苏教版学高中数学必修二平面解析几何初步圆的方程圆的标准方程讲义

2．2圆与方程2．2.1圆的方程第1课时圆的标准方程1.了解确定圆的几何要素：圆心，半径．2.理解在直角坐标系下建立圆的标准方程的一般步骤．3．掌握圆的标准方程及其应用，判断点与圆的位置关系的方法．1．圆的标准方程设圆心坐标为(a，b)，半径为r，则圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．特别地，当圆心在坐标原点时，圆的标准方程为x2＋y2＝r2．2．点与圆的位置关系设点P到圆心的距离为d，半径为r.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．()(2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径．()(3)点(0，0)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1上．()★★答案★★：(1)×(2)√(3)×2．一圆的标准方程为x2＋(y＋1)2＝8，则此圆的圆心与半径分别为()A．(1，0)，4B．(－1，0)，2 2C．(0，1)，4D．(0，－1)，2 2★★答案★★：D3．点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是________．★★答案★★：－1<a<14．圆心为C(8，－3)，且经过点P(5，1)的圆的标准方程是________．解析：法一：根据圆的定义，圆的半径r＝CP＝（8－5）2＋（－3－1）2＝5，所以圆的标准方程是(x－8)2＋(y＋3)2＝25.法二：设圆的标准方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝r2，因为点P(5，1)在圆上，所以(5－8)2＋(1＋3)2＝r2，即r2＝25.故圆的标准方程是(x－8)2＋(y＋3)2＝25.★★答案★★：(x－8)2＋(y＋3)2＝25求圆的标准方程求满足下列条件的各圆的标准方程．(1)圆心是原点，半径是3；(2)圆心是点C (3，4)，半径是5；(3)圆心在直线5x －3y ＝8上，且圆与两坐标轴相切；(4)圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A (2，－3)，B (－2，－5)． 解：(1)x 2＋y 2＝9. (2)(x －3)2＋(y －4)2＝5.(3)设所求圆方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2， 因为圆与两坐标轴相切，所以圆心满足x 0－y 0＝0或x 0＋y 0＝0. 因为圆心在直线5x －3y ＝8上， 所以5x 0－3y 0＝8.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝0，5x 0－3y 0＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋y 0＝0，5x 0－3y 0＝8.得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4，y 0＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－1. 所以圆心坐标为(4，4)或(1，－1)． 所以可得半径r ＝|x 0|＝4或r ＝|x 0|＝1.所以所求圆的方程为(x －4)2＋(y －4)2＝16或(x －1)2＋(y ＋1)2＝1. (4)法一：设点C 为圆心，因为点C 在直线l ：x －2y －3＝0上， 所以可设点C 的坐标为(2a ＋3，a )． 又因为该圆经过A 、B 两点，所以CA ＝CB . 所以 （2a ＋3－2）2＋（a ＋3）2 ＝（2a ＋3＋2）2＋（a ＋5）2，解得a ＝－2，所以圆心坐标为C (－1，－2)，半径r ＝10. 故所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. 法二：设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧（2－a ）2＋（－3－b ）2＝r 2，（－2－a ）2＋（－5－b ）2＝r 2，a －2b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10.故所求圆的标准方程为：(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. 法三：线段AB 的中点为(0，－4)，k AB ＝－3－（－5）2－（－2）＝12.所以弦AB 的垂直平分线的斜率为k ＝－2. 所以线段AB 的垂直平分线的方程为 y ＋4＝－2x ，即y ＝－2x －4，圆心是直线y ＝－2x －4与直线x －2y －3＝0的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x －4，x －2y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，即圆心为(－1，－2)， 圆的半径为r ＝（－1－2）2＋（－2＋3）2＝10. 故所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.一般情况下，如果已知圆心(或易于求出)或圆心到某直线的距离(或易于求出)，可用圆的标准方程来求解．用待定系数法求出圆心坐标和半径．本例(4)的三种解法各有优劣，法一采用圆的定义；法二采用待定系数法构造方程，此解法是通法，但计算量较大；法三从另一个角度，借助圆的几何性质进行求解，此法较好，减少了计算量．1.求适合下列条件的圆的标准方程．(1)与x 轴相交于A (1，0)和B (5，0)两点且半径为5； (2)过点A (1，1)，B (－1，3)且面积最小．解：(1)法一：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝5. 因为点A 、点B 在圆上，所以可得到方程组⎩⎪⎨⎪⎧（1－a ）2＋（0－b ）2＝5，（5－a ）2＋（0－b ）2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝±1. 所以圆的标准方程是(x －3)2＋(y －1)2＝5或(x －3)2＋(y ＋1)2＝5.法二：由于A 、B 两点在圆上，所以线段AB 是圆的一条弦，根据平面几何知识：这个圆的圆心在线段AB 的垂直平分线x ＝3上，于是可以设圆心为C (3，b )．