重积分()⎰⎰+Ddxdy y x ，其中x y x D 222≤+：． 解：作极坐标变换θθsin cos r y r x ==，，有()()⎰⎰⎰⎰-+=+22cos 202sin cos ππθθθθdr r d dxdy y x D()⎰-+=223c o s s i n c o s 38ππθθθθd π=3．求球面6222=++z y x 与抛物面22y x z +=的交线在点()211，，处的切线方程．解：由方程组⎩⎨⎧+==++222226yx z z y x 两端对x 求导，得⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++0220222dx dzdx dy y x dx dz z dx dy y x即 ⎪⎩⎪⎨⎧-=--=+x dxdz dx dy y x dx dz z dx dyy 22222， 解得，yz y xzx dx dy 22--+=，0=dxdz 所以，()1211-=，，dx dy ，()0211=，，dx dz因此，曲线在点()211，，处的切线方程为21111-=--=-z y x ． 4．设向量场为()()()k j i Ax y z x y z 2332-+-+-=，试求A rot ．解：k j i kji A 6422332r o t++=---∂∂∂∂∂∂=xy zx y z z y x 5．计算曲线积分⎰+Lds y x 22，其中L 为圆周x y x 422=+． 解：圆周x y x 422=+的参数方程为⎩⎨⎧=+=t y tx sin 2cos 22 ，则()()dt dt t t ds 2cos 2sin 222=+-=因此，⎰⎰=+LLds x ds y x 422322cos 8cos 2222020==+=⎰⎰ππdt tdt t 二．（本题满分45分，共有5道小题，每道小题9分） 6．设()x y y =，()x z z =由方程组()()()⎩⎨⎧==0,,,,z y x F y x g y x f z所确定，其中函数F g f ,,具有连续的偏导数．试求dxdz dx dy ,． 解：对方程()()y x g y x f z ,,=求微分，得()()()()dy g f f g dx g f f g dy g dx g f dy f dx f g dz 22112121+++=+⋅++⋅= 对方程()0,,=z y x F 求微分，得0321=++dz F dy F dx F 所以得方程组()()⎩⎨⎧=++=+++03212211dz F dy F dx F dz dy g f f g dx g f f g ．解此方程组，得()()22321131gf fg F F gf fg F F dx dy +⋅++⋅+-=， ()()()2232221112gf fg F F gf fg F gf fg F dx dz+⋅++⋅++⋅-=．7．计算三重积分⎰⎰⎰Ω=zdxdydz I其中Ω是由曲面224y x z --=与z y x 322=+围成的立体．解：由⎪⎩⎪⎨⎧=+--=zy x y x z 342222得0432=-+z z ，解得1=z ，4-=z （舍去）．因此，得空间区域Ω在xOy 面上的投影区域为D ：322≤+y x⎰⎰⎰⎰⎰⎰-Ω==2243r r Dzdz dxdy zdxdydz I⎰⎰⎰-=2243320r r z d z r d r d πθ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3042209421dr r r r d πθ π413=8．⑴ 试求曲面1=xyz 上任意一点()000z y x ，，处的切平面的方程；⑵ 证明：曲面1=xyz 的切平面与三个坐标平面所围成的空间区域的体积为一常数． 解： ⑴ 设()1-=xyz z y x F ，，，则曲面1=xyz 上任意一点()000z y x ，，处的法向量为 {}(){}000000000y x x z z y F F F z y x zy x ，，，，，，==n，因此，所求切平面的方程为()()()1000000000=-+-+-z z y x y y x z x x z y即0000000003z y x z y x y x z x z y =++或1333000=++z z y y x x ⑵ 切平面1333000=++z z y y x x 在x 、y 、z 轴上的截距分别为 000333z y x ，，，该切平面与三个坐标平面所围成的空间区域的体积为 293332131000=⨯⋅⋅⨯=z y x V ． 