常微分方程考研讲义第六章非线性微分方程与稳定性

常微分方程的稳定性和周期性常微分方程是研究自然现象变化过程的一种数学方法。

它描述的是一个变量随时间的变化规律，广泛应用于微积分、物理学、生物学、天文学等领域。

而稳定性与周期性是常微分方程解的重要特征。

稳定性是指一个解在微小扰动后仍能保持其原有的状态。

以简单的单摆为例，它的运动可以由常微分方程描述出来。

摆的稳定性取决于它的初始位置和速度，如果初始位置偏离了平衡点太远，摆就会摆动得很大。

但是如果初始位置非常接近平衡点，摆就会缓慢地回到平衡点，并逐渐停止摆动。

这就是稳定性表现出来的效果。

对于常微分方程的解来说，稳定性的研究可以帮助我们预测解的长期行为，以及在实际问题中制定合适的控制策略。

周期性则是指一个解在固定时间间隔内周期性地变化。

周期性解是常微分方程非常重要的一个特殊类型，它在自然界中很常见，如天体运动、震荡等。

以简单的谐振运动为例，它的运动可以由常微分方程描述出来。

在特定的参数条件下，谐振运动会产生周期性解，这种解有着固定的振动频率和振幅。

对于周期性解的研究，可以帮助我们了解自然现象的规律，找到有效的调控途径和优化方案。

那么如何判断一个常微分方程的解是否稳定或者周期性呢？这里有一些常用的方法。

首先是线性稳定性分析。

线性稳定性分析是判断一个非线性系统稳定性的一种重要方法。

它利用一个非线性系统在某个平衡点的线性近似来分析系统的稳定性。

如果近似后的系统方程具有稳定性，则原方程也是稳定的。

通过计算特征方程的特征根，可以得到系统的稳定性。

其次是Lyapunov函数法。

Lyapunov函数是判断非线性系统稳定性的一种常见方法。

一个Lyapunov函数是一个实数函数，它可以度量系统状态与平衡点的距离。

如果Lyapunov函数是严格下降的，那么系统就是稳定的。

通过构造合适的Lyapunov函数来判断系统的稳定性，是非常实用的方法。

最后是Poincaré-Bendixson定理。

Poincaré-Bendixson定理是关于非线性系统稳定性和周期性的一个重要定理。

第六章 非线性微分方程教学目的：使学生重点掌握二维自治系统奇点的分类及其附近的轨线分布；理解稳定性概念及其判定定理，会应用稳定性概念、线性化系统的特征值、Liapunov 第二方法讨论自治系统的解的稳定性；了解周期解和极限环的概念．教学内容：1、存在唯一性定理、稳定性2、相平面相平面、奇点分类、按线性近似决定微分方程组的稳定性． 3、Liapunov 第二方法 Liapunov 第二方法． 4、极限圈 周期解、极限环．教学重难点：奇点的分类与相应零解的稳定性 教学过程：§6.1 稳定性6.1.1 常微分方程组的存在唯一性定理本章讨论非线性常微分方程组n R Y Y t G dtdY∈=),;( （6.1）的解的性态.设给定方程组（6.1）的初值条件为00)(Y t Y =， （6.2） 考虑包含点),,,;(),(02010000n y y y t Y t Λ=的某区域 b Y Y a t t R ≤-≤-00,:. 在这里Y 的范数Y 定义为∑==ni iyY 12. 所谓),(Y t G 在域G 上关于Y 满足局部利普希茨条件是指：对于G 内任一点),(00Y t ，存在闭邻域G R ⊂，而),(Y t G 于R 上关于Y 满足利普希茨条件，即存在常数0>L ，使得不等式Y Y L Y t G Y t G -≤-~);()~;( （6.3） 对所有R Y t Y t ∈),(),~,(成立. L 称为利普希茨常数.存在唯一性定理 如果向量函数),(Y t G 在域R 上连续，且关于Y 满足利普希茨条件，则方程组（6.1）存在唯一解),;(00Y t t Y ϕ=，它在区间h t t ≤-0上连续，而且0000),;(Y Y t t =ϕ 这里);(max ),,min(),(Y t G M Mba h G Y t ∈==.解的延拓与连续定理 如果向量函数),(Y t G 在域G 内连续，且关于Y 满足局部利普希茨条件，则方程组（6.1）的满足初值条件（6.2）的解),;(00Y t t Y ϕ=)),((00G Y t ∈可以延拓，或者延拓到∞+（或∞-）；或者使点)),;(,(00Y t t t ϕ任意接近区域G 的边界. 而解),;(00Y t t ϕ作为00,;Y t t 的函数在它的存在范围内是连续的.可微性定理 如果向量函数),(Y t G 及),,2,1,(n j i y G jiΛ∂∂在域G 内连续，那么方程组（6.1）由初值条件（6.2）确定的解),;(00Y t t Y ϕ=作为00,;Y t t 的函数，在它的存在范围内是连续可微的.6.1.2 李雅普诺夫稳定性考虑一阶非线性方程2By Ay dtdy-= （6.4）其中B A ,为常数且0>⋅B A ，初值条件为0)0(y y =.