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山东科技大学2010—2011学年第一学期《数理统计与随机过程》考试试卷班级 姓名 学号1.已知0.975 1.96u =,~(2,4)X N ，则0.025{22}P X u -<=；{21}P X -≥=。
正态分布2. 设某样本的观测值为-1，-1，0，1，1，则对应的经验分布函数观测值为。
3.设126,,,X XX 为总体的样本，分布密度为[0,1]上的均匀分布，则样本的最大次序统计量()n X 的分布密度函数为。
4. 设129,,,X X X 为取自总体的样本，又已知XN(0,1)，9i i 11X X 9==∑，则52i i 1E (X X)=-=∑9i X∑所服从的分布为。
5. 设随机过程{()cos ,}X t U t t T =∈，为随机变量，且5,6EU DU ==，求()X t 的方差函数=；自相关函数=。
6.设{(),0}N t t ≥是强度为的泊松过程，则(){1}P N k ==；(){3(1)}P N t N t k +-+==。
7. 设{(),0}X t t ≥为参数是维纳过程，则()5EX =；()()31E N N =⎡⎤⎣⎦。
二、计算与证明（14:小题每题13分，5小题12分，共64分）1.设()1,,n X X 是取自总体的一个样本，总体X 的密度函数为()(),;0,x e x f x θθθ--⎧≥=⎨⎩其余（1）求的矩估计和极大似然估计；（2）的矩估计和极大似然估计是否为无偏的； 2.设某种清漆的9个样品，其平均干燥时间和方差分别为6x =和20.33S =，设干燥时间2~(,)X N μσ，（1）求的置信度为0.95的置信区间；（2）给定水平0.05α=，求假设2200:0.5;:0.5H H σσ≤>的拒绝域（已知0.975(8) 2.3060t =； 20.05(8) 2.733χ=）。
3.假设六个整数1，2，3，4，5，6被随机地选择，重复60次独立实验中出现1，2，3，4，5，6的次数分别为13，19，11，8，5，4，问在5%的显著性水平下随机地选择是否等概率的。
随机过程试题及答案随机过程是概率论与数理统计的重要理论基础之一。
通过研究随机过程，可以揭示随机现象的规律性，并应用于实际问题的建模与分析。
以下是一些关于随机过程的试题及答案，帮助读者更好地理解与掌握这一概念。
1. 试题：设随机过程X(t)是一个马尔可夫过程，其状态空间为S={1,2,3}，转移概率矩阵为：P =| 0.5 0.2 0.3 || 0.1 0.6 0.3 || 0.1 0.3 0.6 |(1) 计算X(t)在t=2时的转移概率矩阵。
(2) 求X(t)的平稳分布。
2. 答案：(1) 根据马尔可夫过程的性质，X(t)在t=2时的转移概率矩阵可以通过原始的转移概率矩阵P的2次幂来计算。
令Q = P^2，则X(t=2)的转移概率矩阵为：Q =| 0.37 0.26 0.37 || 0.22 0.42 0.36 || 0.19 0.36 0.45 |(2) 平稳分布是指随机过程的状态概率分布在长时间内保持不变的分布。
设平稳分布为π = (π1,π2, π3)，满足πP = π（即π为右特征向量），且所有状态的概率之和为1。
根据πP = π，可以得到如下方程组：π1 = 0.5π1 + 0.1π2 + 0.1π3π2 = 0.2π1 + 0.6π2 + 0.3π3π3 = 0.3π1 + 0.3π2 + 0.6π3解以上方程组可得到平稳分布：π = (0.25, 0.3125, 0.4375)3. 试题：设随机过程X(t)是一个泊松过程，其到达率为λ=1，即单位时间内到达的事件平均次数为1。
(1) 请计算X(t)在t=2时的累计到达次数的概率P{N(2)≤3}。
(2) 计算X(t)的平均到达速率。
4. 答案：(1) 泊松过程具有独立增量和平稳增量的性质，且在单位时间内到达次数服从参数为λ的泊松分布。
所以，P{N(2)≤3} = P{N(2)=0} + P{N(2)=1} + P{N(2)=2} +P{N(2)=3}，其中P{N(2)=k}表示在时间间隔[0,2]内到达的次数为k的概率。
一、（10分）某工程部队的工程师向领导建议，他提出的一项新工艺在不降低工程质量和影响工程进度的同时，还将节省机器运转的开支。
假如采用旧工艺时机器每星期运转开支平均是1000元，又假定新旧工艺机器每星期运转开支X 都是服从正态分布，且具有标准差250元。
