18-19 第3章 3.2 3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量[解析] 设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧n ·AB →＝z ＝0，n ·AC →＝－x ＋y ＋z ＝0，令x ＝1，则y ＝1，z ＝0， 即n ＝(1,1,0)，则平面ABC 的一个法向量为(1,1,0)． [答案] (1,1,0)(答案不惟一)[合 作 探 究·攻 重 难]直线的方向向量及其应用(1)已知直线l 1的一个方向向量为(－7,3,4)，直线l 2的一个方向向量为(x ，y,8)，且l 1∥l 2，则x ＝________，y ＝________.(2)在空间直角坐标系中，已知点A (2,0,1)，B (2,6,3)，P 是直线AB 上一点，且满足AP ∶PB ＝3∶2，则直线AB 的一个方向向量为________，点P 的坐标为________.【导学号：71392185】[精彩点拨] (1)利用两直线的方向向量共线求解；(2)AB →即是直线AB 的一个方向向量，利用AP →＝35AB →求点P 的坐标．[解析] (1)由l 1∥l 2可知，向量(－7,3,4)和(x ，y,8)共线，所以x －7＝y 3＝84，解得x ＝－14，y ＝6.(2)AB →＝(0,6,2)是直线AB 的一个方向向量． 由AP ∶PB ＝3∶2，得AP →＝35AB →.设P (x ，y ，z )，则(x －2，y ，z －1)＝35(0,6,2)，即x －2＝0，y ＝185，z －1＝2·35， 解得x ＝2，y ＝185，z ＝115， 所以直线AB 的一个方向向量是(0,6,2)，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，185，115.[答案] (1)－14 6 (2)(0,6,2) ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，185，115[名师指津]1．应注意直线AB 的方向向量有无数个，哪个易求求哪个．2．利用直线上的一个已知点和直线的方向向量可以确定直线的位置，进而利用向量的运算确定直线上任一点的位置.求平面的法向量如图3-2-1，ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，求平面SBA 与平面SCD 的法向量．图3-2-1[精彩点拨] 因为与平面垂直的向量为平面的法向量，所以先观察图中有无垂直于平面的直线，若有，利用直接法求出；若没有，设出法向量n ，再利用待定系数法求解．[自主解答] ∵AD ，AB ，AS 是三条两两垂直的线段，∴以A 为原点，以AD →，AB →，AS →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，C (1,1,0)，S (0,0,1)，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0是平面SBA 的法向量，设平面SCD 的法向量n ＝(1，λ，u )，有n ⊥DC →，n ⊥DS →，则n ·DC →＝(1，λ，u )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0＝12＋λ＝0，∴λ＝－12.n ·DS →＝(1，λ，u )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，1＝－12＋u ＝0，∴u ＝12，∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，12. [名师指津]1．利用待定系数法求平面法向量的步骤 2．求平面法向量的三个注意点(1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量．(2)取特值：在求n 的坐标时，可令x ，y ，z 中一个取特殊值，得另两个值，就是平面的一个法向量．(3)注意0：提前假定法向量n ＝(x ，y ，z )的某个坐标为某特定值时，一定要注意这个坐标不为0.[再练一题]1．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为BB 1，C 1D 1的中点，建立适当的坐标系，求平面AMN 的一个法向量.【导学号：71392186】[解] 以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系(如图所示)．设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则A (1,0,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1.∴AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，1.设平面AMN 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·AM →＝y ＋12z ＝0，n ·AN →＝－x ＋12y ＋z ＝0，令y ＝2，∴x ＝－3，z ＝－4，∴n ＝(－3,2，－4).证明平面的法向量在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，CD 的中点． 图3-2-2求证：D 1F →是平面ADE 的法向量. 【导学号：71392187】 [精彩点拨] 要证明D 1F →是平面ADE 的法向量，只需证明D 1F ⊥平面ADE 即可．[自主解答] 如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，D 1(0,0,1)，A (1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0， 所以AD →＝(－1,0,0)，D 1F →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，－1，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，所以AD →·D 1F →＝(－1,0,0)·⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，－1＝0， AE →·D 1F →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12·⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，－1＝0， 所以AD →⊥D 1F →，AE →⊥D 1F →，又AD ∩AE ＝A ， 所以D 1F →⊥平面ADE ，从而D 1F →是平面ADE 的法向量．[名师指津] 用向量法证明线面垂直的实质仍然是用向量的数量积证明线线垂直，因此，其思想方法与证明线线垂直相同，区别在于必须证明两个线线垂直.2．如图3-2-3所示，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥正方形ABCD 所在的平面，PA ＝AD ＝1，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．图3-2-3(1)建立适当的空间直角坐标系，写出向量MN →的坐标； (2)求证：MN →为平面PCD 的一个法向量．