为研究方程组（6.1）的特解)(t Y ϕ=邻近的解的性态，通常先利用变换)(t Y X ϕ-= （6.6） 把方程组（6.1）化为);(X t F dtdX=， （6.7）其中))(;())(;()();();(t t G t X t G dtt d Y t G X t F ϕϕϕ-+=-=. 此时显然有 0)0;(=t F （6.8） 而把方程组（6.1）的特解)(t Y ϕ=变为方程组（6.7）的零解0=X . 于是，问题就化为讨论方程组（6.7）的零解0=X 邻近的解的性态.驻定微分方程常用的特解是常数解，即方程右端函数等于零时的解，如方程（6.4）的特解)(),(21t y t y . 微分方程的常数解，又称为驻定解或平衡解.考虑微分方程组（6.7），假设其右端函数),(X t F 满足条件（6.8）且在包含原点的域G 内有连续的偏导数，从而满足解的存在唯一性、延拓、连续性和可微性定理的条件.定义1 如果对任意给定的0>ε，存在)(00有关和一般与t εδδ>，使当任一0X 满足δ≤0X 时，方程组（6.7）的由初值条件00)(X t X =确定的解)(t X ，对一切0t t ≥均有ε<)(t X .则称方程组（6.7）的零解0=X 为稳定的.如果（6.7）的零解0=X 稳定，且存在这样的00>δ使当00δ≤X 时，满足初值条件00)(X t X =的解)(t X 均有0)(lim =+∞→t X t ，则称方程组（6.7）的零解0=X 为渐近稳定的.如果零解0=X 渐近稳定，且存在域0D ，当且仅当00D X ∈时满足初值条件00)(X t X =的解)(t X 均有0)(lim =+∞→t X t ，则域0D 称为（渐近）稳定或吸引域. 若稳定域为全空间，即+∞=0δ，则称零解0=X 为全局渐近稳定的或简称全局稳定的.当零解0=X 不是稳定时，称它是不稳定的. 即是说：如果对某个给定的0>ε不管0>δ怎样小，总有一个0X 满足δ≤0X ，使由初值条件00)(X t X =所确定的解)(t X ，至少存在某个01t t >使得ε=)(1t X ，则称方程组（6.7）的零解0=X 为不稳定的.二维情形零解的稳定性态，在平面上的示意图如图（6.2）（见254页）6.1.3 按线性近似决定稳定性 考虑一阶常系数线性微分方程组AX dtdX= （6.10） 由第五章5.3的（5.52）式可知，它的任一解均可由n i e t cii lm t m im≤≤∑=1,0λ （6.11）的线性组合，这里i λ为方程组（6.10）的系数矩阵A 的特征方程0)det(=-E A λ （6.12） 的根，i l 为零或正整数，由根i λ的重数决定.根据（6.11），与第五章相对应的可得如下结论.定理1 若特征方程（6.12）的根均具有负实部，则方程组（6.10）的零解是渐近稳定的；若特征方程（6.12）具有正实部的根，则方程组（6.10）的零解是不稳定的；若特征方程（6.12）没有正实部的根，但有零根或具有零实部的根，则方程组（6.10）的零解可能是稳定的也可能是不稳定的，这要看零根或具有零实部的根其重数是否等于1而定.考虑非线性方程组)(X R AX dtdX+=， （6.13）其中0)0(=R ，且满足条件0)(→XX R （当0→X 时）. （6.14）显然0=X 是方程组（6.13）的解. 亦是方程组的奇点.问题 在什么条件下，（6.13）的零解稳定性能由线性微分方程组（6.10）的零解的稳定性来决定. 这便是所谓按线性近似决定稳定性的问题.定理2 若特征方程（6.12）没有零根或零实部的根，则非线性微分方程组（6.13）的零解的稳定性态与其线性近似的方程组（6.10）的零解的稳定性态一致. 这就是说，当特征方程（6.12）的根均具有负实部时，方程组（6.13）的零解是渐近稳定的，而当特征方程（6.12）具有正实部的根时，其零解是不稳定的.（6.2中再补充证明）该定理说明非线性微分方程组（6.13）的零解是否为渐近稳定的取决于其相应的特征方程（6.12）的全部的根是否具有负实部.临界情形至于特征方程（6.12）除有负实部的根外还有零根或具零实部的根的情形，非线性微分方程组（6.13）的零解的稳定性态并不能由线性近似方程组（6.10）来决定. 因为可以找到这样的例子，适当变动)(t R （条件（6.14）仍满足），便可使非线性微分方程组（6.13）的零解是稳定的或是不稳定的.例1 考虑有阻力的数学摆的振动，其微分方程为0sin 22=++ϕϕμϕl gdt d m dtd ， （6.15） 这里长度l ，质量m 和重力加速度g 均大于0，并设阻力系数0>μ. 令dtd y x ϕϕ==,，将方程（6.15）化为一阶微分方程组x lg y m dt dy y dt dx sin ,--==μ （6.16） 原点是方程组的零解.