双曲线及其标准方程教学设计

第二单元双曲线一、内容和内容解析（一）内容双曲线的概念、双曲线的标准方程、双曲线的简单几何性质本单元内容结构图如下：（二）内容解析1.内容本质：本单元的内容本质是在双曲线的几何情境中，类比椭圆，抽象出第二个圆锥曲线即双曲线的概念，并研究其几何特征，在直角坐标系中，推导双曲线的标准方程，再利用标准方程研究其几何性质，并利用它们解决一些简单的实际问题.2.蕴含的思想方法：本单元的思想方法主要是坐标法和数形结合的思想.类比椭圆的定义、标准方程和几何性质的研究方法，得出双曲线的定义、标准方程和几何性质，蕴含了数学研究的重要思想方法：类比.3.知识的上下位关系：本单元是在研究椭圆方程和几何性质的基础上，对解析法研究圆锥曲线内容的进一步深化和提高，是研究圆锥曲线的一个组成部分，为下一单元抛物线的学习做准备。

所以说本单元的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向加深对双曲线的标准方程及简单几何性质的理解与应用.4.育人价值：通过对双曲线的定义的理解，标准方程的推导和几何性质的研究，发展学生的数学抽象、数学运算等数学核心素养，使学生在掌握知识与技能的同时，体悟知识所蕴含的数学思想和方法，积累数学地思考问题和解决问题的经验，发展理性思维.5.教学重点：解析法研究双曲线的几何特征与性质二、目标及其解析（一）单元目标1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程．2．了解双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．3．了解双曲线的简单应用．4．理解数形结合思想．（二）目标解析达成上述目标的标志是:1.能够利用双曲线的定义辨识什么样的轨迹是双曲线，由所给条件会求双曲线的标准方程．2．能用集合的眼光观察出双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质，并能结合方程的特点理解这些几何性质．3．能解决与双曲线有关的简单应用问题．三、教学问题诊断分析1.从课程标准角度来讲，双曲线的定义、标准方程作为了解内容，在高考的考查当中以选择、填空为主。

《双曲线及其标准方程》教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解双曲线的定义及其几何性质；（2）掌握双曲线的标准方程及其应用。

2. 过程与方法：（1）通过观察图形，培养学生的空间想象能力；（2）利用代数方法，求解双曲线的标准方程。

3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学知识的兴趣；（2）培养学生的团队合作精神，提高解决问题的能力。

二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）双曲线的定义及其几何性质；（2）双曲线的标准方程及其应用。

2. 教学难点：（1）双曲线标准方程的求解过程；（2）理解双曲线几何性质与标准方程之间的关系。

三、教学准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体教学设备；2. 学具：教材、笔记本、作图工具。

四、教学过程1. 导入新课（1）复习相关知识：椭圆的定义及其标准方程；（2）提问：椭圆与双曲线有什么关系？它们在几何性质上有什么区别？2. 自主学习（1）学生自主阅读教材，了解双曲线的定义及其几何性质；3. 合作探究（1）学生分组讨论，探究双曲线的标准方程及其求解方法；4. 课堂讲解（1）讲解双曲线的定义及其几何性质；（2）讲解双曲线的标准方程及其求解过程。

5. 巩固练习（1）学生完成课后练习题，巩固所学知识；（2）教师点评练习题，解答学生疑问。

五、课后作业1. 完成教材课后练习题；2. 调查生活中有关双曲线应用的实例，下节课分享。

六、教学拓展1. 对比椭圆、双曲线在几何性质上的异同，引导学生思考它们的联系和应用场景。

2. 介绍双曲线在其他领域的应用，如物理学中的电磁波传播、天文学中的星系运动等。

七、课堂小结2. 强调双曲线在实际应用中的重要性。

八、教学反思1. 教师对本节课的教学内容、教学方法进行反思，思考如何提高教学效果。

九、课后跟进1. 教师通过批改作业，了解学生对双曲线知识的掌握情况，针对性地进行辅导。

2. 学生根据课堂学习和课后练习，查漏补缺，巩固双曲线知识。

十、教学评价1. 学生对本节课的学习情况进行自我评价，反思自己在学习过程中的表现。

3.2.1双曲线及其标准方程教学设计本小节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A版（2019）第二章《圆锥曲线的方程》的第二节《双曲线》。

以下是本节的课时安排：第三章圆锥曲线的方程课时内容 3.2.1双曲线及其标准方程 3.2.2双曲线的简单几何性质所在位置教材第118页教材第121页新教材内容分析双曲线是生产生活中的常见曲线，教材在用拉链画双曲线的过程中，体会双曲线的定义，感知双曲线的形状，为选择适当的坐标系，建立双曲线的标准方程、研究双曲线的几何性质做好铺垫。

通过对双曲线标准方程的讨论，使学生掌握标准方程中的a,b,c,e的几何意义及相互关系，体会坐标法研究曲线性质的基本思路与方法，感受通过代数运算研究曲线性质所具有的程序化、普适性特点。

核心素养培养通过双曲线的标准方程的推导，培养数学运算的核心素养；通过对双曲线的定义理解，培养数学抽象的核心素养。

通过双曲线的几何性质的研究，培养数学运算的核心素养；通过直线与双曲线的位置关系的判定，培养逻辑推理的核心素养。

教学主线双曲线的标准方程、几何性质学生已经学习了直线与圆的方程，已经具备了坐标法研究解析几何问题的能力。

本章学习圆锥曲线方程及几何性质，进一步提升用代数方法研究解析几何问题的方法。

1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,培养数学抽象的核心素养．2.能利用双曲线的定义和待定系数法求双曲线的标准方程，培养逻辑推理的核心素养.重点：双曲线的定义及双曲线的标准方程难点：运用双曲线的定义及标准方程解决相关问题（一）新知导入双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定定位等都要用到双曲线的性质。