为一常数． 9．求曲线积分()[]⎰+++++=Ldy x a x y x xa dx y I 22222ln 22其中L 是圆周222a y x =+上由点()0，a A 沿逆时针方向到点()0，a B -的圆弧，0>a 为常数． 解： ()()⎰⎰⎰⎰⎰-++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=-=00，，a A a B D BABAL Qdy Pdx dxdy y P x Q I而 222xa dx y P +=， ()[]22ln 22x a x y x Q +++=所以，2224xa y x Q ++=∂∂， 222xa y y P+=∂∂因此，2124a dxdy dxdy y P x Q I DD π==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=⎰⎰⎰⎰， ()()()[]0ln 022022002=++⋅++⋅=+=⎰⎰--aaa A a B dy x a x x dx Qdy Pdx I ，， 所以，2212a I I I π=-= 10．求曲面积分⎰⎰∑=dzdy xz I 2 ，其中∑是曲面222y x R z --= ()R z ≤≤0的上侧．解：添加曲面01=∑z ： ()222R y x ≤+，取下侧，设闭曲面1∑+∑（取外侧）所围区域为Ω，由Gauss 公式，得 ⎰⎰⎰⎰∑∑+∑-=1122dzdy xz dzdy xzI02-=⎰⎰⎰ΩdV z⎰⎰⎰≤++=2222221R z y x dV z （对称性） ()⎰⎰⎰≤++++=222222261R z y x dV z y x 504020152sin 61R dr r d d Rπϕϕθππ==⎰⎰⎰三．（本题满分45分，共有5道小题，每道小题9分）11．已知力场k j i Fxy zx yz ++=，问将质点从原点O 沿直线移动到曲面1222222=++c z b y a x 的第一卦限上的哪一点时，使F 所作的功为最大？并求此最大功． 解：设()z y x ，，为曲面1222222=++cz b y a x 第一卦限上的任意点，则射线段OM 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧===zt Z yt Y xtX ()10≤≤t 因此，F沿OM 所作的功为xyz dt xyzt XYdZ ZXdY YZdX W OM==++=⎰⎰123 ()c z b y a x <<<<<<000，， 因此，要使三角形的面积为最小，必须使()()y x y x 33++为最大． 设Lagrange 函数⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+++=1222222c z b y a x x y z L λ由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=∂∂=+=∂∂=+=∂∂020202222c z xy zL by xz y L a x yz x L λλλ解得唯一驻点 3a x =，3b y =，3c z =．即点⎪⎭⎫ ⎝⎛333c b a ，，为所求的点．且abc W 93max =． 12．设函数()y x Q ，在xOy 平面上有连续的一阶偏导数，且曲线积分()⎰+Ldy y x Q xydx ，2与积分路径无关，并且对任意的t ，恒有()()()()()()⎰⎰+=+t t dy y x Q xydx dy y x Q xydx ，，，，，，10010022试求()y x Q ， ． 解：设()xy y x P 2=，，由曲线积分与路径无关的条件，得x yPx Q 2=∂∂=∂∂，由此得()()y C x y x Q +=2， ，其中()y C 为待定函数．()()()()[]()⎰⎰⎰+=+=+121021002dy y C t dy y C tdy y x Q xydx t ，，，()()()()[]()⎰⎰⎰+=+=+tt t dy y C t dy y C dy y x Q xydx 0210012，，，由题设：()()()()()()⎰⎰+=+t t dy y x Q xydx dy y x Q xydx ，，，，，，10010022，得()()⎰⎰+=+tdy y C t dy y C t 0102上式两端对t 求导，得()t C t +=12 所以，()12-=t t C 因此，()122-+=y x y x Q ，。

