泊松分布

泊松分布的概念及表和查表方法Poisson分布，是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisson）在1838年时发表。

中文名泊松分布外文名poisson distribution 分类数学时间1838年台译卜瓦松分布提出西莫恩·德尼·泊松目录1命名原因2分布特点3关系4应用场景5应用示例6推导7形式与性质命名原因泊松分布实例泊松分布（Poisson distribution），台译卜瓦松分布（法语：loi de Poisson，英语：Poisson distribution，译名有泊松分布、普阿松分布、卜瓦松分布、布瓦松分布、布阿松分布、波以松分布、卜氏分配等），是一种统计与概率学里常见到的离散机率分布（discrete probability distribution）。

泊松分布是以18～19 世纪的法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisson）命名的，他在1838年时发表。

这个分布在更早些时候由贝努里家族的一个人描述过。

分布特点泊松分布的概率函数为：泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生次数。

泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。

泊松分布的期望和方差均为特征函数为关系泊松分布与二项分布泊松分布当二项分布的n很大而p很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，其中λ为np。

通常当n≧20,p≦0.05时，就可以用泊松公式近似得计算。

事实上，泊松分布正是由二项分布推导而来的，具体推导过程参见本词条相关部分。

应用场景在实际事例中，当一个随机事件，例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等，以固定的平均瞬时速率λ（或称密度）随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布P(λ)。

目录1命名原因2分布特点3关系4应用场景5应用示例6推导7形式与性质命名原因泊松分布实例泊松分布（Poisson distribution），台译卜瓦松分布（法语：loi de Poisson，英语：Poisson distribution，译名有泊松分布、普阿松分布、卜瓦松分布、布瓦松分布、布阿松分布、波以松分布、卜氏分配等），是一种统计与概率学里常见到的离散机率分布（discrete probability distribution）。

泊松分布是以18～19 世纪的法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisson）命名的，他在1838年时发表。

这个分布在更早些时候由贝努里家族的一个人描述过。

分布特点泊松分布的概率函数为：泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生次数。

泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。

泊松分布的期望和方差均为特征函数为关系泊松分布与二项分布泊松分布当二项分布的n很大而p很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，其中λ为np。

通常当n≧20,p≦时，就可以用泊松公式近似得计算。

事实上，泊松分布正是由二项分布推导而来的，具体推导过程参见本词条相关部分。

应用场景在实际事例中，当一个随机事件，例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等，以固定的平均瞬时速率λ（或称密度）随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布P(λ)。

因此,泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位（在早期学界认为人类行为是服从泊松分布，2005年在nature上发表的文章揭示了人类行为具有高度非均匀性）。

应用示例泊松分布适合于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数。

如某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一块产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等等。

泊松分布的概念及表和查表方法Poisson分布，是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisson）在1838年时发表。

中文名泊松分布外文名poisson distribution 分类数学时间1838年台译卜瓦松分布提出西莫恩·德尼·泊松目录1命名原因2分布特点3关系4应用场景5应用示例6推导7形式与性质命名原因泊松分布实例泊松分布（Poisson distribution），台译卜瓦松分布（法语：loi de Poisson，英语：Poisson distribution，译名有泊松分布、普阿松分布、卜瓦松分布、布瓦松分布、布阿松分布、波以松分布、卜氏分配等），是一种统计与概率学里常见到的离散机率分布（discrete probability distribution）。

泊松分布是以18～19 世纪的法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Sim éon-Denis Poisson）命名的，他在1838年时发表。

这个分布在更早些时候由贝努里家族的一个人描述过。

分布特点泊松分布的概率函数为：泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生次数。

泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。

泊松分布的期望和方差均为特征函数为关系泊松分布与二项分布泊松分布当二项分布的n很大而p很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，其中λ为np。

通常当n≧20,p≦0.05时，就可以用泊松公式近似得计算。

事实上，泊松分布正是由二项分布推导而来的，具体推导过程参见本词条相关部分。

应用场景在实际事例中，当一个随机事件，例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等，以固定的平均瞬时速率λ（或称密度）随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布P(λ)。