本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题。

（二）双曲线及其标准方程知识点一双曲线的定义【探究1】取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1、F2处，把笔尖放于点M，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？【提示】如图，曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数；如果改变一下位置，使|MF2|－|MF1|＝常数，可得到另一条曲线．◆双曲线的定义F F？【思考1】双曲线的定义中，常数为2a，为什么2a12【提示】若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是以F1或F2为端点的射线；若2a＞|F1F2|，则动点的轨迹不存在．若a＝0，则动点的轨迹是线段F1F2的中垂线．【思考2】双曲线的定义中，为什么要加“绝对值”三个字？没有“绝对值”三个字呢？【提示】若去掉定义中的“绝对值”三个字，则动点的轨迹只能是双曲线的一支．【易错辨析】设F1、F2是双曲线的焦点，a=4,c=6,点P在双曲线上，若点P到焦点F1的距离等于9，求点P 到焦点F2的距离．【错解一】双曲线的a=4，由|PF1|－|PF2|＝8，即9－|PF2|＝8，得|PF2|＝1.【错解二】双曲线的a=4，由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，所以|9－|PF2||＝8，所以|PF2|＝1或17.【错因】错解一是对双曲线的定义中的差的绝对值掌握不够，是概念性的错误．错解二没有验证两解是否符合题意，这里用到双曲线的一个隐含条件：双曲线的一个顶点到另一分支上的点的最小距离是2a，到一个焦点的距离是c－a，到另一个焦点的距离是a＋c，本题是2或10，|PF2|＝1小于2，不合题意．【正解】双曲线的实轴长为8，由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，所以|9－|PF2||＝8，所以|PF2|＝1或17.因为|F1F2|＝12，当|PF2|＝1时，|PF1|＋|PF2|＝10＜|F1F2|，不符合公理“两点之间线段最短”，应舍去．所以|PF2|＝17.知识点二双曲线的标准方程【探究2】类比推导椭圆标准方程的方法，怎样推导双曲线的标准方程？【提示】(1)建系：以经过两焦点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．(2)设点：设M(x，y)是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c(c>0)，那么双曲线的焦点F1，F2的坐标分别是(－c,0)，(c,0)．(3)列式：由|MF1|－|MF2|＝±2a，可得(x＋c)2＋y2－(x－c)2＋y2＝±2a.(4)化简：移项，平方后可得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)．令c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为x2 a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)．◆双曲线的标准方程【思考3】怎样区分焦点在不同位置的两类双曲线的方程？它与椭圆的区分方法有何不同？【提示】椭圆由分母常数的大小判定，双曲线由各项前面的符号判定.【思考4】双曲线的标准方程与椭圆的标准方程在形式上有什么区别？a 、b 、c 之间的关系有何不同？ 【提示】a 、b 、c 之间的关系：椭圆是222b a c -=，双曲线是222b a c += （记忆方法：椭圆的焦点在顶点之内，所有a c <；双曲线焦点在顶点之外，所有a c >）【做一做1】双曲线x 210－y 22＝1的焦距为( )A ．32B ．4 2C ．3 3D ．43答案：D【做一做2】已知双曲线a ＝5，c ＝7，则该双曲线的标准方程为________．解析：∵a ＝5，c ＝7，∴b ＝c 2－a 2＝24＝26， 当焦点在x 轴上时，双曲线方程为x 225－y 224＝1； 当焦点在y 轴上时，双曲线方程为y 225－x 224＝1. 答案：x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1（三）典型例题1.求双曲线的标准方程例1.根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点P (3，154)，Q (－163，5)； (2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．[分析] 可先设出双曲线的标准方程，再构造关于a ，b 的方程组，求得a ，b ，从而求得双曲线的标准方程．注意对平方关系c 2＝a 2＋b 2的运用．[解析] (1)法一：若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由于点P (3，154)和Q (－163，5)在双曲线上，所以⎩⎨⎧9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝－16，b 2＝－9，(舍去)．若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，将P 、Q 两点坐标代入可得⎩⎨⎧22516a 2－9b 2＝1，25a 2－2569b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝9，b 2＝16，所以双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1. 综上，双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.法二：设双曲线方程为x 2m ＋y 2n ＝1(mn <0)． ∵P 、Q 两点在双曲线上，∴⎩⎨⎧9m ＋22516n ＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－16，n ＝9.∴所求双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.(2)法一：依题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝6，25a 2－4b2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝5，b 2＝1，求双曲线的标准方程为x 25－y 2＝1. 法二∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6)．∴25λ－46－λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．∴所求双曲线的标准方程是x 25－y 2＝1.【类题通法】用待定系数法求双曲线标准方程的步骤(1)定位：确定双曲线的焦点位置，如果题目没有建立坐标系，一般把焦点放在x 轴上；(2)设方程：根据焦点的位置设相应的双曲线标准方程(当焦点在两个坐标轴上都有可能时，一般设为Ax 2＋By 2＝1(AB ＜0))；(3)定值：根据题目的条件确定相关的系数的方程，解出系数，代入所设方程． 【巩固练习1】已知双曲线过M (1,1)，N (－2,5)两点，求双曲线的标准方程．[解析] 设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)．∵双曲线过M (1,1)，N (－2,5)，∴⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝1，4A ＋25B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝87，B ＝－17，∴双曲线的标准方程为x 278－y 27＝1.2.双曲线标准方程的识别例2. (1)若曲线x 2k ＋4＋y 2k －1＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( )A ．[－4,1)B ．(－∞，－4)∪(1，＋∞)C ．(－4,1)D ．(－∞，－4]∪[1，＋∞)(2)3<m <5是方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示的图形为双曲线的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析： (1)根据题意，若曲线x 2k ＋4＋y 2k －1＝1表示双曲线，则有(k ＋4)(k －1)<0，解得－4<k <1.