又AC ＝5，得（3－1）2＋b 2＝5，解得b ＝1或b ＝－1.因此，所求圆的标准方程为(x －3)2＋(y －1)2＝5或(x －3)2＋(y ＋1)2＝5. (2)过A 、B 两点面积最小的圆就是以线段AB 为直径的圆， 所以圆心坐标为(0，2)，半径r ＝12AB .因为AB ＝（1＋1）2＋（1－3）2＝22， 所以r ＝12·22＝ 2.所以所求的圆的标准方程为x 2＋(y －2)2＝2.判断点与圆的位置关系已知两点P 1(4，9)和P 2(6，3)．(1)求以P 1P 2为直径的圆C 的方程；(2)试判断点M (6，9)、N (3，3)、Q (5，3)是在圆C 上，在圆C 内，还是在圆C 外？ 解：(1)设圆心为C (a ，b )，半径为r ，则由C 为P 1P 2的中点得a ＝4＋62＝5，b ＝9＋32＝6.又由两点间的距离公式得r＝CP1＝（4－5）2＋（9－6）2＝10，所以所求圆的方程为(x－5)2＋(y－6)2＝10.(2)由第一问知，圆心C(5，6)，则分别计算点到圆心的距离：CM＝（6－5）2＋（9－6）2＝10；CN＝（3－5）2＋（3－6）2＝13>10；CQ＝（5－5）2＋（3－6）2＝3<10.因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内．判断点与圆位置关系的两种方法判断点P(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系有几何法和代数法两种：(1)对于几何法，主要是利用点与圆心的距离与半径比较大小．(2)对于代数法，主要把点的坐标代入圆的标准方程，具体判断如下：①当(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2时，点在圆内；②当(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2时，点在圆上；③当(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2时，点在圆外．2.已知圆C的圆心为C(－3，－4)，且过原点O，求圆C的标准方程，并判断点M1(－1，0)，M2(1，－1)，M3(3，－4)与圆C 的位置关系．解：因为圆C过原点O，圆心为C(－3，－4)，所以圆C的半径长r＝OC＝（－3－0）2＋（－4－0）2＝5，因此圆C的标准方程为(x＋3)2＋(y＋4)2＝25.因为(－1＋3)2＋(0＋4)2＝20＜25，所以点M1(－1，0)在圆C内；因为(1＋3)2＋(－1＋4)2＝25，所以点M2(1，－1)在圆C上；因为(3＋3)2＋(－4＋4)2＝36＞25，所以点M3(3，－4)在圆C外．圆的标准方程的应用如图是一座圆拱桥，当水面在l位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽多少米？(精确到0.01 m)解：以圆拱桥拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y轴，建立直角坐标系，如图所示．设圆拱所在圆的圆心为C，水面所在弦的端点分别为A、B，则由已知得A(6，－2)．设圆的半径为r，则C(0，－r)，即圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2.①将点A的坐标(6，－2)代入方程①得36＋(r－2)2＝r2，所以r＝10.所以圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.②当水面下降1 m后，可设点A′的坐标为(x0，－3)(x0＞0)，将A′的坐标(x0，－3)代入方程②，得x0＝51.所以水面下降1 m后，水面宽为2x0＝251≈14.28(m)．本题的关键是建立平面直角坐标系，求出圆拱所在的圆的方程，用代数方法研究几何问题．3.有强弱两个喇叭分别在O ，A 两处，若它们的强度之比为1∶4，且相距60米，问在什么位置听到两个喇叭传来的声音强度相等？(提示：物理学中，声音强度与距离的平方成反比)解：以OA 所在的直线为x 轴，以O 为原点建立平面直角坐标系，如图所示．设在点P (x ，y )处听到O ，A 两处的喇叭声音强度相等，则OP 2P A 2＝14，即x 2＋y 2（x －60）2＋y 2＝14，整理得(x ＋20)2＋y 2＝402，由此可知，当P 在以(－20，0)为圆心，以40为半径的圆周上时，听到O ，A 两处传来的喇叭声音强度相等．1．确定圆的方程的条件圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2中，有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就确定了，因此确定圆的方程，需要三个独立条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定量条件．2．几种特殊位置的圆的方程(1)圆心在原点：x2＋y2＝r2(r>0)；(2)圆过原点：(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2(a2＋b2≠0)；(3)圆心在x轴上：(x－a)2＋y2＝r2(r>0)；(4)圆心在y轴上：x2＋(y－b)2＝r2(r>0)；(5)圆心在x轴上且过原点：(x－a)2＋y2＝a2(a≠0)；(6)圆心在y轴上且过原点：x2＋(y－b)2＝b2(b≠0)；(7)圆与x轴相切：(x－a)2＋(y－b)2＝b2(b≠0)；(8)圆与y轴相切：(x－a)2＋(y－b)2＝a2(a≠0)；(9)圆与两坐标轴都相切：(x－a)2＋(y－b)2＝a2(|a|＝|b|≠0)．3．点M与圆上任一点P间距离的最值设点M到圆心C的距离为d.(1)若点M在圆C外，则|PM|的最大值为d＋r，最小值为d－r.(2)若点M在圆C上，则|PM|的最大值为2r，最小值为0.(3)若点M在圆C内，则|PM|的最大值为d＋r，最小值为r－d.已知点P(1，－1)在圆C：(x＋1)2＋(y ＋1)2＝2－k外，求实数k的取值范围．【解】因为点P(1，－1)在圆C外，所以(1＋1)2＋(1－1)2>2－k，解得k>－2.又由半径r＝2－k>0，得k<2，故k的取值范围是(－2，2)．(1)本题易忽视半径r＝2－k>0的条件，漏掉k<2的限制．(2)若方程(x－a)2＋(y－b)2＝m表示圆，则圆的半径r＝m，且m>0.1．圆心为(1，1)且过原点的圆的标准方程是()A．