泊松分布的计算
一、泊松分布的计算
泊松分布是随机事件在一个固定时间段内发生的概率分布，其中每个事件的发生是相互独立的，且发生概率不受其他事件发生的影响。

泊松分布的参数是一个独立的，由全体可能事件的概率总和决定的形态。

计算泊松分布的公式为：
P(x) = ((λ^x)* e^(-λ))/x!
其中，λ是每个事件发生的期望值，x是事件发生的次数，e是
自然常数，x!是x的阶乘。

二、通过泊松分布计算概率
例如，若给定一个λ=4，计算在一个可能事件中发生两次的概率。

在这种情况下，x=2，因此可以将上面的公式应用于此：
P(x) = ((4^2) * e^(-4))/2!
P(x) = (16 * 0.018315638) / 2
P(x) = 0.2945
因此，在一个有可能的事件中发生两次的概率为0.2945。

- 1 -。

泊松分布的概率分布泊松分布是概率论中一种重要的离散型概率分布，它描述了在一定时间或空间范围内，某一事件发生的次数的概率分布情况。

泊松分布常被用来描述单位时间内某事件发生的次数，例如在单位时间内电话接到的次数、某个网站每天收到的访问次数等。

本文将从泊松分布的定义、特点、应用等方面进行介绍。

一、泊松分布的定义泊松分布是一种离散型概率分布，它表示在一个固定时间或空间内，某事件发生的次数的概率分布情况。

泊松分布的概率质量函数为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中，X为事件发生的次数，k为非负整数，λ为单位时间或空间内事件的平均发生次数，e为自然对数的底。

二、泊松分布的特点1. 独立性：泊松分布假设事件的发生是相互独立的，即一个事件的发生不会影响到其他事件的发生。

2. 稀有性：泊松分布适用于事件发生的概率较小的情况，即当λ很小时，泊松分布可以近似描述事件的发生情况。

3. 均值和方差相等：泊松分布的均值和方差都等于λ，即E(X) = Var(X) = λ。

三、泊松分布的应用1. 电话呼叫中心：泊松分布可以用来描述电话呼叫中心在单位时间内接到的呼叫次数。

通过分析呼叫的泊松分布，可以确定合理的客服人员数量，以满足客户的需求。

2. 网络流量：泊松分布可以用来描述网络上的数据包到达的情况。

通过分析网络流量的泊松分布，可以预测网络负载，优化网络性能。

3. 事故发生：泊松分布可以用来描述事故发生的次数。

例如，在某个工厂每月发生的事故次数符合泊松分布，可以通过对泊松分布的分析，制定相应的安全措施，减少事故发生的概率。

4. 遗传突变：泊松分布可以用来描述遗传突变的发生情况。

通过对遗传突变的泊松分布进行分析，可以研究突变的规律，为相关疾病的治疗提供理论依据。

四、泊松分布的优缺点1. 优点：泊松分布具有简单、易于计算的特点，适用于描述稀有事件的发生情况。

在实际应用中，泊松分布通常用来近似描述一些复杂的实际问题。

泊松分布超几何分布泊松分布和超几何分布是概率论中常见的两种离散概率分布，它们在实际问题中具有广泛的应用。

本文将分别介绍泊松分布和超几何分布的定义、特点以及应用领域。

一、泊松分布泊松分布是一种描述单位时间内随机事件发生次数的概率分布。

它的定义如下：在单位时间内随机事件发生的次数服从泊松分布，如果事件发生的概率在不同时间段内相等，并且相互独立。

泊松分布的特点是只有一个参数λ，表示单位时间内事件平均发生的次数。

泊松分布的概率质量函数为：P(X=k)=e^(-λ)*(λ^k)/k!，其中e为自然对数的底数。

泊松分布的应用非常广泛。

例如，在电话交换机的研究中，可以使用泊松分布来描述单位时间内呼叫到达的次数；在客流量预测中，可以使用泊松分布来描述单位时间内到达某个地点的人数；在信号传输中，可以使用泊松分布来描述单位时间内出现的误码数等。