赫尔维茨（Hurwitz ）判别代数方程的根的实部是否均为负的法则. 定理3 设给定常系数的n 次代数方程0122110=+++++---n n n n n a a a a a λλλλΛ， （6.18）其中00>a ，作行列式,,0,,345123013231211Λa a a a a a a a a a a a a =∆=∆=∆ ,000142322212012301-----∆==∆n n nn n n n n a a a a a a a a a a a a ΛM MM M M ΛΛ 其中0=i a （对一切n i >）.那么，方程（6.18）的一切根均有负实部的充分必要条件是下列不等式同时成立： 0,0,,0,0,01321>>∆>∆>∆>-n n a a Λ. 证明见高等代数的课本，略.例2 考虑一阶非线性微分方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+--+=++-=+-+-=),(,,222232z y e z y x dtdz z y x y x dtdy e x z y x dt dx x x 例3 对三次方程0)1(2)()1(23=-++++++c ab c a b b a λλλ，其中0,0,0>>>c b a ，考虑其根均具有负实部时参数c 的变化范围.习题6.1 第260页1（1），（3）；3（1），（3）；4（1），（3）；5§6.2 V 函数方法6.2.1 李雅普诺夫定理对于数学摆的振动，当摆有阻力时可由其线性近似方程组决定它的稳定性. 但当摆无阻力时，方程组（6.16）变成x lg dt dy y dt dx sin ,-== （6.19） 属于临界情形，不能按线性近似决定其稳定性. 为判断其零解的稳定性态. 直接对方程组（6.19）进行处理. 李雅普诺夫第二方法的思想：构造一个特殊的函数),(y x V ，并利用函数),(y x V 及其通过方程组的全导数dty x dV ),(的性质来确定方程组解的稳定性. 具有此特殊性质的函数),(y x V 称为李雅普诺夫函数，简称V 函数.如何应用V 函数来确定非线性微分方程组的解稳定性态问题. 只考虑非线性驻定微分方程组)(X F dtdX= （6.20）定义2 假设)(X V 为在域H X ≤内定义的一个实连续函数，0)0(=V . 如果在此域内恒有0)(≥X V ，则称函数V 为常正的；如果对一切0≠X 都有0)(>X V ，则称函数V 为定正的；如果函数V -是定正的（或常正的），则称函数V 为定负（或常负）的.进而假设函数)(X V 关于所有变元的偏导数存在且连续，以方程（6.20）的解代入，然后对求t 导数i ni ii n i i f x Vdt dx x V dt dV ∑∑==∂∂=∂∂=11， 这样求得的导数dtdV称为函数V 通过方程（6.20）的全导数. 例1函数 2)(),(y x y x V +=是常正的；而函数42)(),(y y x y x V ++=是定正的；定理4 如果对微分方程组（6.20）可以找到一个定正函数)(X V ，其通过（6.20）的全导数dtdV为常负函数或恒等于零，则方程组（6.20）的零解是稳定的. 如果有定正函数)(X V ，其通过（6.20）的全导数dtdV为定负的，则方程组（6.20）的零解是渐近稳定的.如果存在函数)(X V 和某非负常数μ，而通过（6.20）的全导数dtdV可以表示为)(X W V dtdV+=μ， 且当0=μ时，W 为定正函数，而当0≠μ时W 为常正函数或恒等于零；又在0=X 的任意小邻域内都至少存在某个X ，使0)(>X V ，那么，方程组（6.20）的零解是不稳定的. 证明详见第265页.几何解释 由未知函数组成的空间称为相空间，二维相空间又称为相平面，微分方程的解在相空间中的轨迹称为轨线，轨线亦可定义为积分曲线在相空间中的投影.以平面微分方程组为例，从相平面上轨线与V 函数的关系来说明稳定性定理的几何意义.例2 考虑平面微分方程组33,ay x dtdyax y dtdx+=+-=， （6.26）定理4是李雅普诺夫稳定性的基本定理，对含有时间t 的非驻定的微分方程组及含有时间t 的V 函数),(X t V 也有相应的定理，其证明也一样.定理5 如果存在定正函数)(X V ，其通过方程组（6.20）的全导数dtdV为常负，但使 0)(=dtt dV 的点X 的集中除零解0=X 之外并不包含方程组（6.20）的整条正半轨线，则方程组（6.20）的零解是渐近稳定的. 定理5的证明与定理4的类似.例3 数学摆的稳定性问题 6.2.2 二次型V 函数的构造应用李雅普诺夫第二方法判断微分方程组零解的稳定性的关键是找到合适的V 函数. 如何构造满足特定性质的V 函数是一个有趣而复杂的问题. 