(x－1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝2★★答案★★：D2．点(5a＋1，a)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围是________．解析：由于点在圆的内部，所以(5a＋1－1)2＋(a)2＜26，即26a＜26，又a≥0，解得0≤a＜1.★★答案★★：0≤a ＜13．圆心在直线x ＝2上的圆C 与y 轴交于两点A (0，－4)，B (0，－2)，则圆C 的方程为______________________．解析：由题意知圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝（2－0）2＋（－3＋2）2＝5，所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.★★答案★★：(x －2)2＋(y ＋3)2＝5[A 基础达标]1．圆(x －3)2＋(y ＋2)2＝13的周长是( ) A.13π B ．213π C ．2π D ．23π★★答案★★：B2．已知点A (3，－2)、B (－5，4)，以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝25 B ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝25 C ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝100 D ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝100解析：选B.由题意得圆心的坐标为(－1，1)，半径r ＝12AB ＝12（3＋5）2＋（－2－4）2＝5，故选B.3．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点(0，0)对称的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋y 2＝5 B ．x 2＋(y －3)2＝5 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝5解析：选A.圆心(－2，0)关于原点的对称点为(2，0)，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝5.4．圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是( ) A ．2 B ．1＋ 2 C ．2＋22D ．1＋2 2解析：选B.圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(1，1)，圆心到直线x －y ＝2的距离为|1－1－2|1＋1＝2，圆心到直线的距离加上半径就是圆上的点到直线的最大距离，即最大距离为1＋ 2.5．如果直线l 将圆(x －1)2＋(y －2)2＝5平分且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是________．解析：由题意知l 过圆心(1，2)，由数形结合得0≤k ≤2.★★答案★★：[0，2]6．若实数x ，y 满足(x ＋5)2＋(y －12)2＝142，则x 2＋y 2的最小值为________．解析：设P (x ，y )，且点P 在圆(x ＋5)2＋(y －12)2＝142上，则圆心C (－5，12)，r ＝14，x 2＋y 2＝(x －0)2＋(y －0)2＝OP 2.又OP 的最小值是r －OC ＝14－13＝1，所以x 2＋y 2的最小值为1.★★答案★★：17．已知圆C 的标准方程为(x －5)2＋(y －6)2＝a 2(a ＞0)． (1)若点M (6，9)在圆上，求半径a ；(2)若点P (3，3)与Q (5，3)有一点在圆内，另一点在圆外，求a 的取值范围． 解：(1)因为点M (6，9)在圆上， 所以(6－5)2＋(9－6)2＝a 2，即a 2＝10. 又a ＞0，所以a ＝10. (2)因为PC ＝（3－5）2＋（3－6）2＝13，QC ＝ （5－5）2＋（3－6）2＝3，PC ＞QC ，故点P 在圆外，点Q 在圆内， 所以3＜a ＜13.8．平面直角坐标系中有A (0，1)，B (2，1)，C (3，4)，D (－1，2)四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？解：能．设过A (0，1)，B (2，1)，C (3，4)的圆的方程为 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2.将A ，B ，C 三点的坐标分别代入得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋（1－b ）2＝r 2，（2－a ）2＋（1－b ）2＝r 2，（3－a ）2＋（4－b ）2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，r ＝ 5.所以圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝5. 将D (－1，2)的坐标代入上式圆的方程左边， (－1－1)2＋(2－3)2＝4＋1＝5， 即D 点坐标适合此圆的方程． 故A ，B ，C ，D 四点在同一圆上．[B 能力提升]1．已知两点A (－1，0)，B (0，2)，点P 是圆(x －1)2＋y 2＝1上任意一点，则△P AB 面积的最大值与最小值分别是( )A ．2，12(4－5)B.12(4＋5)，12(4－5) C.5，4－ 5 D.12(5＋2)，12(5－2) 解析：选B.点A (－1，0)，B (0，2)所在的直线方程为2x －y ＋2＝0，圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心到直线的距离为|2－0＋2|22＋（－1）2＝455，又AB ＝5，所以△P AB 面积的最大值为12×5×⎝⎛⎭⎫455＋1＝12(4＋5)，最小值为12×5×⎝⎛⎭⎫455－1＝12(4－5)，选B.2．设点P (x ，y )是圆x 2＋(y ＋4)2＝4上任意一点，则（x －1）2＋（y －1）2的最大值为________．