导数难点

导数的概念教案及说明一、教学目标1. 让学生理解导数的定义和几何意义。

2. 掌握导数的计算方法。

3. 能够应用导数解决实际问题，如速度、加速度等。

二、教学内容1. 导数的定义2. 导数的几何意义3. 导数的计算方法4. 导数在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 重点：导数的定义、几何意义和计算方法。

2. 难点：导数的计算方法和在实际问题中的应用。

四、教学方法1. 采用讲解、演示、练习、讨论相结合的方法。

2. 使用多媒体课件辅助教学。

五、教学过程1. 导入：回顾函数的斜率概念，引导学生思考函数在某一点的瞬时变化率。

2. 导数的定义：介绍导数的定义，强调极限的思想，引导学生理解导数的含义。

3. 导数的几何意义：通过图形演示，让学生直观地理解导数表示曲线在某一点的切线斜率。

4. 导数的计算方法：讲解导数的计算方法，包括基本导数公式、导数的四则运算等。

5. 应用导数解决实际问题：举例说明导数在实际问题中的应用，如速度、加速度等。

6. 练习：布置练习题，让学生巩固导数的概念和计算方法。

7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调导数的重要性和应用价值。

8. 作业：布置作业，巩固所学内容。

六、教学反思在教学过程中，注意观察学生的反应，根据学生的实际情况调整教学节奏和难度。

针对学生的薄弱环节，加强讲解和练习。

七、教学评价通过课堂表现、作业和练习，评价学生对导数的理解和应用能力。

鼓励学生积极参与讨论，提高解决问题的能力。

八、课时安排本节课安排2课时，共计45分钟。

九、教学资源1. 多媒体课件2. 练习题3. 相关参考资料十、教学拓展1. 导数的进一步应用，如函数的单调性、极值等。

2. 导数在其他学科中的应用，如物理、化学等。

六、教学策略1. 案例分析：通过分析具体的函数实例，让学生理解导数的计算过程和应用场景。

2. 小组讨论：鼓励学生分组讨论导数问题，培养合作解决问题的能力。

3. 实际操作：让学生利用计算器求解导数，增强实践操作能力。

《导数的概念》教案教案：导数的概念1.教学目标：1.1.知识目标：学生能够了解导数的概念及其基本性质。

1.2.能力目标：学生能够应用导数的概念解决实际问题。

1.3.情感目标：通过对导数的学习，培养学生的分析和解决问题的能力，并培养学生的兴趣和热爱数学的情感。

2.教学重点：2.1.导数的定义和概念。

2.2.导数的基本性质。

3.教学难点：3.1.导数的基本性质的理解和应用。

3.2.导数的计算和应用。

4.教学过程：4.1.导入（10分钟）：引入导数的概念，通过一个简单的例子说明导数的作用和意义。

4.2.导数的定义（20分钟）：4.2.1.简单介绍导数的定义和符号表示。

4.2.2.讲解导数的物理意义和几何意义。

4.2.3.通过实例和图像说明导数的计算。

4.3.导数的基本性质（30分钟）：4.3.1.导数的定义区间和存在性。

4.3.2.导数的唯一性和连续性。

4.3.3.导数的运算法则。

4.4.导数的应用（30分钟）：4.4.1.导数在函数图像的研究中的应用。

4.4.2.导数在最值问题中的应用。

4.4.3.导数在速度和加速度中的应用。

4.5.小结（10分钟）：对导数的概念及其应用进行总结，并布置相应的作业。

5.教学手段：5.1.板书与讲解相结合的教学方法。

5.2.生动形象的实例和图像辅助讲解。

5.3.教师提问和学生互动的教学方式。

6.教学资源：教材、黑板、彩色粉笔、投影仪等。

7.教学评价：7.1.反馈评价：学生在课堂上积极参与，课堂气氛活跃。

7.2.笔试评价：设计一套综合性的习题，考查学生对导数概念理解和应用的能力。

7.3.直观评价：观察学生在计算和解决实际问题时运用导数的能力和方法。

8.教学延伸：8.1.导数的计算和应用在微积分的后续学习中具有重要的作用，学生还需继续加深对导数概念和应用的理解。

8.2.练习不同类型的导数计算题目，提高运算能力和分析解决问题的能力。

8.3.进一步了解导数的发展与应用，拓宽数学知识的广度。

函数与导数难点突破1．函数的零点与方程的根(1)函数的零点对于函数f (x )，我们把使f (x )＝0的实数x 叫做函数f (x )的零点．(2)函数的零点与方程根的关系函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标．(3)零点存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点．(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．2．函数模型解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答.1.函数f (x )＝ln(x 2＋2)的图象大致是________.2.(南京模拟)奇函数f (x )的定义域为R .若f (x ＋2)为偶函数，且f (1)＝1，则f (8)＋f (9)＝________.3.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝e x －1，则f (2 015)＋f (－2 016)＝________.4.已知a ＝312，b ＝log 1312，c ＝log 213，则a ，b ，c 的大小关系为__________.(1)若a ＝1，求曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若a <0，求f (x )的单调区间；(3)若a ＝－1，函数f (x )的图象与函数g (x )＝13x 3＋12x 2＋m 的图象有3个不同的交点，求实数m 的取值范围.思维升华 利用导数研究函数性质的一般步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导函数f ′(x )；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0.②若已知函数的单调性，则转化为不等式f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在单调区间上恒成立问题来求解．(4)①若求极值，则先求方程f ′(x )＝0的根，再检查f ′(x )在方程根的左右函数值的符号．②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f ′(x )＝0根的大小或存在情况来求解．(5)求函数f (x )在闭区间[a ，b ]的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f (a )，f (b )与f (x )的各极值进行比较得到函数的最值．1.(徐州模拟)已知a ∈R ，函数f (x )＝ln x －a (x －1).(1)若a ＝1e －1，求函数y ＝|f (x )|的极值点； (2)若不等式f (x )≤－ax 2e 2＋1＋2a －e a x e恒成立，求a 的取值范围.(e 为自然对数的底数)。

