高中数学第三章三角恒等变换3.1.1两角差的余弦公式课件新人教A版必修4

2021/4/17
高中数学第3章三角恒等变换311两角差的余弦公式课件新人教A版必修4
8
课堂互动探究 K
师生互动 合作探究
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高中数学第3章三角恒等变换311两角差的余弦公式课件新人教A版必修4
9
题型一 两角差的余弦公式的正用和逆用
思考：计算下列各式的值
(1)cos45°cos45°＋sin45°sin45°＝________； (2)cos60°cos30°＋sin60°sin30°＝________； (3)cos30°cos120°＋sin30°sin120°＝________； (4)cos150°cos210°＋sin150°sin210°＝________.
高中数学第3章三角恒等变换3.1.1两角差的余弦公式课件新人教A版必修4
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高中数学第3章三角恒等变换311两角差的余弦公式课件新 人教A版必修4
1
第
三
三角恒等变换
章
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2
3.1
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
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∴cosβ＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)·cosα＋sin(α＋β)sinα ＝－1114×17＋5143×47 3＝12. 又∵β∈0，π2，∴β＝π3.
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＝sin(90°－44°)cos14°＋sin44°cos(90°－14°) ＝cos44°cos14°＋sin44°sin14°

提示： (1)正确.α，β不仅是任意的角，而且还可以是个 “团体”. (2)正确.cos 15°=cos(45°-30°) =cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°. (3)正确.cos 75°cos 15°+sin 75°sin 15° =cos(75°-15°)=cos 60°= 1 .
第三章 三角恒等变换
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.1 两角差的余弦公式
两角差的余弦公式
cosα cosβ +sinα sinβ 1.公式:cos(α -β )=______________________. C (α -β ) 2.简记符号:______.
任意角 3.使用条件:α ,β 都是_______.
2
答案：(1)√
(2)√
(3)√
【知识点拨】 对公式C(α-β)的两点理解 (1)公式的结构特点：公式的左边是差角的余弦 ,右边的式子 是含有同名函数之积的和式,可用口诀“余余正正号相反”记 忆公式. (2)公式的适用条件. 公式中的α,β不仅可以是任意具体的角,也可以是一个“团 体”,如 cos(
5 4 5
值为( A.0
) B. 4 C.0 或 4 D.0或± 4
5 5 5 3 2.已知sin α = 2 , α ∈( , 3 )且cos β = ， β ∈( 0, )， 4 3 2 2
求cos(α -β )的值.
【解题探究】1.cos(α+β)= 展开？
4 应如何利用两角差的余弦公式 5
【解析】1.选C.cos 50°cos 20°+sin 50°sin 20° =cos(50°-20°)=cos 30°=

探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一给角求值 【例1】 求下列各式的值:
(1)sin cos ;
8 8
π
π
(2)1-2sin2 ;
12
5π
(3)
π 12 π 1-ta n 2 12
tan
;
2π 5
(4)cos cos .
5
π
探究一
探究二
探究三
思维辨析
分析:(1)(2)(3)直接利用公式或逆用公式求值.(4)由 倍角关系,从而可构造用二倍角的正弦公式求解.
-
+ ������
=sin
π 4
-������ =
,∴原式 =
=
24 13
.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2
sin2������ 在例题条件不变的情况下,求 cos π −������ 4
π 4
的值.
解:∵x∈ 0,
,∴ -x∈ 0,
4 5 13 π 2
π
π 4
.
12 13
∵sin
π 4
-������ =
,∴ cos
π 4
-������ =
π 4
.
又 sin 2x= cos =2cos
2 π
-2������ =cos 2
119 169
-������
4
-������ -1= =
119 169 12 13
, .
∴
sin2 ������
π -������ 4
cos
=
119 156

)
5 3π 解析： ∵cos α＝ ， α∈( ， 2π)， ∴sin α＝－ 1－cos2α 13 2 12 π π π ＝－ ，∴cos(α－ )＝cos αcos ＋sin αsin 13 4 4 4 5 2 12 2 7 2 ＝ × ＋(－ )× ＝－ . 13 2 13 2 26
答案：C
解：(1)原式＝cos(15° －105° )＝cos(－90° )＝0. 1 (2)原式＝cos[(α－35° )－(25° ＋α)]＝cos(－60° )＝ . 2 (3)原式＝cos 40° cos 70° ＋sin 70° sin 40° ＝cos(70° －40° )＝cos 30° ＝ 3 . 2
cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) 12 12 5 5 ＝－ × ＋(－ )× ＝－ 13 13 13 13 3 π 又∵α＋β∈( π，2π)，α－β∈( ，π)， 2 2 π 3π π ∴2β∈( ， )．∴2β＝π，∴β＝ 2 2 2 (12 分) (9 分)
解析：sin 285° ＝sin(270° ＋15° ) ＝－cos 15° ＝－cos(60° －45° ) 6＋ 2 ＝－(cos 60° · cos 45° ＋sin 60° · sin 45° )＝－ . 4
6＋ 2 答案：－ 4
2．求下列各式的值： (1)cos 15° cos 105° ＋sin 15° sin 105° ； (2)cos(α－35° )· cos(25° ＋α)＋sin(α－35° )· sin(25° ＋α)； (3)cos 40° cos 70° ＋cos 20° cos 50° .
1．两角差的余弦公式是本章的基础，是其他公式推导的 依据，应牢固记住公式的结构和形式． 2． 三角变换是三角运算的灵魂与核心， 它包括角的变换、 函数名称的变换、三角函数式结构的变换等．在解题中应特 别注意角的变换．

