基于排队论的病床安排动态规划模型

排队论模型随机服务系统理论是研究由顾客、服务机构及其排队现象所构成的一种排队系统的理论，又称排队论。

排队现象是一种经常遇见的非常熟悉的现象，例如：顾客到自选商场购物、乘客乘电梯上班、汽车通过收费站等。

随机服务系统模型已广泛应用于各种管理系统，如生产管理、库存管理、商业服务、交通运输、银行业务、医疗服务、计算机设计与性能估价，等等。

随机服务系统模拟，如存储系统模拟类似，就是利用计算机对一个客观复杂的随机服务系统的结构和行为进行动态模拟，以获得系统或过程的反映其本质特征的数量指标结果，进而预测、分析或估价该系统的行为效果，为决策者提供决策依据。

排队论模型及其在医院管理中的作用每当某项服务的现有需求超过提供该项服务的现有能力时，排队就会发生。

排队论就是对排队进行数学研究的理论。

在医院系统内，“三长一短”的现象是司空见惯的。

由于病人到达时间的随机性或诊治病人所需时间的随机性，排队几乎是不可避免的。

但如何合理安排医护人员及医疗设备，使病人排队等待的时间尽可能减少，是本文所要介绍的。

一、医院系统的排队过程模型医院是一个复杂的系统，病人在医院中的排队过程也是很复杂的。

如图1中每一个箭头所指的方框都是一个服务机构，都可构成一个排队系统，可见图2。

图1 医院系统的多级排队过程模型二、排队系统的组成和特征一般的排队系统都有三个基本组成部分：1. 输入过程其特征有：顾客源（病人源）的组成是有限的或无限的；顾客单个到来或成批到来；到达的间隔时间是确定的或随机的；顾客的到来是相互独立或有关联的；顾客相继到达的间隔时间分布和所含参数（如期望值、方差等）都与时间无关或有关。

2. 排队规则其特征是对排队等候顾客进行服务的次序有下列规则：先到先服务，后到先服务，有优先权的服务（如医院对于病情严重的患者给予优先治疗，在此不做一般性的讨论），随机服务等；还有具体排队（如在候诊室）和抽象排队（如预约排队）。

排队的列数还分单列和多列。

3. 服务机构其特征有：一个或多个服务员；服务时间也分确定的和随机的；服务时间的分布与时间有关或无关。

建模十大经典算法1、蒙特卡罗算法。

该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时通过模拟可以来检验自己模型的正确性。

2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。

比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。

3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题。

建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo、MATLAB软件实现。

4、图论算法。

这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。

5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。

这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中。

6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法。

这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。

7、网格算法和穷举法。

网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。

8、一些连续离散化方法。

很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。

9、数值分析算法。

如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。

10、图象处理算法。

赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处理。

历年全国数学建模试题及解法赛题解法93A非线性交调的频率设计拟合、规划93B足球队排名图论、层次分析、整数规划94A逢山开路图论、插值、动态规划94B锁具装箱问题图论、组合数学95A飞行管理问题非线性规划、线性规划95B天车与冶炼炉的作业调度动态规划、排队论、图论96A最优捕鱼策略微分方程、优化96B节水洗衣机非线性规划97A零件的参数设计非线性规划97B截断切割的最优排列随机模拟、图论98A一类投资组合问题多目标优化、非线性规划98B灾情巡视的最佳路线图论、组合优化99A自动化车床管理随机优化、计算机模拟99B钻井布局0-1规划、图论00A DNA序列分类模式识别、Fisher判别、人工神经网络00B钢管订购和运输组合优化、运输问题01A血管三维重建曲线拟合、曲面重建01B 公交车调度问题多目标规划02A车灯线光源的优化非线性规划02B彩票问题单目标决策03A SARS的传播微分方程、差分方程03B 露天矿生产的车辆安排整数规划、运输问题04A奥运会临时超市网点设计统计分析、数据处理、优化04B电力市场的输电阻塞管理数据拟合、优化05A长江水质的评价和预测预测评价、数据处理05B DVD在线租赁随机规划、整数规划06A 出版资源配置06B 艾滋病疗法的评价及疗效的预测 07A 中国人口增长预测 07B 乘公交，看奥运 多目标规划 数据处理 图论 08A 数码相机定位 08B 高等教育学费标准探讨09A 制动器试验台的控制方法分析 09B 眼科病床的合理安排 动态规划 10A 10B赛题发展的特点：1.对选手的计算机能力提出了更高的要求：赛题的解决依赖计算机，题目的数据较多，手工计算不能完成，如03B ，某些问题需要使用计算机软件，01A 。

