高中数学选修2-2 北师大版 1.2综合法与分析法分析法1 教案

高手支招3综合探究1.综合法和分析法综合法是证明不等式时一种较为简捷的方法,其简捷之处就在于直接运用了不等式的有关定理、性质来解决问题.当然,要想运用定理、不等式,必须具备相应的条件,另外,在证题过程中,要能够通过对条件与结论及不等式两端的差距与联系的比较、分析,制定出合理的解题策略,并加以实施.分析法是证明不等式的一种常用的方法,通常情况下,当一个不等式无法利用比较法和综合法加以证明时,可以采用这一方法.这一方法对于一些条件较为简单而结论复杂的问题往往特别有效.2.用“分析——综合法”证明问题既然是分析——综合法,所以既有分析法又有综合法,两者应有机地结合起来.“分析——综合法”又叫混合型分析法,是同时从已知条件与结论出发,寻求其间的联系而沟通思路的方法.具体来说,一方面从问题的已知条件出发,用前进型分析法经逻辑推理导出中途结果;另一方面从问题的结论出发,用追溯型分析法回溯到中间,即导出同一个中间结果,从而沟通思路使问题得到解决.由于其兼有分析综合的双重性质,因而称为“分析——综合法”,其方法结构如图所示.高手支招4典例精析【例1】设a ＞0,b ＞0,a+b=1.求证:a 1+b 1+ab1≥8. 思路分析：要证不等式是在已知条件下,从不等式的结构及其与已知条件间的关系来观察,可用综合法证之.证明：∵a ＞0,b ＞0,a+b=1,∴1=a+b≥2ab ,∴ab ≤21,∴ab 1≥4. ∴a 1+b 1+ab 1=(a+b)(a 1+b 1)+ab 1≥2ab ·2ab1+4=8, ∴a 1+b 1+ab1≥8. 【例2】已知α、β≠kπ+2π(k ∈Z ),且sinθ+cosθ=2sinα,sinθ·cosθ=sin 2β. 求证:)tan 1(2tan 1tan 1tan 12222ββαα+-=+-. 思路分析：比较已知条件和结论,发现结论中没有出现角θ,所以首先要消去它.然后由式子的结构特点,将切化弦统一函数名后分析比较不难得到结论.证明：因为(sinθ+cosθ)2-2sinθ·cosθ=1,将已知代入上式得:4sin 2α-2sin 2β=1.①另一方面,要证)tan 1(2tan 1tan 1tan 12222ββαα+-=+-,即证)cos sin 1(2cos sin 1cos sin 1cos sin 122222222ββββαααα+-=+-, 即证cos 2α-sin 2α=21(cos 2β-sin 2β), 即证1-2sin 2α=21(1-2sin 2β),即证4sin 2α-2sin 2β=1. 由于上式与①式相同,于是问题得证.【例3】 已知x+y+z=1,求证:x 2+y 2+z 2≥31. 思路分析：可由条件x+y+z=1,联想到通过直接对所要证明的结论左边的代数式的变式,再利用条件x+y+z=1,得到结果.若不能发现本题的特点,可以利用分析法来加以证明.证法一(综合法):∵x 2+y 2+z 2=31［3(x 2+y 2+z 2)］ =31［x 2+y 2+z 2+(x 2+y 2)+(y 2+z 2)+(z 2+x 2)］≥31(x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2zx)=31(x+y+z)2=31, ∴x 2+y 2+z 2≥31. 证法二(分析法):∵x+y+z=1,为了证明x 2+y 2+z 2≥31, 只需证明3x 2+3y 2+3z 2≥(x+y+z)2,即3x 2+3y 2+3z 2≥x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2zx,即2x 2+2y 2+2z 2≥2xy+2yz+2zx,即(x 2-2xy+y 2)+(y 2-2xy+z 2)+(z 2-2zx+x 2)≥0,即(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2≥0.∵(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2≥0成立,∴x 2+y 2+z 2≥31成立. 【例4】已知正方形ABCD,E 、F 分别是AB 、CD 的中点,将△ADE 沿DE 折起,如图所示.记二面角A-DE-C 的大小为θ(0＜θ＜π).(1)证明BF ∥平面ADE;(2)若△ACD 为正三角形,试判断点A 在平面BCDE 内的射影G 是否在直线EF 上,证明你的结论,并求角θ的余弦值.思路分析：本题主要考查空间中的线面关系、解三角形等基础知识,考查空间想象能力和思维能力.(1)解：证明：E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 、CD 的中点,∴EB ∥FD,且EB=FD.∴四边形EBFD 是平行四边形.∴BF ∥ED.∵ED ⊂平面AED,而BF ⊄平面AED.∴BF ∥平面AED.(2)解法一:点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上,过点A 作AG ⊥平面BCDE,垂足为G,连结GC 、GD.∵△ACD 为正三角形,∴AC=AD.∴GC=GD.∴G 在CD 的垂直平分线上.又∵EF 是CD 的垂直平分线,∴点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上.过G 作GH ⊥ED,垂足为H.连结AH,则AH ⊥DE,∴∠AHG 是二面角A-DE-C 的平面角,即∠AHG=θ.设原正方形ABCD 的边长为2a,连结AF.在折后图的△AEF 中,AF=3a,EF=2AE=2a,∴△AEF 为直角三角形,AG·EF=AE·AF.∴AG=23a. 在Rt △ADE 中,AH·DE=AD·AE.∴AH=52a.∴GH=52a.∴cosθ=AH GH =41. 解法二:点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上,连结AF,在平面AEF 内过点A 作AG′⊥EF,垂足为G′.∵△ACD 为正三角形,F 为CD 的中点.∴AF ⊥CD.又∵EF ⊥CD,∴CD ⊥平面AEF.∵AG′⊂平面AEF,∴CD ⊥AG′.又∵AG′⊥EF,且CD∩EF=F,CD ⊂平面BCDE,EF ⊂平面BCDE.∴AG′⊥平面BCDE.∴G′为A 在平面BCDE 内的射影G.∴点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上.过G 作GH ⊥ED,垂足为H,连结AH,则AH ⊥DE.∴∠AHG 是二面角A-DE-C 的平面角,即∠AHG=θ.设原正方形ABCD 的边长为2a,在折后图的△AEF 中,AF=3a,EF=2AE=2a,∴△AEF 为直角三角形,AG·EF=AE·AF.∴AG=23a. 在Rt △ADE 中,AH·DE=AD·AE,∴AH=52a.∴GH=52a.∴cosθ=41=AH GH . 解法三:点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上.连结AF ，在平面AEF 内过点A 作AG′⊥EF,垂足为G′.∵△ACD 为正三角形,F 为CD 的中点,∴AF ⊥CD.又∵EF ⊥CD,∴CD ⊥平面AEF.∵CD ⊂平面BCDE,∴平面AEF ⊥平面BCDE.又∵平面AEF∩平面BCDE=EF,AG′⊥EF,∴AG′⊥平面BCDE,即G′为A 在平面BCDE 内的射影G.∴点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上.过G 作GH ⊥DE,垂足为H,连结AH,则AH ⊥DE.∴∠AHG 是二面角A-DE-C 的平面角,即∠AHG=θ.设原正方形ABCD 的边长为2a.在折后图的△AEF 中,AF=3a,EF=2AE=2a,∴△AEF 为直角三角形,AG·EF=AE·AF.∴AG=23a. 在Rt △ADE 中,AH·DE=AD·AE.∴AH=52a.∴GH=52a.∴cosθ=41=AH GH . 【例5】如图1,已知AP 是⊙O 的切线,P 为切点,AC 是⊙O 的割线,与⊙O 交于B 、C 两点,圆心O在∠PAC的内部,点M是BC的中点.图1 图2(1)证明A,P,O,M四点共圆;(2)求∠OAM+∠APM的大小.思路分析：利用四点共圆的判定定理即四边形对角互补,可证明出四点共圆,再利用圆中同弧所对角相等,找到角的相等关系,即可求得结果.(1)证明:如图2，连结OP,OM，因为AP与⊙O相切于点P,所以OP⊥AP.因为M是⊙O的弦BC的中点,所以OM⊥BC.于是∠OPA+∠OMA=180°,由圆心O在∠PAC的内部,可知四边形APOM的对角互补,所以A,P,O,M四点共圆.(2)解:由(1)得A,P,O,M四点共圆,所以∠OAM=∠OPM.由(1)得OP⊥AP.由圆心O在∠PAC的内部,可知∠OPM+∠APM=90°.所以∠OAM+∠APM=90°.高手支招5思考发现1.用综合法证明不等式可利用已经证过的不等式作为基础,再运用不等式的性质推导出所要证的不等式,但要注意防止在推证中盲目套用公式和错用性质,要保证不等号的方向始终如一.2.综合法是“由因导果”,分析法则是“执果索因”,这两种方法是对应统一的.解题时往往是综合法和分析法联合使用:根据条件的结构特点去转化结论,得到中间结论Q;根据结论的结构特点转化条件,得到中间结论P.若由P可以推出Q成立,就可以证明结论成立.3.在分析法证明中,从结论出发的每一个步骤所得到的判断都是结论成立的充分条件,最后一步归结到已被证明了的事实.因此,从最后一步可以倒推回去,直到结论,但这个倒推过程可以省略.4.分析法是从结论出发,不断探寻,直到判定一个明显成立的条件.应用分析法,容易找到解题途径,但叙述较繁琐,不及综合法简明,这是它的缺点.5.分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法.在数学解题中,分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发,一步一步地探索下去,最后达到题设的已知条件.综合法则是从数学题的已知条件出发,经过逐步的逻辑推理,最后达到待证结论或需求问题.对于解答证明来说,分析法表现为执果索因,综合法表现为由因导果，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法,应用十分广泛.。

