安徽省合肥市第十一中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题 理(PDF)

2019-2020学年安徽省合肥市安徽师范大学附属中学高二上学期期中数学（理）试题一、单选题1．方程()00y y k x x -=-（ ） A ．可以表示任何直线 B ．不能表示过原点的直线 C ．不能表示与y 轴垂直的直线 D ．不能表示与x 轴垂直的直线 【答案】D【解析】本题首先可以观察题目所给直线方程，可得出直线方程为点斜式方程，然后根据直线的点斜式方程的性质即可得出结果。

【详解】因为直线的点斜式方程不能表示斜率不存在的直线，所以()00y y k x x -=-不能表示与x 轴垂直的直线，故选D 。

【点睛】本题考查直线的相关性质，主要考查直线的点斜式方程的相关性质，考查点斜式方程的适用范围，考查推理能力，是简单题。

2．设α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，且m α⊂，n β⊂,则下列说法正确的是( )A ．若m ，n 是异面直线，则α与β相交B ．若//m β，//n α则//αβC ．若m n ⊥，则αβ⊥D ．若m β⊥，则αβ⊥ 【答案】D【解析】在A 中，α与β相交或平行；在B 中，α与β相交或平行；在C 中，α与β相交或平行；在D 中，由面面垂直的判定定理得αβ⊥． 【详解】由α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，且m α⊂，n β⊂，知： 在A 中，若m ，n 是异面直线，则α与β相交或平行，故A 错误； 在B 中，若//m β，//n α，则α与β相交或平行，故B 错误； 在C 中，若m n ⊥，则α与β相交或平行，故C 错误；在D 中，若m β⊥，则由面面垂直的判定定理得αβ⊥，故D 正确． 故选:D 【点睛】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．3．过点(5,2)，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程是（ ） A ．2120x y +-=B ．2120x y +-=或250x y -=C ．210x y --=D ．210x y --=或250x y -= 【答案】B【解析】试题分析：当直线过原点时，可设直线方程为y kx =，代入点(5,2)M ，可得25k =，故方程为250x y -=；当直线不过原点时，可设方程为12x y a a+=，代入点(5,2)M ，可得6a =，此时直线方程为2120x y +-=，故选B ．【考点】直线的方程．4．给出三个命题：①直线上有两点到平面的距离相等，则直线平行平面；②夹在两平行平面间的异面直线段的中点的连线平行于这个平面；③过空间一点必有唯一的平面与两异面直线平行.正确的是（ ） A ．②③ B ．①②C ．①②③D ．②【答案】D【解析】通过举反例可判断出命题①的正误；利用平面与平面平行的性质定理以及直线与平面平行的性质定理可判断出命题②的正误；通过实例判断出命题③的正误. 【详解】对于命题①，如果这两点在该平面的异侧，则直线与该平面相交，命题①错误； 对于命题②，如下图所示，平面//α平面β，A α∈，C α∈，B β∈，D β∈，且E 、F 分别为AB 、CD 的中点，过点C 作//CG AB 交平面β于点G ，连接BG 、DG .设H 是CG 的中点，则//EH BG ，BG ⊂平面β，EH ⊄平面β，//EH ∴平面β.同理可得//HF 平面β，EHHF H =，∴平面//EFH 平面β.又平面//α平面β，∴平面//EFH 平面α，EF ⊂平面EFH ，//EF ∴平面α，//EF 平面β，命题②正确；对于命题③，如下图所示，设AB 是异面直线a 、b 的公垂线段，E 为AB 上一点，过点E 作//a a '，//b b '，当点E 不与点A 或点B 重合时，a '、b '确定的平面α即为与a 、b 都平行的平面；若点E 与点A 或点B 重合时，则a α⊂或b α⊂，命题③错误.故选：D.【点睛】本题考查线线、线面、面面平行关系的判定与性质，解题时要注意这三种平行关系的相互转化，考查推理能力与空间想象能力，属于中等题.5．某几何体的正视图和侧视图如图1所示，它的俯视图的直观图是''''A B C D ，如图2所示.其中24A'B'A'D'==，则该几何体的表面积为（ ）A ．1612+πB ．168+πC ．1610+πD ．8π【答案】A【解析】先还原俯视图，再还原三视图，最后根据圆柱性质求表面积. 【详解】由俯视图的直观图得俯视图为边长为4的正方形，所以几何体为底面为半圆（半径为2），高为4的半圆柱，其表面积为214π244+2π21612π2⨯⨯+⨯⨯⨯=+，选A. 【点睛】本题考查直观图、三视图以及圆柱侧面积等，考查基本应用求解能力.属基本题. 6．如图，已知六棱锥P ABCDEF -的底面是正六边形，,2PA ABC PA AB ⊥=平面，则下列结论正确的是A ．PB AD ⊥B ．平面PAB PBC ⊥平面 C ．直线BC ∥平面PAED ．45PD ABC ︒直线与平面所成的角为 【答案】D【解析】解：∵AD 与PB 在平面的射影AB 不垂直， 所以A 不成立，又，平面PAB ⊥平面PAE ，所以平面PAB ⊥平面PBC 也不成立；BC ∥AD ∥平面PAD ， ∴直线BC ∥平面PAE 也不成立．在Rt △PAD 中，PA=AD=2AB ，∴∠PDA=45°， 故选D ．7．已知三棱锥A BCD -中，BC CD ⊥，2AB AD ==，1BC =，3CD =，则该三棱锥的外接球的体积为( )A ．43π B ．83π C ．82πD ．36π【答案】A【解析】利用所给条件容易得到ABD ∆，CBD ∆为直角三角形，故BD 中点为外接球球心，从而可求解出结果． 【详解】如图：BC CD ⊥，1BC =，3CD = 2BD ∴=2AB AD == AB AD ∴⊥BD ∴的中点O 为外接球球心故外接球半径为1 体积344133V ππ=⨯=本题正确选项：A 【点睛】此题考查了三棱锥外接球问题，关键在于能够确定外接球球心的位置，要知道直角三角形外接圆圆心在斜边中点上．8．点(),P x y 在直线40x y +-=上，则22x y +的最小值是( )A ．8B ．22C 2D ．16【答案】A【解析】根据题意，得到4x y =-，将其代入22xy +中，由二次函数的性质分析可得答案． 【详解】根据题意，点(),P x y 在直线40x y +-=上， 则有4x y +=，即4x y =-，则222222(4)28162(2)8x y y y y y y +=-+=-+=-+， 分析可得：当2y =时，22x y +取得最小值8，故选:A 【点睛】本题考查二次函数的最值，关键是分析得到x 、y 的关系．9．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数.详解：由三视图可得四棱锥P ABCD -，在四棱锥P ABCD -中，2,2,2,1PD AD CD AB ====，由勾股定理可知：22,22,3,5PA PC PB BC ====，则在四棱锥中，直角三角形有：,,PAD PCD PAB ∆∆∆共三个，故选C.点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的求解.10．已知()()()(){,|334}{,|7580}x y m x y m x y x m y ++=-⋂+--==φ，则直线()334m x y m ++=+与坐标轴围成的三角形面积是( ) A ．2 B ．4C ．1287D ．2或1287【答案】A【解析】利用()()()(){,|334}{,|7580}x y m x y m x y x m y φ++=-⋂+--==，求出m 值，然后求出直线()334m x y m ++=+与坐标轴的交点，即可求解三角形的面积． 