使用新工艺后观察了9个星期，其机器运转开支平均每星期是750元。
试在01.0=α的水平下，检验工程师所述是否符合实际，即新工艺是否能节省开支。
（3554.3)8(005.0=t ，8965.2)8(01.0=t ，57.2005.0=u ，33.201.0=u ） 二、（12分）设母体X服从正态分布),(2σμN ，X 是子样),,,(21n X X X Λ的平均数，∑=-=ni i nX X n S 12___2)1（是子样方差，又设),(~21σμN X n +，且与n X X X ,,,21Λ独立，求：（1）X E ，X D ，2n ES ，2n DS ；（2）统计量111+--+n n S XX nn 的分布。
三、（13分）一个罐中装有黑球和白球，其中黑球、白球的个数均未知，如何用统计的方法估计其中黑球与白球的比例。
（建立模型并给出两种估计方法） 四、（15分）以下为温度对某个化学过程的生产量的影响的数据：已知X 和Y 之间具有线性依赖关系。
（1）写出其线性回归模型，并估计参数βα,； （2）讨论回归系数的性质（分布）。
五、（10分）设有一随机过程)( t X ，它的样本函数为周期性的锯齿波。
下图（a ）、（b ）画出了二个样本函数图。
各样本函数具有同一形式的波形，其区别仅在于锯齿波的起点位置不同。
设在0=t 后的第一个零值点位于0τ，0τ是一个随机变量，它在) , 0 ( T 内均匀分布，即⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它值001)( 0T t Tt f τ若锯齿波的幅度为A ，求随机过程)( t X 的一维分布函数和分布密度。
六、（10分）() t X 通过一线性系统后产生输出() t Y ，有⎰-=tT t du u X Tt Y )(1)(（1） 求该系统的频率响应函数；（2） 若()t X 为一平稳过程，且其相关函数为,41)(2τλτ-=e R X （λ为常数），求输出过程的谱密度。
数理统计和随机过程考试试题一、填空(1，2小题每空3分,3，4，5每空4分，共21分) 1. 设1,,X X X 是来自总体(0,1)XN 的简单随机样本，统计量12()~()C X X t n +，则常数C = ,自由度n = .2. 设),,,(21n X X X 是来自正态总体),(2σμN 的简单随机样本。
记∑==n k k X n X11，*2211()1n k k S X X n ==--∑，则()(X S μ-服从 分布。
3. 已知平稳过程()X t 的功率谱密度为621()/()X k S k k ωω==+∑,则(0)X R = 。
4．设随机过程()X t ，t T ∈，若 ，则称()X t 为弱平稳过程。
5．设()X t 为标准的Wiener 过程，则其相关函数12(,)X R t t = 。
二、假设总体的分布密度为2222exp(),0(;)00x x x f x x θθθ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩其中0θ>是未知参数，试求参数θ的极大似然估计量.（14分） 三、设112,,,n X X X 是来自总体211~(,)X N μσ的一组样本，212,,,n Y Y Y 是来自总体222~(,)Y N μσ的一组样本，两组样本独立.其样本方差分别为*2*212,S S ，且设221212,,,μμσσ均为未知. 欲检验假设22012:H σσ=，22112:H σσ<，显著性水平α事先给定. 试构造适当检验统计量并给出拒绝域（临界点由分位点给出）.（10分）四、试求随机过程{()cos ,}X t A t t R ω=∈的一维分布函数、一维概率密度函数，自相关函数与协方差函数 ，其中A 服从标准正态分布(0,1).N （15分） 五、（1） 二阶矩过程()X t (01)t ≤<的自相关函数为21212(,)1X R t t t t σ=-，其中120,1t t ≤<，此过程是否均放连续、均方可导，为什么？若均方可导，试求12(,)X R t t '和12(,)XX R t t '（8分）；（2） 设()cos sin X t A t B t αα=+，α为常数，,A B 相互独立同分布于2(0,)N σ，判断()X t 是否均方可积。
随机过程习题及部分解答习题一1. 若随机过程()(),X t X t At t =-∞<<+∞为，式中A 为（0，1）上均匀分布的随机变量，求X (t )的一维概率密度(;)X P x t 。