(2)3<m <5时，m －5<0，m 2－m －6>0，方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示焦点在y 轴的双曲线；若方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示的图形为双曲线，则(m －5)(m 2－m －6)<0，所以3<m <5或m <－2，所以3<m <5是方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示的图形为双曲线的充分不必要条件．答案：(1)C (2)A【类题通法】将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为x 2m ＋y 2n＝1，则当mn ＜0时，方程表示双曲线．若⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，n ＜0，则方程表示焦点在x 轴上的双曲线；若⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，n ＞0，则方程表示焦点在y 轴上的双曲线.【巩固练习2】若k >1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在y 轴上的双曲线 D ．焦点在x 轴上的双曲线 解析：原方程化为y 2k 2－1－x 2k ＋1＝1，∵k >1，∴k 2－1>0，k ＋1>0.∴方程所表示的曲线为焦点在y 轴上的双曲线． 答案：C3.双曲线的定义及应用例3.设双曲线x 24－y 29＝1，F 1、F 2是其两个焦点，点P 在双曲线右支上. 若∠F 1PF 2＝90°，求△F 1PF 2的面积．[分析] 用双曲线定义及余弦定理求出|PF 1|·|PF 2|. [解析] 由双曲线方程知a ＝2，b ＝3，c ＝13， 设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2(r 1>r 2)，如图所示．由双曲线定义，有r 1－r 2＝2a ＝4，两边平方得r 21＋r 22－2r 1r 2＝16. ∵∠F 1PF 2＝90°，∴r 21＋r 22＝4c 2＝4×(13)2＝52.∴2r 1r 2＝52－16＝36，∴S △F 1PF 2＝12r 1r 2＝9.【类题通法】双曲线中的焦点三角形：双曲线上的点P 与其两个焦点F 1，F 2连接而成的三角形PF 1F 2称为焦点三角形．令|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，∠F 1PF 2＝θ，因|F 1F 2|＝2c ，所以有 (1)定义：|r 1－r 2|＝2a .(2)余弦公式：4c 2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos θ.(3)面积公式：S △PF 1F 2＝12r 1r 2sin θ.一般地，在△PF 1F 2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决．【巩固练习3】若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，P 是双曲线上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积．[解析] 由双曲线方程x 29－y 216＝1，可知a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.由双曲线的定义，得|PF 1|－|PF 2|＝±2a ＝±6，将此式两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝36＋2×32＝100. 如图所示，在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002|PF 1|·|PF 2|＝0，∴∠F 1PF 2＝90°，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.所以S △PF 1F 2＝12|PF 1||F 1F 2|·sin 120°＝12×65×2×32＝335，即△PF 1F 2的面积是35 3. 4. 与双曲线有关的轨迹问题例4.已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．[解析] 如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于点A 和B ，根据两圆外切的条件，得 |MC 1|＝|AC 1|＋|MA |，|MC 2|＝|BC 2|＋|MB |. ∵|MA |＝|MB |，∴|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝3－1＝2.这表明动点M 与两定点C 2，C 1的距离的差是常数2，且2<| C 1C 2|.根据双曲线的定义，动点M 的轨迹为双曲线的左支，则2a ＝2，a ＝1，c ＝3，∴b 2＝c 2－a 2＝8.因此所求动点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤1)． 【类题通法】求与双曲线有关的点的轨迹问题的方法(1)列出等量关系，化简得到方程．(2)寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程．提醒：①双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴．②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．【巩固练习4】如图所示，在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三个内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．[解析]以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A (－22，0)，B (22，0)．由正弦定理，得sin A ＝|BC |2R ，sin B ＝|AC |2R ，sin C ＝|AB |2R(R 为△ABC 的外接圆半径)．∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ，∴2|BC |＋|AB |＝2|AC |，即|AC |－|BC |＝|AB |2＝22<|AB |. 由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点)．由题意，设所求轨迹方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(x >a )， ∵a ＝2，c ＝22，∴b 2＝c 2－a 2＝6.即所求轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)． （四）操作演练 素养提升1.平面内有两个定点F 1(－5,0)和F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是( ) A.x 216－y 29＝1(x ≤－4) B.x 29－y 216＝1(x ≤－3) C.x 216－y 29＝1(x ≥4) D.x 29－y 216＝1(x ≥3)解析：由已知动点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的右支，且a ＝3，c ＝5，b 2＝c 2－a 2＝16，∴所求轨迹方程为x 29－y 216＝1(x ≥3)．答案：D2.方程x 22＋m －y 22－m＝1表示双曲线，则m 的取值范围为( ) A ．－2＜m ＜2B ．m ＞0C ．m ≥0D ．|m |≥2解析：∵已知方程表示双曲线，∴(2＋m )(2－m )＞0.∴－2＜m ＜2.答案：A3.若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3解析：由题意知||PF 2|－3|＝6，即|PF 2|－3＝±6，解得|PF 2|＝9或|PF 2|＝－3(舍去)．答案：B4.已知双曲线的中心在原点，两个焦点F 1，F 2分别为(5，0)和(－5，0)，点P 在双曲线上，且PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2的面积为1，则双曲线的方程为( )A.x 22－y 23＝1B.x 23－y 22＝1C.x 24－y 2＝1 D ．x 2－y 24＝1解析：由⎩⎨⎧|PF 1|·|PF 2|＝2，|PF 1|2＋|PF 2|2＝(25)2，⇒(|PF 1|－|PF 2|)2＝16，即2a ＝4，解得a ＝2，又c ＝5，所以b ＝1，故选C.答案：C答案：1.D 2.A 3.B 4.C【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