中国石油大学（北京）2008／2009学年第二学期《高等微积分》(Ⅱ) 期中试卷一、填空题（本题包括5小题，每小题4分，本题满分20分）1. 函数)ln(),(22y x y x f +=沿21bl al l +=方向的方向导数，其中b a ,为正实数，{}{}1,0,0,121==l l ： 。

⎰⎰⎰Ω++=--=+=Ω积分是在球面坐标系下的三次为连续函数其中则重积分所围成的积分区域是由设)()(,4.22222222f dv z y x f I y x z y x z 与。

()()()=+→2222,0,lim .3yx y x yx 。

().)2,0(,11)(,21)(.41∈----=∑∞=x x x x f x x x f n n 的幂级数是展开成将设.222)(,0,0,2)(.5πππππ+=⎩⎨⎧≤<≤<-=处收敛于为周期的傅里叶级数在的以则设x x f x x x x f二、计算题（本题包括6小题，每小题8分，本题满分48分）1、讨论函数()()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=0,,00,1sin ,22222222y x y x y x y x y x f 在()0,0点的偏导数，偏导函数连续性及可微性。

2、试将yux u 2222∂∂+∂∂化成极坐标的形式。

3、试将()()π≤≤=x x x f 0展开成为正弦，余弦级数，并写出和函数()x s 。

4、试求内接于椭球1222222=++cz b y a x 的长方体中（长方体的各面平行于坐标轴）体积最大者。

5、计算积分()⎰⎰++Dyx adxdy,23222其中D 为a y a x ≤≤≤≤0;0。

6、证明曲线t t tae z t ae y t ae x ===,sin ,cos 与锥面222z y x =+的各母线相交的角度相同。

三、（本题满分8分）.,,还是条件收敛若收敛是绝对收敛敛散性试判断下列两个级数的∑∞=+-1;)1ln()1()1(n n n .,0)1ln(1,故该级数收敛这是一交错级数解↓→+n.................)2(分及比较判别法知故由调和级数的发散性都有又,1)1ln(1)1ln()1(:,,2,1nn n n n >+=+-=∀ .)1(,)1(仅条件收敛即级数非绝对收敛该级数 .......................................................................)4(分∑∞=++-11.2)1()1()2(n n n n n ,2)1()1(,1nn n n n u +-=+令这是一交错级数解 .)2(,121)21(21lim 2)1(2)2)(1(lim ||||lim 11绝对收敛故知级数由于<=+=+++=∞→+∞→+∞→n n n n n u u n nn n nn n...........)8(分 四、（本题满分6分）设函数)(),(y x g x y xy f z +=,其中g f ,均具有二阶连续偏导数, 求yx z∂∂∂2.:,,,有由四则法则与链式法则令解yxw x y v xy u === g y f xy f y•x w g x v f x u f x z '+'-'=∂∂'+∂∂'+∂∂'=∂∂122121 ........................................................................)4(分 y y y g y g yf x y f x f y•f y x z )(11)(1)(22222112''+'-''-'-''+'=∂∂∂ ............................................................)6(分 y wg y g yy v f y u f x y f x y v f y u f y•f ∂∂''+'-∂∂''+∂∂''-'-∂∂''+∂∂''+'=11)(1)(2222122212111g yx g y f x f f x y f y x f y x f xy ''-'-'-'+''-''-''+''=3222122321121111 ....................................................)8(分 .113222122311g yxg y f x f f x y f xy ''-'-'-'+''-''=或 ...............................................................)8(分 五、（本题满分8分）在极坐标系下交换积分的次序。