难点4 解答导数零点不可求问题的三种方法导数是研究函数的有力工具,其核心是由导数值的正、负确定原函数的单调性.用导数研究函数f(x)=0的单调性,往往需要解方程f '(x)=0.当该方程不易求解时,如何继续解题呢? 1.猜——猜出方程f '(x)=0的根典例1 设f(x)=.(1)若函数f(x)在(a,a+1)上有极值,求实数a的取值范围;(2)若关于x的方程f(x)=x2-2x+k有实数解,求实数k的取值范围.解析(1)f '(x)=-,令f '(x)=0,得x=1.由f(x)在(a,a+1)上有极值,得即0<a<1.所以实数a的取值范围是(0,1).(2)方程f(x)=x2-2x+k,即f(x)-x2+2x=k.设g(x)=f(x)-x2+2x,可得所求实数k的取值范围,即函数g(x)的值域.g'(x)=2(1-x)+.接下来,需求函数g(x)的单调区间,所以需解不等式g'(x)≥0及g'(x)≤0,因而需解方程g'(x)=0,但此方程不易求解,所以我们可以先猜后解.易得g'(1)=0,且当0<x<1时,g'(x)>0,当x>1时,g'(x)<0,所以函数g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,故g(x)=g(1)=2.进而可得函数g(x)的值域是(-∞,2],所以所max求实数k的取值范围是(-∞,2].点拨当所求函数的解析式中出现ln x时,常猜x=1;当函数解析式中出现e x时,常猜.x=0或x=ln x对点练求函数f(x)=e x+x2-(2+ln 2)x的最小值.解析由题意可得,f '(x)=e x+x-(2+ln 2).接下来,需求函数f(x)的单调区间,所以需解不等式f '(x)≥0及f '(x)≤0,因而需解方程f '(x)=0.但此方程不易求解,所以我们可以先猜后解.易知f '(x)是增函数,所以方程f '(x)=0至多有一个实数解,且可观察出此实数解就是ln 2,所以函数f(x)在(-∞,ln 2)、(ln 2,+∞)上分别是减函数、增函数,得f(x)min=f(ln 2)=2-2ln 2-ln22.2.设——设出方程f '(x)=0的根典例2 设函数f(x)=e2x-aln x.(1)讨论f(x)的导函数f '(x)零点的个数;(2)证明:当a>0时, f(x)≥2a+aln.解析(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f '(x)=2e2x-(x>0).当a≤0时, f '(x)>0, f '(x)没有零点;当a>0时,因为y=e2x单调递增,y=-单调递增,所以f '(x)在(0,+∞)上单调递增.又f '(a)>0,当b满足0<b<且b<时, f '(b)<0,故当a>0时, f '(x)存在唯一零点.(2)证明:设f '(x)在(0,+∞)上的唯一零点为x0,当x∈(0,x)时, f '(x)<0;当x∈(x,+∞)时, f '(x)>0.故f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x,+∞)上单调递增,所以当x=x时, f(x)取得最小值,最小值为f(x0).由于2-=0,所以f(x)=+2ax+aln≥2a+aln,当且仅当x=时取“=”.故当a>0时, f(x)≥2a+aln.点拨本题第(2)问的解题思路是求函数f(x)的最小值,因此需要求f '(x)=0的根,但是f'(x)=2e2x-=0的根无法求解,故设出f '(x)=0的根为x0,通过f(x)在(0,x)和(x,+∞)上的单调性知f(x)min =f(x)=+2ax+aln,进而利用基本不等式证得结论,这种解决方法类似解析几何中的设而不求. 