解三角形正弦余弦定理的运用章节综合学案练习(一)带答案新人教版高中数学名师一点通

正余弦定理”解三角形中的应用 预习与作业预习作业 一、 知识探源问题1：正弦定理、余弦定理的内容是什么？问题2：为什么要学习这个概念？问题3：如何使用正余弦定理？二、例题讲解 例1：（1）在ABC ∆中，设,,a b c 分别为角,,C A B 的对边，若35,,cos 45a A B π===，则边c ＝________． （2）在ABC ∆中，若sin :sin :sin 4:5:6A B C =，则cos C 的值为________．（3）在锐角ABC ∆中，设,,a b c 分别为角,,C A B 的对边，1,2a B A ==，则b 的取值范围是_______．（4）在ABC ∆中，若sin sin sin cos cos B CA B C+=+，则ABC ∆的形状为_______．例2：在ABC ∆中，设,,a b c 分别为角,,C A B sin cos C c B c⋅=⋅+(1)求角B ；(2)若2b ac =，求11tan tan A C+的值．例3：在锐角ABC ∆中，设,,a b c 分别为角,,C A B 的对边，S 为ABC ∆的面积．若不等式 22233k S b c a ⋅≤+-恒成立，求实数k 的最大值.“正余弦定理”解三角形中的应用 预习与作业课后作业1.在ABC ∆中，设,,a b c 分别为角,,C A B 的对边，已知060,3C b c ==,则A ＝________．2.在ABC ∆中，设,,a b c 分别为角,,C A B 的对边，若2cos cos cos b B a C c A ⋅=⋅+⋅,则B ＝______．3.在ABC ∆中，设,,a b c 分别为角,,C A B 的对边，若ABC ∆的面积为2224a b c +-，则C ＝_______．4.在ABC ∆中，设,,a b c 分别为角,,C A B 的对边，已知ABC ∆的面积为12,cos 4b c A -==-则a 的值为________．5.在ABC ∆中,0120,B AB =,A 的角平分线AD =则AC ＝________.6.在ABC ∆中，设,,a b c 分别为角,,C A B 的对边，0120ABC ∠=,ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =,则4a c +的最小值为________．7.如图，在ABC ∆中,3,2,4AB AC BC ===,点D 在边BC 上,045BAD ∠=,则tan CAD ∠＝________．8.在ABC ∆中，设,,a b c 分别为角,,C A B 的对边，若△ABC 为锐角三角形，且满足22b a ac -=，则11tan tan A B-的取值范围是__________．9.在ABC ∆中，设,,a b c 分别为角,,C A B 的对边，设向量()(),,cos ,cos m a c n C A ==．(1)若,3m n c a =∥,求角A ；(2)若43sin ,cos 5m n b B A ⋅==,求cos C 的值．10.在ABC ∆中，设,,a b c 分别为角,,C A B 的对边，且()31cos ,tan 53A B A =-=.(1)求tan B 的值；(2)若13c =,求ABC ∆的面积．例1：（1）在△ABC 中，设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若a ＝5，A ＝π4，cosB ＝35，则边c ＝________． 【答案】7 解析：由cosB ＝35，得sinB ＝45，则sinC ＝sin(A ＋B)＝7210，由正弦定理得asinA ＝csinC，得c ＝7. （2）在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝ 4∶5∶6，则cos C 的值为________． 【答案】18 解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，sin A ∶sin B ∶sin C ＝4∶5∶6，得a ∶b ∶c＝4∶5∶6.设a ＝4t ，b ＝5t ，c ＝6t(t ＞0)．由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝18.（3）在锐角ABC ∆中，设,,a b c 分别为角,,C A B 的对边，1,2a B A ==，则b 的取值范围是_______．【答案】解析：在锐角ABC ∆中，角,,C 0,2A B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得02022032A A A ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩,64A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==得1sin sin 2b A A =，2cosb A =∈（4）在ABC ∆中，若sin sin sin cos cos B CA B C+=+，则ABC ∆的形状为________________.【答案】直角三角形 方法1： 解析：由sin sin sin cos cos B CA B C+=+及正、余弦定理得22222222a c b a b c a a b c ac ab+-+-⋅+⋅=+，化简得222a b c =+，所以ABC ∆为直角三角形.方法2：解析：由sin sin sin cos cos B CA B C+=+及正弦定理得()()sin cos sin cos sin sin sin sin A B A C B C A C A B ⋅+⋅=+=+++，化简得()cos sin sin 0A C B +=，因为sin sin 0B C +>，所以cos 0A =，2A π=，所以ABC ∆为直角三角形.例2：在ABC ∆中，设,,a b c 分别为角,,CA B sin cos C c B c⋅=⋅+问题解决(1)求角B ；(2)若2b ac =，求11tan tan A C+的值．答案：(1)B ＝π3；(2)233.解析：(1)由正弦定理得b sin B ＝csin C，又∵3b sin C ＝c cos B ＋C ， ∴3sin B sin C ＝cos B sin C ＋sin C ，△ABC 中，sin C ＞0，所以3sin B －cos B ＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎫B －π6＝12，－π6＜B －π6＜5π6，B －π6＝π6，所以B ＝π3(2)因为b 2＝ac ，由正弦定理得sin 2B ＝sin A sin C1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C ＝cos A sin C ＋sin A cos C sin A sin C ＝sin （A ＋C ）sin A sin C ＝sin （π－B ）sin A sin C＝sin Bsin A sin C . 所以1tan A ＋1tan C ＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝132＝233.三角解答题的规范：这部分内容重点是公式的运用，所以在规范表达时也侧重公式的表达。

