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∴f(1)＝－f(－1) ＝－2×(－1) 2＋(－1)＝－3. 法二：设x>0，则－x<0，∵f(x)是定义在R上的奇函数，
且x≤0时，f(x) ＝ 2x2－x，∴f(－x)＝2(－x) 2－(－x) ＝2x2＋x，又f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)＝－2x2－x，∴f(1)＝－2×12－1＝－3.
x)=-g(x)可知g(x)为奇函数. 答案:B
2020/9/30
6.如果函数gx2fx(x)3,,
(x0) (x0)
是奇函数,则fx________.
答案:2x+3
2020/9/30
类型一函数奇偶性的判断 解题准备:判断函数奇偶性的一般方法 (1)首先确定函数的定义域,看是否是关于原点对称的.否则,既不
0,
log
2
1 1
x2 x2
log
2
1 1
x1 x1
log 2
1 1
x1 x1
x2 x2
x1 x2 x1 x2
.
2020/9/30
又(1-x1+x2-x1x2)-(1+x1-x2-x1x2) =2(x2-x1)>0, ∵1-x2>0,1+x1>0, ∴(1-x2)(1+x1)=1+x1-x2-x1x2>0.
4
f
x
x(1 x(1
x) x)
(x 0) (x 0)
的定义域关于原点对称, ∵当x>0时,-x<0, ∴f(-x)=(-x)[1-(-x)]=-x(1+x) =-f(x)(x>0). 当x<0时,-x>0, ∴f(-x)=(-x)[1+(-x)]=-x(1-x) =-f(x)(x<0). 202∴0/f9(/3-0x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.
f(x) 周 期 为 6的 函 数 .
2020/9/30
类型四函数的奇偶性与周期性的综合问题 解题准备:奇偶性和周期性都是函数的整体性质.奇偶性是解决函
数图象的对称性问题,周期性是解决函数图象的平移问题.函数 的单调性揭示函数的局部性质,灵活运用函数性质可解决与函 数相关的方程､不等式等综合问题.
1x1x2x1x2 1, 1x1x2x1x2
得fx1fx20,即fx在0,1上单调递减. 由于fx为奇函数,所以fx在1,0上也是减函数.
2020/9/30
类型三函数的周期性 解题准备:三个结论:若a､b是非零常数,且a≠b,则有
2020/9/30
结 论 1 : (逆 推 式 与 周 期 关 系 结 论 )
2020/9/30
(2)对函数奇偶性的理解 ①函数奇偶性的判断 a.首先看函数的定义域,若函数的定义域不关于原点对称,则函数
既不是奇函数,也不是偶函数.
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2.函数的周期性 (1)对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的
每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)叫做周期函数,非零 常数T叫f(x)的周期.如果所有的周期中存在一个最小的正数, 那么这个最小正数就叫f(x)的最小正周期. (2)周期函数不一定有最小正周期,若T≠0是f(x)的周期,则 kT(k∈Z)(k≠0)也一定是f(x)的周期,周期函数的定义域无上､下 界.
1 若 f x a f x a ,则 T 2 a ; 2若 f x a 1 ,则 T 2 a ;
f (x)
3若 f x a f x,则 T 2 a ; 4若 f x a 1 f (x) ,则 T 4 a .
1 f (x)
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结论2:(对称性与周期关系结论) (1)f(x)关于x=a及x=b对称,则T=2|b-a|; (2)f(x)关于x=b及M(a,0)对称,则T=4|b-a|; (3)f(x)关于M(a,0)和N(b,0)对称,则T=2|b-a|. 结论3:(奇偶性与周期关系结论) (1)f(x)是偶函数且关于直线x=a对称,则T=2|a|; (2)f(x)是奇函数且关于直线x=a对称,则T=4|a|. (上述结论中的T为函数的周期,但不一定是最小正周期).
答案:－3
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3.(2010·新课标全国)设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则{x|f(x-
2)>0}=()
A.{x|x<-2或x>4}
B.{x|x<0或x>4}
C.{x|x<0或x>6}
D.{x|x<-2或x>2}
解析:已知函数f(x)是偶函数,所以当x<0时,解析式为f(x)=2-x4(x<0),所以当x-2<0时,f(x-2)=2-(x-2)-4,要使f(x-2)>0,解得x<0; 当x-2≥0时,f(x-2)=2x-2-4,要使f(x-2)=2x-2-4>0,解得x>4,综上 {x|f(x-2)>0}={x|x<0或x>4},故选B.
