方向向量与法向量共50页

所以 DB1 平面 ACD ,从而 DB1 是 平面 ACD1 的一个法向量.
2、法向量的求法 待定系数法
(1)(设):设出平面法向量的坐标为 n(u,v,w)
(2)(列):根据 na0,，n列b出0方程组；
(3)(解):把u(或v或w)看作常数,用u(或v或w) 表示另外两个量
(4)(取):取u为任意一个数(当然取得越特殊越好),
练习：已知底面边长为1,高为3的正三 棱柱,试建立合适的空间直角坐标系， 确定三个侧面的面对角线所在直线的 一个方向向量。z
A1
C13Biblioteka B1A xD1 C y B
二、平面的法向量 1、定义
对于非零的空间向量 n ，如果它所在 的直线与平面α垂直，那么向量 n叫做
平面α的一个法向量。
n
α
注：
1、一个平面α有无穷多个法向量， 这些法向量之间互相平行。
平行的非零向量 d 叫做直线l的一个方
向向量。
z
l
d
y
d2
O
d1
x
注：
1、一条直线l 有无穷多个方向向量， 这些方向向量之间互相平行。
2、直线l 的方向向量也是所有与l平行 的直线的方向向量。
2、方向向量的求法
可根据直线l上的任意两点的坐标 写出直线l的一个方向向量。
dAB
z
(x2x1,y2y1,z2z1)
z
(1)平面BDE （1，-1，0） D 1
C1
(2)平面ACE （1，1，-2） A 1
B1
(3)平面DC1E （1，-2，2）
(4)平面A1EC （-1，1，2） D
A
x
x
E
y
C

方向向量与法向量
前面,我们把 平面向量 推广到
空间向量
向量 渐渐成为重要工具
立体几何问题
(研究的基本对象是点、直线、平面 以及由它们组成的空间图形)
从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工 具在立体几何中的应用.
证明：设正方体棱长为1，
为单位正交
设
分别是直线l1,l2的方向向量,根据下
平面的法向量的求法及步骤；
l e / / n e n a 1 a 2 , b 1 b 2 , c 1 c 2 .
当 a 2,b 2,c20 时 ,e//n a a 1 2b b 1 2c c1 2
例5.在正方体 AB C A 1B D 1C 1D 1 中，E、F分别是BB1,，
CD中点，求证：D1F 平面ADE
(1)a (2,1,2),b(6,3,6) 平行
(2)a (1,2,2),b(2,3,2)
垂直
(3)a (0,0,1),b(0,0,3)
平行
巩固性训练2
1.设 u , v 分别是平面α,β的法向量,根据
下列条件,判断α,β的位置关系.
(1)u (2,2,5),v (6,4,4) 垂直 (2)u (1,2,2),v (2,4,4) 平行 (3)u (2,3,5),v (3,1,4) 相交
x00 0
则 x = 0 ， 不 妨 取 y 1 ， 得 z 2
x
y
1 2
z
0
所 以 n = ( 0 ， 1 ， -2 )
又因为D1F(0,12,1) 所以D1F//n
所以 D 1F平 面 ADE
巩固性训练1
1.设 a , b 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下
列条件,判断l1,l2的位置关系.

例2
在正方体
uuuur
ABCD
A1 B1C1 D1
中，求证：
DB1 是平面 ACD1 的一个法向量.
证：设正方体棱长为 1， uuur uuur uuuur
以 DA, DC, DD1 为单位正交基底，
建立如图所示空间坐标系 D xyz
uuuur
uuur
uDuBuur1 (1,1,1) ， AC (1,1, 0) ，
面的一个法向量?
比如 ，在 空间 直角坐 标系 中, 已知
A(3, 0, 0), B(0, 4, 0) , C(0, 0, 2) ,试求平面rABC 的一个法
向量.
r n (4, 3, 6)
解:设平面 r uuur r
ABuCuur的一个uuu法r 向量为
n
(uxuu,ry,
z
)
则 n AB ，n AC .∵ AB (3, 4, 0) , AC (3, 0, 2)
直线的方向向量与平面的法向量
1
前面,我们把
平面向量
推广到
空间向量
向量 渐渐成为重要工具
立体几何问题
(研究的基本对象是点、直线、平面 以及由它们组成的空间图形)
从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工 具在立体几何中的应用.
2
为了用向量的方法研究空间的线面位置关系，我
们首先要知道如何用向量来刻画直线和平面的
uAuDuur1
(1, uuur
0,
1)
uuuur uuur
DB1
AC uuuur
0，所以 uuuur
DB1
AC
,
同理 DB1 uAuuDur1
又因为 AD1 I

