生物统计学抽样分布

3
以样本容量n = 2对该总体进行复置抽 样，则样本平均数抽样总体为：
样本平均数抽样总体的总体容量为：
9 32 N n
样本平均数抽样总体的总体平均数为：
x

23 9
6

36 9

4

（2）原总体的总体标准差为：

x2 (
x )2 N
N
56 48 8
3
3
样本平均数抽样总体的总体标准差为：
第二节 抽样分布
生物统计学的主要任务就是研究总体和样本的关系：
■ 从样本到总体
从特殊到一般， 目的就是通过样本来推断总体
■ 从总体到样本
从一般到特殊， 目的就是研究样本统计量的分布及其与原总体的 关系
抽样分布是统计推断的基础，研究抽样分布的目的就是为了更好地进行统 计推断，并能正确地理解统计推断的结论
5. t-分布
5.1 t-分布的定义
正态分布的标准化公式为：
u x
根据公式可以计算出随机变量x在某一区间内出现的概率：
u x u
对于总体方差σ2已知的总体，根据标准正态分布可以知道样本平均数在某 一区间内出现的概率，公式为：
x
u
x
u x x u x

2 1

(n1 1)S12
2

2 2

(n2

1)
S
2 2
2
这两个χ2变量除以各自的自由度后的比值为：
12
(n1 1)

2 2
(n2 1)
(n1 1)S12

(n2

1)S
2 2
(n1

SE表示。包括: 样本平均数的标准误； 样本标准差的标准误； 样本相关系数的标准误； 标准差与标准误的异同： 都是描述数据的离中趋势,即都是离中趋势的指标 标准差是一般变量值离中趋势的指标 标准误是样本统计量离中趋势的指标 抽样误差:从总体中抽取容量为的个样本时，样本统 计量与总体参数之间总会存在一定的差距，而这种差 距是由于抽样的随机性所引起的样本统计量与总体参 数之间的不同，称为抽样误差。
志存高远，顽强拼搏
▪ 抽样分布：某一种统计量的频数分布。 ▪ （一）当总体为正态分布，总体方差已知时，样本平均数的
分布为正态分布。此时，样本平均数的平均数等于总体的平 均数；样本平均数的标准差，等于总体标准差除以N的平方 根。 ▪ 当总体为正态分布，总体方差未知，且样本为大样本时，样 本平均数的分布为渐近正态分布。
本统计量
t
X S
的分布。t分布是统计分析中应用较多的
n 1
一种随机变量函数的分布,是统计学者高赛特(Goeset)1908年
在以笔名"Student"发表的一篇论文中推导的一种分布。
志存高远，顽强拼搏
（二） t分布的特征
▪ 1. t分布的平均值为0。 ▪ 2. t分布是以过平均值0的垂线为轴的对称分布,分布左侧t
（四）依随机取样的原则,自正态分布的总体中抽取 容量为n的样本,当n足够大时(n≥30),样本方差及 标准差的分布,渐趋于正态分布。
志存高远，顽强拼搏
二、t分布
▪ 当总体为正态分布，但总体方差未知，而且N＜30时，样本
平均数的分布为t分布。 ▪ （一）什么是t分布
若干个来自已知平均数为U，而方差未知的正态分布总体的样
自由度的变化而变化。 ▪ 联系：当自由度趋于无穷大时， t分布接近标准正态分布。

F 2
df1 df2
df1 df2 2
F
,F
0
0, F 0
F分布的平均数和方差分别为：
F
df2 , df df2 2
2
2 F
2df22 (df1 df2 2) df1(df2 2)2 (df2 4)
,
df
2
4
线性内插法求F值
求F12,17,0.05 1. 先查F12,15,0.05 ＝2.475， F12,20,0.05 ＝2.278 2. 公式： F12,17,0.05 ＝ F12,15,0.05 +(F12,20,0.05 F12,15,0.05 )/(20-15)×（17-15） 3. 结果：＝2.3962
( df 1) 2
(1
t2
df 1
) 2 ,
t
df ( )( df ) df
2
式中df＝n-1
t分布的特征数：
t 0 (df 1)
t
df df 2
(df 2)
1:t 0 (df 3)
2:t
6 df 4
(df 4)
P(t≥tα)＝ P(t≤-tα)＝α
P(| t | t )
当用σi2去出si2之后， si2 就被标准化了，标准化
的样本方差之比称为F：
s12
2
1
F df1,df2
2
s2
2 2
F分布是由一对自由度df1和df2确定的，F分布的 密度函数为：
f df1 ,df2
df1 df2
df1
2
df1 df2
2
df1 df2 2 2
1
df1 1
,2
0

但这还不够，历史上也没有因此避免 正态分布在应用上的危机，因为要获得σ 的准确数值，其难度比μ大得多。到1908 年W.S.Gosset公开发表一篇论文才使抽样 误差的研究走出应用上的困境。
如例2.1中定义样本标准误SӮ = S /√n，
则可将抽样误差转换成另一个标准化变量
t = ( Ӯ－μ)÷S/√n = 0.55 ÷ 0.9 = 0.61 查附表3可知获得0.55的两尾概率
第二节 显著性检验的原理
附表3所列为9种双侧概率对应的 | t | , 如右图所示, 当 n –1= 9时, 0.05 和0.10栏目下的2.262和1.833就表明 所得标准化变量 t 在 n =10时绝对值 超过2.262的概率(双侧面积)为0.05, 超过1.833的概率(双侧面积)为0.10。
0.15 0.1
0.05 0
2.262
↓ 0.025
0.025
1.833 ↓
0.05
t
-3.9 -2.7 -1.5 -0.3
0.9 2.1 3.3
第二节 显著性检验的原理
0.45 0.4
0.35 0.3
f(t)
N(0, 1)
←ν= 7
0.25 0.2
ν=∞→
0.15 0.1
0.05
ν= 2→
←ν= 4
4.0
1
Σ 还是正态分布，只是其变量特殊罢了。 16
12 36 0 0 14 49 0.5 2 4 16 0 1
48 148 — 8
⑶只有以自由度 n –1算得的样本方差 S2才是σ2 的无偏估计值。
（ ΣS2 / Nn = 8÷16 = 1/2 = σ2 ）
（但 S 不是σ的无偏估计值）
第一节 单个母总体抽样