函数导数难点突破

谈复合函数求导教学难点的突破
摘要:复合函数的求导法运用如何,是求导方法灵活应用的重要标志。

本文从分清函数,确认复合函数求导法则,分步施教等三个方面对复合函数求导法难点如何突破进行了说明,使学生更加明确复合函数求导法.
关键词:复合函数难点导数
导数是微积分中重要概念之一,是学习微积分的纽带。

复合函数的导数的计算是求导数的关键,它是检验导数计算基本训练能否过关的重要标志。

另外,在教学过程中,也深感学生在学习中十分困难,为了突出教学重点,突破教学难点,笔者采用了如下的教学方法,与读者交流。

1 观察函数,掌握基础
用已掌握的计算方法解决新的计算问题,从实际背景中抽象出新的数学概念,认准所解决问题的本质特征,是数学教学常规的教学方法,对复合函数求导法的教学,也同样可以用这种方法进行教学。

1.1 复合函数求导法则的引入。

《难点突破》压轴题----函数与导数常考题型一、要点归纳1.曲线()y f x =在0x x =处的切线的斜率等于0()f x '，且切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+.2.若可导函数()y f x =在x x =处取得极值，则0()0f x '=.反之，不成立.3.对于可导函数()f x ，不等式()f x '0>0<（）的解集决定函数()f x 的递增（减）区间。

4.函数()f x 在区间I 上递增（减）的充要条件是：x I ∀∈,()f x '0≥(0)≤恒成立（()f x '不恒为0）.5.函数()f x （非常量函数）在区间I 上不单调等价于()f x 在区间I 上有极值，则可等价转化为方程()0f x '=在区间I 上有实根且为非二重根。