解析：（x－1）2＋（y－1）2表示点P(x，y)到定点(1，1)的距离，由于点P是圆x2＋(y＋4)2＝4上任意一点，圆心C(0，－4)与定点的距离为（0－1）2＋（－4－1）2＝26，故（x－1）2＋（y－1）2的最大值为26＋2.★★答案★★：26＋23．已知圆C的圆心坐标为C(x0，x0)，且过定点P(4，2)．(1)求圆C的方程；(2)当x0为何值时，圆C的面积最小，并求出此时圆C的标准方程．解：(1)由题意，得圆C的方程为(x－x0)2＋(y－x0)2＝r2(r≠0)．因为圆C过定点P(4，2)，所以(4－x0)2＋(2－x0)2＝r2(r≠0)．所以r2＝2x20－12x0＋20.所以圆C的方程为(x－x0)2＋(y－x0)2＝2x20－12x0＋20.(2)因为(x－x0)2＋(y－x0)2＝2x20－12x0＋20＝2(x0－3)2＋2，所以当x0＝3时，圆C的半径最小，即面积最小．此时圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2＝2.4．(选做题)已知平面上两点A(－2，0)，B(2，0)，在圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝4上取一点P，求使P A2＋PB2取得最小值时点P的坐标，取得最大值时点P的坐标，并求出最大、最小值．解：设圆C上点P(x，y)，则P A2＋PB2＝(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝2x2＋2y2＋8＝2(x2＋y2)＋8，x2＋y2表示圆(x－1)2＋(y＋1)2＝4上的点P到原点距离的平方．因为(0－1)2＋(0＋1)2＝2<4，所以原点在圆C内部．所以圆(x－1)2＋(y＋1)2＝4上的点到原点的最大距离为2＋（0－1）2＋（0＋1）2＝2＋2，最小距离为2－ 2.过原点与圆心的直线方程为y＝－x，代入圆的方程得(x－1)2＋(－x＋1)2＝4，(x－1)2＝2，解得x＝±2＋1，故圆上使P A2＋PB2取得最大值的点P坐标为(2＋1，－2－1)，此时最大值为20＋82；使P A2＋PB2取得最小值的点P坐标为(－2＋1，2－1)，此时最小值为20－8 2.。

《圆的标准方程》说课稿说课人：陈银辉 2015-6-04一、教学背景分析1．教材结构分析圆的标准方程是苏教版高中数学必修2第二章第二节圆的方程第一课时的内容。

圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用。

圆的方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是方法上都有着积极的意义，所以本节内容在整个解析几何中起着承前启后的作用2学情分析圆的方程是学生在初中学习了圆的概念和基本性质后，又掌握了求直线方程的方法基础上进行研究的但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我制定如下教学目标：3．教学目标1 知识目标：①掌握圆的标准方程；②会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标，能根据条件写出圆的标准方程；③利用圆的标准方程解决简单的实际问题。

2 能力目标：①进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力；②加深对数形结合思想的理解和加强对待定系数法的运用；③增强学生应用数学的意识。

3 情感目标：①培养学生主动探究知识、合作交流的意识；②在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣。

根据以上对教材、教学目标及学情的分析，我确定如下的教学重点和难点：4 教学重点与难点1重点:圆的标准方程的求法及其应用。

2难点:灵活运用几何法和待定系数法求圆的标准方程；为使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上进行分析。

二、教法学法分析1．教法分析，为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用“启发式”问题教学法，用环环相扣的问题串将探究活动层层深入，使教师总是站在学生思维的最近发展区上。

另外我恰当的利用多媒体课件进行辅助教学，激发学生的学习兴趣。

2．学法分析，通过推导圆的标准方程，加深对用坐标法求轨迹方程的理解。

圆的方程 ： ：【学习目标】1.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程.2.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．【要点梳理】【圆的方程370891 知识要点】 要点一：圆的标准方程222()()x a y b r -+-=，其中()a b ，为圆心，r 为半径.要点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时00a b ==，，圆的方程就是222x y r +=.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x 轴上：b=0；圆与y 轴相切时：||a r =；圆与x 轴相切时：||b r =；与坐标轴相切时：||||a b r ==；过原点：222a b r +=(2)圆的标准方程222()()x a y b r -+-=⇔圆心为()a b ，，半径为r ，它显现了圆的几何特点.(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a 、b 、r 这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.要点二：点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，圆心为()C a b ，，半径为r ，则有(1)若点()00M x y ，在圆上()()22200||CM r x a y b r ⇔=⇔-+-=(2)若点()00M x y ，在圆外()()22200||CM r x a y b r ⇔>⇔-+->(3)若点()00M x y ，在圆内()()22200||CM r x a y b r ⇔<⇔-+-<要点三：圆的一般方程当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，为半径. 要点诠释：由方程220x y Dx Ey F ++++=得22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =-=-.