第 1 页 共 5 页20062006——2007学年第二学期《微积分二》期中试卷参考解答一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）1．函数()2x x f =在区间]1,0[上的平均值是31. 解：解：3101102=-òdx x . 2．极限=ò®320sin limx dt t xx 31. 解：解：313lim 3sin lim sin lim 220220003020===®®¢®òx x x x x dtt x x L xx .3．()=+-+ò-11221sin dx x x x x x 1.解：原式12001sin 111112112=++=+-+=òòòò---xdx dx x dx x x xdx x .4．由曲线12+=x y 与01=--y x 所围成的图形面积等于29.解：()()[]2911212==--+=ò-- dy y y S . 5．设函数()u f 可微且()212=¢f ，则()y x f z -=24在点()2,1处的全微分()=2,1dz dy dx 214-. 解：()()()(),8dy u f xdx u f dy y uu f dx x u u f dy y z dx x z dz ¢-¢=¶¶¢+¶¶¢=¶¶+¶¶=取()()2,1,=y x 时,()242,12=-=yx u ,代入上式得()=2,1dzdy dx 214-.二、单项选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分） D B B C A 选注：第1小题) 由已知2<c ,而1与c 的大小关系并不确定.第2小题)(A) ò-1131dx x 是以()1,10-Î为瑕点的瑕积分, 按相关定义可知其发散.(B) 参见教材P185例9 2)或P250例12, 重要结论须熟记.(C) ()ò+¥®x xdt t f 0lim 即()ò+¥0dt t f , 此无穷限积分的结果未必是¥+. 如()11111202==+òò+¥+¥dx x dt t . (D) 由已知, 0=x 为()x f 的瑕点, 而()ò+®10limxx dt t f 即瑕积分()ò1dtt f 此积分的结果未必是¥. 如211=òdx x.第3小题) 按偏导数()0,0x f ¢的概念可得B.第5小题) 在题设条件下,又()00,y x 是()y x f ,的驻点时,02<-AC B 是()00,y x 为()y x f ,的极值点的充分条件.三、（本题共3小题，每小题6分，满分18分）1．设()ïîïíì<³+=1,cos 1,112x x x x x x f ，计算()ò-31dx x f . 12arctanx0dx x 11xcosxdx 3131211p=+=++=òò-原式解：2．计算òe xdx 0ln . []0.a lim a 1-a 1lim a 1lna lim alna lim alna a lim dx xlnx lim xdlnx xlnx lim lnxdx lim0x 0a 20a L 0a 0a 0a e a ea 0a ea ea0a ea 0a =-=÷øöçèæ÷øöçèæ=÷øöçèæ==-=úûùêëé-=úûùêëé-===+®+®¢+®+®+®+®+®+®òòò原式为瑕点解：. 3．计算òòDy dxdy xe2，其中D 是由1=y ，0,2³=x x y 及y 轴所围成的区域轴所围成的区域. ...,41e e 41dy ye 21dy 2e x dx xe dy D 1y10y 10yx 0x y2yy12222-===úúûùêêëé==òòòò==原式略草图作出区域解：四、（本题共3小题，每小题6分，满分18分）1．求函数x yx z arctan =的二阶偏导数x y z¶¶¶2.().,222222222222y x 2xy x y z y x y 1y x x x y 1x 1x y z +=¶¶¶\+-=+=÷øöçèæ+=¶¶ 解：2．设()y x f z ,=是由方程yz x e z 2=所确定的隐函数，试求dz . ().,,,,,,2dy yx e z x dx y x e 2xyz dz y x e z x y z y x e 2xyz x z y.x e zF z x y F -2xyz,x F yz x e z y x F 2z 22z 2z 2z F y F 2z z F x F 2z 2z -+-=-=-=¶¶-=-=¶¶-=¶¶-=¶¶=¶¶-=¶¶¶¶¶¶¶¶从而则则解：令3．设函数()v u f ,可微且()32,1=¢u f ，()42,1=¢v f . 求函数()xy y x f z ,-=的偏导数()1,2xz ¶¶. ()()()..,,,,..,,743x z 2v 1u 12y x yf 1f x v f x u f x z xy v y x u 12v u v u =+=¶¶===×¢+×¢=¶¶×¢+¶¶×¢=¶¶=-=代入上式得时当则令解： 五、（本题共2小题，任选做1小题，满分8分）1．