这里考虑常系数线性微分方程组构造二次型V 函数的问题，并利用它来补充证明按线性近似决定稳定性的定理2定理6 如果一阶线性方程组AX dtdX= （6.10）的特征根i λ均不满足关系),,2,1,(0n j i j i Λ==+λλ，则对任何负定（或正定）的对称矩阵C ，均有唯一的二次型 )()(B B BXX X V T T== （6.27）使其通过方程组（6.10）的全导数有)(C C CX X dtdVT T ==. （6.28）且对称矩阵B 满足关系式C BA B A T=+， （6.29） 这里TA ，TB ，TC TX 分别表示X C B A ,,,的转置.如果方程组（6.10）的特征根均具有负实部，则二次型（6.27）是定正（或定负）的；如果方程组（6.10）有均正实部的特征根，则二次型（6.27）不是常正（或常负）的.例4 考虑二阶线性微分方程02322=++x dt dxdtx d ， 经过变换y dtdx= 习题6.2 1（1），（3），（5）；2（1），（3）；3（1），（3），（5）；4；5§6.3 奇点考虑二维（平面）一阶驻定微分方程组⎪⎩⎪⎨⎧==),,(),,(y x Y dtdy y x X dt dx（6.33）同时满足0),(,0),(==y x Y y x X 的点),(**y x 是微分方程组（6.33）的奇点，*=x x ，*=y y 是方程的解. 可从通过坐标平移将奇点移到原点)0,0(，此时0)0,0()0,0(==Y X .考虑驻定微分方程组是线性的情形下其轨线在相平面上的性态，并根据奇点邻域内轨线分布的不同性态来区分奇点的不同类型. 这时方程的形式为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=.,dy cx dtdyby ax dt dx（6.36）显然，坐标原点0,0==y x 是奇点. 如果方程组的系数满足条件0≠dc b a （6.37）则此奇点还是唯一的. 以下假定条件（6.37）成立.按特征根为相异实根、重根或共轭复根，分五种情形进行讨论. 情形1 同号相异实根 这时方程的标准形式为ηληξλξ21,==dtd dt d ，（6.40） 其解为t tBe t Aet 21)(,)(λληξ==， （6.41）其中21,λλ为实特征根，而B A ,是任意实数.21,λλ同为负实数时，方程的零解是渐近稳定的，称对应的奇点为稳定结点. 21,λλ同为正实数时，方程的零解为不稳定的，而对应的奇点称为不稳定结点.情形2 异号实根, 奇点称为鞍点.鞍点是不稳定的. 情形3 重根 这时可分两种情况讨论：（1）0≠b 或0≠c . 如前面所指出的，这时方程可化为如下标准形式ληηηλξξ=+=dtd dt d ,， （6.42） 其解为t tAe t eB At t λληξ=+=)(,)()(， （6.43）其中λ为实特征根，而B A ,是任意实常数.当0<λ时，奇点称为稳定退化结点. 假如0>λ，奇点是不稳定退化结点.（2）0==c b ，这时方程组（6.36）取形式 d a y dtdy x dt dx ====λλλ,,， 其解为t tBe t y Ae t x λλ==)(,)(，于是 x ABy =. 奇点称为奇结点，且0<λ时为稳定的，而0>λ时为不稳定的.情形4 非零实部复根 这时方程的标准形式为αηβξηβηαξξ+-=+=dtd dt d ,，（6.44） 这里βα,分别为特征根的实部和虚部. 方程（6.44）的解的极坐标形式B t Ae r t +-==βθα,， （6.45） 其中0>A 和B 为任意常数.奇点为焦点，且0<α时为稳定的，而0>α时为不稳定的. 情形5 纯虚根奇点称为中心. 零解为稳定，但非渐近稳定的. 定理7 如果平面线性驻定方程组（6.36）的系数满足条件（6.37），则方程的零解（奇点）将依特征方程（6.39）的根的性质而分别具有如下的不同特性：（1）如果特征方程的根21λλ≠为实根，而021>λλ时奇点为结点，且当01<λ时结点是稳定的，而对应的零解为渐近稳定的，但当01>λ时奇点和对应的零解均为不稳定的；当021<λλ时奇点为鞍点，零解为不稳定的.（2）如果特征方程具有重根λ，则奇点通常为退化结点，但在0==c b 的情形奇点为奇结点. 又当0<λ时，这两类结点均为稳定的，而零解为渐近稳定的，但当0>λ时奇点和对应的零解均为不稳定的.（3）如果特征方程的根为共轭复根，即21λλ=，则当0Re 1≠λ时奇点为焦点，且当0Re 1<λ时焦点为稳定的，对应的零解为渐近稳定的，而当0Re 1>λ时奇点和对应的零解均为不稳定的；当0Re 1=λ时奇点为中心，零解为稳定但非渐近稳定的.