它表示一个点(,)22D E--. (2)当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．(3)当2240D E F +->时，可以看出方程表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为半径的圆. 要点四：几种特殊位置的圆的方程要点五：用待定系数法求圆的方程的步骤求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程.(2)根据已知条件，建立关于a b r 、、或D E F 、、的方程组. (3)解方程组，求出a b r 、、或D E F 、、的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程. 要点六：轨迹方程求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量,x y 之间的方程．1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）．2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 3．求轨迹方程的步骤： （1）建立适当的直角坐标系，用(,)x y 表示轨迹（曲线）上任一点M 的坐标； （2）列出关于,x y 的方程；（3）把方程化为最简形式；（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； （5）作答． 【典型例题】类型一：圆的标准方程例1．求满足下列条件的各圆的方程： （1）圆心在原点，半径是3；（2）圆心在点C （3，4（3）经过点P （5，1），圆心在点C （8，―3）上．【思路点拨】根据题设条件，可利用圆的标准方程解决． 【答案】（1）x 2+y 2=9 （2）(x ―3)2+(y ―4)2=5（3）(x ―8)2+(y+3)2=25 【解析】 （1）x 2+y 2=9；（2）(x ―3)2+(y ―4)2=5；（3）解法一：∵圆的半径||5r CP ===，圆心在点C （8，―3）．∴圆的方程是(x ―8)2+(y+3)2=25． 解法二：∵圆心为C （8，―3），故设圆的方程为(x ―8)2+(y+3)2=r 2． 又∵点P （5，1）在圆上，∴(5―8)2+(1+3)2=r 2，∴r 2=25， ∴所求圆的方程是(x ―8)2+(y+3)2=25．【总结升华】 确定圆的标准方程只需确定圆心的坐标和圆的半径即可，因此圆心和半径被称为圆的两要素．确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a 、b 、r 的方程组，求a 、b 、r 或直接求出圆心（a ，b ）和半径r ，一般步骤为：（1）根据题意，设所求的圆的标准方程为(x ―a)2+(y ―b)2=r 2； （2）根据已知条件，建立关于a 、b 、r 的方程组；（3）解方程组，求出a 、b 、r 的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程． 举一反三：【变式1】圆心是（4，―1），且过点（5，2）的圆的标准方程是（ ） A ．(x ―4)2+(y+1)2=10 B ．(x+4)2+(y ―1)2=10C ．(x ―4)2+(y+1)2=100D ．22(4)(1)x y -++=【答案】A例2．写出下列方程表示的圆的圆心和半径． （1）x 2+y 2=2；（2）(x ―3)2+y 2=a 2（a ≠0）； （3）(x+2)2+(y+1)2=b 2（b ≠0）．【答案】（1）（0，0）（2）（3，0），|a|（3）（―2，―1），|b|【解析】 （1）圆心（0，0）（2）圆心（3，0），半径为|a|； （3）圆心（―2，―1），半径为|b|． 【总结升华】（2）、（3）两题中a 2、b 2仅为半径的平方，没有给定a ＞0，b ＞0，∴半径r=|a|、|b|． 例3．求圆心在直线y=―x 上，且过两点A （2，0），B （0，―4）的圆的方程． 【思路点拨】先写出线段AB 的中垂线方程，然后求出中垂线与直线y=―x 的交点，这个点就是圆心，进一步求出圆的方程。

学习目标核心素养１．能根据两个圆的方程，判断两圆的位置关系．（重点）２．当两个圆有公共点时能求出它们的公共点，能运用两圆的位置关系解决有关问题．（易错点）３．了解两圆相交时公共弦所在直线的求法；了解两圆公切线的概念，会判断所给直线是不是两圆的公切线．（难点）通过学习本节内容提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养.圆与圆的位置关系１．几何法：若两圆的半径分别为r１，r２，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r１，r２的关系d>r１＋r２d＝r１＋r２|r１—r２|<d<r１＋r２d＝|r１—r２|d<|r１—r２|错误!错误!错误!错误!１．思考辨析（１）两圆方程联立，若方程组有两个解，则两圆相交．（）（２）若两个圆没有公共点，则两圆一定外离．（）（３）若两圆外切，则两圆有且只有一个公共点，反之也成立．（）（４）若两圆有公共点，则|r１—r２|≤d≤r１＋r２. （）[答案] （１）√（２）×（３）×（４）√２．两圆x２＋y２＋6x＋４y＝0及x２＋y２＋４x＋２y—４＝0的公共弦所在的直线方程为______________．x＋y＋２＝0 [联立错误!１—２得：x＋y＋２＝0．]３．圆x２＋y２＝１与圆x２＋y２＋２x＋２y＋１＝0的交点坐标为________．（—１，0）和（0，—１）[由错误!解得错误!或错误!]４．圆C１：x２＋y２＋４x—４y＋7＝0和圆C２：x２＋y２—４x—１0y＋１３＝0的公切线有________条．３[圆C１的圆心坐标为C１（—２，２），半径r１＝１．∵圆C２的圆心坐标为C２（２，５），半径r２＝４．∴|C１C２|＝错误!＝５，r１＋r２＝５，∴两圆外切．故公切线有３条．]两圆位置关系的判定１２２２２２２（１）m＝１时，圆C１与圆C２有什么位置关系？（２）是否存在m使得圆C１与圆C２内含？思路探究：（１）参数m的值已知，求解时可先找出圆心及半径，然后比较两圆的圆心距d与r１＋r和|r１—r２|的大小关系．（２）假设存在m使得圆C１与圆C２内含，则圆心距d<|r１—r２|.２[解] （１）∵m＝１，∴两圆的方程分别可化为：C１：（x—１）２＋（y＋２）２＝9．C２：（x＋１）２＋y２＝１．