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§3.2.1直线的方向向量与平面的法向量【学情分析】：教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,所以本节课是通过这些知识理解空间的几个元素点、直线、平面的位置的向量表示，并且用向量及其运算表示线线、线面、面面间的平行与垂直的位置关系,可以比较顺利地进行教学.【教学目标】：（1）知识与技能：理解直线的方向向量和平面的法向量；会用向量及其运算表示线线、线面、面面间的位置关系.（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对相关知识的理解。
（3）情感态度与价值观：开始体会把立方体几何几何转化为向量问题优势.【教学重点】：平面的法向量.【教学难点】：用向量及其运算表示线线、线面、面面间的平行与垂直关系.【教学过程设计】：，能确定一条如图，点A定理来理解。
、2,平行的方向向量分别为（1）求证：AP 是平面的法向量；1,2,1)(4,2,0)-⋅AP AB ⊥AD A =2）||(2)AB =，2||4AD =AD ⋅=，cos(,)AB AD =1BAD ∠=-ABCD=点、直线、平面的位置的向量表示练习与测试：（基础题）1，与两点和所成向量同方向的单位向量是。
解：向量，它的模则所求单位向量为。
2，从点沿向量的方向取长为6的线段，求点坐标。
解：设点坐标为，由题设有；由可得。
则，于是所求坐标为。
3，设直线l，m的方向向量分别为)1,0,3(),3,2,1(-==，判断l，m的位置关系。
解：因为（1，2，3）（-3，0，1）=0，所以两直线垂直。
4，设平面βα,的法向量分别为)12,6,2(),6,3,1(-=--=vu，判断平面βα,的位置关系。
解：易知所给二法向量平行，故平面βα,平行。
（中等题）5，已知空间四点坐标分别为A（1，0，0）、B（1，1，0）、E（1，1/2，1）、F（0，1/2，0），求平面AEF的单位法向量。
解：设平面AEF的法向量为则有为平面AEF的单位法向量。
第2课时 直线的方向向量、法向量 学习目标 1.理解直线的方向向量、法向量的概念.2.会求直线的方向向量和法向量.3.理解直线的方向向量、法向量与直线的斜率之间的关系并会简单应用． 导语同学们，上节课我们求了直线的倾斜角和斜率，我们知道如果直线有斜率，只需知直线上的任意两点，就可以求直线的斜率，也知道两点确定一条直线，我们今天就来研究一下两点的直线的方向问题．一、直线的方向向量问题1 什么是直线的方向向量？如何求？提示 与已知直线平行或重合的向量就是直线的方向向量，如果A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是直线l 上两个不同的点，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)是直线l 的一个方向向量． 知识梳理定义：一般地，如果表示非零向量a 的有向线段所在的直线与直线l 平行或重合，则称向量a 为直线l 的一个方向向量，记作a ∥l .(1)a ＝(1,0)表示所有倾斜角为0°(即与y 轴垂直)的直线的一个方向向量．b ＝(0,1)表示所有倾斜角为90°(即与x 轴垂直)的直线的一个方向向量．(2)如果a 为直线l 的一个方向向量，那么对于任意的实数λ≠0，向量λa 都是l 的一个方向向量，而且直线l 的任意两个方向向量一定共线．(3)如果A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是直线l 上两个不同的点，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)是直线l 的一个方向向量．注意点：(1)任意的直线都有方向向量；(2)任意直线的方向向量不唯一；(3)直线的方向向量是非零向量．例1 (1)过A (4，y )，B (2，－3)两点的直线的一个方向向量为n ＝(－1，－1)，则y 等于( )A ．－32 B.32C ．－1D ．