(1)直线OA的一个方向向量坐标为___(_1_,0__,0_)___
(2)平面OABC 的一个法向量坐标为__(_0_,0__,1_)____ (3)平面AB1C 的一个法向量坐标为__(_-_1_,-_1_,_1_)__
z
O1
C1
A1
B1
o
A
x
C
y
B
例2：已知A(3, 0, 0), B(0, 4, 0), C(0,0,2) 求平面ABC的法向量.
l
a
b
m
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
(2) l a // u a u
l
a
A
u
C B
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则 （3） u v u v 0
β
uv
α
例1. 如图所示, 正方体的棱长为1
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
（一）. 平行关系：
(1) l / /m a / /b a b ；
a
l
b
m
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
(2) l / / a u a u 0 ；
叫做平面 的法向量.
l
n
A
给定一点A和一个向量 n,那么
过点A,以向量 n 为法向量的平面是
完全确定的.
平面的法向量：
l
注意：
1.法向量一定是非零向量;
2.一个平面的所有法向量都
n
互相平行;

量常用 n k , 1 ，当斜率不存在时的法向量常用 n 1,0 。 3、若直线方程是 Ax By C 0 ，则其法向量常用 n A, B ，向量常用 a B, A 。
例 1、 （1）直线 l 的倾斜角是 150 ，则该直线的一个方向向量是
例 3、 直线 l1 : px qy 3 0, l2 : sx ty 3 0, 相交于点 M (3 4) ， 求过点 P 1 ( p, q), Q( s, t ) 的直线方程。
直线的方向向量和法向量 点法式方程
直线的方向向量与法向量 1、 与一条直线平行或在直线上的非零向量叫该直线的方向向量，有无数多，当直线斜率存
在时的方向向量常用 a 1, k ，当斜率不存在时的方向向量常用 a 0,1 。
2、 与一条直线垂直的非零向量叫该直线的方向向量，有无数多，当直线斜率存在时的法向

Байду номын сангаас
（2）直线 l 的方向向量是 a (3, 3sin ) ，则该直线的倾斜角的取值范围是 （3）直线 l1 , l2 的方向向量分别是 a (2,1), b (3,1) ，则这两直线的夹角是 （4）直线 l 上两点 P ，斜率= 1 1,2 , P 2 2, a ，其方向 a 1,0 ，则 a
。
直线的点法式方程：直线过点 P( x0 , y0 ) ，法向量 a=(A，B) ，则直线方程是
A x x0 B y y0 0
例 2、 （1）写出直线 x 2 y 3 0 的一个方向向量和法向量； （2）直线 l 过点 P(3,8) ，且与直线 x 2 y 3 0 平行，求该直线。垂直呢？

提示：(1)√.两条直线平行，它们的方向向量就是共线的，所以方向要么相同，要 么相反． (2)×.一个平面的法向量不是唯一的，一个平面的所有法向量共线．在应用时，可 以根据需要进行选取． (3)×.两直线的方向向量平行，说明两直线平行或者重合． (4)×.直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线与平面可能平行，也可能在平 面内． (5)×.不一定．当 a＝0 时，也满足 a∥l，尽管 l 垂直于平面 α，a 也不是平面 α 的 法向量．
本例条件不变，试求直线 PC 的一个方向向量和平面 PCD 的一个法向量．
【解析】以 A 为坐标原点，分别以A→B ，A→D ，A→P 的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的 正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则 P(0，0，1)，C(1， 3 ，0)，所以P→C ＝(1， 3 ，－1)，即为直线 PC 的一个方向向量．
【解析】选 C.直线与平面平行，直线的方向向量和平面的法向量一定垂直，经检 验只有选项 C 中 s·n＝0.
2．在△ABC 中，A(1，－1，2)，B(3，3，1)，C(3，1，3)，设 M(x，y，z)是平 面 ABC 内任意一点． (1)求平面 ABC 的一个法向量； (2)求 x，y，z 满足的关系式．
关键能力·合作学习
类型一 确定直线上点的位置(数学运算) 【典例】已知 O 是坐标原点，A，B，C 三点的坐标分别为 A(3，4，0)，B(2，5， 5)，C(0，3，5). (1)若O→P ＝12 (A→B －A→C )，求 P 点的坐标； (2)若 P 是线段 AB 上的一点，且 AP∶PB＝1∶2，求 P 点的坐标． 【思路导引】(1)由条件先求出A→B ，A→C 的坐标，再利用向量的运算求 P 点的坐 标． (2)先把条件 AP∶PB＝1∶2 转化为向量关系，再运算．