【详解】因为()()()(){,|334}{,|7580}x y m x y m x y x m y ++=-⋂+--==φ， 所以3134758m m m +-=≠-，解得2m =-． 所以直线方程为20.x y ++=它与坐标轴的交点为()2,0-与()0,2-． 直线20x y ++=与坐标轴围成的三角形面积是12222⨯⨯=． 故选A ． 【点睛】本题考查直线的平行关系的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力,属于基础题. 11．如图，正四面体D ABC -的顶点A 、B 、C 分别在两两垂直的三条射线Ox ，Oy ，Oz 上，则在下列命题中，错误的是( )A ．O ABC -是正三棱锥B ．直线OB 与平面ACD 相交C ．直线CD 与平面ABC 3D ．异面直线AB 和CD 所成角是90︒ 【答案】C【解析】①如图ABCD 为正四面体， ∴△ABC 为等边三角形， 又∵OA 、OB 、OC 两两垂直， ∴OA ⊥面OBC ，∴OA ⊥BC ， 过O 作底面ABC 的垂线，垂足为N ， 连接AN 交BC 于M ， 由三垂线定理可知BC ⊥AM ， ∴M 为BC 中点，同理可证，连接CN 交AB 于P ，则P 为AB 中点， ∴N 为底面△ABC 中心，∴O ﹣ABC 是正三棱锥，故A 正确．②将正四面体ABCD 放入正方体中，如图所示，显然OB 与平面ACD 不平行． 则B 正确，③由上图知：直线CD 与平面ABC 所成的角的正弦值为63,则C 错误 ④异面直线AB 和CD 所成角是90︒，故D 正确.12．如图，正方体1AC 的棱长为a ，作平面(α与底面不平行)与棱1A A ，1B B ，1C C ，1D D 分别交于E ，F ，G ，H ，记EA ，FB ，GC ，HD 分别为1h ，2h ，3h ，4h ，若1232h h h +=，4133h h h +=，则多面体EFGHABCD 的体积为( )A ．21710a h B ．2278a h C ．2376a h D ．2474a h 【答案】C【解析】根据正方体的性质可得截面四边形EFGH 是平行四边形,所以132412h h h h OO +=+=,结合已知可得1343h h =，2323h h =，4353h h =,由两个多面体EFGHABCD 可以拼成一个长方体，能求得多面体EFGHABCD 的体积. 【详解】由正方体的对面平行及面面平行的性质定理得：//EF GH ，//EH FH ，∴四边形EFGH 是平行四边形，连结AC ，BD 交于点O ，连结EG ，FH ，交于点1O ， 连结1OO ，则132412h h h h OO +=+=，1232h h h +=，4133h h h +=，所以12143323h h h h h h +++=+, 所以12432()5h h h h ++=, 所以11332()5h h h h ++=,1343h h ∴=，2323h h =，4353h h =， 两个多面体EFGHABCD 可以拼成一个长方体，∴多面体EFGHABCD 的体积为：222221331247777268410h h V a a h a h a h a h +=⋅====． 故选:C【点睛】本题考查多面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．二、填空题13．在正三棱锥P ABC -中，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，有下列三个论断：AC PB ⊥①；//AC ②平面PDE ； AB ⊥③平面.PDE 其中正确的个数是______．【答案】2【解析】利用直线与平面平行的判定，以及直线与平面垂直的判定，直线的平行等判断． 【详解】①根据正三棱锥的性质可知对棱互相垂直，故正确；//AC DE ②，AC ⊄面PDE ，DE ⊂面PDE ，//AC ∴平面PDE ，故正确；③若AB ⊥平面PDE ，则AB DE ⊥，因为//DE AC ，所以AC AB ⊥ ,而正三棱锥中AC 与AB 不垂直， 故不正确． 故答案为：2． 【点睛】主要考查了直线与平面平行的判定，以及直线与平面垂直的判定考查的知识点比较多，属于基础题．14． 若直线(m ＋1)x ＋(m 2－m －2)y ＝m ＋1在y 轴上截距等于1，则实数m 的值______. 【答案】3【解析】直线(m ＋1)x ＋(m 2－m －2)y ＝m ＋1的方程可化为(m ＋1)x ＋(m ＋1)(m －2)y ＝m ＋1，由题意知m ＋1≠0，(m －2)y ＝1，由题意得11m +＝1，∴m ＝3. 15．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为 .【答案】3:1:2【解析】【详解】设球的半径为r,则2322V r r r ππ=⨯=圆柱, 3212233r V r r ππ=⨯=圆锥， 343V r π=球， 所以33324::2::3:1:233r V V V r r πππ==圆柱圆锥球， 故答案为3:1:2.【考点】圆柱，圆锥，球的体积公式.点评：圆柱，圆锥，球的体积公式分别为22314,,33V r h V r h V r πππ===圆柱圆锥球. 16．表面积为20π的球面上有四点S 、A 、B 、C ，且ABC 是等边三角形，球心O 到平面ABC 的距离为1，若平面SAB ⊥平面ABC ，则三棱锥S ABC -体积的最大值为______．【答案】33【解析】由球的表面积求出半径OB ，再计算ABC △的面积为定值，由此得出S 在AB 的中垂线上且位于球心同侧时，棱锥S ABC -体积的最大，结合图形求出点S 到平面ABC 的距离，由此求得棱锥体积的最大值．【详解】过球心O 作平面ABC 的垂线段OD ，垂足为D ，过D 作DE AB ⊥，垂足为E ，连接BD ，则OD BD ⊥，OD DE ⊥，如图所示；则球的表面积为2420OB ππ⋅=，解得半径5OB =又1OD =，22512BD OB OD ∴=-=-=；又ABC △是等边三角形，D ∴是ABC △的中心，112DE BD ∴==，2AB BE ====；2244ABC S AB ∴=== 由球的对称性可知当S 在AB 的中垂线上时，S 到平面ABC 的距离最大，过O 作平面SAB 的垂线段SH ，垂足为H ，平面SAB ⊥平面ABC ，DE AB ⊥，平面SAB 平面ABC AB =，DE ⊂平面ABC ， DE ∴⊥平面SAB ；又SE ⊂平面SAB ，DE SE ∴⊥，∴四边形ODEH 是矩形，1OH DE ∴==，1HE OD ==，OS OB ==2SH ∴==，213SE SH HE ∴=+=+=；则三棱锥面积的最大值为：11333ABC S ABC V S SE -=⋅⋅=⨯=三棱锥．故答案为：【点睛】 本题考查了球内接几何体的体积计算问题，寻找图中的数量关系是解题的关键，是中档题．三、解答题17．已知两直线1l ：40ax by -+=，2l ：()10.a x y b -++=求分别满足下列条件的a ，b 的值．()1直线1l 过点()3,1--，并且直线1l 与2l 垂直；()2直线1l 与直线2l 平行，并且坐标原点到1l ，2l 的距离相等．【答案】（1）2a =，2b =；（2）2a =，2b =-或23a =，2b =. 【解析】()1利用直线1l 过点()3,1--，直线1l 与2l 垂直，斜率之积为1-，得到两个关系式，求出a ，b 的值．()2类似()1直线1l 与直线2l 平行，斜率相等，坐标原点到1l ，2l 的距离相等，利用点到直线的距离相等．得到关系，求出a ，b 的值．【详解】()121l l ⊥，()()110a a b ∴-+-⋅=，即20a a b --=①又点()3,1--在1l 上，340a b ∴-++=②由①②得2a =，2b =．()122//l l ，1a a b ∴=-，1a b a∴=-， 故1l 和2l 的方程可分别表示为：()()4110a a x y a --++=，()101a a x y a-++=-， 又原点到1l 与2l 的距离相等．