《综合法与分析法》教材解读一、重点知识梳理1、综合法是把整个不等式看成一个整体，从某一个或几个不等式出发经过变形、运算推导出欲证的不等式。

综合法是证明不等式时一种较为简捷的方法，其简捷之处就再于直接运用了不等式的有关定理、性质来解决问题。

当然，要想运用定理、不等式，必须具备相应的条件，另外，在证题的过程中，要能够通过对条件与结论及不等式两端的差距与联系的比较、分析，制定出合理的解题策略，并加以实施。

常用的关系有：①若ab ＞0，则b a ＋a b≥2(当且仅当a ＝b 时取“＝”号)；②若t ＞0，则t ＋1t ≥2(当且仅当t ＝1时取“＝”号)；若t ＜0，则t ＋1t≤－2(当且仅当t ＝－1时取“＝”号)；③若a ，b ∈R ，则ab ≤(a ＋b 2)2≤a 2＋b 222、分析法实质上是从欲证的不等式出发，去寻找使之成立的充分条件。

在证明的过程中，要保证变形的每一步都是可逆的，即分析得到的每一步都是上一步成立的充分条件。

分析法是证明不等式的一种常用的方法，通常情况下，当一个不等式无法利用比较法和综合法加以证明时，可以采用这一方法。

这一方法对于一些条件较为简单而结论复杂的问题往往特别有效。

分析法与综合法是两种思路截然相反的证明方法。

综合法与分析法是对应统一的，证题时常将两种方法交替使用。

在证明不等式时，对于复杂的不等式，直接运用综合法证明往往难以确定解决问题的策略，通常要分析、探索证题途径，然后再运用综合法加以证明，即用分析法探路，用综合法叙述。

综合法和分析法的推证过程如下：综合法——已知条件⇒∙∙∙⇒∙∙∙⇒ 分析法—— ⇐∙∙∙⇐∙∙∙⇐已知条件二、疑、难点解析这部分的难点是分析法证明过程的书写以及两种方法在证题中选择和使用。

结论结论例1、设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ≤3，求证：11＋a ＋11＋b ＋11＋c ≥32. 证明：注意到上述不等式当a ＝b ＝c ＝1时取等号，由二元均值不等式可得：11＋a ＋1＋a 4≥211＋a ·1＋a 4＝1，同理11＋b ＋1＋b 4≥1，11＋c ＋1＋c 4≥1， 三式累加，得11＋a ＋11＋b ＋11＋c ＋3＋a ＋b ＋c 4≥3， ∴11＋a ＋11＋b ＋11＋c ≥3－3＋a ＋b ＋c 4， ∵a ＋b ＋c ≤3，－(a ＋b ＋c)≥－3， ∴11＋a ＋11＋b ＋11＋c ≥32. 点评：由于本题所证不等式为轮换对称式(交换任意两个字母不等式不发生改变)，具有这种规律的不等式常常采用综合法证明.本题证明中涉及到了三个不等式相加，这种方法称为累加法，是证明不等式的一种基本而又重要的方法，在使用这一方法时，如能根据所证不等式取等号的条件，灵活应用平均值不等式，往往能直接推得所需结论.注意：（1）综合法是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”。

第四课时 1.2.2综合法与分析法——分析法一、学习目标：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

二、学习重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点。

难点：分析法的思考过程、特点三、学习方法：探析归纳，讲练结合四、学习过程(一)、复习：直接证明的方法：综合法、分析法。

（二）、引入新课分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。

在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。

综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。

对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。

在很多数学命题的证明中，往往需要综合地运用这两种思维方法。

分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法叫做分析法用分析法证明不等式的逻辑关系是：()()1121().....()n n n Q P P P P P P P -⇐←⇐←⇐←⇐分析法的思维特点是：执果索因分析法的书写格式：要证明命题B 为真，只需要证明命题1B 为真，从而有……这只需要证明命题2B 为真，从而又有…………这只需要证明命题A 为真而已知A 为真，故命题B 必为真（三）、例题讲解：例1：如图、已知BE ，CF 分别为△ABC 的边AC ，AB 上的高，G 为EF 的中点，H 为BC 的中点.求证：HG ⊥EF.例2、已知：a ，b 是不相等的正数。

求证：2233ab b a b a +>+。

例3、求证5273<+在本例中，如果我们从“21<25 ”出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论。