1 答案 C解析 由直线上的两点A (4，y )，B (2，－3)，得AB →＝(－2，－3－y )，又直线AB 的一个方向向量为n ＝(－1，－1)，∴n ∥AB →，∴(－2)×(－1)－(－3－y )×(－1)＝0，解得y ＝－1.(2)平面内点A (－1，－5)，B (2,1)，C (4,5)，证明：A ，B ，C 三点共线．解 方法一 k AB ＝1－(－5)2－(－1)＝63＝2， k AC ＝5－(－5)4－(－1)＝105＝2. ∵k AB ＝k AC ，∴A ，B ，C 三点共线．方法二 AB →＝(2,1)－(－1，－5)＝(3,6)，AC →＝(4,5)－(－1，－5)＝(5,10)＝53AB →. ∴AB →∥AC →，又AB →与AC →有公共点A ，∴A ，B ，C 三点共线．反思感悟 直线的方向向量的求法(1)在直线上任找两点P ，Q ，则PQ →(QP →)为直线l 的一个方向向量．(2)已知直线的斜率为k ，则a ＝(1，k )为直线的一个方向向量．(3)a ＝(t ,0)(t ≠0)表示与x 轴平行或重合的直线的方向向量，a ＝(0，t )(t ≠0)表示与y 轴平行或重合的直线的方向向量．跟踪训练1 (1)直线l 过点(－1，－2)，(－1,2)且直线l 的方向向量为a ＝(m ，n )，则mn ＝________.答案 0解析 依题意，直线l 垂直于x 轴，∴m ＝0，n 为任意非零实数，∴mn ＝0.(2)已知直线l 经过点P (1,2)和点Q (－2，－2)，则直线l 的单位方向向量为( )A ．(－3，－4)B.⎝⎛⎭⎫－35，－45C.⎝⎛⎭⎫±35，±45 D ．±⎝⎛⎭⎫35，45 答案 D解析 由题意得，直线l 的一个方向向量为PQ →＝(－2－1，－2－2)＝(－3，－4)，则|PQ →|＝(－3)2＋(－4)2＝5，因此直线l 的单位方向向量为±PQ →|PQ →|＝±15(－3，－4)＝±⎝⎛⎭⎫35，45. 二、直线的方向向量与倾斜角、斜率的关系问题2 直线的方向向量与直线的倾斜角、斜率有什么样的关系？提示 我们知道如果A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是直线l 上两个不同的点，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)是直线l 的一个方向向量，它可以表示任意直线的方向向量，若x 2≠x 1，即θ≠90°时，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)＝(x 2－x 1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1，y 2－y 1x 2－x 1＝(x 2－x 1)(1，k )＝(x 2－x 1)(1，tan θ)＝(x 2－x 1)⎝⎛⎭⎫1，sin θcos θ＝1cos θ(x 2－x 1)(cos θ，sin θ)． 知识梳理1．如果直线l 的倾斜角为θ，则a ＝(cos θ，sin θ)为直线l 的一个方向向量．如果直线l 的斜率为k ，则a ＝(1，k )为直线l 的一个方向向量．2．如果a ＝(u ，v )为直线l 的一个方向向量，则当u ＝0时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；当u ≠0时，直线的斜率存在，且k ＝tan θ＝v u. 注意点：(1)任意斜率不存在时的直线的方向向量为a ＝(0,1)；(2)斜率存在时的直线的方向向量a ＝(1，k )；(3)任意直线的方向向量可表示为a ＝(cos θ，sin θ)．例2 (1)直线l 的方向向量为⎝⎛⎭⎫cos α，32sin 2α⎝⎛⎭⎫α≠π2＋k π，k ∈Z ，则直线l 的倾斜角的取值范围是________________．答案 ⎣⎡⎭⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎫2π3，π 解析 ∵α≠π2＋k π，k ∈Z ， ∴cos α≠0，sin α≠±1. 