概率论与数理统计教程习题(第三章多维随机变量及其分布)

概率论与数理统计(经管类第三版)第3章多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布随机变量的独立性概率论与数理统计3.1 二维随机变量及其分布一、二维随机变量及其分布函数二维随机变量(p53) 1、二维随机变量(p53) 是随机试验E的样本空间设S是随机试验的样本空间，X=X(e),Y=Y(e)是是随机试验的样本空间，, 是定义在S上的随机变量上的随机变量，定义在上的随机变量，则由它们构成的一个二维向称为二维随机变量量(X,Y)称为二维随机变量或二维随机向量。

称为二维随机变量或二维随机向量。

二维随机变量(X,Y)的性质不仅与及Y有关，而的性质不仅与X及有关有关，二维随机变量的性质不仅与且还依赖于这两个随机变量的相互关系。

因此，且还依赖于这两个随机变量的相互关系。

因此，单独讨论X和的性质是不够的需要把(X,Y)作为一个整的性质是不够的，讨论和Y的性质是不够的，需要把作为一个整体来讨论。

随机变量X常称为一维随机变量常称为一维随机变量。

体来讨论。

随机变量常称为一维随机变量。

概率论与数理统计一维随机变量X――R1上的随机点坐标；上的随机点坐标；一维随机变量二维随机变量(X,Y)――R2上的随机点坐标；上的随机点坐标；二维随机变量。

n维随机变量1,X2,。

,Xn)―――Rn上的随维随机变量(X 维随机变量机点坐标。

机点坐标。

多维随机变量的研究方法也与一维类似，多维随机变量的研究方法也与一维类似，分布函数、概率密度函数或分布律来描述其用分布函数、概率密度函数或分布律来描述其统计规律。

统计规律。

概率论与数理统计二维随机变量的(联合) 2、二维随机变量的(联合)分布函数定义3.1 是二维随机变量，定义3.1 设(X,Y)是二维随机变量，二元是二维随机变量实值函数F(x,y)=P({X≤x}∩{Y≤y})=P(X≤x,Y≤y) ≤ ≤ ≤ ≤ x∈(-∞,+∞), y∈(-∞,+∞) ∈∈称为二维随机变量的分布函数，称为二维随机变量(X,Y)的分布函数，或称与Y 二维随机变量的分布函数或称X与的联合分布函数。