双曲线及其标准方程一.教学目标:（1）知识与技能：理解双曲线的定义并能独立推导标准方程；（2）过程与方法：通过定义及标准方程的挖掘与探究，使学生进一步体验类比及数形结合等思想方法的运用，提高学生的观察与探究能力；（3）情感态度与价值观：通过教师指导下的学生交流探索活动，激发学生的学习兴趣，培养学生用联系的观点认识问题。

二.教学重点:双曲线的定义三.教学难点:双曲线方程的推导四.教学过程:(一)复习回顾(二)双曲线的定义:1.问题:若把椭圆定义中”距离之和”改为”距离之差”,那么动点的轨迹是什么?它的方程是怎么样的呢?2. 双曲线的定义: 平面内与两定点的距离的差的绝对值是常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距．3.简单演示(使用几何画板).4. （*）注意：①（*）式中是差的绝对值，在条件下：时为双曲线的一支（含的一支）；时为双曲线的另一支（含的一支）.②当时，表示两条射线.③当时，不表示任何图形.(三).双曲线标准方程的推导: 现在来研究双曲线的方程．我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程．这时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答，主要引起学生思考，随即引导学生给出双曲线的方程的推导．标准方程的推导: (1).建系设点:取过焦点的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴(如图所示)建立直角坐标系,设为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是，那么的坐标分别是．又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值为.(2)点的集合:由定义可知，双曲线就是集合：}．(3)代数方程, ,(4)化简方程:将这个方程移项，使式子两边平衡,再两边平方得：,移项整理两边平方可得:(我们可以仿照椭圆的标准方程的处理方式把式子美化,使其简洁易记)由双曲线定义，即，所以设，代入上式得：．即,这就是焦点在轴上的双曲线的标准方程．两种标准方程的比较(引导学生归纳)：(1) 表示焦点在x轴上的双曲线,焦点是: ,这里.(2) 表示焦点在y轴上的双曲线,焦点是: ,这里.(只需将(1)方程的x,y互换即可得到)强调指出：(1)双曲线标准方程中的”标准是指的是双曲线的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上(这从建立直角坐标系可以看出来).(2)双曲线标准方程中，，但不一定大于；(3)如果项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果项的系数是正的，那么焦点在y轴上．注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上．(4)双曲线标准方程中的关系是，不同于椭圆方程中．(四).例题分析:练习:写出下列双曲线的焦点坐标:(1)(2)(3)(4)例1. 已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.解: 根据双曲线的焦点在轴上，设它的标准方程为：,所以所求双曲线的标准方程为:(五)小结(六)作业:课本习题8.3 第1,2,4思考题: 当时，方程表示怎样的曲线？(七)板书设计:。

双曲线及其标准方程教案教案标题：双曲线及其标准方程教学目标：1. 理解双曲线的定义和性质。

2. 掌握双曲线的标准方程的推导和应用。

3. 能够绘制双曲线的图像并进行相关分析。

教学准备：1. 教师准备：教案、教学课件、黑板、彩色粉笔、直尺、圆规等。

2. 学生准备：课本、笔记本、铅笔、直尺等。

教学过程：Step 1：导入（5分钟）教师通过提问或展示一幅双曲线的图像来引起学生对双曲线的兴趣和思考。

Step 2：双曲线的定义和性质（15分钟）1. 教师简要介绍双曲线的定义，并解释双曲线与直角坐标系的关系。

2. 教师引导学生发现双曲线的对称性、焦点和准线等性质，并进行简单的解释和讨论。

Step 3：双曲线的标准方程的推导（20分钟）1. 教师通过几何推导的方式，引导学生推导双曲线的标准方程。

2. 教师讲解标准方程的含义和各参数对双曲线图像的影响。

Step 4：双曲线的图像绘制与分析（25分钟）1. 教师通过示范，教学课件或黑板上的绘制，让学生掌握双曲线的图像绘制方法。

2. 学生根据教师的指导，自主绘制双曲线的图像，并进行相关的分析与讨论。

Step 5：练习与巩固（15分钟）1. 学生个别或小组完成相关的练习题，巩固所学内容。

2. 教师对学生的练习情况进行及时的指导和反馈。

Step 6：拓展与应用（15分钟）1. 教师引导学生思考双曲线在实际生活中的应用，并给予一些例子。

2. 学生进行小组或个人的拓展性应用探究，如双曲线在工程设计或物理问题中的应用等。

Step 7：总结与评价（10分钟）1. 教师对本节课的重点内容进行总结，并回顾学生的学习情况。

2. 学生对本节课的教学效果进行自我评价，并提出问题和建议。

教学延伸：1. 鼓励学生进行更多的双曲线图像绘制和分析练习，加深对双曲线的理解。

2. 引导学生进行更深入的研究和探索，如双曲线的参数方程等。

教学评估：1. 教师观察学生在课堂上的参与度和表现情况。

2. 学生完成的练习题和拓展性应用探究的成果。

双曲线及其标准方程教学目标：1. 了解双曲线的定义和性质。

2. 学会如何求解双曲线的标准方程。

3. 能够运用双曲线的性质和标准方程解决实际问题。

教学内容：第一章：双曲线的定义与性质1.1 双曲线的定义1.2 双曲线的性质第二章：双曲线的标准方程2.1 双曲线的标准方程2.2 双曲线标准方程的求解方法第三章：双曲线的渐近线3.1 渐近线的定义3.2 渐近线与双曲线的关系第四章：双曲线的焦点和顶点4.1 焦点的定义和性质4.2 顶点的定义和性质第五章：双曲线的参数方程5.1 参数方程的定义5.2 双曲线的参数方程求解方法教学过程：第一章：双曲线的定义与性质1.1 双曲线的定义【讲解】双曲线是平面上到两个定点（焦点）距离之差等于常数的点的轨迹。