2. 设随机过程()cos(),X t A t t R ωθ=+∈，其中振幅A 及角频率ω均为常数，相位θ是在[,]ππ-上服从均匀分布的随机变量，求X (t )的一维分布。
习题二1. 若随机过程X (t )为X (t )=At t -∞<<+∞，式中A 为（0,1）上均匀分布的随机变量，求12[()],(,)X E X t R t t2. 给定一随机过程X (t )和常数a ，试以X (t )的相关函数表示随机过程()()()Y t X t a X t =+-的自相关函数。
3. 已知随机过程X (t )的均值M X (t )和协方差函数12(,),()X C i t t ϕ是普通函数，试求随机过程()()()Y t X t t ϕ=+是普通函数，试求随机过程()()()Y t X t t ϕ=+的均值和协方差函数。
4. 设()cos sin X t A at B at =+，其中A ，B 是相互独立且服从同一高斯（正态）分布2(0,)N σ的随机变量，a 为常数，试求X (t )的值与相关函数。
习题三1. 试证3.1节均方收敛的性质。
2. 证明：若(),;(),X t t T Y t t T ∈∈均方可微，a ,b 为任意常数，则()()aX t bY t +也是均方可微，且有[()()]()()aX t bY t aX t bY t '''+=+3. 证明：若(),X t t T ∈均方可微，()f t 是普通的可微函数，则()()f t X t 均方可微且[()()]()()()()f t X t f t X t f t X t '''=+4. 证明：设()[,]X t a b 在上均方可微，且()[,]X t a b '在上均方连续，则有()()()b aX t dt X b X a '=-⎰5. 证明，设(),[,];(),[,]X t t T a b Y t t T a b ∈=∈=为两个随机过程，且在T 上均方可积，αβ和为常数，则有[()()]()()b b baaaX t Y t dt X t dt Y t dt αβαβ+=+⎰⎰⎰()()(),b c baacaX t dt X t dt X t dt a c b =+⎰⎰⎰≤≤6. 求随机微分方程()()()[0,](0)0X t aX t Y t t X '+=∈+∞⎧⎨=⎩的()X t 数学期望[()]E X t 。
7. 若相互独立的随机变量X 与Y 满足1)(=X D ，4)(=Y D ，则=-)2(Y X D8. 设1216,,,x x x 为正态总体2(, 0.4)N μ的一组样本观测值，样本均值4.36x =，则参数μ的置信水平为0.95的置信区间为 ．二、设随机变量X 的分布函数为()arctan F x A B x =+⋅ ， ()x -∞<<+∞，（1）求 , A B 的值； （2）求概率密度()f x ； （3）求概率()1P X <. （10分）五、已知随机变量(3,1)，且X与Y相互独，(2,1)X N-Y N立，设随机变量27Z X Y=-+，试求()D Z，并求出Z的概率密度E Z和()函数.（8分）生的成绩，算得平均成绩x 为66.5分，标准差s 为7分。
问在显著性水平05.0=α下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？ （8分）九、为研究儿子的身高y (单位：cm)与父亲的身高x (单位：cm)之间的关系，现调查10对父子，得到10对身高数据（略）. 经计算得169.68x =,171.13y =,1108.1xx S =,588.986xy S =,317.461yy S =。
求y 关于x 的经验回归直线方程。
（8分）四：解； 设Y 的分布函数为()Y F y ，()Y F y =()P Y y ≤=(28)P X y +≤=8()2y P X -≤=8()2X y F - （3分）于是Y 的概率密度函数()Y f y =()Y dF y dy=81().22X y f - （6分）注意到 04x <<时， 即816y <<.