二、超几何分布超几何分布是描述从有限总体中抽取固定数量样本中成功次数的概率分布。

它的定义如下：从总体中随机抽取n个样本，其中包含m 个成功的样本和N-m个失败的样本，那么超几何分布表示样本中成功次数的概率分布。

超几何分布的特点是有三个参数：总体中成功的样本数m，总体中失败的样本数N-m，以及抽取的样本数量n。

超几何分布的概率质量函数为：P(X=k)=(C(m,k)*C(N-m,n-k))/C(N,n)，其中C(a,b)表示从a个元素中选取b个元素的组合数。

超几何分布的应用也非常广泛。

例如，在质量控制中，可以使用超几何分布来描述从一批产品中抽取固定数量的样本中不合格品的数量；在样本调查中，可以使用超几何分布来描述从总体中抽取一定数量的样本中满足某个条件的样本数量等。

泊松分布和超几何分布在实际问题中的应用是相互补充的。

泊松分布适用于描述单位时间内事件发生的次数，而超几何分布适用于描述从有限总体中抽取样本中成功次数。

在实际问题中，可以根据具体情况选择使用泊松分布还是超几何分布来建立概率模型。

泊松分布的概念及表和查表方法目录1命名原因2分布特点3关系4应用场景5应用示例6推导7形式与性质命名原因泊松分布实例泊松分布（Poisson distribution），台译卜瓦松分布（法语：loi de Poisson，英语：Poisson distribution，译名有泊松分布、普阿松分布、卜瓦松分布、布瓦松分布、布阿松分布、波以松分布、卜氏分配等），是一种统计与概率学里常见到的离散机率分布（discrete probability distribution）。

泊松分布是以18～19 世纪的法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisson）命名的，他在1838年时发表。

这个分布在更早些时候由贝努里家族的一个人描述过。

分布特点泊松分布的概率函数为：泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生次数。

泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。

泊松分布的期望和方差均为特征函数为关系泊松分布与二项分布泊松分布当二项分布的n很大而p很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，其中λ为np。

通常当n≧20,p≦0.05时，就可以用泊松公式近似得计算。

事实上，泊松分布正是由二项分布推导而来的，具体推导过程参见本词条相关部分。

应用场景在实际事例中，当一个随机事件，例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等，以固定的平均瞬时速率λ（或称密度）随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布P(λ)。

因此,泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位（在早期学界认为人类行为是服从泊松分布，2005年在nature上发表的文章揭示了人类行为具有高度非均匀性）。

应用示例泊松分布适合于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数。

泊松分布定理泊松分布定理又称为泊松定理，是概率论中的一条重要定理，它描述了随机事件在单位时间内发生的次数服从泊松分布的概率分布。

泊松分布定理的数学表达式为：P(k) = λ^k * e^(-λ) / k!其中，P(k)表示事件发生k次的概率，λ为单位时间内事件平均发生的次数。

首先，我们来解释一下泊松分布的背景和基本概念。

泊松分布是一种描述离散随机变量的概率分布，它适用于具有以下特点的事件：1. 事件是独立发生的，每次事件的发生与其他事件的发生无关。

2. 事件在单位时间内发生的次数是有限的，没有上限。

3. 事件平均发生的次数在单位时间内是相对稳定的，不会随时间发生变化。

泊松分布定理给出了计算事件发生概率的具体公式，可以通过该公式计算出任意次数事件发生的概率。

泊松分布定理的证明主要基于数学方法，其中用到了高等数学中的泰勒级数展开和极限的概念。

证明的过程比较抽象和复杂，对于一般读者来说可能较难理解。

然而，对于实际应用中的问题，我们可以通过具体的例子来更好地理解和应用泊松分布定理。

例如，假设一个电话交换台每分钟接收的电话次数平均为3次，现在我们希望知道在30分钟内接收到5次电话的概率是多少。

根据泊松分布定理，我们可以计算出这个概率。

首先，将λ=3代入泊松分布定理公式，得到事件发生k=5次的概率P(5)：P(5) = 3^5 * e^(-3) / 5!接下来，我们希望计算在30分钟内接收到5次电话的概率，这相当于在30个单位时间内接收到5次电话的概率。

