流体动力学基本方程

L1 L2 V 2 hw 2.35m d 2g P g if
3 3
d 2
4 0.75
V ( H hw ) 43.83kW Preal 58.44kW
L1 2 2 L2 H
h 1
1
【解】 水流经弯管，动量发生变化，必然产生作用力F。而F与管 壁对水的反作用力R平衡。管道水平放置在xoy面上，将R分解成Rx和Ry 两个分力。
取管道进、出两个截面和管内壁为控制面，如图所示，坐标按图示 方向设置。 1.根据连续性方程可求得：
v1

qV d 12
0 .1 4 1.42 2 0 .3
个坐标方向的投
影（不包括惯性
力）。
二、综合应用举例 【例】 水平放置在混凝土支座上的变直径弯管，弯管两端与等直径 管相连接处的断面1-1上压力表读数p1=17.6×104Pa，管中流量 qv=0.1m3/s，若直径d1=300㎜，d2=200㎜，转角Θ=600，如图3-25所 示。求水对弯管作用力F的大小
微分形式连续性方程
( u ) ( v ) ( w ) 0 t x y z
或
( V ) 0 t
在推导上述连续性方程时，没有涉及作用力的 问题，所以不论是对理想流体还是实际流体都是适 用的
连续性方程

定常流动:
( u ) ( ) ( w) 0 x y z
3
2Biblioteka Baidu
2
17.2 10
3
(Pa)
3.所取控制体受力分析
进、出口控制面上得总压力：
3
P1 p1 A1 17.6 10 0.32 12.43 4
P2 p 2 A2 17.2 103 4
（kN）
0.2 2 5.40
（kN）
壁面对控制体内水的反力Rx、Ry，其方向先假定如图(3-25)所示。
（kN）
(kN)
水流对弯管的作用力F与R大小相等，方向相反。
§4-1 粘性流动的伯努利方程

流体沿流线从点1到点2,机械能减少:
p1 V12 p2 V22 z1 1 z2 2 hw g 2g g 2g
hw为损失水头，单位：mH2O hw分为两类: 沿程损失hf和局部损失hj
1) 能量形式
2) 压头形式 3) 水头形式
•伯努利方程的物理意义

能量意义： p gz V 2 常数
2 沿流线，(压力能＋势能＋动能)守恒
单位：J/kg
V 2 p gz 常数 单位： Pa 2 沿流线，(静压＋位压＋动压)守恒

几何意义：
p V2 z 常数 g 2g
单位：mH 2 O
沿流线, (压力水头＋位置水头＋速度水头)＝总水头, 即：沿流线总水头守恒
恒定总流的动量方程
式中，Fx ,Fy ,Fz 为作用于控制体 上所有外力在三
qv ( 2 v2 x 1v1x ) Fx qv ( 2 v2 y 1v1 y ) Fy qv ( 2 v2 z 1v1z ) Fz
（kN） 沿y轴方向
P 1 sin R y qV (0 v1 sin )
R y P1 sin qV v1 sin
12.43sin 60 0.11.42 sin 60 10.88
管壁对水的反作用力
2 2 R Rx Ry (0.568) 2 10.882 10.89
试求: (1)水泵安装高度 (2)水泵的功率
3 3
解: V=Q/A=1.0186m/s
对1-1与2-2应用伯努利方程
pa p V l V h g g 2 g d 2g p p a 4.5m h 4.42m g
2 2
L2 L1 2 2 H
h 1
1
水泵的有效功率为 P=gQ(H+hw)
4.写出动量方程
选定坐标系后，凡是作用力（包括其分力）与坐标轴方向一致 的，在方程中取正值；反之，为负值。
沿x轴方向
P 1 cos P 2 Rx Q(v2 v1 cos )
则
R x qV (v 2 v1 cos ) P2 P1 cos
0.1 (3.18 1.42 cos 60 ) 5.40 12.43cos 60 0.568
V2 hj 2g l V2 hf , d 2g
• 实验证明: 沿程损失hf与流态有关
例4.2.8 H=20m, 吸水管长L1=10m, 压水管长L2=1000m, 管径 均为d=500mm, 沿程损失系数=0.022, 不计局部损失, 设计流 量为Q=0.2m3/s, 如果要求2-2截面的真空压强为44kpa
•ρ =常数时（不可压）,且流动定常：
u w 0 x y z
或
V 0
总流的连续性方程
1V1 A1 2V2 A2
对于不可压缩均质流体常数：
V1 A1 V2 A2
伯努利方程

三种形式：
V2 单位：J/kg gz const 2 V 2 gz p const 单位：Pa 2 p V2 z const 单位：mH2O g 2 g p
(m/s)
2.列管道进、出口的伯努利方程
4 qV 0.1 4 v2 3.18 2 2 0.2 d2 4
(m/s)
2 2 p1 v1 p2 v2 则得： g 2 g g 2 g
2 2 p 2 p1 (v1 v2 )/2
17.6 10 1000 (1.42 3.18 ) / 2