所以 ()Y f y =8,816320,y y -⎧<<⎪⎨⎪⎩其他 （8分）五：解 由已知有()3E X =-，()1D X =，()2E Y =，()1D Y =，依独立性可得()()2()732270,E Z E X E Y =-+=--⨯+= （2分），()()4()1415D Z D X D Y =+=+⨯=， （4分）再由,X Y 都是正态随机变量，且相互独立，则Z 也服从正态分布，因此Z 的概率密度为：210(), zf z ez -=∈ （8分）参考数据： 20.05(15)25χ=；()1.6450.95Φ= ；()1.50.9332Φ=；()2.50.9938Φ=； ()0.025352.03t = 六：解 设()2221σχS n -=，则()15~22χχ， （2分）因此()()22222151.6664 1.6664151524.996S S P P P χσσ⎛⎫⎛⎫≤=≤⨯=≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（6分） 查表得()20.051524.996χ=， 故有()()21524.9960.95P χ≤= （8分）。
2010级硕士生《随机过程》考试题解：状态转移概率如下图所示：,，（1）由图可知:状态空间S 可分为C1：{1 ，2，3｝，C2:｛4，5｝，C3:{6｝三个不可约闭集,三个集合中的状态同类，全是正常返；周期全为1。
（2） 21)1(11=f2723132312131313221)4(11=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=f（3）由于三个集合都是闭集，所以平稳分布分布在各个闭集中求解。
平稳分布的计算公式为：⎪⎩⎪⎨⎧≥==∑∑∈∈I j j j I i ij i j p 0,1ππππ对C1：{1 ,2，3｝⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+=+=1323132213121321323212311ππππππππππππ解得：838341321===πππ，，对C2：{4 ，5｝⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=12121212154545544ππππππππ解得:2154==ππ对C3：{6｝易得：16=π （4）C1：{1 ,2,3｝中， 各状态的平均返回时间分别是:4111==πμ38122==πμ38133==πμC2:｛4 ,5｝中，2144==πμ2155==πμC3：{6}中，1166==πμ1.5.设质点在区间[0，4]的整数点做随机游动，到达0点或者4点后以概率1停留在原处，在其他整数点分别以概率1/3向左、向右移动一格或者停留在原处，画出转移概率图并求质点随机游动的一步和二步转移概率矩阵.解:转移概率图如下：二步概率转移矩阵为10.3 。
设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2分钟内到达的顾客不超过3人的概率。
1. 设在[0,t ］内事件A 已经发生n 次,且0<s 〈t,对于0<k 〈n ，求})(|)({n t X k s X P ==.解：利用条件概率及泊松分布，得})({})(,)({})(|)({n t X P n t X k s X P n t X k s X P ======})({})()(,)({n t X P k n s X t X k s X P =-=-==!)()!()]([!)()(n t ek n s t e k s e nt k n s t k sλλλλλλ-------=kn kk n t s t s C -⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=12. 设电话总机在（0，t]内接到电话呼叫数)(t X 是具有强度（每分钟)为λ的泊松分布，求：（1）两分钟内接到3次呼叫的概率；（2）“第二分钟内收到第三次呼叫”的概率. 解： （1）λλλλ232334!3)2(}3)()2({--===-+ee t X t X P（2）∑=-≥-=-=20}3)1()2(,)0()1({k k X X k X X P P∑=-≥-=-=2}3)1()2({})0()1({k k X X P k X X P)1(2)1()21(22λλλλλλλλλλλλλλ----------+--+---=e e e ee e eee)]221()21[(22λλλλλλ++-++=--e e3 . 设顾客以每分钟2人的速率到达,顾客流为泊松流，求在2分钟内到达的顾客不超过3人的概率。
随机过程测试题一答案每题10分1. 在一汽车工厂中，一辆汽车有两道工序是由机器人完成的。