程（6.36）的奇点)0,0(O ，当0det ≠A 时，根据A 的特征根的不同情况可有如下的类型：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧中心—实部为零焦点—实部不为零复根退化结点临界结点重（非零）实根鞍点—异号结点—同号相异（非零）实根实根 A 的系数与奇点分类的关系1）042>-q p○1 0>q奇点为结点二根同负二根同正--⎭⎬⎫><00p p○2 奇点为鞍点二根异号--<0q 2）042=-q p结点奇点为临界结点或退化负的重根正的重根--⎭⎬⎫><00p p 3）042<-q p0≠p 复数根的实部不为零，奇点为焦点 0=p 复数根的实部为零，奇点为中心.综合上面的结论，由曲线q p 42=，q 轴及p 轴把q p 0平面分成几个区域，不同的区域，对应着不同类型的奇点（见288页（图6.10））.例1 考虑二阶线性微分方程02322=++x dt dxdtx d ， 通过变换y dt dx=可将它化为下列方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧--==,32,y x dtdyy dt dx习题6.3 1；2；3.§6.4 极限环和平面图貌6.4.1 极限环对于二阶常系数微分方程组，除了在中心型奇点邻域内轨线是一族围绕原点的闭曲线（对应于方程组的周期解）外；其余的情形均是一端趋于奇点（+∞→t 或-∞→t ），另一端趋于无穷远（-∞→t 或+∞→t ）或两端都趋于无穷远的轨线，不存在其他的复杂情形. 对于非线性微分方程组，在6.1中利用线性近似方程组讨论了奇点邻域的轨线性态，至于全相平面的轨线图貌，情况就复杂多了.例1 对平面二阶非线性驻定方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-+-=+-+=)(),(2222y x y y x dtdy y x x y x dt dx （6.47） 如取极坐标θcos r x =，θsin r y =，则方程组（6.47）可化为)1(2r r dt dr -=，1-=dtd θ， 孤立的周期解（闭轨线），在相平面上称为极限环. 当极限环附近的轨线均正向（即+∞→t 时）趋近于它时，称此极限环为稳定的. 如果轨线是负方向（即-∞→t 时）趋近于它时，称此极限环为不稳定的. 当此极限环的一侧轨线正向趋近于它时，称此极限环为半稳定的.不先求出特解（如上例的1=r ），而仅仅由构造出的环域D 便可以证明在此环域内必存在极限环. 这种构造特殊环域来寻求极限环的方法称为本迪克松（Bendixson ）方法. 定理8 如果G 内存在有界的环形闭域D ，在其内不含有方程组（6.33）的奇点，而（6.33）的经过域D 上点的解)(),(t y y t x x ==，当0t t ≥（或0t t ≤）时不离开该域，则或者其本身是一个周期解（闭轨线），或者它按正向（或负向）趋近于D 内的某一周期解（闭轨线）.通过构造有特殊性质的域D 可以确定周期解（极限环）的存在性，能否通过构造具有别的性质的域*D 来否定周期解（极限环）的存在呢？定理9 如果于G 内存在单连通域*D ，在其内函数yY x X ∂∂+∂∂不变号且在*D 内的任何子域上不恒等于零，则方程组（6.33）在域*D 内不存在任何周期解，更不存在任何极限环.例2 考虑6.1例1的数学摆，范德波尔微分方程 0)1(222=+-+x dt dx x dtx d μ， （6.49） 考虑所谓的李纳（Lienard ）微分方程0)()(22=++x g dt dx x f dt x d ， （6.50）如果记⎰=x dx x f x F 0)()(，并设)(x F dt dx y +=，则方程（6.50）可化为平面微分方程组 )(),(x g dtdy x F y dt dx -=-=. （6.51） 对于方程（6.50）或方程组（6.51），有下面的定理.定理10 假设（1）)(x f 及)(x g 对一切x 连续，)(x g 满足局部利普希茨条件；（2）)(x f 为偶函数，)(,0)0(x g f <为奇函数，当0≠x 时0)(>x xg ；（3）当±∞→x 时，)(;)(x F x F ±∞→有唯一正零点a x =，且对)(,x F a x ≥是单调增加的.那么，方程（6.50）有唯一周期解，即方程组（6.51）有一个稳定的极限环6.4.2 平面图貌奇点和极限环是相平面上两种特殊的轨线，希望在相平面上画出一般的轨线的图貌，以了解微分方程的解的性态.定理11 两种群竞争一般模型（6.53）的每一条轨线，当∞→t 时都趋于有限个平衡点之一.定理12 平面驻定微分方程（6.33）在平面有界区域上结构稳定的充要条件是（1） 只有有限个奇点，且均为双曲的；（2） 只有有限个闭轨，且均为单重极限环；（3） 没有鞍点之间的分界线.习题6.4 第307页 1（1），（3）；2（1），（3）.。

