高考数学解几试题命题探源

专题05三角函数目录一览2023真题展现考向一三角函数的图象与性质考向二三角恒等变换真题考查解读近年真题对比考向一三角函数的图象与性质考向二三角恒等变换考向三同角三角函数间的基本关系命题规律解密名校模拟探源易错易混速记/二级结论速记考向一三角函数的图象与性质1．（2023•新高考Ⅱ•第15题）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），如图，A，B是直线y=1与曲线y＝f（x）2的两个交点，若|AB|=�6，则f（π）＝．2．（2023•新高考Ⅰ•第15题）已知函数f（x）＝cosωx﹣1（ω＞0）在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是．考向二三角恒等变换3．（2023•新高考Ⅱ•第7题）已知α为锐角，cosα=1+5，则sin�2=（）4A ．3−58B ．−1+58C ．3−54D ．−1+544．（2023•新高考Ⅰ•第8题）已知sin （α﹣β）=13，cos αsin β=16，则cos （2α+2β）＝（）A ．79B ．19C ．−19D ．−79【命题意图】考查同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角差角公式、三角函数的图象与性质、y=A sin （wx+ ）的图象与性质．应用三角公式进行化简、求值和恒等变形及恒等证明．【考查要点】三角函数高考必考．常考查和角差角公式、恒等变形化简求值、诱导公式、同角三角函数公式，辅助角公式等．常考查y=A sin （wx+ ）的图象与性质，涉及到增减性、周期性、对称性、图象平移、零点等．【得分要点】1．同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin 2α+cos 2α＝1．（2）商数关系：푠푖 �푐표푠�=tan α．2．诱导公式公式一：sin （α+2k π）＝sin α，cos （α+2k π）＝cos_α，其中k ∈Z ．公式二：sin （π+α）＝﹣sin_α，cos （π+α）＝﹣cos_α，tan （π+α）＝tan α．公式三：sin （﹣α）＝﹣sin_α，cos （﹣α）＝cos_α．公式四：sin （π﹣α）＝sin α，cos （π﹣α）＝﹣cos_α．公式五：sin （�2−α）＝cos α，cos （�2−α）＝sin α．公式六：sin （�2+α）＝cos α，cos （�2+α）＝﹣sin α．3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）C （α﹣β）：cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β．（2）C （α+β）：cos （α+β）＝cos αcos β﹣sin αsin β．（3）S （α+β）：sin （α+β）＝sin αcos β+cos αsin β．（4）S （α﹣β）：sin （α﹣β）＝sin αcos β﹣cos αsin β．（5）T （α+β）：tan （α+β）=푡푎 �+푡푎1−푡푎 �푡푎 ．（6）T （α﹣β）：tan （α﹣β）=푡푎 �−푡푎1+푡푎 �푡푎．4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin2α＝2sinαcosα．（2）C2α：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．（3）T2α：tan2α=2푡푎 �1−푡푎 2�．5．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质6．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换y＝sin x的图象变换得到y＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤7．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A=�−�2，k=�+�2，ω由周期T确定，即由2��=T求出，φ由特殊点确定．考向一三角函数的图象与性质1．（2022•新高考Ⅰ）记函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期为T．若＜T＜π，且y ＝f（x）的图像关于点（，2）中心对称，则f（）＝（）A．1B．C．D．32.（多选）（2022•新高考Ⅱ）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图像关于点（，0）中心对称，则（）A．f（x）在区间（0，）单调递减B．f（x）在区间（﹣，）有两个极值点C．直线x＝是曲线y＝f（x）的对称轴D．直线y＝﹣x是曲线y＝f（x）的切线3．（2021•新高考Ⅰ）下列区间中，函数f（x）＝7sin（x﹣）单调递增的区间是（）A．（0，）B．（，π）C．（π，）D．（，2π）考向二三角恒等变换4．（2022•新高考Ⅱ）若sin（α+β）+cos（α+β）＝2cos（α+）sinβ，则（）A．tan（α﹣β）＝1B．tan（α+β）＝1C．tan（α﹣β）＝﹣1D．tan（α+β）＝﹣1考向三同角三角函数间的基本关系5．（2021•新高考Ⅰ）若tanθ＝﹣2，则＝（）A．﹣B．﹣C．D．结合近三年命题规律，命制三角函数恒等变换题目，诸如“给值求角”“给值求值”“给角求值”，给定函数部分图象，求解函数解析式。