[解] (1)由PA ⊥正方形ABCD 所在平面知PA ，AB ，AD 两两互相垂直，以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．图3-2-3由PA ＝AD ＝1得P (0,0,1)，C (－1,1,0)，D (－1,0,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，12， ∴MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，12.(2)证明：由(1)MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，12，PC →＝(－1,1，－1)，PD →＝(－1,0，－1)，则MN →·PC →＝－12×(－1)＋0×1＋12×(－1)＝0，MN →·PD →＝－12×(－1)＋0×0＋12×(－1)＝0，∴MN ⊥PC ，MN ⊥PD .又∵PC ∩PD ＝P ，PC ⊂平面PCD ，PD ⊂平面PCD ， ∴MN ⊥平面PCD .∴MN →为平面PCD 的一个法向量.方向向量与法向量的特征[1．如何正确地判断直线的方向向量？[提示] (1)在空间中，一个向量成为直线的方向向量，必须具备以下两个方面的限制：①不能为零向量；②与该直线平行或重合．(2)与直线l 平行的任意非零向量a 都是直线的方向向量，且直线l 的方向向量有无数个．(3)给定空间中任意一点A 和非零向量a ，就可以确定惟一一条过点A 且平行于向量a 的直线．(4)表示同一条直线的方向向量，由于它们的模不一定相等，因此，它们不一定相等；虽然这些方向向量都与直线平行，但它们的方向不一定相同，还可能相反．2．过空间任意一定点P ，能否作出平面α的法向量？能作几条？ [提示] 由于过空间任意一点P ，有且仅有一条直线PO 垂直于平面α，因此，过空间任意一点都能作出平面α的法向量．由于直线PO 的方向向量有无数个，因此，过点P 的平面α的法向量也有无数个．3．求平面法向量的坐标时，为什么只构建两个方程求解？[提示] 根据线面垂直的判定定理可知，只要直线垂直于该平面内的任意两条相交直线，它就垂直于该平面，也就垂直于该平面内的任意直线，因此，求法向量的坐标只要满足两个方程就可以了．4．依据待定系数法求出的平面法向量惟一吗？[提示] 不惟一．利用待定系数法求平面法向量时，由于方程组⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0有无数组解，因此法向量有无数个．求解时，利用赋值法，只要给x ，y ，z 中的一个赋特殊值(常赋值－1,0,1)即可确定一个法向量，赋值不同，所得法向量不同，但(0,0,0)不能作为法向量．5．利用直线的方向向量和平面的法向量能够解决哪些位置关系？ [提示] (1)两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)．(2)直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行．(3)两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)．根据下列条件，分别判定相应直线与平面、平面与平面的位置关系．(1)平面α，β的法向量分别是u ＝(－1,1，－2)，ν＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2，－12；(2)直线l 的方向向量a ＝(－6,8,4)，平面α的法向量u ＝()2，2，－1.【导学号：71392188】[精彩点拨] 利用方向向量与法向量的平行或垂直来判断线、面位置关系． [自主解答] (1)∵u ＝(－1,1，－2)，ν＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2，－12，∴u ·ν＝(－1,1，－2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2，－12＝－3＋2＋1＝0， ∴u ⊥ν，故α⊥β.(2)∵u ＝(2,2，－1)，a ＝(－6,8,4)，∴u ·a ＝(2,2，－1)·(－6,8,4)＝－12＋16－4＝0， ∴u ⊥a ，故l ⊂α或l ∥α. [再练一题]3．根据下列条件，判断相应的线、面位置关系．(1)直线l 1，l 2的方向向量分别是a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)； (2)平面α，β的法向量分别是u ＝(1,3,0)，ν＝(－3，－9，0)． [解] (1)∵a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)，∴a ·b ＝8－6－2＝0，∴a ⊥b ，即l 1⊥l 2.(2)∵u ＝(1,3,0)，ν＝(－3，－9,0)，∴ν＝－3u ，∴ν∥u ，即α∥β.[当 堂 达 标·固 双 基]1．已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a 和b 在同一直线上，则m ＝________.[解析] ∵a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，a ∥b ，∴m 3＝4－2， ∴m ＝－6.[答案] －62．若点A (0,1,2)，B (－1,0,2)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为________．[解析] AB →＝(－1，－1,0)，即为l 的一个方向向量．[答案] (－1，－1,0)3．若向量a ＝(x,2,1)，b ＝(1，y,3)都是直线l 的方向向量，则x ＋y ＝________.[解析] 据题意可知，a ∥b ，故存在实数λ，使a ＝λb ，即(x,2,1)＝λ(1，y,3)，即x ＝λ，2＝λy,1＝3λ，解得λ＝13，y ＝6，x ＝13，x ＋y ＝13＋6＝193. [答案] 1934．若直线l ⊥α，且l 的方向向量为(m,2,4)，平面α的法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，2，则m 为________.【导学号：71392189】[解析] ∵(m,2,4)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝12λ，2＝λ，4＝2λ，∴m ＝1.[答案] 1 5．如图3-2-4，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝BB 1＝1，求平面ABC 1的一个法向量．图3-2-4[解] 法一：设平面ABC 1的一个法向量为n ＝(x ，y,1)．∵B (0,0,0)，A (0,1,0)，C 1(1,0,1)，∴BA →＝(0,1,0)，BC 1→＝(1,0,1)， 则⎩⎨⎧ n ·BA →＝y ＝0，n ·BC 1→＝x ＋1＝0，解得x ＝－1，y ＝0，∴n ＝(－1,0,1)．法二：设平面ABC 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )． ∵B (0,0,0)，A (0,1,0)，C 1(1,0,1)， ∴BA →＝(0,1,0)，BC 1→＝(1,0,1)， 则⎩⎨⎧ n ·BA →＝y ＝0，n ·BC 1→＝x ＋z ＝0，令z ＝1，则x ＝－1，y ＝0，∴n ＝(－1,0,1)．。