14
所以cosβ =cos[(α +β )-α ]
=cos(α +β )cosα +sin(α +β )sinα
(11)153431. 14 7 14 7 2
【方法技巧】给值求值问题的解题策略 (1)从角的关系中找解题思路 已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值, 要注意观察已知角与所求表达式中角的关系,根据需要 灵活地进行拆角或凑角的变换.
3
3
3
512 3 523. 3 23 2 6
2.由tanα =2得sinα =2cosα ,
又sin2α+cos2α=1,所以cos2α= 1 ,
5
因为α∈ ( 0 , )，
2
所以 cos 5,sin2 5,
5
5
因为 c o s( ) c o s c o s sin sin ,
12
C .1 2
D .3 2
【审题路线图】1.两角差的余弦公式的特点⇒利用诱 导公式sin195°=-sin15°求解. 2.已知和差的式子⇒通过平方构造cosα cosβ , sinα sinβ ⇒求值. 3.- 2 π5 ⇒利用诱导公式转化为特殊角的差求值.
12
【解析】1.选B.原式=cos75°cos15°sin75°sin(180°+15°)=cos75°cos15°+ sin75°sin15°=cos(75°-15°) =cos60°= 1 .
2
2.cos(-15°)的值是 ( )
A. 6 2 2
C. 6 2 4
B. 6 2 2
D. 6 2 4
【解析】选D.cos(-15°)=cos15°=cos(60°-45°) =cos60°cos45°+sin60°sin45°

请你利用两个三角板拼出一个15 °角，并尝试计算cos 15 °的 值. （三角板可以重叠）
巧拼三角板
巧拼三角板
巧拼三角板
Y
1
15°
O
15°
1X
探究Y
A
4？5°
P C
O
15°
B
M1 X
cos(450300)=co s4 5 0co s3 0 0 sin450sin300
探 究 co ) s c(c oo s ss i sn in
cos45o 2 2
（2）填上适当的数字，并给出结果： cos ° cos °+ sin °sin °= ?
备用
小结 正用
逆用
变用
co ) s c(c oo s ss i sn i
实例
向量
三角函数线
作业 1. 查一查：“两角差的余弦公式”还 有其它推导方法吗？
2. 试一试：运用“两角差的余弦公式” 能推导出“两角和的余弦、正弦公式” 吗？ 3.做一做：课本P137
α 、β为任意角，上述公式还成立吗？
y
α的终边 A A（ cosα、 sinα）
B（ cosβ 、sinβ)
θ
B β的终边
O
x
向量法推导公式
向量法推导公式
思考： cos θ与cos（α-β）什么关系呢？
y α的终边 A
θ
y
β的终边
B B β的终边
θ
Aα的终边Ox源自Ox(图1)
(图2)
2k,kZ 2n,nZ
cos
sin 20o
( 3 ) 求 值 ： c o s 8 0 o c o s 5 0 o s i n 1 0 0 o s i n ( 5 0 o ) . + sin80o sin50o

∴T＝2ωπ＝2π，值域[－2,2].
由－π2＋2kπ≤x－π6≤π2＋2kπ 得，递增区间[－π3＋2kπ，23π＋2kπ]，k∈Z.
解析答案
类型三 公式的变形应用 例 3 已知 sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，求ttaann αβ的值.
解 ∵sin(α＋β)＝12，∴sin αcos β＋cos αsin β＝12.
123 45
解析答案
2.化简 2cos x－ 6sin x 等于( D )
A.2 2sinπ6＋x
B.2 2cosπ6－x
C.2 2sinπ3－x
D.2 2cosπ3＋x
解析
2cos x－
6sin x＝2
212cos
x－
3 2 sin
123 45
解析答案
123 45
5.已知
α，β
9
均为锐角，且
sin
α＝35，tan(α－β)＝－13，则
sin(α－β)＝
－
10 10
，
cos β＝
50
10
.
解析 ∵α，β∈(0，π2)，从而－π2<α－β<π2. 又∵tan(α－β)＝－13<0，
∴－π2<α－β<0. ∴sin(α－β)＝－ 1100，cos(α－β)＝31010.
达标检测
1.sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是( B )
A.－
3 2
B.－12
1
3
C.2
D. 2
解析 原式＝－sin 65°sin 55°＋sin 25°sin 35° ＝－cos 25°cos 35°＋sin 25°sin 35°