（若()f x '为二次函数且I=R ，则有0∆>）.6.()f x 在区间I 上无极值等价于()f x 在区间在上是单调函数，进而得到()f x '0≥或()f x '0≤在I 上恒成立.7.若x I ∀Î，()f x 0>恒成立，则min ()f x 0>;若x I ∀∈，()f x 0<恒成立，则max ()f x 0<.8.若0x I ∃∈，使得0()f x 0>，则max ()f x 0>；若0x I∃∈，使得0()f x 0<，则min ()f x 0<.9.设()f x 与()g x 的定义域的交集为D ，若x ∀∈D ()()f x g x >恒成立，则有[]min ()()0f x g x ->.10.若对11x I ∀∈、22x I ∈，12()()f x g x >恒成立，则min max ()()f x g x >.若对11x I ∀∈，22x I ∃∈，使得12()()f x g x >,则min min ()()f x g x >.若对11x I ∀∈，22x I ∃∈，使得12()()f x g x <，则max max ()()f x g x <.11.已知()f x 在区间1I 上的值域为A,，()g x 在区间2I 上值域为B ，若对11x I ∀∈,22x I ∃∈，使得1()f x =2()g x 成立，则A B ⊆．12.若三次函数f(x)有两个极值点，当且仅当方程()0f x '=一定有两个不等实根12x x 、，若三次函数f(x)没有极值点，则方程()0f x '=有两个相等的实根或没实根.．13.证题中常用的不等式:①1xe x≥+②1xex-≥-③xeex ≥④316xex >⑤ln +1(1)x x x ≤>-（）⑥ln 1(1)12x x x x -<>+⑦22ln 11(0)22x x x x <->⑧111ln ()1(1)2x x x x x x x-≤≤-≤-≥⑨ln 11(0)x x x x≤->二、常考题型：题型一：恒成立求参数的最值或取值范围问题1.1()010.1xax f x e x x y x-==+-=+已知函数在处的切线方程为（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）()1,f x <若求x 的取值范围.2.已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=.（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）证明：当0x >，且1x ≠时，ln ()1xf x x >-.3．已知函数ln(1)()(0)x f x x x+=>（Ⅰ）判断函数()f x 的单调性；（Ⅱ）是否存在实数a 使得关于x 的不等式ln(1)x ax +<在(0,)+∞上恒成立？若存在，求出a 的取值范围，若不存在，试说明理由.4．已知函数1ln ()xf x x+=．（Ⅰ）设a ＞0，若函数)(x f 在区间1(,2a a +上存在极值，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）如果当x ≥1时，不等式2()1k kf x x -≥+恒成立，求实数k 的取值范围．5．已知函数2()23.xf x e x x =+-（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）如果当1x ≥时，不等式25()(3)12f x x a x ≥+-+恒成立，试求实数a 的取值范围．6．设()ln af x x x x=+，32()3g x x x =--．（Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（Ⅱ）若存在12,[0,2]x x ∈，使12()()g x g x M-≥成立，求满足上述条件的最大整数M ；（Ⅲ）如果对任意的1,[,2]2s t ∈，都有()()f s g t ≥成立，求实数a 的取值范围．7.设函数(),x f x xe =2().g x ax x =+（Ⅰ）若()f x 与()g x 具有完全相同的单调区间，求a 的值；（Ⅱ）若当0x ≥时恒有()(),f x g x ≥求a 的取值范围.8.已知函数()xf x e =,()1g x x =+（Ⅰ）判断函数()()f x g x -零点的个数,并说明理由；（Ⅱ）当0x ≥时，()11axf x x≥++恒成立，求实数a 的取值范围.9.已知函数32()31()f x ax x a x R =++∈，.（Ⅰ）当0a <时，求函数f(x)的极值．（Ⅱ）设函数'1()()(21)13h x f x a x =+-+，(1,](1)x b b ∈->-，如果存在(,1],a ∈-∞-，对任意(1,]x b ∈-都有()0h x ≥成立，试求b 的最大值．10.设函数2()ln ,,f x a x bx a b R =-∈（Ⅰ）若函数()f x 在1x =处与直线12y =-相切，①求实数,a b 的值；②求函数()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值；（Ⅱ）当0b =时，若不等式()f x m x ≥+对所有的(230,,1,2a x e ⎡⎤⎤∈∈⎦⎢⎥⎣⎦都成立，求实数m 的取值范围.11．已知函数211()ln()22f x ax x ax =++-（a 为常数，0a >）.（Ⅰ）若12x =是函数()f x 的一个极值点，求a 的值；（Ⅱ）求证：当02a <≤时，()f x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上是增函数；（Ⅲ）若对任意．．的a ∈（1，2），总存在．．01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式20()(1)f x m a >-成立，求实数m 的取范围.12.已知函数()()()3212f x x a x a a x=+--+()a ∈R ，()'f x 为()f x 的导数.（Ⅰ）当3a =-时，证明()y f x =在区间()1,1-上不是单调．．．．函数；（Ⅱ）设()19163g x x =-，是否存在实数a ，对于任意的[]11,1x ∈-，存在[]20,2x ∈，使得()()1122f x ax g x '+=成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由.13.已知函数2()ln (1).xf x a x x a a =+->（Ⅰ）求()f x 的单调增区间；（Ⅱ）若存在[]12,1,1,x x ∈-使得12()()1(f x f x e e a -≥-是自然数）,求实数的取值.范围14.设函数2()mxf x ex mx =+-．（Ⅰ）证明：()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增；（Ⅱ）若对于任意12,[1,1]x x ∈-，都有12()()1f x f x e -≤-，求m 的取值范围．15．已知函数R a x x axx x f ∈-+-+=,1)1ln()(．（Ⅰ）当0>a 时，求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若存在0>x ，使)(11)(Z a x xx x f ∈+-<++成立，求a 的最小值．16.设函数()1.xf x e -=-（Ⅰ）证明：当1,();1x x f x x >-≥+时（Ⅱ）当0,()1xx f x ax ≥≤+时恒成立,求a 的取值范围.17.已知函数2()(1)(1).x f x x e x x =-->（Ⅰ）试判断方程()0f x =根的个数.（Ⅱ）()(1,),k k f x k ≤+∞若为整数,且不等式在上恒成立求的最大值.18.设函数()2xf x e ax =--(Ⅰ)求()f x 的单调区间(Ⅱ)若1,a k =为整数，且当0x >时，'()()10,x k f x x -++>求k 的最大值.题型二：导数与函数的切线问题19．已知函数312()ln ,()23f x x x g x ax x e=⋅=--．（Ⅰ）求()f x 的单调增区间和最小值；（Ⅱ）若函数()y f x =与函数()y g x =在交点处存在公共切线，求实数a 的值；（Ⅲ）若2(0,]x e ∈时，函数()y f x =的图象恰好位于两条平行直线1:l y kx =；2:l y kx m =+之间，当1l 与2l 间的距离最小时，求实数m 的值．20.已知函数()ln().f x x a ax =-+（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）若(,1),a ∈-∞-函数'()()g x a f x =的图象上存在12,P P 两点,其横坐标满足1216x x -<<<,且()g x 的图象在此两点处的切线互相垂直,求a 的取值范围.21.已知在函数321253y x x x =--+的曲线上存在唯一点P 00(,)x y ，过点P 作曲线的切线l 与曲线有且只有一个公共点P，则切线l 的斜率k =______________．22．已知函数2(),.xf x e ax ex a R =+-∈（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）试确定a 的取值范围，使得曲线()y f x =上存在唯一的点P ，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P .题型三：导数与函数的零点及零点关系问题23.已知函数3()sin (),[0]22f x ax x a R π=-∈且在，上的最大值.π-3为2（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）判断函数()f x 在(0,)π内的零点个数，并加以证明．24.已知函数()xf x x ae=-()a R Î有两个零点12,x x ，且12x x <.（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）证明21x x 随着a 的减小而增大；（Ⅲ）证明12x x +随着a 的减小而增大.25.已知函数()2ln ()2a f x x x x x a a R =--+Î，在其定义域内有两个不同的极值点.（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）记两个极值点为12,x x ，且12x x <，已知0λ>，若不等式112e x x ll+<×恒成立，求λ的取值范围.26.已知函数()(0)axf x x e a =->.（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 有两个零点12,x x ，且12x x <，试证明12x ae x <.27．已知函数()f x =1x x e-（x ∈R）（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）已知函数()y g x =对任意x 满足()(4)g x f x =-，证明：当x ＞2时，()f x ＞()g x ；（Ⅲ）如果1x ≠2x ，且1()f x =2()f x ，证明：12x x +＞4．28．已知函数2)1(2)(-+-=x a e x x f x）（有两个零点.（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）设x 1，x 2是的两个零点，证明：x 1+x 2<2.29.已知函数()(cos )2sin 2f x x x x π=---，2()(1xg x x ππ=-+-.证明：（1）存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =；32.已知()()ln ().f x x x mx m R =-∈（Ⅰ）当1m =时，()f x 的图象在()1,1-处的切线l 恰与函数(01)xy a a a =>≠且的图象相切，求实数a 的值.（Ⅱ）若函数21()ln 212F x x x mx =+-+的两个极值点为1212,,x x x x <且，求证：21()1()f x f x <-<.33．设函数'()ln(1),()(),0,f x x g x xf x x =+=≥其中'()f x 是()f x 的导函数．（Ⅰ）令11()(),()(()),,n n g x g x g x g g x n N ++==∈求()n g x 的表达式；（Ⅱ）若()()f x ag x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）设n N +∈，比较(1)(2)()g g g n ++⋅⋅⋅+与()n f n -的大小，并加以证明．34．已知函数f（x）=e x-kx，x∈R.（Ⅰ）若k=e ，试确定函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若k＞0，且对于任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，试确定实数k 的取值范围；（Ⅲ）设函数F（x）=f(x)+f(-x)，求证：F（1）F（2）…F（n）＞()122nn e++（n∈N *）.《难点突破》(答案)压轴题----函数与导数常考题型二、常考题型：题型一：恒成立求参数的最值或取值范围问题2.解：（Ⅰ）221(ln )'()(1)x x b x f x x x α+-=-+，由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)，故(1)1,1'(1),2f f =⎧⎪⎨=-⎪⎩即1,1,22b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得1a =，1b =。

