专题05 导数的概念(重难点突破)解析版
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专题05 导数的概念
【重难点知识点网络】： 一、平均变化率 1.变化率
事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。
如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值； 2.平均变化率
一般地，函数f(x)在区间[]21,x x 上的平均变化率为：
2121
()()
f x f x x x --
3.如何求函数的平均变化率 求函数的平均变化率通常用“两步”法：
①作差：求出21()()y f x f x ∆=-和21x x x ∆=-
②作商：对所求得的差作商，即
2121
()()f x f x y x x x -∆=∆-。
二、导数的概念
定义：函数()f x 在0x x =处瞬时变化率是()()x
x f x x f x y
x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆0000lim
lim
，我们称它为函数()x f y =在0x x =处的导数,记作() 或0x f '即 0
x x y ='()()()x
x f x x f x y
x f x x ∆-∆+=∆∆'→∆→∆00000lim
lim
＝ 三、求导数的方法： 求导数值的一般步骤：
① 求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-；
② 求平均变化率：
00()()
f x x f x y x x
+∆-∆=
∆∆； ③ 求极限，得导数：00000()()'()lim
lim
x x f x x f x y
f x x x
∆→∆→+∆-∆==∆∆。
也可称为三步法求导数。
【重难点题型突破】： 一、平均变化率与瞬时变化率
函数(x)f 在某点()00x ,(x )f 处的导数()()00'
00
0(x )lim lim x x f x x f x y f x x →→+-⎛⎫⎛⎫==
⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
例1．（1）设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x +Δx 时，函数的增量Δy 为（ ）
A ．0()f x x +∆
B ．0()f x x +∆
C ．0()f x x ⋅∆
D ．00()()f x x f x +∆- 【答案】 D
【解析】 由公式00()()y f x x f x ∆=+∆-可得，故选D 。
（2）若函数f （x ）=2x 2
－1的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+Δx ，1+Δy ），则
x
y
∆∆等于 A.4 B.4x
C.4+2Δx
D.4+2Δx 2
【答案】C
【解析】Δy =2（1+Δx ）2
－1－1=2Δx
2
+4Δx ，
x
y
∆∆=4+2Δx . 例2. 函数()y f x ==
在区间[1，1+Δx]内的平均变化率为________。
【解析】 ∵(1)(1)1y f x f ∆=+∆-=
-
== =
，∴y x ∆=∆ 例3.求函数y=2x 2+5在区间[2，2+Δx]上的平均变化率；并计算当1
2
x ∆=
时，平均变化率的值。
【答案】 ∵2
2
2
(2)(2)2(2)5(225)82()y f x f x x x ∆=+∆-=+∆+-⋅+=∆+∆ ∴
82y
x x
∆=+∆∆，函数在区间[2，2+Δx]上的平均变化率为82x +∆。
当12x ∆=
时，829y x x
∆=+∆=∆，即平均变化率的值为9. 例 4. 已知函数f (x )=x x +-2
的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则
=∆∆x
y
． 【答案】 ∵ )1()1(22
x x y ∆+-+∆+--=∆+-，∴ 2(1)(1)23y x x x x x
∆--+∆+-+∆+==-∆∆∆ 二、利用定义求导数的值
例5.（1）设函数在处存在导数，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】，故选A.
（2）设函数f (x )在x =1处存在导数为2,则= _______________．
【答案】
【解析】由极限的运算法则结合导函数的定义可得：
==×f ′(1)=.
()f x 1x =0
(1)(1)
lim
3x f x f x
∆→+∆-=∆1
(1)3
f '(1)f '3(1)f '(3)f '0
0(1)(1)1(1)(1)1
lim
lim (1)
333
x x f x f f x f f x x ∆→∆→+∆-+∆-'==∆∆()()
113x f x f lim
x
∆→+∆-∆2
3
()()0
113x f x f lim
x ∆→+∆-∆()()01113x f x f lim x
∆→+∆-∆1
323
例6. 用导数的定义，求函数()y f x
==
在x=1处的导数。
【解析】∵(1)(1)1
y f x f ∆=+∆-=
=
=
= ∴
y x ∆=∆∴01'(1)lim 2x y f x ∆→∆==-∆。
【点评】 利用定义求函数的导数值，需熟练掌握求导数的步骤和方法，即三步法。
例7. （1）求函数 2
()3f x x =在x =1处的导数.
（2）求函数f (x )=x x +-2
在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．
【答案】 (1) 2
2
(1)(1)3(1)363()y f x f x x x ∆=+∆-=+∆-=∆+∆
2
63()63y x x x x x
∆∆+∆==+∆∆∆, 0lim(63)6x x ∆→+∆=，即(1)6f '=.
所以 函数 2
()3f x x =在x =1处的导数为6 .
（2） 依照定义，f (x )在1x =-的平均变化率，为两增量之比，
需先求22
00()()(1)(1)23()y f x x f x x x x x ∆=+∆-=--+∆+-+∆-=∆-∆，
再求：
2
3()3y x x x x x
∆∆-∆==-∆∆∆，即为f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率。
再由导数定义得： 00
(1)lim
lim(3)3x x y
f x x ∆→∆→∆'-==-∆=∆
例8. 已知函数1
y x
=
x=4处的导数.
【答案】（1
）0011
(2)
(4)(4)44'(4)lim lim x x f x f x f x x
∆→∆→-+∆-+∆==∆∆
01
12)44lim x x x ∆→⎛⎫-- ⎪
+∆⎝⎭=
∆0lim
x ∆→=
15
lim 4(4)16x x ∆→⎛
-==- +∆⎝
， 例9.
已知()f x ='()f x ，'(2)f 【答案】
因为y ∆=
，所以
y
x x ∆===
∆∆。
当Δx →0
时，'()f x =
，∴当x=2
时，1
'(2)4
f =
=。
三、导数的几何意义
例10.已知()y f x =的图象如图所示，则()A f x '与()B f x '的大小关系是
A ．()()A
B f x f x >''
B ．()()A B f x f x =''
C ．()()A B f x f x <''
D ．()A f x '与()B f x '大小不能确定
例11.如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ,其中A ,B ,C 的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则[(0)]
f
f
= ；0
(1)(1)
lim
x f x f x
∆→+∆-∆= .
【答案】 2， 2
【解析】 由图可知：f(0)=4,f(4)=2; f(x)=-2x+4,带入可得。
例12.已知曲线31433
C y x =
+：． （1）求曲线C 上横坐标为2的点处的切线方程；
（2）第（1）小题中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？。