第六节 正弦定理和余弦定理及解三角形1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 是△ABC 的外接圆半径． 正弦定理的常用变形：(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . (2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .(3)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . 2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc _cos_A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ； b 2＝a 2＋c 2－2ac _cos_B ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ； c 2＝a 2＋b 2－2ab _cos_C ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab． 3．勾股定理在△ABC 中，∠C ＝90°⇔a 2＋b 2＝c 2． 4．三角形的面积公式 S △ABC ＝12ah a ＝12bh b ＝12ch c＝12ab _sin_C ＝12bc _sin__A ＝12ac _sin_B ． 5．实际问题中的常用术语 术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．方位角α的X 围是0°≤α<360°续表 术语名称术语意义图形表示 方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度①北偏东m °②南偏西n °坡角坡面与水平面的夹角设坡角为α，坡度为i ， 则i ＝hl＝tan α坡度坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比1．射影定理 b cos C ＋c cos B ＝a ， b cos A ＋a cos B ＝c ， a cos C ＋c cos A ＝b .2．三个角A ，B ，C 与诱导公式的“消角”关系 sin (A ＋B )＝sin C ， cos (A ＋B )＝－cos C ， sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2.3．特殊的面积公式(1)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形内切圆半径).(2)S ＝P （P －a ）（P －b ）（P －c ），P ＝12(a ＋b ＋c ).(3)S ＝abc4R＝2R 2sin A ·sin B ·sin C (R 为△ABC 外接圆半径).1．(基本方法：正弦定理)在△ABC 中，若A ＝60°，B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．4 3 B ．23 C ． 3 D ．32答案：B2．(基础知识：正、余弦定理)在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定 答案：C3．(基础知识：三角形的面积公式)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积为________．答案：2 34．(基本能力：正弦定理)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＋a cos B ＝0，则B ＝________．答案：3π45．(基本应用：实际问题中的常用术语)两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站北偏东40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的北偏西________，西偏北________．答案：10° 80°题型一 正、余弦定理的基本应用[典例剖析]类型 1 正弦定理及其应用[例1] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c ＝1，B ＝45°，cos A ＝35，则b 等于( )A ．53B ．107C ．57D ．5214解析：因为cos A ＝35，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45，所以sin C ＝sin [π－(A＋B )]＝sin (A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45cos 45°＋35sin 45°＝7210.由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得b ＝17210×sin 45°＝57.答案：C类型 2 余弦定理及其应用[例2] 已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝c ＝6＋2，且A ＝75°，则b ＝( )A ．2B ．4＋23C ．4－2 3D ．6－ 2解析：在△ABC 中，易知B ＝30°，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 30°＝4， ∴b ＝2. 答案：A类型 3 正、余弦定理混合应用[例3] 已知△ABC 满足sin 2A ＋sin A sin B ＋sin 2B ＝sin 2C ，则C 的大小是________． 解析：因为sin 2A ＋sin A sin B ＋sin 2B ＝sin 2C ，所以a 2＋ab ＋b 2＝c 2，即a 2＋b 2－c 2＝－ab ，故cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12(0＜C ＜π)，所以C ＝2π3.答案：2π3方法总结1．求解三角形的一般方法： 方法 解读题型正弦定理法 直接利用正弦定理(变式)求边、角(1)已知两角及一边；(2)已知两边及一边对角 余弦定理法直接利用余弦定理(变式)求边、角(1)已知两边及夹角；(2)已知三边2.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式a ＝b sin Ab sin A＜a ＜ba ≥ba ＞ba ≤b解的个数1211[题组突破]1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a ＞b ，则B ＝( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解析：∵a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，∴由正弦定理得sin A sin B cos C ＋sin C sin B cos A ＝12sin B ，即sin B (sin A cos C ＋sin C cos A )＝12sin B .∵sin B ≠0，∴sin (A ＋C )＝12，即sin B ＝12.∵a ＞b ，∴A ＞B ，即B 为锐角，∴B ＝π6.答案：A2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2＋c 2－3bc ＝a 2，bc ＝3a 2，则C 的大小是( )A ．π6或2π3B ．π3C ．2π3D ．π6解析：∵b 2＋c 2－3bc ＝a 2，∴b 2＋c 2－a 2＝3bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3bc 2bc ＝32.又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π6.由b 2＋c 2－a 2＝3bc 及bc ＝3a 2得b 2＋c 2－33bc ＝3bc ，即3b 2－4bc ＋3c 2＝0.∴(3b －c )·(b －3c )＝0，解得c ＝3b 或b ＝3c .①当c ＝3b 时，由bc ＝3a 2得a ＝b ，∴△ABC 为等腰三角形，且A ＝B ＝π6，∴C ＝2π3；②当b ＝3c 时，由bc ＝3a 2得a ＝c ，∴△ABC 是以B 为顶点的等腰三角形，A ＝C ，∴C ＝π6.综上，C 的大小为π6或2π3.答案：A3．(2021·某某模拟)若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b sin 2A ＝a sin B ，且c ＝2b ，则ab等于( )A ．32B ．43C ． 2D ． 3解析：由正弦定理及b sin2A ＝a sin B ，得2sin B sin A ·cos A ＝sin A sin B ，又sin A ≠0，sin B ≠0，则cos A ＝12.又c ＝2b ，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋4b 2－4b 2·12＝3b 2，得ab＝ 3.答案：D题型二 正、余弦定理的综合应用[典例剖析]类型 1 判断三角形的形状[例1] (1)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：法一：因为b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2a 22a ＝a ，所以a sin A ＝a ，即sin A ＝1，故A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．法二：因为b cos C ＋c cos B ＝a sin A ， 所以sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ， 即sin(B ＋C )＝sin 2A ，所以sin A ＝sin 2A ，故sin A ＝1，即A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．法三：由射影定理可得b cos C ＋c cos B ＝a ， 所以a ＝a sin A ，所以sin A ＝1，即A ＝π2，所以△ABC 为直角三角形．答案：B(2)在△ABC 中，若2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 的形状为________． 解析：法一：由已知得2sin A cos B ＝sin C ＝sin (A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin (A －B )＝0， 因为－π＜A －B ＜π，所以A ＝B ， 所以△ABC 为等腰三角形． 法二：由正弦定理得2a cos B ＝c ，再由余弦定理得2a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ⇒a 2＝b 2⇒a ＝b ，所以△ABC 为等腰三角形． 答案：等腰三角形类型 2 有关三角形的周长与面积[例2] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2b －c )cos A ＝a cos C . (1)求A ；(2)若a ＝13，△ABC 的面积为33，求△ABC 的周长．解析：(1)由(2b －c )cos A ＝a cos C 知2×2R sin B cos A －2R sin C cos A ＝2R cos C sin A ， 由A ＋B ＋C ＝π，得2sin B cos A ＝sin B ， 因为sin B ≠0，所以cos A ＝12.因为 0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得13＝b 2＋c 2－2bc ·12，即(b ＋c )2－3bc ＝13，因为S △ABC ＝12bc ·sin A ＝34bc ＝33，所以bc ＝12，所以(b ＋c )2－36＝13，即b ＋c ＝7， 所以△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝7＋13. 类型 3 有关三角形的边长与角度[例3] 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin A ＋b sin B ＋2b sin A ＝c sin C .(1)求C ；(2)若a ＝2，b ＝22，线段BC 的垂直平分线交AB 于点D ，求CD 的长． 解析：(1)因为a sin A ＋b sin B ＋2b sin A ＝c sin C ， 所以由正弦定理可得a 2＋b 2＋2ab ＝c 2. 由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－22，又0＜C ＜π，所以C ＝3π4.(2)由(1)知C ＝3π4，根据余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋(22)2－2×2×22×⎝⎛⎭⎫－22＝20， 所以c ＝2 5.由正弦定理c sin C ＝b sin B ，得2522＝22sin B，解得sin B ＝55，从而cos B ＝255. 设BC 的垂直平分线交BC 于点E ， 因为在Rt △BDE 中，cos B ＝BE BD ，所以BD ＝BE cos B ＝1255＝52. 因为点D 在线段BC 的垂直平分线上，所以CD ＝BD ＝52. 1．求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．2．已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．方法总结(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．提醒 正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用．3．判断三角形形状的两种思路(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．边角互化法边化角：用角的三角函数表示边 等式两边是边的齐次形式角化边：将解析式中的角用边的形式表示等式两边是角的齐次形式或a 2＋b 2－c 2＝λab[题组突破]1．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________． 解析：因为BC sin A ＝AB sin C ＝AC sin B ＝3sin 60°，所以AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A ，因此AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin A＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－A ＋4sin A＝5sin A ＋3cos A ＝27sin (A ＋φ).因为φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3，所以AB ＋2BC 的最大值为27.答案：272．若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，且C 为钝角，则B ＝________，ca的取值X 围是________．解析：由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，∴a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ．又∵S ＝34(a 2＋c 2－b 2)， ∴12ac sin B ＝34×2ac cos B ，∴tan B ＝3，∴B ＝π3. 又∵C 为钝角，∴C ＝2π3－A ＞π2，∴0＜A ＜π6.由正弦定理得ca＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－A sin A＝32cos A ＋12sin A sin A ＝12＋32·1tan A .∵0＜tan A ＜33，∴1tan A＞3， ∴c a ＞12＋32×3＝2，即ca ＞2. 答案：π3(2，＋∞)题型三 解三角形的应用举例[典例剖析]类型 1 解决测量问题[例1] (1)(可视两点)如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A ，B 两点，在A ，B 两点分别测得树顶的仰角为30°，45°，且A ，B 两点之间的距离为10 m ，则树的高度h 为( )A ．(5＋53)mB ．(30＋153)mC ．(15＋303)mD ．(15＋33)m解析：在△P AB 中，由正弦定理，得10sin （45°－30°）＝PBsin 30°，因为sin (45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝6－24，所以PB ＝5(6＋2)(m)，所以该树的高度h ＝PB sin 45°＝(5＋53)(m).答案：A(2)(河对岸或不可视两点)如图所示，为了测量河对岸A ，B 两点之间的距离，观察者找到一个点C ，从点C 可以观察到点A ，B ；找到一个点D ，从点D 可以观察到点A ，C ；找到一个点E ，从点E 可以观察到点B ，C .并测量得到一些数据：CD ＝2，CE ＝23，∠D ＝45°，∠ACD ＝105°，∠ACB °，∠BCE ＝75°，∠E ＝60°，则A ，B 两点之间的距离为________.(其中°取近似值23)解析：依题意知，在△ACD 中，∠A ＝30°，由正弦定理得AC ＝CD sin 45°sin 30°＝2 2.在△BCE 中，∠CBE ＝45°，由正弦定理得BC ＝CE sin 60°sin 45°＝3 2.连接AB (图略)，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ＝10， ∴AB ＝10. 答案：10类型 2 三角形在平面几何中的应用[例2]如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC ＝3π4，AB ⊥AD ，AB＝1.(1)若AC ＝5，求△ABC 的面积； (2)若∠ADC ＝π6，CD ＝4，求sin ∠CAD .解析：(1)在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ，即5＝1＋BC 2＋2BC ，解得BC ＝2，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12AB ·BC ·sin ∠ABC ＝12×1×2×22＝12.(2)设∠CAD ＝θ，在△ACD 中，由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CD sin ∠CAD ，即AC sin π6＝4sin θ，①在△ABC 中，∠BAC ＝π2－θ，∠BCA ＝π－3π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝θ－π4，由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝ABsin ∠BCA ，即AC sin3π4＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，② ①②两式相除，得sin 3π4sin π6＝4sin θ1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，即4⎝⎛⎭⎫22sin θ－22cos θ＝2sin θ，整理得sin θ＝2cos θ.又sin 2θ＋cos 2θ＝1，故sin θ＝255，即sin ∠CAD ＝255.方法总结1．测量距离问题的解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将实际问题转化为求某个三角形的边长问题，再利用正、余弦定理求解．提醒 解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据(原始数据)，少用间接求出的量．2．测量角度问题的基本思路：测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．提醒 方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角．3．把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解．4．寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果，求解时要灵活利用平面几何的性质，将几何性质与正弦、余弦定理有机结合起来．[题组突破]1．(2020·某某模拟)如图，一栋建筑物AB 的高为(30－103)米，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD ，在它们之间的点M (B ，M ，D 三点共线)处测得楼顶A ，塔顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角是30°，则通信塔CD 的高为________米．解析：在Rt △ABM 中，AM ＝ABsin 15°＝30－103sin 15°＝30－1036－24＝206，过点A 作AN ⊥CD 于点N (图略)，在Rt △A 中，因为∠CAN ＝30°，所以∠A ＝60°，又在Rt △CMD 中，∠CMD ＝60°，所以∠MCD ＝30°，所以∠ACM ＝30°，在△AMC 中，∠AMC ＝105°，所以AC sin 105°＝AM sin ∠ACM ＝206sin 30°，所以AC ＝60＋203，所以＝30＋103，所以CD ＝DN ＋＝AB ＋＝30－103＋30＋103＝60. 答案：602．在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile 的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile 的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile 的速度沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．解析：如图，设红方侦察艇经过x 小时后在C 处追上蓝方的小艇，则AC ＝14x ，BC ＝10x ，∠ABC ＝120°.根据余弦定理得(14x )2＝122＋(10x )2－240x cos 120°， 解得x ＝2(负值舍去)，故AC ＝28，BC ＝20.根据正弦定理得BC sin α＝ACsin 120°，解得sin α＝20sin 120°28＝5314，所以红方侦察艇所需的时间为2小时，角α的正弦值为5314.再研高考创新思维(2019·高考全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A ＋C2＝b sin A .(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值X 围． 解析：(1)由题设及正弦定理得sin A sin A ＋C 2＝sin B ·sin A .因为sin A ≠0，所以sin A ＋C2＝sin B .由A ＋B ＋C ＝180°，可得sin A ＋C 2＝cos B2， 故cos B 2＝2sin B 2cos B2.因为cos B 2≠0，所以sin B 2＝12，所以B ＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝34a . 由(1)知A ＋C ＝120°，由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin （120°－C ）sin C ＝32tan C ＋12.由于△ABC 为锐角三角形，故0°＜A ＜90°，0°＜C ＜90°. 结合A ＋C ＝120°，得30°＜C ＜90°，所以12＜a ＜2，从而38＜S △ABC ＜32.因此，△ABC 面积的取值X 围是⎝⎛⎭⎫38，32. 素养升华边角互化(2021·某某某某模拟)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a .(1)求ba；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .解析：(1)由正弦定理得a sin B ＝b sin A ，因为a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，所以b sin 2A ＋b cos 2A ＝2a ，所以ba ＝ 2.(2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 因为c 2＝b 2＋3a 2，所以cos B ＝（1＋3）a2c .由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2，所以cos 2B ＝12，易知cos B ＞0，所以cos B ＝22.又0＜B ＜π，所以B ＝π4.。

