随机过程复习题
一、填空题：
1．对于随机变量序列}{n X 和常数a ，若对于任意0>ε，有
______}|{|lim =<-∞
>-εa X P n n ，则称}{n X 依概率收敛于a 。
2．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t ， ，则
15
92}6)5(,4)3(,2)1({-⨯⨯=
===e X X X P ,
618}4)3(|6)5({-===e X X P
15
32
62
32
92!
23!2)23(!23}2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({}
2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({}
6)5(,4)3(,2)1({----⨯⨯=⨯⨯⨯==-=-=-==-=-=-====e e e e X X P X X P X X P X X X X X X P X X X P
66
218!
26}2)3()5({}4)3(|6)5({--===-===e e X X P X X P
3．已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ，初始分布为),,(4
1
2141，
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡=434
103
13131043
411)(P ，则167)2(12=P ，161}2,2,1{210====X X X P
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎣⎡=48
31481348
436133616367
164167165)1()2(2P P 16
7
)2(12=P
16
1
314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{}
2,2,1{12010102010210=⨯⨯=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P
4．强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ= 5．已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R ，
)]()([)(πϖδπϖδπω-++=X S
6. 对于平稳过程)(t X ，若)()()(ττX R t X t X >=+<，以概率1成立，则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。
7.已知平稳过程)(t X 的谱密度为2
3)(2
42
++=ωωωωS ，则)(t X 的均方值=
2
121- 222
2221
1221)2(22211122)(+⨯⨯-+⨯⨯=+-+=
ωωωωωS ττ
τ--
-=e e
R X 2
12
1)(2
)(t X 的均方值2
1
21)0()(2-=
=ψX X R τ 8. 随机相位过程),cos()(Θω+=t a t X 其中ω,a 为常数，Θ为)
,(π20上服从均匀分布的随机变量，则0
)(>=
ϖττcos 2
)()(2
a t X t X >=+<
9．设马尔可夫链},2,1,0,{Λ=n X n 的状态空间}1,0{=I ，则一步转
移概率矩阵为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=9.01.01.09.0P ，初始分布为)31,32(0(=p ，则2X 的分布律为
)300118
,300182(2(=P ，0354.0)0,1,1(432====X X X P
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡==82.018.018.082.0)2(2
P P
)300
118
,300182(82.018.018.082.0)31,32()2(0(2(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==P p p 0354.01.09.0300
118)1|0()1|1()1()1,1|0()1|1()1()
0,1,1(34232324232432=⨯⨯=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P
10.设...)2,1,0(=n X n 是只有两个状态的齐次马氏链，其n 步转移概率矩阵为
⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
-=n n n n
D C n P 21311)(，则n
n n
n D C 21131
-
=
=
13．设μ=)(X E ，2)(σ=X D ，则由切比雪夫不等式
____)|(|≥<-σμ3X P ；
14．随机变量序列Λ
Λn X X X ,,21独立同分布,且
2σμ==)(,)(i i X D X E >0
Λ2,1=i ,则对任意实数,x ________}{lim =≤-∑=∞
→x n n X P n
i i n σ
μ
1
二、计算与证明：
1．设任意相继两天中，雨天转晴天的概率为3
1
，晴天转雨天的概率
为2
1
，任一天晴或雨是互为逆事件，以0表示晴天状态，以1表示雨天状态，n X 表示第n 天的状态（0或1）。
（1） 写出马氏链},{1≥n X n 的一步转移概率矩阵；
（2） 在5月1日为晴天的条件下，5月3日为晴天；5月5日为雨
天的概率各是多少？； 解：}1,0{=I
，
(1)⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=313
1
212
1)1(P