2022年高考题的高数探源李鸿昌（北京师范大学贵阳附属中学）题1:（2022年甲卷理科12题）已知3132a =，1cos 4b =，14sin 4c =，则()A.c b a>> B.b a c >> C.a b c >> D.a c b >>解法1：利用结论sin tan (0)2x x x x π<<<<，则114tan 4144c b =>⨯=，所以c b >.2231111cos 1cos 32443211112sin 2()0832832a b -=-=--=-<⨯-=，所以b a >.综上所述，c b a >>，选A.结论是利用三角函数线知识即可得到，需要熟悉.解法2：构造函数先证：当02x π<<时，tan x x >.设()tan (0)2f x x x x π=-<<，则21'()10cos f x x =->，所以函数()f x 在(0,)2π上单调递增，得()(0)0f x f >=，故tan x x >.由tan x x >知4sin 4cos x x x >，所以114sin cos 44>，即c b >.再证：2cos 1(0)2x x x >-≠.设2()cos 12x f x x =-+，则'()sin f x x x =-，''()1cos 0f x x =-≥，所以'()f x 在R 上单调递增，又'(0)0f =，所以当(,0)x ∈-∞时'()0f x <，()f x 单调递减，当(0,)x ∈+∞时'()0f x >，()f x 单调递增，所以()(0)0f x f >=，即2cos 12x x >-.所以211131cos1()42432>-⨯=，即b a >.综上所述，c b a >>，选A.试题推广由解法2可知，当02x π<<时tan x x >，即sin cos x x x >，从而*sin cos (2,)n x nx x n n N >≥∈且，令1x n =，可得11sin cos n n n >.再由2cos 12x x >-，可得211cos 12n n >-.这样，本题可以推广如下：设2n ≥且n ∈N *，则2111sincos 12n n n n >>-.高数探源本题考查的主要是两个不等式：tan (0)2x x x π><<和2cos 1(0)2x x x >-≠.而这两个不等式的高等数学背景就是泰勒公式.然后泰勒公式离我们并不遥远，它就出现在我们的教材里.2019年人教A 版《数学必修第一册》第256页习题26如下：英国数学家泰勒发现了如下公式：357sin 3!5!7!x x x x x =-+-+ ，246cos 12!4!6!x x x x =-+-+ ，其中!1234n n =⨯⨯⨯⨯⨯ .这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精准性.比如，用前三项计算cos 0.3，就得到240.30.3cos 0.310.95533752!4!≈-+=.试用你的计算工具计算cos 0.3，并与上述结果比较.我们再补充一下正弦函数的：352tan 315x x x x =+++ .我们把上述的三个公式称为泰勒公式，由泰勒公式，我们可以得到如下的不等式：3sin (0)6x x x x >->，2cos 1(0)2x x x >-≠，tan (0)2x x x π><<.还有很多的高考题是以泰勒公式为背景的，详细请参考《高考题的高数探究与初等解法》第4节30页.题2（2022年新高考全国I 卷21题）已知点()2,1A 在双曲线()2222:111x y C a a a -=>-上，直线l 交C 于,P Q 两点，直线,AP AQ 的斜率之和为0.（1）求l 的斜率；（2）若tan 22PAQ ∠=，求PAQ △的面积.解：（1）因为点()2,1A 在双曲线()2222:111x y C a a a -=>-上，所以()2241111a a a -=>-，所以22a =，故22:12x C y -=.显然AP 的斜率存在且不为22±，故可设()2:212l y k x k ⎛⎫=-+≠± ⎪ ⎪⎝⎭，代入2212x y -=，消去y ，整理得()()222124420x k x k k ⎡⎤--+-+=⎣⎦，所以2244221P k k x k -+=-，从而()222244224121212121P p k k k k y k x k k k ⎛⎫-+-+-=-+=-+= ⎪--⎝⎭，因为直线,AP AQ 的斜率之和为0，所以把上式中的k 用k -替换可得2244221Q k k x k ++=-，2224121Q k k y k ---=-所以l 的斜率为818p QPQ p Q y y k k x x k-===---.（2）不失一般性，不妨设设直线AP 的倾斜角为,0,2θθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则222PAQ θθπ⎛⎫∠=-=π- ⎪⎝⎭，因为tan PAQ ∠=，所以()22tan tan 21tan θθθπ-=-=-，所以tan k θ==（取正值），故P ⎝⎭，Q ⎝⎭从而5:3l y x =-+，即5:03l x y +-=，所以点()2,1A 到l的距离为d =，又因为1633PQ ==,所以PAQ △的面积为18239PQ d ==.高数探源本题的第（1）问的背景就是圆锥曲线中的四点公园问题的一个极限状态。

专题11直线与圆目录一览2023真题展现考向一直线与圆相切考向二直线与圆相交真题考查解读近年真题对比考向一直线与圆相切考向二直线与圆的位置关系命题规律解密名校模拟探源易错易混速记/二级结论速记考向一直线与圆相切1．（2023•新高考Ⅰ•第6题）过点（0，﹣2）与圆x 2+y 2﹣4x ﹣1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝（）A ．1B ．154C ．104D ．64【答案】B解：圆x 2+y 2﹣4x ﹣1＝0可化为（x ﹣2）2+y 2＝5，则圆心C （2，0），半径为r =5；设P （0，﹣2），切线为PA 、PB ，则PC =22+22=22，△PAC中，sin �2=5cos �2==3所以sin α＝2sin �2cos �2=2×5×3=154．故选：B ．考向二直线与圆相交2．（2023•新高考Ⅱ•第15题）已知直线x ﹣my +1＝0与⊙C ：（x ﹣1）2+y 2＝4交于A ，B 两点，写出满足“△ABC 面积为85”的m 的一个值．【答案】2（或﹣2或12或−12）解：由圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝4，可得圆心坐标为C （1，0），半径为r ＝2，因为△ABC 的面积为85，可得S △ABC =12×2×2×sin ∠ACB =85，解得sin ∠ACB =45，设12∠ACB ＝θ所以∴2sin θcos θ=45，可得2푠푖푛휃 푠휃푠푖푛2휃+ 푠2휃=45，∴2푡푎푛휃푡푎푛2휃+1=45，∴tan θ=12或tan θ＝2，∴cos θ=cos θ=∴圆心眼到直线x ﹣my +1＝0的距离d===解得m ＝±12或m ＝±2．故答案为：2（或﹣2或12或−12）．【命题意图】考查直线的倾斜角与斜率、直线方程、两直线平行与垂直、距离公式、圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系．【考查要点】常考查直线与圆的位置关系、动点与圆、圆与圆的关系。