第一讲__培优__圆的基本性质

第一讲 圆 (1) 圆的性质与四点共圆一. 圆的基本性质:1. 定义: 同一平面上到定点距离等于定长的点的集合.不共线三点确定一个圆;圆是轴对称图形, 任何一条直径都是对称轴; 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形. 2. 垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦, 并且平分弦所对的两条弧. 使用推理: ∵直径PQ ⊥弦AB 于点C∴AC=BC , 弧AP=弧BP, 弧AQ=弧BQ. 推论1. ○1平分弦(非直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;○2弦的垂直平分线经过圆心, [并且平分弦所对的两条弧; ]○3平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧. 推论2. 圆的两条平行弦所夹的弧相等.3. 一条弦所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.在同圆或等圆中, 等圆心角⇔等弧⇔等弦⇔等弦心距.例1. 已知: AB 是⊙O 的直径, 半径OC ⊥AB, 求证: ∠CBE=2∠ABE 证明: 连接OE 、CE∵ EF 垂直平分CO∴ OE=CE=CO∴ ⊿CEO 中, ∠COE=60︒∵ ∠COA=90︒∴ ∠EOA=∠COA-∠COE=30︒∴∠CBE=2∠ABE.练习1. 已知: ⊙O 中, 弦AC ⊥BD , 又OE ⊥CD 求证: 2OE=AB .练习2. 已知: ⊙O 中, 半径OC ⊥AB.弦CD 、CE 分别交AB 于F 、G .求证: CF •CD=CG •CE .二. 四点共圆(圆内接四边形)1. 性质: ○1 圆内接四边形的对角互补, 并且任何一个外角都等于它的内对角. ○2证明: 在线段BD 上取点E, 使得∠ECD=∠BCA , 则∠ECB=∠DCA 又∠BAC=∠EDC ∴ ⊿BAC ∽⊿EDC∴DE AB =DCAC∴AB •DC=AC •DE 同理: ∵∠EBC=∠DAC , ∠ECB=∠DCA ∴ ⊿EBC ∽⊿DAC∴AD BE =ACBC∴BE •AC=AD •BC∴ 当2. 判定: ○1如果四边形的对角互补或其一个外角等于它的内对角, 则四边形四个顶点共圆. ○2有公共底边且顶点在公共边的同侧的两个三角形的顶角相等,则它们四个顶点共圆.例2: 已知: 点P 是等边⊿ABC 外接圆的劣弧BC 上任意一点, AP 交BC 于点D. 求证: PA 2=AC 2+PB •PC 证明: ∵ AB=BC=AC∴ 弧AB=弧AC=弧BC∴ ∠APB=∠ABC ,又∠DAB=∠BAP∴ ⊿DAB ∽⊿BAP ∴AB DA =APBA∴ BA 2=AD •AP 同法: ∠DPB=∠CPA , ∠CBP=21弧PC=∠ ∴⊿CPA ∽⊿DPB∴ AP CP =BPDP∴CP •BP=AP •DP∴PC •PB+AC 2=AP •DP+BA 2=AP •DP+AP •练习3. 已知:圆内接四边形ABCE 中, AE=CE,AB=AC, AE 、BC 的延长线交于点D. 求证: CD 2=AE •AD .例4. 已知: ⊿ABC 中.∠A:∠B:∠C=1:2:4.求证:BCAC AB 111=+ 证明: (法一)易知∠A=7π, ∠B=72π,∠C=74π原式⇔AC •BC+AB •BC=AB •AC (联想到托勒密定理)作⊿ABC 的外接圆⊙O , 在其上取点C 1, 满足AC=CC 1 , 连接AC 1、BC 1 .∵ A 、C 、B 、C 1四点共圆∴∠CAC 1=∠AC 1C=∠ABC=72π∴∠C 1AB=∠CAC 1-∠A=7π=∠A∴BC=BC 1而∠ABC 1=∠ACC 1=π-2∠CAC 1=73π∴∠AC 1B=π-∠BAC 1-∠ABC 1=73π=∠ABC 1 ∴ AB=AC 1由托勒密定理: AC •BC 1+BC •AC 1=AB •CC 1∴ AC •BC+BC •AB=AB •AC ∴BCAC AB 111=+(法二) 由正弦定理: 原式⇔AC B sin 1sin 1sin 1=+⇔7sin174sin 172sin 1πππ=+⇔ sin 7πsin 74π+sin 7πsin 72π= sin 74πsin 72π⇔ 2sin 7πsin 73π+2sin 7πsin 72π= 2sin 73πsin72π而 左边=(cos 72π-cos 74π)+(cos 7π-cos 73π)= cos 72π+ cos 7π右边=cos 7π-cos 75π= cos 7π+cos 72π=右边 ∴原式成立.