求函数xy y x y x z ---+=22，0³x ，0³y ，6£+y x 的最值的最值. .()()[][][]()()()()-1.z Min 30,z Max 3060z 06z 000z 3.33z 3x 0186x z 3018x 3x z x 6y 60x 6y x 341021z 21x 01-2x z x x z 60x 0y 241210,z 21y 01-2y z y,y z 60y 0x 1111z 110x 12y z 0y 12x z 222y x ========-=¢+-=-=Î=+-=÷øöçèæ===¢-=Î=-=÷øöçèæ===¢-=Î=-=ïîïíì=--=¢=--=¢,.,,,,,,,,,,,),,,,,,,),,,,,)).,,,,)综上在各边界端点处对应有得由得代入上在有得由上在有得由上在逐条考察边界有解得驻点求内部驻点解：令令令令令2．设某产品的生产仅需耗费K 和L 两种要素两种要素. .经统计，该产品的产量Q 与两种要素投入量的依赖关系为KL Q =. 已知要素K 的价格为2525，要素，要素L 的价格为10. 试求当产量限定为()000>Q Q 时的最小总成本时的最小总成本. . ()()..,,.,,,,,.,,000000000000L K 00Q 1010C Q 210L Q 510K 1010Q 210L Q 510K 0Q KL F 0KL 2K 10F 0KL 2L 25F Q KL -10L 25K L,K F Q KL 0.L 0K 10L 25K C ×======ïïïîïïïíì=-=¢=-=¢=-=¢-+==³³+=最小总成本素投入为所求最小总成本的要由问题的实际背景知解得唯一驻点现求其驻点：令下的条件最小值现求其在总成本解：令令令l l l ll l六、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）1．求由曲线2x y =与2y x =所围成的图形绕y 轴旋转而成的立体体积轴旋转而成的立体体积. . ()()..,1035y 2y dyy -y dy y dy y V 105214102212p p p p p =÷÷øöççèæ-==-=òòò由图可知图形略作出草图解：2．利用二重积分计算由曲面122=+y x ，0=z ，22y x z +=所围成的立体体积.(){}.,,..,,32d 31d 3r dr r d drd r rsin y rcos x dxdy y x V 1y x y x D xy y x z 2020103102202D222222p q q q q q q p ppW ==÷÷øöççèæ=====+=ïîïíì£+=+=òòòòòòòò上式作极坐标变换从而平面上的区域底：顶：其中负曲顶柱体由题设可知此立体为非解：七、（本题共3小题，任选做2小题，每小题5分，满分10分）1． 设()x f 在区间[]1,0上连续，在()1,0内可导，且()()1221f dx x f =ò. 求证：在()1,0内至少存在一点c 使得()0=¢c f .()()()()()[]()()()0.c f 101c 11f f f 21dx x f 10210210=¢ÌÎ==ÌúûùêëéÎò使得存在上由罗尔中值定理，在由已知从而使得存在由已知及积分中值定理证：,,,,...,,,,x x x x x 2． 设二元函数()y x f z ,=可微，()x y y =是由方程()0,=y x j 确定的隐函数，0¹¢yj . 试求一元函数()()x y x f z ,=的导数dxdz . ()()()()()()()()().,,,,,,,,,.,,,y x y x y x f y x y x f dx dz y x y x dxdydx dyy x f y x f dxdz y x y y x y x yxy x j j j j j j j ¢¢¢-¢¢=¢¢-=¢¢-=¢+¢=代入即得而由隐函数求导公式由题设解：3．设()x f 是()+¥¥-,内的连续函数，求证：对于任意正数a ，均有，均有()()òò=202321a adx x xf dx x f x 成立成立. .()()()()()()()()()()()()()[]()()()()()()().,.,..,,.,,,).,,,,)a G a F 0C 0a C C,a G a F a G a F a f a 2a a f a 21a G a f a a F a G a F a dx x xf 21a G dx x f x a F dt t tf 21dt 21t f x a 0t a 0x dt 21xdx dt 2xdx t x 232223a 0a 023a 0a 0222222º==+º¢=¢==¢=¢º+¥¥-Î=====®®===òòòò综上有代入特别地为某待定常数从而即：现证令法二右左式代入：得：由即微分得令法一解：。