由于事件是独立发生的，我们可以将30分钟内接收到5次电话的概率表示为：P = P(5)^30将前面计算得到的P(5)代入上式，即可计算出在30分钟内接收到5次电话的概率。

通过这个例子，我们可以看到泊松分布定理的应用具有一定的实用性。

在实际问题中，例如交通流量的分析、疾病的发病率研究等，都可以采用泊松分布定理进行概率计算。

总结起来，泊松分布定理是概率论中的一条重要定理，用于描述随机事件在单位时间内发生的次数服从泊松分布的概率分布。

泊松分布的理解一、什么是泊松分布泊松分布是一种概率分布，它描述了在一定时间或空间范围内，事件发生的次数。

它得名于法国数学家西蒙泊松（Siméon Denis Poisson），他在研究天文学时发现了这种分布。

泊松分布的特点是：事件的发生是随机的，且任意两个事件之间是独立的。

它通常用于描述一些稀有事件的发生概率，例如地震、车祸、电话呼叫等。

二、泊松分布的公式泊松分布的概率质量函数为：P(X=k)=e^(-λ) * λ^k / k!其中，X表示事件发生的次数，λ表示单位时间或单位空间内事件的平均发生次数，k表示事件发生的次数。

三、泊松分布的实际应用1. 网络攻击网络攻击是一种随机事件，它的发生概率符合泊松分布。

例如，黑客攻击某个网站的次数就可以用泊松分布来描述。

在网络安全领域，泊松分布被广泛应用于预测网络攻击的发生概率和频率，以便采取相应的防御措施。

2. 电话呼叫电话呼叫也符合泊松分布的特点。

例如，某个电话服务中心在一个小时内接到的呼叫次数就可以用泊松分布来描述。

这种分布可以帮助电话服务中心预测客户呼叫的数量，以便安排足够的客服人员来处理呼叫。

3. 交通事故交通事故也可以用泊松分布来描述。

例如，在一个路口发生的交通事故数量就可以用泊松分布来表示。

这种分布可以帮助交通管理部门预测交通事故的发生概率和频率，以便采取相应的交通安全措施。

四、泊松分布的优点和缺点泊松分布的优点是：它简单易用，适用于描述稀有事件的发生概率。

它的概率质量函数只有一个参数λ，可以通过样本数据来估计。

此外，泊松分布具有无记忆性，即事件的发生概率与之前的事件无关，这使得它在实际应用中更加方便。

泊松分布的缺点是：它只适用于描述稀有事件，当事件的发生次数较多时，它的拟合效果就会变差。

此外，泊松分布假设事件的发生是随机独立的，但在实际应用中，事件之间可能存在一定的相关性，这也会影响泊松分布的拟合效果。

五、总结泊松分布是一种描述稀有事件发生概率的概率分布，它可以应用于很多领域，例如网络安全、电话服务、交通管理等。

泊松分布公式概述Poisson分布（法语：loi de Poisson，英语：Poisson dist ribution，译名有泊松分布、普阿松分布、卜瓦松分布、布瓦松分布、布阿松分布、波以松分布、卜氏分配等），是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisson）在1838年时发表。

概率论中常用的一种离散型概率分布。

若随机变量X 只取非负整数值，取k值的概率为(k=1,2,3…),则随机变量X 的分布称为泊松分布，记作P(λ)。

这个分布是S.-D.泊松研究二项分布的渐近公式是时提出来的。

泊松分布P (λ)中只有一个参数λ ，它既是泊松分布的均值，也是泊松分布的方差。

在实际事例中，当一个随机事件，例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等，以固定的平均瞬时速率λ(或称密度)随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布。