两圆的圆心距d＝错误!＝２错误!，又∵r１＋r２＝３＋１＝４，r１—r２＝３—１＝２，∴r１—r２<d<r１＋r２，所以圆C１与圆C２相交．（２）假设存在m使得圆C１与圆C２内含，则错误!<３—１，即（m＋１）２<0，显然不等式无解．故不存在m使得圆C１与圆C２内含．判断圆与圆的位置关系时，通常用几何法，即转化为判断圆心距与两圆半径的和与差之间的大小关系．１．已知圆C１：x２＋y２—２ax—２y＋a２—１５＝0，C２：x２＋y２—４ax—２y＋４a２＝0（a>0）．试求a为何值时两圆C１，C２（１）相切；（２）相交；（３）相离；（４）内含．[解] 对圆C１，C２的方程，经配方后可得：C１：（x—a）２＋（y—１）２＝１6，C２：（x—２a）２＋（y—１）２＝１，∴圆心C１（a，１），r１＝４，C２（２a，１），r２＝１，∴|C１C２|＝错误!＝a，（１）当|C１C２|＝r１＋r２＝５，即a＝５时，两圆外切，当|C１C２|＝r１—r２＝３，即a＝３时，两圆内切．（２）当３<|C１C２|<５，即３<a<５，时，两圆相交．（３）当|C１C２|>５，即a>５时，两圆外离．（４）当|C１C２|<３，即0<a<３时，两圆内含．两圆相交的问题１２２２２２（１）求公共弦所在直线的方程；（２）求公共弦的长．思路探究：错误!→错误!→错误!→错误![解] （１）设两圆的交点分别为A（x１，y１），B（x２，y２）．将点A的坐标代入两圆方程，得错误!１—２，得x１—２y１＋４＝0，故点A在直线x—２y＋４＝0上．同理，点B也在直线x—２y＋４＝0上，即点A，B均在直线x—２y＋４＝0上．因为经过两点有且只有一条直线，所以直线AB的方程为x—２y＋４＝0，即公共弦所在直线的方程为x—２y＋４＝0．（２）圆C１的方程可化为（x—１）２＋（y＋５）２＝５0，所以C１（１，—５），半径r１＝５错误!.C１（１，—５）到公共弦的距离d＝错误!＝３错误!.设公共弦的长为l，则l＝２错误!＝２错误!＝２错误!.１．利用两圆的方程相减求两圆公共弦所在直线的方程时，必须注意只有当两圆方程中二次项的系数相同时，才能如此求解，若二次项的系数不同，需先调整方程中各项的系数．２．求两圆的公共弦长有两种方法：一是先求出两圆公共弦所在直线的方程；再利用圆的半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形求解；二是联立两圆的方程求出交点坐标，再利用两点间的距离公式求弦长．２．求圆心在直线x—y—４＝0上，且经过两圆x２＋y２—４x—6＝0和x２＋y２—４y—6＝0的交点的圆的方程．[解] 由错误!得错误!或错误!即两圆的交点坐标为A（—１，—１），B（３，３）．设所求圆的圆心坐标C为（a，a—４），由题意可知CA＝CB，即错误!＝错误!，解得a＝３，∴C（３，—１）．∴CA＝错误!＝４，所以，所求圆的方程为（x—３）２＋（y＋１）２＝１6．两圆相切的问题１．若已知圆C１：x２＋y２＝a２（a>0）和C２：（x—２）２＋y２＝１，那么a取何值时C１与C２相外切？[提示] 由|C１C２|＝a＋１，得a＋１＝２，∴a＝１．２．若将探究１中，C２的方程改为（x—２）２＋y２＝r２（r>0），那么a与r满足什么条件时两圆相切？[提示] 若两圆外切，则a＋r＝|C１C２|＝２，即a＋r＝２时外切．若两圆内切，则|r—a|＝|C１C２|＝２．∴r—a＝２或a—r＝２．【例３】已知圆C１：x２＋y２＋４x—４y—５＝0与圆C２：x２＋y２—8x＋４y＋7＝0．（１）证明：圆C１与圆C２相切，并求过切点的公切线的方程；（２）求过点（２，３）且与两圆相切于（１）中切点的圆的方程．思路探究：（１）证明|C１C２|＝r１＋r２，两圆方程相减得公切线方程．（２）由圆系方程设圆的方程，将已知点代入．[解] （１）把圆C１与圆C２都化为标准方程形式，得（x＋２）２＋（y—２）２＝１３，（x—４）２＋（y＋２）２＝１３；圆心与半径长分别为C１（—２，２），r１＝错误!；C２（４，—２），r２＝错误!，因为|C１C２|＝错误!＝２错误!＝r１＋r２，所以圆C１与圆C２相切．由错误!得１２x—8y—１２＝0，即３x—２y—３＝0，这就是过切点的两圆公切线的方程．（２）由圆系方程，可设所求圆的方程为x２＋y２＋４x—４y—５＋λ（３x—２y—３）＝0．点（２，３）在此圆上，将点坐标代入方程解得λ＝错误!.所以所求圆的方程为x２＋y２＋４x—４y—５＋错误!（３x—２y—３）＝0，即x２＋y２＋8x—错误!y—9＝0．两圆相切有如下性质（１）设两圆的圆心分别为O１，O２，半径分别为r１，r２，则两圆相切错误!（２）两圆相切时，两圆圆心的连线过切点（两圆若相交时，两圆圆心的连线垂直平分公共弦）．在解题过程中应用这些性质，有时能大大简化运算．３．求与圆C：x２＋y２—２x＝0外切且与直线l：x＋错误!y＝0相切于点M（３，—错误!）的圆的方程．[解] 圆C的方程可化为（x—１）２＋y２＝１，圆心C（１，0），半径为１．设所求圆的方程为（x—a）２＋（y—b）２＝r２（r>0），由题意可知错误!解得错误!或错误!所以所求圆的方程为（x—４）２＋y２＝４或x２＋（y＋４错误!）２＝３6．１．本节课的重点是理解并掌握圆与圆的位置关系，会利用方程判断圆与圆的位置关系，以及解决有关问题，能利用直线与圆的方程解决平面几何问题．难点是利用方程判断圆与圆的位置关系．２．本节课要重点掌握的规律方法（１）判断两圆位置关系的方法及应用．（２）求两圆公共弦长的方法．３．本节课的易错点是判断两圆位置关系时易忽略相切的两种情况而丢解．１．圆（x＋２）２＋y２＝４与圆（x—２）２＋（y—１）２＝9的位置关系为（）Ａ．相离Ｂ．相切Ｃ．相交Ｄ．内含C[两圆圆心分别为（—２，0），（２，１），半径分别为２和３，圆心距d＝错误!＝错误!.∵３—２<d<３＋２，∴两圆相交．]２．已知圆C１：x２＋y２—２mx＋m２＝１与圆C２：x２＋y２＋２y＝8外离，则实数m的取值范围是________．（—∞，—错误!）∪（错误!，＋∞）[圆C１可化为（x—m）２＋y２＝１，圆C２可化为x２＋（y ＋１）２＝9，所以圆心C１（m，0），C２（0，—１），半径r１＝１，r２＝３，因为两圆外离，所以应有C１C２>r１＋r２＝１＋３＝４，即错误!>４，解得m>错误!或m<—错误!.]３．半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x２＋（y—３）２＝１内切，则此圆的方程为________．（x±４）２＋（y—6）２＝３6 [设圆心坐标为（a，b），由题意知b＝6，错误!＝５，可以解得a ＝±４，故所求圆的方程为（x±４）２＋（y—6）２＝３6．]４．已知圆C１：x２＋y２—２mx＋４y＋m２—５＝0，圆C２：x２＋y２＋２x—２my＋m２—３＝0，m为何值时，（１）圆C１与圆C２外切；（２）圆C１与圆C２内含．[解] 将圆C１，圆C２化为标准形式得C１：（x—m）２＋（y＋２）２＝9，C２：（x＋１）２＋（y—m）２＝４．则C１（m，—２），C２（—１，m），r１＝３，r２＝２，C１C２＝错误!＝错误!.（１）当圆C１与圆C２外切时，有r１＋r２＝C１C２，则错误!＝５，解得m＝—５或２，即当m＝—５或２时，两圆外切．（２）当圆C１与圆C２内含时，C１C２<r１—r２，∴错误!<１，即m２＋３m＋２<0．∵f（m）＝m２＋３m＋２的图象与横坐标轴的交点是（—２，0），（—１，0），∴由m２＋３m＋２<0，可得—２<m<—１，即当—２<m<—１时，两圆内含．。