141a a a a -∴=-，2a ∴=或23a =， 2a ∴=，2b =-或23a =，2b =． 【点睛】本题考查两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系，两条直线平行与倾斜角、斜率的关系，考查计算能力，是基础题．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，点O 是对角线AC 与BD 的交点，M 是PD 的中点，且2AB =，60BAD ∠=︒．()1求证：平面PBD ⊥平面PAC ；()2当三棱锥M BCD -的体积等于34时，求PB 的长．【答案】（1）详见解析；（2）52. 【解析】()1先证明BD ⊥平面P AC ，即可证明平面PBD ⊥平面P AC ；()2利用 3.P ABCD V -=求出四棱锥P ABCD -的高为P A ，利用PA AB ⊥，即可求PB的长．【详解】 ()1证明：PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，PA BD ∴⊥，底面ABCD 是菱形，BD AC ∴⊥，AC ⊂面P AC ，PA ⊂面P AC ，AC PA A ⋂=，BD ∴⊥平面P AC ，BD ⊂平面PBD ，∴平面PBD ⊥平面P AC ．()2因为底面ABCD 是菱形，M 是PD 的中点，所以1124M BCD M ABCD P ABCD V V V ---==， 从而 3.P ABCD V -=又2AB =，60BAD ∠=︒，所以23ABCD S = 四棱锥P ABCD -的高为P A ，12333PA ∴⨯=32PA =， PA ⊥面ABCD ，AB 平面ABCD ，PA AB ∴⊥．在Rt PAB 中，222235()222PB PA AB =+=+=． 【点睛】本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．19．已知直线:120()l kx y k k -++=∈R ．（1）若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；（2）若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设AOB ∆的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．【答案】（1）k≥0；（2）面积最小值为4，此时直线方程为：x ﹣2y+4=0【解析】（1）可求得直线l 的方程及直线l 在y 轴上的截距，依题意，0120k k ≥⎧⎨+≥⎩从而可解得k 的取值范围；（2）依题意可求得A （﹣12k k +，0），B （0，1+2k ），S=12（4k+1k+4），利用基本不等式即可求得答案．【详解】 （1）直线l 的方程可化为：y=kx+2k+1，则直线l 在y 轴上的截距为2k+1，要使直线l 不经过第四象限，则0120k k ≥⎧⎨+≥⎩，解得k 的取值范围是：k≥0 （2）依题意，直线l 在x 轴上的截距为：﹣12k k+，在y 轴上的截距为1+2k ， ∴A （﹣12k k +，0），B （0，1+2k ），又﹣12k k+＜0且1+2k ＞0， ∴k ＞0，故S=12|OA||OB|=12×12k k +（1+2k ）=12（4k+1k +4）≥12（4+4）=4，当且仅当4k=1k ，即k=12时取等号， 故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x ﹣2y+4=0【点睛】本题考查恒过定点的直线，考查直线的一般式方程，考查直线的截距及三角形的面积，考查基本不等式的应用，属于中档题．20．如图，在直棱柱111ABC A B C -中，90BAC ︒∠=，2AB AC ==，13AA =，D 是BC 的中点，点E 在棱1BB 上运动．（1）证明：1AD C E ⊥；（2）当异面直线AC ，1C E 所成的角为60︒时，求三棱锥111C A B E -的体积．【答案】（1）见解析（2）23【解析】（1）由直棱柱的性质得出1BB ⊥平面ABC ，从而得出1AD BB ⊥，再由等腰三角形三线合一的性质得出AD BC ⊥，由直线与平面垂直的判定定理可证明AD ⊥平面11BB C C ，于是可得出1AD C E ⊥；（2）由棱柱的性质得出11//AC A C ，可得出11EC A ∠即为异面直线AC 、1C E 所成的角，由此计算出1C E 、1B E 的值，可得出11A B E ∆的面积，再证明出11A C ⊥平面11AA B B ，由此计算出三棱锥111C A B E -的体积.【详解】（1）证明： 直棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，1AD BB ∴⊥，ABC ∆中，AB AC =，D 为BC 的中点，AD BC ∴⊥，又BC 、1BB ⊂平面11BB C C ，1BC BB B =，AD ∴⊥平面11BB C C ，又1C E ⊂平面11BB C C ，1AD C E ∴⊥；（2）解：在直棱柱111ABC A B C -中，11//AC A C ，11EC A ∴∠即为异面直线AC 、1C E 所成的角，11190BAC B A C ∠=∠=，1111A C A B ∴⊥，1AA ⊥平面111A B C ，11A C ⊂平面111A B C ，111AC AA ∴⊥，又1111A B AA A =，11A C ∴⊥平面11AA B B ．1A E ⊂平面11AA B B ，111AC A E ∴⊥．在11C Rt A E ∆中，1160EC A ∠=，111111cos 2A C EC A C E ∴∠==，即1112C E AC ==.又112B C ==，12B E ∴==．1111111111223323C A B E A B E V S AC -∆∴=⨯=⨯⨯=. 【点睛】本题考查直线与直线垂直的证明，考查三棱锥体积的计算，结合异面直线所成角的定义来考查，解题时要根据角的值来求出相应的边长，在计算三棱锥的体积时，要选择合适的高与底面，结合题中的垂直关系进行寻找，考查逻辑推理能力，属于中等题. 21．如图所示的几何体ABCDE 中，DA ⊥平面EAB ，//CB DA ，2EA DA AB CB ===，EA AB ⊥，M 是EC 的中点．()1求异面直线DM 与BE 所成角的大小；()2求二面角M BD A --的余弦值．【答案】（1）90︒；（2）13. 【解析】由题意，先证明直线AE 、AB 、AD 两两垂直，再以点A 为原点，AE 、AB 、AD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，()1求出向量,DM BE ，然后求出异面直线DM 与BE 所成的角；()2求出平面BDM 和平面BDA 的法向量，再求二面角M BD A --的余弦值．【详解】DA ⊥平面EAB ，∴平面ABCD ⊥平面EAB ，又EA AB ⊥，且平面ABCD 平面EAB AB =，EA ∴⊥平面ABCD ，∴直线AE 、AB 、AD 两两垂直，以点A 为原点，AE 、AB 、AD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设4EA =，(0,A ∴0，0)，(0,B 4，0)，(0,C 4，2)，(0,D 0，4)，(4,E 0，0)，M 是EC 的中点，(2,M ∴2，1)，()()12,2,3DM =-，()4,4,0BE =-， 2424cos<,04DM BEDM BE DM BE ⨯+⨯-⋅∴==>=，∴异面直线DM 与BE 所成角的大小为90︒；()2设二面角M BD A --的大小为θ，()0,4,4BD =-，()2,2,1BM =-，()4,0,0AE =，设平面BDM 的一个法向量()1,,n x y z =,则10n BD ⋅=,且10n BM ⋅=,所以440y z -+=,且220x y z -+=,令1y z ==,则12x =, ∴平面BDM 的一个法向量11(,1,1)2n =，平面BDA 的一个法向量()24,0,0n AE == 1212121412|cos<,|314n n cos n n n n θ⨯⋅∴=>===， 由图可知，θ为锐角，∴二面角M BD A --的余弦值为13． 【点睛】本题主要考查空间角的大小，主要应用空间向量求解，属于中档题．。

