人教版高中数学必修五 余弦定理优质教案

教案【一】教學準備教學目標進一步熟悉正、余弦定理內容，能熟練運用余弦定理、正弦定理解答有關問題，如判斷三角形的形狀，證明三角形中的三角恒等式.教學重難點教學重點：熟練運用定理.教學難點：應用正、余弦定理進行邊角關係的相互轉化.教學過程一、復習準備：1.寫出正弦定理、余弦定理及推論等公式.2.討論各公式所求解的三角形類型.二、講授新課：1.教學三角形的解的討論：①出示例1：在△ABC中，已知下列條件，解三角形.分兩組練習→討論：解的個數情況為何會發生變化?②用如下圖示分析解的情況.(A為銳角時)②練習：在△ABC中，已知下列條件，判斷三角形的解的情況.2.教學正弦定理與余弦定理的活用：①出示例2：在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4，求角的余弦.分析：已知條件可以如何轉化?→引入參數k，設三邊後利用余弦定理求角.②出示例3：在ΔABC中，已知a=7，b=10，c=6，判斷三角形的類型.分析：由三角形的什麼知識可以判別?→求角余弦，由符號進行判斷③出示例4：已知△ABC中，，試判斷△ABC的形狀.分析：如何將邊角關係中的邊化為角?→再思考：又如何將角化為邊?3.小結：三角形解的情況的討論;判斷三角形類型;邊角關係如何互化.三、鞏固練習：3.作業：教材P11B組1、2題.教案【二】一)教材分析(1)地位和重要性：正、余弦定理是學生學習了平面向量之後要掌握的兩個重要定理，運用這兩個定理可以初步解決幾何及工業測量等實際問題，是解決有關三角形問題的有力工具。

(2)重點、難點。

重點：正余弦定理的證明和應用難點：利用向量知識證明定理(二)教學目標(1)知識目標：①要學生掌握正余弦定理的推導過程和內容;②能夠運用正余弦定理解三角形;③瞭解向量知識的應用。

(2)能力目標：提高學生分析問題、解決問題的能力。

(3)情感目標：使學生領悟到數學來源於實踐而又作用於實踐，培養學生的學習數學的興趣。

(三)教學過程教師的主要作用是調控課堂，適時引導，引導學生自主發現，自主探究。

人教高中数学必修五余弦定理教案一、传授内容：余弦定理。

二、传授目标：1、知识与技术：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量要领，并会运用余弦定理办理两类基本的解三角形标题。

培育数学语言的表达能力以及转化能力。

2、历程与要领：议决设疑、探究、讨论的历程中，在老师的引导下，办理利用余弦定理求解三角形的历程与要领。

培育利用知识办理生活标题的能力、总结概括能力。

3、情绪与态度：在学习历程中，表现“方程的思想”以及“数形连合”的思想，感受余弦定理在生活的应用的意义。

同时，培育学生合作交流、联合的物质，激发学习兴趣。

三、传授重难点：1.传授重点：余弦定理的推导历程及其基本应用；2.传授难点：理解余弦定理的基本应用。

四、传授要领：引导法、演示法。

五、传授历程:余弦定理的推导如图，设c AB b CA a CB ===,,，那么b a c -=，则c ⋅= b A=⋅-⋅+⋅2 C a B从而 2222cos c a b ab C =+-同理可证 2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+-余弦定理：三角形中任何一边的平方即是其他双方的平方的和减去这双方与它们的夹角的余弦的积的两倍。

即：2222cos a b c bc A =+-； （注：让学生查看公式特点并总结求谁后面没谁，只有对边的余弦值，帮助学生记 忆）余弦定理的变式（余弦定理推论）学生类比正弦定理鉴别余弦定理的基本应用：1)已知三角形的恣意双方及其夹角可以求第三边2）已知三角形的三条边可以求出三角3.例题讲解例1．在∆ABC 中，.60,4,20===A c b 求a ？解：∵2222cos a b c bc A =+-=1260cos 42242022=⨯⨯-+练习：在∆ABC 中，.60,4,20===A c b 解三角形。

解： ∵2222cos a b c bc A =+-=1260cos 42242022=⨯⨯-+∵ 060=A ,030=B ∴所以三角形ABC 为直角三角形，090=C稳固练习：在ABC ∆ 中，已知030,33,3===B c b ，解三角形。