第三章 多维随机变量及其分布1. 在一箱子中装有12只开关, 其中2只是次品, 在其中取两次, 每次任取一只, 考虑两种试验: (1)放回抽样, (2)不放回抽样. 我们定义随机变量X , Y 如下:⎩⎨⎧=若第一次取出的是次品若第一次取出的是正品10X ,⎩⎨⎧=若第二次取出的是次品若第二次取出的是正品10Y .试分别就(1), (2)两种情况, 写出X 和Y 的联合分布律.解: (1)(X , Y )所有可能取的值为(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), 按古典概型, 显然有362512101210)0 ,0(=⋅===Y X P ,3651221210)1 ,0(=⋅===Y X P ,3651210122)0 ,1(=⋅===Y X P ,361122122)1 ,1(=⋅===Y X P ,列成表格便得X 和Y 的联合分布律(2)(X , Y )所有可能取的值为(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), 按古典概型, 显然有66451191210)0 ,0(=⋅===Y X P ,66101121210)1 ,0(=⋅===Y X P ,66101110122)0 ,1(=⋅===Y X P ,661111122)1 ,1(=⋅===Y X P ,列成表格便得X 和Y 的联合分布律2. 盒子里装有3只黑球, 2只红球, 2只白球, 在其中任取4只球, 以X 表示取到黑球的只数, 以Y 表示取到白球的只数, 求X , Y 的联合分布律.解: (X , Y )的可能取值为(i , j ), i =0, 1, 2, 3, j =0, 1, 2, i +j ≥2, 联合分布律为P (X =0, Y =2)=351472222=C C C ,P (X =1, Y =1)=35647221213=C C C C , P (X =1, Y =2)=35647122213=C C C C , P (X =2, Y =0)=351472222=C C C ,P (X =2, Y =1)=351247121223=C C C C ,P (X =2, Y =2)=353472223=C C C ,P (X =3, Y =0)=352471233=C CC ,P (X =3, Y =1)=352471233=C CC ,列成表格便得X 和Y 的联合分布律3. 设随机变量(X , Y )概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其它042 ,20)6(),(y x y x k y x f . (1)确定常数k ; (2)求P (X <1, Y <3); (3)求P (X <1.5); (4)求P (X +Y ≤4). 解: (1)因为 k dydx y x k dy dx y x f 8)6(),(1242=--==⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-,所以81=k .(2)83)6(81)3 ,1(3210⎰⎰=--=<<dy y x dx Y X P .(3)3227)6(81) ,5.1()5.1(425.10=--=∞<≤=≤⎰⎰dy y x dx Y X P X P .(4)32)6(81}4{4020=--=≤+⎰⎰-dy y x dx Y X P x .4. 将一枚硬币掷3次, 以X 表示前2次中出现H 的次数, 以Y 表示3次中出现H 的次数, 求(X , Y )的联合分布律及边缘分布律.故(X , Y )的联合分布律为(X , Y )关于X 的边缘分布律为即)21 ,2(~b X .(X , Y )关于Y 的边缘分布律为即)21 ,3(~b Y .5. 设二维随机变量(X , Y )的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤-=其它00,10)2(8.4),(xy x x y y x f , 求边缘概率密度. 解: ⎰+∞∞-=dy y x f x f X ),()(⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=⎰其它010)2(8.40x dy x y x⎩⎨⎧≤≤-=其它010)2(4.22x x x ,⎰+∞∞-=dx y x f y f Y ),()(⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=⎰其它010)2(8.41y dx x y y⎩⎨⎧≤≤+-=其它010)43(4.22y y y y . 6. 设二维随机变量(X , Y )的概率密度为⎩⎨⎧<<=-其它00),(y x e y x f y , 求边缘概率密度.解:⎰+∞∞-=dy y x f x f X ),()(⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎰+∞-000x x dy e x y⎩⎨⎧≤>=-000x x e x . ⎰+∞∞-=dx y x f y f Y ),()(⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎰-000y y dx e y y⎩⎨⎧≤>=-000y y ye y . 7. 设二维随机变量(X , Y )的概率密度为⎩⎨⎧≤≤=其它01),(22y x y cx y x f . (1)试确定常数c ; (2)求边缘概率密度. 解: (1)因为l =⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞-+-∞+∞-===c dy y c ydx cx dy dxdy y x f yy 21432),(1025210,所以421=c .(2)X 的边缘概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=⎰其它011421)(~122x ydy x x f X x X⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=其它011)1(82142x x x .X 的边缘概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=⎰+-其它010421)(~2y ydx d y f Y y y Y⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它0102725y y .8. 将某一医公司9月份和8月份收到的青霉素针剂的订货单数分别记为X 和Y , 据以往积累的资料知X 和Y 联合分布律为:(1)求边缘分布律;(2)求8月份的订单数为51时, 9月份订单数的条件人布律.解: 在表中运算得(2)因为j ijj j i i i p p y Y P y Y x X P y Y x X P ⋅=======)() ,()|(, 并且P (Y =51)=0.28=p ⋅j , 所以28628.006.0)51|51(====Y X P ,28728.007.0)51|52(====Y X P ,28528.005.0)51|53(====Y X P ,28528.005.0)51|54(====Y X P ,28528.005.0)51|55(====Y X P ,故当8月份的订单数为51时, 9月份订单数的条件分布律为9. 以X 记某一医院一天出生的婴儿的个数, Y 记男婴的个数, 记X 和Y 的联合分布律为)!(!)86.6()14.7() ,(14m n m e m Y n X P mn m -===--(m =0, 1, 2, ⋅⋅⋅, n ;n =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ).(1)求边缘分布律; (2)求条件分布律;(3)特别写出当X =20时, Y 的条件分布律. 解: (1)边缘分布律:∑∑=--=-=====nm mn m n m m n m e m Y n X P n X P 0140)!(!)86.6()14.7() ,()(∑=--⋅⋅⋅⋅=nm m n m m ne n C 014)86.6()14.7(!1 ∑=--⋅⋅=n m m n m mn C n e 014)86.6()14.7(! !14)86.614.7(!1414n e n e n n --⋅=+=(n =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ). ∑∑∞=--∞=-=====0140)!(!)86.6()14.7() ,()(n mn m n m n m e m Y n X P m Y P∑∞=---=014)!()86.6(!)14.7(n mn m m n m e m m m e e m e )14.7(!!)14.7(14.786.614--==(m =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ).(2)条件分布律:m mn m m e m n m e m Y P m Y n X P m Y n X P )14.7(!)!(!)86.6()14.7()() ,()|(14.714----======= )!()86.6(86.6m n e mn -⋅=--(n =m , m +1, ⋅⋅⋅ ).当m =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ 时1414!14)!(!)86.6()14.7()() ,()|(----=======e n m n m e n X P m Y n X P n X m Y P nmn m m n m m n m n -⋅⋅-=)1486.6()1414.7()!(!! m m mn C -⋅⋅=20)49.0()51.0((m =0, 1, ⋅⋅⋅ , n ). (3)当X =20时, Y 的条件分布为m m mC X m Y P -⋅===2020)49.0()51.0()20|((m =0, 1, ⋅⋅⋅ , 20).10. 求§1例1中的条件分布律: P (Y =k |X =i )=?解: 由于)(),()|(i X P i X k Y P i X k Y P ======, 而411) ,(⋅===i i X k Y P (i =1, 2, 3, 4, k ≤i ),41)(==i X P ,所以ii X k Y P 1)|(===(i =1, 2, 3, 4, k ≤i ),即11. 在第7题中(1)求条件概率f X |Y (x |y ), 特别, 写出当21=Y 时X 的条件概率密度; (2)求条件概率密度f Y |X (y |x ), 特别, 分别写出当31=X , 21=X 时Y 的条件概率密度; (3)求条件概率P (Y ≥1/4|X =1/2), P (Y ≥3|X =1/2). 解: (1)当0<y ≤1时,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-==其他027421)(),()|(252|y x y y yx y f y x f y x f Y Y X ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=-其他023232y x y y x ,特别, ⎪⎩⎪⎨⎧<<-==-其他02121)21(23)21|(232|x x y x f Y X ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他02121232x x .(2)当-1<x ≤1时,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-==其他01)1(821421)(),()|(2422|y x x x y x x f y x f x y f X X Y ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他01)1(222y x x y ,特别, ⎪⎩⎪⎨⎧<<-==其他0191))3/1(1(2)31|(4|y y x y f X Y⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他01914081y y ,⎪⎩⎪⎨⎧<<-==其他0141))2/1(1(2)21|(4|y y x y f X Y⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他01411532y y .(3))21|41()21|1()21|41(=<-=<==≥X Y P X Y P X Y P1153215324141141=-=⎰⎰ydy ydy ,)21|43()21|1()21|43(=<-=<==≥X Y P X Y P X Y P157153214341=-=⎰ydy .12. 设随机变量(X , Y )的概率密度为⎩⎨⎧<<<=其他010 ,||1),(x x y y x f , 求条件概率密度f Y |X (y |x ),f X |Y (x |y ). 解: f (x ,y )的边缘密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=⎰-其他0101)(x dy x f x x X ⎩⎨⎧<<=其他0102y x ,⎪⎩⎪⎨⎧<<-=⎰其他0111)(1||y dx x f y Y ⎩⎨⎧<<--=其他011||1y y ,所以当0<x <1时,⎪⎩⎪⎨⎧<==其他0||21)(),()|(|x y xx f y x f x y f X X Y , 当|y |<1时,⎪⎩⎪⎨⎧<-==其他0||||11)(),()|(|x y y x f y x f x y f Y Y X , 13. (1)问第1题中的随机变量X 和Y 是否相互独立？(2)问第12题中的随机变量X 和Y 是否相互独立？(需说明理由) 解: (1)有放回抽样时, 由于ij =p i ⋅⋅p ⋅j , 所以X 和Y 独立. 不放回抽样时, 由于ij =p i ⋅⋅p ⋅j , 所以X 和Y 不独立.(2)由于当|y |<x , 0<x <1时, f X (x )⋅f Y (y )=2x (1-|y |)≠f (x , y )=1, 故X 和Y 不独立.14. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, X 在(0, 1)上服从均匀分布, Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-00021)(2y y e y f y Y .(1)求X 和Y 的联合概率密度;(2)设含有a 的二次方程为a 2+2Xa +Y =0, 试求a 有实根的概率.解: (1)按已知X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=其他0101)(x x f X .由于X 和Y 相互独立, 故(X , Y )的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧><<=⋅=-其他0,1021)()(),(2y x e y f x f y x f y Y X .(2)要使a 有实根, 必须方程a 2+2Xa +Y =0的判别式∆=X 2-Y ≥0,⎰⎰⎰---==≥-10202102)1(21)0(22dx e dy e dx Y X P x x y⎰⎰⎰∞--∞-----=-=02121022222121[211dx e dx e dx e x x x πππ 1445.0)]0()1([21=Φ-Φ-=π.15. 第1题中的随机变量X 和Y 是否相互独立. 解: 放回抽样的情况P (X =0, Y =0)=P (X =0)⋅P (Y =0)3625=P (X =0, Y =1)=P (X =0)⋅P (Y =1)365=P (X =1, Y =0)=P (X =1)⋅P (Y =0)3651210122=⋅=P (X =1, Y =1)=P (X =1)⋅P (Y =1)361122122=⋅=.在放回抽样的情况下, X 和Y 是独立的. 不放回抽样的情况:P (X =0, Y =0)66451191210=⋅=,P (X =0)651210==,P (X =0)=P (X =0, Y =0)+P (Y =0, X =1) 6511101121191210=⋅+⋅=,P (X =0)⋅P (Y =0)36256565=⨯=,P (X =0, Y =0)≠P (X =0)P (Y =0), 所以X 和Y 不独立.14. 设X , Y 是两个相互独立的随机变量, X 在(0, 1)上服从均匀分布. Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=00021)(2y y e y f y Y .(1)求X 和Y 的联合密度;(2)设含有a 的二次方程为a 2+2Xa +Y =0,试求有实根的概率. 解: (1)X 的概率密度为⎩⎨⎧∈=其它0)1 ,0(1)(x x f X ,Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-00021)(2y y e y f y Y ,可见且知X , Y 相互独立, 于是(X , Y )的联合密度为⎪⎩⎪⎨⎧><<==-其它0,1021)()(),(2y x e y f x f y x f y Y X .(2)由于a 有实根, 从而判别式∆=4X 2-4Y ≥0, 即Y ≤X 2. 记}0,10|),{(2x y x y x D <<<<=, ⎰⎰=≤Ddxdy y x f X Y P ),(}{2⎰⎰⎰⎰⎰----=-==10010102022222121x xx y y dx e de dx dy e dxdx e x ⎰-⋅-=00222121ππ)5.08413.0(21)]2()1([21--=Φ-Φ-=ππ 1445.08555.013413.05066312.21=-=⨯-=.15. 进行打靶, 设弹着眯A (X , Y )的坐标X 和Y 相互独立, 且都服从N (0, 1)分布, 规定点A 落在区域D 1={(x , y )|x 2+y 2≤1}得2分; 点A 落在D 2={(x , y )|1≤x 2+y 2≤4}得1分; 点A 落在D 3={(x , y )|x 2+y 2>4}得0分, 以Z 记打靶的得分, 写出X , Y 的联合概率密度, 并求Z 的分布律.解: (1)因为X ~N (0, 1), Y ~N (0, 1), X 与Y 独立, 故(X , Y )的联合概率密度为22221),(y x e y x f +-=π(-∞<x <+∞, -∞<y <+∞).(2)Z 的可能取值为0, 1, 2.⎰⎰>++-=∈==421222221)),(()0(x x y x dxdy e D Y X A P Z P π⎰⎰≤++--=422222211x x y x dxdy e π2202022211--=-=⎰⎰e rdr e d r ππθ,⎰⎰≤+≤+-=∈==4122222221)),(()1(x x y x dxdy e D Y X A P Z P π22120212221----==⎰⎰e e rdr e d r ππθ,⎰⎰≤++-=∈==121222221)),(()2(x x y x dxdy e D Y X A P Z P π21201021212---==⎰⎰e rdr e d r ππθ,故得Z 的分布律为16. 设X 和Y 是相互独立的随机变量, 其概率密度分别为⎩⎨⎧≤>=-000)(x x e x f x X λλ, ⎩⎨⎧≤>=-000)(y y e y f y Y μμ, 其中λ>0, μ>0是常数, 引入随机变量⎩⎨⎧>≤=Y X YX Z 当当01.(1)求条件概率密度f X |Y (x |y ); (2)求Z 的分布律和分布函数. 解: (1)由X 和Y 相互独立, 故⎩⎨⎧>>=⋅=+-其他00 ,0)()(),()(y x e y f x f y x f y x Y X μλλμ.当y >0时,⎩⎨⎧≤>===-000)()(),()|(|x x e y f y f y x f y x f x X Y Y X λλ. (2)由于⎩⎨⎧>≤=Y X YX Z 当当01,且 μλλλλμμλμλ+===≤⎰⎰⎰+∞+-+∞+∞+-0)(0)()(dx e dydx eY X P x xy x ,μλμμλλ+=+-=≤-=>1)(1)(Y X P Y X P ,故Z 的分布律为Z 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤+<=111000)(z z z z F Z μλμ. 17. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 其概率密度分别为⎩⎨⎧<≤=其他0101)(x x f X , ⎩⎨⎧>=-其他00)(y e y f y Y , 求随机变量Z =X +Y 的概率密度.解: 由于X 和Y 是相互独立的, 故⎩⎨⎧><≤=⋅=-其他00 ,10)()(),(y x e y f x f y x f y Y X , 于是Z =X +Y 的概率密度为⎰+∞∞--⋅=dx x z f x f z f Y X Z )()()(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≤-=⎰⎰其他01)()(10)()(100z dxx z f x f z dx x z f x f Y X x YX ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤=⎰⎰----其他011010)(0)(z dxe z dx e x z x x z ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-=--其他01)1(101z e e z e zz .18. 设某种商品一周的需要量是一个随机变量, 其概率密度为⎩⎨⎧≤>=-000)(t t te t f t , 设各周的需要量是相互独立的, 试求: (1)两周需要量的概率密度; (2)三周需要量的概率密度.解: (1)设第一周需要量为X , 它是随机变量; 设第二周需要量为Y , 它是随机变量且与X 同分布, 其分布密度为⎩⎨⎧≤>=-000)(t t te t f t . Z =X +Y 表示两周需要的商品量, 由X 和Y 的独立性可知:⎩⎨⎧>>=--其它00,0),(y x ye xe y x f y x .因为z ≥0, 所以当z <0时, f z (z )=0; 当z >0时, 由和的概率公式知 ⎰∞+∞--=dy y f y z f z f Y X Z )()()(z yzy z e z dy ye ey z ----=⋅-=⎰6)(30)(, 所以 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0006)(3z z e z z f z Z .(2)设Z 表示前两周需要量, 其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0006)(3z z e z z f z Z ,设ξ表示第三周需要量, 其概率密度为:⎩⎨⎧≤>=-000)(x x xe x f x ξ,Z 与ξ相互独立, η=Z +ξ表示前三周需要量, 则因为η≥0, 所以u <0, f η(u )=0. 当u >0时 ⎰∞+∞--=dy y f y u f u f )()()(ξηdy ye e y u y uy u ---⋅-=⎰0)(3)(61u e u -=1205, 所以η的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-00120)(5u u e u u f u η.19. 设随机变量(X , Y )的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>>+=+-其他00,0)(21),()(y x e y x y x f y x .(1)问X 和Y 是否相互独立？ (2)求Z =X +Y 的概率密度. 解: (1)X 的边缘密度为⎪⎩⎪⎨⎧<>+=⎰∞++-000)(21)(0)(x x dy e y x x f y x X⎪⎩⎪⎨⎧<>+=-000)1(21x x e x x ,同理Y 的边缘密度为⎪⎩⎪⎨⎧<>+=-000)1(21)(y y e y y f y Y .因为当x >0, y >0时,)()()1)(1(41)(21),()()(y f x f e y x e y x y x f Y X y x y x =++≠+=+-+-,所以X 与Y 不独立. (2)Z 的概率密度为z z x Z e z dx e x z x dx x z x f z f --+∞∞-=-+=-=⎰⎰2021)(21),()((z >0).当z <0时, f Z (z )=0, 所以⎪⎩⎪⎨⎧<>=-0021)(2z z e z z f z Z .20. 设X , Y 是相互独立的随机变量, 它们都服从正态分布N (0, σ 2), 试验证随机变量22Y X z +=具有概率密度⎪⎩⎪⎨⎧>≥=-其他0,0)(2222σσσz e z z f z Z ,称Z 服从参数为σ(σ>0)的瑞利(Rayleigh 分布.解: 因为X , Y 相互独立且均服从正态分布N (0, σ 2), 它们的概率密度分别为22221)(σσπx e x f -=, 22221)(σσπy e y f -= , σ>0,故X 和Y 的联合密度为2222221)()(),(σπσy x e y f x f y x f +-=⋅=.22Y X z +=的分布函数为⎰⎰≤+=≤+=≤=222),()()((z)22z y x Z dxdy y x f z Y X P z Z P F⎰⎰-=zd e d 022202221ρρπσθσρπ2222202211σσρρρσz z ed e---==⎰(z >0),当z ≤0时, F Z (z )=0.于是随机变量22Y X z +=的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>≥==-其他00 ,0)()(2222σσσz e z dz z dF z f z Z Z .21. 设随机变量(X , Y )的概率密度为⎩⎨⎧+∞<<<<=+-其他00 ,10),()(y x be y x f y x . (1)试确定义常数b ;(2)求边缘概率密度f X (x ), f Y (y );(3)求函数U =max(X , Y )的分布函数. 解: (1)由10)(1=⎰⎰+∞+-dy be dx y x , 即1)1(1010=-=⎰⎰+∞--e b dy e dx e b y x ,得1111-=-=-e e e b .(2)⎪⎩⎪⎨⎧<<-=⎰∞++-其他0101)(0)(x dy e e e x f y x X⎪⎩⎪⎨⎧<<-=-其他0101x e e e x ,⎩⎨⎧≤>==-∞+∞-⎰000),()(y y e dx y x f x f y X . 显然X 与Y 独立.(3)⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--<=-1110)1(100)(x x e e e x x F x X⎩⎨⎧≤>-=-0001)(y y e x F y Y , 故U =max(X , Y )的分布函数为F U (u )=P (U ≤u )=P (max(X , Y )≤u ) =P (X ≤u , Y ≤u )=P (X ≤u )P (Y ≤u )⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤--<==--1110)1(100)()(2u eu e e e u u F u F uu Y X .22. 设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N (160, 202)分布. 随机地选取4只求其中没有一只寿命小于180小时的概率.解: 设X 1, X 2, X 3, X 4为4只电子管的寿命, 它们相互独立, 同分布, 其概率密度为:22202)160(2021)(⨯--⋅=t T et f π,⎰∞-⨯-==<18022202)160(20121)180(}180{dt t F X f X π ⎰∞--=-======1220160221du e u ut π令 8413.0)2060180(=-Φ=.设N =min{X 1, X 2, X 3, X 4}, 则P {N >180}=P {X 1>180, X 2>180, X 3>180, X 4>180} =P {X >180}4={1-p [X <180]}4 =(0.1587)4=0.00063.23. 对某种电子装置的输出测量了5次, 得到观察值X 1,X 2, X 3, X 4, X 5, 设它们是相互独立的随机变量且都服从参数σ=2的瑞种分布.(1)求Z =max{X 1, X 2, X 3, X 4, X 5}的分布函数; (2)求P (Z >4).解: 由20题知, X i (i =1, 2, ⋅⋅⋅ , 5)的概率密度均为⎪⎩⎪⎨⎧≥=-其他004)(82x e x x f x X ,分布函数为821)(x X e x F --=(x >0).(1) Z =max{X 1, X 2, X 3, X 4, X 5}的分布函数为 585m ax )1()]([)(2z e z F z F --== (z ≥0), 当z <0时, F max (z )=0.所以Z 的分布函数为⎩⎨⎧<≥-=-000)1()(58m ax 2z z e z F z .(2)P (Z >4)=1-P (Z ≤4)=1-F Z (4)5167.0)1(1)1(1525842=--=--=--e e .24. 设随机变量X , Y 相互独立, 且服从同一分布, 试证明 P (a <min{X , Y }≤b )=[P (X >a )]2-[P (X >b )]2 . 解: 因为X 与Y 相互独立且同分布, 故P (a <min{X , Y }≤b )=P (min{X , Y }≤b )-P (min{X , Y }≤a ) =1-P (min{X , Y }>b )-[1-P (min{X , Y }>a )] =P (min{X , Y }>a )-P (min{X , Y }>b ) =P (X >a , Y >a )-P (X >b , Y >b ) =P (X >a )P (Y >a )-P (X >b )P (Y >b ) =[P (X >a )]2-[P (Y >b )]2 .25. 设X , Y 是相互独立随机变量, 其分布律分别为 P (X =k )=p (k ) (k =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ), P (Y =r )=q (r ) (r =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ). 证明随机变量Z =X +Y 的分布律为∑=-==ik k i q k p i Z P 0)()()( (i =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ),证明: 因为X 与Y 独立, 且X 与Y 的分布律分别为 P (X =k )=p (k ) (k =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ), P (Y =r )=q (r ) (r =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ), 故Z =X +Y 的分布律为∑==+===ik i Y X k X P i Z P 0) ,()( ∑=-===i k k i Y k X P 0) ,( ∑=-===i k k i Y P k X P 0)()( ∑=-=i k k i q k p 0)()( (i =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ).26. 设X , Y 是相互独立的随机变量, X ~π(λ1), Y ~π(λ2), 证明Z =X +Y ~π(λ1+λ2).证明: 因为X , Y 分别服从参数为λ1, λ2的泊松分布, 故X , Y 的分布律分别为 1!)(1λλ-==e k k X P k (λ1>0),2!)(2λλ-==e r r Y P r (λ2>0),由25题结论知, Z =X +Y 的分布律为 ∑=-====ik k i Y P k X P i Z P 0)()()(∑=----⋅=ik ki k e k i e k 02121)!(!λλλλ∑=-+-⋅-=i k k i k k i k i i e 021)()!(!!!21λλλλ i i e )(!21)(21λλλλ+=+-(i =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ), 即Z =X +Y 服从参数为λ1+λ2的泊松分布.27. 设X , Y 是相互独立的随机变量, X ~b (n 1, p ), Y ~b (n 2, p ), 证明Z =X +Y ~b (n 1+n 2, p ).证明: Z 的可能取值为0, 1, 2, ⋅⋅⋅ , 2n , 因为 {Z =i }={X +Y =i }={X =0, Y =0}⋃{X =1, Y =i -1}⋃ ⋅⋅⋅ ⋃{X =i , Y =0}, 由于上述并中各事件互不相容, 且X , Y 独立, 则∑=-====ik k i Y k X P i Z P 0) ,()(∑=-===ik k i Y P k X P 0)()(∑=+-----⋅-=ik k i n ki k i n k n k k n p p C p p C 02211)1()1( ∑=--+⋅-=ik ki n k n k n n i C C p p 02121)1( in i i n n p p C -+-=2)1(21(i =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ , n 1+n 2), 所以 Z =X +Y ~b (n 1+n 2, p ),即Z =X +Y 服从参数为2n , p 的二项分布.提示:上述计算过程中用到了公式i n n ik k i n k n C C C21210+=-=⋅∑,这可由比较恒等式2121)1()1()1(n n n n x x x ++=++两边x i 的系数得到.28. 设随机变量(X , Y )的分布律为(1)求P {X =2|Y =2), P (Y =3|X =0); (2)求V =max{X , Y }的分布律; (3)求U =min{X , Y }的分布律; (4)求W =V +U 的分布律. 解: (1)由条件概率公式)2()2,2()2|2(======Y P Y X P Y X P08.005.005.005.003.001.005.0+++++=2.025.005.0==.同理 31)0|3(===X Y P .(2)变量V =max{X , Y }.显然V 是一随机变量, 其取值为V : 0, 1, 2, 3, 4, 5. P (V =0)=P (X =0, Y =0)=0,P (V =1)=P (X =1, Y =0)+P (X =1, Y =1)+P (X =0, Y =1) =0.01+0.02+0.01=0.04,P (V =2)=P (X =2, Y =0)+P (X =2, Y =1)+P (X =2, Y =2) +P (Y =2, X =0)+P (Y =2, X =1)=0.03+0.04+0.05+0.01+0.03=0.16, P (V =3)=P (X =3, Y =0)+P (X =3, Y =1) +P (X =3, Y =2)+P (X =3, Y =3)+P (Y =3, X =0)+P (Y =3, X =1)+P (Y =3, X =2), =0.05+0.05+0.05+0.06+0.01+0.02+0.04=0.28 P (V =4)=P (X =4, Y =0)+P (X =4, Y =1) +P (X =4, Y =2)+P (X =4, Y =3) =0.07+0.06+0.05+0.06=0.24, P (V =5)=P (X =5, Y =0)+ ⋅⋅⋅ +P (X =5, Y =3) =0.09+0.08+0.06+0.05=0.28. (3)显然U 的取值为0, 1, 2, 3.P (U =0)=P (X =0, Y =0)+ ⋅⋅⋅ +P (X =0, Y =3)+P (Y =0, X =1)+ ⋅⋅⋅ +P (Y =0, X =5)=0.28. 同理 P (U =1)=0.30, P (U =2)=0.25, P (U =3)=0.17. (4)W =V +U 的取值为0, 1, ⋅⋅⋅ , 8. P (W =0)=P (V =0, U =0)=0,P (W =1)=P (V =0, U =1)+P (V =1, U =0). 因为V =max{X , Y }=0又U =min{X , Y }=1 不可能上式中的P (V =0, U =1)=0,又 P (V =1, U =0)=P (X =1, Y =0)+P (X =0, Y =1)=0.2, 故 P (W =1)=P (V =0, U =1)+P (V =1, U =0)=0.2,P(W=2)=P(V+U=2)=P(V=2, U=0)+P(V=1,U=1) =P(X=2 Y=0)+P(X=0,Y=2)+P(X=1,Y=1)=0.03+0.01+0.02=0.06,P(W=3)=P(V+U=3)=P(V=3, U=0)+P(V=2,U=1) = P(X=3,Y=0)+P(X=0,Y=3)+P(X=2,Y=1)+P(X=1,Y=2)=0.05+0.01+0.04+0.03=0.13, P(W=4)=P(V=4, U=0)+P(V=3,U=1)+P(V=2,U=2) =P(X=4,Y=0)+ P(X=3,Y=1)+P(X=1,Y=3)+P(X=2,Y=2 =0.19,P(W=5)=P(V+U=5)=P(V=5, U=0)+P(V=5,U=1)+P(V=3,U=2=P(X=5 Y=0)+P(X=5,Y=1)+P(X=3,Y=2)+P(X=2,Y=3) =0.24,P(W=6)=P(V+U=6)=P(V=5, U=1)+P(V=4,U=2) +P(V=3,U=3)=P(X=5,Y=1)+P(X=4,Y=2)+P(X=3,Y=3)=0.19,P(W=7)=P(V+U=7)=P(V=5, U=2)+P(V=4,U=3) =P(V=5,U=2)+P(X=4,Y=3)=0.6+0.6=0.12, P(W=8)=P(V+U=8)=P(V=5, U=3)+P(X=5,Y=3)=0.05.。