【例题】求点P(x, y)到两个定点F1(-3, 0)和F2(3, 0)距离之差等于4的点的轨迹方程。

1.2 双曲线的性质【讲解】1. 双曲线的中心在原点。

2. 双曲线的焦点在x轴上。

3. 双曲线的实轴是连接两个焦点的线段。

4. 双曲线的渐近线是y=±(b/a)x。

【练习】判断双曲线的焦点位置和渐近线方程。

第二章：双曲线的标准方程2.1 双曲线的标准方程【讲解】双曲线的标准方程为：x^2/a^2 y^2/b^2 = 1。

【例题】求双曲线的标准方程，已知焦点在x轴上，实轴长为2a，焦距为2c。

2.2 双曲线标准方程的求解方法【讲解】求解双曲线标准方程的方法有：1. 直接法：根据双曲线的定义和性质，列出方程。

2. 代换法：将双曲线的参数方程代入标准方程求解。

【练习】求解双曲线的标准方程，给定焦点和实轴长。

第三章：双曲线的渐近线3.1 渐近线的定义【讲解】双曲线的渐近线是y=±(b/a)x。

【例题】求双曲线的渐近线方程，已知双曲线的标准方程为x^2/4 y^2/3 = 1。

3.2 渐近线与双曲线的关系【讲解】渐近线与双曲线相交于两个点，这两个点的坐标满足双曲线的方程。

双曲线教学设计共3篇双曲线课程讲解下面是整理的双曲线教学设计共3篇双曲线课程讲解，以供参考。

双曲线教学设计共1双曲线及其标准方程教学设计一.教学目标: 1.知识目标:掌握双曲线的定义并会推导其方程.2.能力目标:能根据已知条件,选择恰当的形式的双曲线方程解题;加深对类比,化简,分类讨论的思想的理解与运用.3.情感目标:利用教学内容促进学生对量变,质变规律的理解和对学生进行爱国主义教育.二.教学重点与难点分析: 本节的教学重点是准确理解双曲线的定义.本节的教学难点是选择恰当的双曲线方程解题.三.教学方法和学习方法的设计: 教法:1.在教学目标的指导下,采用”信息环境下情境性问题解决”教学模式实施教学.这种方法是以问题为中心,以学生主动探索数学知识和强化创新意识为主要特征的探究型教学方式.在探索过程中经历”提出问题———分析问题———分组讨论———提炼总结———深化反思”五个不同的教学环节.在整个教学过程中,教师利用问题引路,学生独立思考和分组讨论,从而自己解决问题.2.通过课件和动画展示数学知识的发生﹑发展过程;帮助学生理解抽象的数学概念;借助信息技术实现数学思维的“再现”.学法:在教师的组织,点拨,引导作用下,通过学生积极思考,大胆想象,总结规律,自己不能解决的问题通过小组讨论解决,充分发挥他们的主体作用,让学生置身于提出问题﹑思考问题﹑解决问题的动态过程中.四.媒体选择:多媒体课件.39五.教学过程设计: 探索问题一: 定圆圆O1内含于定圆圆O2,当圆M与圆O2内切而与圆O1外切时, 圆M的圆心M的轨迹是什么曲线? 学生: 是椭圆.教师: 面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆.若将“距离之和”改为“距离之———差”.那将会出现什么情况呢? 探索问题二: 设圆O1,圆O2外离,其半径分别为r1,r2.动圆圆M与圆O1内切而与圆O2外切,求动圆M的圆心M的轨迹又是什么曲线? 分析: 设动圆M半径为r,有O2M?O1M??r2?rr?r1??r1?r2 教师: 谁能画出点M的轨迹?(没反应)困难在哪里呢? 学生: 动圆M有无数个,画起来困难.所以点M的轨迹画不出来! (课件演示) 教师:原来点M的轨迹是一条开口向左的,向外伸展的不封闭的一条曲线,这是单曲线吗?:是否还有其他情况? 学生:如果圆M与圆O1外切而与圆O2内切情况会怎样? 此时, O1M?O2M??r1?rr?r2??r1?r2.大概是开口向右的一条曲线吧.课件演示.教师:我们把上述两条曲线称为双曲线(演示课件).请给出双曲线的定义.学生:平面内与两个定点的距离的差的绝对值是常数的点的轨迹.教师:好.请看——(课件演示)当圆O1与圆O2外切时,虽然MO1?MO2?r1?r2?O1O2,但点在线段O1O2的两侧,是两条射线.动点M必定满足一个什么样的特定条件? 40学生:应在前面的叙述中,在”常数”后加上附加条件”小于O1O2”.教师:如果这个常数为0呢?这时点的轨迹是什么? 学生:平面内与两个定点O1,O2的距离的差的绝对值是0的点的轨迹是线段O1O2的垂直平分线.所以这个常数不能为0.教师:这就完整了.称O1,O2为双曲线的焦点.它与椭圆定义比较又有和联系呢? 学生:在椭圆定义中,由三角形两边之和大于第三边的要求,而双曲线的定义中应满足三角形的两边之差的绝对值小于第三边的要求.教师:如此复杂的曲线和平面几何中最简单的结论紧密联系,这充分反映了事物间的和谐的本质属性.问题延伸: 教师:利用平面直角坐标系,我们可以求出该曲线方程,这就是数形结合的思想.问题是如何建立平面直角坐标系? 学生:以O1,O2所在的直线为x轴,线段O1O2的中垂线为y轴,建立直角坐标系.教师:为什么不以O1或O2为原点建立直角坐标系呢? 学生:那样的话, O1与O2就不能关于y轴对称,从前面我们学习的椭圆方程的推导过程中知道,所得的方程较繁.教师:对.请同学们自行推导双曲线方程.(学生推演,教师归纳).教师:同学们都能得出方程?c2?a2?x2?a2y2??c2?a2?a2.仿照推导椭圆方程的方法.可x2y2令c?a?b.则得焦点在x轴上的双曲线方程: 2?2?1.类似地,当焦点在y轴上ab222时,(或者说以O1O2所在的直线为y轴.线段O1O2的中垂线为x轴建立直角坐标系).