1.1.2 余弦定理（第一课时）教学目标知识与技能：1. 掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题2. 能够运用余弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题过程与方法：1. 学生在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的一种数量关系——余弦定理2. 在探究学习的过程中，认识到余弦定理可以解决某些与测量和几何计算有关的实际问题，帮助学生提高运用有关知识解决实际问题的能力情感、态度与价值观：1. 通过对三角形边角关系的探究学习，经历数学探究活动的过程，培养探索精神和创新意识2. 在运用余弦定理的过程中，逐步养成实事求是、扎实严谨的科学态度，学习用数学的思维方式解决问题、认识世界3. 通过本节的学习和运用实践，体会数学的科学价值、应用价值，进而领会数学的人文价值、美学价值，不断提高自身的文化素养教学重点：余弦定理的证明及应用教学难点：向量知识在证明余弦定理时的应用，与向量知识的联系过程 教学过程一，创设情境，课题导入1.复习：已知30,45,16A C b ===，解三角形（学生板演）2.若将条件45C =改成8c =如何解三角形？设计意图：把研究余弦定理的问题和平面几何中三角形全等判定的方法建立联系，沟通新旧知识的联系，引导学生体会量化的思想和观点师生活动：用数学符号来表达“已知三角形的两边及其夹角解三角形”：已知,,ABC BC a AC b ∆==和角C ，求解c ,,B A引出课题：余弦定理二．设置问题，知识探究1.探究：我们可以先研究计算第三边长度的问题，那么我们又从哪些角度研究这个问题能得到一个关系式或计算公式呢？设计意图：期望能引导学生从各个不同的方面去研究、探索得到余弦定理 师生活动：从某一个角度探索并得出余弦定理3.设a b -，22()()2cos c c c a b a b a b ab C ∴=⋅=-⋅-=+-即2222cos c a b ab C =+- 引导学生证明：2222cos a b c bc A =+-3.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍三．典型例题剖析 1.例1.在ABC ∆中，已知120,2,2,A b cm c cm ===解三角形分析：已知三角形的两边和它们的夹角解三角形，基本思路是先由余弦定理求出第三边，再由正弦定理求其各角变式引申：在ABC ∆中，已知30,5,A b c ===2.探究：余弦定理是关于三角形三边和一个角的一个关系式，把这个关系式做某些变形，是否可以解决其他类型的解三角形问题？设计意图：（1）引入余弦定理的推论；（2）对一个数学式子做某种变形，从而得到解决其他类型的数学问题的方法，这是一种研究问题的方法师生活动：对余弦定理做某些变形，研究变形后所得关系式的应用，因此应把重点引导到余弦定理的推论上去，即讨论已知三边求角的问题 引入余弦定理的推论：222cos 2b c a A bc +-=，222cos 2a c b B ac +-=，222cos 2a b c C ab +-= 公式作用：（1） 已知三边求三角（2） 若A 为直角，则cos 0A =,从而222b c a +=；若A 为锐角，则cos 0A >，从而222b c a +>；若A 为钝角，则cos 0A <，从而222b c a +<例2.已知在ABC ∆中，a b c ===,,A B C先让学生自己分析、探索，老师进行引导、启发和补充，最后师生一起求解总结：对于已知三角形的三边求三角这种类型，解三角形的基本思路是先由余弦定理求出两角，再用三角形内角和定理求出第三角变式引申：在ABC ∆中，::21)a b c =，求,,A B C让学生板演，师生共同评判3.三角形形状的判定例3.在ABC ∆中，cos cos a A b B =,试确定此三角形的形状求解思路：判断三角形的形状可有两种思路：一是利用边之间的关系来判断，在运算过程中，尽可能把角的关系转化为边的关系；二是利用角之间的关系来判断，将边转化为角变式引申：在ABC ∆中，若()()3a b c b c a bc +++-=，并且sin 2sin cos A B C =，判断三角形的形状四．课堂检测反馈1．已知在ABC ∆中，60,8,3A b c ===，则a = （ ）2. 在ABC ∆中,若1,1,a b c ===，则ABC ∆的最大角的度数为（ ）3.在ABC ∆中，5,6,8AB BC AC ===,则ABC ∆的形状是（ ）.A 锐角三角形 .B 直角三角形 .C 钝角三角形 .D 非钝角三角形五．课时小结1.学生自己归纳、补充，培养学生的口头表达能力和归纳概括能力，教师总结2.运用向量方法推导出余弦定理，并能灵活运用余弦定理解决解三角形的两种类型及判断三角形的形状问题六．课后作业课本第10页A 组3（2），4（2）B 组第2题。

1.1.2余弦定理（一）教学目标1．知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。

（二）教学重、难点重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用； 难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。

（三）学法与教学用具学法：首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题，利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。

从而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形的角教学用具：直尺、投影仪、计算器 （四）教学设想[创设情景] C如图1．1-4，在∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c,已知a,b 和∠C ，求边c b a(图1．1-4)[探索研究]联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？ 用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。

由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

A如图1．1-5，设CB a =u u r r ，CA b =u u r r ，AB c =u u r r ，那么c a b =-r r r ，则 b r c r()()2222 2c c c a b a ba ab b a b a b a b =⋅=--=⋅+⋅-⋅=+-⋅r r r r r r r r r r r r r r r r r C a r B 从而 2222cosc a b ab C =+- (图1．1-5) 同理可证 2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+-于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。

解三角形二．复习 正弦定理：余弦定理：面积公式：三．引例1.（2016课标III ，理8）在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A = （ ） （A （B （C ）- （D ）-2.在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为,,a b c ,030A B ∠=∠=,BC 边上中线AM =求ABC ∆的面积四、走进高考1.（2015课标II ，理17）ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍．(Ⅰ) 求sin sin BC∠∠；(Ⅱ)若1AD =，2DC =，求BD 和AC 的长．2、（2013课标Ⅰ，理17）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB= 3 ，BC=1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°(1)若PB=12，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠P BA五．总结六．作业1.在ABC ∆中，D 为BC 边上一点，3BC BD =,135,,AD ADB AC ︒=∠==则BD = .2. 在ABC ∆中, 120,A A ︒∠=∠的角平分线交边BC 于D ，且2,2AB CD DB ==,求AD 的长。

3.如图所示，已知ABC ∆中，90,6,8,A AC BC ︒∠===D 为边AC 上的一点，E 为BD 上的一点，且,ABC EAD AED ∠=∠=∠则DC = .4.如图，在△ABC 中，C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足．若DE ＝22，则cos A 等于( )A.223B.24C.64D.63。

高中数学《余弦定理》教案一、教学目标1. 让学生理解余弦定理的定义和意义，掌握余弦定理的表达式。

2. 培养学生运用余弦定理解决三角形问题的能力。

3. 培养学生的逻辑思维能力和数学素养。

二、教学重点与难点1. 教学重点：余弦定理的定义和表达式，运用余弦定理解决三角形问题。

2. 教学难点：余弦定理的推导过程，运用余弦定理解决复杂三角形问题。

三、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究余弦定理。

2. 利用几何画板或实物模型，直观展示三角形中余弦定理的应用。

3. 开展小组讨论，培养学生的合作能力和解决问题的能力。

四、教学准备1. 教师准备PPT，内容包括余弦定理的定义、表达式和应用实例。

2. 准备几何画板或实物模型，用于展示三角形中余弦定理的应用。

3. 准备相关练习题，用于巩固所学知识。

五、教学过程1. 导入：通过一个实际问题，引发学生对余弦定理的思考，激发学生的学习兴趣。

2. 新课讲解：讲解余弦定理的定义和表达式，引导学生理解余弦定理的意义。

3. 实例演示：利用几何画板或实物模型，展示三角形中余弦定理的应用。

4. 小组讨论：让学生分组讨论如何运用余弦定理解决实际问题，培养学生的合作能力和解决问题的能力。

5. 练习巩固：让学生解答相关练习题，巩固所学知识。

6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调余弦定理的重要性。

7. 作业布置：布置适量作业，让学生进一步巩固余弦定理的应用。

六、教学延伸1. 引导学生思考余弦定理在实际生活中的应用，例如测量三角形的角度、计算三角形的面积等。

2. 介绍余弦定理在其他领域的应用，如物理学、工程学等。

七、课堂小结1. 让学生回顾本节课所学内容，总结余弦定理的定义、表达式和应用。

2. 强调余弦定理在解决三角形问题中的重要性。

八、课后作业1. 完成教材上的相关练习题，巩固余弦定理的知识点。

九、教学反馈1. 在下一节课开始时，检查学生的作业完成情况，了解学生对余弦定理的掌握程度。

学科数学年级/册高一必修5 教材版本人教A版课题名称余弦定理难点名称余弦定理的推导及应用难点分析从知识角度分析为什么难1.针对正弦定理不能解决的问题，重新探讨新的边角关系2.应用余弦定理和推论解三角形3.在解三角形中两个定理的选择从学生角度分析为什么难1应用余弦定理解三角形2.在解三角形中两个定理的选择难点教学方法1.从三角形全等的”边,角,边”的判定方法引入问题:如何用已知两边及夹角来表示第三边.启发学生从不同角度证明,课上只选用向量法证明.2.培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，讨论解三角形问题对应的几种题型,两个定理的选择,寻找最佳途径.教学环节教学过程导入首先一起回顾一下前面学过的正弦定理。