其一是紧固三只螺栓，其二是焊接两处焊点。
以X 表示由机器人紧固的螺栓不良的数目，以Y 表示由机器人焊接的焊点不良的数目。
据积累资料知),(Y X 具有分布律： Y X 0 1 2 3 0 0.840 0.030 0.020 0.010 1 0.060 0.010 0.008 0.002 20.0100.0050.0040.001(1)求EX ;(2)求]|[j Y X E =，2,1,0=j ;(3)验证 ∑====2}{]|[j j Y P j Y X E EX .解: (1) X 的分布律为 X 0 1 2 3 P0.9100.0450.0320.013148.0=EX .(2) Y 的分布律为 Y 0 1 2 P0.9000.0800.0200=Y 时，X 的条件分布律为X|0=Y 0 123P0.840/0.90.030/0.90.020/0.90.010/0.991]0|[==Y X E ;1=Y 时，X 的条件分布律为X|1=Y 0 123P0.060/0.080.010/0.080.008/0.080.002/0.084.0]1|[==Y X E ;2=Y 时，X 的条件分布律为X|2=Y0 1 2 3P 0.010/0.02 0.005/0.02 0.004/0.02 0.001/0.028.0]2|[==Y X E .(3) EX j Y P j Y X E j ==⨯+⨯+⨯===∑=148.002.08.008.04.09.091}{]|[2.2．设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=-.,00,),(其他，y x e y x f y(1)求EX;(2)对任意0>y ,求]|[y Y X E =;(3)验证⎰+∞==0)(]|[dy y f y Y X E EX Y .解: (1)当0>x 时, X 的概率密度为x xy xX e dy e dy y x f x f -+∞-+∞===⎰⎰),()(.1)(0===⎰⎰+∞-+∞dx xe dx x xf EX x X .(2) 对任意0>y , Y 的概率密度为y yy yY ye dx e dx y x f y f --===⎰⎰0),()(.⎪⎩⎪⎨⎧<<==.,0,0,1)(),()|(|其他y x y y f y x f y x f Y Y X21)|(]|[0|ydx y xdx y x f x y Y X E yY X ====⎰⎰+∞ (3)EX dy ye y dy y f y Y X E y Y ==Γ=⋅==⎰⎰+∞-+∞1)3(212)(]|[03．写出六种常见分布（退化、二项、泊松、均匀、指数、正态）的特征函数．分布 记号 概率密度或分布律)x (f特征函数)t (ψ退化 {c} 1}{==c X Pict e0-1 b(1,p) .1,0,}{1===-x q p x X P x x q pe it +二项b(n,p) 独立同分布于b(1,p)的n 个r.v.的和..,,1,0,}{1n x q p C x X P x x x n ===-n it q pe )(+泊松 )(P λ.,2,1,0,!}{ ===-x e x x X P xλλ)1(-it e eλ均匀U(a,b))(1)(),(x I ab x f b a -=t a b i e e iatibt )(--标准正态 N(0,1)2221)(x e x f -=π22t e-正态),(N 2σμ222)(21)(σμσπ--=x e x f2)(2t t i eσμ-指数 )(E λ)()(),0(x I e x f x +∞-=λλit-λλ4．关于独立随机变量序列}{n X ，下列哪些命题是正确的． (1)若 ,2,1,||=+∞<k X E k ，则∏∏===nk k nk k EX X E 11；(2) 若 ,2,1,2=+∞<k EX k ，则∑∑===nk k n k n VarX X Var 11)(；(3) 设)(t f k 为k X 的特征函数，)(t f n S 为∑==nk k n X S 1的特征函数，则∏==nk k S t f t f n 1)()(．(4) 设)(t k φ为k X 的矩母函数，)(t n S φ为∑==nk k n X S 1的矩母函数，则∑==nk k S t t n1)()(φφ．解：（4）错，应为 ∏==nk k S t t 1)()(φφ．5．