常微分方程的稳定性分析稳定性分析是常微分方程理论中的一个重要内容，它研究的是在一定条件下，常微分方程解的性质及其随时间变化的行为。

稳定性分析不仅在数学中具有深远意义，而且在物理、工程等应用领域也具有重要的价值。

1. 引言常微分方程是研究函数和它的导数之间关系的数学方程。

它在各个学科中都有广泛的应用，如物理学中的运动学、生物学中的生态系统模型、经济学中的经济增长模型等。

稳定性分析是对常微分方程解的行为进行评估和预测的方法，具有重要的理论和应用意义。

2. 稳定性的定义在稳定性分析中，我们关注的是方程解在微小扰动下的行为。

一个常微分方程解是稳定的，如果它对于任意微小的初始扰动都能保持接近原解。

换句话说，一个稳定的解在扰动下不会发生剧烈的变化。

相反，如果方程解对于微小扰动非常敏感，那么这个解就是不稳定的。

3. 稳定性的分类根据方程解的性质，我们可以将稳定性进一步分为以下几种：3.1 渐近稳定性如果一个方程解在长时间的演化过程中会趋向于某个特定的值，我们就称这个解是渐近稳定的。

换句话说，当时间趋向于无穷大时，解会趋于一个固定的稳定点或者稳定状态。

3.2 李亚普诺夫稳定性李亚普诺夫稳定性是一种更加严格的稳定性概念。

一个解是李亚普诺夫稳定的，当且仅当对于任意微小的初始扰动，解都能保持在一条逐渐靠近稳定状态的曲线上。

3.3 指数稳定性指数稳定性是对解的衰减速度的描述。

一个解是指数稳定的，如果其衰减速度超过了任何指数函数。

4. 稳定性分析的方法稳定性分析的方法有很多，其中一些常用的方法包括线性稳定性分析、李亚普诺夫函数的构造以及隐函数定理的应用等。

4.1 线性稳定性分析线性稳定性分析是一种简单而常用的方法。

它基于线性化的概念，即将非线性方程在稳定点附近进行线性逼近。

通过线性化方程，我们可以得到关于稳定性的有用信息。

4.2 李亚普诺夫函数的构造李亚普诺夫函数是一种在稳定性分析中常用的工具。

通过构造适当的李亚普诺夫函数，我们可以判断解的稳定性，并对解的演化过程进行描述。

常微分方程的稳定性常微分方程是研究函数和它的导数之间关系的数学工具。

在科学和工程领域中，我们经常遇到描述自然现象或系统动态演化的问题，而常微分方程正是用来描述这些变化过程的数学语言。

对于一个常微分方程而言，了解和判断它的稳定性是十分重要的，因为它反映了系统的长期行为和演化方向。

一、稳定性的概念稳定性是指系统在经历一定的扰动后，能回归到原来的状态或者逐渐趋向于某一稳定的状态。

在常微分方程的研究中，我们主要关注的是方程解的稳定性。

解的稳定性可以分为以下几种情况：1. 稳定解：如果在解的某个附近，初始条件的微小扰动不会引起解的显著变化，那么我们称这个解是稳定的。

2. 汇合解：如果初始条件的微小扰动会使解趋向于某个特定的解，那么我们称这个解是汇合解，或者吸引解。

3. 不稳定解：如果初始条件的微小扰动会导致解远离原来的状态，那么我们称这个解是不稳定的。

二、线性方程的稳定性对于一阶线性常微分方程$$\frac{dy}{dx} = f(x)y$$线性方程的稳定性可以通过解的特征值来判断。

1. 实特征值：如果特征值的实部为负，则解是稳定的。

如果特征值的实部为正，则解是不稳定的。

2. 复特征值：如果特征值的实部小于零，解是稳定的；如果特征值的实部大于零，解是不稳定的。

而特征值的虚部则决定了解的振荡程度，如果虚部存在，则解是振荡的。

三、非线性方程的稳定性非线性方程的稳定性分析相对复杂，没有统一的判据。

在研究中，我们主要使用的方法有：1. 线性化法：将非线性方程近似为线性方程，然后用线性方程的稳定性条件进行分析。

2. Lyapunov函数法：通过构造Lyapunov函数来判断解的稳定性。

如果能找到一个满足特定条件的Lyapunov函数，那么解是稳定的。

3. 相图法：通过画出相图来观察解的稳定性。

相图可以展示出解的演化轨迹及其吸引子，从而判断其稳定性。

四、稳定性的应用常微分方程的稳定性理论在科学和工程中有广泛的应用。

1. 科学研究：稳定性理论可以用于描述自然现象和生物系统的变化过程，比如描述人口增长、化学反应动力学等问题。

第六章 非线性微分方程和稳定性6-1 对下列方程求出常数特解，并且画出方程经过()0,0x 的积分曲线的走向，从而判断各驻定解的稳定性；然后作变量替换，使非零驻定解对应于新的方程的零解。

1）+∞<<-∞>>+=02,0,0,x B A Bx Ax dtdx 2）()()0,310≥--=x x x x dtdx 解 1）方程可化为 )(x BA Bx dt dx +=，则其常数特解为B A x x -==21,0，即为驻定解。

由于方程为分离变量方程（或迫努利方程），当BA x x -≠≠,0时，分离变量得 Adt dxB A x x =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-11 方程的通解为At Ce BxA x =+ 利用初始条件()⎪⎭⎫ ⎝⎛-≠≠=B A x x x x 000,00，得 00Bx A x C +=，故得原方程满足初始条件的解为()0)(0≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=-t e B x A B At x At（1） 由式（1）和方程右端的表达式，得出当00>x 时，0>dt dx ，)(t x 递增， 又 B e B x A B B x A At →⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+->+-00,时，+∞→)(t x ， 即)1ln(10+=→B x A A t t 时，+∞→)(t x 。

当 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-><+>-<>+<000,0000000 dt dx ,B A x , B x A dt dx ,B A x B x A x 时，有 ()+∞→-→t BA t x )( 所以解（1）的图像如图6-5所示。

图6-5从解的图像可以看出：解01=x 不稳定；解B A x -=2稳定。

利用变换BA x y +=，可将原方程化为 22)()(By Ay BA yB B A y A dt dy +-=-+-= 所以原方程的驻定解BA x -=2对应于方程 2By Ay dtdy +-= 的零解0=y 。