a:sinA=b:sinB=c:sinC=2R。

该定理的主要用途有两种，一是边角互化，常用于判断与证明。

第二个用途就是解三角形，解决两类问题1已知两角和任意一边2已知两边和其中一个边的对角那如果出现已知三边或已知两边和夹角的问题时，正弦定理就无法解决了这说明我们还要继续探索三角形新的边角关系知识讲解（难点突破）解决难点已知三角形的两边和夹角这类问题在三角形ABC中，已知角C，a边和b边求c边。

这样的已知两边和夹角的三角形形状是固定的，那如何求第三边呢？下面我们就用向量运算来寻求三角形边和角的新的关系式。

如图，下面我们就用向量运算来寻求三角形边和角的新的关系式。

如图，向量AB等于向量CB减去向量CA。

两边同时平方。

按运算率展开。

化简得到Cabbac cos2222-+=请同学们试着改变已知的边和角，不改变边角位置关系，看又能得出什么结果？这样同理得到Abccba cos2222-+=b。

课题：1.1.2余弦定理
高二数学教·学案
【学习目标】
1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

2.利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题
【学习重点】余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；
【学习难点】勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。

【授课类型】新授课
【教具】课件、电子白板
高二数学教·学案
课后反思：。

高中数学必修五教案优秀8篇新课标高中数学必修5教案篇一知识与技能：理解两角差的余弦公式的推导过程及其结构特征并能灵活运用。

过程与方法：应用已学知识和方法思考问题，分析问题，解决问题的能力。

情感态度价值观：通过公式推导引导学生发现数学规律，培养学生的创新意识和学习数学的兴趣。

通过探索得到两角差的余弦公式以及公式的灵活运用两角差余弦公式的推导过程预习自学案一、知识链接1、写出的三角函数线：2、向量，的数量积，①定义：②坐标运算法则：3、，，那么是否等于呢？下面我们就探讨两角差的余弦公式二、教材导读1、、两角差的余弦公式的推导思路如图，建立单位圆O（1）利用单位圆上的三角函数线设则又OM=OB+BM=OB+CP=OA_____ +AP_____=从而得到两角差的余弦公式：____________________________________（2）利用两点间距离公式如图，角的终边与单位圆交于A( )角的终边与单位圆交于B( )角的终边与单位圆交于P( )点T( )AB与PT关系如何？从而得到两角差的余弦公式：____________________________________（3）利用平面向量的知识用表示向量，=（，） =（，）则。

=设与的夹角为①当时:=从而得出②当时显然此时已经不是向量的夹角，在范围内，是向量夹角的补角。

我们设夹角为，则 + =此时 =从而得出2、两角差的余弦公式____________________________三、预习检测1、利用余弦公式计算的值。

2、怎样求的值你的疑惑是什么？______________________________________________________________________________________________________________ 探究案例1. 利用差角余弦公式求的值。

例2.已知，是第三象限角，求的值。

训练案一、基础训练题1、2、¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬3、二、综合题-------------------------------------------------- 高中数学学习方法技巧总结篇二基础很重要，保持耐心多巩固要学好数学，最关键的是要有一个好的基础。

《余弦定理》教案
一、教材分析
《余弦定理》选自人教A版高中数学必修五第一章第一节第一课时。

本节课的主要教学内容是余弦定理的内容及证明，以及运用余弦定理解决“两边一夹
角”“ 三边”的解三角形问题。

余弦定理的学习有充分的基础，初中的勾股定理、必修一中的向量知识、上一课时的正弦定理都是本节课内容学习的知识基础，同时又对本节课的学习提供了一定的方法指导。

其次，余弦定理在高中解三角形问题中有着重要的地位，是解决各种解三角形问题的常用方法，余弦定理也经常运用于空间几何中，所以余弦定理是高中数学学习的一个十分重要的内容。

二、教学目标
知识与技能：1、理解并掌握余弦定理和余弦定理的推论。

2、掌握余弦定理的推导、证明过程。

3、能运用余弦定理及其推论解决“两边一夹角”“三边”问题。

过程与方法：1、通过从实际问题中抽象出数学问题，培养学生知识的迁移能力。

2、通过直角三角形到一般三角形的过渡，培养学生归纳总结能力。

3、通过余弦定理推导证明的过程，培养学生运用所学知识解决实际
问题的能力。

情感态度与价值观：1、在交流合作的过程中增强合作探究、团结协作精神，体验解决问题的成功喜悦。

2、感受数学一般规律的美感，培养数学学习的兴趣。

三、教学重难点
重点：余弦定理及其推论和余弦定理的运用。

难点：余弦定理的发现和推导过程以及多解情况的判断。

四、教学用具
普通教学工具、多媒体工具
（以上均为命题教学的准备）
处的空旷处选一点A，测量出AB，AC的距离以及∠A ，就可以求出BC的距离了。

】
1、回顾正弦定理以及正弦定理能解决的解三角。

第一章解三角形教学案（一）课标要求本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。

通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。

（二）编写意图与特色1．数学思想方法的重要性数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。

本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示X、引导。

本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。

在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。

教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。

”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。

2．注意加强前后知识的联系加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。

本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。

余弦定理（2课时）第一课时一、教学内容：余弦定理。

二、教学目标：1、知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

培养数学语言的表达能力以及转化能力。

2、过程与方法：通过设疑、探究、讨论的过程中，在老师的引导下，解决利用余弦定理求解三角形的过程与方法。

培养利用知识解决生活问题的能力、总结归纳能力。

3、情感与态度：在学习过程中，体现“方程的思想”以及“数形结合”的思想，感受余弦定理在生活的应用的意义。

同时，培养学生合作交流、团结的精神，激发学习兴趣。

三、教学重难点：1.教学重点：余弦定理的推导过程及其基本应用；2.教学难点：理解余弦定理的基本应用。

四、教学方法：引导法、演示法。

五、教学过程:余弦定理的推导如图，设，那么，则A= C B从而同理可证余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。