浙江农林大学天目学院 2012 - 2013 学年第 二 学期期中考试卷课程名称： 微积分A Ⅱ 课程类别： 必修 考试方式： 闭卷注意事项：1、本试卷满分100分。

2、考试时间 120分钟。

一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的选项填在题后的括号内。

每小题3分，共21分）1. 设向量{1,2,},{2,4,3}a l b =-=-，当a b ⊥时，则l 等于 ( D )。

A.32 B. 32- C. 103 D. 103- 2. 平面3510x z -+= ( B )。

A. 平行于zox 平面B. 平行于y 轴C. 垂直于y 轴D. 垂直于x 轴 3.设函数(,)f x y =+的定义域=D ( C )。

A. {(,)}x y x y x -≤<B. {(,)}x y x y x -<≤C. {(,)}x y x y x -<<D. {(,)}x y x y x -≤≤4. 下列函数在(0,0)点处极限存在的是 ( D )。

A. x y x y +- B . 224xy x y + C. 2222x y x y -+D.系（部）： 专业班级： 姓名： 学号： 装 订 线 内 不 要 答 题5. 设函数22,(,)0(,)0,(,)0xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩，则在原点(0,0)处(,)f x y 的 ( D )。

A. 偏导数不存在且连续B. 偏导数不存在且不连续C. 偏导数存在且连续D. 偏导数存在且不连续 6.函数(,)f x y =(0,0)( D )。

A. 是驻点B. 是驻点且为极值点C. 不是驻点但是极大值点D. 不是驻点但是极小值点 7. 二元函数(,)z f x y =在00(,)x y 处满足关系( B ) A. 可微⇔可导⇒连续 B. 可微⇒可导，可微⇒连续 C. 可微⇒可导⇒连续 D. 可导⇒连续，反之不行.二、填空题（每空3分，共27分）1. 点(1,2,1)M 到平面:22100x y z π++-=的距离是 1.2. 设向量3,{1,1,1}a b a b ⋅=⨯=-，则a 与b 的夹角为6π.3. 微分方程2d 2d 0,|1x x y y x y =+==的特解为24x y =.4.极限(,)(0,0)lim x y→=16-.5. 设函数(,)ln()2yf x y x x=+，则(1,0)y f '=12.6. 设2()z f xy =，其中f 为可微函数，则zx∂=∂2()()yf xy f xy '. 7. 设xyz u e =，则d u =(d d d )xyz e yz x xz y xy z ++.8. 曲线222y xz x y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩在点(1,1,2)处的切线方程为112126x y z ---==；法平面方程为26150x y z ++-=.三、计算题（每小题6分，共30分） 1. 求微分方程1sin x y y x x'+=的通解. 解：方程是一阶非齐次线性方程，其中1sin (),()xP x Q x x x==，代入公式，则通解 ()d ()d [()d ]P x xP x x y e Q x e x C -⎰⎰=+⎰11d d sin [d ]x x xx x ee x C x-⎰⎰=+⎰………………2分 ln ln sin [d ]x xx e e x C x-=+⎰ ………………4分 1[sin d ]x x C x =+⎰1(cos )C x x=-. ………………6分2. 设函数2(2)x y z x y +=+，求zy∂∂. 解：令2,2u x y v x y =+=+，则v z u =，从而z z u z vy u y v y∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂12ln v v vu u u -=+ …………………4分 212(2)(2)2(2)ln(2)x y x y x y x y x y x y +-+=+++++22(2)[2ln(2)]2x y x yx y x y x y++=++++ …………………6分 或 函数变形为(2)ln(2)x y x y z e ++=，则 …………………2分(2)ln(2)2[2ln(2)]2x y x y z x y e x y y x y++∂+=++∂+ ………………5分 22(2)[2ln(2)]2x y x yx y x y x y++=++++ ………………6分3. 设函数arctanu z v =，且,u x y v xy =+=，求z x∂∂ 解：z z u z vx u x v x ∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂222111()1()1()u y u u v v v v=⋅+⋅-⋅++ ……………………4分 22v uy u v -=+222()()y x y xy -=++ ……………………6分 4. 设函数(,)z z x y =由方程0z e xyz -=确定，求z x ∂∂，zy∂∂ 解：令(,,)z F x y z e xyz =-，则(,,)0F x y z =，从而x F yz '=-，y F xz '=-，z z F e xy '=-，则 …………………3分x z F z x F '∂=-'∂z yz e xy -=--yz xyz xy =-(1)zx z =- y z F zx F '∂=-'∂z xz e xy -=--xz xyz xy =-(1)z y z =- …………………6分5. 求曲面22z x y =+在点(1,2,5)处的切平面与法线方程. 解：令22(,,)F x y z z x y =--，则2x F x '=-，2y F y '=-，1z F '=于是曲面在点(1,2,5)处的法向量(1,2,5)|{2,4,1}n =-- …………………2分 从而切平面方程为2(1)4(2)(5)0x y z ----+-=即 2450x y z +--= …………………4分而法线方程为125241x y z ---==-- …………………6分四、(10分)已知点(1,0,2)P -及直线20:220x y z l x y z -+=⎧⎨-+=⎩，求(1) 过点P 且与直线l 平行的直线点向式方程； (2) 过点P 且与直线l 垂直的平面方程； (3) 过点P 且与直线l 垂直相交的直线方程. 解：(1) 由题意知，取直线l 的方向向量12s n n =⨯，即1221133{0,3,3}//{0,1,1}122i j ks n n j k =⨯=-=--=---…………………2分 则过点P 且与直线l 平行的直线点向式方程为12011x y z +-== …………………4分 (2) 取直线的方向向量{0,1,1}为所求平面的法向量n ，则由平面的点法式方程得20y z +-= …………………6分(3) 设直线l 与平面20y z +-=的交点坐标为000{,,}x y z ，则交点满足00000000220220y z x y z x y z +=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩ 则交点的坐标为{0,1,1}， …………………8分 从而由直线的两点式方程得所求直线方程为12111x y z +-==--或者11111x y z --==-- …………………10分五、（12分）求函数322423z x x xy y =-+-+的极值.解：解方程组23820220z x x y xz x y y∂⎧=-+=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=⎪∂⎩ …………………2分则驻点为(0,0),(2,2). …………………4分二阶偏导数为2222268,2,2z z zx x x y y ∂∂∂=-==-∂∂∂∂，则 …………………7分在点(0,0)处，8,2,2A B C =-==-,则2120AC B -=>且0A <，则(0,0)3f =为极大值。