因此泊松分布在管理科学，运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位。

泊松分布的概率密度函数为：P(X=k)=\frac{e^{-\lambd a}\lambda^k}{k!} 泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。

泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。

如某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数等等。

观察事物平均发生m次的条件下，实际发生x次的概率P （x）可用下式表示：P（x）=（m^x/x!)*e^(-m)p ( 0 ) = e ^ (-m)称为泊松分布。

例如采用0.05J/m2紫外线照射大肠杆菌时，每个基因组（～4×106核苷酸对）平均产生3个嘧啶二体。

泊松分布联合概率密度泊松分布是一种常见的概率分布，常被用于描述某个时间段或空间区域内事件发生的次数。

本文将介绍泊松分布的概念、特点以及应用，并探讨它的联合概率密度函数。

一、泊松分布的概念与特点泊松分布是一种离散型概率分布，用于描述在一定时间或空间范围内，某个事件发生的次数。

泊松分布的随机变量取值范围是0、1、2、3...，且概率均为非负数。

泊松分布的参数λ表示单位时间或单位空间内事件的平均发生率。

泊松分布的概率质量函数为：P(X=k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!其中，e为自然对数的底数，k为事件发生的次数。

泊松分布的特点有以下几点：1. 独立性：泊松分布的事件是相互独立的，即一个事件的发生不受其他事件的影响。

2. 均值与方差相等：泊松分布的均值和方差都等于λ，即E(X) = Var(X) = λ。

3. 正态分布的极限：当λ趋近于无穷大时，泊松分布近似服从正态分布。

二、泊松分布的应用泊松分布在实际生活和工作中有广泛的应用，以下是几个常见的应用场景：1. 道路交通流量：泊松分布可以用于描述单位时间内某个道路上的车辆通过的次数，从而帮助交通规划和拥堵预测。

2. 电话呼叫中心：泊松分布可以用于模拟电话呼叫中心的客户呼叫次数，帮助确定客服人员的需求和排队等待时间。

3. 网络流量：泊松分布可以用于描述网络数据包到达的时间间隔，从而帮助优化网络带宽和传输速率。

4. 电子商务网站：泊松分布可以用于模拟用户在电子商务网站上的点击次数，从而帮助提高网站的性能和用户体验。

三、泊松分布的联合概率密度函数泊松分布的联合概率密度函数是指多个泊松分布随机变量同时发生的概率密度函数。

假设有两个独立的泊松分布随机变量X和Y，其参数分别为λ1和λ2，则它们的联合概率密度函数为：P(X=k, Y=n) = (e^(-(λ1+λ2)) * (λ1^k) * (λ2^n)) / (k! * n!)其中，k和n分别表示事件X和Y发生的次数。

泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。

如某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数等等。

泊松分布的概率质量函数为：泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。

当二项分布的n很大而p很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，其中λ为np。

通常当n≧20,p≦0.05时，就可以用泊松公式近似计算在概率论和统计学中，指数分布（Exponential distribution）是一种连续概率分布。

指数分布可以用来表示独立随机事件发生的时间间隔，比如旅客进机场的时间间隔、中文维基百科新条目出现的时间间隔等等。

许多电子产品的寿命分布一般服从指数分布。

有的系统的寿命分布也可用指数分布来近似。

它在可靠性研究中是最常用的一种分布形式。

指数分布是伽玛分布和威布尔分布的特殊情况，产品的失效是偶然失效时，其寿命服从指数分布。

指数分布可以看作当威布尔分布中的形状系数等于1的特殊分布，指数分布的失效率是与时间t无关的常数，所以分布函数简单。

Gamma分布的定义设α，β是正常数，如果X的密度是：就称X是服从参数为（α，β）的Gamma分布。

并记为Γ(β,α).Gamma分布中2参数为形状参数α（shape parameter）和尺度参数β（sc ale parameter），当α为正整数时，分布可看作α个独立的指数分布之和，当k趋向于较大数值时，分布近似于正态分布。