即：；（注：让学生观察公式特点并总结求谁后面没谁，只有对边的余弦值，帮助学生记忆）余弦定理的变式（余弦定理推论）学生类比正弦定理判断余弦定理的基本应用：1)已知三角形的任意两边及其夹角可以求第三边2）已知三角形的三条边可以求出三角3.例题讲解例1．在ABC中，求？解：∵=练习：在ABC中，解三角形。

解：∵=∵,∴所以三角形ABC为直角三角形，巩固练习：在中，已知，解三角形。

（有两解注意分类讨论）（注：引导学生对比观察可根据角选择余弦定理公式）例2.中，，求这个三角形的最大角（根据大边对大角判断所求角）练习：在中，AB=5，AC=3，BC=7,求4.课堂小结（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；（2）余弦定理的基本应用:1)已知两边及它们的夹角，求第三边； 2）已知三边求三角。

5、课下作业：第18页1、3、56、课下反馈。

余弦定理（2课时） 第一课时 一、教学内容：余弦定理。

二、教学目标：1、知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

培养数学语言的表达能力以及转化能力。

2、过程与方法：通过设疑、探究、讨论的过程中，在老师的引导下，解决利用余弦定理求解三角形的过程与方法。

培养利用知识解决生活问题的能力、总结归纳能力。

3、情感与态度：在学习过程中，体现“方程的思想”以及“数形结合”的思想，感受余弦定理在生活的应用的意义。

同时，培养学生合作交流、团结的精神，激发学习兴趣。

三、教学重难点：1.教学重点：余弦定理的推导过程及其基本应用；2.教学难点：理解余弦定理的基本应用。

四、教学方法：引导法、演示法。

五、教学过程:余弦定理的推导如图，设c AB b CA a CB ===,,，那么b a c -=，则c ⋅= b r A=b a b b a a ⋅-⋅+⋅2 C a rB从而 2222cos c a b ab C =+-同理可证 2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+- 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。

即：2222cos a b c bc A =+-；（注：让学生观察公式特点并总结求谁后面没谁，只有对边的余弦值，帮助学生记忆）余弦定理的变式（余弦定理推论）学生类比正弦定理判断余弦定理的基本应用：1)已知三角形的任意两边及其夹角可以求第三边2）已知三角形的三条边可以求出三角3.例题讲解例1．在∆ABC 中，.60,4,20===A c b 求a ？解：∵2222cos a b c bc A =+-=1260cos 42242022=⨯⨯-+练习：在∆ABC 中，.60,4,20===A c b 解三角形。

解： ∵2222cos a b c bc A =+-=1260cos 42242022=⨯⨯-+∵ 060=A ,030=B ∴所以三角形ABC 为直角三角形，090=C巩固练习：在ABC ∆ 中，已知030,33,3===B c b ，解三角形。

高中数学《余弦定理》教案一、教学目标1. 让学生理解余弦定理的定义及其在几何中的应用。

2. 培养学生运用余弦定理解决实际问题的能力。

3. 引导学生通过探究、合作、交流的方式，发现余弦定理的规律。

二、教学内容1. 余弦定理的定义及公式。

2. 余弦定理在直角三角形中的应用。

3. 余弦定理在非直角三角形中的应用。

三、教学重点与难点1. 重点：余弦定理的定义及其应用。

2. 难点：余弦定理在非直角三角形中的应用。

四、教学方法1. 采用探究式教学法，引导学生主动发现余弦定理的规律。

2. 运用案例教学法，以实际问题为例，讲解余弦定理的应用。

3. 利用多媒体辅助教学，直观展示余弦定理的应用场景。

五、教学过程1. 导入：通过一个实际问题，引发学生对余弦定理的思考。

2. 新课讲解：（1）介绍余弦定理的定义及公式。

（2）讲解余弦定理在直角三角形中的应用。

（3）引导学生探究余弦定理在非直角三角形中的应用。

3. 案例分析：分析实际问题，运用余弦定理解决问题。

4. 练习与讨论：布置相关习题，让学生巩固所学知识，并进行讨论交流。

六、课后作业1. 复习本节课的内容，掌握余弦定理的定义及应用。

2. 完成课后习题，巩固所学知识。

3. 探索余弦定理在生活中的应用，下周分享给大家。

七、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况。

2. 作业完成情况：检查学生课后作业的完成质量。

3. 课后分享：评价学生在探索余弦定理在生活中应用的成果。

八、教学反思在教学过程中，关注学生的学习反馈，及时调整教学方法，确保教学效果。

针对学生的掌握情况，适当增加拓展内容，提高学生的数学素养。

九、教学进度安排1. 第一课时：介绍余弦定理的定义及公式。

2. 第二课时：讲解余弦定理在直角三角形中的应用。

3. 第三课时：引导学生探究余弦定理在非直角三角形中的应用。

4. 第四课时：案例分析，运用余弦定理解决实际问题。

十、教学资源1. PPT课件。

人教高中数学必修五余弦定理教案一、教学内容：余弦定理。

二、教学目的：1、知识与技艺：掌握余弦定理的两种表示方式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理处置两类基本的解三角形效果。

培育数学言语的表达才干以及转化才干。

2、进程与方法：经过设疑、探求、讨论的进程中，在教员的引导下，处置应用余弦定理求解三角形的进程与方法。

培育应用知识处置生活效果的才干、总结归结才干。

3、情感与态度：在学习进程中，表达〝方程的思想〞以及〝数形结合〞的思想，感受余弦定理在生活的运用的意义。

同时，培育先生协作交流、勾搭的肉体，激起学习兴味。

三、教学重难点：1.教学重点：余弦定理的推导进程及其基本运用；2.教学难点：了解余弦定理的基本运用。

四、教学方法：引导法、演示法。

五、教学进程:余弦定理的推导如图，设c AB b CA a CB ===,,，那么b a c -=，那么c ⋅= b A=⋅-⋅+⋅2 C a B从而 2222cos c a b ab C =+-同理可证 2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+-余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。

即：2222cos a b c bc A =+-； 〔注：让先生观察公式特点并总结求谁前面没谁，只要对边的余弦值，协助先生记 忆〕余弦定理的变式〔余弦定理推论〕先生类比正弦定理判别余弦定理的基本运用：1)三角形的恣意两边及其夹角可以求第三边2〕三角形的三条边可以求出三角3.例题解说例1．在∆ABC 中，.60,4,20===A c b 求a ？解：∵2222cos a b c bc A =+-=1260cos 42242022=⨯⨯-+练习：在∆ABC 中，.60,4,20===A c b 解三角形。

