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第三章三角恒等变换 §3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 §3.1.1两角和与差的余弦公式 【学习目标、细解考纲】 1、 经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，体验和感受数学发现和创造的过程，体会向量和三角函数间的联系； 2、 用余弦的差角公式推出余弦的和角公式，理解化归思想在三角变换中的作用； 3、 能用余弦的和差角公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等变形。 【知识梳理、双基再现】
1、_______;____________________)cos(_______;____________________)cos( 【小试身手、轻松过关】 1．________15cos ; _________105cos。
2、__;__________1211cos.________________)1217cos(
.______________)cos(____,__________)cos(),2,0(,53cos),,2(,1715sin3那么、
4．已知)23,(,1312cos，那么.____________)4cos(的值等于 【基础训练、锋芒初显】 5、)cos(),cos(),23,(,43cos),,2(,32sin求已知
6、在,coscossinsinBABAABC中，若则ABC是（） A、锐角三角形B、钝角三角形 C、直角三角形D、不确定
7、cos,1715)3cos(为钝角，求已知 8、ABC中，sinA=,53cosB=135,求cosC的值。 【举一反三、能力拓展】 9、8sin15sin7cos8sin15cos7sin
10、（2004全国）设()4cos(2,53sin),2,0(则若） A、57B、51 C、57 D、－51
3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．1.1 两角差的余弦公式两角差的余弦公式【问题导思】1．cos 60°－cos 30°＝cos(60°－30°)成立吗？2．cos α－cos β＝cos(α－β)成立吗？3.单位圆中(如图)，∠AOx ＝α，∠BOx ＝β，那么A ，B 的坐标是什么？OA →与OB →的夹角是多少？4．你能用哪几种方法计算OA →·OB →的数量积？5．根据上面的计算可以得出什么结论？利用两角差的余弦公式求值求值：(1)sin 460°·sin(－160°)＋cos 560°·cos(－280°)；(2)sin 285°.1．解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是：(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．2．两角差的余弦公式的结构特点：(1)同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦． (2)把所得的积相加．求下列各式的值： (1)cos(－165°)；(2)sin 15°sin 105°＋cos 15°cos 105°.给值(式)求值已知sin(α＋π4)＝45，且π4<α<3π4，求cos α的值．1．本题求解的关键在于把角α分解成两角α＋π4与α之差，变角是进行三角变换的常用方法技巧，如α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α＋β)－(α＋β)等．2．利用差角的余弦公式求值时，不能机械地从表面去套公式，而要变通地从本质上使用公式．即把所求的角分解成某两个角的差，并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的，再代入公式计算．在本例中，若把α的范围改为：“54π<α<74π”，其他条件不变，又如何求cos α的值？已知三角函数值求角已知α、β均为锐角，且cos α＝255，cos β＝1010，求α－β的值．1．这类问题的求解，关键环节有两点：(1)求出所求角的某种三角函数值；(2)确定角的范围，一旦做好这两个环节，结合三角函数的性质与图象，角可求解．2．确定应用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定．已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，求β的值．不考虑角的范围致误已知α，β，γ是锐角，sin α＋sin β＝sin γ，cos α＋cos β＝cos γ，求α－γ的值．1．cos 17°等于( )A ．cos 20°cos 3°－sin 20°sin 3°B ．cos 20°cos 3°＋sin 20°sin 3°C ．sin 20°sin 3°－cos 20°cos 3°D ．cos 20°sin 20°＋sin 3°cos 3° 2．下列关系中一定成立的是 ( )A ．cos(α－β)＝cos α－cos βB ．cos(α－β)＜cos α＋cos βC ．cos(π2－α)＝sin αD ．cos(π2＋α)＝sin α3．cos(－40°)cos 20°－sin(－40°)sin(－20°)＝________. 4．设α∈(0，π2)，若sin α＝45，求2cos(α－π4)的值．一、选择题1． cos 80°·cos 35°＋sin 80°·cos 55°的值是( ) A.22 B ．－22 C.12 D ．－122．下面利用两角差的余弦公式化简，其中错误的是( ) A ．cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°＝cos 60° B ．cos 75°＝cos 45°cos(－30°)＋sin 45°sin(－30°) C ．sin(α＋45°)sin α＋cos(α＋45°)cos α＝cos 45°D ．cos(α－π6)＝12cos α＋32sin α3．cos 15°的值为( ) A.6＋24 B.6－24 C.6＋22 D.6－224．已知钝角α、β满足cos α＝－35，cos(α＋β)＝－513，则cos β等于( )A.3365 B ．－3365 C.5475 D ．－54755．已知sin α＋sin β＝45，cos α＋cos β＝35，则cos(α－β)的值为( )A.925B.1625C.12 D ．－12 二、填空题 6．已知cos α＝32，α是锐角，则cos(α－π4)＝________. 7．已知sin α＝－13，α∈(π，32π)，cos β＝－45，β∈(π2，π)，则cos(α－β)＝________.8．已知cos(α＋30°)＝1213，30°＜α＜90°，则cos α＝________.三、解答题9．已知cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13，求cos(α－β)．10．已知tan α＝4 3，cos(α＋β)＝－1114，α、β均为锐角，求cos β的值．11．已知cos(α－β)＝－45，sin(α＋β)＝－35，π2<α－β<π，3π2<α＋β<2π，求β的值．12. 已知向量m ＝(cos B 2，12)与向量n ＝(12，cos B2)共线，其中A ，B ，C 是△ABC 的内角．(1)求角B 的大小；(2)若cos C ＝35，求cos A 的值．13.已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈(0，π2)．(1)求sin θ和cos θ的值；(2)若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0＜φ＜π2，求角φ的值．。