练习4: 已知: ⊿ABC 与⊿A ¹B ¹C ¹三边分别为a 、b 、c ，与a ¹、b ¹、c ¹,且∠B=∠B ¹,∠A+∠A ¹=180º.求证：aa ¹=bb ¹+cc ¹.例5. (如图) 梯形ABCD 中AB//DC, 且AB>CD ，M 、N 分别为腰BC 、AD 上的点, ∠DAM=∠求证： ∠CNB = ∠DMA证明：连接MN∵∠DAM =∠CBN∴ M 、N 、A 、B 四点共圆∴∠CMN = ∠NAB , ∠ANB = ∠AMB 又 ∠NDC = 180°-∠NAB ∴ ∠NDC + ∠CMN = 180°∴ M 、N 、D 、C 四点共圆 ∴ ∠DNC = ∠CMD∴ ∠CNB = 180°-∠ANB -∠DNC = 180°-∠AMB -∠DMC= ∠DMA练习5.已知：在凸五边形ABCDE 中，∠ABC=∠ADE, ∠AEC=∠ADB 求证： ∠BAC = ∠DAE练习6. 已知：点M 为 ABCD 外一点，且∠CDM=∠CBM求证：∠BMC=∠DMA三 . 圆的切、割线 .1. 圆的切线判定定理: 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 圆的切线性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径.2. 切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线, 它们的切线长相等, 圆心和这点的连线平分两条切线的夹角3. 弦切角: 顶点在圆上,一边和圆相交, 另一边和圆相切的角叫弦切角.(1) 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.(2) 如果两个弦切角所夹的弧相等, 那么这两个弦切角相等.4. 圆的外切四边形的两组对边相等.5. 相交弦定理:如果圆内两条弦AB 、CD 相交于点P ,那么 PA •PB=PC •PD .6. 割线定理: 如果从圆外一点P 向圆引割线PAB 和PCD,那么PA •PB=PC •PD7. 切割线定理: 如果从圆外一点P 向圆引割线PAB 和切线PC, 那么 PA •PB=PC 2定理5,6,7合称圆幂定理.例6. 已知: 圆O 的弦CF 、DE 交于点求证: PA=PB .证明: ∵PA 为⊙O 切线, PDC 为⊙O 割线∴ PA 2=PD •PC ∵ PB//EF ∴∠PBD=∠FED而 ⊙O 中, ∠FED 与∠FCD 对同弧 ∴ ∠FED=∠FCD 又 ∠BPD=∠ ∴ ⊿BPD ∽⊿CPB∴PD PB =PBPC∴ PB 2=PD •PC ∴ PB 2= PA 2 ∴ PA=PB练习7: 已知: 从半圆O 上的一点C 向直径AB引垂线, 设垂足为D,作⊙O 1切CD 、DB 、弧BC 分别于点E 、G 求证: AC=AG .练习8. 已知: AB 是⊙O 的直径, 点C 在⊙O 上, ⊙C 切AB 于D, 与⊙O 相交于 E 、F 两点, EF 交CD 于点G .求证: CG=DG .例7. 圆内接四边形ABCD 的一组对边AB 、DC 的延长线交于点P, 另一组对边AD 、BC 的 延长线交于点Q, 自P 、Q 分别作圆的切线PE 、QF, 其中E 、F 是切点, 连接PQ. 求证: 以线段PE 、QF 、PQ 为边构成的三角形是直角三角形. [2007北京市高一赛题]练习9. 已知: ⊙O 1 与⊙O 2相交, 公共弦为MN,两圆的公切线为AB 与CD, 直线MN 交AB 于P, 交CD 于Q,求证: PQ 2=AB 2+MN 2练习10. 已知: ⊙O 1 与⊙O 2的公共弦为AB, 点C 为AB 上任意一点, 过C 作直线交⊙O 1 于D 、F ，交⊙O 2于E 、G .求证: DE:EC=GF:FC .。