令直线l 的倾斜角为θ，∴tan θ＝32sin 2αcos α＝3sin α. ∵sin α∈(－1,1)，∴tan α∈(－3，3)，又θ∈[0，π)， 故θ∈⎣⎡⎭⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎫2π3，π. (2)直线l 过点P (1，－3)，Q (4，3－3)，求直线l 的一个方向向量、斜率和倾斜角．解 方法一 PQ →＝(4，3－3)－(1，－3)＝(3，3)．∴PQ →＝(3，3)为直线l 的一个方向向量，∴k ＝33，∴tan θ＝33，θ＝30°. 故该直线的斜率为33，倾斜角为30°. 方法二 k PQ ＝(3－3)－(－3)4－1＝33，∴tan θ＝33，∴θ＝30°. 直线l 的一个方向向量a ＝(1，k )＝⎝⎛⎭⎫1，33. 反思感悟 直线的方向向量与倾斜率、斜率之间的关系如果直线l 的倾斜角为θ，则a ＝(cos θ，sin θ)为直线l 的一个方向向量．如果直线l 的斜率为k ，则a ＝(1，k )为直线l 的一个方向向量．跟踪训练2 (1)直线l 的倾斜角为150°，则该直线的斜率为________，一个方向向量为________．答案 －33 ⎝⎛⎭⎫1，－33 解析 ∵θ＝150°，∴k ＝tan 150°＝－33. ∴a ＝⎝⎛⎭⎫1，－33为直线的一个方向向量． (2)经过A (0,2)，B (1,0)两点的直线的方向向量为(1，k )，则k 的值是( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2答案 D解析 由已知得k ＝2－00－1＝－2. 三、直线的法向量问题3 什么是直线的法向量？如何求？提示 直线的法向量与直线垂直．则直线的法向量与直线的方向向量也垂直，若直线的方向向量是a ＝(x 0，y 0)，由向量垂直的数量积为0可知，直线的法向量为v ＝(y 0，－x 0)． 知识梳理定义：一般地，如果表示非零向量v 的有向线段所在直线与直线l 垂直，则称向量v 为直线l 的一个法向量，记作v ⊥l .(1)一条直线的方向向量与法向量互相垂直．(2)当x 0，y 0不全为0时，若a ＝(x 0，y 0)为直线l 的方向向量，则v ＝(y 0，－x 0)为直线l 的法向量；若v ＝(x 0，y 0)为直线l 的法向量，则a ＝(y 0，－x 0)为直线l 的方向向量．注意点：(1)任意直线都有法向量．(2)直线的法向量不唯一．(3)直线的法向量是非零向量．例3 (1)直线l 过点A (－1,3)和B (3,2)，则直线l 的法向量为( )A ．(－1,4)B ．(2,5)C ．(5，－2)D ．(－1，－4)答案 D解析 AB →＝(3,2)－(－1,3)＝(4，－1)为直线l 的一个方向向量，∴直线l 的法向量v ＝(－1，－4)．(2)直线l 的法向量为v ＝(3，－3)，则直线l 的斜率为________，倾斜角为________． 答案 3330° 解析 v ＝(3，－3)为直线l 的法向量，则a ＝(－3，－3)为直线l 的方向向量．∴k ＝－3－3＝33， ∴tan θ＝33，θ＝30°. ∴直线l 的斜率为33，倾斜角为30° 反思感悟 直线的法向量的求法若直线的方向向量为a ＝(x 0，y 0)，则直线的法向量v ＝(y 0，－x 0)，即要求直线的法向量，只需先求直线的方向向量即可．跟踪训练3 (1)直线PQ 的斜率为－3，则直线PQ 的法向量所在直线的倾斜角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°答案 A解析 k PQ ＝－3，∴PQ 的倾斜角为120°，又直线PQ 的法向量与直线PQ 垂直，故PQ 的法向量所在直线的倾斜角为30°.(2)直线l 上两点A (－2,3)，B (4，m )，若直线l 的法向量为v ＝(2，－3)，则m ＝________. 答案 7解析 AB →＝(4，m )－(－2,3)＝(6，m －3)，∴AB →为直线l 的一个方向向量．∴AB →⊥v ，∴6×2＋(－3)·(m －3)＝0，∴m ＝7.1.知识清单：(1)直线的方向向量．(2)直线的法向量．(3)直线的方向向量和法向量的应用．