对点练设函数f(x)=e x-ax-2.(1)求f(x)的单调区间;(2)若a=1,k为整数,且当x>0时,(x-k)f '(x)+x+1>0,求k的最大值.解析(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞), f '(x)=e x-a.若a≤0,则f '(x)>0,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.若a>0,则当x∈(-∞,ln a)时, f '(x)<0;当x∈(ln a,+∞)时, f '(x)>0,所以, f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增.(2)由于a=1,所以(x-k)f '(x)+x+1=(x-k)(e x-1)+x+1.故当x>0时,(x-k)f '(x)+x+1>0等价于k<+x(x>0).(*)令g(x)=+x,则g'(x)=+1=.令h(x)=e x-x-2,由(1)知,函数h(x)=e x-x-2在(0,+∞)上单调递增.而h(1)<0,h(2)>0,所以h(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点.故g'(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点.设此零点为α,则α∈(1,2).当x∈(0,α)时,g'(x)<0;当x∈(α,+∞)时,g'(x)>0.所以g(x)在(0,+∞)上的最小值为g(α).又由g'(α)=0,可得eα=α+2,所以g(α)=α+1∈(2,3).由于(*)式等价于k<g(α),故整数k的最大值为2.3.证——证明方程f '(x)=0无根典例3 已知m∈R,函数f(x)=mx--ln x,g(x)=+ln x,h(x)=,若∃x∈[1,e],使得f(x0)-g(x)>h(x),求实数m的取值范围.解析由题意知关于x的不等式f(x)-g(x)>h(x)在[1,e]上有解,即关于x的不等式<m(1<x≤e)有解.设u(x)=(1<x≤e),下面求函数u(x)的最小值.u'(x)=(1<x≤e),不易求解方程u'(x)=0.可大胆猜测方程u'(x)=0无解,证明如下:由1<x≤e,可得-(2x2+2)ln x<0;2x2-4ex-2=2(x-e)2-2e2-2<0,所以u'(x)<0.所以u(x)在(1,e]上是减函数,所以函数u(x)的值域是,进而可得所求实数m的取值范围是.点拨当利用导数求函数f(x)在区间[a,b]、[a,b)或(a,b]上的最值时,可首先考虑函数f(x)在该区间上是否单调,若单调,则f(x)在区间的端点处取得最值.对点练若存在x使不等式>成立,求实数m的取值范围.解析由题意知存在x使不等式-m>e x-x成立.设=t(t≥0),则∃t≥0使不等式-m>t-t2成立.设f(t)=t-t2(t≥0),下面求函数f(t)的最小值.f '(t)=(2t2+1)-2t(t≥0),需解方程f '(t)=0,但此方程不易求解.可大胆猜测方程f '(t)=0无解(若方程f '(t)=0无解,则f '(t)的值恒正或恒负,则f(t)是增函数或减函数),证明如下:f '(t)=(2t2+1)-2t≥2t-2t≥0(t≥0),当且仅当t=时取“=”,进而可得f '(t)≥0(t≥0),所以函数f(t)是增函数,得其最小值为f(0)=0.所以-m>0,故实数m的取值范围为m<0.。