眼科病床合理安排数学建模优秀眼科病床合理安排摘要本文讨论了病床的合理安排问题，属于优化问题中的排队问题。

我们根据始数据利用EXCEL软件进行了统计分析，得出各类眼科病人的平均等待时间等相关数据信息。

对于问题一，我们综合考虑医院与病人的利益，提出了平均病床周转次数A、病人住院平均等待时间B、等待住院病人队列长度C、等待住院病人队列变化趋势这四项评价指标，用以对病床安排模型的优劣进行评价。

并利用该评价指标体系对医院当前的病床安排模型进行了评价。

对于问题二，我们基于医院的当前情况，以平均病床周转次数A为优化目标，以改进后的优先非抢占排队思想为依据，采用优先级随时间变化的规则来进行病床安排，并根据五类眼科病人的平均住院时间设置了初始优先度值，建立起单目标优化模型一。

我们利用模型一对前来门诊的病人重新进行病床安排，得出了相关结果。

由结果我们可以看出，模型一可以较好的解决医院的等待住院病人队列越来越长的问题。

我们利用问题一里确定的评价指标体系对模型一进行了评价，并将其与医院当前采用的模型进行了对比分析，突显出模型一的优势。

对于问题三，我们根据问题二里得出的病人信息，统计出了各类病人的平均等待时间和等待队列长度，发现在模型一的病床分配方案下，每天门诊总病人数与出院总人数大致平衡。

于是，我们可以根据各类病人的等待时间分布来给出门诊病人的入院时间区间：外伤：1天；视网膜疾病：（10，15）天；青光眼：（7，12）天；白内障单眼：（4，8）天。

白内障双眼病人需视门诊时间而定。

对于问题四，在周六、周日不安排手术的情况下，利用模型一重新对病人进行入院安排，并用评价指标体系对结果进行了评价，发现分配结果并不理想，等待队列长度很长，且等待入院的病人队列会越来越长。

因此，我们认为医院手术时间应该调整，我们建议将白内障双眼病人的手术时间由原来的每周一、周三调整到每周三、周五。

对于问题五，我们利用多服务台排队系统c/来进行求解。

排队问题的三种方法排队问题是一类经典的图论问题，通常涉及到在一条流水线上安排生产任务或者服务请求，使得所有任务或者请求都能够及时完成，本文将介绍三种解决排队问题的方法。

方法一：贪心算法贪心算法是一种简单的算法思想，通过每次选择最优解来得到全局最优解。

在排队问题中，贪心算法可以通过不断尝试最坏情况来得到最优解。

具体来说，我们可以从最后一个待安排的任务开始，依次将当前任务和已经安排的任务进行交换，直到任务队列为空。

这种方法能够保证所有的任务都能够及时完成，但是可能会出现任务队列为空的情况，也就是没有任务可以安排。

方法二：动态规划算法动态规划算法是一种通过构建状态转移方程来求解问题的方法，通常适用于问题的规模较大或者最优解不是唯一的情况。

在排队问题中，我们可以将任务队列看作是状态，任务等待时间和执行任务的时间看作是状态转移方程。

具体来说，我们可以从最后一个待安排的任务开始，依次计算出当前任务需要等待的时间和已经安排的任务需要执行的时间，然后将当前任务和已经安排的任务进行交换，直到任务队列为空。

