解答三角函数求值问题的两种思路

第09讲 三角函数零点问题的处理

【知识要点】

三角函数的零点问题，是考试经常考察的重点、热点和难点.三角函数的零点问题的处理一般有以下三种方法：1、单调性+数形结合 .2、分离参数+数形结合. 3、方程+数形结合. 三种方法也不是绝对的，要注意灵活使用.

【方法讲评】

方法一 单调性+数形结合

解题步骤

一般先研究三角函数的单调性，再数形结合分析.

【例1】已知向量，，设函数．

（1）若函数的图象关于直线对称，且时，求函数的单调增区间；

（2）在（1）的条件下，当时，函数有且只有一个零点，求实数的取值范围．

（1）∵函数图象关于直线对称，

∴，解得：，∵，∴，

∴，由，

解得：，

所以函数的单调增区间为．

∴当或时函数有且只有一个零点．

即或，所以满足条件的．

【点评】（1）本题第2小问是在第1问的前提下进行的，第1问求出了函数的单调增区间，所以第2小问对零点问题的研究，可以利用单调性+数形结合方法分析解答.第2问首先求复合函数在上的单调性，再数形结合分析函数零点的个数.

（2）在解答数学问题时，只要写不等式，一定要注意取等问题，本题第2问，左边可以取等，右边不能取等.

【反馈检测1】设P是⊙O：上的一点，以轴的非负半轴为始边、OP为终边的角记为，又向量。且.

（1）求的单调减区间；

（2）若关于的方程在内有两个不同的解，求的取值范围.

方法二 分离参数+数形结合

解题步骤 先分离参数，再画出方程两边的函数的图像，数形结合分析解答.

【例2】已知函数的最大值为．

（1）求函数的单调递增区间；

（2）将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若方程-＝0在

∈上有解，求实数的取值范围．

【解析】（1）

，

由，解得，

所以函数的单调递增区间

当时，，取最小值-3．

方程在∈上有解，即 -3≤≤

【点评】(1)本题就是先分离参数，再分别画方程左右两边的函数的图像数形结合分析.(2)本题也可以单调性+数形结合的方法分析解答.它们之间不是绝对的，要注意灵活使用.

对一道三角函数求值题的思考与探索

三角函数是高中数学中重要的一个分支，它在数学中有着广泛的应用。在求三角函数的值时，有时我们需要根据题目中的条件，运用三角函数的性质和技巧，巧妙地转化化简，才能求得正确的结果。下面我将通过一道典型的三角函数题目，来探讨如何有效地解答三角函数求值题目。

题目：已知$\sin\alpha = \dfrac{1}{3}$，且$\alpha\in(\dfrac{\pi}{2},\pi)$，则$\cos^2\theta + \dfrac{1}{\cos^2\theta}$的最小值为多少？

解题方法：

在解题之前，我们需要先理清思路，有条不紊地进行计算。以下是具体的解题步骤。

步骤一：确定所需的三角函数值

根据题目已知条件，我们可以取角$\alpha$的余角$\theta$，因此需要确定所需的三角函数值为$\sin\theta$、$\cos\theta$。

步骤二：对原式进行化简

由于我们需要求出最小值，因此我们可以将分母固定为正数，然后只需最小化分子，即可得到最小值。

步骤三：化简分子

$\because(\cos^2\theta + 1)^2 - 2\cos^2\theta = \cos^4\theta + 2\cos^2\theta

+ 1 - 2\cos^2\theta = \cos^4\theta + 1$。

步骤四：得到最终答案

将以上所得结果代入原式，得：

根据均值不等式，我们有：

$(\cos^2\theta + 1)^2 \geq 4\cos^2\theta$。

所以：

因此：

总结： 在解三角函数求值的问题时，化繁为简，沉着冷静是解答的关键，合理运用三角函数的性质和公式，可以帮助我们化简计算，从而达到有效求解的目的。同时，在解题过程中需要踏实，注意计算细节，以避免出现不必要的错误问题。