1.1.2 余弦定理课时过关·能力提升1已知在△ABC 中,a ∶b ∶c=1∶1∶√3,则cos C 的值为( ) A.23 B.-23C.12D.-122在△ABC 中,若2cos B sin A=sin C ,则△ABC 的形状一定是( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形D.等边三角形2cos B sin A=sin C ,得a 2+a 2-a 2aa·a=c , 所以a=b.所以△ABC 为等腰三角形.3已知在△ABC 中,AB=3,BC=√13,AC=4,则边AC 上的高是( ) A.3√22B.3√32C.32D.3√3,得cos A=aa 2+aa 2-aa 22aa ·aa =9+16-132×3×4=12.∴sin A=√32.∴S △ABC =12AB ·AC ·sin A=12×3×4×√32=3√3.设边AC 上的高为h ,则S △ABC =12AC ·h=12×4×h=3√3. ∴h=3√32.4已知在△ABC 中,∠ABC=π4,AB=√2,BC=3,则sin ∠BAC=( ) A.√1010 B.√105C.3√1010D.√55ABC中,由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB·BC cos∠ABC=2+9-2×√2×3×√22=5,即得AC=√5.由正弦定理aasin∠aaa =aasin∠aaa,即√5√22=3sin∠aaa,所以sin∠BAC=3√1010.5已知在△ABC中,∠B=60°,b2=ac,则△ABC一定是三角形.B=60°,b2=ac,由余弦定理,得b2=a2+c2-2ac cos B,得ac=a2+c2-ac,即(a-c)2=0,所以a=c.又∠B=60°,所以△ABC是等边三角形.6已知△ABC的内角∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且3b2+3c2-3a2=4√2bc,则sin A=.7设△ABC的内角∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且a=1,b=2,cos C=14,则sinB=.,得c2=a2+b2-2ab cos C=1+4-2×1×2×14=4,解得c=2,即b=c,故sin B=sin C=√1-(14)2=√154.8如图,在△ABC中,已知点D在BC边上,AD⊥AC,sin∠BAC=2√23,AB=3√2,AD=3,则BD的长为.AD⊥AC,∴∠DAC=π2.∵sin ∠BAC=2√23,∴sin (∠aaa +π2)=2√23,∴cos ∠BAD=2√23.由余弦定理,得BD 2=AB 2+AD 2-2AB ·AD ·cos∠BAD=(3√2)2+32-2×3√2×3×2√23=3.∴BD=√3. √3 9在△ABC 中,已知∠B=45°,D 是BC 边上的一点,AD=10,AC=14,DC=6,求AB 的长.ADC 中,AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理,得cos ∠ADC=aa 2+aa 2-aa 22aa ·aa=100+36-1962×10×6=-12,∴∠ADC=120°,∴∠ADB=60°.在△ABD 中,AD=10,∠B=45°,∠ADB=60°, 由正弦定理,得aa sin∠aaa=aasin a, ∴AB=aa ·sin∠aaasin a=10sin60°sin45°=10×√32√22=5√6.10在△ABC 中,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足c=2b cos A. (1)求证:∠A=∠B ;(2)若△ABC 的面积S=152,cos C=45,求c 的值.c=2b cos A ,由正弦定理,得sin C=2sin B ·cos A ,所以sin(A+B )=2sin B ·cos A ,所以sin(A-B )=0.在△ABC 中,因为0<∠A<π,0<∠B<π, 所以-π<∠A-∠B<π,所以∠A=∠B.(1)知a=b.因为cos C=45,又0<∠C<π,所以sin C=35.又因为△ABC 的面积S=152, 所以S=12ab sin C=152,可得a=b=5. 由余弦定理,得c 2=a 2+b 2-2ab cos C=10. 所以c=√10. ★11设△ABC 是锐角三角形,a ,b ,c 分别是内角∠A ,∠B ,∠C 所对的边,并且sin 2A=sin (π3+a )sin (π3-a )+sin 2B.(1)求∠A 的值;(2)若aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12,a=2√7,求b ,c (其中b<c ).因为sin 2A=(√32cos a +12sin a )·(√32cos a -12sin a )+sin 2B=34cos 2B-14sin 2B+sin 2B=34,所以sin A=√32.又∠A 为锐角, 所以∠A=π3.(2)由aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12,可得bc cos A=12.① 由(1)知∠A=π3, 所以bc=24.②由余弦定理知a 2=c 2+b 2-2bc cos A , 将a=2√7及①代入上式,得c 2+b 2=52,③ 由③+②×2,得(b+c )2=100,所以b+c=10. 因此b ,c 是一元二次方程t 2-10t+24=0的两个根. 解此方程并由c>b 知c=6,b=4.。

习题课正弦定理和余弦定理［学习目标]1。

进一步熟练掌握正、余弦定理在解决各类三角形中的应用。

2.提高对正、余弦定理应用范围的认识。

3。

初步应用正、余弦定理解决一些和三角函数、向量有关的综合问题．[知识链接]下列结论正确的是．（1)在△ABC中，已知一边的长为6，这条边上的高为4，则△ABC 的面积为12。

（2）在▱ABCD中，一边的长为a,这边上的高为h，则▱ABCD的面积为12ah.（3) 已知△ABC的三边长分别为a，b，c，若2p＝a＋b＋c，则S△ABC ＝p p－a p－b p－c.（4）设△ABC的内切圆的半径为r，三边长分别为a,b，c，则三角形的面积S＝错误!r（a＋b＋c)．答案（1）(3）(4）［预习导引]1．三角形常用面积公式（1)三角形面积公式S＝错误!ah。

（2）三角形面积公式的推广S ＝错误!ab sin C ＝错误!bc sin A ＝错误!ca sin B 。

2．三角形内的角的函数关系在△ABC 中，边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ,则有（1)sin （A ＋B ）＝sin C ，cos （A ＋B )＝－cos C ，tan （A ＋B )＝－tan C ，(2）sin A ＋B 2＝cos 错误!，cos 错误!＝sin 错误!.3．余弦定理的推论在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为直角，c 2〉a 2＋b 2⇔C 为钝角；c 2<a 2＋b 2⇔C 为锐角.要点一 利用正、余弦定理求值例1 在△ABC 中，若c ·cos B ＝b ·cos C ,且cos A ＝23，求sin B 的值．解 由c ·cos B ＝b ·cos C ，结合正弦定理得，sin C cos B ＝sin B cos C ，故sin （B －C )＝0，易知B ＝C ，故b ＝c .因为cos A ＝错误!,所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝错误!＝错误!,得3a 2＝2b 2，所以a ＝错误!b 。

高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理第2课时余弦定理练习含解析新人教A 版必修51.1 正弦定理和余弦定理 第2课 时余弦定理A 级 基础巩固一、选择题1．(2016·天津卷)在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：由余弦定理得13＝9＋AC 2＋3AC ⇒AC ＝1，选A. 答案：A2．在△ABC 中，已知a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形解析：由a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ·b 2＋a 2－c 22ab，化简得a 4－2a 2b 2＋b 4＝c 4，即(a 2－b 2)2＝c 4. 所以a 2－b 2＝c 2或a 2－b 2＝－c 2. 故△ABC 是直角三角形． 答案：B3．在△ABC 中，有下列结论：①若a 2＞b 2＋c 2，则△ABC 为钝角三角形； ②若a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则∠A 为60°； ③若a 2＋b 2＞c 2，则△ABC 为锐角三角形； ④若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，a ∶b ∶c ＝1∶2∶3. 其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：①cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＜0，所以A 为钝角，正确；②cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，所以A ＝120°，错误；③cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＞0，所以C 为锐角，但A 或B 不一定为锐角，错误；④A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，错误． 答案：A4．在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( )A.31010B.1010C ．－1010D ．－31010解析：设BC 边上的高线为AD ，则BC ＝3AD ，所以AC ＝AD 2＋DC 2＝5AD ，AB ＝2AD .由余弦定理，知cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝2AD 2＋5AD 2－9AD 22×2AD ×5AD＝－1010，故选C.答案：C5．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等边三角形解析：因为2cos B sin A ＝sin C ，所以2×a 2＋c 2－b 22ac·a ＝c ，所以a ＝b ，所以△ABC 为等腰三角形． 答案：C 二、填空题6．在△ABC 中，若(a ＋c )(a －c )＝b (b ＋c )，则∠A ＝________． 解析：由(a ＋c )(a －c )＝b (b ＋c )得b 2＋c 2－a 2＝－bc ， 所以cos A ＝－12，A ＝120°.答案：120°7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝14a ，2sin B ＝3sinC ，则cos A 的值为________．解析：由正弦定理得到边b ，c 的关系，代入余弦定理的变化求解即可． 由2sin B ＝3sin C 及正弦定理得2b ＝3c ，即b ＝32c .又b ＝c ＝14a ，所以12c ＝14a ，即a ＝2c .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝94c 2＋c 2－4c 22×32c 2＝－34c23c 2＝－14.答案：－148．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边长之比为8∶5，则这个三角形的面积是________．解析：设另两边长分别为8x ，5x (x ＞0)，则cos 60°＝64x 2＋25x 2－14280x2，解得x ＝2或x ＝－2(舍去)．故另两边长分别是16，10.所以三角形的面积S ＝12×16×10×sin 60°＝40 3.答案：40 3 三、解答题9．在△ABC 中，已知sin 2B －sin 2C －sin 2A ＝3sin A sin C ，求B 的度数． 解：因为sin 2B －sin 2C －sin 2A ＝3sin A sin C ， 由正弦定理得：b 2－c 2－a 2＝3ac ，由余弦定理得：cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ＝－32，又0°＜B ＜180°，所以B ＝150°.10．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1(1)求角C 的度数； (2)求AB 的长．解：(1)因为cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝ －cos(A ＋B )＝－12，且C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.(2)因为a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根， 所以⎩⎨⎧a ＋b ＝23，ab ＝2.所以AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10， 所以AB ＝10.B 级 能力提升1．在△ABC 中，sin 2 A 2＝c －b 2c，则△ABC 的形状为( ) A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形解析：因为sin 2A 2＝1－cos A 2＝c －b2c， 所以cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a 22bc，所以a 2＋b 2＝c 2，故△ABC 为直角三角形． 答案：B2．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________．解析：因为cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22×BC ×AC ＝22，所以sin C ＝22. 所以AD ＝AC ·sin C ＝ 3. 答案：33．如图所示，已知在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求BC 的长．解：在△ABD 中，由余弦定理有：AB 2＝AD 2＋BD 2－2·AD ·BD ·cos ∠ADB . 设BD ＝x ，有142＝102＋x 2－2×10x cos 60°，x 2－10x －96＝0. 所以x 1＝16，x 2＝－6(舍去)，即BD ＝16， 在△BCD 中，由正弦定理BC sin ∠CDB ＝BDsin ∠BCD，可得：BC ＝16sin 135°·sin 30°＝8 2.。

第08讲正余弦定理解三角形（10类核心考点精讲精练）1. 5年真题考点分布2. 命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较中等，分值为13-15分【备考策略】1掌握正弦定理、余弦定理及其相关变形应用2会用三角形的面积公式解决与面积有关的计算问题.3会用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决三角形中的综合问题【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般给以大题来命题、考查正余弦定理和三角形面积公式在解三角形中的应用，同时也结合三角函数及三角恒等变换等知识点进行综合考查，需重点复习。