【人教A 版】高中数学重点难点突破：导数的计算 同步讲义（学生版）【重难点知识点网络】： 1．几个常用函数的导数 几个常用函数的导数如下表：（1）若()f x c =，则()0f x '=；（2）若()()f x x αα*=∈Q ，则()_______f x '=；（3）若()sin f x x =，则()cos f x x '=；（4）若()cos f x x =，则()______f x '=；（5）若()x f x a =，则()ln (01)x f x a a a a '=>≠且；（6）若()e x f x =，则()e x f x '=；（7）若()log a f x x =，则()______(01)f x a a '=>≠且；（8）若()ln f x x =，则1()f x x'=． 3．导数运算法则（1）[()()]___________f x g x '±=；（2）[()()]_____________f x g x '⋅=；（3）()[]____________(()0)()f xg x g x '=≠． 4．复合函数的导数 （1）复合函数的定义一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数(composite function)，记作(())y f g x =． （2）复合函数的求导法则复合函数(())y f g x =的导数和函数()y f u =，()u g x =的导数间的关系为___________，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 【重难点题型突破】： 一、求函数的导数（1）基本初等函数的求导公式是求导的基本依据，一定要记清形式，学会使用公式求导． （2）应用导数运算法则求函数的导数的技巧：①求导之前，对三角恒等式先进行化简，然后再求导，这样既减少了计算量，又可少出错． ②利用代数恒等变形可以避开对商的形式求导．③在函数中有两个以上的因式相乘时，要注意多次使用积的求导法则，能展开的先展开成多项式，再求导．（3）应用导数运算法则求函数的导数的原则：结合函数解析式的特点先进行恒等变形，把一个函数化成几个基本初等函数的加、减、乘、除的形式，再用运算法则求导． 例1.下列求导运算正确的是（）A ．211()1x x x '+=+B ．21(log )ln 2x x '=C ．3(3)3log x xx '=D ．2(cos )2sin x x x x '=-【变式训练1-1】、已知函数2()(1)22(1)f x f x x f '=++，则(2)f '=（） A ．0 B ．2- C ．4-D ．6-【变式训练1-2】、已知函数2l ()n f x a x =的导函数是()f 'x ，且)8(4f '=，则实数a =______________．二、复合函数求导对于复合函数的求导，一般步骤为：（1）弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式； （2）利用求导法则分层求导；（3）最终结果要将中间变量换成自变量． 例2.求下列函数的导数： （1）2()(11)y x x +-=；（2）22()ln f x x x =-； （3）e 1e 1x xy +=-．例3.求下列函数的导数：（1）221()(31)y x x =-+；（2）sin cos 22x x y x =-；（3）2359x x x x y x-+-=【变式训练3-1】．求下列函数的导函数： （1）3sin cos y x x x =；（2）1()23()()y x x x =+++．三、导数几何意义的应用利用导数的几何意义解题时需注意：（1）切点既在原函数的图象上也在切线上，则切点坐标既适合原函数的解析式，也适合切线方程，常由此建立方程组求解；（2）在切点处的导数值等于切线的斜率．例4.）已知曲线e ln x y a x x =+在点1e a （，）处的切线方程为y =2x +b ，则（） A ．a=e ，b =-1 B ．a=e ，b =1C ．a=e -1，b =1D ．a=e -1，1b =-例5.（2019天津文11）曲线cos 2xy x =-在点()0,1处的切线方程为__________.【变式训练5-1】、曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为（ ）A ．12-B ．12C ．2-D ．2【变式训练5-2】．（2015新课标2）已知曲线x x y ln +=在点)1,1(处的切线与曲线1)2(2+++=x a ax y 相 切，则=a ．【人教A 版】高中数学重点难点突破：导数的计算 同步讲义（教师版）【重难点知识点网络】： 1．几个常用函数的导数 几个常用函数的导数如下表：（1）若()f x c =，则()0f x '=；（2）若()()f x x αα*=∈Q ，则()_______f x '=；（3）若()sin f x x =，则()cos f x x '=；（4）若()cos f x x =，则()______f x '=；（5）若()x f x a =，则()ln (01)x f x a a a a '=>≠且；（6）若()e x f x =，则()e x f x '=；（7）若()log a f x x =，则()______(01)f x a a '=>≠且；（8）若()ln f x x =，则1()f x x'=． 3．导数运算法则（1）[()()]___________f x g x '±=；（2）[()()]_____________f x g x '⋅=；（3）()[]____________(()0)()f xg x g x '=≠． 4．复合函数的导数 （1）复合函数的定义一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数(composite function)，记作(())y f g x =． （2）复合函数的求导法则复合函数(())y f g x =的导数和函数()y f u =，()u g x =的导数间的关系为___________，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 【重难点题型突破】： 一、求函数的导数（1）基本初等函数的求导公式是求导的基本依据，一定要记清形式，学会使用公式求导． （2）应用导数运算法则求函数的导数的技巧：①求导之前，对三角恒等式先进行化简，然后再求导，这样既减少了计算量，又可少出错． ②利用代数恒等变形可以避开对商的形式求导．③在函数中有两个以上的因式相乘时，要注意多次使用积的求导法则，能展开的先展开成多项式，再求导．（3）应用导数运算法则求函数的导数的原则：结合函数解析式的特点先进行恒等变形，把一个函数化成几个基本初等函数的加、减、乘、除的形式，再用运算法则求导． 例1.下列求导运算正确的是（）A ．211()1x x x '+=+B ．21(log )ln 2x x '=C ．