销售量 y
11
n
8
6
5
由散点图可知，销售量 y 与价格 x 之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是 yˆ 3.2x 40 ，且
m n 20 ，则其中的 n
A．12
B．11
C．10
D．10.5
6．下列结论错误的是
A．命题“若 x2 3x 2 0 ，则 x 2 ”的逆否命题是“若 x 2 ，则 x2 3x 2 0 ” B．“ a b ”是“ ac2 bc2 ”的充分不必要条件 C．命题：“ x R ， x2 x 0 ”的否定是“ x R ， x2 x 0 ” D．若“ p q ”为假命题，则 p, q 均为假命题
某学习小组在研究性学习中，对昼夜温差大小与绿豆种子一天内出芽数之间的关系进行研究，该小组在 4 月份记录了 1 日至 6 日每天昼夜最高、最低温度(如图 1)，以及浸泡的 100 颗绿豆种子当天内的出芽数 (如图 2).
（1）试预测：高三 6 次测试后，甲、乙两个学生的平均成绩分别为多少？谁的成绩更稳定？
1 个，标号为 2 的小球 2 个，从袋子中不放回地随机抽取 2 个小球，记第一次取出的小球标号为 a ，第 二次取出的小球标号为 b . （1）记事件 A 表示“ a b 2 ”，求事件 A 的概率； （2）在区间[0, 2] 内任取 2 个实数 x, y ，记 (a b)2 的最大值为 M ，求事件“ x2 y2 M ”的概率.
（2）若已知甲、乙两个学生的高二 6 次考试成绩分别由低到高进步的，定义 y 为高三的任意一次考试 后甲、乙两个学生的当次成绩之差的绝对值，求 y 的平均值.
20．（本小题满分 12 分）
已知命题 p ： x R ， tx2 x t 0 . （1）若 p 为真命题，求实数 t 的取值范围； （2）命题 q ： x [2,16] ， t log2 x 1 0 ，当 p q 为真命题且 p q 为假命题时，求实数 t 的取值

2019-2020年高二数学上学期期中试卷（含解析）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1．（5分）命题“∀x∈R，x2+x+1≥0”的否定是．2．（5分）双曲线﹣=1渐近线方程为．3．（5分）若点A（1，1），B（2，﹣1）位于直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围为．4．（5分）命题“若a=0，则ab=0”的逆命题是命题．（在“真”或“假”中选一个填空）5．（5分）已知不等式ax2+bx﹣1＞0的解集是{x|3＜x＜4}，则a+b=．6．（5分）曲线y=x2在（1，1）处的切线方程是．7．（5分）如果p：x=2，q：x2=4，那么p是q的．（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要”中选择一个填空）8．（5分）不等式ax2+x+1＞0（a≠0）恒成立，则实数a的取值范围为．9．（5分）已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，焦点在直线3x﹣4y﹣12=0上，则该抛物线的方程为．10．（5分）已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y），若点M到抛物线焦点的距离为3，则|OM|=．11．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线有相同的焦点为F，A是两条曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率是．12．（5分）已知直线kx﹣y+1﹣k=0恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1=0（m，n＞0）上，则的最小值为．13．（5分）设x，y满足约束条件：，则z=x+2y的最小值为．14．（5分）记min{a，b}为a，b两数中的最小值，当正数x，y变化时，t=min{x，}也在变化，则t的最大值为．二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．（14分）已知p：|x+1|≤2，q：（x+1）（x﹣m）≤0．（1）若m=4，命题“p且q”为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．16．（14分）椭圆C1：=1（a＞b＞0）过点，离心率e=，A为椭圆C1上一点，B为抛物线y2=x 上一点，且A为线段OB的中点．（1）求椭圆C1的方程；（2）求直线AB的方程．17．（15分）已知不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）解不等式（t为常数）18．（15分）已知二次函数f（x）=ax2﹣2x+a（a≠0）．（1）当a=﹣1时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）若不等式f（x）＞0无解，求a的取值范围；（3）若不等式f（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，求a的取值范围．19．（16分）今年的国庆假期是实施免收小型客车高速通行费后的第一个重大节假日，有一个群名为“天狼星”的自驾游车队．该车队是由31辆车身长都约为5m（以5m计算）的同一车型组成的，行程中经过一个长为2725m的隧道（通过该隧道的车速不能超过25m/s），匀速通过该隧道，设车队的速度为xm/s，根据安全和车流的需要，当0＜x≤2时，相邻两车之间保持20m的距离；当12＜x≤25时，相邻两车之间保持（）m的距离．自第1辆车车头进入隧道至第31辆车车尾离开隧道所用的时间为y（s）．（1）将y表示为x的函数；（2）求该车队通过隧道时间y的最小值及此时车队的速度．20．（16分）设直线x+y=1与椭圆=1（a＞b＞0）相交于A，B两点．（1）若a=，求b的范围；（2）若OA⊥OB，且椭圆上存在一点P其横坐标为，求点P的纵坐标；（3）若OA⊥OB，且S△OAB=，求椭圆方程．江苏省盐城中学南校区xx高二上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1．（5分）命题“∀x∈R，x2+x+1≥0”的否定是∃x∈R，x2+x+1＜0．考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，x2+x+1≥0”的否定是：∃x∈R，x2+x+1＜0；故答案为：∃x∈R，x2+x+1＜0．点评：本题考查命题的否定特称命题与全称命题的关系，基本知识的考查．2．（5分）双曲线﹣=1渐近线方程为y=±x．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：在双曲线的标准方程中，把1换成0，即得此双曲线的渐近线方程．解答：解：在双曲线的标准方程中，把1换成0，即得﹣=1的渐近线方程为﹣=0，化简可得y=±x．故答案为：y=±x．点评：本题以双曲线为载体，考查双曲线的简单性质，解题的关键是正确运用双曲线的标准方程．3．（5分）若点A（1，1），B（2，﹣1）位于直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围为（1，2）．考点：二元一次不等式的几何意义．专题：不等式的解法及应用．分析：根据点与直线的位置关系，即可．解答：解：∵点A（1，1），B（2，﹣1）位于直线x+y﹣a=0的两侧，∴（1+1﹣a）（2﹣1﹣a）＜0，即（2﹣a）（1﹣a）＜0，则（a﹣1）（a﹣2）＜0，即1＜a＜2，故答案为：（1，2）点评：本题主要考查二元一次不等式的几何意义，以及一元二次不等式的解法是解决本题的关键．