2.2分析法1.了解分析法的思维过程、特点.(重点)2.会用分析法证明数学问题.(难点)[基础·初探]教材整理分析法阅读教材P9～P11，完成下列问题.1.分析法的定义从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等，这种思维方法称为分析法.2.分析法证明的思维过程用Q表示要证明的结论，则分析法的思维过程可用框图表示为：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件3.综合法和分析法的综合应用在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q′；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P′.若由P′可以推出Q′成立，即可证明结论成立.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)分析法就是从结论推向已知.()(2)分析法的推理过程要比综合法优越.()(3)并不是所有证明的题目都可使用分析法证明.()【解析】(1)错误.分析法又叫逆推证法，但不是从结论推向已知，而是寻找使结论成立的充分条件的过程.(2)错误.分析法和综合法各有优缺点.(3)正确.一般用综合法证明的题目均可用分析法证明，但并不是所有的证明题都可使用分析法证明.【答案】(1)×(2)×(3)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]已知a>b>0，求证：8a<2－ab<8b.【精彩点拨】本题用综合法不易解决，由于变形后均为平方式，因此要先将式子两边同时开方，再找出使式子成立的充分条件.【自主解答】要证（a－b）28a<a＋b2－ab<（a－b）28b，只需证（a－b）28a<（a－b）22<（a－b）28b.∵a>b>0，∴同时除以（a－b）22，得（a＋b）24a<1<（a＋b）24b，同时开方，得a＋b2a<1<a＋b2b，只需证a ＋b <2a ，且a ＋b >2b ， 即证b <a ，即证b <a . ∵a >b >0，∴原不等式成立， 即（a －b ）28a <a ＋b 2－ab <（a －b ）28b.1.分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件为已知(或已证)的不等式.2.分析法证明数学命题的过程是逆向思维，即结论⇐…⇐…⇐…已知，因此，在叙述过程中，“要证”“只需证”“即证”等词语必不可少，否则会出现错误.[再练一题]1.(2016·合肥高二检测)已知a >0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2.【导学号：94210013】【证明】 要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2，只需证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a ＋2， 即证⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋22， 即a 2＋1a 2＋4 a 2＋1a 2＋4≥a 2＋1a 2＋2 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋4， 只需证2a 2＋1a 2≥ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a .只需证4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋2＋1a 2，即a 2＋1a 2≥2.上述不等式显然成立，故原不等式成立.的圆必与直线x ＝－p2相切.【精彩点拨】【自主解答】 如图所示，过点A ，B 分别作AA ′，BB ′垂直准线于点A ′，B ′，取AB 的中点M ，作MM ′垂直准线于点M ′.要证明以AB 为直径的圆与准线相切，只需证|MM ′|＝12|AB |.由抛物线的定义有|AA ′|＝|AF |，|BB ′|＝|BF |，所以|AB |＝|AA ′|＋|BB ′|，因此只需证|MM ′|＝12(|AA ′|＋|BB ′|).根据梯形的中位线原理可知上式是成立的，所以以过抛物线y 2＝2px 焦点的弦为直径的圆必与直线x ＝－p2相切.1.分析法是逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法.2.分析法的思路与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知，即已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等.[再练一题] 2.已知1－tan α2＋tan α＝1，求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α).【导学号：94210014】【证明】 要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)， 只需证cos α－sin αcos α＋sin α＝3，只需证1－tan α1＋tan α＝3，只需证1－tan α＝3(1＋tan α)，只需证tan α＝－12. ∵1－tan α2＋tan α＝1，∴1－tan α＝2＋tan α，即2tan α＝－1.∴tan α＝－12显然成立，∴结论得证.[探究共研型]【提示】 综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”.探究2 综合法与分析法有什么区别？【提示】 综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因.在某两个正数x ，y 之间，若插入一个数a ，则能使x ，a ，y 成等差数列；若插入两个数b ，c ，则能使x ，b ，c ，y 成等比数列，求证：(a ＋1)2≥(b ＋1)(c ＋1).【精彩点拨】 可用分析法找途径，用综合法由条件顺次推理，易于使条件与结论联系起来.【自主解答】由已知条件得⎩⎨⎧2a ＝x ＋y ，b 2＝cx ，c 2＝by ，消去x ，y 得2a ＝b 2c ＋c 2b ， 且a >0，b >0，c >0.要证(a ＋1)2≥(b ＋1)(c ＋1)， 只需证a ＋1≥（b ＋1）（c ＋1），因（b ＋1）（c ＋1）≤（b ＋1）＋（c ＋1）2，只需证a ＋1≥b ＋1＋c ＋12， 即证2a ≥b ＋c . 由于2a ＝b 2c ＋c 2b ，故只需证b2c＋c2b≥b＋c，只需证b3＋c3＝(b＋c)(b2＋c2－bc)≥(b＋c)bc，即证b2＋c2－bc≥bc，即证(b－c)2≥0.因为上式显然成立，所以(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1).综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P；若由P可推出Q，即可得证.[再练一题]3.已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，求证：1a＋b ＋1b＋c＝3a＋b＋c.【证明】要证1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c，即证a＋b＋ca＋b＋a＋b＋cb＋c＝3，即证ca＋b＋ab＋c＝1，只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，只需证c2＋a2＝ac＋b2.∵A，B，C成等差数列，∴2B＝A＋C，又A＋B＋C＝180°，∴B＝60°.∵c2＋a2－b2＝2ac cos B，∴c2＋a2－b2＝ac，∴c2＋a2＝ac＋b2，∴1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c成立.[构建·体系]1.要证明2＋7>23，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是()A.综合法B.分析法C.比较法D.归纳法【解析】由分析法和综合法定义可知选B.【答案】 B2.已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则()A.a≤12 B.ab≥12C.a2＋b2≥2D.a2＋b2≤3 【解析】∵a＋b＝2≥2ab，∴ab≤1.∵a2＋b2＝4－2ab，∴a2＋b2≥2.【答案】 C3.3a－3b<3a－b成立的充要条件是()A.ab(b－a)>0B.ab>0且a>bC.ab<0且a<bD.ab(b－a)<0【解析】3a－3b<3a－b⇔(3a－3b)3<(3a－b)3⇔a－b－33a2b＋33ab2<a－b⇔3ab2<3a2b⇔ab2<a2b⇔ab(b－a)<0.【答案】 D4.设a>0，b>0，c>0，若a＋b＋c＝1，则1a＋1b＋1c的最小值为________.【导学号：94210015】【解析】因为a＋b＋c＝1，且a>0，b>0，c>0，所以1a＋1b＋1c＝a＋b＋ca＋a＋b＋cb＋a＋b＋cc＝3＋ba＋ab＋cb＋bc＋ac＋ca≥3＋2ba·ab＋2ca·ac＋2cb·bc＝3＋6＝9.当且仅当a＝b＝c时等号成立.【答案】95.已知a，b，c∈R且不全相等，求证：a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca. 【证明】法一：(分析法)要证a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca，只需证2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ca)，只需证(a2＋b2－2ab)＋(b2＋c2－2bc)＋(c2＋a2－2ca)>0，只需证(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2>0，因为a，b，c∈R，所以(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(c－a)2≥0.又因为a，b，c不全相等，所以(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2>0成立.所以原不等式a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca成立.法二：(综合法)因为a，b，c∈R，所以(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(c－a)2≥0.又因为a，b，c不全相等，所以(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2>0，所以(a2＋b2－2ab)＋(b2＋c2－2bc)＋(c2＋a2－2ca)>0，所以2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ca)，所以a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(四)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.若a，b∈R，则1a3>1b3成立的一个充分不必要条件是()A.ab>0B.b>aC.a<b<0D.ab(a－b)<0【解析】由a<b<0⇒a3<b3<0⇒1a3>1b3，但1a3>1b3不能推出a<b<0，∴a<b<0是1a3>1b3的一个充分不必要条件.【答案】 C2.求证：7－1>11－ 5.证明：要证7－1>11－5，只需证7＋5>11＋1，即证7＋27×5＋5>11＋211＋1，即证35>11，∵35>11，∴原不等式成立.以上证明应用了()A.分析法B.综合法C.分析法与综合法配合使用D.间接证法【解析】该证明方法符合分析法的定义，故选A.【答案】 A3.(2016·汕头高二检测)要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( ) A.2ab －1－a 2b 2≤0 B.a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0C.（a ＋b ）22－1－a 2b 2≤0D.(a 2－1)(b 2－1)≥0【解析】 要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明(a 2－1)＋b 2(1－a 2)≤0，只要证明(a 2－1)(1－b 2)≤0，即证(a 2－1)(b 2－1)≥0.【答案】 D4.在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足什么条件( )A.a 2<b 2＋c 2B.a 2＝b 2＋c 2C.a 2>b 2＋c 2D.a 2≤b 2＋c 2【解析】 由余弦定理得 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc <0， ∴b 2＋c 2－a 2<0， 即b 2＋c 2<a 2. 【答案】 C5.分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a ”，索的因应是( )A.a －b >0B.a －c >0C.(a －b )(a －c )>0D.(a －b )(a －c )<0 【解析】 由题意知b 2－ac <3a ⇐b 2－ac <3a 2 ⇐b 2＋a (a ＋b )<3a 2⇐b 2＋a 2＋ab <3a 2 ⇐b 2＋ab <2a 2⇐2a 2－ab －b 2>0⇐a 2－ab ＋a 2－b 2>0⇐a (a －b )＋(a ＋b )(a －b )>0 ⇐a (a －b )－c (a －b )>0⇐(a －b )(a －c )>0，故选C. 【答案】 C二、填空题6.(2016·烟台高二检测)设A＝12a＋12b，B＝2a＋b(a>0，b>0)，则A，B的大小关系为________.【解析】∵A－B＝a＋b2ab－2a＋b＝（a＋b）2－4ab2ab（a＋b）＝（a－b）22ab（a＋b）≥0，∴A≥B.【答案】A≥B7.(2016·西安高二检测)如果a a>b b，则实数a，b应满足的条件是________.【导学号：94210016】【解析】要使a a>b b成立，只需(a a)2>(b b)2，只需a3>b3>0，即a，b 应满足a>b>0.【答案】a>b>08.如图1-2-5，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD⊥A1C(写出一个条件即可).图1-2-5【解析】要证BD⊥A1C，只需证BD⊥平面AA1C.因为AA1⊥BD，只要再添加条件AC⊥BD，即可证明BD⊥平面AA1C，从而有BD⊥A1C.【答案】AC⊥BD(或底面为菱形)三、解答题9.设a，b>0，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2.【证明】法一：分析法要证a3＋b3>a2b＋ab2成立，只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)成立，又因a＋b>0，只需证a2－ab＋b2>ab成立，只需证a2－2ab＋b2>0成立，即需证(a－b)2>0成立.而依题设a≠b，则(a－b)2>0显然成立，由此命题得证.法二：综合法a≠b⇒a－b≠0⇒(a－b)2>0⇒a2－2ab＋b2>0⇒a2－ab＋b2>ab.注意到a，b>0，a＋b>0，由上式即得(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)，∴a3＋b3>a2b＋ab2.10.(2016·深圳高二检测)已知三角形的三边长为a，b，c，其面积为S，求证：a2＋b2＋c2≥43S.【证明】要证a2＋b2＋c2≥43S，只要证a2＋b2＋(a2＋b2－2ab cos C)≥23ab sin C，即证a2＋b2≥2ab sin(C＋30°)，因为2ab sin(C＋30°)≤2ab，只需证a2＋b2≥2ab，显然上式成立，所以a2＋b2＋c2≥43S.[能力提升]1.已知a，b，c，d为正实数，且ab<cd，则()A.ab<a＋cb＋d<cdB.a＋cb＋d<ab<cdC.ab<cd<a＋cb＋dD.以上均可能【解析】先取特殊值检验，∵ab<c d，可取a＝1，b＝3，c＝1，d＝2，则a＋cb＋d＝25，满足ab<a＋cb＋d<cd.∴B，C不正确.要证ab<a＋cb＋d，∵a，b，c，d为正实数，∴只需证a(b＋d)<b(a＋c)，即证ad<bc.只需证ab<cd，而ab<cd成立，∴ab<a＋cb＋d.同理可证a＋cb＋d<cd.故A正确，D不正确.【答案】 A2.(2016·黄冈高二检测)下列不等式不成立的是()A.a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋caB.a＋b>a＋b(a>0，b>0)C.a－a－1<a－2－a－3(a≥3)D.2＋10>2 6【解析】对于A，∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；对于B，∵(a＋b)2＝a＋b＋2ab，(a＋b)2＝a＋b，∴a＋b>a＋b；对于C，要证a－a－1<a－2－a－3(a≥3)成立，只需证明a＋a－3 <a－2＋a－1，两边平方得2a－3＋2a（a－3）<2a－3＋2（a－2）（a－1），即a（a－3）<（a－2）（a－1），两边平方得a2－3a<a2－3a＋2，即0<2.因为0<2显然成立，所以原不等式成立；对于D，(2＋10)2－(26)2＝12＋45－24＝4(5－3)<0，∴2＋10 <26，故D错误.【答案】 D3.使不等式3＋22>1＋p成立的正整数p的最大值是________.【导学号：94210017】【解析】由3＋22>1＋p，得p<3＋22－1，即p<(3＋22－1)2，所以p<12＋46－42－23，由于12＋46－42－23≈12.7，因此使不等式成立的正整数p的最大值是12.【答案】124.(2016·唐山高二检测)已知a，b，c是不全相等的正数，且0<x<1，求证：log x a＋b2＋log xb＋c2＋log xa＋c2<log x a＋log x b＋log x c.【证明】要证明log xa＋b2＋log xb＋c2＋log xa＋c2<log x a＋log x b＋log x c，只需要证明log x⎝⎛⎭⎪⎫a＋b2·b＋c2·a＋c2<log x(abc)，而已知0<x<1，故只需证明a＋b2·b＋c2·a＋c2>abc.∵a，b，c是不全相等的正数，∴a＋b2≥ab>0，b＋c2≥bc>0，a＋c2≥ac>0，∴a＋b2·b＋c2·a＋c2>a2b2c2＝abc，即a＋b2·b＋c2·a＋c2>abc成立，∴log xa＋b2＋log xb＋c2＋log xa＋c2<log x a＋log x b＋log x c成立.。