概率论与数理统计习题 第三章 多维随机变量及其分布习题3-1 盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球.以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数，求X 和Y 的联合分布律.（X ，Y ）的可能取值为(i , j )，i =0，1，2，3， j =0，12，i + j ≥2，联合分布律为 P {X=0, Y=2 }=351472222=C C C P {X=1, Y=1 }=35647221213=C C C C P {X=1, Y=2 }=35647122213=C C C C P {X=2, Y=0 }=353472223=C C C P {X=2, Y=1 }=351247121223=C C C C P {X=2, Y=2 }=353472223=C C C P {X=3, Y=0 }=352471233=C C C P {X=3, Y=1 }=352471233=C C C P {X=3, Y=2 }=0习题3-2 设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其它,0,42,20),6(),(y x y x k y x f（1） 确定常数k ； （2） 求{}3,1<<Y X P （3） 求{}5.1<X P ； （4） 求{}4≤+Y X P . 分析：利用P {(X , Y)∈G}=⎰⎰⎰⎰⋂=oD G Gdy dx y x f dy dx y x f ),(),(再化为累次积分，其中⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=42,20),(y x y x D o解：（1）∵⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞---==2012)6(),(1dydx y x k dy dx y x f ，∴81=k （2）83)6(81)3,1(321⎰⎰=--=<<dy y x dxY X P （3）3227)6(81),5.1()5.1(425.10=--=∞<≤=≤⎰⎰dy y x dx Y X P X P （4）32)6(81)4(4020=--=≤+⎰⎰-dy y x dxY X P x习题3-3 将一枚硬币掷3次，以X 表示前2次出现H 的次数，以Y 表示3次中出现H 的次数，求Y X ,的联合分布律以及),(Y X 的边缘分布律。