4．（5分）命题“若a=0，则ab=0”的逆命题是假命题．（在“真”或“假”中选一个填空）考点：四种命题．专题：计算题；简易逻辑．分析：写出命题的逆命题，再判断其真假即可．解答：解：命题“若a=0，则ab=0”的逆命题是如果ab=0，那么a=0，是假命题．故答案为：假．点评：本题主要考查了逆命题的定义以及真假命题的判定，要求学生对基础知识牢固掌握．5．（5分）已知不等式ax2+bx﹣1＞0的解集是{x|3＜x＜4}，则a+b=．考点：一元二次不等式与一元二次方程．专题：计算题；转化思想．分析：不等式ax2+bx﹣1＞0的解集是{x|3＜x＜4}，故3，4是方程ax2+bx﹣1=0的两个根，由根与系数的关系求出a，b，既得．解答：解：由题意不等式ax2+bx﹣1＞0的解集是{x|3＜x＜4}，故3，4是方程ax2+bx﹣1=0的两个根，∴3+4=﹣，3×4=﹣∴a=﹣，b=∴a+b=﹣=故答案为点评：本题考查一元二次不等式与一元二次方程的关系，解答本题的关键是根据不等式的解集得出不等式相应方程的根，再由根与系数的关系求参数的值．注意总结方程，函数，不等式三者之间的联系．6．（5分）曲线y=x2在（1，1）处的切线方程是2x﹣y﹣1=0．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：求出导函数，令x=1求出切线的斜率；利用点斜式写出直线的方程．解答：解：y′=2x当x=1得f′（1）=2所以切线方程为y﹣1=2（x﹣1）即2x﹣y﹣1=0故答案为2x﹣y﹣1=0点评：本题考查导数的几何意义：在切点处的导数值是切线的斜率．7．（5分）如果p：x=2，q：x2=4，那么p是q的充分不必要条件．（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要”中选择一个填空）考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的定义，分别证明充分性，必要性，从而得到答案．解答：解：由p：x=2能推出q：x2=4，是充分条件，由q：x2=4推不出p：x=2，不是必要条件，故答案为：充分不必要条件．点评：本题考查了充分必要条件，是一道基础题．8．（5分）不等式ax2+x+1＞0（a≠0）恒成立，则实数a的取值范围为．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由题意和二次函数的性质列出不等式组，求出a的取值范围．解答：解：因为不等式ax2+x+1＞0（a≠0）恒成立，所以，解得a＞，所以实数a的取值范围为，故答案为：．点评：本题考查利用二次函数的性质解决恒成立问题，注意开口方向，属于基础题．9．（5分）已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，焦点在直线3x﹣4y﹣12=0上，则该抛物线的方程为y2=16x或x2=﹣12y．考点：抛物线的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出直线3x﹣4y﹣12=0与x轴、y轴的交点分别为（4，0）、（0，﹣3），可得抛物线开口向右或开口向下，由此设出抛物线的标准方程并解出焦参数p的值，即可得到所求抛物线的方程．解答：解：∵直线3x﹣4y﹣12=0交x轴于点（4，0），交y轴于点（0，﹣3），∴抛物线的焦点为（4，0）或（0，﹣3），可得抛物线开口向右或开口向下．①当抛物线的开口向右时，设抛物线方程为y2=2px（p＞0），∵=4，解得p=8，2p=16，∴此时抛物线的方程为y2=16x；②当抛物线的开口向右时，用类似于①的方法可得抛物线的方程为x2=﹣12y．综上所述，所求抛物线的方程为y2=16x或x2=﹣12y．故答案为：y2=16x或x2=﹣12y点评：本题给出抛物线满足的条件，求抛物线的方程．着重考查了双曲线的标准方程与基本概念、抛物线的标准方程及其简单几何性质等知识，属于基础题．10．（5分）已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y），若点M到抛物线焦点的距离为3，则|OM|=．考点：抛物线的简单性质；两点间的距离公式．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意设抛物线的方程为y2=2px（p＞0），利用抛物线的定义可得|MF|=2+=3，解得p=2，从而得到抛物线的方程．由此算出点M的坐标为（2，），再利用两点间的距离公式即可算出|OM|的值．解答：解：∵抛物线经过点M（2，y），∴抛物线的开口向右．设抛物线的方程为y2=2px（p＞0），∵点M（2，y）到抛物线焦点F的距离为3，∴根据抛物线的定义，得|MF|=2+=3，解得p=2，由此可得抛物线的方程为y2=4x．将点M坐标代入抛物线方程，得y2=4×2=8，解得y=，M坐标为（2，）．∴|OM|==2．故答案为：点评：本题已知抛物线上横坐标为2的点到焦点的距离为3，求该点到抛物线顶点的距离．着重考查了抛物线的定义与标准方程、两点间的距离公式等知识，属于中档题．11．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线有相同的焦点为F，A是两条曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率是+1．考点：圆锥曲线的共同特征．专题：计算题．分析：根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据AF⊥x轴可判断出|AF|的值和A的坐标，代入双曲线方程与p=2c，b2=c2﹣a2联立求得a和c的关系式，然后求得离心率e．解答：解：∵抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，∴p=2c∵A是它们的一个公共点，且AF垂直x轴设A点的纵坐标大于0∴|AF|=p，∴A（，p）∵点A在双曲线上∴﹣=1∵p=2c，b2=c2﹣a2∴﹣=1化简得：c4﹣6c2a2+a4=0∴e4﹣6e2+1=0∵e2＞1∴e2=3+2∴e=1+故答案为：1+点评：本题主要考查关于双曲线的离心率的问题，属于中档题，本题利用焦点三角形中的边角关系，得出a、c的关系，从而求出离心率．12．（5分）已知直线kx﹣y+1﹣k=0恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1=0（m，n＞0）上，则的最小值为4．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：把直线方程整理成点斜式，求得A点的坐标，代入直线mx+ny﹣1=0中，求得m+n的值，最后根据基本不等式求得的最小值．解答：解：整理直线方程得y=k（x﹣1）+1，∴点A的坐标为（1，1），∵点A在直线mx+ny﹣1=0（m，n＞0）上，∴m+n﹣1=0，即m+n=1，∴==，∵mn≤=，m=n时取等号，∴≥4，即的最小值为4，故答案为：4．点评：本题主要考查了基本不等式，直线方程问题，解题的关键时求得m+n的值．13．（5分）设x，y满足约束条件：，则z=x+2y的最小值为8．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域，由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线经过点A时，直线y=的截距最小，此时z最小，由，得，即A（2，3）此时z=2+2×3=8．故答案为：8点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．14．（5分）记min{a，b}为a，b两数中的最小值，当正数x，y变化时，t=min{x，}也在变化，则t的最大值为．考点：函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用．