1.正弦定理（1）基本公式：R CcB b A a 2sin sin sin ===（其中R 为ABC ∆外接圆的半径）（2）变形C B c b C A c a B A b a C B A c b a R C cB b A a sin sin sin sin sin sin sin sin sin 2sin sin sin ++=++=++=++++====CB A c b a sin :sin :sin ::=2.三角形中三个内角的关系π=++C B A ，A ＋B 2＝π2－C2A CB sin )sin(=+∴，AC B cos )cos(-=+，AC B tan )tan(-=+2cot22πtan 2tan(,2sin 22πcos 2cos(,2cos 22πsin )2sin(C C B A C C B A C C B A =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+∴3.余弦定理（1）边的余弦定理A bc c b a cos 2222-+=，B ac c a b cos 2222-+=，Cab b a c cos 2222-+=（2）角的余弦定理bc a c b A 2cos 222-+=，ac b c a B 2cos 222-+=，ab c b a C 2cos 222-+=4.三角形的面积公式ah S ABC 21=∆A bc B ac C ab S ABCsin 21sin 21sin 21===∆1．（2023·全国·高考真题）在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若cos cos a B b A c -=，且5C p=，则B Ð=（ ）A ．10pB ．5pC ．310pD ．25p 2．（2024·湖南永州·三模）已知在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2cos a B b A c C +=-，π7sin 268A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()cos A B -=.3．（2024·四川凉山·二模）设ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos 1cos cos a B b A ba Bb A c-+=+，则A = ．4．（2024·全国·高考真题）记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A A =．(1)求A ．(2)若2a =sin sin 2C c B =，求ABC V 的周长．1．（2024·江西九江·三模）在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知22cos c a b A -=，则B =（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．（2024·河北沧州·模拟预测）记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3cos cos cos b B a C c A =+，且34b c =，则C =.3．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）在ABC V 中，记角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos sin =+B c B ．(1)求角C ；(2)已知点D 在AC 边上，且2AD DC =，6BC =，BD =，求ABC V 的面积．1．（2023·浙江·模拟预测）在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若π,43B a ==，且该三角形有两解，则b 的范围是（ ）A ．()+¥B ．()C ．()0,4D ．()42．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，则能使同时满足条件π,66A b ==的三角形不唯一的a 的取值范围是（ ）A ．()36,B ．()3,+¥C ．()0,6D ．()0,33．（2023·广东茂名·三模）（多选）ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .以下结论中正确的有（ ）A ．若40,20,25a b B ===o ，则ABC V 必有两解B ．若sin2sin2A B =，则ABC V 一定为等腰三角形C ．若cos cos a B b A c -=，则ABC V 一定为直角三角形D ．若π,23B a ==，且该三角形有两解，则b 的范围是)+¥1．（23-24高二下·浙江·期中）在ABC V 中，π,4,3A AB BC a Ð===，且满足该条件的ABC V 有两个，则a 的取值范围是（ ）A ．()02,B ．(2,C ．()2,4D ．()42．（2023·安徽·模拟预测）（多选）在ABC V 中，60AB B ==o ，若满足条件的三角形有两个，则AC 边的取值可能是（ ）A ．1.5B ．1.6C ．1.7D ．1.83．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）（多选）在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且已知2a =，则（ ）A ．若45A =o ，且ABC V 有两解，则b 的取值范围是(2,B ．若45A =o ，且4b =，则ABC V 恰有一解.C ．若3c =，且ABC V 为钝角三角形，则b 的取值范围是D ．若3c =，且ABC V 为锐角三角形，则b 的取值范围是1．（2023·北京·高考真题）在ABC V 中，()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-，则C Ð=（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．（2021·全国·高考真题）在ABC V 中，已知120B =︒，AC 2AB =，则BC =（ ）A ．1B C D ．33．（2023·全国·高考真题）在ABC V 中，60,2,BAC AB BC Ð=︒==BAC Ð的角平分线交BC 于D ，则AD =．4．（2023·全国·高考真题）记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2222cos b c aA+-=．(1)求bc ；(2)若cos cos 1cos cos a B b A ba Bb A c--=+，求ABC V 面积．1．（2021·安徽安庆·二模）在ABC V 中，a b c ，，分别是A Ð，B Ð，C 的对边.若2b ac =，且22a c ac +=+，则A Ð的大小是（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．（2024·安徽合肥·一模）在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()2cos 2b C a c =-，且π3B =，则=a （ ）A ．1B C D ．23．（2023·广东广州·三模）在ABC V 中，点D 在边BC 上，AB =，3CD =，45B =︒，60ADB Ð=︒，则AC 的长为．4．（2023·全国·高考真题）在ABC V 中，已知120BAC Ð=︒，2AB =，1AC =.(1)求sin ABC Ð；(2)若D 为BC 上一点，且90BAD Ð=︒，求ADC △的面积.1．（22-23高三·吉林白城·阶段练习）已知ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若()()3a b c b c a bc +++-=，且sin 2sin cos A B C =，那么ABC V 是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形2．（22-23高三上·河北·阶段练习）在ABC V 中，角,,A B C 对边为,,a b c ，且22cos2Ac b c ×=+，则ABC V 的形状为（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形3．（2024高三·全国·专题练习）设△ABC 的三边长为BC a =，=CA b ，AB c =，若tan2A a b c=+，tan2B ba c =+，则△ABC 是（ ）．A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形1．（2024高三·全国·专题练习）在ABC V 中，若cos cos a A b B =，则ABC V 的形状一定是（ ）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形2．（22-23高三·河南商丘·阶段练习）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin22A c bc-=，则△ABC 是（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．等边三角形D ．30A =︒的三角形3．（22-23高三·阶段练习）设ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若222b c a ca =+-，且sin 2sin A C =，则ABC V 的形状为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形4．（2023·四川凉山·二模）在ABC V 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ．命题221tan cos()2:01tan2Ab A C p A a -++=+，命题:q ABC V 为等腰三角形．则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件1．（2023·全国·高考真题）在ABC V 中，已知120BAC Ð=︒，2AB =，1AC =.(1)求sin ABC Ð；(2)若D 为BC 上一点，且90BAD Ð=︒，求ADC △的面积.2．（2022·浙江·高考真题）在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c．已知34,cos 5a C ==．(1)求sin A 的值；(2)若11b =，求ABC V 的面积．3．（2024·全国·高考真题）记ABC V 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c，已知sin C B =，222a b c +-=(1)求B ；(2)若ABC V的面积为3c ．4．（2022·北京·高考真题）在ABC V中，sin 2C C =．(1)求C Ð；(2)若6b =，且ABC V的面积为ABC V 的周长．1．（2024·北京大兴·三模）ABC V 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c，cos a B =，sin 1b A =.(1)求B Ð的大小；(2)若b =ABC V 的面积.2．（2024·福建莆田·三模）在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()()cos 12cos b C c B +=-.(1)证明：2a b c +=.(2)若6a =，9cos 16C =，求ABC V 的面积.3．（2024·浙江·模拟预测）已知ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,.a b c 已知23,sin ABC c S b C ==V .(1)求a 的取值范围；(2)求B Ð最大时，ABC V 的面积.4．（2024·安徽滁州·三模）在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,,2cos 2a b c b C c a -=．(1)求B 的大小；(2)若3a =，且AC ABC V 的面积．1．（2024·贵州六盘水·三模）在ABC V 中，2AB =，3AC =， π3A Ð=，则ABC V 外接圆的半径为（ ）A B C D 2．（2024·浙江·模拟预测）如图，在平面内的四个动点A ，B ，C ，D 构成的四边形ABCD 中，1AB =，2BC =，3CD =，4=AD .(1)求ACD V 面积的取值范围；(2)若四边形ABCD 存在外接圆，求外接圆面积.3．（2023·湖北·二模）已知在ABC V 中，其角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，且满足cos sin b C C a c =+．(1)若b =ABC V 的外接圆半径；(2)若a c +=，且6BA BC ×=uuu r uuu r，求ABC V 的内切圆半径1．（2024·河南信阳·模拟预测）设ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知9,8,5a b c ===，则ABC V 的外接圆的面积为（ ）A ．225π11B ．125π11C ．123π6D ．113π62．（2024·辽宁大连·一模）在ABC V 中,π,3,23A AB AC Ð=== (1)求点A 到边BC 的距离:(2)设P 为边AB 上一点，当22PB PC +取得最小值时，求PBC V 外接圆的面积.3．（2024·山西晋城·一模）在ABC V 中，AB =AC =，BC =．(1)求A 的大小；(2)求ABC V 外接圆的半径与内切圆的半径．4．（2024·全国·模拟预测）在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22sin 2sin 2sin sin 4A BA B ××=．(1)求C ；(2)若2c =，求ABC V 内切圆半径取值范围．1．（2024·福建泉州·一模）在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos cos c B b C a b -=-，点D 是BC 上靠近C 的三等分点(1)若ABC V 的面积为AD 的最小值；(2)若π6BAD Ð=，求sin 2B ．2．（2024·山东日照·二模）ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．分别以,,a b c 为边长的正三角形的面积依次为123,,S S S ，且123S S S --=．(1)求角A ；(2)若4BD CD =uuu r uuu r ，π6CAD Ð=，求sin ACB Ð．3．（2024·山东菏泽·模拟预测）在ABC V 中，D 为BC 边的中点．(1)若AC =π6ACD DAC Ð=Ð=，求AB 的长；(2)若π2BAD ACD ÐÐ+=，0AC AB ¹×u u r uu r uu，试判断ABC V 的形状．4．（2024·河北衡水·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD 中，120AB AC ADC CAB ==Ð=Ð=︒，设DAC Ðq =.(1)若2AD =，求BD 的长；(2)若15ADB Ð=︒，求tan q .1．（2024·河北沧州·模拟预测）在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()2a c c b =+．(1)求证：3πB C +=；(2)若ABC Ð的角平分线交AC 于点D ，且12a =，7b =，求BD 的长．2．（2024·河南·三模）已知P 是ABC V 内一点，π3π,,,44PB PC BAC BPC ABP ÐÐÐq ====.(1)若π,24BC q =，求AC ；(2)若π3q =，求tan BAP Ð.3．（23-24高三下·安徽·阶段练习）已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角的对边，且sin cos A a C b c +=+．(1)求A ；(2)若2BC =，将射线BA 和CA 分别绕点B ，C 顺时针方向旋转15o ，30o ，旋转后相交于点D （如图所示），且30DBC Ð=o ，求AD ．1．（2024·全国·模拟预测）记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，tan A =πsin 2sin()3b C C =+．(1)求c ；(2)若点D 在边BC 上，且13BD a =，AD =ABC V 的面积．1．（2024·山东济南·二模）如图，已知平面四边形ABCD 中，2,4AB BC CD AD ====.(1)若,,,A B C D 四点共圆，求AC ；(2)求四边形ABCD 面积的最大值.2．（2024·河北·二模）已知ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c ABC V 的面积为,2S a b =.(1)若S ABC =V 为等腰三角形，求它的周长；(2)若3sin 5C =，求sin sin A,B .1．（23-24高二下·浙江杭州·期中）在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足2cos b a b C =-．(1)求证：2C B =；(2)求2sin cos sin C B B +-的最大值．2．（2024·全国·模拟预测）在ABC V 中，点D ，E 都是边BC 上且与B ，C 不重合的点，且点D 在B ，E 之间，AE AC BD AD AB CE ××=××．(1)求证：sin sin BAD CAE =∠∠．(2)若AB AC ^，求证：222221sin AD AE BD CE DAE+=-Ð．3．（23-24高三上·河南信阳·阶段练习）设ABC V 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知1sin 1cos 2cos sin 2A BA B --=．(1)证明：22πA B +=．(2)求22a c的取值范围．1．（23-24高三上·广东·阶段练习）已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，D 是边BC 上一点，BAD Ð=a ，CAD b Ð=，AD d =，且2sin 2sin 3ac ab bc a b +=．(1)若5π6A =，证明：3a d =；(2)在（1）的条件下，且2CD BD =，求cos ADC Ð的值．2．（22-23高一下·山东枣庄·期中）ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4sin sin cos sin cos a A b C A c A B =+.(1)求sin sin AC的值；(2)若BD 是ABC Ð的角平分线.（i ）证明：2··BD BA BC DA DC =-；（ii ）若1a =，求BD AC ×的最大值.3．（23-24高三上·江苏·开学考试）如图，在△ABC 内任取一点P ，直线AP 、BP 、CP 分别与边BC 、CA 、AB 相交于点D 、E 、F ．(1)试证明：sin sin BD AB BADDC AC DACÐ=Ð(2)若P 为重心，5,4,3AD BE CF ===，求ABC V 的面积．1．（2021·全国·高考真题）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E ，H ，G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称为“表距”，GC 和EH 都称为“表目距”，GC 与EH 的差称为“表目距的差”则海岛的高AB =（ ）A ．´+表高表距表目距的差表高B ．´-表高表距表目距的差表高C ．´+表高表距表目距的差表距D ．´-表高表距表目距的差表距2．（2024·陕西西安·模拟预测）在100m 高的楼顶A 处，测得正西方向地面上B C 、两点(B C 、与楼底在同一水平面上）的俯角分别是75o 和15o ，则B C 、两点之间的距离为（ ）．A ．B ．C ．D ．3．（2024·江苏扬州·模拟预测）《海岛算经》是魏晋时期数学家刘徽所著的测量学著作，书中有一道测量山上松树高度的题目，受此题启发，小李同学打算用学到的解三角形知识测量某建筑物上面一座信号塔的高度．把塔底与塔顶分别看作点C ，D ，CD 与地面垂直，小李先在地面上选取点A ，B ，测得AB =，在点A 处测得点C ，D 的仰角分别为30︒，60︒，在点B 处测得点D 的仰角为30︒，则塔高CD 为 m ．1．（2024·广东·二模）在一堂数学实践探究课中，同学们用镜而反射法测量学校钟楼的高度.如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置，此时测量人和小镜子的距离为1 1.00m a =，之后将小镜子前移 6.00m a =，重复之前的操作，再次测量人与小镜子的距离为20.60m a =，已知人的眼睛距离地面的高度为5m 1.7h =，则钟楼的高度大约是（ ）A ．27.75mB ．27.25mC ．26.75mD ．26.25m2．（2024·湖南·模拟预测）湖南省衡阳市的来雁塔，始建于明万历十九年（1591年），因鸿雁南北迁徙时常在境内停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布为重点文物保护单位.为测量来雁塔的高度，因地理条件的限制，分别选择C 点和一建筑物DE 的楼顶E 为测量观测点，已知点A 为塔底，,,A C D 在水平地面上，来雁塔AB 和建筑物DE 均垂直于地面（如图所示）.测得18m,15m CD AD ==，在C 点处测得E 点的仰角为30°，在E 点处测得B 点的仰角为60°，则来雁塔AB 的高度约为（ ） 1.732»，精确到0.1m ）A ．35.0mB ．36.4mC ．38.4mD ．39.6m3．（2024·山东临沂·一模）在同一平面上有相距14公里的,A B 两座炮台，A 在B 的正东方.某次演习时，A 向西偏北q 方向发射炮弹，B 则向东偏北q 方向发射炮弹，其中q 为锐角，观测回报两炮弹皆命中18公里外的同一目标，接着A 改向向西偏北2q方向发射炮弹，弹着点为18公里外的点M ，则B 炮台与弹着点M 的距离为（ ）A ．7公里B ．8公里C ．9公里D ．10公里一、单选题1．（2024·浙江·模拟预测）在ABC V 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若tan 3A =，π4B =，bc ==a （ ）A ．2B ．3C ．D ．2．（2024·重庆·模拟预测）记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若222π,6,33B b a c ac ==+=，则ABC V 的面积为（ ）A B ．94C D ．92二、多选题3．（2024·重庆·三模）在ABC V 中，角,,A B C 的对边为,,,a b c 若2,6b c C p ===，则ABC V 的面积可以是（ ）A B ．3C ．D ．三、填空题4．（2024·山东威海·二模）在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a 4b c +=，cos C =．则sin A = ．5．（2024·北京西城·三模）在ABC V 中，若2c =，a =π6A Ð=，则sin C = ，b = .四、解答题6．（2024·陕西西安·模拟预测）记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2b c =.(1)若cos sin B C =，求tan B ；(2)若3cos ,4A a =，求ABC V 的面积.7．（2024·河北·一模）在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足222a b c +=．(1)求角C 的大小；(2)若1b =，2cos c b B =，求ABC V 的面积．8．（2024·贵州黔东南·二模）在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()sin sin 02A Cb A Bc ++-=.(1)求B ；(2)若5,8b a c =+=，求ABC V 的面积.9．（2024·江西新余·二模）在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且ABC V 的面积()2221sin 2S a c b B =+-.(1)求角B ；(2)若ABC Ð的平分线交AC 于点D ，3a =，4c =，求BD 的长.10．（2024·陕西西安·一模）在ABC V 中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c ，πsin sin 02c A C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，6c =.(1)求角C ；(2)若=c ，求ABC V 的周长.一、单选题1．（2024·安徽芜湖·模拟预测）记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3sin()sin ,2B C A b -+=，则角C =（ ）A ．π6B ．π3C ．π4D ．π22．（2024·陕西·模拟预测）在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()()()sin sin sin sin c A C a b A B -=-+，若ABC V 3b ，则AC 边上的高为（ ）A B C D ．二、多选题3．（2024·江苏宿迁·三模）在ABC V 中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，．若2cossin 2A Cb C +=，且边AC 上的中线BD ）A ．π3B =B ．b 的取值范围为[2,C ．ABC V 面积的最大值为D ．ABC V 周长的最大值为三、填空题4．（2024·湖北武汉·二模）在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，4cos a bC b a+=．且tan tan tan tan tan tan B A B C A C +=，则cos A = ．5．（2024·陕西安康·模拟预测）在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2b =，22cos cos cos a cC B C=+，则2a c +的最大值为.四、解答题6．（2024·福建泉州·模拟预测）在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知a b c <<且tan ,tan ,tan A B C 均为整数．(1)证明：2tan 1tan tan B A C -=；(2)设AC 的中点为D ，求CDB Ð的余弦值．7．（2024高三下·全国·专题练习）在①()()()sin sin sin sin b A B c a C A +=+-，②tan tan B C +=sinsin 2A Bc B +=这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且______．(1)求角C 的大小；(2)已知7c =，D 是边AB 的中点，且CD CB ^，求CD 的长．8．（2024·全国·模拟预测）记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知2222222b b c a c b a c b +-=-+-．(1)求A ；(2)若D 为AB 的中点，且6CD =，求cos ACB Ð．9．（2023·黑龙江佳木斯·三模）ABC V 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知sin cos sin cos cos c C B b C C A +=.(1)求∠A ；(2)若A ABC CB =Ð∠，满足3BD =，2CD =，四边形ABDC 是凸四边形，求四边形ABDC 面积的最大值．10．（2024·河北·二模）若ABC V 内一点P 满足PAB PBC PCA q Ð=Ð=Ð=，则称点P 为ABC V 的布洛卡点，q 为ABC V 的布洛卡角．如图，已知ABC V 中，BC a =，AC b =，AB c =，点P 为的布洛卡点，q 为ABCV 的布洛卡角．(1)若b c =，且满足PBPA=ABC Ð的大小．(2)若ABC V 为锐角三角形．（ⅰ）证明：1111tan tan tan tan BAC ABC ACBq =++ÐÐÐ．（ⅱ）若PB 平分ABC Ð，证明：2b ac =．1．（2024·上海·高考真题）已知点B 在点C 正北方向，点D 在点C 的正东方向，BC CD =,存在点A 满足16.5,37BAC DAC =︒=︒ÐÐ，则BCA Ð= (精确到0.1度)2．（2024·北京·高考真题）在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A Ð为钝角，7a =，sin 2cos B B =．(1)求A Ð；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC V 存在，求ABC V 的面积．条件①：7b =；条件②：13cos 14B =；条件③：sin c A 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．3．（2024·天津·高考真题）在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知92cos 5163a B b c ===，，．(1)求a ；(2)求sin A ；(3)求()cos 2B A -的值．4．（2022·浙江·高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法S =a ，b ，c 是三角形的三边，S 是三角形的面积．设某三角形的三边2a b c ===，则该三角形的面积S =．5．（2022·天津·高考真题）在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c.已知12,cos 4a b c A ===-.(1)求c 的值；(2)求sin B 的值；(3)求sin(2)A B -的值.6．（2022·全国·高考真题）记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-．(1)若2A B =，求C ；(2)证明：2222a b c =+7．（2022·全国·高考真题）记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-．(1)证明：2222a b c =+；(2)若255,cos 31a A ==，求ABC V 的周长．8．（2022·全国·高考真题）记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C p=，求B ；(2)求222a b c +的最小值．9．（2021·天津·高考真题）在ABC V ，角 ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin :sin :sin 2A B C =b =．（I ）求a 的值；（II ）求cos C 的值；（III ）求sin 26C p ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．10．（2021·北京·高考真题）在ABC V 中，2cos c b B =，23C p=．（1）求B Ð；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC V 存在且唯一确定，求BC 边上中线的长．条件①：c =；条件②：ABC V 的周长为4+条件③：ABC V 11．（2021·全国·高考真题）记ABC V 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C Ð=.（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC Ð.1．1．12．（2020·全国·高考真题）如图，在三棱锥P –ABC 的平面展开图中，AC =1，AB AD =AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE =30°，则cos ∠FCB =.13．（2020·天津·高考真题）在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知 5,a b c ===（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin A 的值；（Ⅲ）求sin 24A p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．14．（2020·北京·高考真题）在ABC V 中，11a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sin C 和ABC V 的面积．条件①：17,cos 7c A ==-；条件②：19cos ,cos 816A B ==．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．15．（2020·浙江·高考真题）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin 0b A =．（I ）求角B 的大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．16．（2020·山东·高考真题）在①ac =②sin 3c A =，③=c 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC V ，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin A B =，6C p=，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．17．（2020·江苏·高考真题）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,45a c B ==︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC Ð=-，求tan DAC Ð的值．18．（2020·全国·高考真题）ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°.（1）若a ，b ，求ABC V 的面积；（2）若sin A C ，求C .19．（2020·全国·高考真题）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A p ++=．（1）求A ；（2）若b c -=，证明：△ABC 是直角三角形．20．（2020·全国·高考真题）ABC V 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ．（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC V 周长的最大值.。