学习目标核心素养１．了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径．（易错点）２．会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题．（重点、难点）通过学习本节内容来提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养.１．圆的一般方程的定义（１）当D２＋E２—４F>0时，方程x２＋y２＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，其圆心为错误!，半径为错误!错误!．（２）当D２＋E２—４F＝0时，方程x２＋y２＋Dx＋Ey＋F＝0表示点错误!．（３）当D２＋E２—４F<0时，方程x２＋y２＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形．思考：圆的一般方程具有怎样的特点？提示：（１）x２，y２项的系数均为１；（２）没有xy项；（３）D２＋E２—４F>0．２．点与圆的位置关系已知点M（x0，y0）和圆的方程x２＋y２＋Dx＋Ey＋F＝0（D２＋E２—４F>0），则其位置关系如下表：位置关系代数关系点M在圆外x错误!＋y错误!＋Dx0＋Ey0＋F>0点M在圆上x错误!＋y错误!＋Dx0＋Ey0＋F＝0点M在圆内x错误!＋y错误!＋Dx0＋Ey0＋F<0１．思考辨析（１）圆的一般方程可以化为圆的标准方程．（）（２）二元二次方程x２＋y２＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程．（）（３）方程x２＋y２—２x＋Ey＋１＝0表示圆，则E≠0．（）（４）二元二次方程Ax２＋Bxy＋Cy２＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆应满足的条件是１A＝C≠0；２B＝0；３D２＋E２—４F>0．（）[答案] （１）√（２）×（３）√（４）√２．圆x２＋y２—２x＋４y＋３＝0化为标准形式为________________________．（x—１）２＋（y＋２）２＝２[由x２＋y２—２x＋４y＋３＝0，得（x—１）２＋（y＋２）２＝２．故圆的标准形式为（x—１）２＋（y＋２）２＝２．]３．方程x２＋y２＋４x—２y＋５m＝0表示圆，则m的取值范围是________．（—∞，１）[由题意可知，１6＋（—２）２—２0m＞0，解得m＜１．]４．点A（４，１）在圆x２＋y２—２y—１9＝0________（填“内”，“外”“上”）．内[当x＝４，y＝１时，x２＋y２—２y—１9＝４２＋１２—２×１—１9＝—４＜0，故点A在圆内．]二元二次方程的曲线与圆的关系（１）２x２＋y２—7x＋５＝0；（２）x２—２xy＋y２＋6x＋7y＝0；（３）x２＋y２—２x—４y＋１0＝0；（４）２x２＋２y２—４y＝0；（５）ax２＋ay２—４（a—１）x＋４y＝0（a≠0）．思路探究：根据二元二次方程表示圆的条件判断．[解] （１）∵A≠B，∴不能表示圆．（２）∵方程中含有xy项，∴不能表示圆．（３）∵D２＋E２—４F＝（—２）２＋（—４）２—４×１0<0，∴不能表示圆．（４）方程变形为x２＋y２—２y＝0．配方得x２＋（y—１）２＝１，故方程表示圆，其圆心为（0，１），半径为１．（５）法一：∵a≠0，∴原方程可化为x２＋y２—错误!x＋错误!y＝0，即错误!错误!＋错误!错误!＝错误!.∵错误!>0，∴原方程表示圆，此时圆心坐标为错误!，半径r＝错误!.法二：∵a≠0，∴原方程可化为x２＋y２—错误!x＋错误!y＝0．∵D２＋E２—４F＝错误!＋错误!＝错误!>0，∴原方程表示圆，此时圆心坐标为错误!，半径r＝错误!.形如x２＋y２＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时有如下两种方法：（１）由圆的一般方程的定义判断D２＋E２—４F是否为正．若D２＋E２—４F>0，则方程表示圆，否则不表示圆．（２）将方程配方变形成“标准”形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆．１．讨论方程x２＋y２＋２ay＋１＝0（a∈R）表示曲线的形状．[解] 当a<—１或a>１时，此方程表示的曲线是圆心为（0，—a），半径为错误!的圆；当a＝±１时，此方程表示的曲线是一个点，坐标为（0，—a）；当—１<a<１时，此方程不表示任何曲线．圆的一般方程的求法角形外接圆的一般方程，并判断点M（１，２），N（４，５），Q（２，３）与圆的位置关系．思路探究：解答本题，可设出圆的一般方程，用待定系数法求解．也可根据圆的性质，求圆心、半径，再写方程．[解] （１）法一：设所求圆的方程为x２＋y２＋Dx＋Ey＋F＝0（D２＋E２—４F>0）．∵此圆过A，B，C三点，∴错误!解得错误!∴圆的方程为x２＋y２＋４x—４y—２＝0．法二：设圆的方程为（x—a）２＋（y—b）２＝r２，则错误!２—１，３—１得错误!解得a＝—２，b＝２．∴r２＝１0．∴圆的方程为（x＋２）２＋（y—２）２＝１0．即圆的一般式方程为x２＋y２＋４x—４y—２＝0．法三：AB的中垂线方程为y—１＝—错误!（x—0），BC的中垂线方程为y—２＝错误!（x＋２），联立解得圆心坐标为（—２，２）．设圆的半径为r，则r２＝（１＋２）２＋（３—２）２＝１0，∴圆的方程为（x＋２）２＋（y—２）２＝１0，即圆的一般式方程为x２＋y２＋４x—４y—２＝0．法四：由于k AB＝错误!＝２，k AC＝错误!＝—错误!，∴k AB·k AC＝—１，∴AB⊥AC，∴△ABC是以∠A为直角的直角三角形，∴外接圆圆心为BC的中点，即（—２，２），半径r＝错误!|BC|＝错误!