解： ∵2222cos a b c bc A =+-=1260cos 42242022=⨯⨯-+∵ 060=A ,030=B ∴所以三角形ABC 为直角三角形，090=C稳固练习：在ABC ∆ 中，030,33,3===B c b ，解三角形。

第一章解三角形1.1.1正弦定理一、教学目标1.核心素养通过学习正弦定理,初步形成基本的数学抽象和逻辑推理能力.2.学习目标（1）通过特殊三角形,了解三角形的边与角的对应关系.（2）能证明正弦定理.（3）应用正弦定理解决三角形相应问题.3.学习重点理解正弦定理,会用正弦定理解两类三角形问题.4.学习难点正弦定理的证明与三角形解的个数的判断.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务任务1阅读教材P1－P4.思考:正弦定理的内容是什么?你还有哪些方法可以证明正弦定理?正弦定理有哪些应用?任务2默写正弦定理的具体内容,查阅三角形面积的计算公式并进行整理.2.预习自测1.在一个三角形中,各边和它对角的（）的比相等.A.正弦B.余弦C.正切D.角度答案:A.解析:考查正弦定理的定义: 一个三角形中,各边和所对角的正弦之比相等,且该比值等于该三角形 外接圆的直径长度.2.下列各式可以表示△ABC 的面积的是（ ） A.12ab sin A B.12ab sin B C.12ab sin C D.ab sin C 答案:C.3.在正弦定理中asin A 的值表示△ABC 的（ ） A.内切圆半径 B.内切圆直径 C.外接圆半径 D.外接圆直径 答案:D.解析:一个三角形中,各边和所对角的正弦之比相等,且该比值等于该三角形外接圆的直径长度. （二）课堂设计 1.知识回顾（1）三角形内角和为180o .（2）三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边. （3）在三角形中大边对大角.（4）三角形的面积:S ＝111222a b c ah bh ch ==（其中h a ,h b ,h c 分别为边a ,b ,c 上的高）. （5）我们预习本课的正弦定理是什么?有哪些方法可以证明呢? 2.问题探究问题探究一 直角三角形的边角有哪些关系? ●活动一 回顾旧知,回忆边角关系在初中,我们已经学习过如何解直角三角形,那么在直角三角形中的边角关系有哪些呢?通过作出直角三角形,寻找直角三角形中的边角关系. 在直角三角形中,若C 为直角,锐角A 的正弦sin A ＝=ac对边斜边.同理,sin B ＝b c .●活动二 整合旧知,探求边角新关系 结合三角函数,你有哪些与众不同的发现? 在以上直角△ABC 中,根据正弦函数的定义有:sin a A c =,sin b B c =,sin 1C =,即sin a c A =,sin b c B =,sin c c C=. ∴sin sin sin a b cA B C==.问题探究二 上述边角关系对任意三角形都成立吗?试证明. ●活动一 大胆猜想,几何画板来帮忙 我们猜想在任意三角形中,都有sin a A ＝sin bB ＝sin c C. 为提高直观认识,我们先利用几何画板先作出一个三角形,度量出三个内角大小及三边的长度, 分别计算,,sin sin sin a b cA B C的值,并观察三个值的关系. 然后,再改变三角形形状,再观察三个比值的变化情况. 可以看到,不论三角形如何变化,sin a A ＝sin bB ＝sin c C. ●活动二 集思广益,证明正弦定理 你能在一般的三角形中证明sin a A ＝sin b B ＝sin c C这个结论吗? 在锐角△ABC 中,你能找出a sin B ,b sin A 表示的具体线段吗?它们的几何意义是什么?在锐角△ABC 中,sin ,sin a B b A 表示的线段都是AB 边上的高CD . 因而,有a sin B ＝b sin A ,则sin sin a b A B=,同理,我们可以得到sin a A ＝sin bB ＝sin cC . 在钝角三角形中是否也能用类似方法证明呢?不妨设∠B 为钝角,如图,()sin 180sin CD a B b A =-=o ,因而,有sin sin a B b A =,则sin aA ＝sin b B, 同理,我们可以得到sin a A ＝sin bB ＝sin c C. 正弦定理:对于任意的一个三角形,都有sin a A ＝sin bB ＝sin c C. ●活动三 反思过程,发现面积新公式结合a sin B ,b sin A 的几何意义,你能不能得到三角形的面积公式的另外一种形式? 由以上探究活动,a sin B ,b sin A 的几何意义为AB 边上的高CD ,则由三角形面积111222a b c S ah bh ch ===, 有11sin 22c S ch ac B ==,或11sin 22c S ch bc A ==,以此类推,还有1sin 2S ab C =.所以111sin sin sin 222S ab C ac B bc A ===.●活动四 利用外接圆,重新认识正弦定理 结合△ABC 的外接圆,试探究sin aA的几何意义.设⊙O 为△ABC 的外接圆,连接CO 并延长交⊙O 于点A ′,连接A ′B ,则∠A ＝∠A ′, 在△A ′BC 中,A ′C 为直径,则∠A ′BC 为直角,2sin a A C R A '==',故2sin aR A=,其中R 为三角形外接圆的半径.通过转化与化归的思想,将∠A 转化为∠A ′,最关键的是将一般三角形中a 与∠A 的关系转化为直角三角形中的a 与∠A ′的关系,不难得到sin aA＝2R ,则2sin sin sin a b cR A B C===. 以上过程也是证明正弦定理的另一种方法,你还能想出哪些证明正弦定理的方法?结合活动三得到的三角形的面积公式,我们还可以哪些形式多样的面积公式? 我们可以得到21sin 2sin sin sin 24abc S ab C R A B C R===等形式. 问题探究三 利用正弦定理能解决哪些三角形的问题?●活动一 初步运用,运用定理解三角形一般地,我们把三角形的三个角A ,B ,C 和它们的对边a ,b ,c 叫做三角形的元素,已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题? 例1 在△ABC 中,已知A ＝30°,B ＝45°,a ＝2,解此三角形. 【知识点:正弦定理,解三角形；数学思想:数形结合】 详解:根据三角形内角和定理,C ＝180°－(A ＋B )＝105°,根据正弦定理,b ＝sin sin a B A ＝c ＝sin sin a CA. 点拨:正弦定理是对边对角的关系,在已知一内角的条件下,找出该角的对边,或知道一边的情况下,寻求该边的对角,注意三角形内角和为180°这个条件的运用.在解三角形时,我们在知道三角形的三个元素（至少有一边）时,可以求出另三个元素,称“知三求三”.例2 在△ABC 中,已知A ＝60°,a ＝3,b 解三角形. 【知识点:正弦定理,解三角形；数学思想:数形结合】详解:根据正弦定理,sin sin b A B a ==,且b ＜a ,则B ＜A ,故B ＝45°,所以C ＝75°,sin sin a C c A ==. 点拨:在已知一角和两边（其中一边为该角的对边）的条件下,用正弦定理求出另一边对角的正弦值,一般可以运用大边对大角或三角形内角和定理对结果进行筛选或排除,当然可以两者结合使用.例3在△ABC 中,已知A ＝45°,a ＝2,b 解三角形.【知识点:正弦定理,解三角形；数学思想:分类讨论、数形结合】详解:根据正弦定理,sin B ＝sin b Aa,且b ＞a ,则B ＞A ,故B ＝60°或120°,当B ＝60°时,C ＝75°,解得sin c=1sin a CA；当B ＝120°时,C ＝15°,解得sinc=1sin a CA. 点拨:和例2类似,已知两边和其中一边的对角,用正弦定理求出另一边对角的正弦值,此时这个角有锐角和钝角两种情况,注意分类讨论,切不可先入为主的认为B ＝60°而造成漏解.●活动二 对比提升,判断三角形解的个数比较例2和例3,对于任意给定两边和其中一边的对角,三角形唯一确定吗?如何讨论满足条件的三角形的解的个数?在△ABC 中,已知a ,b ,A ,结合例2、例3分析,在求出sin B 后,B 的解的个数决定了三角形解的个数.不难看到,当A 为直角或钝角时,a ＞b ,B 必为锐角,有唯一解；a ≤b ,无解. 