正弦定理、余弦定理及解三角形最新考纲 1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题.知识梳理1.正、余弦定理在△2.S△ABC＝2ab sin C＝2bc sin A＝2ac sin B＝4R＝2(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.3.实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).(2)方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).(3)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.(×)(2)在△ABC中，A＞B必有sin A＞sin B.(√)(3)在△ABC中，若sin A sin B＜cos A cos B，则此三角形是钝角三角形.(√)(4)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(×)(5)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.(√)2.(2015·广东卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝23，cos A＝32，且b＜c，则b＝( )A.3B.2 2C.2D. 3解析由余弦定理b2＋c2－2bc cos A＝a2，得b2－6b＋8＝0，解得b＝2或b＝4，∵b＜c＝23，∴b＝2.选C.答案 C3.一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( ) A.102海里 B.103海里 C.203海里 D.202海里解析 如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20海里，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝ABsin 45°，解得BC ＝102(海里).答案 A4.(2014·江西卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A.3B.932 C.332D.3 3解析 ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.①∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6.∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.答案 C 5.(2015·北京卷)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C＝________.解析 由余弦定理：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝25＋36－162×5×6＝34，∴sin A ＝74，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝16＋25－362×4×5＝18，∴sin C ＝378，∴sin 2Asin C ＝2×34×74378＝1.答案 1考点一 利用正、余弦定理解三角形【例1】 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.(1)求a ，c 的值； (2)求sin(A －B )的值. 解 (1)由余弦定理得：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－42ac ＝79，即a 2＋c 2－4＝149ac .∴(a＋c )2－2ac －4＝149ac ，∴ac ＝9.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝6，ac ＝9，得a ＝c ＝3. (2)在△ABC 中，cos B ＝79，∴sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫792＝429. 由正弦定理得：asin A ＝bsin B，∴sin A ＝a sin B b ＝3×4292＝223.又A ＝C ，∴0＜A ＜π2，∴cos A ＝1－sin 2A ＝13，∴sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝223×79－13×429＝10227.规律方法 (1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断. 【训练1】 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B . (1)求a 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4的值.解 (1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B .由正、余弦定理得a ＝2b ·a 2＋c 2－b 22ac .因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，a ＝2 3.(2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－13.由于0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－19＝223.故sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝sin A cos π4＋cos A sin π4＝223×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×22＝4－26.考点二 利用正、余弦定理判定三角形的形状【例2】 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C . (1)求角A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝3，试判断△ABC 的形状. 解 (1)由2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C ，得2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ，即bc ＝b 2＋c 2－a 2，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∵0°＜A ＜180°，∴A ＝60°.(2)∵A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＋C ＝180°－60°＝120°. 由sin B ＋sin C ＝3，得sin B ＋sin(120°－B )＝3， ∴sin B ＋sin 120°cos B －cos 120°sin B ＝ 3. ∴32sin B ＋32cos B ＝3，即sin(B ＋30°)＝1. ∵0°<B <120°，∴30°<B ＋30°<150°.∴B ＋30°＝90°，B ＝60°.∴A ＝B ＝C ＝60°，△ABC 为等边三角形.规律方法 (1)三角形的形状按边分类主要有：等腰三角形，等边三角形等；按角分类主要有：直角三角形，锐角三角形，钝角三角形等.判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形. (2)边角转化的工具主要是正弦定理和余弦定理.【训练2】 (1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab ，则△ABC 是( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形 (2)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若c b<cos A ，则△ABC 为( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形D.等边三角形解析 (1)由2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab ，得a 2＋b 2－c 2＝－12ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12ab 2ab ＝－14＜0，所以90°＜C ＜180°，即△ABC 为钝角三角形.(2)依题意得sin Csin B<cos A ，sin C <sin B cos A ，所以sin(A ＋B )<sin B cos A ，即sin B cos A ＋cos B sin A －sin B cos A <0，所以cos B sin A <0.又sin A >0，于是有cos B <0，B 为钝角，△ABC 是钝角三角形. 答案 (1)A (2)A考点三 和三角形面积有关的问题【例3】 (2015·全国Ⅱ卷)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍.(1)求sin B sin C ；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长. 解 (1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ， 所以AB ＝2AC .由正弦定理可得 sin B sin C ＝AC AB ＝12. (2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理知 AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC .故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6， 由(1)知AB ＝2AC ，所以AC ＝1.规律方法 三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化. 【训练3】 (2015·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14.(1)求a 和sin C 的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6的值. 解 (1)在△ABC 中，由cos A ＝－14，可得sin A ＝154.由S △ABC ＝12bc sin A ＝315，得bc ＝24，又由b －c ＝2，解得b ＝6，c ＝4.由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得a ＝8.由a sin A ＝c sin C ，得sin C ＝158. (2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝cos 2A ·cos π6－sin 2A ·sin π6 ＝32(2cos 2A －1)－12×2sin A ·cos A ＝15－7316. 考点四 正、余弦定理在实际问题中的应用【例4】 如图，在海岸A 处，发现北偏东45°方向距A 为(3－1)海里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°方向，距A 为2海里的C 处的缉私船奉命以103海里/时的速度追截走私船.此时走私船正以10海里/时的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(注：6≈2.449). 解 设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则有CD ＝103t (海里)，BD ＝10t (海里).在△ABC 中，∵AB ＝(3－1)海里，AC ＝2海里，∠BAC ＝45°＋75°＝120°，根据余弦定理，可得 BC ＝（3－1）2＋22－2×2×（3－1）cos 120°＝6(海里).根据正弦定理，可得sin ∠ABC ＝AC sin 120°BC ＝2×326＝22.∴∠ABC ＝45°，易知CB 方向与正北方向垂直， 从而∠CBD ＝90°＋30°＝120°. 在△BCD 中，根据正弦定理，可得sin ∠BCD ＝BD sin ∠CBD CD ＝10t ·sin 120°103t＝12，∴∠BCD ＝30°，∠BDC ＝30°，∴BD ＝BC ＝6(海里)，则有10t ＝6，t ＝610≈0.245小时＝14.7分钟.故缉私船沿北偏东60°方向，需14.7分钟才能追上走私船.规律方法 解三角形应用题的两种情形：(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解.【训练4】 (2015·湖北卷)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.解析 在△ABC 中，AB ＝600，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝75°－30°＝45°，由正弦定理得BC sin ∠BAC ＝AB sin ∠ACB ，即BC sin 30°＝600sin 45°，所以BC ＝300 2.在Rt △BCD 中，∠CBD ＝30°，CD ＝BC tan ∠CBD ＝3002·tan 30°＝1006(m).答案 100 6[思想方法]正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形形状的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系.一般地，利用公式a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C (R 为△ABC 外接圆半径)，可将边转化为角的三角函数关系，然后利用三角函数知识进行化简，其中往往用到三角形内角和定理A ＋B ＋C ＝π.利用公式cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，可将有关三角形中的角的余弦化为边的关系，然后充分利用代数知识求边. [易错防范]1.在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形有时出现一解、两解，所以要进行分类讨论(此种类型也可利用余弦定理求解).2.利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制.3.解三角形实际问题时注意各个角的含义，根据这些角把需要的三角形的内角表示出来.而容易出现的错误是把角的含义弄错，把这些角与要求解的三角形的内角之间的关系弄错.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.(2016·哈尔滨模拟)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，△ABC 的面积为32，则C ＝( )A.30°B.45°C.60°D.75°解析 法一 ∵S △ABC ＝12|AB ||AC |sin A ＝32，即12×3×1×sin A ＝32，∴sin A ＝1，∴A ＝90°， ∴C ＝60°，故选C.法二 由正弦定理，得sin B AC ＝sin C AB ，即12＝sin C3，∴C ＝60°或C ＝120°.当C ＝120°时，A ＝30°，S △ABC ＝34≠32(舍去).而当C ＝60°时，A ＝90°，S △ABC ＝32，符合条件，故C ＝60°.故选C. 答案 C2.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定解析 由正弦定理，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝sin 2 A ，即sin(π－A )＝sin 2A ，sin A ＝sin 2A .∵A ∈(0，π)，∴sin A ＞0，∴sin A ＝1，即A ＝π2，故选B.答案 B3.(2016·哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考)已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( ) A.12B.1C. 3D.2 解析 ∵a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴cos A ＝12，∴A ＝π3，又bc ＝4，∴△ABC 的面积为12bc sin A ＝3，故选C.答案 C4.(2016·东北三省三校联考)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“a ＞b ”是“cos 2A ＜cos 2B ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 解析 因为在△ABC 中，a ＞b ⇔sin A ＞sin B ⇔sin 2A ＞sin 2B ⇔2sin 2A ＞2sin 2B ⇔1－2sin 2A ＜1－2sin 2B ⇔cos 2A ＜cos 2B .所以“a ＞b ”是“cos 2A ＜cos 2B ”的充分必要条件. 答案 C5.(2016·河南六市联考)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝2，S △ABC ＝2，则b 的值为( )A. 3B.322C.2 2D.2 3解析 由S △ABC ＝12bc sin A ＝2，得bc ＝3，①又由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得b 2＋c 2＝6.② 由①②解得b ＝ 3. 答案 A 二、填空题6.(2015·广东卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.解析 因为sin B ＝12且B ∈(0，π)，所以B ＝π6或B ＝5π6.又C ＝π6，所以B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3.又a ＝3，由正弦定理得a sin A ＝bsin B，即3sin 2π3＝bsinπ6，解得b ＝1. 答案 17.(2015·福建卷)若锐角△ABC 的面积为103，且AB ＝5，AC ＝8，则BC 等于________.解析 S ＝12AB ·AC ·sin A ，∴sin A ＝32，在锐角三角形中A ＝π3，由余弦定理得BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝7.答案 78.(2014·新课标全国Ⅰ卷)如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m. 解析 在Rt △ABC 中，∠CAB ＝45°，BC ＝100 m ，所以AC ＝100 2 m. 在△AMC 中，∠MAC ＝75°，∠MCA ＝60°，从而∠AMC ＝45°，由正弦定理，得AC sin 45°＝AMsin 60°，因此AM ＝100 3 m.在Rt △MNA 中，AM ＝100 3 m ，∠MAN ＝60°，由MN AM＝sin 60°，得MN ＝1003×32＝150(m). 答案 150 三、解答题9.(2016·武汉质量预测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足a 2－b 2－c 2＋3bc ＝0，2b sin A ＝a ，BC 边上中线AM 的长为14. (1)求角A 和角B 的大小； (2)求△ABC 的面积.解 (1)由a 2－b 2－c 2＋3bc ＝0，得b 2＋c 2－a 2＝3bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，∴A ＝π6，由2b sin A ＝a ，得b ＝a ，∴B ＝A ＝π6.(2)设AC ＝BC ＝x ，由余弦定理，得AM 2＝x 2＋x 24－2x ·x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝(14)2，解得x ＝22，故S △ABC ＝12×22×22×32＝2 3.10.(2015·四川卷)已知A 、B 、C 为△ABC 的内角，tan A ，tan B 是关于x 的方程x 2＋3px －p ＋1＝0(p ∈R )的两个实根. (1)求C 的大小；(2)若AB ＝3，AC ＝6，求p 的值.解 (1)由已知，方程x 2＋3px －p ＋1＝0的判别式Δ＝(3p )2－4(－p ＋1)＝3p 2＋4p －4≥0，所以p ≤－2，或p ≥23，由根与系数的关系，有tan A ＋tan B ＝－3p ，tan A tan B ＝1－p ，于是1－tan A tan B ＝1－(1－p )＝p ≠0，从而tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－3pp ＝－3，所以tan C ＝－tan(A ＋B )＝3，所以C ＝60°.(2)由正弦定理，得sin B ＝AC sin C AB ＝6sin 60°3＝22，解得B ＝45°，或B ＝135°(舍去)，于是A ＝180°－B －C ＝75°， 则tan A ＝tan 75°＝tan(45°＋30°)＝tan 45°＋tan 30°1－tan 45°tan 30°＝1＋331－33＝2＋3， 所以p ＝－13(tan A ＋tan B )＝－13(2＋3＋1)＝－1－ 3.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.(2014·新课标全国Ⅱ卷)已知钝角△ABC 的面积为12，AB ＝1，BC ＝2，则AC 等于( )A.5B. 5C.2D.1解析 ∵S ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×2sin B ＝12，∴sin B ＝22，∴B ＝π4或3π4. 当B ＝3π4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2＋2＝5，∴AC ＝5，此时△ABC 为钝角三角形，符合题意；当B ＝π4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2－2＝1，∴AC ＝1，此时AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不符合题意.故AC ＝ 5. 答案 B12.(2016·江西师大附中模拟)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若S △ABC ＝23，a＋b ＝6，a cos B ＋b cos Ac＝2cos C ，则c ＝( )A.27B.4C.2 3D.3 3解析 ∵a cos B ＋b cos Ac＝2cos C ，由正弦定理，得sin A cos B ＋cos A sin B ＝2sin C cos C ，∴sin(A ＋B )＝sin C ＝2sin C cos C ，由于0＜C ＜π，sin C≠0，∴cos C ＝12，∴C ＝π3，∵S △ABC ＝23＝12ab sin C ＝34ab ，∴ab ＝8，又a ＋b ＝6，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝2，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋16－8＝12，∴c ＝23，故选C.