3(3)3log x xx '=D ．2(cos )2sin x x x x '=-【答案】：B【解析】：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝x ′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1－1x 2，所以A 选项错误； 又(log 2x )′＝1x ln 2，所以选项B 正确； 又(3x)′＝3xln 3，所以选项C 错误；[来源:]又(x 2cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，所以选项D 错误．【变式训练1-1】、已知函数2()(1)22(1)f x f x x f '=++，则(2)f '=（）A ．0B ．2-C ．4-D ．6-【答案】D【解析】由题可得(1)(1)22(1)f f f '=++，即(1)(1)2f f '=--，因为()2(1)2f x f x ''=+，所以(1)2(1)2f f ''=+，解得(1)2f '=-，故(1)0f =，所以2()22f x x x =-+，所以()42f x x '=-+，所以(2)6f '=-，故选D ．【变式训练1-2】、已知函数2l ()n f x a x =的导函数是()f 'x ，且)8(4f '=，则实数a =______________．【答案】42±【解析】由题意得22(l ()n )a x a x f 'x '==，因为)8(4f '=，所以284a =，解得42a =±．二、复合函数求导对于复合函数的求导，一般步骤为：（1）弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；（2）利用求导法则分层求导；（3）最终结果要将中间变量换成自变量． 例2.求下列函数的导数： （1）2()(11)y x x +-=；（2）22()ln f x x x=-；（3）e 1e 1x xy +=-． 【答案】（1）2321y x x '=+-；（2）341()f x x x=--'；（3）22e (e 1)x x y -'=-．【解析】（1）方法1：22[(1)]11()(1)()y x x x x '=+'-++-'2()()11)1(2x x x =+⋅-++ 2321x x =+-．方法2：因为232()(21)11y x x x x x x =++-=+--，所以32212(31)y x x x x x '=+--'=+-．（2）224322()141()x x f x x x x x''-=-'-=-． （3）222(e 1)(e 1)(e 1)(e 1)'e (e 1)(e 1)e 2e (e 1)(e 1)(e 1)x x x x x x x x xx x x y '+--+---+-===--'-． 例3.求下列函数的导数：（1）221()(31)y x x =-+；（2）sin cos 22x x y x =-；（3）25x x x y x=【参考答案】见试题解析．【试题解析】（1）方法1：∵232()()21316231y x x x x x =-+=+--, ∴()()3232262316231184 3.()()()y x x x x x x x x '=+--'='+'-'-'=+-方法2：22()()2131213()(1)y x x x x '=-'++-+'2224313211246()3()x x x x x x =++-=++- 21843x x =+-．（2）∵sincos 22x xy x =-， ∴111(sin )()(sin )1cos 222y x x '=x 'x 'x '=--=-． （3）∵3122359y x x x -=-+-， ∴31223)()(5)((9)y x 'x ''x'-'=-+-1322313109()22x x -=⨯-+-⨯-⋅21)1x=+-． 【变式训练3-1】．求下列函数的导函数： （1）3sin cos y x x x =；（2）1()23()()y x x x =+++．【答案】（1）233sin2cos22y x x x x '=+；（2）231211y x x '=++． 【解析】（1）3[(sin )cos ]y x x x '='33sin c ()()os sin cos x x x x x x ='+'333[()(sin sin cos sin sin )]()x x x x x x x x ='+'+-2333sin cos c (os si )n n )si (x x x x x x x x =++-232323sin cos cos sin x x x x x x x =+-233sin2cos2.2x x x x =+ （2）方法1：123[()()()]y x x x '=+++'()()()[12]3123()()()x x x x x x =++'+++++'213()()()()12x x x x x =+++++++2(23)33()2x x x x =+++++231211.x x =++方法2：因为2321233())())()()()236116x x x x x x x x x +++=+++=+++,所以322[()()()]()123611631211y x x x x x x x x '=+++'=+++'=++．三、导数几何意义的应用利用导数的几何意义解题时需注意：（1）切点既在原函数的图象上也在切线上，则切点坐标既适合原函数的解析式，也适合切线方程，常由此建立方程组求解；（2）在切点处的导数值等于切线的斜率．例4.）已知曲线e ln x y a x x =+在点1e a （，）处的切线方程为y =2x +b ，则（） A ．a=e ，b =-1B ．a=e ，b =1C ．a=e -1，b =1D ．a=e -1，1b =- 【解析】：e ln x y a x x =+的导数为'e ln 1x y a x =++，又函数e ln x y a x x =+在点(1,e)a 处的切线方程为2y x b =+，可得e 012a ++=，解得1e a -=，又切点为(1,1)，可得12b =+，即1b =-. 故选D ．例5.（2019天津文11）曲线cos 2x y x =-在点()0,1处的切线方程为__________.【解析】：由题意，可知1sin 2y x '=--.因为1sin 002y x '=--==所以曲线cos y x =)0,1处的切线方程112y x -=-，即220x y +-=． 【变式训练5-1】、曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为（ ） A ．12- B ．12C．2- D．2 【解析】22cos (sin cos )sin (cos sin )1(sin cos )(sin cos )x x x x x x y x x x x +--'==++，所以 2112(sin cos )444y x πππ'===+。