一、 计算题（每题10分）（1）20sin 1cos x x dx x π++⎰（2）⎰（3）51(2sin )x x dx -+⎰（4）⎰（5）220cos sin x x dx x ⎰（6）2⎰（7）⎰（8）102(1)dx x x +⎰二、 判断下列反常积分的敛散性，如果收敛，计算反常积分的值（每题10分）（1）1e ⎰（2） 2(ln )k dx x x +∞⎰三、 计算题（每题10分）（1）设22222220(,)00x y x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩ ，求(,)(,)x y f x y f x y 及（2）求函数22(,)4()f x y x y x y =---的极值四、 每题10分（1）(),,()y z xy zF u u F u x z z x y z xy x y =+=∂∂+=+∂∂设而为可导函数，证明：（2）2(,,),yz z f u x y u xe f x y ∂==∂∂设，其中具有连续的二阶偏导数，求五、应用题（每题15分）（1）由不等式0sin ,02y x x π≤≤≤≤确定一个平面区域。

求：平面区域的面积S ；该平面区域绕x 轴旋转时所产生的旋转体体积x V 。

（2）求由曲线sin ,cos ,(0),2y x y x x π==≤≤直线0,2x x π==所形成的平面图形绕x 轴旋转时所产生的旋转体体积x V 。

六、证明题（每题15分）（1）设()f x 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内可导，且()1f a =，()22b b a f x dx a b-=+⎰，求证：在(,)a b 内至少存在一点,()0f ξξ=’使（2）证明不等式：120127≤≤⎰。