分析：先推导=≤，再分当x≥与当x≤≤两种情况探讨最值，解答：解：=≤当x≥时，即x≥时，t=min{x，}=，而≤≤x≤，当x≤≤时，也即0＜x≤时，t=min{x，}=x，而x≤，综上t的最大值为故答案为：．点评：本题主要考查了函数的取最值的问题，理解新定义函数的意义，并能运用分类讨论的数学思想去解题是解决问题的关键二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．（14分）已知p：|x+1|≤2，q：（x+1）（x﹣m）≤0．（1）若m=4，命题“p且q”为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：（1）分别求出关于p，q的不等式，从而得到答案；（2）通过讨论m的范围，结合集合之间的关系，从而得到答案．解答：解：（1）m=4时，p：﹣3≤x≤1，q：﹣1≤x≤4，若p且q为真，则p为真，q为真，∴x的范围是：{x|﹣1≤x≤1}；（2）∵p：{x|﹣3≤x≤1}，若m≤﹣1，则q：{x|m≤x≤﹣1}，又p是q的必要不充分条件，即q⊂b，∴﹣3≤m≤﹣1，若m＞﹣1，则q：{x|﹣1≤x≤m}，∴﹣1＜m≤1，综上：m的范围是．点评：本题考查了复合命题的真假，考查了集合之间的关系，是一道基础题．16．（14分）椭圆C1：=1（a＞b＞0）过点，离心率e=，A为椭圆C1上一点，B为抛物线y2=x 上一点，且A为线段OB的中点．（1）求椭圆C1的方程；（2）求直线AB的方程．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）据题意得：又a2=b2+c2，解出a，b即可得到椭圆方程；（2）设A点坐标为（x0，y0），则B点坐标为（2x0，2y0），分别代入椭圆和抛物线方程，解出A点坐标，即可得到AB方程．解答：解：（1）据题意得：又a2=b2+c2，解得，所以椭圆方程为．（2）设A点坐标为（x0，y0），则B点坐标为（2x0，2y0），分别代入椭圆和抛物线方程得，消去y0并整理得：，所以或．当时，；当时，y0无解．所以直线AB的方程为．点评：本题考查椭圆的方程和性质及运用，考查抛物线方程的运用，考查直线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．17．（15分）已知不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）解不等式（t为常数）考点：其他不等式的解法．专题：计算题．分析：（Ⅰ）由已知解集的端点可知1和b为方程ax2﹣3x+2=0的两个解，把x=1代入方程求出a的值，进而求出b的值；（Ⅱ）把原不等式分子提取﹣1，在不等式两边同时除以﹣1，不等号方向改变，当t=﹣2时，显然原不等式无解；当t不等于﹣2时，根据两数相除异号得负的取符号法则转化为两个不等式组，讨论t与﹣2的大小，根据不等式组取解集的方法可得到原不等式的解集，综上，得到t取不同值时，原不等式对应的解集．解答：解：（Ⅰ）由题意得：x=1和x=b是方程ax2﹣3x+2=0的两个解，∴把x=1代入方程得：a﹣3+2=0，解得a=1，则方程为x2﹣3x+2=0，即（x﹣1）（x﹣2）=0，可得方程的另一解为2，即b=2，∴a=1，b=2；（Ⅱ）原不等式可化为：，显然当t=﹣2时，不等式不成立，即解集为空集；当t≠﹣2时，原不等式可化为：或，当t＞﹣2时，解得：﹣2＜x＜t；当x＜﹣2时，解得t＜x＜2，综上，原不等式的解集为：．点评：此题考查了其他不等式的解法，利用了转化及分类讨论的数学思想，其中转化的理论依据为两数相乘（除）同号得正、异号得负的取符号法则，此类题是xx高考中常考的题型．18．（15分）已知二次函数f（x）=ax2﹣2x+a（a≠0）．（1）当a=﹣1时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）若不等式f（x）＞0无解，求a的取值范围；（3）若不等式f（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，求a的取值范围．考点：二次函数的性质．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（1）由二次不等式的解法，即可得到；（2）对a讨论，①当a=0时，②当a≠0时，则需，解出不等式，求并集即可；（3）不等式为：ax2﹣2x+a＞0，即，因为该不等式对x∈（0，+∞）恒成立，只要求出右边的最大值即可，注意运用基本不等式．解答：解：（1）当a=﹣1时，不等式为﹣x2﹣2x﹣1＜0，即（x+1）2＞0，所以x≠﹣1，所以所求不等式的解集为{x|x≠﹣1}；（2）不等式为：ax2﹣2x+a＞0．①当a=0时，不等式的解为：x＜0，不合题意；②当a≠0时，则需，所以a≤﹣1．综合得a≤﹣1；（3）不等式为：ax2﹣2x+a＞0，即，因为该不等式对x∈（0，+∞）恒成立，所以，因为，所以a的取值范围为a≥1．点评：本题考查二次函数的性质和二次不等式的解法，考查不等式恒成立转化为求函数最值问题，属于中档题．19．（16分）今年的国庆假期是实施免收小型客车高速通行费后的第一个重大节假日，有一个群名为“天狼星”的自驾游车队．该车队是由31辆车身长都约为5m（以5m计算）的同一车型组成的，行程中经过一个长为2725m的隧道（通过该隧道的车速不能超过25m/s），匀速通过该隧道，设车队的速度为xm/s，根据安全和车流的需要，当0＜x≤2时，相邻两车之间保持20m的距离；当12＜x≤25时，相邻两车之间保持（）m的距离．自第1辆车车头进入隧道至第31辆车车尾离开隧道所用的时间为y（s）．（1）将y表示为x的函数；（2）求该车队通过隧道时间y的最小值及此时车队的速度．考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用当0＜x≤12时，相邻两车之间保持20m的距离；当12＜x≤25时，相邻两车之间保持（）m的距离，可得分段函数；（2）分段求出函数的最小值，即可得到分段函数的最小值．解答：解：（1）∵当0＜x≤12时，相邻两车之间保持20m的距离；当12＜x≤25时，相邻两车之间保持（）m的距离，∴当0＜x≤12时，y==；当12＜x≤25时，y==5x++10∴y=；（2）当0＜x≤12时，y=，∴x=12m/s时，y min=290s；当12＜x≤25时，y=5x++10≥2 +10=250s当且仅当5x=，即x=24m/s时取等号，即x=24m/s时，y min=250s∵290＞250，∴x=24m/s时，y min=250s．答：该车队通过隧道时间y的最小值为250s及此时该车队的速度为24m/s．点评：本题考查分段函数模型的构建，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．20．（16分）设直线x+y=1与椭圆=1（a＞b＞0）相交于A，B两点．（1）若a=，求b的范围；（2）若OA⊥OB，且椭圆上存在一点P其横坐标为，求点P的纵坐标；（3）若OA⊥OB，且S△OAB=，求椭圆方程．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）将直线x+y=1代入椭圆方程，消去y，得到x的方程，运用判别式大于0，解出即可；（2）将直线x+y=1代入椭圆方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理，以及两直线垂直的条件，化简整理，即可得到所求值；（3）设直线x+y=1与坐标轴交于C、D，求出CD，再由面积，求得AB，再由弦长公式，求得a，b的方程，再由（2）的结论，即可得到椭圆方程．解答：解：（1）将直线x+y=1代入椭圆方程，消去y，得（b2+a2）x2﹣2a2x+a2﹣a2b2=0，x1+x2=，x1x2=，因为直线与椭圆交于两点，故△=4a4﹣4（b2+a2）（a2﹣a2b2）＞0，代入a=，解得，且a＞b，所以b的范围为；（2）将直线x+y=1代入椭圆方程，可得：，由OA⊥OB可得x1x2+y1y2=0，解得a2+b2=2a2b2即，代x0=到椭圆方程得，即，所以点P的纵坐标为．（3）设直线x+y=1与坐标轴交于C、D，则，又△AOB，△COD两个三角形等高，故，所以，求得所以，所以椭圆方程为．点评：本题考查椭圆方程及运用，考查联立直线方程和椭圆方程，消去未知数，运用韦达定理和判别式大于0，以及弦长公式，考查运算能力，属于中档题．。