双曲线的方程是———y2x2 学生: 2?2?1ab 41教师:它们都是双曲线的标准方程.焦点在二次项系数为正的字母所表示的轴上.思考问题一: 例1.(1)已知双曲线两个焦点的坐标为F1??5,0?,F2?5,0?,双曲线上一点P到F1,F2的距离的差的绝对值等于6,求双曲线的标准方程.(2)已知双曲线的中心是坐标原点,焦点在y轴上,焦距为12,且经过点P?2,?5?,求双曲线的方程.(3).求过点A2,43和B?2,?4的双曲线标准方程.(第(1),(2)小题为课本的例习题.) (请三位同学板演,再请三位同学讲评.第(1),(2)小题略.第3小题不少学生仍分焦点在x,y轴的情况求解.过程较繁.) 学生:第(3)题他解对了,但比较繁.我认为只要设mx2?ny2?1.然后把两点坐标分别代入,1得到两个二元一次方程组成的方程组,解得m?1, n??,表明它是双曲线,同时表示不6存在过这两点的椭圆.教师:对!讲得有道理.求中心在原点的椭圆.双曲线标准方程,只需两个独立变量.这是它们的本质属性.理解这一点,解题运算量就小多了.教师:上述图形的变化过程反映了事物在一定范围内由量的积累引起质的变化情况.它包括了目前我们所学的几种曲线.现在让我们来了解双曲线在军事上的一些应用.思考问题二:一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s.(1)爆炸点应在什么样的曲线上? (2)已知A,B两地相距800m,并且此时声速为340ms,求曲线的方程.(3)要想确定爆炸点的准确位置.应采取什么措施? (学生分组讨论.教师巡视指导.把学生解答用投影仪展示.) 学生(1)由声速及A,B两处听到爆炸声的时间差为2s,可知A,B两处与爆炸点的距离的42差为PA?PB?680?800,因此爆炸点应该位于以A,B为焦点的双曲线上.因为爆炸点离A处比离B处更远,所以爆炸点应在靠近B处的一支上.(2)如图,建立直角坐标系xoy,使A,B两点在x轴上,并且点O与线段AB中点重合.设爆炸点P的坐标为?x,y?.则PA?PB?340?2?680 ?AB 即2a?680,a?340.又AB?800 所以2c?800,c?400b2?c2?a2?因为PA?PB?680?0 所以x?0.x2y2所求双曲线方程为??1(x?0)(3).利用两个不同的观测点侧得同一炮弹爆炸声的时间差,可以确定爆炸点所在的双曲线的方程但不能确定爆炸点的准确位置.如果再增设一个观测点C,利用B, C (或A, C)两处侧得的爆炸声的时间差,可以求出另一个双曲线的方程.解这两个方程组成的方程组,就可以确定爆炸点的准确位置.变式一:若将“在A处听到爆炸声的时间比在B 处晚2s”改为“在A处听到爆炸声的时间比在B处晚40s”那么爆炸点P应在什么样的曲线上? 17变式二:若将“A,B两地相距800m”改为“A,B两地相距600m” 那么爆炸点P应在什么样的曲线上? 变式三:假若在A,B两处同时听到爆炸声, 那么爆炸点P又在怎样的曲线上呢? 六.小结: 1.双曲线的定义,关键词是绝对值的差小于F1F2.432.求双曲线方程要注意选择方程的形式,以简化计算.3.主要思想方法有类比思想及特殊与一般量变与质变的辨证关系.七.教学效果: 这节课充分发挥了多媒体教学的优势,教学设计充分体现”主导----主体”现代教学思想,彻底地改变了传统教学过程汇总学生被动接受知识的状态,学生能够自主探索获取知识,愿意学习也学会学习;学生主动参与的意识提高了.通过多媒体教学,教师把学生引上探索问题之路,调动了每一个学生学习的主动性和创造性,体现了学生的主体地位,有利于学生潜能的开发和创造性思维的培养.44双曲线教学设计共2双曲线及其标准方程一、学习目标：【知识与技能】:1、通过教学,使学生熟记双曲线的定义及其标准方程,并理解这一定义及其标准方程的探索推导过程.2、理解并熟记双曲线的焦点位置与两类标准方程之间的对应关系.【过程与方法】: 通过“实验观察”、“思考探究”与“合作交流”等一系列数学活动,培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力,使学生学会数学思考与推理,学会反思与感悟,形成良好的数学观.【情感、态度与价值观】: 通过实例的引入和剖析,让学生再一次感受到数学来源于实践又反作用于实践;生活中处处有数学.二、学情分析：1、在学生已学习椭圆的定义及其标准方程和掌握“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念之后,学习双曲线定义及其标准方程,符合学生的认知规律,学生有能力学好本节内容;2、由于学生数学运算能力不强,分析问题、解决问题的能力,逻辑推理能力,思维能力都比较弱,所以在设计的时候往往要多作铺垫,扫清他们学习上的障碍,保护他们学习的积极性,增强学习的主动性.三、重点难点：教学重点:双曲线的定义、标准方程教学难点:双曲线定义中关于绝对值,2a三、教学过程：【导入】1、以平面截圆锥为模型，让学生认识双曲线，认识圆锥曲线；2、观察生活中的双曲线；【设计意图:让学生对圆锥曲线整体有所把握,体会数学来源于生活.】探究一活动1：类比椭圆的学习，思考：研究双曲线，应该研究什么？怎么研究？从而掌握本节课的主线：实验、双曲线的定义、建系、求双曲线的标准方程；活动二：数学实验：(1)取一条拉链，拉开它的一部分，(2)在拉链拉开的两边上各取一点，分别固定在点F1，F2 上，(3)把笔尖放在拉头点M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线。