分析法和综合法在生活中的运用所谓综合法，是指“由因导果”的思想方法，即从已知条件或某些已经证明过的结论出发，不断地展开思考，去探索结论的方法．所谓分析法，是指“执果索因”的思想方法，即从结论出发，不断地去寻找须知，直至达到已知事实为止的方法．例1：某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，试证明当20x =时一年的总运费与总存储费用之和最小。

（综合法）证明：由题意得总费用40044y x x=⋅+， 由均值不等式有：4004480(y x x =⋅+≥当且仅当40044x x⋅=即20x =时取“=”） 故当20x =时一年的总运费与总存储费用之和最小。

评述：本题考查了不等式在实际生活中的应用,考查了均值不等式等号成立的条件.运用的方法是综合法，从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论．例2：某种商品原来定价每件p 元，每月将卖出n 件，假若定价上涨x 成(这里x 成即10x ，0＜x ≤10).每月卖出数量将减少y 成，而售货金额变成原来的 z 倍. (1)设y=ax ，其中a 是满足31≤a ＜1的常数，用a 来表示当售货金额最大时的x 的值；(2)若y=32x ，求使售货金额比原来有所增加的x 的取值范围.（分析法） 解：(1)由题意知某商品定价上涨x 成时，上涨后的定价、每月卖出数量、每月售货金额分别是：p(1+10x )元、n(1－10y )元、npz 元，因而 )10)(10(1001),101()101(y x z y n x p npz -+=∴-⋅+=，在y=ax 的条件下，z=1001［－a ［x －a a )1(5-］2+100+a a 2)1(25-］.由于31≤a ＜1，则0＜a a )1(5-≤10.要使售货金额最大，即使z 值最大，此时x=a a )1(5 .（此处用分析法） (2)由z=1001 (10+x)(10－32x)＞1，解得0＜x ＜5. 评述：本题考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查利用均值不等式求最值的方法、阅读理解能力、建模能力.函数定义域通常都是解不等式得到，利用不等式方法可以求出函数值的取值范围.如在实际问题应用中，主要有构造不等式求解或构造函数求函数的最值等方法，本题利用最值这个“结果”去索“等号成立的条件”这个因，避免了不必要的错误.。

分析法一、教学目标：1、结合已经学过的数学实例，了解直接证明的基本方法之一：分析法；2、了解分析法的思考过程、特点。

二、教学重点：了解分析法的思考过程、特点；难点：分析法的思考过程、特点。

三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程(一)、复习：综合法的思考过程、特点（二）、引入新课在数学证明中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。

对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，它是寻求解题思路的一种基本思考方法，应用十分广泛。

从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件为止，这种证明的方法叫做分析法．这个明显成立的条件可以是：已知条件、定理、定义、公理等。

特点：执果索因。

即：要证结果Q ，只需证条件P（三）、例题探析例1、已知：a ，b 是不相等的正数。

求证：2233ab b a b a +>+。

证明：要证明2233ab b a b a +>+只需证明 )())((22b a ab b ab a b a +>+-+，只需证明 0)())((22>+-+-+b a ab b ab a b a ，只需证明 0)2)((22>+-+b ab a b a ，只需证明 0))((2>-+b a b a ，只需证明 0)(0)(2>->+b a b a 且。

由于命题的条件“a ，b 是不相等的正数”，它保证上式成立。

这样就证明了命题的结论。

例2、求证：10578+>+。

证明：要证明 10578+>+，只需证明 22)105()78(+>+，即 50210556278++>++，只需证明 5056>，即 56>50，这显然成立。

这样就证明了10578+>+ 例3、求证：函数16122)(2+-=x x x f 在区间（3，+∞）上是增加的。

2 综合法和分析法
1. 综合法是由原因推导到结果的证明方法，它是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法.综合法是直接证明的一种方法.
用P表示已知的条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证明的结论，则综合法可用框图表示为：
2. 分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、公理、定理等）为止的证明方法.分析法是直接证明的一种方法.
用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：
3.综合法和分析法是解题中常用的方法，要好好掌握.综合法是由因导果，分析法是由果索因，在解题过程中，可以用分析法探寻解题思路，用综合法写出解题过程.
一般地，含分式、根式的不等式，或从条件出发思路不明显的命题，可以考虑用分析法；命题的结论有明确的证明方向的，适宜用综合法.。

1.2 综合法和分析法教学过程：学生探究过程：证明的方法(1)、分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法.在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。