初中数学圆的基本性质在初中数学的学习中，圆是一个非常重要的图形，它具有许多独特而有趣的基本性质。

这些性质不仅在数学理论中有着重要的地位，而且在实际生活中的各种应用也随处可见。

首先，让我们来了解一下圆的定义。

圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形，这个定点称为圆心，定长称为半径。

形象地说，就好像我们用一根绳子的一端固定在一个点上，另一端绑着一支笔，然后让笔绕着这个固定点旋转一周，所形成的轨迹就是一个圆。

圆的半径是决定圆大小的重要因素。

半径越大，圆就越大；半径越小，圆就越小。

而且，在同一个圆中，所有的半径长度都相等。

这是圆的一个基本特征。

接下来，我们看看圆的直径。

通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。

直径是圆中最长的线段，它的长度等于半径的两倍。

圆的周长是圆的另一个重要性质。

圆的周长是指绕圆一周的长度。

我们用字母 C 表示周长，用字母 r 表示半径，那么圆的周长公式就是C ＝2πr。

其中，π是一个数学常数，约等于 314159。

这个公式告诉我们，只要知道了圆的半径，就能很容易地计算出圆的周长。

圆的面积也是一个关键的概念。

圆的面积是指圆所占据的平面大小。

我们用字母 S 表示面积，那么圆的面积公式是 S ＝πr²。

这个公式可以帮助我们计算出给定半径的圆的面积。

在圆中，还有弧和扇形的概念。

弧是圆上任意两点之间的部分，扇形则是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形。

圆心角的度数决定了扇形的大小。

圆具有很好的对称性。

圆既是轴对称图形，对称轴是任意一条通过圆心的直线；圆也是中心对称图形，其对称中心就是圆心。

这种对称性使得圆在很多几何问题中具有独特的优势。

再来说说圆与直线的位置关系。

当直线与圆没有公共点时，称为直线与圆相离；当直线与圆有且仅有一个公共点时，称为直线与圆相切；当直线与圆有两个公共点时，称为直线与圆相交。

我们可以通过圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小关系来判断直线与圆的位置关系。

圆的基本性质知识点总结圆是平面上的一个几何图形，是由距离一个固定点的距离始终相等的所有点组成。

圆的基本性质有以下几个方面：1.圆的定义：圆是由平面上到一个固定点的距离都相等的点组成的图形。

2.圆的元素：圆由圆心、半径、直径、弦、弧等几个元素组成。

-圆心：圆的中心点，通常表示为O。

-半径：从圆心到圆周上的任意一点的距离，通常表示为r。

-直径：通过圆心的一条直线，两端点在圆上，直径是半径的两倍，通常表示为d。

-弦：在圆上连接两点的线段。

-弧：圆上的一段曲线，是由弦所确定的。

3.圆的唯一性：在平面上，给定圆心和半径，唯一确定一个圆。

4.圆的周长和面积：-周长：圆的周长也叫做“圆周长”或“周长”，是圆的边界的长度。

周长C等于直径d乘以圆周率π，即C=πd。

-面积：圆的面积是圆内部的部分，通常表示为A。

面积A等于圆的半径r的平方乘以π，即A=πr²。

5.圆与直线的关系：-圆的直角：圆的半径是以任意点与与之相切的直线垂直相交。

-切线：如果直线刚好和圆相切，那么它是圆的切线。

切线与半径的夹角是直角。

-弦的性质：圆上的弦，如果经过圆心，那么它是圆的直径。

否则，弦将分割圆周上的两个弧。

并且，同一圆上的等长弦所对的弧相等，且同等弧所对的弦相等。

6.圆的相似性：-圆的相似性质：如果两个圆的半径之比相等，那么这两个圆是相似的。

相似的圆形状相同，但可能有不同的大小。

7.圆的相关定理：-弧的定理：两条弦所对圆心角相等，那么这两条弦所对的弧相等。

-弧与弦的定理：如果一条弦上的两个弧所对圆心角相等，那么这两个弧也相等。

-弧与切线的定理：如果一个圆的一条切线与圆上的一条弦相交，那么两条切线所对的弧相等。

以上是圆的基本性质的总结，掌握这些知识点可以帮助我们理解圆的特性和运用这些性质解决与圆相关的几何问题。

第一节 圆的基本性质知识点一：圆的有关概念1.与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形． 在一个个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径。

以点O 为圆心的圆记作“⊙O ”，读作“圆O ”（2） 弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。

（如图中的AB ）（3）直径经过圆心的弦叫做直径。

（如途中的CD ）直径等于半径的2倍。

（4）半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