习题3-11、设(,)X Y 的分布律为求a 。

解：由分布律的性质，得1,0iji jp a =>∑∑，即111111691839a +++++=，0a >， 解得，29a =。

注：考察分布律的完备性和非负性。

2、设(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，试用(,)F x y 表示：（1）{,}P a X b Y c ≤≤<；（2）{0}P Y b <<；（3）{,}P X a Y b ≥<。

解：根据分布函数的定义(,){,}F x y P X x Y y =≤≤，得（1）{,}{,}{,}(,)(,)P a X b Y c P X b Y c P X a Y c F b c F a c ---≤≤<=≤<-<<=-； （2）{0}{,}{,0}(,)(,0)P Y b P X Y b P X Y F b F -<<=≤+∞<-≤+∞≤=+∞-+∞； （3）{,}{,}{,}(,)(,)P X a Y b P X Y b P X a Y b F b F a b ---≥<=≤+∞<-<<=+∞-。

3、设二维随机变量(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，分布律如下：试求：（1）13{,04}22P X Y <<<<；（2）{12,34}P X Y ≤≤≤≤；（3）(2,3)F 。

解：由(,)X Y 的分布律，得 （1）1311{,04}{1,1}{1,2}{1,3}002244P X Y P X Y P X Y P X Y <<<<===+==+===++=； （2）{12,34}{1,3}{1,4}{2,3}{2,4}P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y ≤≤≤≤===+==+==+==1150016416=+++=；（3）(2,3){2,3}{1,1}{1,2}{1,3}F P X Y P X Y P X Y P X Y =≤≤===+==+==1119{2,1}{2,2}{2,3}000416416P X Y P X Y P X Y +==+==+===+++++=。