当A 为锐角时,我们可以用以下方法判断解的个数.A以C 为圆心,a 为半径作圆弧,观察该圆弧能否与c 边相交,(1)当a ＜b sin A 时,无解； (2)当a ＝b sin A 时,一解； (3)当b sin A ＜a ＜b 时,两解； (4)当a≥b 时,一解.通过这个方法,我们进一步可以验证当A 为直角或钝角时的情形,(1)当a ≤b 时,无解； (2)当a ＞b 时,一解.●活动三 归纳提升,综合应用新知识利用正弦定理,我们可以解哪些已知条件下的三角形? 1.已知两角和任意一边,求其他的边和角； 2.已知两边和其中一边的对角,求其他的边和角.例4 在△ABC 中,已知A＝60°,b ＝2,c ＝3,求△ABC 的面积S . 【知识点:正弦定理】 详解:1sin 2S bc A ==. 点拨:直接应用三角形的面积公式即可.例5在△ABC 中,已知A ＝120°,a ＝3,b 判断三角形的解的个数,如有解,求△ABC 的面积S .【知识点:正弦定理,解三角形；数学思想:数形结合】 详解:由A 为钝角,且a ＞b ,故此三角形有唯一解.根据正弦定理,sin 1sin 2b A B a ==,则B ＝30°,C ＝180°－(A ＋B )＝30°,所以1sin 2S ab C ==. 点拨:三角形的面积求解需要两边及夹角,因此要先通过正弦定理求B ,再用内角和定理求C ,再用公式即可.例6 已知△ABC 的外接圆半径为1,41sin ,cos 53A B ==-,求△ABC 的面积S . 【知识点:正弦定理,两角和的正弦公式；数学思想:转化与化归】详解:由()113sin sin sin cos cos sin 535C A B A B A B ⎛⎫=+=+=⋅-+= ⎪⎝⎭则242sin sin sin 25S R A B C ==⋅=点拨:在已知三角形外接圆半径时,通过正弦定理转化面积公式显得更快一些,当然也可以利用a ＝2R sin A ,b ＝2R sin B 求出C 的两条夹边再求面积,是一样的道理. 3.课堂总结 【知识梳理】 (1)在△ABC 中,2sin sin sin a b c R A B C===（R 为△ABC 的外接圆半径）. (2)在△ABC 中,111sin sin sin 222S ab C ac B bc A ===. (3)设A 为△ABC 的最大角,已知a ,b ,A ,解三角形时解的个数判定为:若A 为锐角,①a ＜b sin A ,无解；②a ＝b sin A ,一解；③b sin A ＜a ＜b ,两解；④a ≥b ,一解.若A 为直角或钝角,①a ≤b ,无解；②a ＞b ,一解. 【重难点突破】(1)运用正弦定理时,有时需对它进行变形,如::sin :sin :sin a b c A B C =等,不论怎么变形,最终都需要将2R 约去.(2)运用正弦定理求解三角形时,若已知条件是两边和其中一边的对角,则可能无解、一解或两解,判断方法是三角形中大角对大边,大边对大角.(3)用正弦定理来解边角关系问题时,基本思路是统一角或统一边,这是三角形的变形问题常用的方法. 4.随堂检测1.在△ABC 中,A ＝45°,a ＝则sin sin sin a b cA B C++++等于（ ）A.1C.2D.4【知识点:正弦定理；数学思想:数形结合】 解:D 根据s i n a A ＝sin b B ＝sin cC＝2R ,a ＝2R sin A ,b ＝2R sin B ,c ＝2R sin C ,则sin sin sin a b c A B C ++++＝2R ＝sin aA＝4,故选D.2.在△ABC 中,已知b c ＝1,B ＝45°,则a ＝（ ）11【知识点:正弦定理；数学思想:数形结合】 解:B 根据正弦定理,sin C ＝sin c B b ＝12,因为c ＜b ,则C ＜B ,故C ＝30°,则A ＝105°,所以a ＝sin sin c AC,故选B.3.在△ABC 中,已知b cos A ＝a cos B ,则△ABC 的形状为（ ） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.正三角形 D.等腰直角三角形【知识点:正弦定理的应用,两角差的正弦公式；数学思想:数形结合】 解:B 根据sin a A ＝sin b B＝2R ,a ＝2R sin A ,b ＝2R sin B ,则2R sin B cos A ＝2R sin A cos B ,即sin(A －B )＝0,得A ＝B ,故△ABC 为等腰三角形,故选B.4.在△ABC 中,A ＝30°,B ＝105°,c ＝4,则△ABC 的外接圆的面积为（ ） A.4πB.8πC.16πD.32π【知识点:正弦定理的应用；数学思想:数形结合】解:B 由C ＝180°－(A ＋B )＝45°,得2R ＝sin cC＝R ＝圆面积S ＝πR 2＝8π,故选B.5.在△ABC 中,若a ＝C ＝13,S △ABC ＝则b ＝_________ . 【知识点:正弦定理的应用；数学思想:数形结合】解 由cos C ＝13,得sin C ,根据S ＝12ab sin C ＝得b ＝（三）课后作业基础型 自主突破1.已知在10,45,30,,ABC c A C a b B ∆==︒=︒中，求和. 【知识点:正弦定理,解三角形；数学思想:数形结合】 解:由A a sin =B b sin =sin cC,180()105B A C =︒-+=︒,解得210=a ,2565+=b .2.在60,1,ABC b B c a ∆=︒=中，求.【知识点:正弦定理,解三角形；数学思想:数形结合】 解:由B b sin =sin cC,得sin C ＝12,因为c ＜b ,所以C ＜B ,则C ＝30°,则A ＝90°,故△ABC 为直角三角形,所以222=+=c b a .3.45,2,,ABC c A a b B C ∆==︒=中，求和.【知识点:正弦定理,解三角形；数学思想:数形结合】解:sin ,sin sin sin a c c A C A C a =∴===Qsin ,60c A a c C <<∴=︒Q 或120︒.sin6075,1sin c BC B b C ∴=︒=︒===当时，,sin12015,1sin c B C B b C ∴=︒=︒===当时，，1,75,60b B C ∴==︒=︒或1,15,120b B C =︒=︒.4.ABC ∆中,222sin sin sin A B C =+,则ABC ∆为( )A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形【知识点:正弦定理；数学思想:转化与化归】解:A 由正弦定理得a 2＝b 2＋c 2,则故△ABC 为直角三角形,故选A.5.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若a cos A ＝b sin B ,则sin A cos A ＋cos 2B ＝( )A.－12B.12C.－1D.1【知识点:正弦定理,同角三角函数间的基本关系】解:D 由正弦定理及a cos A ＝b sin B ,得sin A cos A ＝sin 2B .则sin A cos A ＋cos 2B ＝sin 2B ＋cos 2B ＝1.6.在△ABC 中,C ＝120°,c 2－c 2cos 2A ＝3,则a ＝________.【知识点:正弦定理,同角三角函数间的基本关系】解:2 由c 2－c 2cos 2A ＝c 2sin 2A ＝3,故c sin A ,由正弦定理,a ＝sin sin c A C＝2. 能力型 师生共研7.在ABC ∆中,B A sin sin >是B A >的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【知识点:必要条件、充分条件与充要条件的判断,正弦定理】解:C 首先,由正弦定理得2R sin A ＞2R sin C ,故a ＞c ,由大边对大角,有A ＞C ；其次,由A ＞C ,得a ＞c ,即2R sin A ＞2R sin C ,故sin A ＞sin C .故选C.8.在锐角ABC ∆中,若2,1==b a ,则边c 的取值范围是（ ） A.)5,0( B.)5,1( C.)5,3(D.(1,3)【知识点:正弦定理,解三角形；数学思想:数形结合】解:C 应用极端原理,当B 为直角时,c ＝ 3 ,当C 为直角时,c ＝5,因△ABC 为锐角三角形,故 3 ＜c ＜5,故选C.9.