A（ ，0）D1 (0,0,1), C (0,1,0) 1 0， ,
AD1 1，1 CD1 0， 1， （ 0， ）， （ 1 ）
Ｚ
D1
E
B1
C1
D B
C
y
A
x
DB1 AD1 1， ） 1，1 0 （ 1， 1 （ 0， ） DB1 CD1 1， ） 0， 1， 0 （ 1，（ 1 1 ）
注： (1, , ) 求法（1）可设法向量的坐标（说明：设法 A 1 1

B
Dx
例、 正方体 ABCD A1B1C1D1中，E、F分别是 D BB1 , CD 的中点。求证： 1F 平面AED
D1
A1
B1
E
D
C1
F B
C
A
DB1 AD1， 1 CD1 DB
又 AD1 AC A
DB1 平面ACD1
故 DB1为ACD1法向量
变形：已知四棱锥
S ABCD的底面是直角梯形， ABC 90 0，AD // BC，SA 平面ABCD
1 SA AB BC 1，AD ，求平面SDC的一个法向量 n 。 2
线线平行：l∥m
λ λ
1、已知Ａ（1，1，-1），Ｂ（2，3，1），则直线ＡＢ 的一个方
1 2 2 1 2 2 n ( , , )或n ( , , ) 向量是 ； 3 3 3 3。 3 3 变形：直线ＡＢ的模为1的方向向量是
2、已知非零向量 a b及平面 、 ，若向量 a 是平面 的法向 量，则 a b 0 是向量 b所在直线平行 或在 内的（ A）
方向向量和法向量直线的方向向量已知方向向量求法向量直线法向量两向量垂直三点共线是四点共面单位向量点到直线的距离公式点方向式法式方程

27
(3)在平面 SCD 中，D→C＝12，1，0，S→C＝(1,1，－1)． 设平面 SCD 的法向量是 n＝(x，y，z)， 则 n⊥D→C，n⊥S→C.所以nn··DS→→CC＝＝00，，
得方程组12x＋y＝0， x＋y－z＝0.
∴xz＝＝－－y2，y，
38
五、垂直关系：
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面 ,
的法向量分别为 u, v ，则
线线垂直 l ⊥ m a ⊥ b a b 0 ； 线面垂直 l ⊥ a ∥ u a ku ； 面面垂直 ⊥ u ⊥ v u v 0.
若a (a1,b1,c1),u (a2,b2,c2),则
(2)平面OABC 的一个法向量坐标为__(_0_,_0_,1__) ___ (3)平面AB1C 的一个法向量坐标为___(-_1_,_-1__,1_)__
z
O1
C1
A1
B1
o
C
y
A
B
12
x
如何刻画平面的方向？
二、平面的法向量：
对于非零的空间向量n, 如果它所在的直线与平面垂直，
那么向量n叫做 平面的一个法向量.
D
C
D’(0,0,0). (1)AA' (0,0 3),
直 线AA'的 一 个 方 向 向 量 是
A
3
B
d AA' (0,0 3).
(2)d B'C (4,0,3).
(3)d A'C (4,2,3).
(4)d DB' (4,2,3).
D’
A’
2
x
C’ y
4

设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
（一）. 平行关系：
(1) l / /m a / /b a b ；
a
l
b
m
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
(2) l / / a u a u 0 ；
A
E
C Y
于是
1 2
y
1 2
z
0
取z 1 n 1X, 1, 1
B
x y 0
作业题：已知A(2, 0, 0), B(0, 2, 0),C(0,0,1) 求平面ABC的法向量.
例2.用向量方法证明 定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行, 则这两个平面平行
已知 直线l与m相交,
l , m , l∥ , m∥ 求证∥ .
问题：如何求平面ABC的单位法向量呢？
求法向量的步骤：
(1)设出平面的法向量为n (x, y, z)
(2)找出（求出）平面内的两个不共线的
向量的坐标a (a1,b1,c1),b (a2,b2,c2) (3)根据法向量的定义建立 关于x, y, z的
方程组
n
•
a
0
n •b 0
(4)解方程组，取其中的一 个解，即得法向量。
的中点， 求平面EDB的一个法向量.
解：如图所示建立空间直角坐标系.
Z
依题意得D(0, 0, 0), P(0, 0,1),
P
E(0, 1 , 1 ) B(1,1，0)
22
DE (0, 1 , 1 ) DB =(1,1，0)
22
设平面EDB的法向量为 n (x, y, z)