下图为概率密度函数（图中形状参数k为（shape parameter）和尺度参数θ为（sc ale parameter））。

性质：1、β=n，Γ(n,α)就是Erlang分布。

Erlang分布常用于可靠性理论和排队论中,如一个复杂系统中从第 1 次故障到恰好再出现n 次故障所需的时间;从某一艘船到达港口直到恰好有n 只船到达所需的时间都服从Erlang分布；2、当β= 1 时，Γ(1,α) 就是参数为α的指数分布,记为exp (α) ；3、当α = 1/2，β=n/2时，Γ (n/2,1/2)就是数理统计中常用的χ2( n) 分布。

如何理解泊松分布(PoissonDistribution)【泊松分布是以其发表者Poisson命名的】随机变量X服从参数为λ的泊松分布，记作 X ∼ π ( λ )X\sim\pi(\lambda) X∼π(λ)其分布律为P { X = k } = λ k e − λ k ! , k = 0 , 1 , 2 , …P\{X=k\}=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, k=0,1,2,… P{X=k}=k!λke−λ,k=0,1,2,…其中λ>0注意k取值哟，k是从0到∞！！证明分布律对于上式，我们需要证明其满足分布律的条件，即各值概率求和为1, 即：∑ k = 0 ∞ P { X = k } = 1\sum_{k=0}^{\infty}P\{X=k\}=1 k=0∑∞P{X=k}=1证明如下：∑ k = 0 ∞ P { X = k } = ∑ k = 0 ∞ λ k e −λ k ! = e − λ ∑ k = 0 ∞ λ k k ! = e − λ × e λ = 1\sum_{k=0}^{\infty}P\{X=k\}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\ lambda^k e^{-\lambda}}{k!}=e^{-\lambda}\sum_{k=0}^\infty\frac{\lambda^k}{k!}=e^{-\lambda}\times e^{\lambda}=1 k=0∑∞P{X=k}=k=0∑∞k!λke−λ=e−λk=0∑∞k!λk=e−λ×eλ=1这个求和用到了函数f(x)=e^x的带有拉格朗日余项的n阶麦克劳林公式哈哈，其实这里只是推导一下就好，更严谨，以后使用公式时候用不到泊松定理这是一种用泊松分布逼近二项分布的定理，可以看作泊松分布分布律从二项分布律的推导，具体内容如下：n为任意正整数，np=λ，λ>0,对任意非负整数k，都有 lim ⁡ x → ∞ C n k p n k ( 1 − p ) n − k = λ k e −λ k ! \lim_{x \to \infty}C_n^k p_n^k (1-p)^{n-k}=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} x→∞limCnkpnk(1−p)n−k=k!λke−λ证明思路：让式子只剩下λ，消去n，p1.消去n：使n趋近于∞2.消去p：p=λ/n证明如下： C n k p n k ( 1 − p ) n − k = n ( n −1 ) . . . ( n − k + 1 ) k ! ( λ n ) k ( 1 − λ n ) n − k C_n^k p_n^k (1-p)^{n-k}=\frac{n(n-1)...(n-k+1)}{k!}{(\frac \lambda n)}^k (1-\frac \lambda n)^{n-k} Cnkpnk(1−p)n−k=k!n(n−1)...(n−k+1)(nλ)k(1−nλ)n−k观察右项，尽量配出来原式= λ k k ! [ 1 × ( 1 − 1 n ) × … × ( 1 − k − 1 n ) ] ( 1 − λ n ) n ( 1 − λ n ) − k 原式=\frac {\lambda^k}{k!}[1\times(1-\frac1n)\times…\times(1-\frac {k-1}n)](1-\frac \lambdan)^n(1-\frac \lambda n)^{-k} 原式=k!λk[1×(1−n1)×…×(1−nk−1)](1−nλ)n(1−nλ)−k令n趋近于正无穷，则[ 1 × ( 1 − 1 n ) × … × ( 1 − k − 1 n ) ] → 1 [1\times(1-\frac 1n)\times…\times(1-\frac {k-1}n)] \to 1 [1×(1−n1)×…×(1−nk−1)]→1 ( 1 − λ n ) n → e − λ (1-\frac \lambda n)^n\to e^{-\lambda} (1−nλ)n→e−λ上式为对自然常数e的定义的代换，实质上用到了复合函数的极限运算法则 ( 1 − λ n ) − k → 1 (1-\frac \lambda n)^{-k}\to 1 (1−nλ)−k→1因此，得证 lim ⁡ x → ∞ C n k p n k ( 1 − p ) n − k = λ k e − λ k ! \lim_{x \to \infty}C_n^k p_n^k (1-p)^{n-k}=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} x→∞limCnkpnk(1−p)n−k=k!λke−λnp=λ，n很大，p很小时，有近似式： C n k p n k ( 1 − p ) n − k ≈ λ k e − λ k ! C_n^k p_n^k (1-p)^{n-k}\approx \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} Cnkpnk(1−p)n−k≈k!λke−λ即用泊松分布概率值作二项分布概率值的近似一般来说，n>=20,p<=0.0.5,近似效果不错λ的意义从二项分布可知，E(X)=np，而在泊松定理中λ=np，所以λ是否是数学期望呢？已知一个分布，可以求其数学期望(用定义求)，我们求出泊松分布的数学期望，看它是否是我们预测的λ即可。