答案 C13.(2014·新课标全国Ⅰ卷)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________.解析 由正弦定理得(2＋b )(a －b )＝(c －b )c ，即(a ＋b )·(a －b )＝(c －b )c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3，又b 2＋c 2－a 2＝bc ≥2bc －4，即bc ≤4，故S △ABC ＝12bc sin A≤12×4×32＝3，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立，则△ABC 面积的最大值为 3. 答案 314.已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，角B 所对的边b ＝3，且函数f (x )＝23sin 2x ＋2sin x cos x －3在x ＝A 处取得最大值. (1)求f (x )的值域及周期； (2)求△ABC 的面积.解 (1)因为A ，B ，C 成等差数列， 所以2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝π3，即A ＋C ＝2π3.因为f (x )＝23sin 2x ＋2sin x cos x － 3 ＝3(2sin 2x －1)＋sin 2x ＝sin 2x －3cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以T ＝2π2＝π. 又因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3∈[－1，1]， 所以f (x )的值域为[－2，2].(2)因为f (x )在x ＝A 处取得最大值，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π3＝1. 因为0<A <23π，所以－π3<2A －π3<π，故当2A －π3＝π2时，f (x )取到最大值，所以A ＝512π，所以C ＝π4.由正弦定理，知3sin π3＝csinπ4⇒c ＝ 2.又因为sin A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π6＝2＋64，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝3＋34.复习导读 正、余弦定理是解三角形的主要工具，高考中主要考查用其求三角形中的边和角及实现边、角之间的转化；解三角形是三角函数的知识在三角形中的应用，高考中可单独考查，也可以与三角函数、不等式综合考查.考点一 解三角形与三角恒等变换的综合【例1】 (满分12分)(2015·浙江卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知A ＝π4，b 2－a 2＝12c 2.(1)求tan C 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值.[满分解答] (1)由b 2－a 2＝12c 2及正弦定理，得sin 2B －12＝12sin 2C .(2分)所以－cos 2B ＝sin 2C .(4分)又由A ＝π4，即B ＋C ＝34π，得－cos 2B ＝sin 2C ＝2sin C cos C ＝sin 2C ， 解得tan C ＝2.(6分)(2)由tan C ＝2，C ∈(0，π)得sin C ＝255，cos C ＝55，(8分)又因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C ，(9分) 所以sin B ＝31010，(10分)由正弦定理得c ＝223b ，又因为A ＝π4，12bc sin A ＝3，所以bc ＝62，故b ＝3.(12分)❶利用正弦定理进行边化角得2分； ❷由cos 2B 为桥梁解得tan C 得4分； ❸由tan C 求得sin C ，cos C 得2分；❹正弦定理得b 与c 的关系及△ABC 的面积可求b 得2分.第一步：利用正(余)弦定理进行边角转化； 第二步：利用三角恒等变换求边与角； 第三步：代入数据求值；第四步：查看关键点，易错点.探究提高 三角恒等变换和解三角形的结合，一般有两种类型：一是先利用三角函数的平方关系、和角公式等求符合正、余弦定理中的边与角，再利用正、余弦定理求值；一是先利用正、余弦定理确定三角形的边角，再代入到三角恒等变换中求值.【训练1】 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝2. (1)求sin 2Asin 2A ＋cos 2A的值； (2)若B ＝π4，a ＝3，求△ABC 的面积.解 (1)由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝2，得tan A ＝13.所以sin 2A sin 2A ＋cos 2A ＝2tan A 2tan A ＋1＝25. (2)由tan A ＝13，A ∈(0，π)， 得sin A ＝1010，cos A ＝31010. 又由a ＝3，B ＝π4及正弦定理a sin A ＝b sin B，得b ＝3 5. 由sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4，得sin C ＝255， 设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ab sin C ＝9. 考点二 解三角形与三角函数的综合【例2】 (2015·山东卷)设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4. (1)求f (x )的单调区间； (2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值. 解 (1)由题意知f (x )＝sin 2x 2－1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π22 ＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12. 由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z, 可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ； 由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )；单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z ). (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12， 由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋3，且当b ＝c 时等号成立.因此12bc sin A ≤2＋34.所以△ABC 面积的最大值为2＋34. 探究提高 三角函数和解三角形的结合，一般可以利用三角变换化简所给函数关系式，再结合正、余弦定理解三角形.【训练2】 (2016·成都诊断)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋2sin 2ωx 2(ω＞0)，已知函数f (x )的图象的相邻两对称轴间的距离为π.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c (其中b ＜c )，且f (A )＝32，△ABC 的面积为S ＝63，a ＝27，求b ，c 的值.解 (1)f (x )＝32sin ωx ＋12cos ωx ＋1－cos ωx ＝32sin ωx －12cos ωx ＋1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1. ∵函数f (x )的图象的相邻两对称轴间的距离为π，∴函数f (x )的周期为2π.∴ω＝1.∴函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋1. (2)由f (A )＝32，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3. ∵S ＝12bc sin A ＝63，∴12bc sin π3＝63，bc ＝24， 由余弦定理，得a 2＝(27)2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝b 2＋c 2－24. ∴b 2＋c 2＝52，又∵b ＜c ，解得b ＝4，c ＝6.考点三 解三角形中的最值问题【例3】 (2016·临川一中模拟)已知f (x )＝3cos 2x ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋x sin(π－x )， x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期及单调增区间；(2)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且f (A )＝－3，a ＝3，求BC 边上的高的最大值.解 (1)f (x )＝3cos 2x －sin 2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， ∴f (x )的最小正周期为π，令2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋32π(k ∈Z )，得 k π＋512π≤x ≤k π＋1112π(k ∈Z )， ∴单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋512π，k π＋1112π(k ∈Z ). (2)由f (A )＝－3得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π3＝32，又A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴A ＝π3.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得9＝b 2＋c 2－bc ≥bc ，即bc ≤9(当且仅当b ＝c 时取等号)，设BC 边上的高为h ，由三角形等面积法知12ah ＝12bc sin A ， 得3h ＝32bc ≤932，∴h ≤332，即h 的最大值为332. 探究提高 解三角形的最值问题常需结合基本不等式求解，关键是由余弦定理得到两边关系，再结合不等式求解最值问题，或者将所求转化为某个角的三角函数，借助三角函数的值域求范围.【训练3】 (2015·湖南卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A ，且B 为钝角.(1)证明：B －A ＝π2； (2)求sin A ＋sin C 的取值范围.(1)证明 由a ＝b tan A 及正弦定理，得sin A cos A ＝a b ＝sin A sin B， 所以sin B ＝cos A ，即sin B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A .又B 为钝角，因此π2＋A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，故B ＝π2＋A ， 即B －A ＝π2. (2)解 由(1)知，C ＝π－(A ＋B )＝π－⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π2＝π2－2A ＞0， 所以A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4. 于是sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2A ＝sin A ＋cos 2A ＝－2sin 2A ＋sin A ＋1＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98. 因为0＜A ＜π4， 所以0＜sin A ＜22， 因此22＜－2⎝⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98≤98. 由此可知sin A ＋sin C 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤22，98. (建议用时：45分钟)一、选择题1.(2016·长沙模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“a ＝2b cos C ”是“△ABC 是等腰三角形”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 依题意，由a ＝2b cos C 及正弦定理，得sin A ＝2sin B cos C ，sin(B ＋C )－2sin B cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C －2sin B cos C ＝sin(C －B )＝0，C ＝B ，△ABC 是等腰三角形；反过来，由△ABC 是等腰三角形不能得知C ＝B ，a ＝2b cos C .因此，“a ＝2b cos C ”是“△ABC 是等腰三角形”的充分不必要条件，故选A.答案 A2.(2015·郑州质量预测)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且(b －c )(sin B ＋sin C )＝(a － 3 c )sin A ，则角B 的大小为( )A.30°B.45°C.60°D.120°解析 由正弦定理可知(b －c )(b ＋c )＝(a －3c )a ，∴b 2－c 2＝a 2－3ac ，即a 2＋c 2－b 2＝3ac .∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32， ∴B ＝30°.答案 A3.(2015·太原二模)在△ABC 中，cos A ＝35，cos B ＝45，BC ＝4，则AB ＝( ) A.5 B.4 C.3 D.2解析 ∵cos A ＝35，cos B ＝45，∴sin A ＝45，sin B ＝35，∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝0，∴A ＋B ＝C ＝π2，∴AB ＝BC sin A＝5.故选A. 答案 A4.(2016·乌鲁木齐诊断)在△ABC 中，AC ·cos A ＝3BC ·cos B ，且cos C ＝55，则A ＝( ) A.30° B.45° C.60° D.120°解析 由题意及正弦定理，得sin B cos A ＝3sin A cos B ，∴tan B ＝3tan A ，∴0°＜A ，B ＜90°，又cos C ＝55，故sin C ＝255，∴tan C ＝2，而A ＋B ＋C ＝180°， ∴tan(A ＋B )＝－tan C ＝－2，即tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－2，将tan B ＝3tan A 代入，得4tan A 1－3tan 2A＝－2，∴tan A ＝1或tan A ＝－13，而0°＜A ＜90°，则A ＝45°，故选B. 答案 B5.(2016·洛阳统考)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边长，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin C ＝( )A.12B.1C.22D.32解析 由A ＋C ＝2B ，且A ＋B ＋C ＝π，得到B ＝π3， ∴cos B ＝12，又a ＝1，b ＝3， 根据余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ，即c 2－c －2＝0，解得c ＝2，c ＝－1(舍去)，又sin B ＝32，b ＝3，根据正弦定理b sin B ＝c sin C得 sin C ＝c sin B b ＝2×323＝1. 答案 B6.(2016·石家庄模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝3a cos C ，则sin A ＋sin B 的最大值是( )A.1B. 2C. 3D.3解析 由c sin A ＝3a cos C ，得sin C sin A ＝3sin A cos C ，又在△ABC 中sin A ≠0，所以sin C ＝3cos C ，tan C ＝3，C ∈(0，π)，所以C ＝π3. 所以sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋A ＝32sin A ＋32cos A ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6，A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3，所以当A ＝π3时，sin A ＋sin B 取得最大值3，故选C.答案 C二、填空题7.(2015·重庆卷)在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，A 的角平分线AD ＝3，则AC ＝________. 解析 依题意知∠BDA ＝C ＋12∠BAC ， 由正弦定理得2sin ∠BDA ＝3sin B ，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋12∠BAC ＝22， ∵C ＋∠BAC ＝180°－B ＝60°，∴C ＋12∠BAC ＝45°，∴∠BAC ＝30°，C ＝30°. 从而AC ＝2·AB cos 30°＝ 6.答案 68.(2016·陕西八校联考)设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，面积为S ，且满足S ＝a 2－(b －c )2，b ＋c ＝8，则S 的最大值为________.解析 ∵S ＝a 2－(b －c )2，b ＋c ＝8，∴12bc sin A ＝2bc －(b 2＋c 2－a 2)＝2bc －2bc cos A ， 即sin A ＋4cos A ＝4.联立⎩⎪⎨⎪⎧sin A ＋4cos A ＝4，sin 2A ＋cos 2A ＝1，解得sin A ＝817， ∴S ＝12bc sin A ＝417bc ≤417×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋c 22＝6417， 当且仅当b ＝c ＝4时取等号.答案 64179.(2015·云南检测)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin A ＋2sin B ＝2sin C ，b ＝3，则cos C 的最小值等于________.解析 由sin A ＋2sin B ＝2sin C 可得a ＋2b ＝2c ，∵b ＝3，∴a ＋32＝2c .∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋9－c 26a. ∴由c ＝a ＋322，得cos C ＝a 2＋9－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋32226a ＝a 2－22a ＋68a ＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋6a －22≥6－24， ∵当且仅当a ＝6a，即a ＝6时，等号成立， ∴cos C ≥6－24.∴cos C 的最小值为6－24. 答案 6－24三、解答题10.(2016·烟台一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝3，b ＝5，c ＝7.(1)求角C 的大小；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3的值. 解 (1)由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32＋52－722×3×5＝－12. ∵0＜C ＜π，∴C ＝2π3. (2)由正弦定理b sin B ＝c sin C，得 sin B ＝b sin C c ＝5sin 2π37＝5314， ∵C ＝2π3，∴B 为锐角， ∴cos B ＝1－sin 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫53142＝1114. ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝sin B cos π3＋cos B sin π3 ＝5314×12＋1114×32＝437. 11.已知向量p ＝(2sin x ，3cos x )，q ＝(－sin x ，2sin x )，函数f (x )＝p ·q .(1)求f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且f (C )＝1，c ＝1，ab ＝23，且a >b ，求a ，b 的值.解 (1)f (x )＝－2sin 2x ＋23sin x cos x＝－1＋cos 2x ＋23sin x cos x ＝3sin 2x ＋cos 2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1. 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ， ∴f (x )的单调增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ). (2)∵f (C )＝2sin(2C ＋π6)－1＝1， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝1， ∵C 是三角形的内角，∴2C ＋π6＝π2，即C ＝π6. ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32，即a 2＋b 2＝7. 将ab ＝23代入可得a 2＋12a2＝7，解得a 2＝3或4. ∴a ＝3或2，∴b ＝2或 3.∵a >b ，∴a ＝2，b ＝ 3.12.已知函数f (x )＝3sin x cos x －cos 2x ＋12. (1)求f (x )的最小正周期及对称轴方程；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝12，bc ＝6，求a 的最小值. 解 (1)f (x )＝3sin x cos x －cos 2x ＋12＝32sin 2x －12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 故最小正周期T ＝2π2＝π. 令2x －π6＝k π＋π2，得x ＝k π2＋π3(k ∈Z ). 故图象的对称轴方程为x ＝k π2＋π3(k ∈Z ). (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12， 可知A －π6＝π6或A －π6＝5π6，即A ＝π3或A ＝π， 又0＜A ＜π，故A ＝π3. ∵bc ＝6，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ≥bc ＝6，当且仅当b ＝c 时等号成立，故a的最小值为 6.。