在ABC ∆中,已知︒===45,2,B b x a ,如果利用正弦定理解三角形时有两解,则x 的取值范围是（ ） A.222<<x B.222≤<xC.2>xD.2<x【知识点:正弦定理,解三角形；数学思想:数形结合】解:A 因三角形有两解,则a sin B ＜b ＜a ,x ＜2＜x ,解得2＜x ＜故选A. 10.在ABC ∆中,求证:2222112cos 2cos ba b B a A -=-. 【知识点:二倍角的余弦,正弦定理；数学思想:转化与化归】解:sin sin a b A B =⇒sin sin A B a b =⇒22sin sin ()()A B a b= ⇒2222sin sin A B a b =⇒221cos 21cos 2A B a b --=⇒2222cos 2cos 211A B a b a b-=-. 探究型 多维突破11.已知ABC ∆,B ∠的平分线交AC 于点D ,求证:DC AD BC AB ::=.【知识点:正弦定理的应用；数学思想:数形结合】证明:在ABD ∆内,利用正弦定理得:sin sin sin sin AB AD AB ADB ADB ABD AD ABD∠==∠∠∠即 在BCD ∆内,利用正弦定理得:sin ,.sin sin sin BC DC BC BDC BDC DBC DC DBC∠==∠∠∠即 ∵BD 是B 的平分线,∴sin sin ABD DBC ∠=∠.∵sin sin ADB BDC ∠=∠, ∴sin sin sin sin AB ADB BDC BC AD ABD DBC CD ∠∠===∠∠,∴AB AD BC DC =. 12.在ABC ∆中,已知)sin()sin(sin sin C B B A C A --=,求证:222,,c b a 成等差数列. 【知识点:两角和与差的正弦函数,二倍角的余弦,正弦定理,等差数列；数学思想:转化与化归】证明:由已知得sin()sin()B C B C +-sin()sin()A B A B =+-,cos 2cos 2cos 2cos 2B C A B -=-,1cos 21cos 21cos 22222B A B ---⋅=+, ∴2222sin sin sin B AC =+,由正弦定理可得2b 2＝a 2＋c 2,故a 2,b 2,c 2成等差数列.自助餐1.在ABC ∆中,45a b B ===︒,则A 为（ ）A.233ππ或 B.3πC.566ππ或 D.6π 【知识点:正弦定理,解三角形；数学思想:数形结合、分类讨论】 解:A 由sin a A =sin b B,得sin A,则A ＝60°或120°,故选A. 2.在ABC ∆中,2sin b A =,则B =( )A.3πB.6πC.233ππ或 D.566ππ或【知识点:正弦定理】解:C 由sin aA =sin bB ,得sin B ,故选C.3.在ABC ∆中,已知2,60a b A ==︒,则符合条件的三角形的个数有（） A.2个B .1个C . 0个D.无数个【知识点:正弦定理,解三角形；数学思想:数形结合】解:B 由a ＞b ,故A ＞B ,则三角形只有一解,故选B.4.在△ABC 中,cos A ＝－13,a ＝3,b ,则符合条件的三角形的个数有（）A.2个B .1个C . 0个D.无数个【知识点:正弦定理,解三角形；数学思想:数形结合】解:C 由cos A ＜0,得A 为钝角,又a ＜b ,故此三角形无解,故选C.5.在ABC ∆中,45B =︒,60C =︒,1c =,则最短边的边长等于（ ）C.12【知识点:正弦定理,解三角形；数学思想:数形结合】解:A 由三角形内角和为180°知A ＝75°,故B 角最小,从而b 为最小边,由正弦定理,b故选A. 6.在△ABC 中,a cos A ＝b cos B ,则△ABC 的形状为（ ）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形【知识点:正弦定理】解:D 由a cos A ＝b cos B 及正弦定理,得sin A cos A ＝sin B cos B ,即sin2A ＝sin2B , 则2A ＝2B 或2A ＋2B ＝180°,则A ＝B 或A ＋B ＝90°,△ABC 为等腰或直角三角形,故选D.7.在△ABC 中,若b ＝10,B ＝π4,tan A ＝2,则a ＝________.【知识点:正弦定理,同角三角函数间的基本关系】解:410 由tan A ＝sin A cos A ＝2,得sin A ＝255,又∵b ＝10,B ＝π4,根据正弦定理,得a ＝b sin A sin B ＝10×25522＝410. 8.已知函数()sin()6f x x π=+,ABC △三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若()1f B C +=,a ＝3,b ＝1,则ABC △的面积S ＝__________.【知识点:正弦定理】解:34 由()1f B C +=,得()sin 1B C π++=,又()7,666B C πππ++∈,所以62B C ππ++=, 得23A π=,由正弦定理sin sin B A b a =,得1sin 2B =,则6B π=,6C π=,则面积1s i n 2S ab C =9.如图所示,扇形AOB 中,∠AOB ＝60°,OB ＝1,在弧AB 上有一动点P ,过P 作平行于OB 的直线和OA 交于点C ,则△POC 面积的最大值为______________.【知识点:正弦定理,解三角形,三角恒等变换；数学思想:数形结合】解:312 设∠AOP ＝θ,∵CP ∥OB ,∴∠CPO ＝∠POB ＝60°－θ,∴∠OCP ＝120°.在△POC 中,由正弦定理,得1sin120°＝CP sin θ,有CP ＝23sin θ. 又OC sin(60°－θ)＝1sin120°,有OC ＝23sin(60°－θ). 因此△POC 的面积为S ＝12CP ·OC sin120°＝12·23sin θ·23sin(60°－θ)×32＝13sin θsin(60°－θ)＝13sin θ(32cos θ－12sin θ)＝123[cos(2θ－60°)－12],θ∈(0°,60°). 故当θ＝30°时,S 取得最大值为312.10.已知在ABC ∆中,452A a c ∠=︒==，，,解此三角形.【知识点:正弦定理,解三角形；数学思想:分类讨论】解:由sin a A ＝sin c C,得sin C C ＝60°或120°,sin6075,1sin c B C B b C =︒=︒===+当时，,sin12015,1sin c B C B b C =︒=︒===当时，，所以16075b C B =+=︒=︒，，或112015b C B =︒=︒，，. 11.在ABC ∆中,如果lg lg lgsin a c B -==-且B 为锐角,试判定三角形的形状.【知识点:对数的运算性质,正弦定理,解三角形；数学思想:数形结合】解:由条件有sin B 及c ,因为B 为锐角,则B ＝45°,A ＝135°－C ,由c ,得sin C A －C )＝cos C ＋sin C ,则cos C ＝0,C ＝90°,A ＝45°,故△ABC 为等腰直角三角形.12.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,且2cos A cos C (tan A tan C －1)＝1.(1)求B 的大小；(2)若b ＝3,求△ABC 的周长l 的最大值.【知识点:正弦定理,三角恒等变换,正弦函数的值域；数学思想:转化与化归】解:(1)由2cos A cos C (tan A tan C －1)＝1,得2cos A cos C (sin A sin C cos A cos C －1)＝1.∴2(sin A sin C －cos A cos C )＝1,∴cos(A ＋C )＝－12,∴cos B ＝12.又0＜B ＜π,∴B ＝π3.(2)由正弦定理,得2R ＝b sin B ＝2,则a ＝2R sin A ＝2sin A ,c ＝2R sin C ＝2sin(2π3－A ),∴l ＝a ＋b ＋c ＝2sin A ＋2sin(2π3－A )＋3＝2sin A ＋3cos A ＋sin A ＋ 3＝3sin A ＋3cos A ＋3＝23sin(A ＋π6)＋ 3.∵A ∈[0,2π3],且A ≠π6,A ≠π2,∴当A ＝π3时,l max ＝3 3.故△ABC 的周长的最大值为3 3.。