设ηξ,是相互独立，且都为均值0，方差1的随机变量，令t t X ηξ+=)(，求随机过程}0),({≥t t X 的均值函数和相关函数. 解：;0)()()]([)(=+==ηξμtE E t X E t X;1)()()()]([)(222t D t D t D t X D t x +=+=+==ηξηξσ.1)()()()()()]()([),(22ts E E s t tsE E s X t X E s t R x +=+++==ηξηξ6．X (t )=Y cos(t )+Z sin(t ), t >0，Y , Z 相互独立，且 EY =EZ =0，DY =DZ =σ2. 讨论随机过程{X (t ), t >0}的平稳性.解： 0sin cos )]([)(=+==tEZ tEY t X E t X μ；)]()([),(s X t X E s t R X =).cos(sin sin cos cos )()cos sin sin (cos sin sin cos cos 22222s t EZ s t EY s t YZ E s t s t EZ s t EY s t -=⋅+⋅=++⋅+⋅=σ因)(t X μ为常数，),(s t R X 仅与s t -=τ有关，故)}({t X 是宽平稳过程.7．在电报信号)(t X 的传输过程中，信号由不同的电流符号A A -,给出，而电流的发送又有一个任意的持续时间，电流符号的转换是随机的. 设)(t X 在],0(t 时间内的变号次数)(t N 是参数为λ的泊松过程，且可以表示为)()1)(0()(t N X t X -=，又设)0(X 与}0),({≥t t N 独立，且5.0})0({})0({=-===A X P A X P ，求}0),({≥t t X 的均值函数.解：=)]([t X E 0.8．考虑电子管中的电子发射问题，设单位时间内到达阳极的电子数目N 服从参数为λ的泊松分布. 每个电子携带的能量构成一个随机变量序列 ,,21X X 已知}{k X 与N 独立，}{k X 之间互不相关并且具有相同的均值和方差2,σμ==k k DX EX . 单位时间内阳极接收到的能量为∑==Nk kXS 1. 求S 的均值.解：∑∑+∞=====1}{]|[n Nk kn N P n N XE ES∑∑+∞====01}{][n nk k n N P X E ∑+∞===01}{n n N P nEX∑+∞===01}{n n N nP EX λμ=⋅=1EX EN .9．随机过程}0),({≥t t W 称为参数为2σ的维纳过程, 如果 (1) 0)0(=W ；(2),0t s <≤∀))(,0(~)()(2s t N s W t W --σ；(3) ,0v u t s <<<≤∀ 增量)()(s W t W -与)()(u W v W -相互独立．(1)求}0),({≥t t W 的均值函数)]([t W E 和相关函数)]()([s W t W E . (2)}0),({≥t t W 是否为宽平稳过程？证明：(1),0≥∀t ),0(~)(2t N t W σ, 故0)]([)(==t W E t W μ；又,0t s <≤∀))(,0(~)()(2s t N s W t W --σ, 且增量)()(s W t W -与)(s W 相互独立，故)]()([)]())()([()]()([),(s W s W E s W s W t W E s W t W E s t R W +-==s s W D s W E s W t W E 2)]([)]([)]()([σ=+-=从而),min(),(2s t s t R W σ=.(2)由于),(s t R W 与出发时刻),min(s t 有关，因而}0),({≥t t W 不是宽平稳过程.10． 下面四个随机过程中哪些不是宽平稳过程(A) 随机相位正弦波过程：}0),cos()({≥Φ+=t t t X λ，其中),(~ππ-ΦU ，λ是常数. (B) 白噪声序列: },1,0,{ =n X n 是一列两两互不相关（即m n X EX m n ≠=,0）的随机变量序列，且满足2,0σ==n n DX EX . (C) 移动平均序列：},2,1,0,{11 ±±==∑=-+n a X ki in i n ε，其中},2,1,0,{ ±±=n n ε为白噪声序列，k a a a ,,,21 为任意实数.(D) 强度为λ的泊松过程}0),({≥t t N ，其中)(t N 表示到时刻t 为止事件A 发生的次数. 解: D .。