综合法则是从数学题的已知条件出发,经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。

对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。

（2）、例1．设a、b是两个正实数，且a≠b,求证：a3+b3＞a2b+ab2．证明：(用分析法思路书写）要证a3+b3＞a2b+ab2成立，只需证(a+b）(a2—ab+b2)＞ab（a+b）成立，即需证a2-ab+b2＞ab成立.（∵a+b＞0)只需证a2—2ab+b2＞0成立,即需证(a—b）2＞0成立.而由已知条件可知,a≠b,有a—b≠0，所以（a—b)2＞0显然成立，由此命题得证.(以下用综合法思路书写）∵a≠b，∴a-b≠0，∴（a-b）2＞0，即a2-2ab+b2＞0亦即a2-ab+b2＞ab由题设条件知,a+b ＞0，∴（a+b ）(a 2-ab+b 2）＞(a+b)ab即a 3+b 3＞a 2b+ab 2，由此命题得证例2、若实数1≠x ，求证：.)1()1(32242x x x x++>++证明：采用差值比较法：2242)1()1(3x x x x ++-++ =3242422221333x x x x x x x------++ =)1(234+--x x x=)1()1(222++-x x x =].43)21[()1(222++-x x ［来源：学科网] ,043)21(,0)1(,122>++>-≠x x x 且从而 ∴ ,0]43)21[()1(222>++-x x ∴ .)1()1(32242x x x x ++>++例3、已知,,+∈R b a 求证.a b b a b a b a ≥本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。

§综合法与分析法阅读下面的例题．例：若实数，满足＋＝，证明：＋≥.证明：因为＋＝，所以＋≥＝＝＝，故＋≥成立．问题：本题利用什么公式？提示：基本不等式．问题：本题证明顺序是什么？提示：从已知到结论．综合法()含义：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明的思维方法，称为综合法．()思路：综合法的基本思路是“由因导果”．()模式：综合法可以用以下的框图表示：→→→…→其中为条件，为结论.你们看过侦探小说《福尔摩斯探案集》吗？尤其是福尔摩斯在探案中的推理，给人印象太深刻了．有时，他先假定一个结论成立，然后逐步寻找这个结论成立的一个充分条件，直到找到一个明显的证据．问题：他的推理如何入手？提示：从结论成立入手．问题：他又是如何分析的？提示：逐步探寻每一结论成立的充分条件．问题：这种分析问题方法在数学问题证明中可以借鉴吗？提示：可以．分析法()含义：从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．这种证明问题的思维方法称为分析法．()思路：分析法的基本思路是“执果索因”．()模式：若用表示要证明的结论，则分析法可以用如下的框图来表示：．综合法是从“已知”看“可知”逐步推向未知，由因导果通过逐步推理寻找问题成立的必要条件．它的证明格式为：因为×××，所以×××，所以×××……所以×××成立．．分析法证明问题时，是从“未知”看“需知”，执果索因逐步靠拢“已知”，通过逐步探索，寻找问题成立的充分条件．它的证明格式：要证×××，只需证×××，只需证×××……因为×××成立，所以×××成立．[例]已知，是正数，且＋＝，求证：＋≥.[思路点拨]由已知条件出发，结合基本不等式，即可得出结论．[精解详析]法一：∵，为正数，且＋＝，∴＋≥，∴≤，∴＋＝＝≥.法二：∵，为正数，∴＋≥＞，＋≥＞，。

课时教案科目：数学教师：授课时间：第1周星期5 年2月17日精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

1.2综合法和分析法教学过程：学习目标1. 结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；2. 会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.3. 根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.学习过程一、课前准备（预习教材P45~ P47，找出疑惑之处）复习1：两类基本的证明方法: 和 .复习2：直接证明的两中方法: 和 .二、新课导学※学习探究探究任务一：综合法的应用问题：已知,0a b>,求证:2222()()4a b c b c a abc+++≥.新知：一般地,利用 ,经过一系列的推理论证,最后导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫综合法.反思：框图表示：要点：顺推证法；由因导果.※典型例题例1已知,,a b c R+∈，1a b c++=，求证：1119 a b c++≥变式：已知,,a b c R+∈，1a b c++=，求证：111(1)(1)(1)8a b c---≥.小结：用综合法证明不等式时要注意应用重要不等式和不等式性质,要注意公式应用的条件和等号成立的条件,这是一种由因索果的证明.例2 在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形.变式：设在四面体P ABC -中,90,,ABC PA PB PC ∠=︒==D 是AC 的中点.求证:PD 垂直于ABC ∆所在的平面.小结：解决数学问题时,往往要先作语言的转换,如把文字语言转换成符号语言,或把符号语言转换成图形语言等,还要通过细致的分析,把其中的隐含条件明确表示出来.※ 动手试试练1. 求证：对于任意角θ，44cos sin cos2θθθ-=练2. ,A B 为锐角，且tan tan tan A B A B +，求证：60A B +=o . （提示：算tan()A B +）三、总结提升※ 学习小结综合法是从已知的P 出发，得到一系列的结论12,,Q Q ⋅⋅⋅，直到最后的结论是Q . 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.※ 知识拓展综合法是中学数学证明中最常用的方法,它是从已知到未知,从题设到结论的逻辑推理方法,即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发,经过一系列的中间推理,最后导出所要求证的命题,综合法是一种由因索果的证明方法.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 已知22,,"1""1"x y R xy x y ∈≤+≤则是的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2. 如果821,,a a a ⋅⋅⋅为各项都大于零的等差数列，公差0≠d ，则（ ）A ．5481a a a a >B ．5481a a a a <C ．5481a a a a +>+D ．5481a a a a = 3. 设23451111log 11log 11log 11log 11P =+++，则（ ） A ．01P << B ．12P <<C ．23P <<D ．34P <<4.若关于x 的不等式22133(2)(2)22x x k k k k --+<-+的解集为1(,)2+∞，则k 的范围是____ . 5. 已知b a ,是不相等的正数，x y ==,x y 的大小关系是_________.课后作业1. 已知a ，b ，c 是全不相等的正实数， 求证:3b c a a c b a b c a b c +-+-+-++>2. 在△ABC 中，证明：2222112cos 2cos b a b B a A -=-。

第七课时 分析法一、教学目标：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

二、教学重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点。

难点：分析法的思考过程、特点三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程(一)、复习：直接证明的方法：综合法、分析法。

（二）、引入新课分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。

在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。

综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。

对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。

在很多数学命题的证明中，往往需要综合地运用这两种思维方法。

（三）、例题讲解：例1：如图、已知BE ，CF 分别为△ABC 的边AC ，AB 上的高，G 为EF 的中点，H 为BC 的中点.求证：HG ⊥EF .证明：考虑待证的结论“HG ⊥EF ” .根据命题的条件：G 为EF 的中点，连接EH ，HF ，只要证明△EHF 为等腰三角形，即EH =HF .根据条件CF ⊥AB ，且H 为BC 的中点，可知FH 是Rt △BCF 斜边上的中线.所以 BC FH 21=. 同理 BC HE 21=. 这样就证明了△EHF 为等腰三角形.所以 HG ⊥EF .例2：已知：a ，b ，c 都是正实数，且ab +bc +ca =1.求证：a +b +c 3≥. 证明：考虑待证的结论“a +b +c 3≥” ，因为a +b +c ＞0，只需证明3)(2≥++c b a ，即 3)(2222≥+++++ac bc ab c b a .又 ab +bc +ca =1，所以，只需证明1222≥++c b a ，即 01222≥-++c b a .因为 ab +bc +ca =1，所以，只需证明 0)(222≥++-++ac bc ab c b a ，只需证明 0)(2222222≥++-++ac bc ab c b a ，即0)()()(222≥-+-+-a c c b b a .由于任意实数的平方都非负，故上式成立.所以 a +b +c 3≥.例3.如图,SA ⊥平面ABC,AB ⊥BC,过A 作SB 的垂线,垂足为E,过E 作SC 的垂线,垂足为F,求证 AF ⊥SC证明:要证AF ⊥SC ，只需证:SC ⊥平面AEF ，只需证:AE ⊥SC ，只需证:AE ⊥平面SBC 只需证:AE ⊥BC ，只需证:BC ⊥平面SAB ，只需证:BC ⊥SA ，只需证:SA ⊥平面ABC因为:SA ⊥平面ABC 成立。