第三章多维随机变量及其分布3.1 二维随机变量及其分布习题1设(X,Y)的分布律为X\Y12311/61/91/1821/3a1/9求a.分析：dsfsd1f6d54654646解答：由分布律性质∑i⋅jPij=1,可知1/6+1/9+1/18+1/3+a+1/9=1,解得a=2/9.习题2(1)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：(1)P{a<X≤b,Y≤c};解答：P{a<X≤b,Y≤c}=F(b,c)-F(a,c).习题2(2)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：(2)P{0<Y≤b};解答：P{0<Y≤b}=F(+∞,b)-F(+∞,0).习题2(3)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：(3)P{X>a,Y≤b}.解答：P{X>a,Y≤b}=F(+∞,b)-F(a,b).习题3(1)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：试求：(1)P{12<X<32,0<Y<4;解答：P{12<X<23,0<Y<4P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}=P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}=14+0+0=14.习题3(2)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：试求：(2)P{1≤X≤2,3≤Y≤4};解答：P{1≤X≤2,3≤Y≤4}=P{X=1,Y=3}+P{X=1,Y=4}+P{X=2,Y=3}+P{X=2,Y=4}=0+116+0+14=516.习题3(3)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：试求：(3)F(2,3).解答：F(2,3)=P(1,1)+P(1,2)+P(1,3)+P(2,1)+P(2,2)+P(2,3)=14+0+0+116+14+0=916.习题4设X,Y为随机变量，且P{X≥0,Y≥0}=37,P{X≥0}=P{Y≥0}=47,求P{max{X,Y}≥0}.解答：P{max{X,Y}≥0}=P{X,Y至少一个大于等于0}=P{X≥0}+P{Y≥0}-P{X≥0,Y≥0}=47+47-37=57.习题5(X,Y)只取下列数值中的值：(0,0),(-1,1),(-1,13),(2,0)且相应概率依次为16,13,112,512,请列出(X,Y)的概率分布表，并写出关于Y的边缘分布.解答：(1)因为所给的一组概率实数显然均大于零，且有16+13+112+512=1,故所给的一组实数必是某二维随机变量(X,Y)的联合概率分布. 因(X,Y)只取上述四组可能值，故事件：{X=-1,Y=0},{X=0,Y=13,{X=0,Y=1},{X=2,Y=13,{X=2,Y=1}均为不可能事件，其概率必为零. 因而得到下表：Y01/31pk7/121/121/3习题6设随机向量(X,Y)服从二维正态分布N(0,0,102,102,0),其概率密度为f(x,y)=1200πex2+y2200,求P{X≤Y}.解答：由于P{X≤Y}+P{X>Y}=1，且由正态分布图形的对称性，知P{X≤Y}=P{X>Y},故P{X≤Y}=12.习题7设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={k(6-x-y),0<x<2,2<y<40,其它, (1)确定常数k;(2)求P{X<1,Y<3};(3)求P{X<1.5};(4)求P{X+Y≤4}.解答：如图所示(1)由∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=1,确定常数k.∫02∫24k(6-x-y)dydx=k∫02(6-2x)dx=8k=1,所以k=18.(2)P{X<1,Y<3}=∫01dx∫2318(6-x-y)dy=38.(3)P{X<1.5}=∫01.5dx∫2418(6-x-y)dy=2732.(4)P{X+Y≤4}=∫02dx∫24-x18(6-x-y)dy=23.习题8已知X和Y的联合密度为f(x,y)={cxy,0≤x≤1,0≤y≤10,其它,试求：(1)常数c;(2)X和Y的联合分布函数F(x,y).解答：(1)由于1=∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=c∫01∫01xydxdy=c4,c=4.(2)当x≤0或y≤0时，显然F(x,y)=0;当x≥1,y≥1时，显然F(x,y)=1;设0≤x≤1,0≤y≤1,有F(x,y)=∫-∞x∫-∞yf(u,v)dudv=4∫0xudu∫0yvdv=x2y2.设0≤x≤1,y>1,有F(x,y)=P{X≤1,Y≤y}=4∫0xudu∫01ydy=x2.最后，设x>1,0≤y≤1,有F(x,y)=P{X≤1,Y≤y}=4∫01xdx∫0yvdv=y2.函数F(x,y)在平面各区域的表达式F(x,y)={0,x≤0或y≤0x2,0≤x≤1,y>1x2y2,0≤x≤1,0≤y≤1.y2,x>习题9设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={4.8y(2-x),0≤x≤1,x≤y≤10,其它,求边缘概率密度fY(y).解答：fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy={∫0x4.8y(2-x)dy,0≤x≤10,其它={2.4x2(2-x),0≤x≤10,其它.fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx={∫0y4.8y(2-x)dx,0≤y≤10,其它={2.4y(4y-y2),0≤y≤10,其它.习题10设(X,Y)在曲线y=x2,y=x所围成的区域G里服从均匀分布，求联合分布密度和边缘分布密度. 解答：区域G的面积A=∫01(x-x2)dx=16,由题设知(X,Y)的联合分布密度为f(x,y)={6,0≤x≤1,x2≤y≤x0,其它,从而fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy=6∫x2xdy=6(x-x2),0≤x≤1,即fX(x)={6(x-x2),0≤x≤10,其它,fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx=6∫yydx=6(y-y),0≤y≤1,即fY(y)={6(y-y),0≤y≤10,其它.3.2 条件分布与随机变量的独立性习题1二维随机变量(X,Y)的分布律为从而(X,Y)的联合概率分布为P{X≤a,∣X∣≤a}=P{X≤a}⋅P{∣X∣≤a},而事件{∣X∣≤a}⊂{X≤a},故由上式有P{∣X∣≤a}==P{X≤a}⋅P{∣X∣≤a},⇒P{∣X∣≤a}(1-P{X≤a})=0⇒P{∣X≤a∣}=0或1=P{X≤a}⋅(∀a>0)但当a>0时，两者均不成立，出现矛盾，故X与∣X∣不独立.习题9设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在(0,1)上服从均匀分布，Y的概率密度为fY(y)={12e-y2,y>00,y≤0,(1)求X与Y的联合概率密度；(2)设有a的二次方程a2+2Xa+Y=0,求它有实根的概率.解答：(1)由题设易知fX(x)={1,0<x<10,其它,又X,Y相互独立，故X与Y的联合概率密度为f(x,y)=fX(x)⋅fY(y)={12e-y2,0<x<1,y>00,其它;(2)因{a有实根}={判别式Δ2=4X2-4Y≥0}={X2≥Y},故如图所示得到：P{a有实根}=P{X2≥Y}=∫∫x2>yf(x,y)dxdy=∫01dx∫0x212e-y2dy=-∫01e-x22dx=1-[∫-∞1e-x22dx-∫-∞0e-x22dx]=1-2π[12π∫-∞1e-x22dx-12π∫-∞0e-x22dx]=1-2π[Φ(1)-Φ(0),又Φ(1)=0.8413,Φ(0)=0.5,于是Φ(1)-Φ(0)=0.3413,所以P{a有实根}=1-2π[Φ(1)-Φ(0)]≈1-2.51×0.3413=0.1433.3.3 二维随机变量函数的分布习题1设随机变量X和Y相互独立，且都等可能地取1,2,3为值，求随机变量U=max{X,Y}和V=min{X,Y}的联合分布.解答：由于U≥V,可见P{U=i,V=j}=0(i<j).此外，有P{U=V=i}=P{X=Y=i}=1/9(i=1,2,3),P{U=i,V=j}=P{X=i,Y=j}+P{X=j,Y=i}=2/9(i>j),于是，随机变量U和V的联合概率分布为=∫01dy∫y2y12dx=14,P{U=1,V=1}=1-P{U=0,V=0}-P{U=0,V=1}-P{U=1,V=0}=1/2,即U\V01011/401/41/2习题4设(X,Y)的联合分布密度为f(x,y)=12πe-x2+y22,Z=X2+Y2,求Z的分布密度.解答：FZ(z)=P{Z≤z}=P{X2+Y2≤z}.当z<0时，FZ(z)=P(∅)=0;当z≥0时，FZ(z)=P{X2+Y2≤z2}=∫∫x2+y2≤z2f(x,y)dxdy=12π∫∫x2+y2≤z2e-x2+y22dxdy=12π∫02πdθ∫0ze-ρ22ρdρ=∫0ze-ρ22ρdρ=1-e-z22.故Z的分布函数为FZ(z)={1-e-z22,z≥00,z<0.Z的分布密度为fZ(z)={ze-z22,z>00,z≤0.习题5设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={12(x+y)e-(x+y),x>0,y>00,其它,(1)问X和Y是否相互独立？(2)求Z=X+Y的概率密度.解答：(1)fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy={∫0+∞12(x+y)e-(x+y)dy,x>00,x≤0\under2line令x+y=t{∫x+∞12te-tdt=12(x+1)e-x,x>00,x≤0,由对称性知fY(y)={12(y+1)e-y,y>00,y≤0,显然f(x,y)≠fX(x)fY(y),x>0,y>0,所以X与Y不独立.(2)用卷积公式求fZ(z)=∫-∞+∞f(x,z-x)dx.当{x>0z-x>0即{x>0x<z时，f(x,z-x)≠0,所以当z≤0时，fZ(z)=0;当z>0时，fZ(z)=∫0z12xe-xdx=12z2e-z.于是，Z=X+Y的概率密度为fZ(z)={12z2e-z,z>00,z≤0.习题6设随机变量X,Y相互独立，若X服从(0,1)上的均匀分布，Y服从参数1的指数分布，求随机变量Z=X+Y的概率密度.解答：据题意，X,Y的概率密度分布为fX(x)={1,0<x<10,其它,fY(y)={e-y,y≥00,y<0,由卷积公式得Z=X+Y的概率密度为fZ(z)=∫-∞+∞fX(x)fY(z-x)dx=∫-∞+∞fX(z-y)fY(y)dy=∫0+∞fX(z-y)e-ydy.由0<z-y<1得z-1<y<z,可见：当z≤0时，有fX(z-y)=0,故fZ(z)=∫0+∞0⋅e-ydy=0;当z>0时，fZ(z)=∫0+∞fX(z-y)e-ydy=∫max(0,z-1)ze-ydy=e-max(0,z-1)-e-z,即fZ(z)={0,z≤01-e-z,0<z≤1e1-z-e-z,z>1.习题7设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={be-(x+y),0<x<1,0<y<+∞,0,其它.（1）试确定常数b；（2）求边缘概率密度fX(x),fY(y)；（3）求函数U=max{X,Y}的分布函数.解答：（1）由∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=1，确定常数b.∫01dx∫0+∞be-xe-ydy=b(1-e-1)=1，所以b=11-e-1，从而f(x,y)={11-e-1e-(x+y),0<x<1,0<y<+∞,0,其它.（2）由边缘概率密度的定义得fX(x)={∫0+∞11-e-1e-(x+y)dy=e-x1-e-x,0<x<1,0,其它，fY(x)={∫0111-e-1e-(x+y)dx=e-y,0<y<+∞,0,其它（3）因为f(x,y)=fX(x)fY(y)，所以X与Y独立，故FU(u)=P{max{X,Y}≤u}=P{X≤u,Y≤u}=FX(u)F Y(u)，其中FX(x)=∫0xe-t1-e-1dt=1-e-x1-e-1,0<x<1，所以FX(x)={0,x≤0,1-e-x1-e-1,0<x<1,1,x≥1.同理FY(y)={∫0ye-tdt=1-e-y,0<y<+∞,0,y≤0，因此FU(u)={0,u<0,(1-e-u)21-e-1,0≤u<1,1-e-u,u≥1.习题8设系统L是由两个相互独立的子系统L1和L2以串联方式联接而成，L1和L2的寿命分别为X与Y,其概率密度分别为ϕ1(x)={αe-αx,x>00,x≤0,ϕ2(y)={βe-βy,y>00,y≤0,其中α>0,β>0,α≠β,试求系统L的寿命Z的概率密度.解答：设Z=min{X,Y},则F(z)=P{Z≥z}=P{min(X,Y)≤z}=1-P{min(X,Y)>z}=1-P{X≥z,Y≥z}=1-[1P{X<z}][1-P{Y<z}]=1-[1-F1{z}][1-F2{z}]由于F1(z)={∫0zαe-αxdx=1-e-αz,z≥00,z<0,F2(z)={1-e-βz,z≥00,z<0,故F(z)={1-e-(α+β)z,z≥00,z<0,从而ϕ(z)={(α+β)e-(α+β)z,z>00,z≤0.习题9设随机变量X,Y相互独立，且服从同一分布，试证明：P{a<min{X,Y}≤b}=[P{X>a}]2-[P{X>b}]2.解答：设min{X,Y}=Z,则P{a<min{X,Y}≤b}=FZ(b)-FZ(a),FZ(z)=P{min{X,Y}≤z}=1-P{min{X,Y}>z}=1-P{X>z,Y>z}=1-P{X>z}P{Y>z}=1-[P{X>z}]2,代入得P{a<min{X,Y}≤b}=1-[P{X>b}]2-(1-[P{X>a}]2)=[P{X>a}]2-[P{X>b}]2.证毕.复习总结与总习题解答习题1在一箱子中装有12只开关，其中2只是次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑两种试验：(1)放回抽样；(2)不放回抽样.我们定义随机变量X,Y如下：X={0,若第一次取出的是正品1,若第一次取出的是次品, Y={0,若第二次取出的是正品1,若第二次取出的是次品,试分别就(1),(2)两种情况，写出X和Y的联合分布律.解答：(1)有放回抽样，(X,Y)分布律如下：P{X=0,Y=0}=10×1012×12=2536; P{X=1,Y=0}=2×1012×12=536,P{X=0,Y=1}=10×212×12=536, P{X=1,Y=1}=2×212×12=136,(2)不放回抽样，(X,Y)的分布律如下：P{X=0,Y=0}=10×912×11=4566, P{X=0,Y=1}=10×212×11=1066,P{X=1,Y=1}=2×112×11=166,习题2假设随机变量Y服从参数为1的指数分布，随机变量Xk={0,若Y≤k1,若Y>k(k=1,2),求(X1,X2)的联合分布率与边缘分布率.解答：因为Y服从参数为1的指数分布，X1={0,若Y≤11,若Y>1, 所以有P{X1=1}=P{Y>1}=∫1+∞e-ydy=e-1,P{X1=0}=1-e-1,同理P{X2=1}=P{Y>2}=∫2+∞e-ydy=e-2,P{X2=0}=1-e-2,因为P{X1=1,X2=1}=P{Y>2}=e-2，P{X1=1,X2=0}=P{X1=1}-P{X1=1,X2=1}=e-1-e-2,P{X1=0,X2=0}=P{Y≤1}=1-e-1,P{X1=0,X2=1}=P{X1=0}-P{X1=0,X2=0}=0,故(X1,X2)联合分布率与边缘分布率如下表所示：习题3在元旦茶话会上，每人发给一袋水果，内装3只橘子，2只苹果，3只香蕉. 