导数问题难点突破
导数是整个高中数学的难点，在高考中有道小题和一道大题，都是压轴题。

导数研究的核心是单调性问题，尤其是含参函数的单调性问题。

但学生们普遍掌握的不好，主要问题是不知如何分类。

我做了如下处理：
1、理解解题原理。

让学生们充发理解利用导数处理单调生的原理，理解数形结合的思想。

2、优化解题过程
结合具体的例子，先让学生们去求解含参函数的单调性，然后再共同优化解题过程、寻找出最优的解题思路。

经过大家的共同探讨，我们找出了最优的解题思路：
第一步：求导，标定义域
第二步：看导函数是否有恒正或恒负的情况，如果有，先处理这种情况。

因为此时原函数在定义域内是单调函数
第三步：如果导函数有正，有负，则说明原函数有增有减。

如果导函数是连续函数，则一定有零点。

求出这个零点。

第四步：列表，找出导函数在由零点分开的各个区间内的正负，得出原函数的单调性。

依此过程，学生们基本都可以完成含参函数的单调性 问题。

看下面的例子：
设函数3()(1)f x x ax b =---,R x ∈，其中R b a ∈,求)(x f 的单调区间；
解析：（Ⅰ）解：由b ax x x f ---=3)1()(，可得a x x f --=2)1(3)('.
下面分两种情况讨论：
当x 变化时，)('x f ，)(x f 的变化情况如下表：
，
),331(+∞+a .。