这种方法可以得到最优解，但是需要计算大量的状态转移方程。

方法三：图论算法图论算法是一种通过构建图来分析问题的方法，通常适用于问题的规模较大或者最优解不是唯一的情况。

在排队问题中，我们可以将任务队列看作是一个图，任务之间的等待关系看作是边，然后通过最小生成树或者贪心算法来得到最优解。

具体来说，我们可以从最后一个待安排的任务开始，依次将当前任务和已经安排的任务进行交换，直到任务队列为空。

这种方法可以得到最优解，但是需要计算大量的边。

以上三种方法是解决排队问题的常见方法，贪心算法适用于没有最优解的情况，动态规划算法适用于有多个最优解的情况，图论算法适用于问题规模较大的情况。

此外，排队问题的拓展应用还有很多，例如排队论、排队系统、排队论模型等。

一篇优秀的数学建模论文可以分为两类：第一类，虽然结果并不如意，可是模型设计以及算法思想非常新颖，论文中分析透彻。

第二类，虽然模型中的思想算法解释并不清楚，可是所得结果完全正确。

对于全国赛来说，第二类型的论文获奖概率大，而第一类型的论文更加适用于美国赛。

论文总体可以分为摘要、问题重述、问题分析、模型假设与符号约定、模型分析与建立、模型求解、模型验证以及模型的推广与应用八大部分。

对于评委来说，总体印象是最为重要的。

论文写作是建模最后的一环，也是最关键的一环。

一篇优秀的论文首先给人的感觉是逻辑清晰、有条理；其次，论文在语言上的表述也很重要，要注意用词的准确性。

分析要中肯、确切。

相关术语要专业、内行；原理要准确、明晰；表述要简明、直观，便于比较分析；数值结果表示也要精心设计表格，尽量用数形结合的方式阐述求解的过程和步骤。

另外，一篇好的论文应有闪光点，有自己的特色和创新点，有自己的想法和思考。

接下来，谈一些看了一些全国赛论文以后的认识。

一、团队合作首先，一个团队由3个人构成，3个人必须分工明确并且对于不同的分工也最好是精通的。

在分工明确的基础上，也应该相互帮助，减少队友的负担。

团队精神是一个团队取得比赛胜利的关键。

队友之间应该相互扶持，相互体谅，相互鼓励，相互督促，我们不是孤军奋战，即使一篇论文犯了一个严重的错误，这也不是一个人的原因，这是一个团队，在一个团队中，没有自我，只有集体。

然后撰写论文的过程中，每个人可能都持有不同的意见，因此团队讨论也十分重要。

在讨论的过程中，思想的火花一次又一次的碰擦，会产生更多的创新的点子，使论文更上一个层次，结构更加严谨，从多方面考虑问题。

但是思想的磨合还是要有限度的，在规定的时间里要想有一篇完整的论文，必须首先确定本次论文的主题，不能无休止的讨论一个问题，要有轻有重，分清枝干，然后有层次的讨论，在意见始终不同意的情况下，撰写论文者必须得统一一个观点。