，∴圆的方程为（x＋２）２＋（y—２）２＝１0．即圆的一般式方程为x２＋y２＋４x—４y—２＝0．（２）∵M（１，２），∴１２＋２２＋４×１—４×２—２＝—１<0，∴点M（１，２）在圆内．∵N（４，５），∴４２＋５２＋４×４—４×５—２＝３５>0，∴点N（４，５）在圆外．∵Q（２，３），∴２２＋３２＋４×２—４×３—２＝7>0，∴点Q（２，３）在圆外．本题法一、法二中采用了待定系数法．用待定系数法求圆的方程时：（１）如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.（２）如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.法三则是充分利用了圆的性质：“弦的中垂线过圆心”．通过求两条弦的中垂线的交点求出圆心，再求出半径后写出圆的标准方程，再将标准方程化成一般方程．圆的标准方程和一般方程有如下关系：（１）由圆的标准方程（x—a）２＋（y—b）２＝r２，可以直接看出圆心坐标（a，b）和半径r，圆的几何特征明显．（２）由圆的一般方程x２＋y２＋Dx＋Ey＋F＝0（D２＋E２—４F>0），知道圆的方程是一种特殊的二元二次方程，圆的代数特征明显．（３）２．已知圆C：x２＋y２＋Dx＋Ey＋３＝0，圆心在直线x＋y—１＝0上，且圆心在第二象限，半径为错误!，求圆的一般方程．[解] 圆心C错误!，∵圆心在直线x＋y—１＝0上，∴—错误!—错误!—１＝0，即D＋E＝—２，１又r＝错误!＝错误!，∴D２＋E２＝２0，２由１２可得错误!或错误!又圆心在第二象限，∴—错误!<0，即D>0，∴错误!∴圆的方程为x２＋y２＋２x—４y＋３＝0．轨迹问题１．若|AB|＝２，C为AB的中点，动点P满足|PC|＝２，那么P点轨迹是什么曲线？求出曲线方程？[提示] 以AB所在直线为x轴，以C为原点建立直角坐标系，则C（0，0），P点的轨迹是以C为圆心，半径为２的圆的方程为x２＋y２＝４．２．已知一条曲线在x轴的上方，它上面的每一点到点A（0，２）的距离都是２，求这条曲线的方程，并说明是什么曲线．[提示] 设点M（x，y）是曲线上任意一点，根据题意，有：错误!＝２．两边平方，得x２＋（y—２）２＝４．因为曲线在x轴上方，y>0，所以曲线方程应是x２＋（y—２）２＝４（y>0）．曲线是圆心为（0，２），半径为２的圆在x轴上方的部分．【例３】（１）点P（４，—２）与圆x２＋y２＝４上任一点连线的中点轨迹方程是__________________．（２）已知点A（—３，0），B（３，0），动点P满足PA＝２PB.若点P的轨迹为曲线C，则此曲线的方程为__________．思路探究：（１）设出中点坐标和圆上点的坐标，用圆上点的坐标表示中点坐标，再代入圆的方程，化简即可．（２）设出点P的坐标，利用PA＝２PB得点P坐标的关系，化简即可．（１）（x—２）２＋（y＋１）２＝１（２）（x—５）２＋y２＝１6[（１）设圆上任意一点为（x１，y１），它与点P连线的中点坐标为（x，y），则x＝错误!，y＝错误!，所以x１＝２x—４，y１＝２y＋２，又（x１，y１）在圆x２＋y２＝４上，所以（２x—４）２＋（２y＋２）２＝４，即（x—２）２＋（y＋１）２＝１．（２）设点P的坐标为（x，y），则错误!＝２错误!.化简可得（x—５）２＋y２＝１6，此即为所求．]求与圆有关的轨迹问题常用的方法（１）直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式．如上例（２）．（２）定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程．（３）相关点法：若动点P（x，y）随着圆上的另一动点Q（x１，y１）的运动而运动，且x１，y１可用x，y表示，则可将Q点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P的轨迹方程．如上例（１）．３．已知圆的方程为x２＋y２—6x—6y＋１４＝0，求过点A（—３，—５）的直线交圆的弦PQ的中点M的轨迹方程．[解] 设所求轨迹上任一点M（x，y），圆的方程可化为（x—３）２＋（y—３）２＝４，圆心C（３，３）．∵CM⊥AM，∴k CM·k AM＝—１，即错误!·错误!＝—１，即x２＋（y＋１）２＝２５．∴所求轨迹方程为x２＋（y＋１）２＝２５．１．本节课的重点是了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径，会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题，初步掌握求动点的轨迹方程的方法．难点是会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题．２．本节课要重点掌握的规律方法（１）二元二次方程表示圆的判定方法．（２）应用待定系数法求圆的方程的方法．（３）代入法求轨迹方程的一般步骤．３．本节课的易错点是忽略二元二次方程表示圆的条件．１．圆x２＋y２—４x＋6y＝0的圆心坐标是（）Ａ．（—４，6）Ｂ．（—２，３）Ｃ．（４，—6）Ｄ．（２，—３）D[x0＝—错误!＝２，y0＝—错误!＝—３，故圆心坐标为（２，—３）．]２．经过三点A（１，—１），B（１，４），C（４，—２）的圆的方程为__________．x２＋y２—7x—３y＋２＝0 [设圆的一般方程为x２＋y２＋Dx＋Ey＋F＝0．将A，B，C三点代入，整理得方程组错误!解得错误!∴所求圆的方程为x２＋y２—7x—３y＋２＝0．]３．方程x２＋y２＋２ax＋２by＋a２＋b２＝0表示的图形为________．（—a，—b）[原方程可化为：（x＋a）２＋（y＋b）２＝0．所以它表示点（—a，—b）．]４．等腰三角形的顶点是A（４，２），底边一个端点是B（３，５），求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么？[解] 设另一端点C的坐标为（x，y），依题意，得AC＝AB.由两点间距离公式，得错误!＝错误!，整理得（x—４）２＋（y—２）２＝１0．这是以点A（４，２）为圆心，以错误!为半径的圆，如图所示，又因为A，B，C为三角形的三个顶点，所以A，B，C三点不共线．即点B，C不能重合且B，C不能为圆A的一直径的两个端点．因为点B，C不能重合，所以点C不能为（３，５）．又因为点B，C不能为一直径的两个端点，所以错误!≠４，且错误!≠２，即点C不能为（５，—１）．故端点C的轨迹方程是（x—４）２＋（y—２）２＝１0（除去点（３，５）和（５，—１）），它的轨迹是以点A（４，２）为圆心，错误!为半径的圆，但除去（３，５）和（５，—１）两点．。