常微分方程的解的稳定性常微分方程的解的稳定性在数学领域中具有重要意义。

稳定性是指当微分方程的初始条件发生微小变化时，解是否保持接近原来的解。

在本文中，将介绍常微分方程解稳定性的概念和几种常见的稳定性分类方法。

一. 稳定性的定义常微分方程的解稳定性描述了解在微小扰动下是否趋向于原来的解。

稳定性的分析对于理解和预测系统的行为至关重要。

二. 稳定性的分类1. 渐近稳定性渐近稳定性是指当时间趋向于无穷大时，解会趋向于稳定的平衡点或解。

2. 指数稳定性指数稳定性是指解与稳定的平衡点或解之间存在一个指数下降的关系。

3. 有界稳定性有界稳定性是指解在有界时间内保持在有界的范围内。

三. Lyapunov稳定性定理Lyapunov稳定性定理是判断微分方程解稳定性的一种重要方法。

Lyapunov稳定性定理利用Lyapunov函数来判定系统的稳定性。

四. 线性稳定性分析线性稳定性分析适用于线性微分方程。

线性稳定性分析通过判断特征根的位置来确定解的稳定性。

五. 非线性稳定性分析非线性稳定性分析适用于非线性微分方程。

非线性稳定性分析通常用Lyapunov函数和LaSalle不变集定理等方法来判断解的稳定性。

六. 实例分析以一个一阶非线性常微分方程为例：dy/dt = y^2 - y - 2通过求解方程的平衡点，我们得到y = -1和y = 2。

然后，对于每个平衡点，可以进行稳定性分析。

通过计算特征根或使用Lyapunov函数等方法，我们可以确定每个平衡点的稳定性。

当y = -1时，特征根为-1和2，因此平衡点y = -1是不稳定的。

当y = 2时，特征根为-1和2，因此平衡点y = 2是稳定的。

七. 结论本文介绍了常微分方程解的稳定性及其分类方法。

稳定性的分析在数学和物理领域中具有广泛的应用。

通过对微分方程解稳定性的研究，可以更好地理解和预测系统的行为。

在实际问题中，稳定性分析也有着重要的应用，例如在控制系统和生物学中的应用等。

常微分方程的稳定性常微分方程是非常常见的一类数学模型，它描述了很多物理现象和自然现象。

稳定性是判断微分方程解的性质的重要指标，也是数学中一个很古老、很有趣的研究领域。

一、稳定性的定义稳定性指的是微分方程解在不同条件下的性质是否相同，即判断解是否会随着某些参数或初始条件的变化而发生剧烈的变化。

在实际问题中，我们经常需要研究微分方程的解的稳定性，比如我们可以用微分方程来描述一个力学系统的运动，而稳定性则决定了系统在不同初始状态下的行为。

二、稳定性的分类根据微分方程的解的变化趋势，可以将稳定性分为三类：渐近稳定、无穷稳定和不稳定。

1. 渐近稳定指的是微分方程的解在趋近某一个状态时，会以指数的方式趋近于该状态，并最终趋近于该状态。

比如，我们可以考虑一个人在飞机上跳伞的问题，假设这个人的质量为m，重力加速度为g，空气阻力可以用速度的平方来描述，那么可以写出如下的微分方程：m * dv/dt = mg - kv^2其中k是一个常数，其代表了空气阻力的大小。

我们可以通过数值计算或者理论推导等方法来确定在不同的初始条件下，人跳伞后的运动情况。

这个问题的稳定性就取决于k的大小，如果k比较小，那么方程的解会趋近于一个常数，即人的下落速度稳定下来；如果k比较大，那么人的下落速度会一直变化，最终也不会趋近于一个常数。