正弦定理、余弦定理综合训练题1. ［2016全国卷I ］ △ ABC 的内角A , B , C 的对边分别为 a , b , c.已知a = 5, c = 2, cos A = 2，则 b =() A. .2B. 3 C . 2D . 32 1［解析］D 由余弦定理得5= b 2 + 4-2 X b X 2X 3,解得b = 3或b =- 3(舍去)，故选D. n 1B = —, BC 边上的高等于§BC ，贝U sin A =( )D.S 10D ，设BC = 3,则有 AD = BD = 1 , AB = 2，由余弦定理 得AC = \ 5.由正弦定理得 “5= s^A , n sin Asin ’43. ［2013新课标全国卷I ］已知锐角厶 A + cos 2A = 0, a = 7, c = 6，贝U b =( A . 101［解析］D 由23cos2A + cos 2A = 0,得25cos2A = 1•因为△ABC 为锐角三角形，所以cos A =. 51 12在A ABC 中，根据余弦定理，得 49 = b 2 + 36- 12b •即卩b 2—厂b5 545 4. ________________ ［2016全国卷n ］ △ ABC 的内角A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,若cos A =5, cos C = ^, a = 1，贝U b= .4 53 12［解析］因为cos A = 5, cos C = 13，且A , C 为三角形的内角，所以sin A = 5, sin C =〔3, sin63 「, a b ~― asin B 21B = si n(A + C)= sin AcosC + cos As in C = 65.又因为 sin A = sin B ，所以 b = sin A =伯. 13—13 = 0,解得 b = 5 或 b =— 5 (舍去).5. ［2015 全国卷 I ］已知 a , b , c 分别是△ ABC 内角 A , B , C 的对边，sin 2B = 2sin Asin C. (1)若 a = b ,求 cos B;⑵若B = 90°，且a =〔 2, 求厶ABC 的面积. 解：(1)由题设及正弦定理可得b 2 = 2ac.又a = b ，所以可得b = 2c , a = 2c.2. ［2016全国卷川］在厶ABC 中, ［解析］D 作AD 丄BC 交BC 于点解得sin A =学=噜ABC 的内角A , B , C 的对边分别为 a , b , c , 23COS 2D . 5⑵由(1)知 b 2= 2ac.因为B = 90°，所以由勾股定理得a 2+ c 2= b 2. 故 a 2 + c 2= 2ac ,得 c = a = 2, 所以△ABC 的面积为1.6. [2015 全国卷n ] △ ABC 中，D 是 BC 上的点，AD 平分/ BAC , BD = 2DC. sin / B (1)求跖/C ； ⑵若/ BAC = 60°，求/ B. 解：(1)由正弦定理得AD _ BD AD _ DC sin ZB sin /BAD’ sin ZC sin /CAD 因为AD 平分Z BAC , BD = 2DC ，所以 sin ZB DC 1 sinZC BD 2⑵因为/C = 180°—/BAC + /B),/BAC = 60°,所以、i'3 1sin ZC = sin( ZBAC +/B)= ? cos/B + in ZB.V 3由(1)知 2sinZB = sin/C ,所以 tanZB = 3，即/B = 30°7. [2014新课标全国卷n ]四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB = 1, BC = 3, CD 2.(1)求 C 和 BD ;⑵求四边形ABCD 的面积.解：(1)由题设及余弦定理得 BD 2= BC 2+ CD 2— 2BC CDcos C =13 — 12cos C ,①BD 2= AB 2+ DA 2— 2AB DAcos A由余弦定理可得 cos B =a 2+ c 2— b2ac1 4.DA ==5 + 4cos C .②1 —由①②得 cos C = 2，故 C = 60°,BD =7.⑵四边形ABCD 的面积1 1S = ?AB DA si n A + ?BC CDsi n C1 1/ 1X 2 + 2 x 3X 2 sin 60°=2 38. ［2016 山东卷］△ ABC 中，角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c.已知 b = c , a 2= 2b 2(1 — sin A), 贝U A =(nCG'•b = c , a 2 = 2b 2( 1 — sin A),「.2b 2sin A = b 2+ c 2— a 2= 2bccos A = 2b 2cos A ,「.tanA=1，即 A = 4. 9.［2015广东卷］设厶ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c.若a = 2, c = 2.3, cos A =于且b<c ,则b =( ) A . 3B . 2 .2C . 2D. 3［解析］C 由余弦定理得 a 2= b 2 + c 2— 2bccos A ，所以22 = b 2+ (2\'勺)2— 2x b x 2屈，即卩 b 2— 6b + 8= 0，解得 b = 2 或 b = 4•因为 b<c,所以 b = 2. 10. ［2016上海卷］已知△ ABC 的三边长分别为3, 5, 7,则该三角形的外接圆半径等于32+ 52 — 72 1［解析］利用余弦定理可求得最大边 7所对角的余弦值为2x 3x 5 =—2，所以此角的正弦值为牙•设三角形外接圆的半径为R ,由正弦定理得2R=^|，所以R = 于.22冗 b11. ________________________________________________________ ［2016 北京卷］在厶 ABC 中，/ A =〒，a = ■. 3c ,则b = _______________________________ .3 c2 n b b［解析］由余弦定理 a 2= b 2+ c 2— 2bccos A 可得，3c 2= b 2+ c 2— 2bccos 3，整理得 2+ — 2= 0,3 c cnD.?［解析］C解得b= 1或c=—2（舍去）.12. [2016浙江卷]在厶ABC 中，内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c.已知b + c = 2acos B. (1)证明：A = 2B ;2⑵若cos B = 3,求cos C 的值.解：⑴证明：由正弦定理得 sin B + sin C = 2sin Acos B ,故 2s in Acos B = sin B + sin (A + B)= sin B + sin Acos B + cos As in B ,于是 sin B = sin (A — B). 又 A , B € (0, n )，故 O V A — B Vn, 所以 B =n —(A — B)或 B = A — B , 因此A =%(舍去)或A = 2B ，所以A = 2B.=—cos(A + B) = — cos Acos B + sin A sin B =⑵由cos B =cos 2B = 2cos 2B — 1 = — 9,故 cos A =— 9, sin sin cos C。