高考数学难点攻克函数与导数高考数学中，函数与导数是许多考生认为难以攻克的两个重要知识点。

然而，只要我们掌握了一些关键方法和技巧，就能够轻松解决这些难题。

本文将从三个方面给出攻克函数与导数的方法，帮助考生在高考中取得优异成绩。

一、函数1. 理解函数的概念函数是一种特殊的关系，它将一个自变量的值映射到唯一的因变量的值。

理解这一概念是理解函数的基础。

2. 掌握常见函数的性质掌握常见函数的性质，如奇偶性、周期性、单调性等。

这些性质有助于解决函数的相关题目。

3. 函数的图像函数的图像是理解函数特征的重要工具。

通过绘制函数的图像，我们可以直观地了解函数的性质和特点。

4. 函数的复合掌握函数的复合运算，即将一个函数的输出作为另一个函数的输入。

函数的复合能够简化问题，使得解题更加高效。

二、导数1. 导数的定义导数是函数变化率的一种表示，是函数在某一点上的斜率。

理解导数的定义是学习导数的基础。

2. 导数的计算掌握导数的计算方法，特别是基本函数的导数公式和常用导数法则。

熟练掌握这些计算方法，能够有效地解决导数相关的题目。

3. 导数的几何意义导数的几何意义是函数中最常见的问题之一。

理解导数的几何意义，能够帮助我们更好地理解函数的变化规律。

4. 函数的极值和最值导数在寻找函数的极值和最值问题中起着重要的作用。

熟练掌握函数求导和导数的性质，能够帮助我们有效地解决这类问题。

三、攻克难题的方法和技巧1. 理论与实践相结合在学习函数与导数的过程中，要注重理论与实践相结合。

理论知识只有通过实践才能真正巩固和理解。

2. 及时解决疑惑遇到不理解的题目或知识点时，要及时向老师、同学或家长请教。

解决疑惑有助于提升我们对函数与导数的理解和应用能力。

3. 多做经典题与高考真题通过多做经典题和高考真题，我们可以熟悉各类题型的解题思路和方法，提高我们的解题效率和准确性。

4. 形成系统的知识体系将函数与导数相关的知识点整理成系统的知识体系，形成层次清晰、条理清楚的学习笔记。

120难点34 导数的运算法则及基本公式应用导数是中学限选内容中较为重要的知识，本节内容主要是在导数的定义，常用求等公式.四则运算求导法则和复合函数求导法则等问题上对考生进行训练与指导.●难点磁场(★★★★★)已知曲线C ：y =x 3－3x 2+2x ,直线l :y =kx ,且l 与C 切于点(x 0,y 0)(x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标.●案例探究［例1］求函数的导数：)1()3( )sin ()2( cos )1(1)1(2322+=-=+-=x f y x b ax y xx x y ω 命题意图：本题3个小题分别考查了导数的四则运算法则，复合函数求导的方法，以及抽象函数求导的思想方法.这是导数中比较典型的求导类型，属于★★★★级题目.知识依托：解答本题的闪光点是要分析函数的结构和特征，挖掘量的隐含条件，将问题转化为基本函数的导数.错解分析：本题难点在求导过程中符号判断不清，复合函数的结构分解为基本函数出差错.技巧与方法：先分析函数式结构，找准复合函数的式子特征，按照求导法则进行求导.xx x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x xx x x x x x x y 222222222222222222222cos )1(sin )1)(1(cos )12(cos )1(]sin )1(cos 2)[1(cos )1(cos )1(]))(cos 1(cos )1)[(1(cos )1(cos )1(]cos )1)[(1(cos )1()1(:)1(++-+--=++---+-=+'++'+--+-=-+'+--+'-='解(2)解：y =μ3,μ=ax －b sin 2ωx ,μ=av －byv =x ,y =sin γ γ=ωxy ′=(μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(av －by )′=3μ2(av ′－by ′)=3μ2(av ′－by ′γ′)=3(ax －b sin 2ωx )2(a －b ωsin2ωx )(3)解法一：设y =f (μ),μ=v ,v =x 2+1,则y ′x =y ′μμ′v ·v ′x =f ′(μ)·21v －21·2x =f ′(12+x )·21112+x ·2x =),1(122+'+x f x x解法二：y ′=［f (12+x )］′=f ′(12+x )·(12+x )′121=f ′(12+x )·21(x 2+1)21-·(x 2+1)′ =f ′(12+x )·21(x 2+1) 21-·2x=12+x xf ′(12+x )［例2］利用导数求和(1)S n =1+2x +3x 2+…+nx n －1(x ≠0,n ∈N *)(2)S n =C 1n +2C 2n +3C 3n +…+n C n n ,(n ∈N *)命题意图：培养考生的思维的灵活性以及在建立知识体系中知识点灵活融合的能力.属 ★★★★级题目.知识依托：通过对数列的通项进行联想，合理运用逆向思维.由求导公式(x n )′=nx n －1,可联想到它们是另外一个和式的导数.关键要抓住数列通项的形式结构.错解分析：本题难点是考生易犯思维定势的错误，受此影响而不善于联想.技巧与方法：第(1)题要分x =1和x ≠1讨论，等式两边都求导.解：(1)当x =1时S n =1+2+3+…+n =21n (n +1); 当x ≠1时， ∵x +x 2+x 3+…+x n =xx x n --+11, 两边都是关于x 的函数，求导得 (x +x 2+x 3+…+x n )′=(x x x n --+11)′ 即S n =1+2x +3x 2+…+nx n －1=21)1()1(1x nx x n n n -++-+ (2)∵(1+x )n =1+C 1n x +C 2n x 2+…+C n n x n ,两边都是关于x 的可导函数，求导得n (1+x )n －1=C 1n +2C 2n x +3C 3n x 2+…+n C n n x n －1, 令x =1得，n ·2n －1=C 1n +2C 2n +3C 3n +…+n C n n , 即S n =C 1n +2C 2n +…+n C n n =n ·2n －1●锦囊妙计1.深刻理解导数的概念，了解用定义求简单的导数.xy ∆∆表示函数的平均改变量，它是Δx 的函数，而f ′(x 0)表示一个数值，即f ′122 (x )=x y x ∆∆→∆lim 0，知道导数的等价形式：)()()(lim )()(lim 0000000x f x x x f x f x x f x x f x x x '=--=∆-∆+→∆→∆. 2.求导其本质是求极限，在求极限的过程中，力求使所求极限的结构形式转化为已知极限的形式，即导数的定义，这是顺利求导的关键.3.