《双曲线及其标准方程》教案一、教学目标：1. 让学生理解双曲线的定义及其性质。

2. 让学生掌握双曲线的标准方程及其应用。

3. 培养学生的数学思维能力，提高学生解决实际问题的能力。

二、教学内容：1. 双曲线的定义2. 双曲线的性质3. 双曲线的标准方程4. 双曲线方程的求解方法5. 双曲线在实际问题中的应用三、教学重点与难点：1. 双曲线的定义与性质2. 双曲线的标准方程及其求解方法3. 双曲线在实际问题中的应用四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探索双曲线的定义与性质。

2. 利用案例分析法，让学生了解双曲线的标准方程及其应用。

3. 运用数形结合法，帮助学生直观理解双曲线的特点。

4. 开展小组讨论法，培养学生合作解决问题的能力。

五、教学过程：1. 导入新课：通过展示生活中常见的双曲线现象，引发学生对双曲线的兴趣。

2. 讲解双曲线的定义与性质：引导学生通过观察图形，总结双曲线的特点，进而给出双曲线的定义，并讲解其性质。

3. 介绍双曲线的标准方程：借助实例，引导学生理解双曲线标准方程的推导过程，并掌握其求解方法。

4. 应用实例：让学生运用双曲线方程解决实际问题，体会双曲线在实际中的应用价值。

5. 课堂小结：对本节课的主要内容进行总结，强调双曲线及其标准方程的重要性。

6. 布置作业：设计具有针对性的习题，巩固学生对双曲线及其标准方程的理解。

六、教学评价：1. 通过课堂提问、作业批改和课堂表现，评估学生对双曲线定义和性质的理解程度。

2. 通过课后习题和实践项目，评估学生对双曲线标准方程的掌握及应用能力。

3. 结合小组讨论和课堂互动，评估学生的合作能力和数学思维能力。

七、教学拓展：1. 探讨双曲线在其他领域的应用，如物理学中的引力定律、天文学中的星系运动等。

2. 介绍双曲线的进一步研究，如双曲线几何性质的深入分析和双曲线方程的多种求解方法。

八、教学资源：1. 教学PPT和教学视频，用于展示双曲线的图形和实例。

双曲线及其标准方程教学设计《双曲线及其标准方程教学设计》一、教学目标：1. 理解双曲线的定义及其与椭圆、抛物线的区别。

2. 掌握双曲线的基本方程及相关公式。

3. 能够根据给定的条件，绘制双曲线图像。

4. 进一步培养学生的逻辑思维和解题能力。

二、教学内容：1. 双曲线的定义和性质介绍。

2. 双曲线的标准方程及其推导。

3. 双曲线的图像绘制。

4. 双曲线的相关公式和性质。

三、教学步骤：步骤一：引入通过生活实际中双曲线的例子，如天文望远镜、人脸轮廓等，引入双曲线的概念。

与椭圆和抛物线进行对比，强调它们的差异性。

步骤二：定义和性质介绍1. 定义：讲解双曲线的定义，即平面上到两个焦点的距离之差为常数的点构成的曲线。

2. 性质介绍：介绍双曲线的主轴、焦点、顶点、渐近线等基本概念。

步骤三：标准方程及其推导1. 双曲线的标准方程：介绍双曲线的标准方程，并利用焦点、准线等性质进行推导。

2. 标准方程的变形：讲解标准方程的不同形式，如椭圆形式、抛物线形式等。

步骤四：图像绘制1. 讲解双曲线图像的绘制方法，包括选取适当的坐标系、确定焦点等步骤。

2. 通过实例演示，引导学生绘制双曲线的图像。

步骤五：相关公式和性质1. 讲解双曲线的离心率、矩形面积公式等相关公式。

2. 引导学生通过具体例题，探索双曲线的性质，如对称性、渐近线等。

四、教学方法：1. 演讲法：通过讲解双曲线的定义、性质和推导过程，确保学生获得基本概念和知识。

2. 案例分析法：通过给出实例，引导学生进行图像绘制和解题，培养学生的综合运用能力。

3. 讨论交流法：增加学生的参与度，通过小组或全班讨论，激发学生的思考和互动。

五、教学评价与反馈：1. 实时评价：通过课堂练习、问题互动等方式，及时了解学生的学习情况，发现问题和困难。

2. 练习作业：布置双曲线的习题，要求学生独立解答和绘图，检验他们对所学知识的掌握程度。

3. 反馈与讨论：对学生的作业进行批改和评价，及时反馈学生的学习表现，鼓励他们分享解题思路和经验。

双曲线及其标准方程（第一课时）（一）教课目的掌握双曲线的定义，会推导双曲线的标准方程，能依据条件求简单的双曲线标准方程．（二）教课教程【复习发问】由一位学生口答，教师板书．问题 1：椭圆的第必定义是什么？问题 2：椭圆的标准方程是如何的？【新知探究】1．双曲线的观点假如把上述定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会发生什么变化？它的方程双是如何的呢？（1）演示如图，定点F1、 F2是两个按钉，MN 是一个细套管，点 M 挪动时， MF1MF2是常数，这样就画出双曲线的一支，由MF2MF1是同一个常数，可以画出双曲线的另一支．这样作出的曲线就叫做双曲线．（ 2）设问①定点 F1、 F2与动点M不在同一平面内，可否获得双曲线？请学生回答，不可以．指出一定“在平面内”．② M 到F1与F2两点的距离的差有什么关系？请学生回答，M 到F1与F2的距离的差的绝对值相等，不然只表示双曲线的一支，即MF1MF2是一个常数．③这个常能否会大于或等F1F2？请学生回答，应小于F1F2 且大于零．当常数F1 F2 时，轨迹是以F1、 F2为端点的两条射线；当常数F1F2 时，无轨迹．（3）定义在此基础上，指引学生归纳出双曲线的定义：平面内与两个定点F1、 F2的距离的差的绝对值等于常数（小于F1 F2）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距．