所以对于这个问题而言，当k比较小时，该微分方程解的稳定性是渐近稳定。

2. 无穷稳定指的是微分方程的解在经过无限次的变化后，最终会趋近于一个稳定的状态。

值得一提的是，这个稳定状态可能是一个恒定值，也可能是一个运动轨迹。

例如，我们考虑一个简单的谐振子模型，其运动方程可以写成：d^2x/dt^2 + kx = 0其中k是一个常数。

我们可以通过解微分方程来得到x的具体形式，显然，当k>0时，由于势能的作用，谐振子总是会回到平衡位置，这个微分方程解的稳定性是无穷稳定。

3. 不稳定指的是微分方程的解在任何条件下都不会稳定下来，一旦发生了微小的变化，就会出现剧烈的变化。

§6.4 李雅普诺夫第二方法上一节我们介绍了稳定性概念,但是据此来判明系统解的稳定性,其应用范围是极其有限的.李雅普诺夫创立了处理稳定性问题的两种方法:第一方法要利用微分方程的级数解,在他之后没有得到大的发展;第二方法是在不求方程解的情况下,借助一个所谓的李雅普诺夫函数)(x V 和通过微分方程所计算出来的导数dtx dV )(的符号性质,就能直接推断出解的稳定性,因此又称为直接法.本节主要介绍李雅普诺夫第二方法.为了便于理解,我们只考虑自治系统 )(x F dtdx=n R x ∈ (6.11)假设T n x F x F x F ))(,),(()(1 =在{}K x R x G n ≤∈=上连续,满足局部利普希茨条件,且O O F =)(.为介绍李雅普诺夫基本定理,先引入李雅普诺夫函数概念. 定义6.3 若函数R G x V →:)(满足0)(=O V ,)(x V 和ix V∂∂),,2,1(n i =都连续,且若存在K H ≤<0,使在{}H x x D ≤=上)0(0)(≤≥x V ,则称)(x V 是常正(负)的;若在D 上除O x ≠外总有)0(0)(<>x V ,则称)(x V 是正(负)定的;既不是常正又不是常负的函数称为变号函数.通常我们称函数)(x V 为李雅普诺夫函数.易知: 函数2221x x V +=在),(21x x 平面上为正定的; 函数 )(2221x x V +-=在),(21x x 平面上为负定的; 函数2221x x V -=在),(21x x 平面上为变号函数;函数 21x V =在),(21x x 平面上为常正函数. 李雅普诺夫函数有明显的几何意义. 首先看正定函数),(21x x V V =.在三维空间),,(21V x x 中, ),(21x x V V =是一个位于坐标面21Ox x 即0=V 上方的曲面.它与坐标面21Ox x 只在一个点,即原点)0,0,0(O 接触(图6-1(a)).如果用水平面C V =(正常数)与),(21x x V V =相交,并将截口垂直投影到21Ox x 平面上,就得到一组一个套一个的闭曲线族C x x V =),(21 (图6-1(b)),由于),(21x x V V =连续可微,且0)0,0(=V ,故在021==x x 的充分小的邻域中, ),(21x x V 可以任意小.即在这些邻域中存在C 值可任意小的闭曲线C V =.对于负定函数),(21x x V V =可作类似的几何解释,只是曲面),(21x x V V =将在坐标面21Ox x 的下方.对于变号函数),(21x x V V =,自然应对应于这样的曲面,在原点O 的任意邻域,它既有在21Ox x 平面上方的点,又有在其下方的点.定理6.1 对系统(6.11),若在区域D 上存在李雅普诺夫函数)(x V 满足 (1) 正定;(2))(1)11.5(x F x VdtdV i ni i∑=∂∂=常负,(a)(b)图 6-1则(6.11)的零解是稳定的.图 6-2证明 对任意)(0H <>εε,记{}ε==Γx x则由)(x V 正定、连续和Γ是有界闭集知0)(min >=Γ∈x V b x由0)(=O V 和)(x V 连续知存在0>δ(εδ<),使当δ≤x 时, b x V <)(,于是有δ≤x 时,,),,(00ε<x t t x0t t ≥(6.12)若上述不等式不成立,由εδ<≤x 和),,(00x t t x 的连续性知存在01t t >,当[)10,t t t ∈时,,),,(00ε<x t t x 而,),,(001ε=x t t x 那么由b 的定义,有b x t t x V ≥)),,((001(6.13)另一方面,由条件(2)知0dt)) x , t ,(t x (00≤dV 在[]10,t t 上成立,即[]10,t t t ∈时,b x V x t t x V <≤)()),,((000自然有b x t t x V <)),,((001.这与(6.13)矛盾,即(6.12)成立. (图6-2为n=2的情况.)例 1 考虑无阻尼线性振动方程02..=+x x ω(6.14)的平衡位置的稳定性.解 把(6.14)化为等价系统⎪⎩⎪⎨⎧-==xy yx 2..ω (6.15)(6.14)的平衡位置即(6.15)的零解.作V 函数)1(21),(222y x y x V ω+=)有)15.5(.2.)15.5()1(y y x x dtdV⋅+⋅=ω即),(y x V 正定, 0)15.5(≤dtdV.于是由定理6.1 知(6.15)的零解是稳定的,即(6.14)的平衡位置是稳定的.引理 若)(x V 是正定(或负定)的李雅普诺夫函数,且对连续有界函数)(t x 有 0))((lim =∞→t x V t则O t x t =∞→)(lim .证明由读者自己完成.定理 6.2 对系统(6.11),若区域D 上存在李雅普诺夫函数)(x V 满足 (1) 正定;(2))(1)11.5(x F x VdtdV i ni i∑=∂∂=负定, 则(6.11)的零解渐近稳定.证明 由定理 6.1 知(6.11)的零解是稳定的.取-δ为定理6.1 的证明过程中的δ,于是当-≤δx 时, )),,((00x t t x V 单调下降.若00=x ,则由唯一性知O x t t x ≡),,(00,自然有O x t t x t =+∞→),,(lim 00不妨设00≠x .由初值问题解的唯一性,对任意t , .),,(00O x t t x ≠从而由)(x V 的正定性知0)),,((00>x t t x V 总成立,那么存在0≥a 使 a x t t x V t =+∞→)),,((lim 00假设0>a ,联系到)),,((00x t t x V 的单调性有 )()),,((000x V x t t x V a << 对0t t >成立.从而由0)(=O V 知存在,0>h 使0t t ≥时ε<<),,(00x t t x h(6.16)成立.由条件(2)有0max <=≤≤dtdVM x h ε故从(6.16)知M dV ≤dt)) x , t ,(t x (00对上述不等式两端从0t 到0t t >积分得)()()),,((0000t t M x V x t t x V -≤- 该不等式意味着-∞=+∞→)),,((lim 00x t t x V t矛盾.故0=a ,即0)),,((lim 00=+∞→x t t x V t由于零解是稳定的,所以),,(00x t t x 在[]+∞,0t 上有界,再由引理知O x t t x t =+∞→),,(lim 00.定理证毕.例 2 证明方程组⎪⎩⎪⎨⎧-++=-++-=)1()1(22.22.y x y x y y x x y x(6.17)的零解渐近稳定.证明 作李雅普诺夫函数)(21),(22y x y x V += 有)17.5(..)17.5()(y y x x dtdV+=)1)((2222-++=y x y x 在区域{}1),(22<+=y x y x D 上),(y x V 正定,)17.5(dtdV 负定,故由定理 6.2 知其零解渐近稳定.最后,我们给出不稳定性定理而略去证明.定理 6.3 对系统(6.11)若在区域D 上存在李雅普诺夫函数)(x V 满足(1))(1)11.5(x F x VdtdV i ni i∑=∂∂=正定; (2) )(x V 不是常负函数, 则系统(6.11)的零解是不稳定的.6.3 平面自治系统的基本概念本节考虑平面自治系统⎪⎩⎪⎨⎧==),(),(..y x Q y y x P x(6.18)以下总假定函数),(),,(y x Q y x P 在区域H y H x D <<,:, )(+∞≤H上连续并满足初值解的存在与唯一性定理的条件.。