2019-2020学年度高二上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合M={x|（x+3）（x-1）＜0}，N={x|x≤-3}，则∁R（M∪N）=（）A. {x|x≤1}B. {x|x≥1}C. {x|x<1}D. {x|x>1}2.数列-1，3，-5，7，-9，…的一个通项公式为（）A. a n=2n−1B. a n=(−1)n(1−2n)C. a n=(−1)n(2n−1)D. a n(−1)n+1(2n−1)3.不等式2x-3y+6＞0表示的平面区域在直线2x-3y+6=0的（）A. 左上方B. 左下方C. 右上方D. 右下方4.下列说法正确的是（）A. 若a<b，则1a <1bB. 若ac3>bc3，则a>bC. 若a>b，k∈N∗，则a k≤b kD. 若a>b，c>d，则a−d>b−c5.已知等比数列{a n}中，a2a3a4═1，a6a7a8=64，则a5=（）A. ±2B. −2C. 2D. 46.设M=2a（a-2），N=（a+1）（a-3），则有（）A. M>NB. M≥NC. M<ND. M≤N7.当x＞1时，不等式x+1x−1≥a恒成立，则实数a的取值范围是（）A. (−∞,2]B. [2,+∞)C. [3,+∞)D. (−∞,3]8.设{a n}是等差数列，公差为d，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）A. d<0B. a7=0C. S9>S5D. S6和S7均为S n的最大值9.设S n为等差数列{a n}的前n项和，a4=4，S5=15，若数列{1a n a n+1}的前m项和为1011，则m=（）A. 8B. 9C. 10D. 1110.已知：x＞0，y＞0，且2x +1y=1，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A. (−∞,−2]∪[4,+∞)B. (−∞,−4]∪[2,+∞)C. (−2,4)D. (−4,2)二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）11.△ABC中，a=1，b=√3，∠A=30°，则∠B等于______12.点P（x，y）在不等式组{x−2≤0y−1≤0x+2y−2≥0表示的平面区域上运动，则z=x-y的最大值为______．13.在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若角A、B、C成等差数列，且边a、b、c成等比数列，则△ABC的形状为______．14.对于任意实数x，不等式（a-2）x2-2（a-2）x-4＜0恒成立，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共44.0分）15.（1）解不等式2x2+x+1＞0．＜x＜2}，求a+b的值；（2）若不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|-1216.已知数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n．（1）求a n；（2）若b n=n+a n，求数列{b n}的前5项的和S5．17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c cos A，b cos B，a cos C成等差数列．（Ⅰ）求∠B；，b=√3，求△ABC的面积．（Ⅱ）若a+c=3√3218.如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知AB=3米，AD=2米．（Ⅰ）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？（Ⅱ）当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．19.已知数列{a n}的前n项和为S n，向量a⃗=（S n，2），b⃗ =(1，1−2n)满足条件a⃗ ⊥b⃗（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设c n=na n，求数列{c n}的前n项和T n．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合M={x|（x+3）（x-1）＜0}={x|-3＜x＜1}，N={x|x≤-3}，∴M∪N={x|x＜1}，∴∁R（M∪N）={x|x≥1}，故选：B．先求出M，再求出M∪N，再根据补集的定义求出∁R（M∪N）．本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合并集的定义和求法，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：数列-1，3，-5，7，-9，…的一个通项公式为．故选：C．其符号与绝对值分别考虑即可得出．本题考查了数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：画直线2x-3y+6=0，把（0，0）代入，使得2x-3y+6＞0，所以不等式2x-3y+6＞0表示的平面区域在直线2x-3+-6＞0的右下方，故选：D．根据题意取特殊点验证不等式表示的平面区域即可．本题考查了二元一次不等式表示的平面区域问题，通常以直线定界，特殊点定区域，是基础题．4.【答案】D【解析】解：A．当a=1，b=2时，满足a＜b，但不成立，故A错误，B．若ac3＞bc3，若c＜0，则a＞b不成立，故B错误，C．当k=2时，a=1，b=-2满足条件．a＜b，但a2≤b2不成立，故C错误，D．若a＞b，c＞d，则-d＞-c，则a-d＞b-c成立，故D正确故选：D．根据不等式的关系以及不等式的性质分别进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，结合不等式的性质分别进行判断是解决本题的关键．5.【答案】C【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2a3a4═1，a6a7a8=64，∴（q4）3=64，解得q2=2．又=1，解得a1=．则a5==2．故选：C．设等比数列{a n}的公比为q，由a2a3a4═1，a6a7a8=64，可得（q4）3=64，解得q2．又=1，解得a1．利用通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.【答案】A【解析】解：∵M-N═2a（a-2）-（a+1）（a-3）=（a-1）2+2＞0，∴M＞N．故选：A．比较两个数的大小，通常采用作差法，分别计算M-N的结果，判断结果的符号．本题考查了比较两数大小的方法．当a-b＞0时，a＞b，当a-b=0时，a=b，当a-b ＜0时，a＜b．7.【答案】D【解析】解：∵当x＞1时，不等式x+恒成立，∴a≤x+对一切非零实数x＞1均成立．由于x+=x-1++1≥2+1=3，当且仅当x=2时取等号，故x+的最小值等于3，∴a≤3，则实数a的取值范围是（-∞，3]．故选：D．由题意当x＞1时，不等式x+恒成立，由于x+的最小值等于3，可得a≤3，从而求得答案．本题考查查基本不等式的应用以及函数的恒成立问题，求出x+的最小值是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：∵S5＜S6，S6=S7＞S8，∴a6＞0，a7=0，a8＜0，可得d＜0．