对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.4.复合函数求导法则，像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的一环.必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)y =e sin x cos(sin x )，则y ′(0)等于( )A.0B.1C.－1D.22.(★★★★)经过原点且与曲线y =59++x x 相切的方程是( ) A.x +y =0或25x +y =0 B.x －y =0或25x +y =0 C.x +y =0或25x －y =0 D.x －y =0或25x －y =0 二、填空题 3.(★★★★)若f ′(x 0)=2,kx f k x f k 2)()(lim 000--→ =_________.4.(★★★★)设f (x )=x (x +1)(x +2)…(x +n ),则f ′(0)=_________.三、解答题5.(★★★★)已知曲线C 1:y =x 2与C 2:y =－(x －2)2,直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程.6.(★★★★)求函数的导数(1)y =(x 2－2x +3)e 2x ;(2)y =31xx -. 7.(★★★★)有一个长度为5 m 的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3 m/s 的速度离开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚1.4 m 时，梯子上端下滑的速度.8.(★★★★)求和S n =12+22x +32x 2+…+n 2x n －1,(x ≠0,n ∈N *).参考答案难点磁场解：由l 过原点，知k =00x y (x 0≠0),点(x 0,y 0)在曲线C 上，y 0=x 03－3x 02+2x 0, ∴00x y =x 02－3x 0+2123y ′=3x 2－6x +2,k =3x 02－6x 0+2又k =00x y ,∴3x 02－6x 0+2=x 02－3x 0+2 2x 02－3x 0=0,∴x 0=0或x 0=23 由x ≠0,知x 0=23 ∴y 0=(23)3－3(23)2+2·23=－83 ∴k =00x y =－41 ∴l 方程y =－41x 切点(23，－83) 歼灭难点训练一、1.解析：y ′=e sin x ［cos x cos(sin x )－cos x sin(sin x )］,y ′(0)=e 0(1－0)=1答案：B 2.解析：设切点为(x 0,y 0),则切线的斜率为k =00x y ,另一方面，y ′=(59++x x )′=2)5(4+-x ,故 y ′(x 0)=k ,即)5(9)5(40000020++==+-x x x x y x 或x 02+18x 0+45=0得x 0(1)=－3,y 0(2)=－15,对应有y 0(1)=3,y 0(2)=53515915=+-+-,因此得两个切点A (－3，3)或B (－15,53),从而得y ′(A )=3)53(4+-- =－1及y ′(B )=251)515(42-=+-- ,由于切线过原点，故得切线：l A :y =－x 或l B :y =－25x . 答案：A二、3.解析：根据导数的定义：f ′(x 0)=kx f k x f k ---+→)()]([(lim000(这时k x -=∆)1)(21)()(lim 21])()(21[lim 2)()(lim 0000000000-='-=----=---⋅-=--∴→→→x f k x f k x f k x f k x f k x f k x f k k k 答案：－14.解析：设g (x )=(x +1)(x +2)……(x +n ),则f (x )=xg (x ),于是f ′(x )=g (x )+xg ′(x ),f ′(0)=g (0)+0·g ′(0)=g (0)=1·2·…n =n ！答案：n !三、5.解：设l 与C 1相切于点P (x 1,x 12),与C 2相切于Q (x 2,－(x 2－2)2)对于C 1：y ′=2x ,则与C 1相切于点P 的切线方程为y －x 12=2x 1(x －x 1),即y =2x 1x －x 12 ①124对于C 2：y ′=－2(x －2),与C 2相切于点Q 的切线方程为y +(x 2－2)2=－2(x 2－2)(x －x 2),即y =－2(x 2－2)x +x 22－4 ②∵两切线重合，∴2x 1=－2(x 2－2)且－x 12=x 22－4,解得x 1=0,x 2=2或x 1=2,x 2=0∴直线l 方程为y =0或y =4x －46.解：(1)注意到y ＞0,两端取对数，得ln y =ln(x 2－2x +3)+ln e 2x =ln(x 2－2x +3)+2xxx e x x e x x x x x x y x x x x y x x x x x x x x x x x y y 2222222222222)2(2)32(32)2(232)2(232)2(223222232)32(1⋅+-=⋅+-⋅+-+-=⋅+-+-='∴+-+-=++--=++-'+-='⋅∴(2)两端取对数，得 ln|y |=31(ln|x |－ln|1－x |), 两边解x 求导，得 31)1(31)1(131)1(131)111(311x x x x y x x y x x x x y y --=⋅-⋅='∴-=---='⋅7.解：设经时间t 秒梯子上端下滑s 米,则s =5－2925t -,当下端移开1.4 m 时，t 0=157341=⋅,又s ′=－21 (25－9t 2)21-·(－9·2t )=9t 29251t -,所以s ′(t 0)=9×2)157(9251157⨯-⋅=0.875(m/s)8.解：(1)当x =1时，S n =12+22+32+…+n 2=61n (n +1)(2n +1),当x ≠1时，1+2x +3x 2+…+nx n -1=21)1()1(1x nx x n n n -++-+,两边同乘以x ,得 x +2x 2+3x 2+…+nx n =221)1()1(x nx x n x n n -++-++两边对x 求导，得 S n =12+22x 2+32x 2+…+n 2x n -1=322122)1()122()1(1x x n x n n x n x n n n ---+++-+++Von Neumann说过：In mathematics you don't understand things .You just get used to them.掌握了课本，一般的数学题就都可以做了。