分析法与综合法的区别和联系一、知识要点：综合法与分析法是中学数学解题思想中最基本的两种方法．所谓综合法，是指“由因导果”的思想方法，即从已知条件或某些已经证明过的结论出发，不断地展开思考，去探索结论的方法．综合法的思维过程的全貌可概括为下面形式：“已知…可知1…可知2…结论”．所谓分析法，是指“执果索因”的思想方法，即从结论出发，不断地去寻找须知，直至达到已知事实为止的方法．分析法的思维过程的全貌可概括为下面形式：“结论须知1须知2…已知”；基本步骤：要证……只需证……，只需证……①“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件②“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达⑴用分析法和综合法证明不等式常要用等价转化的数学思想的换元的基本方法⑵用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证明过程，这是解决数学问题的一种重要的数学思想方法⑶“分析法”证明不等式就是“执果索因”，从所证的不等式出发，不断利用充分条件或者充要条件替换前面的不等式，直至找到显然成立的不等式，书写方法习惯上用“ ”来表达分析法是数学解题的两个重要策略原则的具体运用，两个重要策略原则是：正难则反原则：若从正面考虑问题比较难入手时，则可考虑从相反方向去探索解决问题的方法，即我们常说的逆向思维，由结论向条件追溯简单化原则：寻求解题思路与途径，常把较复杂的问题转化为较简单的问题，在证明较复杂的不等式时，可以考虑将这个不等式不断地进行变换转化，得到一个较易证明的不等式。

二、综合应用(2)综合证明表述如下：∵ AF是直线，且∠1=∠2(已知)，∴∠3=∠4(等量减等量其差相等)．又∵ BE＝CD(已知)，BC=BC(公共边)，∴△EBC≌△DCB(边角边)．∴ BD=CE(全等三角形对应边相等)．例1 已知AD是∠BAC的平分线，DE∥CA，且交AB于E(如图)．求证：DE=AE．思路分析(1)用综合法探求，其思路如下： (2)用分析法探求，其思路如下：至此，恰好是题设条件，问题得到解决．评述：由于分析是执果索因，立足于寻找欲证结论的合适的充分条件，利于思考；而综合法是由因导果，立足于寻找已知条件合适的必要条件，适宜于表述．因此，对于一个新的问题，多半采取先用分析法寻求解法，后用综合法有条理地表述．例如对下面这道数学问题：例2 已知AF是直线，∠1=∠2，BE=CD，如图4－4．求证：BD=CE．思路分析 (1)分析思路如下：至此步骤，均为题设中提供的条件，问题获得解决．评述：实际证题过程，分析与综合是统一运用的，把分析和综合孤立起来运用是脱离实际的．没有分析就没有综合；没有综合也没有分析．问题仅在于，在构建命题的证明路径时，有时分析法居主导地位，综合法伴随着它；有时却刚好相反，是综合法居主导地位，而分析法伴随着它例3. 已知a ，b ∈R ，且a+b=1求证：()()2252222≥+++b a证法一：（分析法）()()2258)(4225222222≥++++⇐≥+++b a b a B a⎪⎩⎪⎨⎧≥-⇐≥++-+-=⇐0)21(22584)1(1222a a a ab 因为显然成立，所以原不等式成立评述：分析法是基本的数学方法，使用时，要保证“后一步”是“前一步”的充分条件。

§2综合法与分析法（第1课时）2.1综合法【学习目标】1.了解综合法的概念，理解综合法得出思维特点；2.能用综合法证明数学问题.【重点难点】重点：综合法的理解和应用难点：利用综合法证明数学问题【导学流程】一、知识链接1.周期函数：若函数f(x)对定义域内任意自变量x ，都有f(x+T)=f(x)(T 为非零常数)，则称f(x)为周期函数，T 为函数的周期.2.求根公式：一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)，若△=b 2-4ac>0，则方程有二不等实根x 1，x 2，且ab x 22,1∆+-=. 二、自主学习认真分析例1，2，3，归纳综合法的思维特点，体验利用综合法证明数学问题的推理过程，回答：1.从命题的_______出发，利用________、________、________及_____________，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明.我们把这样的思维方法称为综合法.2.综合法的思维特征是：由因导_____.3.课本第9页练习.同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中 疑惑点疑惑内容【课堂小结】目标达成_______________________________________________________； 收获新知_______________________________________________________； 我的困惑_______________________________________________________.【达标检测】（限时20分钟） 1.设a ，b ∈R 且a ≠b ，a+b=2，则必有（ ）A 2122b a ab +≤≤ B.2122b a ab +<< C.1222<+<b a ab D.1222<+b a2.设x 1，x 2是方程x 2+px+4=0的两个不相等的实根，则（ ） A.2,221>>x x B.421>+x x C.1,421==x x D.421<+x x3.课本第12页习题1-2第2题.4.课本第12页习题1-2第3题.5.课本第12页习题1-2第7题.6.△ABC 的三边长a 、b 、c 的倒数成等差数列，求证：∠B<900.。