2．双曲线的标准方程此刻我们能够用近似求椭圆标准方程的方法来求双曲线的标准方程，请学生思虑、回想椭圆标准方程的推导方法，随即指引学生给出双曲线标准方程的推导．（ 1）建系设点取过焦点 F1、 F2的直线为 x 轴，线段 F1F 的垂直平分线为 y 轴成立在直角坐标系（如图）．设 M x， y 为双曲线上随意一点，双曲线的焦距为2c c 0F c，、 F c，0 ，又设点M与F1、 F2 ，则 1 0 2的距离的差的绝对值等于常数2a 2a 2c ．（ 2）点的焦合由定义可知，双曲线上点的会合是P M MF1MF22a （ 3）代数方程x c 2 y 2 x c 2 y 2 2a（4）化简方程由一位学生演板，教师巡视，将上述方程化为x c 2 y2 x c 2 y2 2a移项两边平方后整理得：cx a2 a x c 22y两边再平方后整理得：c2 a2 x2 a 2 y2 a 2 c 2 a2由双曲线定义知 2c 2a 即c a ，∴ c2 a2 0，设c2 a2 b2 b 0 代入上式整理得：x2 y2 1 a 0， b 0a2 b2这个方程叫做双曲线的标准方程．它所表示的双曲线的焦点在x 轴上，焦点是F c，、 F c，0 ，这里 2 2 2．1 02 c a b假如双曲线的焦点在y 轴上，即焦点F1 0， c ， F2 0， c ，能够获得方程y 2 x21 a 0， b 0a2 b2这个方程也是双曲线的标准方程．教师应该指出：（ 1）双曲线的标准方程与其定义可联系起来记忆，定义中有“差”，则方程“－”号连接，（ 2）双曲线方程中 a 0 ， b 0 ，但a不必定大于 b ；（ 3）假如x2的系数是正的，那么焦点在x轴上，假如y2的系数是正的，那么焦点在y轴上，有别于椭圆经过比较分母的大小来判断焦点的地点；（ 4 ）双曲线标准方程中a、b、c的关系是c2 a 2 b2，不同于椭圆方程中c2 a2 b2．【例题剖析】例 1 说明：椭圆x2 y2 1 与双曲线x2 15 y2 15 的焦点同样．25 9由一位学生板演达成，答案都是4，0 ．例 2 已知两点 F1 5，0 、 F2 5，0 ，求与它们的距离的差的绝对值为 6 的点的轨迹方程．假如把上边的 6 改为 12，其余条件不变，会出现什么状况？由教师解说解：按定义，所求点的轨迹是以F1、 F2为焦点的双曲线．这里 a 3 ， c 5 ，∴ b2 c2 a 2 25 9 16 故所求双曲线的方程为x2 y2 9 116若 2a 12，则2c 10 且2a 2c ，因此动点无轨迹．（三）随堂练习1．求合适以下条件的双曲线的标准方程．（ 1）a 4，b 3 ；（ 2）焦点（ 0，－ 6），（ 0， 6），经过点（ 2，－ 5）．2．已知方程mx2 ny 2 m n m 0 m n ，求它的焦点坐标．x2 y 21表示双曲线，求 m 的取值范围．3．已知方程m m2 1答案： 1．（ 1）x2 y 2 1或 y 2 x2 1 ；（2）y2x2 1；2．0，m2 n2 ；16 9 16 9 20 16 mn 3．m 2 或 m 1（四）总结提炼1．双曲线定义m MF1 MF2 2a 2a F1F2（ F1， F2为定点， a 为常数）图形标准方程x2 y21 a 0， b 0y 2 x 21 a 0， b 0 a2 b2 a2 b2焦点坐标F1 c，0 ， F2 c，0 F1 0， c ， F2 0， ca ，b， c 关系c2 a2 b2 c a 0， cb 02．双曲线的标准方程可一致写成Ax 2 By2 1 AB 0．若A 0 ， B 0 表示焦点在 x 轴上的双曲线，若 A 0 ， B 0 则表示焦点在y 轴上的双曲线．（五）部署作业1．已知平面上定点F1、F2及动点M，命题甲：“MF1 MF2 2a （a为常数）”，命题乙：“ M 点轨迹是F1、F2为焦点的双曲线” ，则甲是乙的（）A ．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件2．已知A 0，5 ，B 0，5 ， PA PB 2a ，当 a 3和5时， P 点的轨迹为（）A ．双曲线和一条直线B ．双曲线和二条射线C．双曲线一支和一条直线 D ．双曲线一支和一条射线3．双曲线4x2 y2 64 0 上一点P到它的一个焦点的距离等于1，则点P到另一焦点的距离等于 ___________ ；若P到它的一个焦点的距离等于17，则点P到另一焦点的距离等_____________ ．4．假如椭圆x2 y 2 1与双曲线x2 y2 1的焦点同样，那么 a __________．4 a 2 a 2x2y25．已知方程 14 a5 a（1）a为什么值时方程表示双曲线；（2）证明这些双曲线有共同焦点．6．已知双曲线的一个焦点坐标为F1 0， 13 ，双曲线上一点P 到两焦点距离之差的绝对值为24，求双曲线的标准方程．答案：1． B；2． D；3．17， 1 或 33；4． 1；5． 5 a 4 ，当 5 a 4 时，方程x2 y 21 表示双曲线．方程可表示4 a 5 a为 y2a x 2 1 c2 5 a 4 a 1，焦点坐标为（0，± 1）．5 4 ay2 x 2 6．1．144 25 （六）板书设计（一）复习发问问题 1问题 2 （二）双曲线的观点1演示2设问3定义双曲线及其标准方程（一）（三）双曲线的标准方程1．标准方程的推导2．说明（四）例题与练习例 1例 2练习（五）小结。