泊松分布概率一、概述泊松分布是一种离散型概率分布，用于描述在一个固定时间内，某个事件发生的次数。

它的特点是：事件发生的概率相互独立，且在单位时间内发生的平均次数是已知的。

二、定义设随机变量X表示在一个固定时间内某个事件发生的次数，如果X服从参数为λ（λ>0）的泊松分布，则其概率函数为：P(X=k)=e^(-λ) * λ^k / k!其中k为非负整数。

三、性质1. 期望和方差泊松分布的期望和方差都等于λ。

2. 概率函数图像泊松分布的概率函数图像呈现出单峰形态，当λ越大时，峰值越靠近x=λ处。

3. 泊松定理当n很大，p很小时，二项分布可以近似地用泊松分布代替。

即当n→∞，p→0且np=λ时，P(X=k)=e^(-λ) * λ^k / k!近似地等于：P(X=k)=e^(-np) * (np)^k / k!四、应用场景1. 电话交换机中呼叫中心接待电话数量的统计分析。

2. 网络流量的统计分析。

3. 人口出生、死亡、移民等事件的统计分析。

4. 汽车交通事故发生的概率分析。

五、例题1. 在某个工厂，每小时平均有2件次品，求下列事件的概率：（1）这个小时不出现次品；（2）这个小时出现了4件次品。

解：设X表示一个小时内出现次品的件数，则X服从参数为λ=2的泊松分布。

根据公式可得：（1）P(X=0)=e^(-2) * 2^0 / 0!=0.1353；（2）P(X=4)=e^(-2) * 2^4 / 4!=0.0902。

因此，这个小时不出现次品的概率为0.1353，出现了4件次品的概率为0.0902。

2. 某网站每分钟平均接收到10个访问请求，求下列事件的概率：（1）这一分钟接收到了13个访问请求；（2）两分钟内接收到了20个访问请求以上的概率。

解：设X表示一分钟内接收到访问请求的数量，则X服从参数为λ=10的泊松分布。

根据公式可得：（1）P(X=13)=e^(-10) * 10^13 / 13!=0.0729；（2）P(X>20)=1-P(X≤20)=1-∑(k=0~20) e^(-10) * 10^k /k!=0.0006。