《微积分》试题一、选择题（3×5=15）1、.函数f (x)=1＋x3＋x5,则f (x3＋x5)为( d )(A)1＋x3＋x5(B)1＋2(x3＋x5)(C)1＋x6＋x10(D)1＋(x3＋x5)3＋(x3＋x5)52、.函数f(x)在区间[a,b] 上连续，则以下结论正确的是( b )(A)f (x)可能存在，也可能不存在，x∈[a，b]。

(B)f (x)在[a，b] 上必有最大值。

(C)f (x)在[a，b] 上必有最小值，但没有最大值。

(D)f (x)在(a,b) 上必有最小值。

3、函数的弹性是函数对自变量的（ C ）A、导数B、变化率C、相对变化率D、微分4、下列论断正确的是（ a ）A、可导极值点必为驻点B、极值点必为驻点C、驻点必为可导极值点D、驻点必为极值点5、∫e－x dx=( b )(A)e－x＋c (B)－e－x＋c (C)－e－x(D)－e x ＋c二、填空题（3×5=15）1.设，则 。

[答案： ]2．函数ｙ＝ｘ＋ｅx 上点 (0,1) 处的切线方程是_____________。

[答案：２ｘ－ｙ＋１＝０]3、物体运动方程为S=11+t （米）。

则在t=1秒时，物体速度为V=＿＿＿＿，加速度为a=＿＿＿＿。

[答案：41-，41]4.设,则 。

[答案：34]5．若⎰+=c e 2dx)x (f 2x ，则f(x)=_________。

[答案：2x e ]三、计算题 1、设x sin ey x1tan = ，求dy 。

（10分）解：dy=d x sin ex1tan =dx x sin x 1sec x 1x cos e22x1tan⎪⎭⎫ ⎝⎛-2．计算⎰+2x )e 1(dx。

（15分）解：原式＝⎰+-+dx )e 1(e e 12x x x ＝⎰⎰++-+2x x x )e 1()e 1(d e 1dx ＝⎰+++-+x x x x e 11dx e 1e e 1 ＝x-ln(1+e x )+xe11+ +c3.求（15分）解：4．设一质量为ｍ的物体从高空自由落下，空气阻力正比于速度（ 比例常数为ｋ）０ ）求速度与时间的关系。

南京审计学院微积分期中试题班级 学号 姓名一、填空题(8×2分=16分)1、函数()311x f x x -=+在 处间断，且为 型间断点。

2、设()21,02,0sin x e x f x x a x x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩，要使()f x 在0x =连续，则a = 。

3、若0sin 3lim 5,x x kx→=则k = 。

4、若105lim 1,nx x e x --→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭则n = 。

5、求下列微分等式：()21_____1;__________1xdx d x d dx x=-=+。

6、由32210y x y x +--=所确定的函数()y f x =在点()0,1处的切线方程为 。

二、选择题(4×3分=12分)1、设()11,010,0x x f x e x ⎧≠⎪=⎨+⎪=⎩，则0x =是()f x 的（ ）。

A ．连续点；B ．可去间断点；C ．第二类间断点；D ．跳跃间断点2、设()()()21,sin ln 1x f x e g x x x -=-=+，则当0x →时（ ）。

A ．()f x 是()g x 的高阶无穷小；B ．()f x 是()g x 的低阶无穷小；C ．()f x 是()g x 的同阶但非等价无穷小；D ．()f x 是()g x 的等价无穷小。

3、若()f x 的定义域是[)1,0-，则()22f x x +的定义域是（ ）。

A ．[)1,0-； B ．()1,0-； C ．[)2,0-； D ．()2,0-。

4、下列极限存在的是（ ）。

A ．()21lim x x x x →∞+；B ．01lim 21x x →-；C ．10lim x x e →； D．lim x三、计算下列极限(4×5分=20分)1、()()20tan sin lim1ln 1x x x x e x →--+； 2、212lim 1x x →-；3、()1sin 0lim cos x x x →； 4、2lim n n →∞⎛⎫++++四、计算导数或微分。