２０１３年第３期　河北理科教学研究　问题讨论　

已给三角函数式求值问题的解法探讨　江苏省金湖县教师进修学校徐加生２１　１６００　江苏省金湖县中学　纪健２１１６００　三角函数的给式求值问题是三角变换的　重要形式，是体现三角函数综合运算能力的　一种题型，在各类选拔性试卷都会出现，虽然　题目变化多，解题复杂，但解题思路广阔，极　富挑战性和思考性，本文就此类问题介绍一　些常用的求解策略．　１转化　将给出的已知条件进行化简变形，把问　题转化为给值求值问题．　例１已知ｔａｎ（　＋ａ）＝一　１，求　的值．　解析：‘．。ｔａｎ（号＋ａ）＝一丢，即｝＋＿　＝一｛，可解得ｔａｎａ＝一３　．原式：　２ｓｉｎ。［ｃ０ｓａ一２ｃｏＳ２ａ　．　，　——Ｔ　一　一ｓｌｎａｃｏｓａ＋ｃｏｓ。　ｃ０ｓ２ａ（１一ｔａｎ　）＝４ｃｏｓ　ａ：—　旦　：　Ｓｌｎ　ｏＬ＋ＣＯＳ　ＯＬ　４　２　了‘　例２已知　一２ｃｏｓ（。＋　）　＝２，求ｓｉｎ２　＋２ｃｏｓ２ａ的值．　简解：由条件得ｓｉｎ（２ａ＋　）一２ｃｏｓ（ａ＋　ｆ１）ｓｉｎａ＝２ｓｉｎａ，即ｓｉｎ（口＋ｆ１）ｃｏｓａ＋ＣＯＳ（ａ＋　ｆ１）ｓｉｎａ一２ｃｏｓ（口＋ｆ１）ｓｉｎａ＝２ｓｉｎａ，即ｓｉｎ（口＋　／￣）ＣＯＳＯ／一ＣＯＳ（ｄ＋ｆ１）ｓｉｎａ＝ｓｉｎｆｌ＝２ｓｉｎａ，将　其代入所求式得ｓｉｎ２ｆｌ＋２ｃｏｓ２口：４ｓｉｎ２口＋　・２６・　２（１—２ｓｉｎ２ａ）＝２．　２平方　若给出式是关于正弦、余弦的一次式，根　据三角函数的平方关系，用两边平方法，可得　两角和与差及二倍角的三角函数式．　例３　若ｓｉｎａ＋ｓｉｎｆｌ＝ａ，ｃｏｓ口＋ｃｏｓｆｌ＝　ｂ，求ＣＯＳ（ａ一卢），ＣＯＳ（ａ＋　）的值．　简解：由ｓｉｎａ＋ｓｉｎｆｌ＝ａＯ，ＣＯＳｑ＋ｃｏｓｆｌ　＝６②，则①　＋②　得２＋２（ｓｉｎａｓｉｎｆｌ＋　ｃｏｓ口ｃ０ｓ　）＝ａ　＋ｂ。，即有ＣＯＳ（一卢）＝　去（口　＋ｂ　一２），由②。一①　得ｃｏｓ２ａ＋ｃｏｓ２ｆｌ　＋２（ｃｏｓａｃｏｓｆｌ—ｓｉｎａｓｉｎｆ１）＝ｂ　一ａ　，即　２ｃｏｓ（ａ＋ｐ）ｃｏｓ（．一卢）＋２ｃｏｓ（ａ＋卢）＝ｂ　一　０　，将ＣＯＳ（￣一卢）＝　（口　＋ｂ　一２），代人得　ｃ。ｓ（ａ＋　）＝　．　３变角　若已知式中给角的条件较多，可根据欲　求式凑出所求的角．　例４已知号＜卢＜ａ＜等，ｃ。ｓ（ａ—ｐ）　＝　，ｓｉｎ（ａ＋　）＝一詈，求ｃ。ｓ２ａ的值．　解：‘．‘　＜　＜ａ＜等　．０＜ａ一』９＜　，丌＜ａ＋卢＜等　．ｓｉｎ（ａ一　）＝　＝蠢，ｃ。ｓ（ａ＋卢）＝

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配凑法解决三角函数的求值问题

题型一：组合角问题

根据所求角与已知角之间的关系，将所求角用已知角配凑出来，在利用和差角公式、二倍角公式、辅助角公式等

公式加以计算求值。

典型例题

例1、已知1

sin()

123x

+=

，求7

cos()________.

12x

+=

答案：1

3−

解析：

步骤：1）找关系

2k

=（已知角）（所求角）

7

()()

12122xx

+−+=

2）用已知角替换所求角（加括号） 7

()()

12122xx

+=++

3）诱导公式 7

cos()

12x

+=cos[()]sin()

12212xx

++=−+

4）同角求值（画RT

） 1

sin()

123x

+=

，71

cos()

123x

+=−

例2、已知

，

都是锐角，3

cos

5

=

，5

cos()

13

+=−

，则cos____.

=

答案：33

65

解析：因为

，

都是锐角，所以0

+

，所以4

sin

5

=

，12

sin()

13

+=

，

因为()

=+−

，所以coscos[()]cos()cossin()sin

=+−=+++

5312433

13513565=−+=

2 / 6

例3、已知

，

都是锐角，且5

cos

5

=

，3

sin()

5

+=

，则cos____.

=

答案：25

25

解析：因为

为锐角，且51

cos

52

=

，所以(0,)

3





，且25

sin

5

=

又因为33

sin()

52

+=

，所以2

3



+

（舍去0

3



+

，因为(0,)

3





而

为锐角）

所以4

cos()

5

+=−

因为()

=+−

，所以coscos[()]cos()cossin()sin

=+−=+++

4532525

555525=−+=

例4、已知

为锐角，若4

cos()

65



+=

，则sin(2)________.

6



+=

答案：2437

50−

解析：因为

为锐角，所以2