最后的是每个队员都得有信心，遇到再大的困难也要有勇气坚持下去。

运筹学模型的分类和类型运筹学是一门应用于决策制定和问题解决的学科，它通过数学模型和分析方法来优化资源的利用。

运筹学模型是在特定情境中描述问题和优化目标的数学表示。

根据问题的性质和优化目标的类型，运筹学模型可以被分类为多种类型。

在本文中，我将介绍一些常见的运筹学模型分类。

一、线性规划模型：线性规划模型是最基本的运筹学模型之一。

它的特点是目标函数和约束条件均为线性的。

线性规划模型常用于求解资源分配、生产计划、物流运输等问题。

通过线性规划模型，我们可以找到使资源利用最优化的决策方案。

某公司需要确定每种产品的生产数量，以最大化总利润，且需满足各种资源约束条件，这时可以使用线性规划模型进行求解。

二、整数规划模型：整数规划模型是在线性规划模型的基础上引入整数变量的扩展。

在某些情况下，问题的决策变量只能取整数值，这时就需要使用整数规划模型进行求解。

某物流公司需要确定车辆的调度方案，每辆车的装载量可以是整数，这时可以使用整数规划模型来求解最佳调度方案。

三、动态规划模型：动态规划模型是一种考虑时间因素的决策模型。

它通常用于求解多阶段决策问题。

动态规划模型通过将问题划分为多个阶段，并建立各阶段之间的转移方程，来寻找最优决策序列。

在项目管理中，我们需要确定每个阶段的最佳决策，以最小化总工期和成本，这时可以使用动态规划模型进行求解。

四、网络流模型：网络流模型是一种描述网络中资源分配和流量传输的模型。

它通常用于求解网络优化问题，如最小费用流问题、最大流问题等。

网络流模型中，节点表示资源或流量的源点、汇点和中间节点，边表示资源或流量的传输通道。

通过建立网络流模型，我们可以确定资源的最优分配方案，以及网络中的最大流量或最小成本。

在供应链管理中，我们需要确定货物从生产商到消费者的最佳流向，以最小化总运输成本，这时可以使用网络流模型进行求解。

五、排队论模型：排队论模型是一种描述排队系统的模型。

它通常用于评估系统性能指标，如平均等待时间、平均逗留时间等。

医院病床安排的数学模型及算法分析作者：顿毅杰马明来源：《中国新技术新产品》2010年第11期摘要:医院病床的合理安排是病人和医院共同关注的问题。

理论上这一问题有排队论和规划论的特点。

考虑到病人、病床和手术之间的流程关系,确定出使用平均等待时间、平均住院时间、平均逗留时间、平均等待队长和住院率来作为评价指标,这些指标可以充分反映医院病床安排的优劣。

关键词:排队模型;系统仿真;分支限界算法1 问题简述当前医院实行的FCFS规则可看作是一个单队列多服务台的排队模型,不能有效地分配医院资源。

因此我们把病人按照手术类型分为4个队列,将病床当作服务台,建立了一个4队列多服务台的具有优先权的排队模型急症优先权是非强拆型的。

模型中的服务规则为“当前选中的病人总平均逗留时间最短”和“同类型内部先到先服务”。

为了实现该排队系统中的实时病床分配,在系统中嵌入了一个规划模型,模型目标是使“当前选中病人总平均逗留时间”最短,约束条件中考虑了急症优先原则和床铺满员原则。

可以证明该规划模型满足“同类型内部先到先服务”规则。

我们使用计算机系统仿真求解模型,在仿真算法中嵌入了求解规划模型的逐步搜索算法,间与急症到达规律和病人的术后观察时间有关。

我们假设急症按泊松流到达、术后观察时间服从相互独立的均匀分布,在给定置信水平条件下给出了估计住院时间的置信区间。

此外,在该假设下也可由模拟算法求出病人的住院时间。

在前述规划模型的基础上加一比例约束条件即可得到病床比例分配模型。

2 模型的假设与符号说明2.1 模型的假设每个病人到达医院是随机的;外伤急症具有优先住院权;白内障手术仅安排在周一、周三,且对双眼白内障手术在同一周的周一做第一次手术、周三做第二次手术;其它眼科疾病不考虑急症;其它眼科疾病不安排周一、周三;假设手术设备和医生足够多,即只要住院的病人准备好,就可随时进行手术;假设每一种病的手术准备时间是固定的,观察时间是服从均匀分布的;假设入院当天即可进行术前准备;2.2 符号说明zy住院时间sszb手术准备时间zlss距离可动手术时间ecss二次手术延长时间w术后观察时间ssd动手术日期cy出院日期dy等待住院时间dl逗留时间cij表示选中住院的第i类病人中第j个病人的逗留时间N病房的空床数ni当前等待住院的第i类病人的个数xi从当前第i类等待病人中选出住院的病人的个数zzi当前第i类正在住院的病人的总数3 问题分析医院的病床服务系统具有以下特点:病人来源是无限的,以病人到达门诊登记等待为标志,进入待床住院排队系统;排队等待的病人如果暂时没有病床,则等待住院,因而等待的人数及空间在理论上是无限制的。