高中数学导数概念教案的难点及解决方法探析一、难点分析1.导数定义的理解导数是微积分中一个重要的概念，它是描述函数变化率的工具。

但是，学生在初接触这个概念时，往往会感到很抽象。

他们难以理解“极限”、“变化率”、“瞬时速度”概念，导致他们对导数的定义难以准确地掌握。

2.导数基本性质的掌握导数的基本性质是学习导数过程中的另一个难点。

但是，如果学生没有充分掌握这些性质，那么就很难理解后续的推导和应用。

有时候，一些学生会生硬地背诵这些性质，但是背诵并不能帮助他们真正地理解和运用这些性质。

3.导数计算的复杂性导数的计算是学生在学习导数过程中遇到的另一个难点。

虽然这一部分内容看似只是一些简单的公式和套路，但是如果学生没有充分的练习和掌握，他们就无法熟练地应用导数计算方法。

二、解决方法1.强化基础知识的学习为了帮助学生理解导数概念，教师应该从基础知识开始，详细讲解极限的定义和计算方法，帮助学生全面认识极限的概念。

在讲解极限的基础上，再引入导数的概念，并帮助学生理解导数的真正含义，例如变化率、瞬时速度等。

这样学生就可以更好地掌握导数的定义。

2.运用图像帮助学生理解教师可以通过绘制函数的图像，帮助学生更好地理解导数的概念以及导数的基本性质，例如导数的正负性和导函数的单调性等。

这样学生就可以更加直观地感受到导数的作用。

3.提供练习并予以及时反馈为了帮助学生更好地掌握导数计算的方法，教师应当为学生提供大量的练习，帮助他们通过反复练习来加深印象，并及时给予反馈，帮助他们发现并纠正错误。

4.运用案例帮助学生理解教师可以运用一些实际问题来帮助学生更好地理解导数的应用。

例如，通过求出速度的导数来计算某个时刻小车的加速度。

这样不仅可以让学生理解导数的应用，同时也可以增加学生的兴趣，提高学习效果。

学习导数是数学学习中的一个重要环节。

教师应该针对导数学习的难点，采取有效的教学策略，帮助学生更好地掌握导数的相关知识。

专题3.2.1 重难点之导数与函数单调性重难点突破一、考情分析1、结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；2、能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．二、经验分享三、考点梳理知识点1. 利用导数研究函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)≥0且在(a，b)的任意子区间上不恒为0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)≤0且在(a，b)的任意子区间上不恒为0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．知识点2. 判定函数单调性的一般步骤(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；(4)根据(3)的结果确定函数的单调区间．知识点3. 已知函数单调性求参数的值或参数的范围(1)函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，可转化为f′(x)≥0在(a，b)上恒成立，且在(a，b)的任意子区间上不恒为_0；也可转化为(a，b)⊆增区间．函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，可转化为f′(x)≤0在(a，b)上恒成立，且在(a，b)的任意子区间上不恒为_0；也可转化为(a，b)⊆减区间．(2)函数y＝f(x)的增区间是(a，b)，可转化为(a，b)＝增区间，也可转化为f′(x)＞0的解集是(a，b)；函数y＝f(x)的减区间是(a，b)，可转化为(a，b)＝减区间，也可转化为a，b是f′(x)＝0的两根．四、题型分析重难点题型突破1 求函数的单调区间 例1、求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x 3－12x 2－2x ＋3；(2)g(x)＝x 2－2ln x.(3)f (x )＝x 3－6x 2的单调递减区间．【解析】 (1)∵f′(x)＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)，定义域为R ， ∴当f ′(x )>0时，x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪(1，＋∞)；当f ′(x )＜0时，x ∈⎝⎛⎭⎫－23，1. ∴函数的单调增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－23和(1，＋∞)，单调减区间为⎝⎛⎭⎫－23，1. (2)g ′(x )＝2x －2x ＝2（x ＋1）（x －1）x，定义域为(0，＋∞)，令g ′(x )＝0，解得：x ＝1或x ＝－1(舍去)，列表：∴函数的单调增区间是(1，＋∞)，单调减区间是(0，1)． (3)f ′(x )＝3x 2－12x ＝3x (x －4)，由f ′(x )<0，得0<x <4， ∴函数f (x )的单调递减区间为(0,4)．【变式训练1】．（黑龙江省哈尔滨市第六中学2018-2019学年期中）已知函数23()4ln 2f x x x x =-+，则函数()f x 的单调递减区间是（ ）A ．1(0,)3，(1,)+∞ B ．(0,1)，(3,)+∞ C ．1(0,)3，(3,)+∞ D ．1(1)3， 【答案】D【解析】函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()()()()2311314ln 342x x f x x x x f x x x x--=-+⇒-'=+=， 当()0f x '<时，函数单调递减，即()()3110x x x--<而0x >，解不等式得：113x <<，故本题选D 。