（5）弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

弧用符号“⌒”表示，以A ，B 为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB ”或“弧AB ”。

大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）（6）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.（7）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.（8）弦心距：圆心到弦的距离. （9）圆的对称性1)圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

点或）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆2)圆的中心对称性： 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

变式练习1：如图，⊙O 的半径为4，△ABC 是⊙O 的内接三角形，连接OB ，OC.若∠BAC 与∠BOC 互补，则弦BC 的长为( B )A ．3 3B ．4 3C ．5 3D ．6 3,第1题图) ,第2题图)变式练习2：如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠AOB ＝40°，则∠ADC 的度数是( C )A ．40°B ．30°C ．20°D ．15°变式练习3： 如图，扇形OAB 的圆心角为122°，C 是AB ︵上一点，则∠ACB ＝__119__°.,第3题图)知识点二 ：垂径定理及其推论1.垂径定理及其推论1)定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．2)推论：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

圆的基本概念和性质—知识讲解（提高）【学习目标】1．知识目标：理解圆的有关概念和圆的对称性；2．能力目标：能应用圆半径、直径、弧、弦、弦心距的关系，•圆的对称性进行计算或证明；3．情感目标：养成学生之间发现问题、探讨问题、解决问题的习惯.【要点梳理】要点一、圆的定义及性质1.圆的定义(1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.(2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.要点诠释：①定点为圆心，定长为半径；②圆指的是圆周，而不是圆面；③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.2.圆的性质①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴.要点诠释：①圆有无数条对称轴；②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”.3.两圆的性质两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）.要点二、与圆有关的概念1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)∴直径AB是⊙O中最长的弦.2.弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧.3.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.【高清ID号：356996 关联的位置名称（播放点名称）：概念、性质的要点回顾】4.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等.【典型例题】类型一、圆的定义1．已知：如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，求证：点A、B、C、D在以点O为圆心的同一个圆上.【答案与解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，∴OA=OC=OB=OD，∴点A、B、C、D在以点O为圆心、OA为半径的圆上.【总结升华】要证几个点在同一个圆上，只能依据圆的定义，去说明这些点到平面内某一点的距离相等. 举一反三：【变式】平行四边形的四个顶点在同一圆上，则该平行四边形一定是（）A.正方形B.菱形C.矩形D.等腰梯形【答案】C.2．爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点120m以外的安全区域。