§2 综合法与分析法2.1 综合法学习目标核心素养1．了解综合法的思考过程、特点．(重点) 2．会用综合法证明数学命题．(难点) 1．通过对综合法概念和思维过程的理解的学习，培养逻辑推理的核心素养．2．通过对综合法应用的学习，提升逻辑推理和数学建模的核心素养.1．综合法的定义从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，这种思维方法称为综合法．2．综合法证明的思维过程用P表示已知条件、已知的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法的思维过程可用框图表示为：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q思考：综合法的证明过程属于什么思维方式？[提示]综合法是由因导果的顺推思维．1．综合法是从已知条件、定义、定理、公理出发，寻求命题成立的( )A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件[答案] B2．在△ABC中，若sin Asin B<cos Acos B，则△ABC一定是( )A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形C[由条件可知cos Acos B－sin Asin B＝cos(A＋B)＝－cos C>0，即cos C<0，∴C为钝角，故△ABC 一定是钝角三角形．]3．命题“函数f(x)＝x－xln x在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－xln x求导，得f′(x)＝－ln x，当x∈(0,1)时，f′(x)＝－ln x>0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”，应用了________的证明方法．综合法[证明过程符合综合法的证题特点，故为综合法．]用综合法证明三角问题【例1】 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2asin A ＝(2b －c)sin B ＋(2c －b)sin C.(1)求证：A 的大小为60°；(2)若sin B ＋sin C ＝ 3.证明：△ABC 为等边三角形．思路探究：(1)利用正弦定理将角与边互化，然后利用余弦定理求A. (2)结合(1)中A 的大小利用三角恒等变形证明A ＝B ＝C ＝60°. [证明] (1)由2asin A ＝(2b －c)sin B ＋(2c －b)sin C ， 得2a 2＝(2b －c)b ＋(2c －b)c ， 即bc ＝b 2＋c 2－a 2， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝60°.(2)由A ＋B ＋C ＝180°，得B ＋C ＝120°，由sin B ＋sin C ＝3，得sin B ＋sin(120°－B)＝3， sin B ＋(sin 120°cos B－cos 120°sin B)＝3， 32sin B ＋32cos B ＝3， 即sin(B ＋30°)＝1． 因为0°<B<120°， 所以30°<B＋30°<150°， 所以B ＋30°＝90°，即B ＝60°， 所以A ＝B ＝C ＝60°， 即△ABC 为等边三角形．证明三角等式的主要依据1．三角函数的定义、诱导公式及同角基本关系式． 2．和、差、倍角的三角函数公式．3．三角形中的三角函数及三角形内角和定理． 4．正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式．1．若sin θ，sin α，cos θ成等差数列，sin θ，sin β，cos θ成等比数列，求证：2cos 2α＝cos 2β.[证明] ∵sin θ，sin α，cos θ成等差数列， ∴sin θ＋cos θ＝2sin α①又∵sin θ，sin β，cos θ成等比数列， ∴sin 2β＝sin θcos θ②将②代入①2，得1＋2sin 2β＝4sin 2α， 又sin 2 β＝1－cos 2β2，sin 2α＝1－cos 2α2，∴1＋1－cos 2β＝2－2cos 2α， 即2cos 2α＝cos 2β.用综合法证明几何问题【例2】 如图，在四面体B­ACD 中，CB ＝CD ，AD⊥BD，E ，F 分别是AB ，BD 的中点．求证： (1)直线EF∥平面ACD ； (2)平面EFC⊥平面BCD.思路探究：(1)依据线面平行的判定定理，欲证明直线EF∥平面ACD ，只需在平面ACD 内找出一条直线和直线EF 平行即可；(2)根据面面垂直的判定定理，欲证明平面EFC⊥平面BCD ，只需在其中一个平面内找出一条另一个面的垂线即可．[证明] (1)因为E ，F 分别是AB ，BD 的中点，所以EF 是△ABD 的中位线，所以EF∥AD，又EF 平面ACD ，AD平面ACD ，所以直线EF∥平面ACD.(2)因为AD⊥BD，EF∥AD，所以EF⊥BD.因为CB ＝CD ，F 是BD 的中点，所以CF⊥BD.又EF∩CF＝F ，所以BD⊥平面EFC. 因为BD平面BCD ，所以平面EFC⊥平面BCD.证明空间位置关系的一般模式本题是综合运用已知条件和相关的空间位置关系的判定定理来证明的，故证明空间位置关系问题，也是综合法的一个典型应用．在证明过程中，语言转化是主旋律，转化途径为把符号语言转化为图形语言或文字语言转化为符号语言．这也是证明空间位置关系问题的一般模式．2．如图，在长方体ABCD­A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝a ，AB ＝2a ，E ，F 分别为C 1D 1，A 1D 1的中点．(1)求证：DE⊥平面BCE ； (2)求证：AF∥平面BDE. [证明](1)∵BC⊥侧面CDD 1C 1，DE侧面CDD 1C 1，∴DE⊥BC.在△CDE 中，CD ＝2a ，CE ＝DE ＝2a ，则有CD 2＝DE 2＋CE 2，∴∠D EC ＝90°，∴DE⊥EC. 又∵BC∩EC＝C ，∴DE⊥平面BCE.(2)连接EF ，A 1C 1，设AC 交BD 于点O ，连接EO ， ∵EF 12A 1C 1，AO 12A 1C 1， ∴EFAO ，∴四边形AOEF 是平行四边形， ∴AF∥OE. 又∵OE平面BDE ，AF平面BDE ，∴AF∥平面BDE.用综合法证明不等式[探究问题]1．综合法证明不等式的主要依据有哪些？ [提示] (1)a 2≥0(a∈R)．(2)a 2＋b 2≥2ab，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab，a 2＋b 2≥(a ＋b )22.(3)a ，b∈(0，＋∞)，则a ＋b 2≥ab ，特别地，b a ＋ab ≥2．(4)a －b≥0⇔a≥b；a －b≤0⇔a≤b. (5)a 2＋b 2＋c 2≥ab＋bc ＋ca. (6)b a ＋ab≥2(a，b 同号，即ab>0)．(7)||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|(a ，b∈R)．左边等号成立的条件是ab≤0，右边等号成立的条件是ab≥0. 2．使用基本不等式证明不等式时，应该注意什么？请举例说明．[提示] 使用基本不等式时，要注意①“一正、二定、三相等”；②不等式的方向性；③不等式的适度，如下例．[题] 已知，a ，b∈(0，＋∞)，求证：a b ＋b a≥a ＋ b.若直接使用基本不等式，a b ＋b a≥2ab ·b a＝24ab ，而a ＋b ≥24ab.从而达不到证明的目的，没掌握好“度”，正确的证法应该是这样的：[证明] ∵a>0，b>0， ∴ab ＋b ≥2a ，ba ＋a ≥2b ， ∴a b ＋b ＋ba ＋a ≥2a ＋2b ， 即ab ＋ba≥a ＋ b. 【例3】 已知x>0，y>0，x ＋y ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y ≥9.思路探究：解答本题可由已知条件出发，结合基本不等式利用综合法证明． [证明] 法一：因为x>0，y>0,1＝x ＋y≥2xy ， 所以xy≤14.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y ＝1＋1x ＋1y ＋1xy ＝1＋x ＋y xy ＋1xy ＝1＋2xy ≥1＋8＝9.法二：因为1＝x ＋y ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋y x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋y y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋y x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x y ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x . 又因为x>0，y>0，所以x y ＋yx ≥2，当且仅当x ＝y 时，取“＝”． 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y ≥5＋2×2＝9.1．本例条件不变，求证：1x ＋1y≥4.[证明] 法一：因为x ，y∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝1， 所以x ＋y≥2xy ，当且仅当x ＝y 时，取“＝”， 所以xy ≤12，即xy≤14，所以1x ＋1y ＝x ＋y xy ＝1xy ≥4.法二：因为x ，y∈(0，＋∞)，所以x ＋y≥2xy>0，当且仅当x ＝y 时，取“＝”， 1x ＋1y≥21xy>0， 当且仅当1x ＝1y时，取“＝”，所以(x ＋y)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ≥4. 又x ＋y ＝1，所以1x ＋1y≥4.法三：因为x ，y∈(0，＋∞)，所以1x ＋1y ＝x ＋y x ＋x ＋yy＝1＋y x ＋xy＋1≥2＋2x y ·yx＝4， 当且仅当x ＝y 时，取“＝”．2．把本例条件改为“a>0，b>0，c>0”且a ＋b ＋c ＝1，求证：ab ＋bc ＋ac≤13.[证明] ∵a>0，b>0，c>0， ∴a 2＋b 2≥2ab， b 2＋c 2≥2bc， a 2＋c 2≥2ac.∴a 2＋b 2＋c 2≥ab＋bc ＋ca.∴(a＋b ＋c)2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ≥3(ab＋bc ＋ac)． 又∵a＋b ＋c ＝1， ∴ab＋bc ＋ac≤13.综合法的证明步骤1．分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等．2．转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程．特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程．1．综合法的基本思路综合法的基本思路是“由因导果”，由已知走向求证，即从数学命题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后得到待证结论．其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法．2．综合法的特点(1)从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，由因导果，逐步推理，寻找它的必要条件．(2)证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，易于表达推理的思维轨迹．(3)由综合法证明命题“若A，则D”的思考过程如图所示：1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)综合法是由因导果的顺推证法．( )(2)综合法证明的依据是三段论．( )(3)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件．( )(1)√(2)√(3)√[(1)正确．由综合法的定义可知该说法正确．(2)正确．综合法的逻辑依据是三段论．(3)正确．综合法从“已知”看“可知”，逐步推出“未知”，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件．]2．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，mβ，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l⊥m；④若l∥m，则α⊥β.其中正确的命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4B[若l⊥α，α∥β，则l⊥β，又mβ，所以l⊥m，①正确；若l⊥α，m β，l⊥m，α与β可能相交，②不正确； 若l⊥α，mβ，α⊥β，l 与m 可能平行，③不正确；若l⊥α，l∥m，则m⊥α，又m β，所以α⊥β，④正确．]3．已知p ＝a ＋1a －2(a>2)，q ＝2－a 2＋4a －2(a>2)，则p 与q 的大小关系是________． p>q [p ＝a －2＋1a －2＋2≥2(a －2)·1a －2＋2＝4，－a 2＋4a －2＝2－(a －2)2<2，∴q<22＝4≤p.]4．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ＝1,2,3，…)．求证：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .[证明] (1)∵a n ＋1＝n ＋2n S n ，而a n ＋1＝S n ＋1－S n ，∴n ＋2nS n ＝S n ＋1－S n ， ∴S n ＋1＝2(n ＋1)n S n ，∴S n ＋1n ＋1S n n ＝2，又∵a 1＝1， ∴S 1＝1，∴S 11＝1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为1，公比为2的等比数列．(2)由(1)知⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的公比为2，而a n ＝n ＋1n －1S n －1(n≥2)，∴S n ＋1n ＋1＝4S n －1n －1＝4n －1·a n (n －1)n ＋1， ∴S n ＋1＝4a n .2.2 分析法学 习 目 标核 心 素 养1．了解分析法的思考过程、特点．(重点) 2．会用分析法证明数学命题．(难点)1．通过对分析法概念和思维过程的理解的学习，培养逻辑推理的核心素养． 2．通过对分析法应用的学习，提升逻辑推理和数学建模的核心素养.1．分析法的定义从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等，这种思维方法称为分析法．2．分析法证明的思维过程用Q 表示要证明的结论，则分析法的思维过程可用框图表示为： Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→得到一个明显成立的条件1．用分析法证明：要使①A>B，只需使②C<D.这里①是②的( ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [根据分析法的特点，寻找的是充分条件，∴②是①的充分条件，①是②的必要条件．] 2．欲证2－3<6－7，只需证( ) A ．(2＋7)2<(3＋6)2B ．(2－6)2<(3－7)2C ．(2－3)2<(6－7)2D ．(2－3－6)2<(－7)2A [欲证2－3<6－7，只需证2＋7<3＋6，只需证(2＋7)2<(3＋6)2．]3．将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 22≥ab，只需证a 2＋b 2≥2ab，也就是证________，即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立．[答案] a 2＋b 2－2ab≥0 (a －b)2≥0 (a －b)2≥0应用分析法证明不等式【例1】 已知a>b>0，求证：(a －b )28a <a ＋b 2－ab<(a －b )28b.思路探究：本题用综合法不易解决，由于变形后均为平方式，因此要先将式子两边同时开方，再找出使式子成立的充分条件．[证明] 要证(a －b )28a <a ＋b 2－ab<(a －b )28b ，只需证(a －b )28a <(a －b )22<(a －b )28b .∵a>b >0，∴同时除以(a －b )22，得(a ＋b )24a <1<(a ＋b )24b ，同时开方，得a ＋b 2a<1<a ＋b 2b，只需证a ＋b<2a ，且a ＋b>2b ， 即证b<a ，即证b<a. ∵a>b>0，∴原不等式成立， 即(a －b )28a <a ＋b 2－ab<(a －b )28b.分析法证题思维过程1．分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件为已知(或已证)的不等式．2．分析法证明数学命题的过程是逆向思维，即结论⇐…⇐…⇐…已知，因此，在叙述过程中，“要证”“只需证”“即证”等词语必不可少，否则会出现错误．1．已知a>0，求证：a 2＋1a 2－2≥a＋1a－2．[证明] 要证a 2＋1a 2－2≥a＋1a－2，只需证a 2＋1a 2＋2≥a＋1a ＋2，即证⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a＋22，即a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋1a 2＋2 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋4，只需证2a 2＋1a 2≥ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ，只需证4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋2＋1a 2，即a 2＋1a2≥2．上述不等式显然成立，故原不等式成立．用分析法证明其他问题【例2】 设函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)，若函数y ＝f(x ＋1)的图象与f(x)的图象关于y 轴对称，求证：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12为偶函数． 思路探究：由于已知条件较为复杂，且不易与要证明的结论联系，故可从要证明的结论出发，利用分析法，从函数图象的对称轴找到证明的突破口．[证明] 要证函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12为偶函数，只需证明其对称轴为直线x ＝0， 而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝ax 2＋(a ＋b)x ＋14a ＋12b ＋c ，其对称轴为x ＝－a ＋b 2a ，因此只需证－a ＋b2a ＝0，即只需证a ＝－b ，又f(x ＋1)＝ax 2＋(2a ＋b)x ＋a ＋b ＋c ，其对称轴为x ＝－2a ＋b 2a ，f(x)的对称轴为x ＝－b 2a ，由已知得x ＝－2a ＋b 2a 与x ＝－b2a 关于y 轴对称，所以－2a ＋b 2a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，得a ＝－b 成立，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12为偶函数．分析法证题思路1．分析法是逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法．2．分析法的思路与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知，即已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等．2．已知1－tan α2＋tan α＝1，求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)．[证明] 要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)， 只需证cos α－sin αcos α＋sin α＝3，只需证1－tan α1＋tan α＝3，只需证1－tan α＝3(1＋tan α)，只需证tan α＝－12.∵1－tan α2＋tan α＝1，∴1－tan α＝2＋tan α，即2tan α＝－1．∴tan α＝－12显然成立，∴结论得证．综合法与分析法的综合应用1．综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？[提示] 综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．2．综合法与分析法有什么区别？[提示] 综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因．【例3】 在某两个正数x ，y 之间，若插入一个数a ，则能使x ，a ，y 成等差数列；若插入两个数b ，c ，则能使x ，b ，c ，y 成等比数列，求证：(a ＋1)2≥(b ＋1)(c ＋1)．思路探究：可用分析法找途径，用综合法由条件顺次推理，易于使条件与结论联系起来． [证明] 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝x ＋y ，b 2＝cx ，c 2＝by ，消去x ，y 得2a ＝b 2c ＋c2b ，且a>0，b>0，c>0.要证(a ＋1)2≥(b＋1)(c ＋1)， 只需证a ＋1≥(b ＋1)(c ＋1)， 因(b ＋1)(c ＋1)≤(b ＋1)＋(c ＋1)2，只需证a ＋1≥b ＋1＋c ＋12，即证2a≥b＋c.由于2a ＝b 2c ＋c2b ，故只需证b 2c ＋c2b≥b＋c ，只需证b 3＋c 3＝(b ＋c)(b 2＋c 2－bc)≥(b＋c)bc ， 即证b 2＋c 2－bc≥bc，即证(b －c)2≥0.因为上式显然成立，所以(a ＋1)2≥(b＋1)(c ＋1)．分析综合法特点综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P ；若由P 可推出Q ，即可得证．3．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且三个内角A ，B ，C 构成等差数列．求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c.[证明] 要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c ，即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3，即证c a ＋b ＋a b ＋c＝1，只需证c(b ＋c)＋a(a ＋b)＝(a ＋b)(b ＋c)， 只需证c 2＋a 2＝ac ＋b 2. ∵A，B ，C 成等差数列， ∴2B＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝180°，∴B＝60°. ∵c 2＋a 2－b 2＝2accos B ， ∴c 2＋a 2－b 2＝ac ， ∴c 2＋a 2＝ac ＋b 2， ∴1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c成立．1．综合法与分析法的区别与联系区别：综合法 分析法 推理方向 顺推，由因导果 逆推，执果索因 解题思路 探路较难，易生枝节 容易探路， 利于思考(优点) 表述形式 形式简洁，条理清晰(优点)叙述烦琐，易出错 思考的 侧重点侧重于已知条 件提供的信息侧重于结论 提供的信息联系：分析法便于我们去寻找证明思路，而综合法便于证明过程的叙述，两种方法各有所长，因而在解决问题时，常先用分析法寻找解题思路，再用综合法有条理地表达证明过程，将两种方法结合起来运用2．分析综合法常采用同时从已知和结论出发，用综合法拓展条件，用分析法转化结论，找出已知与结论的连结点，从而构建出证明的有效路径．上面的思维模式可概括为下图：1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)分析法就是从结论推向已知．( )(2)分析法的推理过程要比综合法优越． ( ) (3)并不是所有证明的题目都可使用分析法证明．( )(1)× (2)× (3)√ [(1)错误．分析法又叫逆推证法，但不是从结论推向已知，而是寻找使结论成立的充分条件的过程．(2)错误．分析法和综合法各有优缺点．(3)正确．一般用综合法证明的题目均可用分析法证明，但并不是所有的证明题都可使用分析法证明．] 2．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a≥0)，则P ，Q 的大小关系是( ) A ．P>Q B ．P ＝QC ．P<QD ．由a 的取值决定C [当a ＝1时，P ＝1＋22，Q ＝2＋5，P<Q ，故猜想当a≥0时，P<Q.证明如下：要证P<Q ，只需证P 2<Q 2，只需证2a ＋7＋2a (a ＋7)<2a ＋7＋2(a ＋3)(a ＋4)，即证a 2＋7a<a 2＋7a ＋12，只需证0<12．∵0<12成立，∴P<Q 成立．]3．设a>0，b>0，c>0，若a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c 的最小值为________．9 [因为a ＋b ＋c ＝1，且a>0，b>0，c>0，所以1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋ca ≥3＋2b a ·a b＋2c a ·a c＋2c b ·b c＝3＋6＝9.当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立．]4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知2(tan A ＋tan B)＝tan A cos B ＋tan Bcos A .证明：a ＋b ＝2c. [证明] 由题意知2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos Acos B ＋sin B cos Acos B，化简得2(sin Acos B ＋sin Bcos A)＝sin A ＋sin B ，即2sin(A ＋B)＝sin A ＋sin B ， 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B)＝sin(π－C)＝sin C. 从而sin A ＋sin B ＝2sin C. 由正弦定理得a ＋b ＝2c. 命题得证．。

陕西省石泉县高中数学第一章推理与证明1.2 综合法和分析法1.2.1 综合法教案北师大版选修2-2
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2。

1综合法。