今从袋中随机抽出4只，以X记橘子数，Y记苹果数，求(X,Y)的联合分布.解答：X可取值为0,1,2,3,Y可取值0,1,2.P{X=0,Y=0}=P{∅}=0,P{X=0,Y=1}=C30C21C33/C84=2/70,P{X=0,Y=2}=C30C22C32/C84=3/70,P{X=1,Y=0}=C31C20C33/C84=3/70,P{X=1,Y=1}=C31C21C32/C84=18/70,P{X=1,Y=2}=C31C22C31/C84=9/70,P{X=2,Y=0}=C32C20C32/C84=9/70,P{X=2,Y=1}=C32C21C31/C84=18/70,P{X=2,Y=2}=C32C22C30/C84=3/70,P{X=3,Y=0}=C33C20C31/C84=3/70,P{X=3,Y=1}=C33C21C30/C84=2/70,P{X=3,Y=2}=P{∅}=0,所以，(X,Y)的联合分布如下：习题4设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量(X,Y)的联合分布律及关于X与Y解答：由题设X与Y相互独立，即有pij=pi⋅p⋅j(i=1,2;j=1,2,3), p⋅1-p21=p11=16-18=124,又由独立性，有p11=p1⋅p⋅1=p1⋅16故p1⋅=14.从而p13=14-124-18, 又由p12=p1⋅p⋅2, 即18=14⋅p⋅2.从而p⋅2=12. 类似的有p⋅3=13,p13=14,p2⋅=34.将上述数值填入表中有习题5设随机变量(X,Y)的联合分布如下表：求：(1)a值；(2)(X,Y)的联合分布函数F(x,y)；(3)(X,Y)关于X,Y的边缘分布函数FX(x)与FY(y).解答：(1)\because由分布律的性质可知∑i⋅jPij=1, 故14+14+16+a=1,∴a=13.(2)因F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}①当x<1或y<-1时，F(x,y)=0;②当1≤x<2,-1≤y<0时，F(x,y)=P{X=1,Y=-1}=1/4;③当x≥2,-1≤y<0时，F(x,y)=P{X=1,Y=-1}+P{X=2,Y=-1}=5/12;④当1≤x<2,y>0时，F(x,y)=P{X=1,Y=-1}+P{X=1,Y=0}=1/2;⑤当x≥2,y≥0时，F(x,y)=P{X=1,Y=-1}+P{X=2,Y=-1}+P{X=1,Y=0}+P{X=2,Y=0}=1;综上所述，得(X,Y)联合分布函数为F(x,y)={0,x<1或y<-11/4,1≤x<2,-1≤y<05/12,x≥2,-1≤y<01/2,1≤x<2,y≥01,x≥2,y≥0.(3)由FX(x)=P{X≤x,Y<+∞}=∑xi<x∑j=1+∞pij, 得(X,Y)关于X的边缘分布函数为：FX(x)={0,x<114+14,1≤x<214+14+16+13,x≥2={0,x<11/2,1≤x<21,x≥2,同理，由FY(y)=P{X<+∞,Y≤y}=∑yi≤y∑i=1+∞Pij, 得(X,Y)关于Y的边缘分布函数为FY(y)={0,y<-12/12,-1≤y<01,y≥0.习题6设随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)={c(R-x2+y2),x2+y2<R0,x2+y2≥R,求：(1)常数c; (2)P{X2+Y2≤r2}(r<R).解答：(1)因为1=∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dydx=∫∫x2+y2<Rc(R-x2+y)dxdy=∫02π∫0Rc(R-ρ)ρdρdθ=cπR33,所以有c=3πR3.(2)P{X2+Y2≤r2}=∫∫x2+y2<r23πR3[R-x2+y2]dxdy=∫02π∫0r3πR3(R-ρ)ρdρdθ=3r2R2(1-2r3R).习题7设f(x,y)={1,0≤x≤2,max(0,x-1)≤y≤min(1,x)0,其它,求fX(x)和fY(y).解答：max(0,x-1)={0,x<1x-1,x≥1, min(1,x)={x,x<11,x≥1,所以，f(x,y)有意义的区域(如图)可分为{0≤x≤1,0≤y≤x},{1≤x≤2,1-x≤y≤1},即f(x,y)={1,0≤x≤1,0≤y≤x1,1≤x≤2,x-1≤y≤1,0,其它所以fX(x)={∫0xdy=x,0≤x<1∫x-11dy=2-x,1≤x≤20,其它,fY(y)={∫yy+1dx=1,0≤y≤10,其它.习题8若(X,Y)的分布律为则α,β应满足的条件是¯, 若X与Y独立，则α=¯,β=¯.解答：应填α+β=13;29;19.由分布律的性质可知∑i⋅jpij=1, 故16+19+118+13+α+β=1,即α+β=13.又因X与Y相互独立，故P{X=i,Y=j}=P{X=i}P{Y=j}, 从而α=P{X=2,Y=2}=P{X=i}P{Y=j},=(19+α)(14+α+β)=(19+α)(13+13)=29,β=P{X=3,Y=2}=P{X=3}P{Y=2}=(118+β)(13+α+β)=(118+β)(13+13)，∴β=19.习题9设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)={ce-(2x+y),x>0,y>00,其它,(1)确定常数c; (2)求X,Y的边缘概率密度函数；(3)求联合分布函数F(x,y); (4)求P{Y≤X};(5)求条件概率密度函数fX∣Y(x∣y); (6)求P{X<2∣Y<1}.解答：(1)由∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=1求常数c.∫0+∞∫0+∞ce-(2x+y)dxdy=c⋅(-12e-2x)\vline0+∞⋅(-e-y)∣0+∞=c2=1,所以c=2.(2)fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy={∫0+∞2e-2xe-ydy,x>00,x≤0={2e-2x,x>00,x≤0,fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx={∫0+∞2e-2xe-ydx,y>00,其它={e-y,y>00,y≤0.(3)F(x,y)=∫-∞x∫-∞yf(u,v)dvdu={∫0x∫0y2e-2ue-vdvdu,x>0,y>00,其它={(1-e-2x)(1-e-y),x>0,y>00,其它.(4)P{Y≤X}=∫0+∞dx∫0x2e-2xe-ydy=∫0+∞2e-2x(1-e-x)dx=13.(5)当y>0时，fX∣Y(x∣y)=f(x,y)fY(y)={2e-2xe-ye-y,x>00,x≤0={2e-2x,x>00,x≤0.(6)P{X<2∣Y<1}=P{X<2,Y<1}P{Y<1}=F(2,1)∫01e-ydy=(1-e-1)(1-e-4)1-e-1=1-e-4.习题10设随机变量X以概率1取值为0, 而Y是任意的随机变量，证明X与Y相互独立.解答：因为X的分布函数为F(x)={0,当x<0时1,当x≥0时, 设Y的分布函数为FY(y),(X,Y)的分布函数为F(x,y)，则当x<0时，对任意y, 有F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=P{(X≤x)∩(Y≤y)}=P{∅∩(Y≤y)}=P{∅}=0=FX(x)FY(y);当x≥0时，对任意y, 有F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=P{(X≤x)∩(Y≤y)}=P{S∩(Y≤y)}=P{Y≤y}=Fy(y)=FX(x)FY(y),依定义，由F(x,y)=FX(x)FY(y)知，X与Y独立.习题11设连续型随机变量(X,Y)的两个分量X和Y相互独立，且服从同一分布，试证P{X≤Y}=1/2. 解答：因为X,Y独立，所以f(x,y)=fX(x)fY(y).P{X≤Y}=∫∫x≤yf(x,y)dxdy=∫∫x≤yfX(x)fY(y)dxdy=∫-∞+∞[fY(y)∫-∞yfX(x)dx]dy=∫-∞+∞[fY(y)FY(y)]dy=∫-∞+∞FY(y)dFY(y)=F2(y)2∣-∞+∞=12,也可以利用对称性来证，因为X,Y独立同分布，所以有P{X≤Y}=P{Y≤X},而P{X≤Y}+P{X≥Y}=1, 故P{X≤Y}=1/12.习题12设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为若X与Y相互独立，求参数a,b,c的值.解答：关于X的边缘分布为由于X与Y独立，则有p22=p2⋅p⋅2 得b=(b+19)(b+49) ①p12=p1⋅p⋅2 得19=(a+19)(b+49) ②由式①得b=29, 代入式②得a=118. 由分布律的性质，有a+b+c+19+19+13=1,代入a=118,b=29, 得c=16.易验证，所求a,b,c的值，对任意的i和j均满足pij=pi⋅×p⋅j.因此，所求a,b,c的值为a=118,b=29,c=16.习题13已知随机变量X1和X2的概率分布为且P{X1X2=0}=1.(1)求X1和X2的联合分布律；(2)问X1和X2是否独立？解答：(1)本题是已知了X1与X2的边缘分布律，再根据条件P{X1X2=0}=1, 求出联合分布. 列表如下：P{X1=1,X2=1}=0,P{X1=-1,X2=1}=0.再由p⋅1=p-11+p11+p01, 得p01=12, p-10=p-1⋅=p-11=14,p10=p1⋅-p11=14,从而得p00=0.(2)由于p-10=14≠p-1⋅⋅p⋅0=14⋅12=18, 所以知X1与X2不独立.习题14设(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)={1πR2,x2+y2≤R20,其它,(1)求X与Y的边缘概率密度；(2)求条件概率密度，并问X与Y是否独立？解答：(1)当x<-R或x>R时，fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy=∫-∞+∞0dy=0;当-R≤x≤R时，fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy=1πR2∫-R2-x2R2-x2dy=2πR2R2-x2.于是fX(x)={2R2-x2πR2,-R≤x≤R0,其它.由于X和Y的地位平等，同法可得Y的边缘概率密度是：fY(y)={2R2-y2πR2,-R≤y≤R0,其它.(2)fX∣Y(x∣y)=f(x,y)fY(y)注意在y处x值位于∣x∣≤R2-y2这个范围内，f(x,y)才有非零值，故在此范围内，有fX∣Y(x∣y)=1πR22πR2⋅R2-y2=12R2-y2,即Y=y时X的条件概率密度为fX∣Y(x∣y)={12R2-y2,∣x∣≤R2-y20,其它.同法可得X=x时Y的条件概率密度为fY∣X(y∣x)={12R2-x2,∣y∣≤R2-x20,其它.由于条件概率密度与边缘概率密度不相等，所以X与Y不独立.习题15设(X,Y)的分布律如下表所示X\Y -112-12 1/102/103/102/101/101/10求：(1)Z=X+Y; (2)Z=max{X,Y}的分布律.解答：与一维离散型随机变量函数的分布律的计算类似，本质上是利用事件及其概率的运算法则. 注意，Z的相同值的概率要合并.概率(X,Y)X+YXYX/Ymax{X,Y}1/102/103/102/101/101/10(-1,-1)(-1,1)(-1,2)(2,-1)(2,1)(2,2)-2011341-1-2-2241-1-1/2-221-112222于是(1)习题16设(X,Y)的概率密度为f(x,y)={1,0<x<1,0<y<2(1-x)0,其他，求Z=X+Y的概率密度.解答：先求Z的分布函数Fz(z)，再求概率密度fz(z)=dFz(z)dz.如右图所示.当z<0时，Fz(z)=P{X+Y≤z}=0;当0≤z<1时，Fz(z)=P{X+Y≤z}=∫∫x+y≤zf(x,y)dxdy=∫0zdx∫0z-x1dy=∫0z(z-x)dx=z2-12x2∣0z=12z2；当1≤z<2时，Fz(z)=∫02-zdx∫0z-xdy+∫2-z1dx∫02(1-x)dy=z(2-z)-12(2-z)2+(z-1)2；当z≥2时，∫∫Df(x,y)dxdy=∫01dx∫02(1-x)dy=1.综上所述Fz(z)={0,z<012z2,0≤z<1z(2-z)-12(2-z)2+(z-1)2,1≤z<21,z≥2，故fz(z)={z,0≤z<12-z,1≤z<20,其它.习题17设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={2e-(x+2y),x>0,y>00,其它,求随机变量Z=X+2Y的分布函数.解答：按定义FZ(Z)=P{x+2y≤z},当z≤0时，FZ(Z)=∫∫x+2y≤zf(x,y)dxdy=∫∫x+2y≤z0dxdy=0.当z>0时，FZ(Z)=∫∫x+2y≤zf(x,y)dxdy=∫0zdx∫0(z-x)/22e-(x+2y)dy=∫0ze-x⋅(1-ex-z)dx=∫0z(e-x-e-z)dx=[-e-x]∣0z-ze-z=1-e-z-ze-z,故分布函数为FZ(Z)={0,z≤01-e-z-ze-z,z>0.习题18设随机变量X与Y相互独立，其概率密度函数分别为fX(x)={1,0≤x≤10,其它, fY(y)={Ae-y,y>00,y≤0,求：(1)常数A; (2)随机变量Z=2X+Y的概率密度函数.解答：(1)1=∫-∞+∞fY(y)dy=∫0+∞A⋅e-ydy=A.(2)因X与Y相互独立，故(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)={e-y,0≤x≤1,y>00,其它.于是当z<0时，有F(z)=P{Z≤z}=P{2X+Y≤z}=0;当0≤z≤2时，有F(z)=P{2X+Y≤z}=∫0z/2dx∫0z-2xe-ydy=∫0z/2(1-e2x-z)dx;当z>2时，有F(z)=P{2X+Y≤2}=∫01dx∫0z-2xe-ydy=∫01(1-e2x-z)dx.利用分布函数法求得Z=2X+Y的概率密度函数为fZ(z)={0,z<0(1-e-z)/2,0≤z<2(e2-1)e-z/2,z≥2.习题19设随机变量X,Y相互独立，若X与Y分别服从区间(0,1)与(0,2)上的均匀分布，求U=max{X,Y}与V=min{X,Y}的概率密度.解答：由题设知，X与Y的概率密度分别为fX(x)={1,0<x<10,其它, fY(y)={1/2,0<y<20,其它,于是，①X与Y的分布函数分别为FX(x)={0,x≤0x,0≤x<11,x≥1, FY(y)={0,y<0y/2,0≤y<21,y≥2,从而U=max{X,Y}的分布函数为FU(u)=FX(u)FY(u)={0,u<0u2/2,0≤u<1u/2,1≤u<21,u≥2,故U=max{X,Y}的概率密度为fU(u)={u,0<u<11/2,1≤u<20,其它.②同理，由FV(v)=1-[1-FX(v)][1-FY)]=FX(v)+FY(v)-FX(v)FY(v)=FX(v)+FY(v)-FU(v),得V=min{X,Y}的分布函数为FV(v)={0,v<0v2(3-v),0≤v<11,v≥1,故V=min{X,Y}的概率密度为fV(v)={32-v,0<v<10,其它.注：(1)用卷积公式，主要的困难在于X与Y的概率密度为分段函数，故卷积需要分段计算；(2)先分别求出X,Y的分布函数FX(x)与FY(y), 然后求出FU(u)，再求导得fU(u); 同理先求出FV(v), 求导即得fV(v).。