2．方法归纳：数形结合．3．常见误区：斜率不存在、斜率为0的直线的方向向量，法向量易混淆．1．直线过点(－3,0)，(－2，3)，则该直线的一个方向向量为( )A ．(－1，3)B ．(1，－3)C ．(1，3)D ．(5，3) 答案 C解析 直线的方向向量为a ＝(－2，3)－(－3,0)＝(1，3)．2．直线AB 的方向向量a ＝(3，－3)，则该直线的倾斜角为( )A ．45°B ．60°C ．120°D ．150°答案 D解析 a ＝(3，－3)＝3⎝⎛⎭⎫1，－33， ∴k ＝－33，∴tan θ＝－33， 又0°≤θ＜180°，∴θ＝150°.3．直线l 1与l 2的法向量分别为v 1＝(2，－3)，v 2＝(3，－1)，则直线l 1与l 2的斜率k 1，k 2的大小关系为( )A ．k 1>k 2B ．k 1＝k 2C ．k 1<k 2D ．不确定答案 C解析 v 1＝(2，－3)，则l 1的方向向量a 1＝(－3，－2)，∴斜率k 1＝－2－3＝23. v 2＝(3，－1)，则l 2的方向向量a 2＝(－1，－3)，∴斜率k 2＝－3－1＝3， ∴k 2>k 1.4．已知向量m ＝(a ，a 2＋1)(a ≠0)，直线AB 的一个方向向量为n ，则m 与n 共线，则直线AB 的斜率的取值范围是________________．答案 (－∞，－2]∪[2，＋∞)解析 ∵m ∥n ，∴m ＝(a ，a 2＋1)为直线AB 的一个方向向量，∴k AB ＝a 2＋1a ＝a ＋1a. ①当a >0时，a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1时取等号，所以a ＋1a∈[2，＋∞)． ②当a <0时，a ＋1a ＝－⎣⎡⎦⎤(－a )＋1(－a )≤－2，当且仅当(－a )＝1(－a )，即a ＝－1时取等号， 所以a ＋1a∈(－∞，－2]． 综上有k ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．。
A 1x D 1B 1A DBC C 1yz 四队中学教案纸备课 时间教学 课题教时 计划1教学 课时1教学 目标1．理解直线的方向向量和平面的法向量； 2．会用待定系数法求平面的法向量。
重点难点 重点：直线的方向向量和平面的法向量 难点：求平面的法向量教学过程一、创设情景1、平面坐标系中直线的倾斜角及斜率，直线的方向向量，直线平行与垂直的判定；2、如何用向量描述空间的两条直线、直线和平面、平面和平面的位置关系？ 二、建构数学1、直线的方向向量我们把直线l 上的向量e 以及与e 共线的向量叫做直线l 的方向向量 2、平面的法向量如果表示向量n 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥n ，如果α⊥n ，那么向量n 叫做平面α的法向量。
三、数学运用1、例1 在正方体1111D C B A ABCD -中，求证： 1DB 是平面1ACD 的法向量证：设正方体棱长为1，以1,,DD DC DA 为单位正交基底， 建立如图所示空间坐标系xyz D -)1,1,1(1=DB ，)0,1,1(-=AC ，)1,0,1(1-=AD 01=⋅AC DB ，所以AC DB ⊥1同理11AD DB ⊥ 所以⊥1DB 平面ACD从而1DB 是平面1ACD 的法向量。
2、例2 在空间直角坐标系内，设平面α经过点),,(000z y x P ，平面α的法向量为),,(C B A e =，(2,AB =-(4,2,0)AD =(1AP =-（1）求证：AP 是平面（2）求平行四边形ABCD 的面积．（1）证明：∵(1AP AB ⋅=-(1,2,1)(4,2,0)AP AD ⋅=--⋅∴AP AB ⊥，AP AD ⊥，又AD A =∴AP 是平面ABCD 的法向量．（2）222||(2)(1)21AB =+-+=，2||4AD =∴(2,6AB AD ⋅==， ∴cos(,)21AB AD =sin 1105BAD ∠=-||||sin ABCDSAB AD =⋅∠四、回顾总结、直线得方向向量与平面法向量得概念；、求平面法向量得方法。