是奇函数也不是偶函数. (2)若定义域关于原点对称,则可用下述方法进行判断: ①定义判断:f(-x)=f(x)⇔f(x)为偶函数, f(-x)=-f(x)⇔f(x)为奇函数.
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②等价形式判断:f(-x)-f(x)=0⇔f(x)为偶函数.
f(-x)+f(x)=0⇔f(x)为奇函数.
或 等 价 于 :f(x)1,则 f(x)为 偶 函 数 ;f(x)1,
1 x
1 x
(1 x )(1 x ) 2 (1 x )(1 x )
1 x
(1 x ) 1 x ( x 1) 1 x f ( x ),
1 x
1 x
即 f x f x , f x 是 偶 函 数 .
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3 f x 的 定 义 域 为 x R ,且 x 0,其 定
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考点陪练
1.已知fxax2bx是定义在a1,2a上的偶函数,那么ab
的值是（ ）
A.1 3
C.1 2
B.1 3
D.1 2
答案:B
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2.（2011·安徽）设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0
时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝________.
解析:法一：∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时， f(x) ＝ 2x2－x，
任 取 x1, x 2 0,1 ,且 x1 x 2.
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则f
x1 f
x2
1 x1
log 2
1 1
x1 x1
1 x2
log 2 1 1
x2 x2
1 x1
1 x2
log
2
1 1
x2 x2
log 2 1 1
x1 x1
.
1 x1
1 x2
x2 x1 x1 x2
第七讲函数的奇偶性与周期性
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回归课本 1.函数的奇偶性
(1)函数的奇偶性的定义
奇偶性 偶函数
奇函数
定义
图象特点
如果函数f(x)的定义域 内任意一个x都有f(x)=f(x),那么函数f(x)是 偶函数.
关于y轴对称
如果函数f(x)的定义域 关于原点对 内任意一个x都有f(-x)=- 称 f(x),那么函数f(x)是奇函 数.
f(x)
f(x)
则 f(x)为 奇 函 数 .
(3)对于分段函数的奇偶性的判断应分段进行.
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【 典 例1】 判 断 下 列 函 数 的 奇 偶 性 ,并 说 明 理 由.
1 f x x 2 x 1x 1, 4 ;
2 f x x 1 1 x x 1,1 ;
1
f ( x).函 数 的 周 期 为6.
1
f
(x)
f 2009 f (334 6 5) f 5,而f 5 f 3 2
1 1 (2 3). f (2) 2 3
故填 (2 3).
[答案](2 3)
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[反 思 感 悟 ]根 据 fx3 1 ,可 得 到 fx为
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【 典 例 3】 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 fx满 足 f223, 且 对 任 意 的 x都 有 fx3 1 ,则 f2009________.
f(x)
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[解 析 ]由 题 意 可 得 f x 6 f x 3 3 1
f (x 3)
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【典例4】已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意的x,都有 f(x+1)=-f(1-x),且方程f(x)=0在[-1,1]上只有一个根,则方程 f(x+1)=0的第2000个根是多少.(从x轴右半轴开始从左到右数 起).
[解]由f(x+2)=-f[1-(x+1)]=-f(-x)=f(x)得:f(x)是周期函数,且周期为 2.f(x+1)是把f(x)的图象向左移1个单位.由x∈R,f(x)是奇函数, 且f(x)=0在[-1,1]上只有一个根,知f(0)=0,∴方程f(x)=0的第 2000个根是4000,∴f(x+1)=0的第2000个根是3999.
类型二函数的单调性与奇偶性的综合问题 解题准备:1.讨论函数的单调性和奇偶性时,应先确定函数的定义
域. 2.奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性,偶函数
在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性. 3.将函数的奇偶性和单调性综合运用是考查函数性质的重要题
型.
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【 典 例 2 】 已 知 函 数 fx 1 x lo g 21 1 x x,求 函 数 fx 的 定 义 域 ,
1 x