《概率论与数理统计》第三单元补充题一、填空题1.设随机变量21,X X 相互独立，分布律分别为2131611011pX -，3231102p X ，则==}{21X X P ，==}0{21X X P ，},max{21X X M =的分布律为，},min{21X X N =的分布律为2．设X 与Y 为两个随机变量，且73}0,0{=≥≥Y X P ，74}0{}0{=≥=≥Y P X P ，则=≥}0),{max(Y X P ，=<}0),{min(Y X P3．设21,X X 的联合分布律为且满足1}0{21==X X P ， 则==}{21X X P ，===}1/0{21X X P4．已知,X Y 的分布律为6113101ab XY 且{0}X =与{1}X Y +=独立，则a =________，b =__________5．随机变量Y X ,服从同分布，X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它02083)(2x xx f ，设}{a X A >= 与}{a Y B >=相互独立，且43)(=⋃B A P ，则a =___________ 6．随机变量Y X ,相互独立且服从N （0，1）分布，Z =X +Y 的概率密度为__________，Z =X -Y 的概率密度为__________7．用二维连续型随机变量),(Y X 的联合分布函数),(y x F 表示下述概率 （1）=<≤≤},{c Y b X a P（2）=<<},{b Y b X P（3）=≤≤}0{a Y P（4）=>≥},{b Y a X P二、选择题1.设随机变量X 与Y 相互独立，其分布律分别为212110PX ，212110P Y ，则以下结论正确的是（ ）Y X A =).( 1}{).(==Y X P B21}{).(==Y X P C ).(D 以上都不正确 2.随机变量X 、Y 独立，且0}1{}1{>====p Y P X P ，01}0{}0{>-====p Y P X P ，令⎩⎨⎧++=为奇数为偶数Y X Y X Z 01，要使X 与Z 独立，则P 值为（ ）32).(41).(21).(31).(D C B A3.二维随机变量（X ，Y ）具有下述联合概率密度，X 与Y 是相互独立的，为（ ）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=其它20,103),().(2y x xyx y x f A⎩⎨⎧<<<<=其它010,106),().(2y x y x y x f B⎪⎩⎪⎨⎧<<-<<=其它0,1023),().(xy x x x y x f C⎪⎩⎪⎨⎧><<=-其它,2021),().(y x ey x f D y4．设随机变量⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-412141101~i X （i =1，2），且满足1}0{21==X X P ，则)(}{21==X X P1).(41).(21).(0).(D C B A5．随机变量X ，Y 相互独立，)(x F X 和)(y F Y 分别是X ，Y 的分布函数，令),min(Y X Z =，则随机变量Z 的分布函数)(z F Z 为（ ）)}(),(min{).(z F z F A Y X )](1)][(1[1).(z F z F B Y X ---)()().(z F z F C Y X )()().(z F z F D Y X 或6．随机变量X ，Y 相互独立，且),(~211σμN X ，),(~222σμN Y ，则Y X Z +=仍具正态分布，且有（ ）),(~).(22211σσμ+N Z A ),(~).(2121σσμμ+N Z B ),(~).(222121σσμμ+N Z C ),(~).(222121σσμμ++N Z D三、问答题1.事件},{y Y x X ≤≤表示事件}{x X ≤与}{y Y ≤的积事件，为什么},{y Y x X P ≤≤不一定等于}{}{y Y P x X P ≤⋅≤？2.二维随机变量（X ，Y ）的联合分布、边缘分布及条件分布之间存在什么样的关系？3.多维随机变量的边缘分布与一维随机变量的分布之间有什么联系与区别？4.两个随机变量相互独立的概念与两个事件相互独立是否相同？为什么？5.两个相互独立的服从正态分布的随机变量1X 与2X 之和仍是正态随机变量，那么它们的线性组合21bX aX ±呢？ 四、计算题1．设二维随机变量（X ，Y ）在矩形区域}10,20|),{(≤≤≤≤y x y x G 上服从均匀分布，记⎩⎨⎧>≤=YX YX U 10，⎩⎨⎧>≤=Y X Y X V 2120，求U 、V 的联合分布律2．设（X ，Y ）的概率密度为 ⎪⎩⎪⎨⎧>>=+-其它0)0,0(),()43(y x Ce y x y x ϕ求（1）常数C ，（2）)20,10(≤<≤<Y X P ， （3）(X ,Y )的分布函数 ),(y x F3．设（X 、Y ）的分布函数为)2)(arctan 2(arctan 1),(2πππ++=y x y x F ，),(+∞<<-∞y x求：（1）X ，Y 的边缘分布函数 (,)(y F x F Y X )(,)(y F x F Y X （2）X 、Y 的边缘分布密度函数 (,)(yf x f Y X )(,)(y f x f Y X4．袋中装有编号为-1，1，1，2的4个球，现从中无放回随机取球两次，每次取一个，以 21,X X 分别表示第一次和第二次取到的球的号码，求 （1）),(21X X 的联合分布律（2）关于 21,X X 和 的边缘分布律，并判别21,X X 和是否相互独立。