＝ cos 75° cos 15°－ sin 75° sin(180°＋ 15°) ＝ cos 75° cos 15°＋sin 75° sin 15° 1 ＝ cos(75°－ 15° )＝ cos 60°＝ . 2
(2)sin 46° cos 14°＋ sin 44°cos 76° ＝ sin(90°－44°)cos 14°＋sin 44°cos(90°－ 14°) ＝ cos 44° cos 14°＋ sin 44°sin 14° 3 ＝ cos(44°－ 14°)＝ cos 30°＝ . 2
4 所以 cos(α＋β)＝ 1－sin （α＋β）＝ . 5
π π 5 π 3π 又 β－ ∈ ， ，所以 cosβ－ ＝－ ， 4 2 13 4 4 π π cosα＋ ＝cos（α＋β）－β－ 4 4 π π ＝cos(α＋β)cosβ－ ＋sin(α＋β)sinβ－ 4 4
12 (2)α，β 为锐角，cos(α＋β)＝ ，cos(2α 13 3 ＋β)＝ ，求 cos α 的值． 5
3 [尝试解答] (1)由 sin α－sin β＝ ， 2 1 cos α－cos β＝ ， 2 3 得 sin α＋sin β－2sin αsin β＝ ，① 4 1 2 2 cos α＋cos β－2cos αcos β＝ ，② 4
练一练 2cos 10°－sin 20° 1．求 的值． sin 70°
2cos 10°－sin 20° 解：原式＝ cos 20° 2cos（30°－20°）－sin 20° ＝ cos 20° 3cos 20°＋sin 20°－sin 20° ＝ ＝ 3. cos 20°
讲一讲 3 2．(1)若 sin α －sin β ＝ ，cos α －cos β 2 1 ＝ ，则 cos(α－β)的值为( 2 1 3 3 A. B. C. D．1 2 2 4 )

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第三章 三角恒等变换
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.1 两角差的余弦公式
某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上.如图所 示, 在地平面上有一点A,测得A，C两点间距离约为 60米,从A观测电视发射塔的视角(∠CAD)约为45°, ∠CAB=15°.求这座电视发射塔的高度.
D
60 45°
C
A
15° B
对于30°，45°，60°等特殊角的三角函数值可以 直接写出，利用诱导公式还可进一步求出150°， 210°，315°等角的三角函数值.我们希望再引进一 些公式，能够求更多的非特殊角的三角函数值，同 时也为三角恒等变换提供理论依据.zxxk
1.理解两角和与差的余弦公式及推导过程.(难点） 2.掌握两角差的余弦公式，并能正确的运用公 式进行简单三角函数式的化简、求值.(重点） 3.掌握“变角”和“拆角”的方法.(重点、难点）
-1
y
1
P1
A
C
法三（几何法）
P
O
B
M1
x
+
对于任意角
差角的余弦公式
一句话要诀：“余余正正符号反”
课堂探究 2 公式的运用
完成本题后，你会求
把非特殊角变为 特殊角,把未知角 变为已知角.
的值吗？
利用同角的三角 函数关系式求值 时，要注意角的 范围.
【提升总结】 先求两角的正、余弦值，再代入差角的余弦公式求值.
如
，
等.
同时，公式的应用具有灵活性，解题时要注意 正向、逆向和变式形式的选择.
公式的逆用:
利用差角公式求值时，常常进行角的拆分与 组合.即公式的变形应用.

提醒：在根据三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案.
一级达标重点名校中学课件
[ 跟踪训练] 2 5 10 2．已知α，β均为锐角，且cos α＝ 5 ，cos β＝ 10 ，求α－β的值．
[ 解] ∵α，β均为锐角， 5 3 10 ∴sin α＝ 5 ，sin β＝ 10 ， ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β 2 5 10 5 3 10 2 ＝ 5 × 10 ＋ 5 × 10 ＝ 2 .
[ 答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
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2．cos(－15° )的值是( 6－ 2 A. 2 6－ 2 C. 4
2 3 2 1 6＋ 2 2 × 2 ＋ 2 ×2＝ 4 .]
) 6＋ 2 B. 2 6＋ 2 D. 4
D [cos(－15° )＝cos 15° ＝cos(45° －30° )＝cos 45° cos 30° ＋sin 45° sin 30° ＝
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1 3 ③2cos 15° ＋ 2 sin 15° ＝cos 60° cos 15° ＋sin 60° sin 15° 2 ＝cos(60° －15° )＝cos 45° ＝ 2 .]
一级达标重点名校中学课件
[ 规律方法] 1.解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是： (1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值． (2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形 式，然后逆用公式求值． 2．两角差的余弦公式的结构特点： (1)同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦． (2)把所得的积相加．
2 2
β＝ 1－
3 2 ， 2
① ②