1.2.1 余弦定理教学设计一、教学内容分析人教版《普通高中课程标准实验教科书·必修（五）》第一章《解三角形》第一单元第二课《余弦定理》。

二、学生学习情况分析在此基础上利用向量方法探求余弦定理，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。

总体上学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，看待与分析问题不深入，知识的系统性不完善，使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度，在发掘出余弦定理的结构特征、表现形式的数学美时，能够激发学生热爱数学的思想感情。

三、设计思想本课尽力追求新课程要求，利用师生的互动合作，提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识和创新意识，深刻地体会数学思想方法及数学的应用，激发学生探究数学、应用数学知识的潜能。

四、教学三维目标知识与技能：能推导余弦定理及其推论，能运用余弦定理解已知“边，角，边”和“边，边，边”两类三角形。

过程与方法：培养学生知识的迁移能力；归纳总结的能力；运用所学知识解决实际问题的能力。

情感态度与价值观：通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨。

养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度。

五、教学重点与难点重点：余弦定理的证明过程和定理的简单应用。

难点：利用向量的数量积证余弦定理的思路。

六、设计过程cos cos AC C b C BD=CD-BC=bcosC-a Rt △ABD 中，2222(sin )(cosC-)ADBDb C b a222cos abab C方法2：（向量法）边→模→数量积如图：22222222()22cos =2cos CB CA AB CB CA CB CA CB CA abab CAB a b ab C 可得从而方法3：（建立直角坐标系）222cos ;c ac B 222cos a b ab C 语言表述：三角形任何一边的平方等于其他两2c a bc2ac；222b c abab C是2cos;的轮换式，同时等式右边的角与等式左边的边相对应3归纳整理内化知识问题：从知识、思想、方法等不同角度回顾一下这节课有何收获？知识要点：（1）余弦定理及其推论 （2）余弦定理的作用（3）余弦定理的结构特点思想方法：本课涉及“类比” “特殊到一般”“分类讨论”“化归与转化”“方程”等思想方法。