第三章 多维随机变量及其分布1.[一] 在一箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只。

考虑两种试验：（1）放回抽样，（2）不放回抽样。

我们定义随机变量X ，Y 如下：⎪⎩⎪⎨⎧= 若第一次取出的是次品若第一次取出的是正品,1,,0X ⎪⎩⎪⎨⎧=若第二次取出的是次品若第二次取出的是正品,1,,0Y试分别就（1）（2）两种情况，写出X 和Y 的联合分布律。

解：（1）放回抽样情况由于每次取物是独立的。

由独立性定义知。

P (X=i , Y=j )=P (X=i )P (Y=j ) P (X=0, Y=0 )=362512101210=⋅ P (X=0, Y=1 )=3651221210=⋅ P (X=1, Y=0 )=3651210122=⋅ P (X=1, Y=1 )=361122122=⋅ 或写成（2）不放回抽样的情况P {X=0, Y=0 }=66451191210=⋅ P {X=0, Y=1 }=66101121210=⋅P {X=1, Y=0 }=66101110122=⋅ P {X=1, Y=1 }=661111122=⋅ 或写成3.[二] 盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X 表示Y 的联合分布律。

解：（X ，Y ）的可能取值为(i , j )，i =0，1，2，3， j =0，12，i + j ≥2，联合分布律为P {X=0, Y=2 }=351472222=C C C P {X=1, Y=1 }=35647221213=C C C C P {X=1, Y=2 }=35647122213=C C C C P {X=2, Y=0 }=353472223=C C C P {X=2, Y=1 }=351247121223=C C C CP {X=2, Y=2 }=353472223=C C C P {X=3, Y=0 }=352471233=C C C P {X=3, Y=1 }=352471233=C C C P {X=3, Y=2 }=05.[三] 设随机变量（X ，Y ）概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<--=其它,042,20),6(),(y x y x k y x f（1）确定常数k 。

3.1二维随机变量的概念3.1.1二维随机变量及其分布函数到现在为止，我们只讨论了一维随机变量及其他布，但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述。

例如，在打靶时，以靶心为原点建立直角坐标系，命中点的位置是由一对随机变量（X，Y）（两个坐标）来确定的。

又如考察某地区的气候，通常要考察气温X，风力Y，这两个随机变量，记写（X，Y）。

定义3.12个随机变量X，Y组成的整体Z=（X，Y）叫二维随机变量或二维随机向量。

定义3.2（1）二元函数F（x,y）=P（X≤x,Y≤y）叫二维随机变量（X，Y）的联合分布函数，简称分布函数。

记作（X，Y）～F（x,y）。

（2）二维随机变量（X，Y）中，各分量X，Y的分布函数叫二维随机变量（X，Y）的边缘分布函数。

因为X<+∞，Y<+∞即-∞<X<+∞，-∞<Y<+∞，分别表示必然事件，所以有X～F x（x）=P（X≤x）=P（X≤x，Y<+∞）=F（x,+∞）Y～F Y（y）=P（Y≤y）=P（x<+∞，Y≤y）=F（+∞，y）公式可见X，Y的边缘分布可由联合分布函数求得。

3.1.2二维离散型随机变量定义3-3若二维随机变量（X，Y）只取有限多对或可列无穷多对（x i，y j），（i，j=1，2，…），则称（X，Y）为二维离散型随机变量。

设二维随机变量（X，Y）的所有可能取值为（x i，y j）（i，j=1，2，…），（X，Y）在各个可能取值的概率为：P{X=x i,Y=y j}=P ij（i，j=1，2，…），称P{X=x i,Y=y j}=P ij（i，j=1，2，…）为（X，Y）的分布律。

（X，Y）的分布律还可以写成如下列表形式：（X，Y）的分布律具有下列性质：（1）p ij≥0（i，j=1，2，…）；（2）反之，若数集{P ij}（i，j=1，2，…）具有以上两条性质，则它必可作为某二维离散型随机变量的分布律。