第7讲解三角形应用举例［考纲解读］1。

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．（重点)2.利用正、余弦定理解决实际问题，主要考查根据实际问题建立三角函数模型,将实际问题转化为数学问题．(难点）［考向预测]从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个考查内容．预计2021年会强化对应用问题的考查．以与三角形有关的应用问题为主要命题方向，结合正、余弦定理求解平面几何中的基本量，实际背景中求距离、高度、角度等均可作为命题角度．试题可以为客观题也可以是解答题，难度以中档为主。

1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线错误!上方的角叫仰角,在水平线错误!下方的角叫俯角(如图①)．2．方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②）．3．方向角相对于某一正方向的水平角．（1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③）．(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．(3)南偏西等其他方向角类似．4．坡角与坡度(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④,角θ为坡角）．（2）坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度）．坡度又称为坡比．1．概念辨析(1）东北方向就是北偏东45°的方向．（)（2）从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.（）（3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．()（4)方位角大小的范围是［0,2π)，方向角大小的范围一般是错误!。

（)答案（1）√(2）×（3）√（4）√2．小题热身（1）在某测量中，设A在B的南偏东34°27′，则B在A的() A．北偏西34°27′ B．北偏东55°33′C．北偏西55°33′ D．南偏西34°27′答案A解析由方向角的概念知，B在A的北偏西34°27′。