S6和S7均为S n的最大值．S9==9a5，S5==5a3．S9-S5=9（a1+4d）-5（a1+2d）=4a1+26d=4a7+2d＜0，∴S9＜S5．因此C错误．故选：C．S5＜S6，S6=S7＞S8，可得a6＞0，a7=0，a8＜0，可得d＜0．S6和S7均为S n的最大值．作差S9-S5=4a7+2d＜0，可得S9＜S5．本题考查了等差数列的单调性、通项公式与求和公式、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：S n为等差数列{a n}的前n项和，设公差为d，a4=4，S5=15，则：，解得d=1，则a n=4+（n-4）=n．由于=，则，==，解得m=10．故答案为：10．故选：C．首先求出数列的通项公式，利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法求出数列的和10.【答案】D【解析】解：∵x＞0，y＞0，且，∴x+2y=（x+2y）（）=2+++2≥8（当且仅当x=4，y=2时取到等号）．∴（x+2y）min=8．∴x+2y＞m2+2m恒成立，即m2+2m＜（x+2y）min=8，解得：-4＜m＜2．故选：D．x+2y＞m2+2m恒成立，即m2+2m＜x+2y恒成立，只需求得x+2y的最小值即可．本题考查基本不等式与函数恒成立问题，将问题转化为求x+2y的最小值是关键，考查学生分析转化与应用基本不等式的能力，属于中档题．11.【答案】60°或120°【解析】解：∵a=1，b=，∠A=30°根据正弦定理可得：∴sinB=∴∠B=60°或120°故答案为：60°或120°根据正弦定理可求出角B的正弦值，进而得到其角度值．本题主要考查正弦定理的应用．属基础题．12.【答案】2【解析】解：画可行域如图，画直线z=x-y，平移直线z=x-y过点A（0，1）时z有最小值-1；平移直线z=x-y过点B（2，0）时z有最大值2．则z=x-y的最大值为2．故答案为：2．①画可行域；②z为目标函数的纵截距；③画直线z=x-y．平移可得直线过A 或B时z有最值．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．13.【答案】等边三角形【解析】解：∵在△ABC中角A、B、C成等差数列，∴2B=A+C，由三角形内角和可得B=，又∵边a、b、c成等比数列，∴b2=ac由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB，∴ac=a2+c2-ac，即a2+c2-2ac=0，故（a-c）2=0，可得a=c，故三角形为：等边三角形，故答案为：等边三角形．由等差数列和三角形内角和可得B=，再由等比数列和余弦定理可得a=c，可得等边三角形．本题考查三角形形状的判定，涉及等差和等比数列及余弦定理，属基础题．14.【答案】（-2，2]【解析】解：当a=2时，-4＜0恒成立；当a≠2时，不等式（a-2）x2-2（a-2）x-4＜0恒成立，则，解得：-2＜a＜2；综上所述，-2＜a≤2．故答案为：（-2，2]．分a=2与a≠2讨论；在a≠2时，（a-2）x2-2（a-2）x-4＜0恒成立⇒，解之，取并即可．本题考查函数恒成立问题，对a分a=2与a≠2讨论是关键，考查分类讨论思想与等价转化思想，属于中档题．15.【答案】解：（1）不等式2x2+x+1＞0中，△=1-8=-7＜0，所以该不等式的解集为R；（2）不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|-12＜x＜2}，则该不等式对应的方程两根是-12和2，所以{2a =−12×2−ba =−12+2，解得a=-2，b=3，∴a+b=1．【解析】（1）利用判别式△＜0，得出该不等式的解集为R；（2）根据不等式的解集得出不等式对应方程的两个根，再由根与系数的关系求出a 、b 的值．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了一元二次方程根与系数的关系应用问题．16.【答案】解：（1）由数列{a n }中，a 1=2，a n +1=2a n ．则数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列， ∴a n =2n ．（2）b n =n +a n =n +2n ．∴数列{b n }的前5项的和S 5=（1+2+3+4+5）+（2+22+……+25） =5×(1+5)2+2×(25−1)2−1=77．【解析】（1）利用等比数列的通项公式即可得出．（2）b n =n+a n =n+2n ．利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出． 本题考查了等差数列与等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：（Ⅰ）∵c cos A ，B cosB ，a cos C 成等差数列，∴2b cos B =c cos A +a cos C ，由正弦定理知：a =2R sin A ，c =2R sin C ，b =2R sin B ，代入上式得：2sin B cosB=sin C cos A +sin A cos C ，即2sin B cosB=sin （A +C ）． 又A +C =π-B ，∴2sin B cosB=sin （π-B ），即2sin B cosB=sin B ． 而sin B ≠0，∴cos B =12，及0＜B ＜π，得B =π3． （Ⅱ）由余弦定理得：cos B =a 2+c 2−b 22ac=12， ∴(a+c)2−2ac−b 22ac=12，又a +c =3√32，b =√3， ∴274-2ac -3=ac ，即ac =54，∴S △ABC =12ac sin B =12×54×√32=5√316．【解析】（Ⅰ）由ccosA ，BcosB ，acosC 成等差数列，可得2bcosB=ccosA+acosC ，利用正弦定理、和差公式即可得出；（II）利用余弦定理与三角形的面积计算公式即可得出．本题考查了等差数列、正弦定理、和差公式、余弦定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则|AN|=（x+2）米∵|DN| |AN|=|DC||AM|，∴|AM|=3(x+2)x∴S AMPN=|AN|⋅|AM|=3(x+2)2x由S AMPN＞32得3(x+2)2x＞32又x＞0得3x2-20x+12＞0解得：0＜x＜23或x＞6即DN的长取值范围是(0，23)∪(6，+∞)（Ⅱ）矩形花坛的面积为y=3(x+2)2x =3x2+12x+12x=3x+12x+12(x＞0)≥2√3x⋅12x+12=24当且仅当3x=12x，即x=2时，矩形花坛的面积最小为24平方米．【解析】（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则|AN|=（x+2）米，表示出矩形的面积，利用矩形AMPN的面积大于32平方米，即可求得DN的取值范围．（2）化简矩形的面积，利用基本不等式，即可求得结论．本题考查根据题设关系列出函数关系式，并求出处变量的取值范围；考查利用基本不等式求最值，解题的关键是确定矩形的面积．19.【答案】解：（1）∵a⃗ ⊥b⃗ ，∴a⃗•b⃗ =S n+2-2n+1=0，∴S n=2n+1-2，当n≥2时，a n=S n-S n-1=2n，当n=1时，a1=S1=2满足上式，∴a n=2n，（2）∵c n=na n =n2n，∴T n=12+22+⋯+n−12+n2，两边同乘12，得12T n=122+223+⋯+n−12n+n2n+1，两式相减得：1 2T n=12+122+⋯12n−n2n+1=1−n+22n+1，∴T n=2−n+22n(n∈N+)．【解析】（1）根据向量的数量积和可得S n=2n+1-2，再根据数列的递推公式即可求出，（2）根据错位相减法即可求出数列{c n}的前n项和T n本题考查了向量的数量积和数列的递推公式以及错位相减法，属于中档题第11页，共11页。